概率论数理统计复习测验题讲解

习题及典型题解选择题○★1.事件,,A B C 中恰好有一个事件发生的事件是( ). (A);ABCABC ABC (B);ABC(C);ABC ABC ABC(D).A B C 答案A★.事件E ={事件,,A B C 至少有一个发生},则E 的表示不正确的是( ). (A);AB C(B);ABC Ω- (C)));(()(B A C A B A -+-+ (D).ABAC BC Ω-答案D(和A B +即并A B ,常用于,A B 互斥AB φ=时的A B )○★2.事件,,A B C 中恰好有两个事件发生的事件是( ).(A);ABCABCABCABC(B);ABAC BC(C);ABC ABC ABC(D).A B C 答案C○★4.事件E ={事件,,A B C 至少有两个发生},则E 的表示不正确的是( ). (A);BC A C B A C AB ABC +++(B);ABAC BC (C);BC A C B A C AB ++ (D).AB BCAC Ω-答案C○.投掷两颗均匀色子,则出现点数之和等于8的概率为( ). (A);111 (B);125 (C);61(D).365 9.从数字1～9中任取3个排成一个三位数, 所得三位数为偶数的概率是( ).(A)49; (B)59; (C)13; (D)19.○.一批产品共50件,其中有5件次品,任取2件,无次品的概率为( ). (A);101 (B);109 (C);24599 (D).245198答案D○★.某办公室10名员工编号从1到10,任选3人其最大编号为5的概率为( ). (A)1;12(B)1;20(C)1;5(D)1.4答案B○★.设,A B 为两事件,1(),3P A =23(|),(|),35P A B P B A ==则()P B =( ).(A)1;5(B)2;5(C)3;5(D)4.5答案A○.设()0.5,(|)0.8,P A P B A ==则()P AB =( ). (A)0.5; (B)0.6;(C)0.8;(D)0.4.答案D ○.设,3.0)(,4.0)(==B A P A P 则=)|(A B P ( ).(A)0.5; (B)0.6;(C)0.7;(D)0.8.答案A 6.已知()0.7,()0.3,()0.2,P AB P B P AB ===则()P A =( ).(A)0.2; (B)0.6; (C)0.4; (D)0.5 .○.已知()0.4,()0.3,()0.5,P A P B P A B ===则()P AB =( ). (A)0.1; (B)0.3; (C) 0.9; (D)0.2.10.已知,4.0)(,8.0)(,5.0)(===AB P B P A P 则=)|(B A P ( ). (A)0.4; (B)0.5; (C)0.8; (D) 0.6.12.设,8.0)|(,6.0)(,5.0)(===A B P B P A P 则=)(B A P ( ). (A)0.5; (B)0.6; (C)0.7; (D)0.8.答案C14.已知事件,A B 独立,()0.5,()0.1,P B P AB ==则()P A =( ). (A)0.5; (B)0.4; (C)0.2; (D)0.1. ○★15.设11(),(),32P A P B ==且,A B 独立,则=)(B A P ( ).(A)1/3; (B)1/2; (C)2/3;(D)5/6.答案C17.已知()0.6,()0.4,P A P AB ==则()P A B -=( ). (A)0.4; (B)0.2; (C)0.24; (D)0.6.○★18.设事件,A B 独立,()0.8,()0.5,P A P B ==则()P AB =( ). (A)0.2; (B)0.3; (C)0.4;(D)0.6.答案C★.设C B A ,,两两独立,()0.2,()0.4,()0.6,()0.96,P A P B P C P AB C ====则()P A B C =( ). (A)0.24, (B)1,(C)0.8,(D)0.52.答案C19.设X则a 为( ).(A)0.2; (B)0.3; (C)0.4; (D)0.1.○★21.设变量X 的密度21,01,()0,cx x f x ⎧+≤≤=⎨⎩其他,则c =( ).(A)0; (B)3; (C)2;(D)1/3.答案A○★22.已知变量X 的分布20,0,(),01,1,1.x F x x x x ≤⎧⎪=<≤⎨>⎪⎩ 则112P X ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭=( ).(A)1; (B)0; (C)1/4; (D)3/4. ○23.)(x Φ是标准正态分布函数,则=≤≤-)(a X a P ( ). (A);2/1)(-Φa (B);1)(2-Φa (C));(a Φ (D)).(1a Φ-答案B○★.设随机变量)4,1(~N X ,则下列变量( ))1,0(~N . (B)1;2X - (C);2X (D).4X 答案B○★.设变量X 密度,},4)3(ex p{21)(2R x x x f ∈+-=π则下列变量( )).1,0(~N(A);23+X (B);23+X(C);23-X答案B○★.设X 服从正态分布2(,)N μσ,则随着σ的增大,概率(2)P X μσ-<( ).(A)单调增加; (B)单调减小; (C)保持不变; (D)增减不定. 答案C★.A 地到B 地有两条线路,第一条线路较短但交通拥挤,所需时间(分钟)~(50,100)X N ;第二条线路较长但意外阻塞较少,所需时间~(60,16)Y N .(1)若有70分钟可用,应走哪条线路;(2)若只有65分钟可用,应走哪条线路( ). (A)均应走第一条路; (B)均应走第二条路; (C)70分钟走第一条路,65分钟走第二条路; (D)70分钟走第二条路,65分钟走第一条路. (1)走第一条路线能及时赶到的概率7050(70)(2)0.9772,10P X -⎛⎫≤=Φ=Φ= ⎪⎝⎭走第二条路线能及时赶到的概率7060(70)(2.5)0.9938,4P Y -⎛⎫≤=Φ=Φ=⎪⎝⎭在这种场合应走第二条路.(2)走第一条路线能及时赶到的概率6550(65)(1.5)0.9332,10P X -⎛⎫≤=Φ=Φ= ⎪⎝⎭而走第二条路线能及时赶到的概率6560(65)(1.25)0.8944,4P Y -⎛⎫≤=Φ=Φ= ⎪⎝⎭此时以走第一条路更为保险.答案D○▲.设变量X 的密度为()f x ,且()()f x f x =-,分布为()F x ,则对任意实数a ,有( ).(A)0()1()d a F a f x x -=-⎰; (B)01()()d 2a F a f x x -=-⎰; (C)()()F a F a -=; (D)()2()1F a F a -=-.答案B○★.设随机变量X 服从指数分布,则随机变量min{,2}Y X =的分布函数( ). (A)连续函数; (B)有一个间断点; (C)阶梯函数; (D)有两个间断点. 答案B★.设二维变量(,)X Y 分量,X Y 同分布,1(1)4P X =-=,1(0)2P X ==,1(1)4P X ==,且(0)1P XY ==,则22()P X Y ==( ).(A)0; (B)1/4;(C)1/2;(D)1.答案A○★.关于二维分布下列叙述中错误的是( ). (A)联合分布决定边缘分布;(B)边缘分布不能决定联合分布; (C)联合分布不同,边缘分布可能相同; (D)边缘分布之积即为联合分布.答案D○★.设二维变量211,02,,03(,)~()0,x y x xy X Y f x ⎧≤≤≤≤+⎪=⎨⎪⎩其它,则(1)P X Y +≥=( ).(A)65;72 (B)7;72 (C)11;12 (D)1.12答案A可先计算{1}P X Y +<○★.已知二维变量sin(),0,,(,)~(,)40,.C x y x y X Y f x y π⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩其他则C 的值为( ).答案D(A)1/2;2;1;1.○★.设二维变量22[(5)8(5)(3)25(3)](,)~(,)x x y y X Y f x y Ae -+++-+-=,则A 的值为( ).(A)3π(B)π3 (C)π2答案B○★.设变量),(~p n B X ,期望4.2)(=X E ,方差44.1)(=X D ,则参数p n ,的值为( ). (A);6.0,4==p n (B)6,0.4;n p == (C)8,0.3;n p == (D)12,0.2.n p == 答案B○★.已知离散变量X 的取值为11x =-,20x =,31x =,且()0.1E X =,()0.89D X =,则对应于123,,x x x 的取值概率123,,p p p 依次为( ). (A)0.4,0.1,0.5; (B)0.1,0.4,0.5;(C)0.5,0.1,0.4; (D)0.4,0.5,0.1.答案A○★.设二维变量(,)X Y 的边缘,X Y 不相关,则下列推论不正确的是( ). (A),0;X Y ρ= (B),X Y 独立; (C)ov(,)0;C X Y = (D)()D X Y DX DY +=+答案B○★25.设12,,,n X X X ⋅⋅⋅为总体2(2,4)N 的简单样本,X 是样本均值,正确的是( ). (A));1,0(~/42N nX -~(0,1);X N~(0,1);X N(D)).1,0(~42N X - 答案A☆.设随机变量,X Y 方差不为零,则()()()D X Y D X D Y +=+是X 和Y ( ). (A)不相关的充分条件,但非必要条件; (B)独立的必要条件,但非充分条件; (C)不相关的充分必要条件; (D)独立的充分必要条件. 答案C☆.设()1,()4,cov(,)1D X D Y X Y ===,则2U X Y =-,2V X Y =-的相关系数为( ). (A)0;(C)1;2答案D○★.设,X Y 独立同分布(0,1) N ,则关于22Z X Y =+的分布叙述错误的是( ). (A)参数为1的指数分布; (B)参数为1/2的指数分布; (C)参数为2的卡方分布; (D)参数为1的瑞利分布的平方. 答案A▲.设变量,X Y 独立同分布(0,1)N ,91,,Y Y 是Y 的样本,则~T =( ).(A)(9);t (B)(8);t(C)2(9);χ(D)2(8).χ答案A○★.设独立随机变量),(~2σμN X ,)(~2n Y χ,则统计量~)(YX n σμ-( ).(A)(1);t n - (B)();t n (C)(0,1);N(D)(1,).F n答案B○★.设i X 独立同分布2(,)N μσ,记2211()1n i i S X X n ==--∑,22111()ni i S X X n ==-∑, 22211()1n i i S X n μ==--∑,22311()ni i S X n μ==-∑.则服从分布(1)t n -的是( ).123答案B○★.设12,,...,n X X X 是总体2(,)N μσ的独立样本,其中μ未知,计算总体方差2σ的置信度为1α-的置信区间时,使用的统计量是( ).(A)2();n χ (B)2(1);n χ-(C)();t n (D)(1).t n -答案B○★.设12,,...,n X X X 是总体2(,)N μσ的独立样本,已知μ,计算总体方差2σ的置信度为1α-的置信区间时,使用的统计量是( ). (A)2();n χ (B)2(1);n χ-(C)();t n (D)(1).t n -答案A○★.设12,,...,n X X X 是正态总体2(0,)N σ的样本,则服从(1)t n -的统计量是( ).(B);nX S(D)2.nX S 答案A○★.设12,,...,n X X X 是正态总体2(,)N μσ的样本,则2σ的无偏估计是( ).(A)μ已知时,统计量211()1ni i X n μ=-+∑; (B)μ已知时,统计量211()1ni i X n μ=--∑; (C)μ未知时,统计量211()ni i X X n =-∑; (D)μ未知时,统计量211()1ni i X X n =--∑. 答案D○★.设总体),(~2σμN X ,均值μ的置信度为95%的置信区间含义是( ). (A)平均含总体95%的值;(B)平均含样本95%的值;(C)以95%的概率包含μ的值; (D)μ的分布在置信区间的概率为95%.答案C○★.已知正态总体方差2σ,则均值μ的置信区间长度L 与置信度1α-的关系是( ).(A)当1α-变小时,L 缩短; (B)当1α-变小时,L 变长;(C)当1α-变小时,L 不变;(D)以上说法都不对. 答案A 填空题○★.甲,乙,丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹,设事件,,A B C 分别表示甲,乙,丙击中目标.则三门炮至少有两门炮击中目标如何表示 . 答案AB AC BC ABC ABC ABC ABC +++或或ABBCAC Ω-或)ABC ABC ABC ABC Ω+++-(E ={事件,,A B C 至少有两个发生}的多种表示:;ABAC BC ;ABC ABC ABC ABC +++()()()A BC B AC C AB ---;()()()AB AC B C ;ABBCAC Ω-;()()()AB ABC AC ABC BC ABC ABC -+-+-+;)ABC ABC ABC ABC Ω+++-(;()()A BC BC ABC -+-及交换次序;()()AB AC AB BC AB +-+-及交换次序; )ABC ABC ABC ABC ++-(;()()()()AB C A B C B A C C A B --+-+-.★.某地共有10000辆的面包车牌号从00001到10000,偶然遇到的一辆面包车的牌号含有数字8的概率为 .将面包车牌号修改为从0000到9999不影响样本总数和有利数,牌号不含有数字8的概率为490.656110⎛⎫= ⎪⎝⎭,因此牌号含有数字8的概率即答案为4910.343910⎛⎫-= ⎪⎝⎭. ○★.从装有4只红球和3只黑球的袋中任取3只,恰有2只红球的概率为 .答案3518371324=C C C ○★.设M 件产品中含m 件次品,从中任取两件至少有一件次品的概率为 .答案221M mM C C --或1122(21)(1)m M m m MC C C m M m M M C -+--=- ▲.