2020名校课堂知识点训练：对顶角、余角和补角

A．2个B．3个C．4个D．6个
A．20°B．40°C．50°D．60°
A．B．C．D．
A．B．C．D．
2、相交线
（1）相交线的定义
两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线．（2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类．（3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
【练习】
1（2006•河南）两条直线相交所成的四个角中，下列说法正确的是（）A．一定有一个锐角B．一定有一个钝角
C．一定有一个直角D．一定有一个不是钝角
3（2011•柳州）如图，在所标识的角中，互为对顶角的两个角是（）
A．∠2和∠3B．∠1和∠3C．∠1和∠4D．∠1和∠2
4（2009•南平）如图，某同学在课桌上随意将一块三角板的直角叠放在直尺上，则∠1+∠2的度数是（）
A．45°B．60°C．90°D．180°。

6.3余角、补角、对顶角(1)教学目标：1、在具体情景了解余角、补角，概念2、知道等角的余角相等，等角的补角相等3、经历观察—操作—说理，交流等过程，进一步发展宽间的观念教学重难点：1、余角、补角，概念2、同角(等角)的余角相等，同角(等角)的补角相等教学过程：一、情景创设：用一副三角尺，在实际操作中，演示课本中的图通过直观、形象演示，引导学生观察，引入余角、补角概念1、探索活动活动1：通过直观、形象演示，引导学生观察，引入余角、补角概念如果两个角的和是直角，这两个的角叫做互为余角如果两个角的和是平角，这两个的角叫做互为补角( 1 )摆动两个三角板位置，∠α+∠β=90°∠α+∠β=180°不变（2）两个角的和是90 °，或者平角180°是一种特殊关系，它们分别叫做互为余角，互为补角。

（3）前面研究的角都是一个角，而互为余角、互为补角指的是两个角的关系。

（4）互补，互余是一种特殊的数量关系，思考:同一块三角板上有两个锐角互余吗？（5）如果∠α+∠β=90°那么∠α与∠β互余反过来，如果∠α与∠β互余，那么∠α+∠β=90°或∠α=90°—2∠β或∠β=90°—2∠α如果∠α+∠β=180°那么∠α与∠β互补反过来∠α与∠β互补，那么，∠α+∠β=180°或∠α=180°—2∠β或∠β=180°—2∠α活动2：填表(投影)可知：∠α的余角为90°—n°（∠α= n°）∠α的补角＝180°—n°做一做：书本上连线二、例题教学：探索余角补角的性质，让学生经历”观察-----猜想-----说理”的过程，例：如果∠1与∠2 互余，∠1与∠3互余，那么∠2与∠3 相等吗？为什么？解：∠2与∠3 相等因为∠1与∠2 互余，∠1与∠3互余所以∠2=90°—∠1 ，∠3=90°—∠1所以∠2=∠3引导学生交流得出结论，同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等。

可编辑修改余角和补角和对顶角余角：如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角。

∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C ,∠C的余角=90°-∠C 即:∠A的余角=90°-∠A补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C ,∠C的补角=180°-∠C 即:∠A的补角=180°-∠A对顶角：一个角的两边分别是另一个角的反向延长线，这两个角是对顶角。

两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶角。

两条直线相交,构成两对对顶角。

对顶角相等.对顶角与对顶角相等.对顶角是对两个具有特殊位置的角的名称; 对顶角相等反映的是两个角间的大小关系。

补角的性质：同角的补角相等。

比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。

等角的补角相等。

比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D则：∠C=∠B。

余角的性质：同角的余角相等。

比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。

等角的余角相等。

比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B。

注意：①钝角没有余角；②互为余角、补角是两个角之间的关系。

如∠A+∠B+∠C=90°，不能说∠A、∠B、∠C互余；同样：如∠A+∠B+∠C=180°，不能说∠A、∠B、∠C互为补角；③互为余角、补角只与角的度数相关，与角的位置无关。

只要它们的度数之和等于90°或180°，就一定互为余角或补角。

余角与补角概念认识提示：（1）定义中的“互为”一词如何理解？如果∠1与∠2互余，那么∠1的余角是∠2 ，同样∠2的余角是∠1 ；如果∠1与∠2互补，那么∠1的补角是∠2 ，同样∠2的补角是∠1。

