华东理工高数期中考试题

华东理工大学级(下)高等数学期中考试试卷(学分)解答————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：华东理工大学2013–2014学年第二学期《高等数学（下）11学分》课程期中考试试卷 2014.4开课学院：理学院， 专业：大面积, 考试形式：闭卷，所需时间 120 分钟考生姓名： 学号： 班级 任课教师题序 一二三四五六总分得分 阅卷人注 意：试 卷 共 两 页 六 大 题一．填空题（本大题共11小题，每小题4分，共44分）：1、微分方程222'y x e yx y -=的通解为 。

答：C e xe e xx y +-=22412122、微分方程0''9)4(=+y y 的通解为 。

答：x C x C x C C y 3sin 3cos 4321+++=3、函数 zxy u )(= 对变量x 的偏导数 =x u 。

答：12)(--=z x xy x yz u 4、设 ))arctan(,,(xyz e y xze f u zy+=，其中f 关于所有变量有一阶连续偏导数， 则=∂∂yu。

答：3222211f zy x xz f f xze y u y +++=∂∂ 5、设函数z z x y =(,)由方程 ),(yzxz f z = 所确定，其中f 关于所有变量有一阶连续偏导数，则∂∂zy= 。

答：21222yf f xy y zf ---6、设1)(-=⋅⨯c b a ρρρ，则=+⨯+⋅)]()[(c b b a b ρρρρϖ 。

答： 17、函数)ln(22z y x u ++=在点)1,0,1(处最大的方向导数等于 。

答：228、微分方程 0'2''=+y xy 的通解=y 。

答： 21C xC y +-= 9、设平面π过直线⎩⎨⎧=+-=++04,05:z x z y x L 则原点到平面π距离d 的范围是 。

高数期中考试题目及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪个选项是函数f(x)=x^2的导数？A. 2xB. x^2C. 2x^2D. x答案：A2. 求极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是多少？A. 0B. 1C. πD. ∞答案：B3. 以下哪个函数是偶函数？A. f(x) = x^3B. f(x) = x^2C. f(x) = xD. f(x) = |x|答案：B4. 积分∫(0 to 1) x^2 dx的值是多少？A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：A5. 以下哪个选项是函数f(x)=e^x的原函数？A. e^x + CB. e^xC. 1/e^xD. ln(e^x)答案：A6. 函数f(x)=x^3-3x+2在哪个区间内是增函数？A. (-∞, 1)B. (1, +∞)C. (-∞, -1)D. (-1, 1)答案：B7. 以下哪个选项是函数f(x)=ln(x)的导数？A. 1/xB. xC. ln(x)D. 1答案：A8. 求不定积分∫x^2 dx的结果是什么？A. x^3 + CB. 2x^2 + CC. x^3/3 + CD. 2x^3 + C答案：C9. 以下哪个函数是周期函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = sin(x)C. f(x) = e^xD. f(x) = ln(x)答案：B10. 以下哪个选项是函数f(x)=x^3的二阶导数？A. 3x^2B. 3xC. 3D. 6x答案：C二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^3的一阶导数是_________。

答案：3x^22. 函数f(x)=x^2+2x+1的极小值点是_________。

答案：-13. 函数f(x)=x^2在区间[-1, 1]上的定积分是_________。

答案：2/34. 函数f(x)=sin(x)的原函数是_________。

答案：-cos(x) + C5. 函数f(x)=e^x的二阶导数是_________。

第 1 页 ，共 1 页（高等数学上） 华东理工大学网络教育学院
高等数学（上）201906模拟卷2答案
试卷满分100分。

考试时间90分钟。

（注意：全部答在答题纸上，答试卷上无效，试卷与答题纸分开交）
一．填空题（满分40分）本大题共8个小题，每小题5分．
1． ),3[+∞- 2．12 3．奇 4．2 5．x e -3
6．x 1
7． 2sin --x 8．C x +2
二．选择题（满分30分）本大题共6个小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母答在题中相应位置上．
9．B 10．C 11．C 12．A 13．D 14．A
三．计算题（满分30分）本大题共3个小题，每小题10分．
15．解：32-='x y ，所以点)3,1(处的切线斜率为1|1-='=x y 。