产品中有10件次品, 90件正品,抽取5件至少有一件次品的概率为 .答案41625.058375.0115100590=-=-C C○★.从4双不同尺码鞋子中任取2只不成双的概率为 .答案762826)(22821224=⨯=C C C ★.从一副52张的扑克牌中任取3张,其中至少有两张花色相同的概率为 .答案1312141341339352133120.602422100C C C C C C +=≈或392610.60245150-≈ ○.袋中有a 只红球,b 只黑球,有放回摸球,则{P 第k 次摸球首次摸到红球}= .答案11()k k kb a ab a b a b a b --⎛⎫= ⎪+++⎝⎭★.在贝努利试验中每次试验成功的概率为,p 试验进行到成功与失败均出现时为止,则试验次数的分布律为 .答案11()(1)(1),2,3.k k k p P X k p p p p k --===-+-=⋅⋅⋅★.在贝努利概型中,()P A p =,求在出现3次A 以前出现3次A 的概率为 .{P 出现3次A 以前出现3次}A 53{k P ==∑出现3次A 以前出现3次,A 且共试验k 次}(最多需试验5次,因为5次试验中或者至少出现3次A ,或者至少出现3次A )53{k P ==∑前1k -次贝努利试验出现2次A ,且第k 次试验出现A }21222234p p C p q p C p q p =⋅+⋅+⋅31323234.p C p q C p q =++或{P =贝努利试验5次试验中至少出现3次A }33244555.C p q C p q p =++(证明两结果相等)○.设,2.0)(,5.0)(=-=B A P A P 则=)(AB P .答案7.0 39.设事件B A ,独立, P (A )=0.4, P (B ) =0.6, 则P (A ∪B )= .答案0.76○★.已知1()()()4P A P B P C ===,()0P AB =,1()()6P AC P BC ==,则C B A ,,全不发生的概率为 .答案712▲.设三个事件,,A B C 独立,且()0P ABC =,1()()()2P A P B P C ==<,9()16P ABC =,则()P A = .答案1()4P A =.40.甲,乙独立地射击,中靶率依次为0.8,0.7,则都中靶的概率为 .▲.某单位装有两种系统A 与B ,系统A 单独使用时有效概率为7.0;在系统A 有效的条件下,系统B 有效概率为84.0.则两种系统都有效的概率为 .答案0.588○★43.产品经两道独立工序,每道工序次品率为2.0,则产品是次品的概率为 . 答案291(10.2)25--=○★.产品经三道独立工序,每道工序次品率为2.0,则产品是次品的概率为 . 答案3611(10.2)125--=○46.设连续型变量X 的分布22,0,()0, 0.x A Be x F x x -⎧⎪+>=⎨≤⎪⎩则=A ,=B .由分布性质得22200020lim ()lim (),1()lim (),x x x x x F x A Be A B F A Be A -→→+-→-∞⎧==+=+⎪⎪⎨⎪=+∞=+=⎪⎩答案1=A ,1-=B ○51.已知变量X 密度)(x f =11,20,x ⎧-+⎪⎨⎪⎩其它.02,x ≤≤则X 的分布函数)(x F = .答案⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤+-<=.2,1,20,41,0,0)(2x x x x x x F○.设离散型随机变量X则X 的分布函数为 .答案0,0,0.3,01,()0.5,12,1, 2.x x F x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩★.已知变量X 的分布函数为20,1e ,()0.0,x x F x x ->⎧-=⎨≤⎩则{}13P X -≤<= .○.设X 的分布列为则2Y X =的分布列为 .○★.设随机变量X 的分布列为则2Y X X =+的分布列为 . 答案▲.已知变量X 的分布30,0,(),01,1,1.x F x x x x ≤⎧⎪=<≤⎨>⎪⎩则1142P X ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭= .★.公共汽车站台上，某路公共汽车每5分钟有一辆到达,假设乘客到达时间均匀分布,则10位乘客中只有1位等待时间超过4分钟的概率是 ;10位乘客中没有1位等待时间超过4分钟的概率是 .答案0.268；0.1072☆.一批产品的寿命X (小时)具有概率密度2(),800.af x x x=≥若随机独立抽取6件产品,则至少有两件寿命大于1000小时的概率为 . 答案624/625=0.9984.(a =800)○★.一设备开机后无故障工作时间服从参数为1/5的指数分布，设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障时工作2小时便关机，则设备由于故障关机的概率是 ；每次开机无故障工作的时间的分布函数 .答案2/51;e --/51,02,()1, 2.x e x F x x -⎧-≤<=⎨≥⎩ ○.设随机变量~(3,9)X N ,则变量3~3X Y -=. ○▲.设随机变量X ~)2,1(2N ,则概率=≤≤)5.32(X P .)975.0)96.1(,894.0)25.1(,841.0)1(,691.0)5.0((=Φ=Φ=Φ=Φ答案203.0203.0691.0894.0)5.0()25.1(215.321212)5.32(=-=Φ-Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-≤-=≤≤X P X P○★.设X 为正态分布,计算:(1)若X ~2(1,2),N 概率{ 3.5},P X ≤{02};P X <≤(2)若2~(,),X N μσ概率(22).P X μσμσ-<<+(1) 3.51{ 3.5}(1.25)0.894.2P X -⎛⎫≤=Φ=Φ= ⎪⎝⎭2101{02}22P X --⎛⎫⎛⎫<≤=Φ-Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2(0.5)120.69110.382.=Φ-=⨯-=(2)(22)2(2)120.97710.954.P X μσμσ-<<+=Φ-=⨯-=○★.设随机变量12,X X 独立同服从分布(0,1)N ,则12(||P X X -≤= .答案2(1)10.6826Φ-=○★.设随机变量X 密度2(),,x f x e x R π-=∈则其方差为 .答案12π○★28.用二维随机变量),(Y X 的联合分布函数),(y x F 表示下列概率：（1）(0)_____;P Y a <≤=（2）(,)______;P a X b Y c <≤≤=（3）(,)_____.P X a Y b >≤= 答案（1）F(+∞,a)-F(+∞,0),（2）F(b,c)-F(a,c),（3）F(+∞,b)-F(a,b)○★.设独立指数分布12(),()X E Y E λλ,则()P X x Y y ≥≥=或 ( ).答案DA.1212()1xy x y ee e λλλλ---+--+ B.12()x y e λλ-+ C.12()1x y e λλ-+- D.1212()x y x y e e λλλλ---++-○★.设独立指数分布12(),()X E Y E λλ,则1112(,)P X Y λλ--≥≥= .答案2e -121212()(,)()()(1)(1)1x y x y x y P X x Y y P X x P Y y e e e e e λλλλλλ-----+≤≤=≤≤=--=--+ 1212()(,)()()x y x y P X x Y y P X x P Y y e e e λλλλ---+≥≥=≥≥== ()()()(,)P X x Y y P X x P Y y P X x Y y ≤≤=≤+≤-≤≤或12121212()()1111x x x x x y x y e e e e e e λλλλλλλλ-----+-+=-+-+-=-（）（）-+1212()()()()(,)x y x y P X x Y y P X x P Y y P X x Y y e e λλλλ---+≥≥=≥+≥-≥≥=+-或○.设变量,X Y 独立同0-1分布,1(1)2P X ==,则变量max{,}Z X Y =的分布列是 .答案13(0),(1).44P Z P Z ====○.设变量,X Y 独立同0-1分布,1(1)2P X ==,则变量min{,}Z X Y =的分布列是 .答案31(0),(1).44P Z P Z ====○★.在编号为1至5的球中任选3只,最大号码X 的分布列为 .22343335551133{3},{4},{5}.10105C C P X P X P X C C C =========通式.5,4,3,20)2)(1()(3521=--===-k k k C C k X P k 或.5,4,3,20)2)(1()1()()(352135313=--==-=-≤-≤==--k k k C C C C C k X P k X P k X P k k k ★.在编号为1至5的球中任选3只,最大号码X 的分布函数为 .答案0,3,0.1,34,()0.4,45,1,5.x x F x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩★.在编号为1至5的球中任选3只,最小号码X 的分布列为 .2535(5)(4)(),1,2,3.20k C k k P X k k C ---====.3,2,1,20)4)(5()1()()(32533536=--==-=-≥-≥==---k k k C C C C C k X P k X P k X P k kk 或 ○.设二维变量),(Y X 边缘独立= ,β= .答案11,,36αβ==或11,.63αβ== ★.设二维变量),(Y X 边缘独立,联合分布阵列如下,则α= ,β= .两行成比例,1:218:9131:61:===βα答案3=α,9=β. ★.设二维变量(,)X Y 的边际,X Y 均为10-分布,1(0,0)3P X Y ===,1(1,1)6P X Y ===,且事件{0}X =与{1}Y =相互独立,则(0,1)P X Y ==,(1,0)P X Y ==的值分别为 .答案16,13或13,16★.用联合分布(,)F x y 表示概率(,)P X a Y b >≤= . 答案()(,)=(,)(,)X F b F a b F b F a b -+∞-★.设指数分布~(),~()X E Y E λμ独立,则(,)P X x Y y >>= .答案()x y eλμ-+@.设二维变量1,||1,||1,(,)40,.xy x y f x y +⎧⎪<<=⎨⎪⎩其它则,X Y 是否相互独立 ;22,Y X 是否相互独立 .答案否;是.○★.设变量X 密度,01,()0,cx x f x α⎧≤≤=⎨⎩其它,且,75.0=EX 则=DX .答案3,80DX =(3,2)c α== 13.设离散型变量X 的分布列如下,则变量21Y X =+的期望EY = .答案8.8EY =○.设随机变量,X Y 的数学期望分别为5和0,则随机变量32X Y -的期望为 .58.设随机变量,X Y 相互独立,并且方差分别为4和9,则方差(2)D X Y += . ○.设独立变量,X Y 的方差分别为1和3,则方差(32)D X Y -= . 60.设随机变量X 服从二项分布(10,0.5),B 则()E X . 61.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,则()E X = .59.设12,,,n X X X ⋅⋅⋅为),(2σμN 的简单样本,则∑==ni i X n X 11的期望为 .○63.设12,,,n X X X ⋅⋅⋅为(0,1)N 的简单样本,则样本均值∑==ni i X n X 11～.答案(0,1/)N n○64.设1210,,,X X X ⋅⋅⋅为总体(0,1)N 的简单样本,则22110X X ++～ .答案2(10)χ○★.设n X X X ,...,,21独立同分布),(2σμN ,,)(11,11221∑∑==--==n i i n i i X X n S X n X 则 1)X ~ ;2)22)1(σS n -~ ;3)X 与2S 是否独立 . 答案X ~),(2nN σμ;22)1(σS n -~)1(2-n χ;是.65.设123,,X X X 为总体(,4)N μ的简单样本,则μ的矩估计为 .○★.设n X X X ,,,21 为总体2(,)N μσ的简单样本,则2σ的无偏估计是 .答案2211()1ni i S X X n ==--∑ ○★.设n X X X ,,,21 为有限方差总体X 的简单样本,则DX 的无偏估计是 .答案2211()1ni i S X X n ==--∑ ★.称12,,...,n X X X 为总体X 的简单随机样本,若满足(1) ;(2) .(1)12,,...,n X X X 和总体X 具有相同的分布;(2)12,,...,n X X X 相互独立.★.设1234,,,ξξξξ为总体(0,1)N 的一个样本,221234()(23),a b ξξξξξ=++-则当a = ,b = .时统计量ξ服从2(2)χ分布.答案11,213@.设1,,n X X ⋅⋅⋅和1,,m Y Y ⋅⋅⋅是依次是总体X ~)1,(μN 和Y ~)4,(μN 的样本,μ的一个无偏估计11n mi j i j T a X b Y ===+∑∑,则应满足条件 ;当a = ,b = 时,T 最有效.答案411,,44an bm a b n m n m +===++ ○★.设总体2(,)N μσ的独立样本是12,,...,n X X X ,在计算μ的置信区间时,若2σ已知,采用的统计量及服从的分布是 .答案)1,0(~/N n X U σμ-=★66.12,,...,n X X X 独立同分布2(,)N μσ,若2σ未知,计算μ的置信区间时,采用的统计量,服从的分布及参数是 ．答案)1(~/--=n t nS X T μ或X T =服从t -分布,维度（自由度）参数为 1.n -67.设总体),(~20σμN X ,20σ已知,n X X X ,,,21 为来自X 的一个样本,((1.96)Φ=0.975).