余角、补角、对顶角一、单选题(共12道，每道8分)1.如图，∠1与∠2是对顶角的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：对顶角的定义2.下列说法错误的是( )A.同角或等角的余角相等B.如果两个角相等，则他们的补角相等C.若∠1+∠2+∠3=90°，则∠1，∠2，∠3互余D.两个直角的补角相等答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：补角3.如图，已知∠AOB=15°，∠AOC=90°，点B，O，D在同一条直线上，则∠COD的度数为( )A.75°B.15°C.105°D.165°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：补角4.如果一个角的余角是50°，那么这个角的补角是( )A.130°B.140°C.150°D.160°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：补角5.已知∠1与∠2互余，且∠1=35°，则∠2的补角的度数为( )A.145°B.115°C.135°D.125°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：补角6.如图，∠AOC=∠BOD=90°，若∠AOB=150°，则∠DOC的度数为( )A.30°B.40°C.50°D.60°答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：余角7.如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，且∠EOC=110°，则∠BOD的度数为( )A.25°B.35°C.45°D.55°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：对顶角相等8.如图，已知∠COD为平角，OA⊥OE，且，则∠DOE的度数为( )A.30°B.45°C.60°D.75°答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：平角的定义9.如图，已知AB⊥CD，垂足为点O，直线EF过点O，则图中∠BOF与∠DOE的关系是( )A.∠BOF+∠DOE=180°B.∠BOF+∠DOE=90°C.∠BOF=∠DOED.无法确定答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：对顶角相等10.如图，已知OA⊥OB，OC⊥OD，则( )A.∠AOC=∠AODB.∠AOC=∠BODC.∠AOD=∠BODD.以上结论都不对答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：余角11.一个锐角的补角比这个角的余角大多少度？( )A.30°B.45°C.60°D.90°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：补角12.若∠α与∠β互余，∠β与∠γ互余，则∠α与∠γ的关系是( )A.相等B.互补C.互余D.不确定答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：补角。