则曲线在点)3,1(处的切线方程为：
)1()1(3-⋅-=-x y ，即 04=-+x y ．
16．解：x x
x x x x x 211
1lim )1ln(lim 020+-=+-→→
21
)1(21lim )1(21
1lim 00=+=+-+=→→x x x x x x 。

17．解： .4
9
241d 2d d )2101
0410103103=+=+=+⎰⎰⎰x x x x x x x （。

华理高数答案第5章第5章（之1）第23次作业教学内容：§5.1定积分的概念5.2定积分的性质1．选择题*（1）用定积分表示的和的极限为（）b?an(a)．lim?n??ni?1nn??i?1nb?an?i?f?(b?a)?(b)．lim?n??nni?1i?1?f?(b?a)??n?（c）林先生？f（？i）？席（席？1，席？）（d）林先生？f（？i）？席（？？max1,2，？n席？1，席？）0i？1答复：D*（2）设：ibaF（x）DX，根据定积分的几何意义（）(a)．i是由曲线y?f(x)及直线x?a，x?b与x轴所围图形的面积，所以i?0．(b)．若i?0，则上述图形面积为零，从而图形的＂高＂f(x)?0．(c)．i是曲线y?f(x)及直线x?a，x?b与x轴之间各部分面积的代数和．(d)．i是曲线y?f(x)及直线x?a，x?b与x轴所围图形的面积。

答:c*（3）函数f（x）在闭区间a，B上是连续的，f（x）在a，B（）上是可积的(a)．必要条件(b)．充分条件答:b*（4）通过（c）。

充分必要条件（d）。

既不是充分条件，也不是必要条件a，b?上连续曲线y?f(x)，直线x?a，x?b(a?b)和x轴围成图形s区？（）bbb?f(b)?f(a)?(b?a) (a)．f(x)dx (b)．f(x)dx (c)．f(x)dx(d)．.?a?a?a2答:c**（5）设置在a和B部分上f(x)?0，f?(x)?0，f??(x)?0，令s1??af(x)dx，b1?f(b)?f(a)?(b?a)，则有（）2 (a)s1?s2?s3；(b)s2?s1?s3；(c)s3?s1?s2；(d)s2?s3?s1.s2?f(b)(b?a)，s3?答:b63*2.试证不等式：4.202? 辛克斯？二证明：0?sinx?1，x?[0,?sinx2]，?12?2??1，1sinx4??2dx??20212dx??2?01dx?2.**3. 尝试估算以下积分值：1dx0。

华东理工高等数学作业本第1次作业答案第3章（之3）第15次作业教学内容: §3.3.1 00型3.3.2 ∞∞型1. 填空题*（1）若0≠p ，则px px xx x cos sin 1cos sin 1lim0-+-+→________=.解：p 1.**（2）_______)e1ln()e 1ln(lim11=+--+-∞→x x x .解：2e -。