则μ的置信度为95%的置信区间为 ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-n u X n u X 02/02/,σσαα⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=n u X n u X 0025.00025.0,σσ.X X ⎡=-+⎢⎣○★68.设n X X X ,,,21 为来自总体~(,4)X N μ的一个简单样本,X 是样本均值(/2()u αΦ=1α-).则μ 的置信度为1α-的置信区间为 ．答案⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-n u X nu X σσαα2/2/,⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=n u X n u X 2,22/2/αα○★.设12,,...,n X X X 是正态总体2(,)N μσ的简单样本,若μ未知,则2σ的置信度为α-1的置信区间是 ．答案⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----)1()1(,)1()1(22/1222/2n S n n S n ααχχ○★69.从正态总体2(,)N μσ中抽取容量为10的简单随机样本,样本均值45.75,X =样本标准差0.0253.522,(9) 2.262.S t ==则μ 的置信度为0.95的置信区间为 ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-+⋅--n S n t X n S n t X )1(,)1(2/2/αα⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+⋅-=n S t X n S t X )9(,)9(025.0025.0⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+⋅-=10522.3262.275.45,10522.3262.275.45[]52.275.45,52.275.45+-=[].27.48,52.223.43-=☆.设110,,X X 是总体2(,)N μσ的简单随机样本,2X S 与为样本均值和样本方差,若22{}0.95P S b σ≤=,则b =_ _;μ的置信度为95％的单侧置信下限为 .答案1.88;0.050.5787X t X S -=- 计算题○★71.从数字9,...,1,0中任选三个不同的数字,计算下列事件概率:1A ={不含3和7};2A ={含3或7};3A ={含3但不含7}.;157!3/8910!3/678)(310381=⨯⨯⨯⨯==C C A P ;1581571)(1)(12=-=-=A P A P.307!3/8910!2/78)(31028113=⨯⨯⨯==C C C A P 又法.记B ={含3};C ={含7}.;103)()(==C P B P ;151!3/89108)(31018=⨯⨯==C C BC P)(1)(1)(21C B P A P A P -=-=;1571511031031)()()(1=+--=+--=BC P C P B P;1581571)(1)(12=-=-=A P A P或 ;158151103103)()()()()(2=-+=-+==BC P C P B P C B P A P1287()1()1.1515P A P A =-=-=▲.在某城市共发行甲、乙、丙三种报纸,居民订甲报(记为A)的有45%,订乙报(记为B)的有35%,订丙报(记为C)的有30%,同时订甲、乙两报(记为D)的有10%,同时订甲、丙两报(记为E)的有8%,同时订乙、丙两报(记为F)的有5%,同时订三种报纸(记为G)的有3%.试表示下列事件,并求其百分比:(1)只订甲报的;(2)只订甲、乙两报的;(3)只订一种报纸的;(4)正好订两种报纸的;(5)至少订一种报纸的;(6)不订任何报纸的.72.从1～9九个数字中,任取3个排成一个三位数,求:(1)所得三位数为偶数的概率;(2)所得三位数为奇数的概率.73.设某批产品共30件,其中有4件次品,现从中任取3件,求:(1)其中无次品的概率;(2)其中恰有2件次品的概率.★.从8双不同尺码鞋子随机取6只,计算以下事件的概率.A ={6只鞋子均不成双},B ={恰有2只鞋子成双},C ={恰有4只鞋子成双}.61682616()32()0.224143C C P A C ==≈,1414872616()80()0.559143C C C P B C ==≈,2212862616()30()0.210143C C C P C C ==≈. ★.设某批产品共30件,其中有4件次品,现从中任取3件,求:(1)其中无次品的概率;(2)其中恰有2件次品的概率.答案(1)3263301300.6404.203C C == (2)12264330390.0384.1015C C C ==★.将n 只相同的球,随机放入k 只不同的合子,共有多少种不同放法.k 只不同合子有1k -只壁,将n 只相同的球分成k 组,每组球数可为0.1k -个壁和n 个球排成一排有111k n n k n k C C -+-+-=种排法,每一种排法对应一种不同的放球入合的方法.▲.某班n 个男生m 个女生(1m n ≤+)随机排成一列,计算任意两女生均不相邻的概率.总数()!.m n +先排男生,共有!n 种排法,女生应排在男生之间的空位上或两头,共有1n +个位置,选出m 个排女生,从而有11!m m n n P C m ++=种排法,由乘法法则,基本事件容数为1!!mn n C m +,11!!.()!m mn n m m nn C m C P m n C +++==+○★.更列重合(匹配)问题．编号1至n 的球随机放入编号1至n 的合子,每合放1个球．若球和合子编号相同,则称为1个重合,求至少有1个重合的概率．记i A ={第i 号球放入第i 号合子},1,2,,.i n =11111()()()(1)()nnnn i i i j i i i j ni i P A P A P A A P A -=≤<≤===-++-∑∑21111(1)(1)!n n nnn C C n n n n -=⨯-++--11111(1)110.3680.732.2!!n e n --=-++--=-= ▲.某单位同时装有两种报警系统A 与B ,当报警系统A 单独使用时,其有效的概率为7.0;当报警系统B 单独使用时,其有效的概率为8.0.在报警系统A 有效的条件下,报警系统B 有效的概率为84.0.计算:(1)两种报警系统都有效的概率; (2)在报警系统B 有效的条件下,报警系统A 有效的概率;(3)两种报警系统都失灵的概率.(1)()()(|)0.700.840.588P AB P A P B A ==⨯=; (2)()()(|)0.700.840.588(|)0.735()()0.800.80P AB P A P B A P A B P B P B ⨯=====;(3)()()()()0.700.800.5880.912P AB P A P B P AB =+-=+-=;.088.0)(1)(=-=B A P B A P○★.设(|)(|)1P A B P A B +=，试证A 与B 独立．证明 (|)(|)1P A B P A B +=，因此(|)1(|)(|)P A B P A B P A B =-=，即()()()()P AB P AB P B P B =，于是()(1())()()P AB P B P AB P B -=，因此()(()())()()()P AB P AB P AB P B P A P B =+=，从而A 与B 独立．○★94.第1,第2台车床加工的零件放在一起,产量比例为2:1,次品率依次为0.03,0.02.计算:(1)任取一零件是次品的概率;(2)若取出的零件是次品,它是第2台车床加工的概率. 记事件B ={取得次品},样本空间的划分i A ={零件由第i 台车床加工},1,2.i = (1) 全概率公式得1122()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+2120.030.020.0267.121275=⨯+⨯==++ (2)由贝叶斯公式,次品是第2台车床加工的概率为2222()()(|)(|)()()P A B P A P B A P A B P A P B ==10.021112.213140.030.021212⨯+===+⨯+⨯++又法.静态样本统计模型,古典概型.设总产量150n =件;第1,第2车床产量||()i i A nf A =依次为12||100,||50A A ==件;次品数||||(|)i i i A B A f B A =依次为12||3,||1A B A B ==件. (1)条件(局限)空间B 总数,总次品数12||||||314B A B A B =+=+=件,总次品率为||42()0.0267.15075B P B n ====(2)由贝叶斯公式,次品是第2台车床加工的概率为22||1(|).||4A B P A B B == 95.某工厂有甲、乙两个车间生产同一种产品,两车间产品的次品率分别为0.03和0.02,生产出来的产品放在一起,且甲车间产量比乙车间产量多一倍,计算该厂产品合格率.★.袋中有相同形状的3只白球,4只红球和若干只黑球,依次摸出所有球,计算红球比白球早出现的概率.答案P {红球比白球早出现}4/7.=96.已知袋中有10只白球3只黑球,无放回取二只球,求第二次取出的是黑球的概率.○★.学生在做一道有4个选项的单项选择题时,如果不知道问题的正确答案时,就作随机猜测,现从卷面上看题是答对了,试在以下情况下求确实知道正确答案的概率：(1)知道正确答案概率是0.5；(2)知道正确答案的概率是0.2．令B ={知道正确答案},A ={题目答对},则(1)()(|)0.51(|)0.8()(|)()(|)0.510.50.25P B P A B P B A P B P A B P B P A B ⨯===+⨯+⨯；(2)()(|)0.21(|)0.5()(|)()(|)0.210.80.25P B P A B P B A P B P A B P B P A B ⨯===+⨯+⨯． ○★.将信息编码为A ,B 传送,由于信号干扰,接收站收到信息时,A 被误收作B 的概率为2.0,B 被误收作A 的概率为1.0,发出编码A ,B 的概率依次为4.0,6.0,计算:(1)接收站收到信息A 的概率;(2)在收到信息A 的条件下发出信息B 的概率. 记事件B ={收到信息A },1A ={发出信息A },2A ={发出信息B }. (1) )|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P +=;52.01.04.0)2.01(6.0=⨯+-⨯=(2) )()|()()()()|(2222B P A B P A P B P B A P B A P ==.07692.052452.01.04.0==⨯=★97.将信息编码为A 和B 传送,由于信号干扰,接收站收到信息时,A 被误收作B 的概率为02.0;B 被误收作A 的概率为01.0,编码A 与B 传送频繁程度为1:2,计算:(1)接收站收到信息A 的概率;(2)在收到信息A 的条件下发出信息B 的概率. 记事件B ={收到信息A },1A ={发出信息A },2A ={发出信息B }.(1) )|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P +=01.0211)02.01(212⨯++-⨯+=;6567.001.03198.032=⨯+⨯= (2) )()|()()()()|(2222B P A B P A P B P B A P B A P ==.00508.06567.001.031=⨯=○★.某公司第1,2,3车间生产同一产品,产量依次为60%,30%,10%;次品率依次为3%,4%,6%.计算:(1)总产品中任取一件产品是次品的概率;(2)随机检出的一件次品是第2车间生产的概率. 记事件B ={任取的一件产品是次品},i A ={产品由第i 车间生产},1,2,3.i =(1)全概率公式得)|()()()|()()|()()(3332211A B P A P A P A B P A P A B P A P B P ++= 60%3%30%4%10%6% 3.6%.=⨯+⨯+⨯=(2)由贝叶斯公式得)()|()()()()|(2222B P A B P A P B P B A P B A P ==30%4%1.3.6%3⨯==又法.静态样本统计模型,古典概型..依据是频率渐进稳定于概率．设总产量1000n =件;第i 车间产量||()i i A nf A =依次为600,300,100件;次品数||||(|)i i i A B A f B A =依次为6003%18,3004%12,1006%6⨯=⨯=⨯=件.(1)条件(局限)空间B 总数,总次品数||||||(|)1812636iiiiiB AB A f B A ===++=∑∑件,总次品率为||36() 3.6%.1000B P B n === (2)随机检出的一件次品是第2车间生产的概率为22||121(|).||363A B P A B B === ○★.n 件产品中有m 件次品,任取两件,计算:(1)在所取两件中至少有一件是次品的条件下,另一件也是次品的概率; (2)在所取两件中至少有一件不是次品的条件下,另一件是次品的概率. 答案(1)121m n m ---;(2)21mn m +-○★.市场上某商品由甲厂,乙厂及丙厂生产.甲厂产品占50%;乙厂产品占30%;丙厂产品占20%.甲厂产品合格率为88%;乙厂产品合格率为70%;丙厂产品合格率为75%.计算:(1)在市场上任意购买一件这种商品是合格品的概率;(2)在市场上已购买的一件不合格品是乙厂生产的概率.记事件B ={任购一商品是合格品},1A ={商品是甲厂生产},2A ={商品是乙厂生产},3A ={商品是丙车间生产}.(1)全概率公式得)|()()()|()()|()()(3332211A B P A P A P A B P A P A B P A P B P ++=0.50.880.30.70.20.750.80.