6.3 余角、补角、对顶角同步练习卷 2022-2023学年苏科版数学七年级上册

苏教科版初中数学
重点知识精选
掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！苏科版初中数学和你一起共同进步学业有成！
6.3余角、补角、对顶角（2）
一：学习目标1：在具体情境中了解对顶角，知道对顶角相等。

2：经历观察，操作，说理交流等过程，进一步发展空
间观念，学习有条理的表达。

二：重点：对顶角的概念，和性质。

难点：对顶角的概念，和性质的灵活运用
三：学习过程
（一）：预习展示：想一想:
通过小孔O,两条光线AA/、BB/形成了哪些角？
图中这些角，它们分别有什么位置关系.（通过学生的回答引出两对
角的特点，介绍对顶角的定义。

定义：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个
角叫做对顶角。

（关键有公共定点，两边分别是另一个角的两边的反向延长线，是
由两条直线相交得到的）
说一说：下列各图中，∠l和∠2是对顶角吗？为什么？（通过这小
题巩固定义）
（二）合作探究
1、两条直线相交可以得到两对对顶角，那么三条直线AB、CD、EF相交于点O。

有多少对
对顶角？请分别表示出来，并与同学交流。

（通过
相信自己，就能走向成功的第一步
教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。

数学思维
可以让他们更理性地看待人生。

课题：6.3余角、补角、对顶角（2）姓名_____________【学习目标】1.在具体情境中了解对顶角，能够识别对顶角，并能理解对顶角的性质；2•经历观察、操作、说理、交流的过程，进一步发展空间观念，学习有条理的表达数学问题；3.会运用互为余角、互为补角、对顶角的性质来解决问题.【学习重点】理解对顶角概念和对顶角性质.问题2.如图1,直线AB CD EF相交于点0,则/AOF的对顶角是（）A. / BCD B . / EOB C . / COE D . / A0C问题3. （1）如图2，下列说法中不正确的是（）A./1与/2是对顶角B . Z2与/3互余C ./I与/3互余D . Z3与/4是对顶角【问题导学】⑵如图3,直线AB CD相交于O,/ A0C乂BOD=210，则/ BOC= __________【问题探究】问题1.如图，AB CD相交于点0,/ DOE=90 , / AOC=72 .求：/ B0E 的度数.问题2 .如图，直线AB EF相交于点D,/ ADC=90 .(1 )/1的对顶角是 __________ ;/2的余角有________________(2 )若/1与/2的度数之比为1 : 4，求/ BDF的度数.【问题评价】1.如图，直线AB CD相交于点F,且EF丄AB于F,则/1和/2为_____ 角，/1和/3互为________ 角，若/2= 32°,则/4= _____________r2.如图,直线AC DE相交于O OE是/ AOB的平分线，/ COD=50 ,试求：/ AOB的度数.5.( 1)平面内相交于一点的三条直线构成的对顶角共有()A. 3对B . 4对C . 5对D . 6对(2)如果n条不同的直线相交于一点，那么图形中共有多少对对顶角？/ 1 = 2/2,求/ 1、/ 2、/ 3、/4的度数.AB CD相交于点O, / A0= 90°,直线MN过点O, / 1=64, OE平分4.如图，已知直线。

探究对顶角的对数
同学们在学习本章时，时常会遇到数对顶角对数的习题，如果构成对顶角的直线不多，也许大家还能应付；但如果直线的条数较多，考试时间紧迫不能慢慢数，怎么办？ 下面让我们一起来探究其中的奥秘吧！
设n 是相交于一点的直线的条数，S 为对顶角的对数.
我们可以先从简单的、特殊的情况入手：
如图1，当n =2时，S =2=2×（2―1）；
如图2，当n =3时，S =6=3×（3―1）；
如图3，当n =4时，S =12=4×（4―1）；……
由此，我们能不能归纳出如下规律呢？一般的，S 与n 的关系为(1)S n n =⋅-（n ≥2的正整数）.
为什么会有这个规律呢？通过上面的细数，我们发现，当几条直线相交于一点时，每条射线均可以和它不在同一条上的同一侧的射线形成一个角，这就是一对对顶角中的一个角，一共有（n ―1）个这样的角.因为一共有n 条直线，所以共有(1)n n ⋅-对不重复的对顶角，所以我们的猜想是正确的.
需要指出的是，我们以上所用方法叫做“不完全归纳法”，它是从一个或几个（但不是全部）特殊情况作出一般性结论的归纳推理.不完全归纳法又叫做普通归纳法，是一种重要的推理方法.在得出结论后，还要加以解释或证明，这种方法在今后学习中还要进一步学习和运用.
最后，请同学们思考：如果n （n ≥2的正整数）条直线两两相交（即每两条．．．
直线都相交），那么这些直线所构成的对顶角又有多少对？你能用公式来表示吗？
（参考答案：(1)S n n =⋅-，S 为对顶角的对数，n 是直线条数，应注意分两种情况来
讨论.）。

余角、补角、对顶角余角:如果两个角的和是直角（90°+180°k，k∈Z）,那么称这两个角“互为余角"（complementary angle)，简称“互余”,也可以说其中一个角是另一个角的余角. 两角度数之和在集合{k∈Z|90°+180°k｝内，就说明这两个角互为余角，或简称这两个角互余。