2. 选择题。

**（1）若)()(limx g x f x x →是00待定型，则“Ax g x f x x =''→)()(lim 0”是“Ax g x f x x =→)()(lim 0”的（ B ）（A ）充要条件； (B)充分条件，非必要条件；（C ）必要条件，非充分条件； (D) 既非充分条件，也非必要条件.**（2）若)()(limx g x f x x →是∞∞的未定型，且Ax g x f x x =''→)()(lim 0，则=→)(ln )(ln lim 0x g x f x x（ B ）（A ）A ln ；（B ）1； (C)2A ； (D)21A.***3 求极限 xx x xxx arctan 3 3e2elim220---+-→.解：原式= =+----→2201116e2e2limxxxxx 2203e elim2xxx xx ---→xxxx 23e e2lim220-+=-→31ee4lim20=-=--→xxx .4 求下列极限:**（1）+→0lim x )0()sin ln()sin ln(>>a b bx ax ； **（2）∞→x lim)43ln()35ln(236+-++x x x x .解：（1）原式bxa x cos cot lim+→=ax b bxa x tan tan lim+→=1=.（2）)431ln(ln )751ln(ln lim 22636x x x x x x x +-++++=∞→原式=++++-+→∞limln()ln ln()ln x x xxx x x 3157113436222=3.****5. xex x x -+→1)1(lim.解： ])1[(lim )00()1(lim 10'+=-+→→xx x x x x e x 210)1()1)](1ln()1([lim x x x x x x x x ++++-=→2]21)1ln(1lim[])1ln()1(lim[02e xx e xx x x e x x -=-+-=++-=→→.***6. 若已知()x f '在0=x 连续，且有()00=f ，2)0(='f ，求极限()()[]2limxx f f x f x ?→.解：xx f f xx f xx f f xx f xx f f x f x x x x )]([lim)(lim)]([)(lim)]([)(lim2→→→→?=?=?82)]0('[)]0('[)0(')('1)](['lim1)('lim3320===?=??=→→f f f x f x f f x f x x .***7. 设()x f 具有2阶连续导数，且()00=f ，试证()x g 有1阶连续导数，其中()()()??=≠=.0,0,0,'x f x xx f x g证明：依题意，当0≠x 时，2)()(')('xx f x x f x g -?=均连续.故只需证明 )0(')('lim 0g x g x =→ 即可.由导数定义，有)0("212)0(')('lim)0(')(lim)0(')(lim0)0()(lim)0('02f xf x f xxf x f xf xx f x g x g g x x x x = -=-=-=--=→→→→又)0(')0(''212)(')(')(''lim)()('lim)('lim 020g f xx f x f x x f xx f x x f x g x x x == -+=-=→→→.故命题得证.。

华东理工大学2016–2017学年第一学期《高等数学（上）11学分》课程期中考试试卷 2016.11开课学院：理学院， 专业：大面积, 考试形式：闭卷，所需时间 120 分钟考生姓名： 学号： 班级 任课教师一．填空题（本大题共14小题，每小题4分，共56分）：1、极限 133(1)lim x x x→∞+=解： 1. 极限性质 13331()+x x2、极限 101lim 13xx x →⎛⎫=⎪+⎝⎭解：3e - 重要极限131313133113x x x x xx x --++-⎛⎫+⎪+⎝⎭3、极限230sin(6sin )lim (arctan )x x x x →= .解：6. 等价无穷小4、三叶玫瑰线sin3a ρ=θ (0a >) 上对应于4πθ=的点处的切线方程（直角坐标方程）为 .解： 124a y x =+. 参数方程下切线'12'31'31x y y x θθ-+===--5、极限 2421111lim(1)(1)(1)(1)3333→∞++++= n n 解：32 .恒等变形，分子分母乘1(1)3- 6、设22()cos[ln(13)]x f x e x =-+，则(0)f '= . 解：2sin1-. 复合求导7、设ln x y x = (0)x >，则|x e y ='= .解：2. 对数求导法8、设函数2(31)()()x g x f x g e e +=⋅，其中()g x 可导，且(1)1,(1)g g e '==, 则(0)f '=_____________ . 解：25e .复合求导 9、设22016232(1)()(1)arctan 12x f x xx x+=-++，则(1)f '=____________ . 解：504π .乘积求导后一导数不用求10、0x =是函数21sin ,03()12sin ,033⎧+>⎪⎪=⎨⎪+<⎪⎩xx xf x x x x的第 类间断点中的 间断点。

高数下期中考试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 以下哪个函数是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = x^4 \)D. \( f(x) = x^5 \)答案：B2. 极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\) 的值是多少？A. 0B. 1C. πD. 2答案：B3. 函数 \( f(x) = e^x \) 的导数是？A. \( e^x \)B. \( e^{-x} \)C. \( \ln x \)D. \( \frac{1}{e^x} \)答案：A4. 以下哪个积分是发散的？A. \(\int_0^1 \frac{1}{x} dx\)B. \(\int_0^1 e^{-x} dx\)C. \(\int_0^1 x^2 dx\)D. \(\int_0^1 \sin x dx\)5. 以下哪个级数是收敛的？A. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\)B. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\)C. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}\)D. \(\sum_{n=1}^{\infty} n\)答案：A6. 以下哪个是二阶偏导数？A. \(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\)B. \(\frac{\partial f}{\partial x}\)C. \(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\)D. \(\frac{\partial f}{\partial y}\)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 \( f(x) = x^3 - 3x \) 的拐点是 \( x =\_\_\_\_\_\_\_\)。

