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n 3 r
2 · ∴展开式中的常数项为 n . C
3
1 2 · C C 若n=3,则 n =2 · 3 =6≠60,
n 3
n 3
n 3
3 3
∴排除A,同理,将n=6,9,12代入一一验证,得n=6. 故选B.
1-3
2 (2016广东广州模拟)在 3 x 的展开式中,x的非负整数次幂 x
5
,各项系数之和为
.(用数字作答) 答案 10;243
5 解析 x2的系数为 × 2=10; 令 x =1, 得各项系数之和为 (1+2) =243. C1 5
考点突破
考点一 二项展开式中的特定项和特定项的系数 典例1 实数a=
1 5 (1)(2016山东,12,5分)若 ax 2 的展开式中x 的系数是-80,则 x
15
的个数为 答案 2
.
r
5r 5 r r 15-r 2 r r r 3 解析 展开式的通项为Tr+1=(-1) ( x ) · 6 (r=0,1, C15 · 15 x =(-1) 2C x 5 …,15),由题意知5- r为非负整数,解得r=0或6, 6
Cm Cm 解析 (1)由题意得a= 2 m ,b= 2 m 1 ,
m 则13 =7 Cm C 2m 2 m 1 ,
)
.
13 (2m)! 7 (2m 1)! = , m! m! m! (m 1)! 7(2m 1) ∴ =13,解得m=6, m 1
∴
经检验m=6为原方程的解,故选B. (2)令x=1,可得a0+a1+a2+a3+a4=1;令x=0,可得a0=1,所以a1+a2+a3+a4=0.
∴|a1|+|a2|+|a3|+|a4|=80.
3 1 2 4 变式2-3 在本例(2)的条件下,求 + + 2 3 + 4 的值.
a 2
a 2
a 2
a 2
解析 在(1-2x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中,
3 1 2 4 令x= ,则左边=0=右边=a0+ +
)
A.32
答案 D
B.34
C.36
4
D.38
解析
8
2 3 2 k k 3 4-k k 12-4k C C x 的展开式的通项为 T = ( x ) · = ,令12-4 k +1 4 4 (-2) x x x
k
k=0,解得k=3,
1 8-r 1 8-2r r r 的展开式的通项为 T = · x · = · x ,令8-2r=0,得r=4, C C x r +1 8 8 x x 4 3 C3 C8 所以所求展开式中的常数项为 =38. 4 (-2) +
7
)
2.已知(2-x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则a8=( A.180 B.-180 C.45 D.-45
)
8 C10 答案 A 由题意得a8= 22(-1)8=180,故选A.
1 2 3.二项式 2 x的展开式中常数项是 ( x
6
)
A.240
A.3
2 在 x 的展开式中,若常数项为60,则n等于 ( x
n
)
B.6
C.9
r n
D.12
n-r
2 r r x 答案 B 通项Tr+1= C ( x ) · n · 2 . =2 C x n 3r n 令 =0,得r= , 2 3 n
r
6
r
16 3 r 1 1 1 r r C8 ( x )8-r 4 = C8 x 4 (r= (3) x 2 4 x 的展开式的通项为Tr+1= 2 x 2
8
r
r
0,1,2,…,8),为使Tr+1为有理项,r必须是4的整数倍,所以r=0,4,8,故共有3个
要n与r确定,该项就随之确定;(2)Tr+1是展开式中的第r+1项,而不是第r项;
(3)公式中a,b的指数和为n;(4)要将通项中的系数和字母分离开,以便于 解决问题;(5)关于二项式(a-b)n展开式的通项公式,要特别注意符号问题. 1-1 A.-20 答案 A
1 的展开式中x2y3的系数是 ( (2014湖南,4,5分) x 2 y 2
(1-x-5y)5的展开式中不含x的项的系数和为-1 024.
C a
r n
n-r r
b
,它表示第④ (r+1) 项
2.二项式系数的性质
1 1.已知 x 展开式的第4项等于5,则x等于 ( x 1 1 A. B.- C.7 D.-7 7 7 3 1 1 4 C3 答案 B 由T4= x =5 得 x = ,故选B. 7 7 x
5
)
B.-5
C.5
D.20
k1 展开式的通项为Tk+1= C5 x 2
5 k
k 5-k k · (-2y)k=(-1)k· 22k-5C x · y, 5
令5-k=2,得k=3.
C3 则展开式中x2y3的系数为(-1)3· 22×3-5 5=-20,
故选A.
1-2
5-r
r 5
5 10 r 2
5 2 2 所以a3 =-80,解得a=-2. C5
令10- r=5,解之得r=2,
(2)a= sin x d x =(-cos x ) 0 0 =-cos π+cos 0=2,
1 1 r 6-r r 6-r r 3-r x C 二项式 2 x 的展开式的通项为 T = (2 ) · r+1 6 6 x . =(-1) 2 C x x 3 C 6 =-160. 令3-r=0,得r=3,故展开式中常数项为T4=(-1)326-3·
.
(2)设f(x)=(a+x)(1+x)4,则其展开式中所有项的系数和为f(1)=(a+1)· (1+1)4
=(a+1)×16,
1 ∵奇数次幂项的系数和为 [f(1)-f(-1)], 2
又f(-1)=0,∴ ×(a+1)×16=32, ∴a=3.
1 2
命题角度三 三项展开式中特定项系数问题
典例5 (1)(2015课标Ⅰ,10,5分)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为( A.10 B.20 C.30 D.60 (结果化成最简形 )
8
.(用数字作
答) 答案 -56
r 16-2r r 16-3r 解析 Tr+1= x (-x)-r=(-1)-r x ,令16-3r=7,得r=3,所以x7的系数为(-1)-3 C8 C8 3 C8 =-56.
2 2 5.在 x 的展开式中 , x 的系数是 2 x
理数
课标版
第三节 二项式定理
教材研读
1.二项式定理
二项式定理 (a+b)n=① 二项式系数 二项展开式中各项的二项式系数:② 二项展开式的通项 Tr+1=③
C a + Ca
0 n
n
1 n-1 1 n
r n b +…+ Cn an-rbr+…+ Cn bn(n∈N*)
C
r n
(r=0,1,…,n)
r
命题角度二 几个二项式积的展开式中的特定项系数问题
典例4 (1)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a= ( A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 )
(2)(2015课标Ⅱ,15,5分)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之 和为32,则a= 答案 (1)D (2)3
∴符合要求的项的个数为2.
考点二 二项式系数的问题与各项系数和的问题
典例2 (1)设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a, (x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m= ( A.5 B.6 C.7 D.8 (2)若(1-2x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a1+a2+a3+a4= 答案 (1)B (2)0
(2)(1-x-5y)5的展开式中不含x的项的系数和为 式). 答案 (1)C (2)-1 024
2 C5 解析 (1)(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5的展开式中只有 (x2+x)3y2中含x5y2,易知 2 1 C5 C3=30,故选C. x5y2的系数为
(2)(1-x-5y)5的展开式中不含x的项的系数和等于(1-5y)5的展开式的各项 系数和,在(1-5y)5中,令y=1,得其展开式的各项系数和为(-4)5=-1 024,所以
规律总结
(1)对形如(ax+b)n(a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和,常用赋值法, 只需令x=1即可. (2)对形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y =1即可. (3)一般地,对于多项式(a+bx)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,令g(x)=(a+bx)n,则 (a+bx)n展开式中各项的系数的和为g(1),
1 2
a 2
