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江苏省徐州市高中数学 第2章 平面解析几何初步 2.2.2 圆的一般方程学案(无答案)苏教版必修2

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圆的一般方程
学习目标：
1．掌握圆的一般方程并由圆的一般方程化成圆的标准方程；
2．能分析题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题；
3．解题过程中能分析和运用圆的几何性质．

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(一) 知识梳理
1、 方程222410xyxy表示什么图形？方程222460xyxy表示什么图
形？

2．以(,)ab为圆心，r为半径的圆的标准方程： ．
3.将222()()xaybr展开得： ．
4.形如220xyDxEyF的都表示圆吗？ ．
（1）当2240DEF时，方程表示 ；
（2）当2240DEF时，方程表示 ；
（3）当2240DEF时，方程 .
5．圆的一般方程： ．

注意：对于圆的一般方程的特点：
（1）2x和2y的系数 ，且都不为0（通常都化为 ）；
（2） xy这样的二次项（填 “有”或“没有”）；
（3）该方程表示圆的前提条件： .
小结：方程220xyDxEyF表示的曲线不一定是圆只有当2240DEF时，它表
示的曲线才是圆，形如220xyDxEyF的方程称为圆的一般方程

6、圆的标准方程与一般方程的区别？

合作探究 携手共进
(二) 拓展延伸 例1、判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径. ⑴224441290xyxy； ⑵2244412110xyxy. 例2、求过三点12(0,0),(1,1),(4,2)OMM的圆的方程． 例3、已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆22(1)4xy上运动，求线段AB中点M的坐标(,)xy中,xy满足的关系？并说明该关系表示什么曲线？
例4、某圆拱桥的示意图如右图，该圆拱的跨度AB是36米，拱高OP是6米，在建造时，
每隔3米需用一个支柱支撑，求支柱22AP的长度（精确
到0.01米）．

课后作业
1、圆222420xyxy的圆心坐标和半径分别为 ．

2．圆的方程为22220xykxyk，当圆面积最大时，圆心坐标为 ．

3．如果圆220xyDxEyF关于直线2yx对称，则 ．
4．若方程222245210xykxkykk表示一个圆，则常数k的取值范围是
_______．

2
P
P
B
A
O

y

x
2
A
5．若圆0342222mmyxyx的圆心在直线20xy上,则该圆的半径等于
______．

6．方程3222yyx表示的曲线与直线2x围成的图形面积是 ．

7．已知点M是圆2286250xyxy上任意一点，O为原点，则OM的最大值为_
_，最小值为______．

8．若直线10xy与圆22210xytxtyt相切，则实数t等于__________．

9．若圆022FEyDxyx过点(0,0)，(1,1)，且圆心在直线30xy上，求
该圆的方程,并写出它的圆心坐标和半径．
10. 圆C过点(1,2)A，(3,4)B，且在x轴上截得的弦长为6．求圆C的方程．
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高中数学必修二课件：圆的一般方程(42张PPT)

高中数学必修二课件：圆的一般方程(42张PPT)


此方程表示以(1，－2)为圆心，2为半径长的圆．
问题2：方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0表示什么图形？
提示：对方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0配方得
(x＋1)2＋(y－1)2＝0，即x＝－1且y＝1. 此方程表示一个点(－1,1)． 问题3：方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0表示什么图形？ 提示：对方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0配方得 (x－1)2＋(y－2)2＝－1. 由于不存在点的坐标(x，y)满足这个方程，所以这 个方程不表示任何图形．
3．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求 (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径．
解：(1)根据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－ 1 4(m ＋5m)>0，即4m ＋4－4m －20m>0，解得m<5，
2 2 2
1 故m的取值范围为(－∞，5)．
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准 方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝ 1－5m.
第 二 章 解 析 几 何 初 步
§2 圆 与 圆 的 方 程
2.2
圆 的 一 般 方 程
理解教材新知
把 握 热 点 考 向
考点一 考点二 考点三
应用创新演练
把圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开得，x2＋y2 －2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，这是一个二元二次方程的形 式，那么，是否一个二元二次方程都表示一个圆呢？ 问题1：方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0表示什么图形？ 提示：对x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方得 (x－1)2＋(y＋2)2＝4.
1．若x2＋y2－x＋y－m＝0表示一个圆的方程，则m的取值 范围是 1 A．m>－2 1 C．m<－2 1 B．m≥－2 D．m>－2 ( )
圆的一般方程 高二数学 (人教A版2019选择性 必修第一册