=⨯+⨯+⨯=(2)由贝叶斯公式, 不合格品是乙车间生产的概率为2222()()(|)(|)1()()P A B P A P B A P A B P B P B ==-0.3(10.7)90.45.10.820⨯-===-○★.某公司产品部件由甲、乙和丙厂提供,各厂所占份额为2:3:8,次品率依次为8%,4%,3%.从产品中抽取检验出一件次品,则次品由哪厂生产的可能性最大.记事件B ={任取的一件产品是次品},i A ={产品由第i 厂生产},1,2,3.i = 甲、乙和丙厂次品贡献（分支）概率依次为()()(|),1,2,3.i i i P A B P A P B A i ==各厂次品贡献概率之比为123238():():()8%:4%:3%238238238P A B P A B P A B =⨯⨯⨯++++++28:34:8316:12:244:3:6.=⨯⨯⨯==因此次品由丙厂生产的可能性最大,概率为366(|).43613P A B ==++ 在无其他信息或依据的条件下,判断通常最可靠.★.全概率公式模型.设第i 类球有i n 个,其中有i a 个红球,总数,ii n n =∑红球总数,ii a a =∑任取一球为红球的概率.记事件B ={取到红球},i A ={取到第i 类球},1,2,.i =()()(|)i i i P B P A P B A =∑.i i i i i i ii i n a a aw f n n n n====∑∑∑ ★.全概率公式模型.第i 省份人口i l 有劳动力i a 人,计算劳动力人口比例f .总人口,i i l l =∑总劳动力,i i a a =∑第i 省人口比重,iil w l=其劳动力比例.i i i a f l = i i a af l l ==∑(各省贡献率之和)i i i i i i il aw f l l ==∑∑(各省劳动力人口比例以其人口比重加权平均)()(|)i i i P A P B A =∑(各划分下条件概率以其划分概率加权平均)().P B =以上步骤可倒.★.全概率公式扩展模型.第i 类盒子i n 个,每盒都有i l 只球,其中i a 只红球,盒子总数,ii n n =∑任取一盒子,再从盒子中任取一球为红球的概率.记事件B ={取到红球},i A ={取到第i 类盒子},1,2,.i =()()(|).i ii i i iin a P B P A P B A n l ==∑∑参下题 ★.有三种盒子共5个,第一种盒子有2个,每个盒子中放有2个白球,1个黑球;第二种盒子有1个,其中放有10个黑球,第三种盒子有2个,每个盒子中放有3个白球,1个黑球.从这些盒子中任取一个盒子,再从取出的盒子中任取一球,求此球为白球的概率． 记事件B ={取到白球},i A ={取到第i 种盒子},1,2,3.i =31()()(|)i i i P B P A P B A ==∑222317.535430=⨯+⨯=@.甲乙网球比赛，每局甲胜率为α，乙胜率为1βα=-．进行到有一人比对方多得2局，求甲乙获胜概率．令B ={甲胜}，i A ={前两局甲胜i 局}22()()(|)2(),i i i P B P A P B A P B αβα===+∑解得2().12P B ααβ=- 又法．令n A ={甲恰好在第n 局获胜},n B ={乙恰好在第n 局获胜}（1,2,n =），A ={甲胜}，B ={乙胜}．则22n A +发生当且仅当第1,3,,21n -局可胜可负,第2,4,,2n 局的胜负情形恰好分别与第1,3,,21n -局的胜负情形相反,即双方交错取胜,而第21,22n n ++局连胜．因此2222()2(2)n n n n n P A αβαααβ+==,所以222200()()(2)12nn n n P A P A αααβαβ∞∞+=====-∑∑,同理2(),12P B βαβ=- 或 2()1()12P B P A βαβ=-=-．@.甲乙轮流投篮,命中率分别为,,(1,1),p s q p t s =-=-甲先投,分别在以下规则下求甲获胜概率.(1)先投中者获胜;(2)若某轮平局重新开始(直至某轮一方投中另一方未投中)． (1)由全概率公式()(),P p qtP =+甲甲解得().1pP qt=-甲还可参考(2)列方程组求解． (2)对前两次应用全概率公式()()1,(),()P P P ptP qs+=⎧⎪⎨=⎪⎩甲乙甲乙解得().pt P pt qs =+甲 还可参考(1)列方程求解．@.甲乙丙三人网球赛,三人水平相同.甲乙先比,胜者与丙比,依次循环,直至一人连胜两局即获得冠军,计算各人获冠概率.比赛规则为擂台赛.首轮在甲乙中产生擂主和候补者,丙为挑战者,此后在未决出冠军的情况下,甲乙丙的地位按擂主→候补者→挑战者→擂主的次序轮换,依次循环. 记A ={获得冠军},B ={成为擂主},C ={成为候补者}. 由全概率公式11(|)(|),2211(|)(|),22P A B P A C P A C P A B ⎧=+⎪⎨⎪=⨯⎩解得4(|),71(|),7P A B P A C ⎧=⎪⎨⎪=⎩因此甲乙丙获冠概率分别为P (甲)P =(乙)()(|)()(|)P B P A B P C P A C =+14115272714=⨯+⨯=,P (丙)1P =-(甲)P -(乙)54121414=-⨯=.★.设人群中有37.5%的人血型为A 型,20.9%为B 型,33.7%为AB 型,7.9%为O 型.任选一人为供血者,任选一人为受血者,记C ={输血成功}.()P C P =( A 型B 型之间输血)+P ( O 型受血)20.3750.2090.337(10.337)0.38018;=⨯⨯+-=()1()10.380180.61982.P C P C =-=-=○★.从含4只红球和3只黑球的袋中任取3只球,计算:1)取出红球数X 的分布列;2)不少于2只红球的概率.1) ;351)0(3733===C C X P ;3512)1(372314===C C C X P ;3518)2(371324===C C C X P .354)3(3734===C C X P 2) .35223543518)3()2()2(=+==+==≥X P X P X P@★.甲、乙两人乒乓球比赛,每局甲胜概率为,1/2,p p ≥各局胜负相互独立．对甲而言,采用三局二胜制有利,还是采用五局三胜制有利．采用三局二胜制,甲最终获胜,其胜局的情况是：甲甲或乙甲甲或甲乙甲．而这三种结局互不相容,于是由独立性得甲获胜的概率为2212(1)p p p p =+-．采用五局三胜制,甲最终获胜,至少需比赛3局,且最后一局甲胜,而前面甲需胜二局．如共赛4局,则甲的胜局情况是：甲乙甲甲,乙甲甲甲,甲甲乙甲．甲获胜的概率为323232234(1)(1)p p C p p C p p =+-+-,而2322221(615123)3(1)(21)p p p p p p p p p -=-+-=--．当1/2p >时21p p >；当1/2p =时211/2p p ==．故当1/2p >时,对甲来说采用五局三胜制为有利．@★.蒙提霍尔问题Monty Hall Problem 美国电视晚会.现有三扇门供选择：一扇门后面是一辆汽车，另两扇门后面依次是一头山羊和一只玩具熊.当然是希望选择到汽车，但并不能看到门后面情况.主持人让你作选择，在你选择一扇门后，主持人打开另一扇门给你看，发现不是汽车.主持人说还有一次改选机会.是否应改选以更可能选中汽车？记B ={选手选中汽车}，A ={主持人打开的窗后无车}.1.如果主持人知道窗后情况，有意打开无车的窗.()1P A =,()1(|).()3P AB P B A P A == 改选选中汽车的概率为21(|)3Q P B A =-=,因此选手应当改选第三窗.或解.设甲、乙、丙门后依次为车、羊、熊.第1次选甲门,甲、乙、丙门后依次为：情况1：车；羊；熊.情况2：熊；车；羊.情况3：羊；熊；车.3种情况中有2种情况改选得车,因此改选选中车的概率为2.32.如果主持人随机打开的窗后无车.11()(|)13(|).2()23P B P A B P B A P A ⨯===或由条件(局限)样本空间(减少一个样本点)直接得到1(|)2P B A =.此种情况是否改选第三窗无差异.○★.预订航班的顾客最终有5%未到,因此对于一个容纳50位乘客的航班售52张票,求每个到达的乘客都有座位的概率．未到达人数~(52,0.05),Y B n p ==近似为泊松分布( 2.6),P np λ=={}.A =都有座位2.6 2.6()(2)1(0)(1)1 2.6P A P Y P Y P Y e e --=≥=-=-=≈--10.0740.1930.733.=--=○★.已知某商场一天内来k 个顾客的概率为/!(0,1,2,)k e k k λλ-=,其中0λ>．又设每个到达商场的顾客购买商品是独立的,其概率为p ．试求这个商场一天内有r 个顾客购买商品的概率． 令k B ={一天内k 个顾客到达}(0,1,2,)k =,r A ={一天内r 个顾客购买商品},则()()(|)(1)!kr r k rr k r k kk rk rP A P B P A B eC p p k λλ∞∞--====-∑∑0()((1))()!!!r k rp k p p p ee r k r λλλλλ∞--=-==∑． ○★.随机变量最大概率(密度)的位置称为众数.@★.贝努利分布(,)B n p 的众数.当(1)n p +不是整数时,众数[(1)]m n p =+(取整),当(1)n p +是整数时,众数(1)m n p =+或(1) 1.n p +-由(,;)(1)(1)1,(,;1)B n p k n k p n p k B n p k kq kq -++-==+-因此当(1)k n p <+时,(,;)1,(,;1)B n p k B n p k >-(,;)B n p k 单增;当(1)k n p >+时,(,;)1,(,;1)B n p k B n p k <-(,;)B n p k 单减. @★.贝努利分布的最大值估计:(,;[(1)])2B n p n p npqπ+ 由斯特林公式!2,nn n n e π⎛⎫⎪⎝⎭[][]!(,;[(1)])[]!([])!np n np n B n p np p q np n np -+- [][][][][][]2[]n np n np np n np n e p q np n np np e e π--⎫⎪⎝⎭-⎫⎫⎪⎪⎭⎭.2[]([])2n np n np npqππ-@★.抛100个硬币,求有50个正面的概率．2222221(2)!14(2/)12!!22(/)2n n nn nn n n n n e C n n n n e ππ==5010010010.08.250C π@★.泊松分布(,)B n p 的众数.当λ不是整数时,众数[]m λ=(取整);当λ是整数时,众数m λ=或1.λ-由1,,(;)1,.(;1)k P k k P k k λλλλλ≥≤⎧=⎨<>-⎩即得结论. @★.甲乙轮流投篮,命中率分别为,,(1,1),p s q p t s =-=-甲先投,直至某人投中,计算（1）甲投篮次数X 的分布列；（2）乙投篮次数Y 的分布列；（3）甲乙投篮次数之和Z X Y =+的分布列．答案（1）1()(1)(),1,2,k P X k qt qt k -==-=⋅⋅⋅.（2）1,0,()(1)(),1,2,.k s k P Y k q qt qt k -=⎧==⎨-=⋅⋅⋅⎩ Y 以概率p 服从单点分布(0)U ,以概率q 服从右漂移一个单位的几何分布(1)G qt -.Y 是两者的混合分布,即(0)(1)Y pU qG qt =+-.（3）11(),21,()(),2,1,2,.n n s qt m n P Z m qs qt m n n --⎧=-==⎨==⋅⋅⋅⎩91.设变量X 的分布()F x =31e ,0,0,0.x x x -⎧->⎨≤⎩求X 的密度;{1}P X >;{11}P X -<<.92.设变量X 的密度为2,01,()0,Ax x f x ⎧≤<=⎨⎩其它.(1)求常数A ;(2)计算概率1{}2P X >.@★.证明正态(Normal)分布密度积分22()21.z dz μσ-+∞--∞=⎰. 证明222()2,z dz μσ-+∞--∞⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰令,z x μσ-=2222222y x x dx dx dy +∞+∞+∞----∞-∞-∞⎡⎤==⋅⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 2()21,2x y e dxdy π++∞+∞--∞-∞=⎰⎰极坐标表示sin ,cos ,,x r y r dxdy rdrd θθθ===222001 1.2r d e rdr πθπ+∞-==⎰⎰因此,22()21.z dz μσ-+∞--∞=⎰ 或 证明2x e dx +∞--∞=⎰记222,),x u t J e dx u e dt x ut +∞+∞--∞-∞===⎰⎰（令两边乘2u e -,积分得22222u u u t J J edu eudu e dt +∞+∞+∞----∞-∞-∞==⎰⎰⎰22(1)2.1ut dtdt ue du t π+∞+∞+∞-+-∞-∞-∞===+⎰⎰⎰得2x e dx +∞--∞=⎰换元x dx ==22()2 1.z e dz μσ--+∞-∞= @★.设某放射性物质在时段t 内散逸出的粒子数()N t 服从泊松分布(),P t λ则第n 个粒子散出的时刻n S 服从伽玛分布(,1/).n λΓ(课本附表)事件{第n 个粒子到来时刻小于等于t }={时段t 内散出粒子数()N t 大于等于n },即{}{()},n S t N t n ≤=≥于是()(){}{()},!k tn k n t F t P S t P N t n e k λλ+∞-==≤=≥=∑1()()()()!(1)!!k k k t t k n k n d t t t f t e e dt k k k λλλλλλλ-+∞+∞--==⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑∑1.(1)!n n t t e n λλ--=- 因此~(,1/).n S n λΓ第1个粒子散出时刻及相邻两粒子时间间隔均服从指数分布().E λ★.定理 设连续型变量X 密度为()X f x ,()y g x =严格单调,反函数()x x y =导数连续,则()Y g X =。