6.3 余角、补角、对顶角（一）一、基础训练1．如果两个锐角的和是 ，则这两个角互为余角，如果两个角的和是 ，则这两个角互为补角．2．若∠α=50º，则它的余角是 ，它的补角是 ． 3．如图，∠ACB =∠CDB =90º，图中∠ACD 的余角有 个． 4．若∠1与∠2互余，∠3和∠2互余，则∠1与∠3的关系是 ，其理由是 ． 5．如果∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180 º，则∠1与∠3的关系是________，其理由是 ． 二、典型例题例1 已知一个角的补角是这个角的余角的3倍，求这个角． 分析 本题我们可以设这个角为x °，通过建立方程来解决．例2 如图，∠AOC 和∠BOD 都是直角，且∠DOC =28º，求∠AOB 的度数．分析 欲求∠AOB ，我们就要找到它与已知角∠AOC 、∠BOD 和∠DOC 之间的关系，通过观察不难发现两个直角的和比∠AOB 多了一个∠DOC．例3 如图所示，已知点A 、O 、B 在一条直线上，∠AOC =∠BOC =∠EOF =90°． （1）指出 ∠COE 的余角；（2）指出 ∠AOE 的补角；（3）指出∠COF 的补角． 分析 运用余角、补角的概念及特征，即可准确地找出（1）、（2）小题 的答案；但寻找∠COF 的补角则要利用等角的余角相等，将其转化为∠AOE ．三、拓展提升如图，O 是直线AB 上的一点，OM 是∠AOC 的角平分线，ON 是∠BOC 的角平分线． （1）图中互余的角有几对？ （2）图中互补的角有几对？分析 本题首先是要知道OM 与ON 组成的是一个直角，其次是在找的时候要注意同角（或等角）的余角（或补角）是相等的．ABDNMCBOAAO B F CEAOBC D四、课后作业1．32°28′的余角为 ，137°45′的补角是 ． 2．若∠1与∠2互余，∠1=（6x +8）º,∠2=(4x -8)º,则∠1= ，∠23．一个锐角的补角比这个角的余角大 °．4．已知互余两个角的差是30º，则这两个角的度数分别是5．如图，∠AOB 为直角，∠COD 为平角，若OC 平分∠AOB ，则 ∠BOD =____________°．6．如图，O 是直线BD 上一点，∠BOC =36º，∠AOB =108º， 则与∠AOB 互补的角有 ．7．如图，∠AOC =∠BOD =90º，∠AOD =130º，求∠BOC 的度数．8．已知一个角的余角比它的补角的49还少5º，求这个角．9．如图，已知：∠AOB =∠DOE =90°，∠1=56°，求∠3的度数．10．如图，AOB 为一条直线，∠COD 是直角，且∠1＋∠2=90 º．（1）请写出图中相等的角，并说明理由；（2）请分别写出图中互余的角和互补的角．DCBAOBEAD132CB ODCA（第6题图）A B O EC D 216.3 余角、补角、对顶角（一）一、基础训练1．90°，180°2.40°，130°3.24.∠1=∠3，同角的余角相等5.∠1=∠3，同角的补角相等二、典型例题例1.设这个角为x°，则180-x=3(90-x)，解得x=45.答：这个角是45°.例2.∵∠AOC为直角，∴∠COD+∠AOD=90，∵∠DOC=28°，∴∠AOD=62°，∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=90°+ 62°=152°.例3.（1）∠AOE、∠COF；（2）∠EOB；（3）∠FOB、∠EOB.三、拓展提升（1）4对；（2）5对.四、课后作业1.57°32′，42°15′2.62°，28°3.90°4.30°，60°5.135°6.∠AOD、∠AOC7.50°8.27°9.56°10.（1）∠1=∠AOC，∠BOE=∠BOC；（2）互余的角有∠1与∠2、∠1与∠AOC；互补的角有：∠1与∠BOE、∠1与∠BOC、∠AOC与∠BOE、∠AOC与∠BOC、∠AOD与∠26.3 余角、补角、对顶角（二）一、基础训练1．如果两个角是对顶角，那么这两个角一定________________．2．如图，其中共有________对对顶角．3．如图，直线AB、CD相交于O，且∠AOC＋∠BOD=120º，则∠AOC的度数为．4．如图，直线AB和CD相交于O，∠AOE=90º，那么图中∠DOE与∠COA的关系是．二、典型例题例1如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠DOE=30º，求∠AOC的度数．分析欲求∠AOC，根据对顶角相等只需先求出∠BOD，而利用角平分线的定义 BA DC O EA B CE DGFH（第2题图）ABCDO（第3题图）（第4题图）容易求得∠BOD ．例2 如图，直线AB 与CD 相交于点O ，∠BOE =90°，∠COE =30°，求∠AOD 的度数． 分析 欲求∠AOD ，根据对顶角相等只需先求∠BOC ，而∠BOC 即为 ∠BOE 的∠COE 和．例3 如图，两条直线AB 与CD 相交于O ，OE 平分∠AOD ，且∠EOF =90°，∠BOC =30°，求∠COF 的度数．分析 因为∠AOB 为平角，欲求∠COF 只需先求∠AOF ，又∠EOF =90°， 故应先求∠AOE ，而利用对顶角相等及角平分线可容易求得∠AOE ．三、拓展提升如图，已知直线AB 、CD 、EF 交于点O ，∠BOC =∠AOC ． （1）图中∠AOE 的补角有 ；图中的对顶角共有 对； （2）若∠AOE ：∠AOD =1：3，求∠BOF 、∠DOF 的度数．分析 首先通过∠BOC =∠AOC 可知AB 、CD 相交所组成的四个角均是直角，然后根据∠AOE ：∠AOD =1：3，可设∠AOE 为x °，∠AOD 为3x °，建立方程来解决．本题在找对顶角时还要注意按顺序，做到不重复也不遗漏．四、课后作业1．图中共有 对对顶角．2．∠1和∠2互余，∠2和∠3是对顶角，且∠1=63°，则∠3=_____． 3．如图,∠AOB =90°,直线CD 过点O ,且∠AOC =50°, 则∠DOB = °． 4．如图，射线OB 的反向延长线表示的方位是 ．5．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 是射线，OD 是∠BOE 的角平分线，且∠DOE =35°，则∠AOC = °．6．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠COE ，∠DOB =40°,求∠DOE ．ABDOCEAOBCDE F（第1题图）30︒OB东北西（第4题图）ED BOAC （第5题图）COBD E A FA BEDOC7．如图，直线AB 、CD 相交于点O ,OE 是∠AOD 的平分线，∠FOC =90 º，∠1=54º,求∠2与∠3的度数．8．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，已知∠AOC =80 º，OE 把∠BOD 分成两个角，且∠BOE ：∠EOD =2：3，求∠EOD 的度数．9．如图，直线AB 、CD 、EF 相交于同一点O ，而且∠BOC =∠AOC ，∠ DOF =21∠BOE ，求∠EOC 的度数．6.3余角、补角、对顶角（二） 一、基础训练 1．相等 2.4 3.60 4.互与 二、典型例题例1.∵OE 平分∠BOD ，∴∠BOD =2∠DOE =60°，∵∠BOD 与∠AOC 是对顶角，∴∠AOC =∠BOD =60°例2．∵∠BOE =90°，∠COE =30°，∴∠BOC =∠BOE +∠COE =120°，∵∠AOD 与∠BOC 是对顶角，∴∠AOD =∠BOC =120°例3．∵∠AOD 与∠BOC 是对顶角，∴∠AOD =∠BOC =30°，∵OE 平分∠AOD ，∴∠AOE =21∠ABCD OEA OB CF DE 132 ABDCE FOAOD=15°，∴∠AOF=∠EOF -∠AOE=75°，∴∠COF=180°-∠AOF -∠BOC=75°.三、拓展提升（1）∠BOE、∠AOF；6（2）∠BOF=22.5°、∠DOF=67.5°四、课后作业1.22.273.1404.南偏西30°5.356.100°7.∠2=36°、∠3=72°8.48°9.30°。