圆的一般方程 高二数学 (人教A版2019选择性 必修第一册

10 + 3 − + = 0
= 12
∴△ABC外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
本例也可以设成圆的
标准方程，请同学们
自己完成。
（三）典型例题
【变式探究】
若本例改为：已知圆过A(2,2)，C(3，－1)，
且圆关于直线y＝x对称，求圆的一般方程．
【类题通法】用待定系数法求圆的方
≤
，∴圆的半径r的取值范围为0＜r≤
.
7
7
7
（三）典型例题
2.圆的方程的求法
例2.已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，求△ABC外接圆的方程．
【解析】设所求的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
8 + 2 + 2 + = 0
= −8
由题意得 34 + 5 + 3 + = 0 ,得 = −2
=
= −12
∴所求的圆的方程为x2＋y2＋x＋y－12＝0.
(2)如果已知条件和圆心或半径都无直
接关系，一般采用圆的一般方程，再
用待定系数法求出参数D，E，F.
（三）典型例题
【巩固练习2】已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径
为 2，求圆的一般方程．
【解析】(1)设动点M的坐标为(x，y)，
1
∵A(2,0)，B(8,0)，|MA|＝2|MB|，
1
4
(2)设点N的坐标为(x，y)，
∵A(2,0)，N为线段AM的中点，
∴点M的坐标为(2x－2,2y)．
又点M在圆x2＋y2＝16上，
∴(x－2)2＋y2＝ [(x－8)2＋y2]．化简得x2＋y2＝16，
人教A版高中数学必修二《圆的一般方程》教学设计

人教A版高中数学必修二《圆的一般方程》教学设计

《4.1.2圆的一般方程》教学设计一、教材分析《圆的一般方程》安排在高中数学必修2第四章第一节第二课时.圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.圆的一般方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是思想方法上都有着深远的意义，所以本课内容在整个解析几何中起着承前启后的作用.二、目标分析知识与技能：(1).掌握圆的一般方程及一般方程的特点(2).能将圆的一般方程化成圆的标准方程，进而求出圆心和半径(3).能用待定系数法由已知条件求出圆的方程过程与方法：(1)进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力；(2)加深对数形结合思想的理解和加强对待定系数法的运用，认识研究问题中由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想，充分了解分类思想在数学中的重要地位，强化学生的观察，思考能力。

(3)增强学生应用数学的意识.情感，态度与价值观：(1)培养学生主动探究知识、合作交流的意识；(2)培养学生勇于思考，探究问题的精神。

(3)在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣.教学重点： (1)．圆的一般方程。

(2)．待定系数法求圆的方程。

教学难点： (1)．圆的一般方程的应用。

(2)．待定系数法求圆的方程及选用合适的圆方程。

三、教学内容与过程一、复习引入圆的标准方程为：222()()x a y b r -+-=把圆的标准方程展开，并整理得220x y Dx Ey F ++++=思考：此方程都能表示圆么？二、课堂探究观察下列各式，先将它们分别配方，然后分析它们是否表示圆？（设计意图）通过对这两个问题的探究，.一方面引导学生22(1)2410+-++=x y x y 22(2)2460+--+=x y x y回顾了旧知，另一方面，抓住了学生的注意力，把学生的思维引到研究圆的方程上来，激发了学生的学习兴趣和学习欲望.这样获取的知识，不但易于保持，而且易于迁移。

《第二章 平面解析几何》试卷及答案_高中数学选择性必修第一册_人教B版_2024-2025学年

《第二章 平面解析几何》试卷及答案_高中数学选择性必修第一册_人教B版_2024-2025学年

《第二章平面解析几何》试卷(答案在后面)一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、下列关于直线的倾斜角和斜率描述正确的是（）A、直线的倾斜角越大，其斜率越大B、所有直线都有倾斜角，但并非所有直线都有斜率C、斜率的绝对值越大，直线条数越多D、直线的斜率可以为零2、已知直线(l)经过点 A(3, -2) 和 B(-1, 4)，求直线(l)的斜率(k)。

)A.(−32)B.(32)C.(−23)D.(233、在直角坐标系中，点A（2，3）关于直线x=1的对称点为B，则点B的坐标为（）A、（0，3）B、（-2，3）C、（-1，3）D、（1，3）4、已知直线(l)的方程为(2x−3y+1=0)，则该直线的斜率是（）。

)A、(23)B、(−23)C、(32)D、(−325、在平面直角坐标系中，若直线y=2x+1与x轴和y轴的交点分别为A、B，点P （m，n）满足m+n=1，则直线上是否存在点Q（x，y）使得|AQ|=|BP|？A. 是B. 否C. A、B两点都在直线y=-x+1上6、在直角坐标系中，点A（3，4）关于直线y=x的对称点是（）A.（4，3）B.（-3，-4）C.（-4，-3）D.（-4，3）7、已知直线(l1:3x+4y−5=0)和(l2:6x+8y−7=0)，则这两条直线的位置关系为（）。

A、平行B、垂直C、重合D、相交但不垂直8、在平面直角坐标系中，点A(-3,2)关于直线y=-x的对称点为B，B的横坐标是：A. 2B. -2C. 3D. -3二、多选题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）1、在直角坐标系中，下列说法正确的是（）A. 点P（-3，4）关于x轴的对称点为P’（3，-4）B. 直线y=2x+3的斜率是2C. 圆（x+2）²+（y-1）²=9的圆心坐标是（-2，1）D. 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（-1，0）和（2，0）2、已知直线(l1)的方程为(2x−3y+1=0)，直线(l2)的方程为(4x−6y+3=0)，则关于(l1)和(l2)的关系，下列说法正确的是（）。