《概率论与数理统计》复习提纲第一章1.掌握古典概率的定义，以及求随机事件概率的方法，会用简单的排列组合的工具；2.给定随机试验，会写样本空间及随机事件中包含的样本点，以及事件的交和并中的包含的样本点；3.熟练运用事件概率的性质计算事件的概率，如加法公式、减法公式等；4.熟练掌握全概率公式和贝叶斯公式，并利用这两个公式解决相关问题。

第二章1.掌握离散型随机变量的分布律的概念及其性质，会利用分布律求未知参数以及随机变量取值在某个区间的概率；针对特定的随机变量会求其分布律；2.掌握连续型随机变量的密度函数的概念和性质，并利用它求未知参数以及相关事件的概率；3.掌握分布函数的概念和性质，针对给定的函数，会判断其是否是分布函数；4.掌握几种常见的随机变量的分布，如：正态分布，均匀分布，泊松分布等；5.掌握随机变量函数的分布的求法；第三章1.掌握二维离散型随机变量的概念和性质，并根据具体的问题求离散型随机变量的联合分布律；2.掌握二维离散型随机变量的边缘分布律的概念，并掌握联合分布律和边缘分布律的关系；3.掌握随机变量的独立性的定义，并会判断离散型随机变量是否独立，会利用独立的离散型随机变量的边缘分布律求联合分布律；4.掌握二维离散型随机变量的函数的分布律的求法。