对顶角余角和补角的定义
顶角、余角和补角是在几何学和三角学中常见的概念。

顶角指的是两条直线相交时，形成的相对的两个角，这两个角的顶点是同一个点。

余角是指一个角的补角，即与该角相加为90度的角。

而补角则是两个角的和为90度的角。

从几何学的角度来看，顶角是指两条直线相交时形成的相对的两个角，它们共享一个公共顶点。

例如，在一个三角形中，顶角通常指的是三角形的顶点所对的角。

余角是指一个角的补角，也就是与该角相加为90度的角。

例如，如果一个角的度数是x度，那么它的余角就是90度减去x度。

补角是指两个角的和为90度的角。

例如，如果一个角的度数是x度，那么它的补角就是90度减去x度。

从三角学的角度来看，顶角、余角和补角也有特定的定义。

在三角函数中，余角是指角A的余角是90度减去角A的度数。

补角是指两个角的和为90度的角，例如，如果角A的度数是x度，那么角A的补角就是90度减去x度。

这些概念在解题和推导三角函数的过程中经常被用到。

总的来说，顶角、余角和补角是几何学和三角学中非常基础和
重要的概念，它们帮助我们理解角的关系，解决各种几何和三角学问题。

通过理解这些概念，我们能更好地应用它们解决实际问题，并且在数学推导和证明中起到重要的作用。

2021-2022学年七年级数学上册同步课堂专练（苏科版）6.2角、余角、补角以及对顶角一、单选题1．下列说法中正确的是（）A．射线AB与射线BA是同一条射线B．两条射线组成的图形叫做角C．各边都相等的多边形是正多边形D．连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离【答案】D【详解】解：A、射线AB与射线BA不是同一条射线，故此选项错误；B、有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，故此选项错误；C、各边都相等、各角都相等的多边形是正多边形，故此选项错误；D、连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离，故此选项正确．故选：D．2．如图，直线AB，CD相交于点O，分别作∠AOD，∠BOD的平分线OE，OF．将直线CD绕点O旋转，下列数据与∠BOD大小变化无关的是（）A．∠AOD的度数B．∠AOC的度数C．∠EOF的度数D．∠DOF的度数【详解】 解：OE ，OF 平分∠AOD ，∠BOD11,22AOE EOD AOD DOF FOB BOD ∴∠=∠=∠∠=∠=∠180AOD BOD ∠+∠=︒111()90222EOD DOF AOD BOD AOD BOD ∴∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒90EOF ∴∠=︒180AOD BOD ∴∠=︒-∠1,2AOC BOD DOF BOD ∴∠=∠∠=∠都与∠BOD 大小变化有关，只有∠EOF 的度数与∠BOD 大小变化无关， 故选：C ．3．如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，12740'∠=︒，则2∠的余角是（ ）A ．1720'︒B ．3220︒'C ．3320'︒D ．5820︒'【答案】B解：由题意可得：∠2+∠EAC =90° ∠∠2的余角是∠EAC∠∠EAC =601602740'3220'︒-∠=︒-︒=︒ 故选：B ．4．设一个锐角与这个角的补角的差的绝对值为α，则（ ） A ．090α︒<<︒或90180α︒<<︒ B ．0180α︒<<︒ C ．090α︒<<︒ D ．090α︒<≤︒【答案】B 【详解】解：设这个角的为x 且0＜x ＜90°，根据题意可知180°-x -x =α， ∠α=180°-2x ，∠180°-2×90°＜α＜180°-2×0°， 0°＜α＜180°． 故选：B ．5．如图，直线a 、b 被直线c 所截，则下列说法错误的是（ ）A ．1∠与2∠是邻补角B ．1∠与3∠是对顶角C ．2∠与4∠是同位角D ．3∠与4∠是内错角【答案】D 【详解】解：A 、1∠与2∠是邻补角，故原题说法正确；B 、1∠与3∠是对顶角，故原题说法正确；C 、2∠与4∠是同位角，故原题说法正确；D 、3∠与4∠是同旁内角，故原题说法错误；答案：D ．6．下列推理错误的是（ ）A ．因为1223∠=∠∠=∠，，所以13∠=∠B ．因为12123∠=∠∠+∠=∠，，所以321∠=∠C ．因为1223∠+∠=∠，所以1323∠=∠∠=∠，D ．因为1∠与2∠互补，13∠=∠，所以2∠与3∠互补 【答案】C 【详解】解：A ．因为∠1=∠2，∠2=∠3，所以∠1=∠3（等量代换），故原说法正确； B ．因为∠1=∠2，∠1+∠2=∠3，所以∠3=∠1+∠1=2∠1，故原说法正确； C ．当∠1+∠2=2∠3时，∠1，∠2不一定等于∠3，故原说法错误； D ．因为∠1与∠2互补，∠1=∠3，所以∠2与∠3互补，故说法正确． 故选：C ．7．下列说法正确的是（ ）A．如果∠1+∠2+∠3=90º，那么∠1、∠2、∠3三个互余B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行C．不相等的两个角一定不是对顶角D．若两条直线被第三条所截，则同位角相等【答案】C【详解】如果两个角的和是90°，称这两个角互为余角，所以选项A说法错误；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以选项B说法错误；对顶角永远相等，所以不相等的两个角一定不是对顶角，所以选项C正确；若两条平行直线被第三条所截，则同位角相等，所以选项D说法错误；故选C．8．在下列说法中，正确的是（）A．连接A，B就得到AB的距离B．延长AOB∠的平分线C．一个有理数不是整数就是分数D．23-a是单项式【答案】C 【详解】解：A. 连接A ，B 就得到线段AB ，而线段AB 的长度叫做的距离，故原说法错误，不符合题意； B. AOB ∠的平分线就是射线，若延长也只能反向延长，故原说法错误，不符合题意； C. 一个有理数不是整数就是分数，原说法正确，符合题意； D.23-a 是多项式，故原说法错误，不符合题意； 故选：C ． 二、填空题9．已知，//MN PQ ，将一副三角板按照如图方式摆放在平行线之间，且线段BC 落在直线MN 上，线段DE 落在直线PQ 上，其中60ACB ∠=︒，45AED ∠=︒，CO 平分ACB ∠，EO 平分AED ∠，两条角平分线相交与点O ，则COE ∠=________︒．