补角：在数学中，设两个角α、β，此时若α，β均属于集合{k∈Z｜α+2kπ,β+2kπ｝且满足α+β=π(rad)，则称α，β互为补角，简称α，β互补对顶角：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角·对顶角的范围介于0度到180度之间，0度和180度不算在内。

对顶角是具有特殊位置的两个角，对顶角相等反映的是两个角之间的大小关系。

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七年级数学上册6.3 余角、补角、对顶角素材2 （新版）苏科版
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余角、补角、对顶角
余角:如果两个角的和是直角（90°+180°k，k∈Z）,那么称这两个角“互为余角"（complementary angle)，简称“互余”,也可以说其中一个角是另一个角的余角. 两角度数之和在集合{k∈Z|90°+180°k｝内，就说明这两个角互为余角，或简称这两个角互余。

补角：在数学中，设两个角α、β，此时若α，β均属于集合{k∈Z｜α+2kπ,β+2kπ｝且满足α+β=π(rad)，则称α，β互为补角，简称α，β互补
对顶角：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角·对顶角的范围介于0度到180度之间，0度和180度不算在内。

对顶角是具有特殊位置的两个角，对顶角相等反映的是两个角之间的大小关系。

根据对顶角相等求角度对顶角相等是对顶角的重要性质，利用对顶角的性质可以解决一些求角的度数的问题。

例1 如图1，已知直线a ,b ，c 两两相交，∠2=50°,∠1=2∠3，求4的度数。

分析：根据直线a 与b 相交，可知∠3与∠4是一对对顶角；根据直线b 与c 相交，可知∠1与∠2是一对对顶角，根据对顶角相等,可得∠1=∠2，∠3=∠4,然后利用∠1与∠3的关系可以求到∠4的度数.解：根据图形得∠1=∠2，∠3=∠4，因为∠1=2∠3，所以∠2=2∠4, 因为∠2=50°，所以∠4=21×50°=25°。

例2 如图2,已知直线AB 、CD 、EF 相交于点0，∠1=20°，∠BOC=90°。

求∠2的度数。

分析：要求∠2的度数，根据已知可得∠2+∠3=90°，所以只要求到∠3的度数即可，根据对顶角相等可知∠3=∠1=20.解：根据∠BOC=90°，可知AB⊥CD ，所以∠AOD=90°，即∠2+∠3=90°，因为∠3=∠1=20°，所以∠2=90°—∠3=70°。

例 3 如图3,已知直线AB 、CD 相交于点0,OE 、OF 分别是∠AOC、∠BOD 的平分线.求∠AOE+∠DOF+∠AOD 的度数。

图1图2分析:由于已知没有告诉具体的角的度数，所以应考虑∠AOE+∠DOF+∠AOD 结果应是个特殊的值,如90°或180°或360°等.因为图形中涉及到两条直线相交，所以应考虑到对顶角性质的应用.解：因为OE 、OF 分别是∠AOC、∠BOD 的平分线，所以∠A0E=∠E0C，∠DOF=∠BOF,观察图形知，∠AOD 与∠BOC 是对顶角,根据对顶角相等，得∠AOD=∠BOC， 所以∠AOE+∠AOD+∠D0F=∠EOC+∠BOC+∠BOF=21×360°=180°。

6.3.1相交线---对顶角知识回顾：两直线相交，相等。

练习：1、下列选项中，∠1和∠2是对顶角的是（）A B C D2、以下说法正确的是（）A. 有公共顶点，并且相等的两个角是对顶角B. 两条直线相交，任意两个角都是对顶角C. 两边互为反向延长线的两个角是对顶角D. 两边分别在同一直线上，这两个角互为对顶角3、“对顶角相等”的依据是（）A. 同角的余角相等B. 同角的补角相等C. 等角的余角相等D. 等角的补角相等4、如图，直线AB与CD相交于点O，则∠AOD的度数为（）A.50B.130C.60D.1205、如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC＝80°，∠1＝28°，则∠2＝°。

第4题图第5题图第6题图第7题图第8题图6、如图，AB与CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，且OC恰好平分∠EOB，则∠BOD＝⁠°。

7、如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠AOE=56°，则∠BOC ＝⁠°.8、如图，三条直线l1，l2，l3相交于点O，若∠1＋∠3＝120°，则∠2＝⁠9、如图，当剪子口∠AOB增大210时，∠COD增大0，依据是10、如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE. 若∠AOC 的度数为2α，则∠EOF＝ .（用含α的代数式表示）第9题图第10题图11、已知直线AB与CD相交于点O，且OM平分∠AOC.（1）如图1，若ON平分∠BOC，求∠MON的度数；（2）如图2，若∠CON＝1/3 ∠BON，∠MON＝55°，求∠BON的度数.12、如图，直线AB、CD相交于点O，∠2-∠1=150，∠3=1300.（1）求∠2的度数;（2）试说明：OE平分∠COB.13、如图，∠AOB=∠DOC=900.OE平分∠AOD,反向延长射线OE至点F。

（1）∠AOD和∠BOC （填“互余”“相等”“互补”或“没有特殊关系”）（2）OF是∠BOC的平分线吗?为什么？（3）反向延长射线OA至点G，∠COG与∠FOG的度数之比为1：3，求∠AOD的度数。