共 4 页 第 1 页07-08-3工科数分期中试卷参考答案08.4.11一.填空题(本题共5小题，每小题5分，满分2 5分) 1. 交换二次积分的次序()()01121d ,d d ,d x f x y y x f x y y -+⎰⎰⎰2=；2. 设函数(,)z z x y =由方程2222(,)0F x y y z --=所确定，其中(,)F u v 是可微函数， 且0v zF ≠，则z z x yy x x y z∂∂+=∂∂； 3. 二重积分2221()d d 2x y x y x y π+≤+=⎰⎰；4. 曲线2221,,y x z x y ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩在点(1,0,1)处的切线方程为11010x y z --==； 5. 设曲线2224:1x y z L z ⎧++=⎨=⎩，则曲线积分2s =⎰. 二．单项选择题(本题共4小题，每小题4分，满分16分) 6.([ B ](A))))c o i s 2- (B)))()c o i s 2+(C)()())c o s 2i s i 2- (D)()())l c o s 2i s i 2+ 7. 函数2222322222, 0(,)() 0 , 0x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=⎨+⎪+=⎩在)0 ,0(点处 [ C ]（A ）可微 （B ）连续但偏导数不存在 （C ）偏导数存在但不可微 （D ）不连续且偏导数不存在8. 设,e x x z f y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中函数f 具有二阶连续偏导数，则2z x y ∂=∂∂ [ A ]共 4 页 第 2 页(A ) 21112221232e 1(1)e e x x xx f x f y f f f y y y -+-+-+ (B )21112223e (1)e x x x f x f y f y y +-+(C )2111222132e 1e x xx f f y f f y y y ++- (D ) 211122223e e e x x x x f f y f f y y+++9. 设(,)f x y 具有一阶连续偏导数,且(1,1)2f =,(,)x f m n m n =+,(,)y f m n m n =⋅, 令()(,(,))g x f x f x x =，则(1)g '= [ C ] （A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12 三. 计算下列各题(本题共4小题，每小题9分，满分36分) 10．计算二重积分{d ,(,)0Dx y D x y x =≤≤.解2sin 232200816d d d sin d 39Dx y ππϕϕρρϕϕ===⎰⎰⎰11．求函数2(,,)e d xy t zu x y z t -=⎰在点(1,1,1)P 处沿曲面2221236x y z ++=在该点处的法线方向的方向导数. 解 {}222()()111grad e ,e ,e ,,e e e xy xy zPPuy x ---⎧⎫=-=-⎨⎬⎩⎭，单位法向量为=±n，111,,e e e Pu n∂⎧⎫=±⋅-=⎨⎬∂⎩⎭12．计算三重积分22()d xyz V Ω+⎰⎰⎰,其中Ω是由旋转抛物面22x y z +=与平面1=z 和4=z 围成的空间闭区域.解422231255()d d d 4xy z V z V z z ππΩΩ+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 13.计算曲面积分222A ∑⎰⎰，其中∑为上半球面z =面220(0)x y Ry R +-=>内的部分.共 4 页 第 3 页解 投影区域{}22(,)xy D x y x y Ry =+≤，()22222212d d A R A R x y A R ∑∑∑=---⎰⎰⎰⎰22d d xyxyD D R x y x y =-⎰⎰⎰⎰sin sin 202d d d R R R πϕπϕϕρϕρ=-⎰⎰⎰⎰3353239R R π=- 四（14）．（本题满分8分）已知()(,)i (,)f z u x y v x y =+为解析函数，其中实部32(,)32u x y x xy y =--，求虚部(,)v x y 及()f z （必须用变量z 表示）的表达式.解2233u vx y x y∂∂=-=∂∂，233()v x y y x ϕ=-+， 6()62v u xy x xy x yϕ∂∂'=+=-=+∂∂，于是()2x x C ϕ=+，（C 为常数）， 2332v x y y x C =-++，()3223()32i 32f z x xy y x y y x C =--+-++，()3()i 2f x x x C =++，()3()i 2f z z z C =++五（15）。