【答案】52.5 【详解】延长CO 交PQ 于点F ，则∠COE =∠CFE +∠OEF ，∠60ACB ∠=︒，45AED ∠=︒，CO 平分ACB ∠，EO 平分AED ∠， ∠∠BCF =30°，∠OEF =22.5°， ∠//MN PQ ， ∠∠BCF =∠CFE ，∠∠COE =30°+22.5°=52.5°，故答案为：52.5°．10．如图是某城市一座古塔底部平面图，在不能进入塔内测量的情况下，学习兴趣小组设计了如图所示的一种测量方案，学习兴趣小组认为测得COD ∠的度数就是AOB ∠的度数．其中的数学原理是__________．【答案】对顶角相等 【详解】解：∠∠COD 与∠AOB 互为对顶角 ∠∠COD =∠AOB 故答案为：对顶角相等11．如图，AB 和CD 交于点O ，则AOC ∠的邻补角是___；AOC ∠的对顶角是___；若40AOC ∠=︒，则BOD ∠=___，AOD ∠=___，BOC ∠=___．【答案】AOD ∠和BOC ∠ BOD ∠ 40° 140° 140° 【详解】解：AB 和CD 交于点O ，则AOC ∠的邻补角是AOD ∠和BOC ∠；AOC ∠的对顶角是BOD ∠，40AOC ∠=︒，40BOD AOC ∴∠=∠=︒，180********AO D AO C ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒， 140BO C AO D ∴∠=∠=︒．故答案为：AOD ∠和BOC ∠；BOD ∠；40︒；140︒；140︒．12．如图，某海域有三个小岛A ，B ，O ，在小岛O 处观测到小岛A 在它北偏东62°的方向上，观测到小岛B 在它南偏东38°12＇的方向上，则∠AOB 的补角的度数是_____．【答案】100°12′． 【详解】解：∠OA 是表示北偏东62°方向的一条射线，OB 是表示南偏东38°12′方向的一条射线， ∠∠AOB =180°-62°-38°12′=79°48′，∠∠AOB 的补角的度数是180°-79°48′=100°12′． 故答案是：100°12′． 三、解答题13．如图，已知直线AB，CD相交于点O，射线OE把∠AOC分成两部分．（1）写出图中∠AOC的对顶角，∠COE的补角是；（2）已知∠AOC＝60°，且∠COE：∠AOE＝1：2，求∠DOE的度数．【答案】（1）∠BOD，∠DOE；（2）160°【详解】解：（1）由图形可知，∠AOC的对顶角是∠BOD，∠COE的补角是∠DOE；（2）设∠COE＝x，则∠AOE＝2x，∠∠AOC＝60°，∠x+2x＝60，解得x＝20，即∠COE＝20°，∠AOE＝40°，∠∠AOC+∠AOD＝180°，∠∠AOD＝120°，∠∠DOE＝∠AOE+∠AOD＝40°+120°＝160°．14．在同一平面内已知∠AOB＝150°，∠COD＝90°，OE平分∠BOD．（1）当∠COD的位置如图1所示时，且∠EOC＝35°，求∠AOD的度数；（2）当∠COD的位置如图2所示时，作∠AOC的角平分线OF，求∠EOF的度数；（3）当∠COD的位置如图3所示时，若∠AOC与∠BOD互补，请你过点O作射线OM，使得∠COM为∠AOC的余角，并求出∠MOE的度数．（题中的角都是小于平角的角）【答案】（1）40°；（2）150°；（3）见解析，∠MOE的度数为105°或135°．【详解】解：（1）∠∠COD＝90°，∠EOC＝35°，∠∠EOD＝55°，∠OE平分∠BOD，∠∠BOD＝2∠EOD＝110°，∠∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD＝40°；（2）∠∠AOB＝150°，∠COD＝90°，∠∠AOC+∠BOD＝360°﹣150°﹣90°＝120°，∠OF平分∠AOC，OE平分∠BOD，∠∠COF＝12∠AOC，∠DOE＝12∠BOD，∠∠COF+∠DOE＝60°，∠∠EOF＝60°+90°＝150°；（3）设∠AOC＝α，∠∠AOB＝150°，∠COD＝90°，∠∠AOD＝90°﹣α，∠BOC＝150°﹣α，∠∠AOC与∠BOD互补，∠∠AOC+∠BOD＝180°，∠∠AOD+∠BOC＝180°，∠90°﹣α+150°﹣α＝180°，∠α＝30°，即∠AOC＝30°，∠∠BOD＝150°，∠OE平分∠BOD，∠∠DOE＝∠BOE＝75°，如图3，∠∠COM为∠AOC的余角，∠∠COM＝60°，∠∠DOM＝30°，∠∠MOE＝∠MOD+∠DOE＝30°+75°＝105°，如备用图，∠∠COM为∠AOC的余角，∠∠COM＝60°，∠BOM＝60°，∠∠MOE ＝∠BOM +∠BOE ＝60°+75°＝135°；综上所述，∠MOE 的度数为105°或135°．15．已知直线AB 与CD 相交于点O ．（∠）如图1，若90AOM ∠=︒，OC 平分AOM ∠，则AOD ∠=_________．（∠）如图2，若90AOM ∠=︒，4BOC BON ∠=∠，OM 平分CON ∠，求MON ∠的大小；（∠）如图3，若AOM α∠=，4BOC BON ∠=∠，OM 平分CON ∠，求MON ∠的大小（用含α的式子表示）．【答案】（∠）135°；（∠）54°；（∠）54035α︒- 【详解】解（∠）90AOM =︒∠，OC 平分AOM ∠，11904522AOC AOM ∴∠=∠=⨯︒=︒， 180AOC AOD ∠+∠=︒，180********AOD AOC ∴∠=-∠=︒-︒︒=︒，即AOD ∠的度数为135︒；（∠）4BOC NOB ∠=∠∴设NOB x ∠=︒，4BOC x ∠=︒，43CON COB BON x x x ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，OM 平分CON ∠，1322COM MON CON x ∴∠=∠=∠=︒， 3902BOM x x ∠=︒+︒=︒， 36x ∴=︒，33365422MON x ∴∠=︒=⨯︒=︒， 即MON ∠的度数为54︒；（∠）4BOC NOB ∠=∠∴设NOB x ∠=︒，4BOC x ∠=︒，43CON COB BON x x x ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒， OM 平分CON ∠，1322COM MON CON x ∴∠=∠=∠=︒， 31802BOM x x α∠=︒+︒=︒-， 36025x α︒-∴=， 336025403255MON αα︒-︒-∴∠=⨯=．。