第四章1.掌握随机变量的数学期望的定义和性质，并且针对离散型随机变量和连续型随机变量的分布律和密度函数会求其数学期望；2.掌握随机变量的方差的定义和性质，并且针对离散型随机变量和连续型随机变量的分布律和密度函数会求其方差；第五章自己复习第六章1.掌握统计量的概念，会判断给定的量是否是统计量；2.掌握常见的统计的定义，如样本均值和样本方差；对给定的样本值，会计算统计量的值。

第七章1.掌握矩估计方法和最大似然估计方法的基本思想；2.会利用矩估计方法和最大似然估计方法求总体中的未知参数的估计量；第八章1.掌握假设检验的概念和基本思想；2.掌握单总体下，U检验、T检验以及2检验法的思想及用法；3.针对具体的问题，利用上述三种检验方法进行检验。

概率论与数理统计第一章 随机事件与概率本章重点：随机事件与概率复习要求：（1）了解随机事件、概率等概念；（2）掌握随机事件的运算，了解概率的基本性质；（3）了解古典概型的条件，会求解较简单的古典概型问题；（4）熟练掌握概率的加法公式和乘法公式，掌握条件概率和全概率公式；（5）理解事件独立性概念；（6）掌握贝努里概型。

考核要求：（1）随机事件的运算和性质（选择或填空）（2）会求解较简单的古典概型问题（选择或填空）（3）熟练掌握概率的加法公式和乘法公式及条件概率（选择或填空）（4）熟练掌握全概率公式（计算题）例题讲解：例1 填空题（1）设A 与B 是两个事件，则)()(B A P A P =+ 。

（2）若P A P AB ().,().==0403，则P A B ()+= 。

（3）设A B ,互不相容，且P A ()>0，则P B A ()= 。

解：（1）因为 B A AB A +=，且AB 与B A 互斥所以 )()(B A P A P =+)(AB P正确答案：)(AB P（2）因为 B A AB A +=，1.03.04.0)()()(=-=-=B A P A P AB P4.03.01.0)()()(=+=+=B A P AB P B P所以 P A B ()+=7.01.04.04.0)()()(=-+=-+AB P B P A P正确答案：0.7（3）因为A B ,互不相容，即0)(=AB P所以 0)()()(==A P AB P A B P 正确答案： 0例2 单项选择题（1）事件B A -又可表示为（ ）。

A. B AB. ABC. AB A -D. B A AB -（2）掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为3”的概率是（ ）。

A.361 B. 181 C. 121 D. 61 （3）若等式（ ）成立，则事件A B ,相互独立。

A. P A B P A P B ()()()+=+ B. P AB P A P B A ()()()= C. P B P B A ()()= D. P A P B ()()=-1（4）设A 与B 是相互独立的两个事件，且31)(,21)(==B P A P ，则=+)(B A P （ ） A. 21 B. 65 C. 32 D. 43 解：（1）依定义，事件B A -表示A 发生但B 不发生，因此B A -也可以表示为AB A -. 正确答案：C（2）基本事件总数为36，点数之和为3的事件有（1，2）和（2，1），即事件数为2，故“点数之和为3”的概率是181362=。

概率论与数理统计复习题一、选择题（１）设0)(,0)(>>B P A P ，且A 与B 为对立事件，则不成立的是 。

（ａ）A 与B 互不相容；（ｂ）A 与B 相互独立； （ｃ）A 与B 互不独立；（ｄ）A 与B 互不相容（２）１０个球中有３个红球，７个白球，随机地分给１０个人，每人一球，则最后三个分到球的人中恰有一个得到红球的概率为 。

（ａ）)103(13C ；（ｂ）2)107)(103(；（ｃ）213)107)(103(C ；（ｄ）3102713C C C （３）设X ~)1,1(N ，概率密度为)(x f ，则有 。

（ａ）5.0)0()0(=≥=≤X P X p ；（ｂ）),(),()(∞-∞∈-=x x f x f ； （ｃ）5.0)1()1(=≥=≤X P X P ；（ｄ）),(),(1)(∞-∞∈--=x x F x F （４）若随机变量X ，Y 的)(),(Y D X D 均存在，且0)(,0)(≠≠Y D X D ，)()()(Y E X E XY E =，则有 。

（ａ）X ，Y 一定独立；（ｂ）X ，Y 一定不相关；（ｃ）)()()(Y D X D XY D =；（ｄ）)()()(Y D X D Y X D -=-（５）样本4321,,,X X X X 取自正态分布总体X ，已知μ=)(X E ，但)(X D 未知，则下列随机变量中不能作为统计量的是 。

（ａ）∑==4141i i X X ；（ｂ）μ241-+X X ；（ｃ）∑=-=4122)(1i i X X K σ；（ｄ）∑=-=4122)(31i i X X S（６）假设随机变量X 的密度函数为)(x f 即X ~)(x f ，且)(X E ，)(X D 均存在。

另设n X X ,,1 取自X 的一个样本以及X 是样本均值，则有 。

（ａ）X ~)(x f ；（ｂ）X ni ≤≤1min ~)(x f ；（ｃ）X ni ≤≤1max ~)(x f ；（ｄ）（n X X ,,1 ）~∏=ni x f 1)(（７）每次试验成功率为)10(<<p p ，进行重复独立试验，直到第１０次试验才取得４次成功的概率为 。

概率论与数理统计第一章复习题解答概率论与数量统计》第一章习题解答1、写出下列随机试验的样本空间：( 1) 记录一个班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分) 。

( 2)生产产品直到有10 件正品为止，记录生产产品的总件数。

( 3)对某工厂出厂的产品进行检查，合格的产品记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出了2 件次品就停止检查，或检查了4 件产品就停止检查，记录检查的结果。

(4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。

解：(1)设该班有n人，则该班总成绩的可能值是0, 1, 2,……,100n。

故随机试验的样本空间S= {i/n|i=0,1,2, ……,100n }。

(2)随机试验的样本空间S= {10,11,12,……}。

( 3)以0 表示检查到一个次品, 1 表示检查到一个正品,则随机试验的样本空间S={ 00, 0100, 0101, 0110, 0111, 100, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111}。

(4)随机试验的样本空间S= {(x,y ) |x2+y2<1}。

2、设A, B, C为三个事件，用A, B, C的运算关系表示下列各事件：(1)A发生，B与C都不发生。

(2)A与B都发生，而C不发生。

(3)A, B, C中至少有一个发生。

(4)A, B, C都发生。

(5)A, B, C都不发生。

(6)A, B, C中不多于一个发生。

(7)A, B, C中不多于两个发生。

(8)A, B, C中至少有两个发生。

解：(1) A BC (2) AB C (3) AU BU C (4) ABC(5)A BC(6) ABC U A B C U A B C U A B C(7) S-ABC (8) ABCJ AB C U A B C U A BC3、(1)设A, B, C 为三个事件，且P (A) =P( B) =P( C) =1/4 , P (AB =P (BC =0，P (AC) =1/8，求A，B, C至少有一个发生的概率。