6．3余角、补角、对顶角（1）一、课前准备：（1）互为余角：如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为，其中一个角是另一个角的。

互为补角：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为，其中一个角是另一个角的。

（2）30°的余角是_____，补角是______；若一个角的度数是x，则它的余角的度数和补角的度数分别是__________，_________。

（3）若∠1与∠2互补，则∠1+ ∠2=________。

∠1= 180°- ∠2，则∠1与∠2的关系为___________。

（4）二、探索新知：1、议一议：（1）读图：课本p158 图6-15（2）图（1）中∠α与∠β的和时多少度？为什么？（3）图（2）中∠α与∠β的和时多少度？为什么？2、读一读：“互为余角”、“互为补角”3、画一画：画一个直角∠CDE，过它的顶点D任意画一条射线DN，思考：∠CDN、∠EDN有什么关系？语言表达：，符号表达：。

画一个平角∠AOB ，过它的顶点O 任意画一条射线OM ，思考：∠AOM 、∠BOM 有什么关系？语言表达： ，符号表达： 。

三、知识运用：1、课本p158做一做22、若一个角的余角比它的补角的31还小200，求这个角。

3、（1）如图，已知∠1+∠2= 90°，∠1 +∠3= 90°。

说说∠2和∠3有什么关系？ 为什么？（2）想一想：如果∠1+∠2= 90°，∠3 +∠4= 90°。

若∠1=∠3，那么∠2和∠4有什么关系？为什么？对于补角是否也有类似的性质？试说明你的结论。

你得到什么结论？请与同学交流。

总结：同角（或等角）的余角 ；同角（或等角）的补角 。

四、当堂反馈：1、看图回答：（1）图中互余的角是__________与___________。

(2)图中互补的角是_______与_______；______与______。

相交线与平行线重难点知识点拨一．余角、补角、对顶角1,余角：如果两个角的和是直角,那么称这两个角互为余角.2,补角：如果两个角的和是平角,那么称这两个角互为补角.3,对顶角：如果两个角有公共顶点,并且它们的两边互为反向延长线.4,互为余角的有关性质：①∠1＋∠2＝90°,则∠1、∠2互余；反过来,若∠1,∠2互余,则∠1+∠2＝90°；②同角或等角的余角相等,如果∠l十∠2＝90°,∠1+∠ 3＝90°,则∠2＝∠3.5,互为补角的有关性质：①若∠A+∠B＝180°,则∠A、∠B互补；反过来,若∠A、∠B互补,则∠A+∠B＝180°.②同角或等角的补角相等.如果∠A+∠C＝180°,∠A+∠B＝180°,则∠B＝∠C.6,对顶角的性质：对顶角相等.二．同位角、内错角、同旁内角的认识及平行线的性质7,同一平面内两条直线的位置关系是：相交或平行.8,“三线八角”的识别：三线八角指的是两条直线被第三条直线所截而成的八个角.正确认识这八个角要抓住：同位角位置相同,即“同旁”和“同位”；内错角要抓住“内部,两旁”；同旁内角要抓住“内部、同旁”.三．平行线的性质与判定9,平行线的定义：在同一平面内,不相交的两条直线是平行线.10,平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.11,两条平行线之间的距离是指在一条直线上任意找一点向另一条直线作垂线,垂线段的长度就是两条平行线之间的距离.12,如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线互相平行. 13,平行线的判定定理：（1）同位角相等,两直线平行；（2）内错角相等,两直线平行；（3）同旁内角互补,两直线平行.14,平行线的性质定理：（1）两直线平行,同位角相等；（2）两直线平行,内错角相等；（3）两直线平行,同旁内角互补.难题巧解点拨例1求证三角形的内角和为１８０度.例2如图,AB、CD两相交直线与EF、MN两平行直线相交,试问一共可以得到同旁内角多少对例3已知：∠Ｂ＋∠Ｄ＋∠Ｆ＝360o.求证：AB∥EF.AB C例4如图,∠１＋∠２＝∠BCD,求证AB∥D E.