一、填空题（每小题3分，共15分）1．设事件仅发生一个的概率为0.3，且，则至少有一个不发B A ,5.0)()(=+B P A P B A ,生的概率为__________.答案：0.3解：3.0)(=+A B A P 即)(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P A P B A P -=-+-=+=所以1.0)(=AB P.9.0)(1)((=-==AB P AB P B A P 2．设随机变量服从泊松分布，且，则______.X )2(4)1(==≤X P X P ==)3(X P 答案：161-e 解答：λλλλλ---==+==+==≤e X P e eX P X P X P 2)2(,)1()0()1(2由 知 λλλλλ---=+e e e 22)2(4)1(==≤X P X P即 0122=--λλ 解得，故1=λ161)3(-==e X P 3．设随机变量在区间上服从均匀分布，则随机变量在区间内的概率X )2,0(2X Y =)4,0(密度为_________.=)(y fY答案：04,()()0,.Y Y X y f y F y f <<'===⎩其它 解答：设的分布函数为的分布函数为，密度为则Y (),Y F y X ()F x ()X f x2()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤=≤≤=- 因为，所以，即~(0,2)XU (0X F =()Y X F y F =故04,()()0,.Y Y Xyf y F y f<<'===⎩其它另解在上函数严格单调，反函数为(0,2)2y x=()h y=所以04,()0,.Y Xyf y f<<==⎩其它4．设随机变量相互独立，且均服从参数为的指数分布，，则YX,λ2)1(-=>eXP=λ_________，=_________.}1),{min(≤YXP答案：，2λ=-4{min(,)1}1eP X Y≤=-解答：，故2(1)1(1)P X P X e eλ-->=-≤==2λ={min(,)1}1{min(,)1}P X Y P X Y≤=->1(1)(1)P X P Y=->>.41e-=-5．设总体的概率密度为X.⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其它,0,1,)1()(xxxfθθ1->θ是来自的样本，则未知参数的极大似然估计量为_________.nXXX,,,21Xθ答案：1111lnniixnθ==-∑解答：似然函数为111(,,;)(1)(1)(,,)nnn i niL x x x x xθθθθθ==+=+∏1ln ln(1)lnniiL n xθθ==++∑1lnln01niid L nxdθθ==++∑@解似然方程得的极大似然估计为θ.1111ln ni i x n θ==-∑二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设为三个事件，且相互独立，则以下结论中不正确的是,,A B C ,A B （A ）若，则与也独立.()1P C =AC BC （B ）若，则与也独立.()1P C =A C B （C ）若，则与也独立.()0P C =A C B （D ）若，则与也独立.（ ）C B ⊂A C 答案：（D ）. 解答：因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A ），（B ），（C ）都是正确的，只能选（D ）.事实上由图可见A 与C 不独立.2．设随机变量的分布函数为，则的值为~(0,1),X N X ()x Φ(||2)P X > （A ）. （B ）.2[1(2)]-Φ2(2)1Φ- （C ）. （D ）.（ ）2(2)-Φ12(2)-Φ 答案：（A ）解答： 所以~(0,1)X N (||2)1(||2)1(22)P X P X P X >=-≤=--<≤应选（A ）.1(2)(2)1[2(2)1]2[1(2)]=-Φ+Φ-=-Φ-=-Φ3．设随机变量和不相关，则下列结论中正确的是X Y （A ）与独立. （B ）.X Y ()D X Y DX DY -=+ （C ）.（D ）.（ ）()D X Y DX DY -=-()D XY DXDY =解答：由不相关的等价条件知，0y x cov 0xy =⇒=），（ρ()+2cov x y D X Y DX DY -=+（，）应选（B ）.4．设离散型随机变量和的联合概率分布为X Y (,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)111169183X Y P αβ若独立，则的值为,X Y ,αβ （A ）. （A ）.21,99αβ==12,99αβ== （C ） （D ）.（ ）11,66αβ==51,1818αβ==解答： 若独立则有,X Y(2,2)(2)(2)P X Y P X P Y α======1121()()()3939αβαα=+++=+， ∴29α=19β=故应选（A ）.5．设总体的数学期望为为来自的样本，则下列结论中X 12,,,,n X X X μ X 正确的是（A ）是的无偏估计量.（B ）是的极大似然估计量.1X μ1X μ （C ）是的相合（一致）估计量. （D ）不是的估计量. （ ）1X μ1X μ 答案：（A ） 解答：，所以是的无偏估计，应选（A ）.1EX μ=1X μ三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.解：设‘任取一产品，经检验认为是合格品’A =‘任取一产品确是合格品’B =则（1） ()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+ 0.90.950.10.020.857.=⨯+⨯=（2） .()0.90.95(|)0.9977()0.857P AB P B A P A ⨯===四、（12分） 从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设为途中遇到红灯的次数，X求的分布列、分布函数、数学期望和方差.X解：的概率分布为X3323()(()0,1,2,3.55k k kP X k C k -===即01232754368125125125125XP的分布函数为X0,0,27,01,12581(),12,125117,23,1251, 3.x x F x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎪≥⎪⎩263,55EX =⨯= .231835525DX =⨯⨯=五、（10分）设二维随机变量在区域 上服从(,)X Y {(,)|0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤均匀分布. 求（1）关于的边缘概率密度；（2）的分布函数与概(,)X Y X Z X Y =+率密度.（1）的概率密度为(,)X Y 2,(,)(,)0,.x y Df x y ∈⎧=⎨⎩其它22,01()(,)0,X x x f x f x y dy +∞-∞-≤≤⎧==⎨⎩⎰其它（2）利用公式()(,)Z f z f x z x dx+∞-∞=-⎰其中2,01,01(,)0,x z x x f x z x ≤≤≤-≤-⎧-=⎨⎩其它2,01, 1.0,x x z ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它.当 或时0z <1z >()0Z f z =时 01z ≤≤00()222zzZ f z dx x z===⎰故的概率密度为Z 2,01,()0,Z z z f z ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.的分布函数为Z200,00,0,()()2,01,01,1, 1.1,1z z Z Z z z f z f y dy ydy z z z z z -∞<⎧<⎧⎪⎪⎪==≤≤=≤≤⎨⎨⎪⎪>⎩>⎪⎩⎰⎰ 或利用分布函数法10,0,()()()2,01,1, 1.Z D z F z P Z z P X Y z dxdy z z ⎧<⎪⎪=≤=+≤=≤≤⎨⎪⎪>⎩⎰⎰20,0,,01,1, 1.z z z z <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩2,01,()()0,Z Z z z f z F z ≤≤⎧'==⎨⎩其它.六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标和纵坐标相X Y 互独立，且均服从分布. 求（1）命中环形区域2(0,2)N 22{(,)|12}D x y x y =≤+≤的概率；（2）命中点到目标中心距离的数学期望.Z =1）{,)}(,)DP X Y D f x y dxdy∈=⎰⎰22222880111248x y r De dxdy erdrd πθππ+--==⋅⎰⎰⎰⎰；2221122888211()8r r red ee e ------=-=-⎰ （2）22818x y EZ E edxdyπ+-+∞-∞-∞==⎰⎰22228801184r r rerdrd e r drπθπ--+∞+∞==⎰⎰⎰222888r r r reedr dr +∞---+∞+∞-∞=-+==⎰七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm ），今抽取容量为16的2~(,)X N μσ样本，测得样本均值，样本方差. （1）求的置信度为0.95的置信10x =20.16s =μ区间；（2）检验假设（显著性水平为0.05）.20:0.1H σ≤ （附注）0.050.050.025(16) 1.746,(15) 1.753,(15) 2.132,t t t ===2220.050.050.025(16)26.296,(15)24.996,(15)27.488.χχχ===解：（1）的置信度为下的置信区间为μ1α- /2/2(((X t n X t n αα--+-0.02510,0.4,16,0.05,(15) 2.132X s n t α=====所以的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）μ （2）的拒绝域为.20:0.1H σ≤22(1)n αχχ≥- ，221515 1.6240.1S χ==⨯=20.05(15)24.996χ= 因为 ，所以接受.220.052424.996(15)χχ=<=0H 《概率论与数理统计》期末考试试题（A ）专业、班级：姓名：学号：一、单项选择题(每题3分 共18分)1．D 2．A 3．B 4．A 5．A 6．B 题 号一二三四五六七八九十十一十二总成绩得 分一、单项选择题(每题3分 共18分)（1）.0)(,0)(;;0)(0)();(( ).,0)(=>===A B P A P (D)B A (C)B P A P (B)B A (A)AB P B A 则同时出现是不可能事件与或互不相容互斥与则以下说法正确的是适合、若事件（2）设随机变量X 其概率分布为 X -1 0 1 2P 0.2 0.3 0.1 0.4则（ ）。

第一章《随机事件及概率》练习题一、单项选择题1、设事件A 与B 互不相容，且P (A )＞0，P (B )＞0，则一定有（ ）（A ）()1()P A P B =-； （B ）(|)()P A B P A =；（C ）(|)1P A B =； （D ）(|)1P A B =。

2、设事件A 与B 相互独立，且P (A )＞0，P (B )＞0，则（ ）一定成立 （A ）(|)1()P A B P A =-； （B ）(|)0P A B =；（C ）()1()P A P B =-； （D ）(|)()P A B P B =。

3、设事件A 与B 满足P (A )＞0，P (B )＞0，下面条件（ ）成立时，事件A 与B 一定独立（A ）()()()P AB P A P B =； （B ）()()()P A B P A P B =；（C ）(|)()P A B P B =； （D ）(|)()P A B P A =。

4、设事件A 和B 有关系B A ⊂，则下列等式中正确的是（ ）（A ）()()P AB P A =； （B ）()()P A B P A =；（C ）(|)()P B A P B =； （D ）()()()P B A P B P A -=-。

5、设A 与B 是两个概率不为0的互不相容的事件，则下列结论中肯定正确的是（ ） （A ）A 与B 互不相容； （B ）A 与B 相容； （C ）()()()P AB P A P B =； （D ）()()P A B P A -=。

6、设A 、B 为两个对立事件，且P (A )≠0，P (B ) ≠0，则下面关系成立的是（ ） （A ）()()()P AB P A P B =+； （B ）()()()P A B P A P B ≠+； （C ）()()()P AB P A P B =； （D ）()()()P AB P A P B =。

7、对于任意两个事件A 与B ，()P A B -等于（ ）（A ）()()P A P B - （B ）()()()P A P B P AB -+； （C ）()()P A P AB -； （D ）()()()P A P B P AB +-。