ＡＢＣＥＤ典型热点考题例１如图2—15,∠1=∠2,∠2+∠3=180°,AB∥CD吗AC∥BD 吗为什么例2 已知直线a、b、c在同一平面内,a∥b,a与c相交于p,那么b与c也一定相交．请说明理由．小试牛刀一、选择题1．图2—17中,同旁内角共有A ．4对B ．3对C ．2对D ．1对2、光线a 照射到平面镜CD 上,然后在平面镜AB 和CD 之间来回反射,光线的反射角等于入射角．若已知∠1=35°,∠3=75°,则∠2=A ．50°B ．55°C ．66°D ．65°3、如图3,把长方形纸片沿EF 折叠,使D ,C 分别落在D ',C '的位置,若65EFB =∠,则AED '∠等于A ．50B ．55C ．60D ．65第2题图 第3题图4．两条直线被第三条直线所截,如果所成8个角中有一对内错角相等,那么A ．8角均相等B ．只有这一对内错角相等C. 凡是内错角的两角都相等,凡是同位角的两角也相等 D ．凡是内错角的两角都相等,凡是同位角的两角都不相等 5、如图,在ABC 中,已知AB=AC,点D 、E 分别在AC 、AB 上,且BD=BC,AD=DE=EB,那么A ∠的度数是 BA 、30°B 、45°C 、35°D 、60°6、一辆汽车在笔直的公路上行驶,两次拐弯后,仍在原来的方向上CABDE平行前进,则这两次拐弯的角度可以是 A.第一次向右拐40°,第二次向左拐140° B.第一次向左拐40°,第二次向右拐40° C.第一次向左拐40°,第二次向左拐140° D.第一次向右拐40°,第二次向右拐40° 7、已知：如图,AB A 、++=360 B 、++=180 C 、+-=180 D 、--=908、如图,把三角形纸片沿DE 折叠,当点A 落在四边形BCED 内部时,则∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个 规律,你发现的规律是 ． A ∠A ＝∠1+∠2 B2∠A ＝∠1+∠2 C3∠A ＝2∠1+∠2 D3∠A=2∠1十∠2 二、填空题1、用等腰直角三角板画45AOB =∠,并将三角板沿OB 方向平移到如图17所示的虚线处后绕点M 逆时针方向旋转22,则三角板的斜边与射线OA 的夹角α为______ 2、如图2—30,直线CD 、EF 相交于点A,则在∠1、∠2、∠3、∠4、∠B 和∠C 这6个角中．1同位角有______； 2内错角有______； 3同旁内角有_____.OM BA22α第1题图第2题图3、如图2—31,直线a、b被直线AB所截,且AB⊥BC,1∠1和∠2是_______角；2若∠1与∠2互补,则∠1-∠3=_______.4、如图,图中有_________对同位角,_________对内错角,_________对同旁内角．三、解答题１、已知：如图2—33,∠ABC=∠ADC,BF、DE是∠ABC、∠ADC的角平分线,∠1=∠2．求证：DC∥AB．2、在3×3的正方形ABCD的方格中,1+2+3+4+5+6+7+8+9之和是多少度解：３、已知：如图,CD 解：4、如图,哪些条件能判定直线AB ∥CD5、如图,已知DE 、BF 平分∠ADC 和∠ABC ,∠ABF ＝∠AED ,∠ADC ＝∠ABC ,由此可推得图中哪些线段平行并写出理由．6、实验证明,平面镜反射光线的规律是:射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等.1如图,一束光线m 射到平面镜a 上,被a 反射到平面镜b 上,又被b 反射.若被b 反射出的光线n 与光线m 平行,且∠1=50°,则∠2= °,∠3= °.14 32ADC B2在1中,若∠1=55°,则∠3= °;若∠1=40°,则∠3= °.3由1、2,请你猜想:当两平面镜a 、b 的夹角∠3= °时,可以使任何射到平面镜a 上的光线m ,经过平面镜a 、b 的两次反射后,入射光线m 与反射光线n 平行.你能说明理由吗７、潜望镜中的两个镜子MN 和PQ 是互相平行的,如图所示,光线AB 经镜面反射后,∠1=∠2,∠3=∠4,试说明,进入的光线AB 与射出的光线CD 平行吗为什么8、如图：已知DEF ABC ∆∆与是一副三角板的拼图,在同一条线上D C E A ,,,. 1、求证BC EF // ； 2、求21∠∠与的度数P OFBEACQ2 1 321nmba。

6.3 第1课时余角和补角知识点1 余角、补角的概念1．2017·广东已知∠A＝70°，则∠A的补角为( )A．110°B．70°C．30°D．20°2．下列选项中，能与30°角互补的是( )图6－3－13．如图6－3－2，点O在直线AB上，若∠1＝40°，则∠2的度数是( )图6－3－2A．50°B．60°C．140°D．150°4. 如果一个角是36°，那么( )A．它的余角是64°B．它的补角是64°C．它的余角是144°D．它的补角是144°5．现有下列说法：①锐角的余角是锐角；②钝角没有余角；③直角的补角是直角；④两个锐角互余．其中正确说法的个数是( )A．4 B．3 C．2 D．16．52°34′的余角是__________，补角是__________．7．若一个锐角的余角与这个角相等，则这个角等于________°.8．已知∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，如果∠1＝63°，那么∠3＝________°.9．一个角的补角比它的余角的4倍少15°，求这个角的度数．知识点2 余角、补角的性质10．若∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°，则________＝________，理由是__________________________________；若∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠4＝180°，∠1＝∠3，则________＝________，理由是_________________________________________________．11．若∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，∠1＝50°，则∠3等于( )A．50°B．130°C．40°D．140°12.如图6－3－3所示，一副三角板(直角顶点重合)摆放在桌面上，若∠AOC ＝65°，则∠BOD等于( )图6－3－3A．45°B．55°C．60°D．65°13．下列说法错误的是( )A ．若两角互余，则这两角均为锐角B ．若两角相等，则它们的补角也相等C ．互为余角的两个角的补角相等D ．两个钝角不能互补14．如图6－3－4，已知∠BOC ＝90°，∠DOA ＝90°，∠1＝50°，求∠2的度数．图6－3－415．如图6－3－5所示，点A ，O ，E 在一条直线上，从点O 引射线OB ，OC ，OD ，∠AOC ＝∠COE ＝∠BOD ＝90°，那么图中互补的角有哪几对？图6－3－516．如果一个角等于它的余角的2倍，那么这个角是它的补角的( )A ．2倍 B.12 C ．5倍 D.1517．已知：如图6－3－6，∠AOB ＝∠COD ＝90°，则∠1与∠2的关系是( )。

余角、补角、对顶角一、考点讲解：1．余角：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角．2．补角：如果两个角的和是平角，那．么称这两个角互为补角．3．对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．4．互为余角的有关性质：①∠1＋∠2=90°，则∠1、∠2互余．反过来，若∠1，∠2互余．则∠1+∠2=90○．②同角或等角的余角相等，如果∠l十∠2=90○，∠1+∠3= 90○，则∠2= ∠3．5．互为补角的有关性质：①若∠A +∠B=180○则∠A、∠B互补，反过来，若∠A、∠B互补，则∠A+∠B＝180○．②同角或等角的补角相等．如果∠A ＋∠C=18 0○，∠A+∠B=18 0°，则∠B=∠C．6．对顶角的性质：对顶角相等．二、经典考题剖析：【考题1－1】已知：∠A= 30○，则∠A的补角是________度．解：150○点拨：此题考查了互为补角的性质．【考题1－2】如图l－2－1，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF 平分∠AOE，∠1＝15○30’，则下列结论中不正确的是（）A．∠2 =45○B．∠1=∠3C．∠AOD与∠1互为补角D．∠1的余角等于75○30′解：D 点拨：此题考查了互为余角，互为补角和对顶角之间的综合运用知识．三、针对性训练：1．_______的余角相等，_______的补角相等．2．∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，∠1=63○，∠3=__3．下列说法中正确的是（ ）A ．两个互补的角中必有一个是钝角B ．一个角的补角一定比这个角大C ．互补的两个角中至少有一个角大于或等于直角D ．相等的角一定互余4．轮船航行到C 处测得小岛A 的方向为北偏东32○，那么从A 处观测到C 处的方向为（ ）A ．南偏西32○B ．东偏南32○C ．南偏西58○D ．东偏南58○5．若∠l=2∠2，且∠1+∠2=90○则∠1=___，∠2=___．6．一个角的余角比它的补角的九分之二多1°，求这个角的度数．7．∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，∠3=153○，∠l=_8．如图 l －2－2，AB ⊥CD ，AC ⊥BC ，图中与∠CAB 互余的角有（ ）A ．0个B ．l 个C ．2个D ．3个9．如果一个角的补角是150○ ，那么这个角的余角是____________10．已知∠A 和∠B 互余，∠A 与∠C 互补，∠B 与∠C 的和等于周角的13 ，求∠A+∠B+∠C 的度数．11．如图如图1―2―3，已知∠AOC 与∠B 都是直角，∠BOC=59○．（1）求∠AOD 的度数；（2）求∠AOB 和∠DOC 的度数；（3）∠A OB 与∠DOC 有何大小关系；（4）若不知道∠BOC 的具体度数，其他条件不变，这种关系仍然成立吗？。