习题六1.设总体X ~N （60，152），从总体X 中抽取一个容量为100的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率. 【解】μ=60,σ2=152,n =100~(0,1)/X Z N nσ-=即 60~(0,1)15/10X Z N -=(|60|3)(||30/15)1(||2)P X P Z P Z ->=>=-<2[1(2)]2(10.9772)0.0456.=-Φ=-=2.从正态总体N （4.2，52）中抽取容量为n 的样本，若要求其样本均值位于区间（2.2,6.2）内的概率不小于0.95，则样本容量n 至少取多大？ 【解】~(0,1)5/X Z N n-=2.2 4.2 6.2 4.2(2.2 6.2)()55P X P n Z n --<<=<<2(0.4)10.95,n =Φ-=则Φ(0.4n )=0.975，故0.4n >1.96,即n >24.01，所以n 至少应取253.设某厂生产的灯泡的使用寿命X ~N （1000，σ2）（单位：小时），随机抽取一容量为9的样本，并测得样本均值及样本方差.但是由于工作上的失误，事后失去了此试验的结果，只记得样本方差为S 2=1002，试求P （X ＞1062）. 【解】μ=1000,n =9，S 2=10021000~(8)100/3/X X t t S n-==10621000(1062)()( 1.86)0.05100/3P X P t P t ->=>=>=4.从一正态总体中抽取容量为10的样本，假定有2%的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上，求总体的标准差.【解】~(0,1)X Z N =，由P (|X -μ|>4)=0.02得P |Z |>4(σ/n )=0.02,故210.02⎡⎤-Φ=⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦,即0.99.σ⎛Φ= ⎝⎭查表得2.33,σ=所以5.43.2.33σ== 5.设总体X ~N （μ，16），X 1，X 2，…，X 10是来自总体X 的一个容量为10的简单随机样本，S 2为其样本方差，且P （S 2＞a ）=0.1，求a 之值.【解】2222299~(9),()0.1.1616S a P S a P χχχ⎛⎫=>=>= ⎪⎝⎭ 查表得914.684,16a= 所以 14.6841626.105.9a ⨯==6.设总体X 服从标准正态分布，X 1，X 2，…，X n 是来自总体X 的一个简单随机样本，试问统计量Y =∑∑==-ni ii i XX n 62512)15(，n ＞5服从何种分布？ 【解】2522222211~(5),~(5)i nii i i XX X n χχχ====-∑∑且12χ与22χ相互独立. 所以2122/5~(5,5)/5X Y F n X n =--7.求总体X ~N （20，3）的容量分别为10，15的两个独立随机样本平均值差的绝对值大于0.3的概率. 【解】令X 的容量为10的样本均值，Y 为容量为15的样本均值,则X ~N (20,310),Y ~N (20,315)，且X 与Y 相互独立. 则33~0,(0,0.5),1015X Y N N ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭那么~(0,1),X YZ N = 所以(||0.3)||2[1(0.424)]P X Y P Z Φ⎛->=>=- ⎝2(10.6628)0.6744.=-=8.设总体X ~N （0，σ2）,X 1,…,X 10,…,X 15为总体的一个样本.则Y =()21521221121022212X X X X X X ++++++ 服从 分布,参数为 . 【解】~(0,1),iX N σi =1,2, (15)那么122210152222111~(10),~(5)i i i i X X χχχχσσ==⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑且12χ与22χ相互独立, 所以222110122211152/10~(10,5)2()/5X X X Y F X X X ++==++ 所以Y ~F 分布，参数为（10,5）.9.设总体X ~N （μ1,σ2）,总体Y ~N (μ2,σ2),X 1,X 2,…,1n X 和Y 1，Y 2，…，2n X 分别来自总体X 和Y 的简单随机样本，则⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-∑∑==2)()(21121221n n Y Y X X E n j j n i i = . 【解】令 1222212111211(),(),11n n i i i j S X X S Y Y n n ===-=---∑∑ 则122222112211()(1),()(1),n n i j i j XX n S y y n S ==-=--=-∑∑又2222221122112222(1)(1)~(1),~(1),n S n S n n χχχχσσ--=-=-那么1222112222121212()()1()22n n i j i j X X Y Y E E n n n n σχσχ==⎡⎤-+-⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑2221212221212[()()]2[(1)(1)]2E E n n n n n n σχχσσ=++-=-+-=+-10.设总体X ~N （μ,σ2），X1，X 2，…，X 2n （n ≥2）是总体X 的一个样本，∑==ni i X n X 2121，令Y =∑=+-+ni i n iX X X12)2(，求EY .【解】令Z i =X i +X n +i , i =1,2,…,n .则Z i ~N (2μ,2σ2)(1≤i ≤n ),且Z 1,Z 2,…,Z n 相互独立.令 2211, ()/1,nni i i i Z Z S Z Z n n ====--∑∑则 21111,222nn i i i i X X Z Z n n =====∑∑ 故 2Z X = 那么22211(2)()(1),n ni n i i i i Y X X X Z Z n S +===+-=-=-∑∑所以22()(1)2(1).E Y n ES n σ=-=-11. 设总体X 的概率密度为f (x )=x-e 21 (-∞<x <+∞),X 1，X 2，…，X n 为总体X 的简单随机样本，其样本方差为S 2，求E (S 2).解： 由题意，得。

习题六1•设总体X-N (60, 152),从总体X中抽取一个容量为100的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率.【解】“=60&=15%=100X-UZ = — ~N(0」)a/yjnP (IX-60l> 3) = P (IZI> 30/15) = l-P (IZI< 2)=2| 1-0(2)] = 2(1-0,9772) = 0.0456.2•从正态总体W(, 52)中抽取容量为“的样本，若要求苴样本均值位于区间C)内的概率不小于，则样本容量n至少取多大【解】X-4P(22 <X< 6.2) = P(22~42丽 < Z <'2-4.2庙)=2<1>(0・4皿-1 = 0・95,即力>,所以“至少应取253.设某厂生产的灯泡的使用寿命X-N (1000. (单位：小时)，随机抽取一容量为9的样本.并测得样本均值及样本方差•但是由于工作上的失误，事后失去了此试验的结果，只记得样本方差为S"=100S试求P ( X > 1062).【解】“刃000/=9, SJ1002S/亦 100/3P(X > 1062) = P(f > 1°62TOQQ)= p(f > 1 86) = 0,05100/34•从一正态总体中抽取容量为10的样本，假定有2%的样本均值与总体均值之差的绝对值在 4以上，求总体的标准差.【解】Z =兰二£~N(O」)，由P(|XM>4A得<7/V/iP|Z|>4（（7/n ）sCT服从何种分布【解】/ - r （5）,* = zx ： - X\n-5） j-l r-l所以丫2 /qY= ,~F （5 丿-5）X ；/n-5■7•求总体X~N （20. 3）的容量分别为10, 15的两个独立随机样本平均值差的绝对值大于的 概率.【解】令X 的容量为10的样本均值，r 为容量为15的样本均值•则X~N （20,310）,一 3—-r-A/（2o,—）.且X 与y 相互独立.1 ^5故所以"亜 5.43.2335•设总体X~N （“，16）, Xv X"Xg 是来自总体X 的一个容量为10的简单随机样本，S2 为其样本方差，且P （S2>a ）=,求0之值.oZ 【解】^'=77- Io~ r （9）, p （s2 > “）=/* > 纠=0.1.\ 16丿査表得 所以“ = 14S4X 16 = 26」O 5.96•设总体X 服从标准正态分布，Xn X2 X “是来自总体X 的一个简单随机样本，试问统 讣量G - i ）fx ：Y=— _____ _____• n>5则戸亠屮才討= N(0O5),y _ y那么Z =牛丄~N(0,l),V0?5所以03 \P(ix-yi>o ・3)= p izi>-=I vo3J= 2(1-0.6628) = 0.6744.2 "8.设总体X~N (0, o^)凶…X IO ,...A I 5为总体的一个样本•则 匸 /1 2+X2 J …+Xio 2 服2(X|| + X]2 + …+ X]5 丿 从 ____ Y【解】 J~N(0J).kb2-・,：l5・b所以所以广F 分布，参数为（10,5） •9•设总体X-N （“小，总体仏血"X 斑和Kn Kz ................ 分別来自总体X 和Y的简单随机样本，则«| _ 勺 _E* -元)2+£⑴-叩r-ly-11 小 _ 1 恥 一【解】令SA 百尹-和Ar?-以Fl]___ Ih_则 乞(X 厂X)2 =(q -1)S ：E(丹一亍)2 =("厂i)s ；,<■!7-1= 2(1-0(0.424)]分布,参数为10 / y 那么r=Z ：(y15 / Y \2-r(io)，zr = X —r-U_ 吧 _ £（x 厂 X ）2+£（L ）2J-I;-1⑷一冏〜仙_ U 加=仝些〜才他_ 1), cr<T'那么= b ［E （z ；）+ E （/）］ "1 + 川2 一 22=—-—［（«|-1） + （心 _ 1）］ = b ，"1 + ”2 _ 2 ・— 1 2«10•设总体片N (如产〉，X1，X2,…，Xzn(n>2)是总体X 的一个样本，X =—,令2"(.1y=±（Xf + X”+j -2X ）2,求 EY. j-l【解】令ZG6+X 血，仁1,2严•山•则 ZrW{2p.2a2）（l</<nK 且Z 皿曲相互独立•n 7 « _z=£幺，5-=y （z^-z ）-/«-L11. 本, 解:故 那么所以 Z = 2Xy = f % +心-2乔=亍（乙一Z ）2=（”-i ）s2, J-IJ-I£（r ）= （«-l ）£S -=2（«-l ）<T\ 设总体X 的槪率密度为/何=丄丁卜1 (-oo<x<+co)X ，X2，…，Xn 为总体X 的简单随机样2其样本方差为宁，求E(9). 由题意，得齐口时坊+b 宪)E(S-} = D(X) = E(X-)-E\X)E(X)=匚灯(兀)血= ij2 xeT'Idv = 0£(X^) = J x -/(x)d.v = x^e~^*ldx = x-e~'^(lv = 2,i ； _em12所以 E(S2) = 2・于是。