2019高考数学二轮复习 专题二 三角函数、平面向量 第一讲 三角函数的图象与性质教案 理

高2014届数学 二轮复习 专题二第一讲 三角函数图象与性质1.函数x x y cos sin =的单调减区间是（ ）A.]4,4[ππππ+-k k （z k ∈） B.)](43,4[z k k k ∈++ππππ C. )](2,4[z k k k ∈++ππππD. )](22,42[z k k k ∈++ππππ备注：2.为了得到函数⎪⎭⎫⎝⎛-=62sin πx y 的图象，可以将函数x y 2sin =的图象（ ） A. 右移6π个单位 B. 右移12π个单位 C. 左移6π个单位 D.左移12π个单位 备注：二、热点透析 【热点一】)0,0)(sin(>>+=ωϕωA x A y 的图象与解析式例1．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )．A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4B ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋3π4 C ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4 D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －3π4 【变式训练】1.已知函数)2,0)(sin(2)(πϕωϕω<>+=x x f 图象如图，试确定ϕω,.【热点二】三角函数的性质例2.设函数)2,0)(cos()sin()(πϕωϕωϕω<>+++=x x x f 的最小正周期为π，且)()(x f x f =-，则（ ）A. )(x f y =在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π上单调递减 B. )(x f y =在区间⎪⎭⎫⎝⎛43,4ππ上单调递减 C. )(x f y =在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π上单调递增 D. )(x f y =在区间⎪⎭⎫⎝⎛43,4ππ上单调递增 备注：三、直击高考1．如图所示，点P 是函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0)的图象的最高点，M 、N 是图象与x轴的交点，若PM ·PN＝0，则ω＝( )A ．8 B.π8 C.π4D ．42.已知函数f (x )＝ (3sin ωx ＋cos ωx ) cos ωx ，其中0<ω<2. (1)若f (x )的周期为π，求当- π6≤x ≤π3时f (x )的值域；(2)对∀m ∈R 函数y ＝f (x )，x ∈[m ，m ＋π)图象与y ＝32有且仅有一个交点，求y ＝f (x )的单调递增区间．【拓展延伸】1.下列说法正确的是 .①“0=ϕ”是“))(cos()(R x x x f ∈+=ϕ为偶函数”的充分不必要条件 ②)(|,3sin |3sin )(x f x x x f 则+=为周期函数，且最小正周期为23π③函数f （x ）=sinx -cos (x +6π)的值域为④函数()sin()4f x x πω=+（0ω>）在(,)2ππ上单调递减.则ω的取值范围是15[,]24【作业】必做题：二轮资料专题二，三角函数图象与性质（1）；预习（2） 选做题：1.若函数)0)(2sin()(>+=A x A x f ϕπ满足0)1(=f ，则（ ）A. )2(-x f 一定是奇函数B. )1(+x f 一定是偶函数C. )3(+x f 一定是偶函数D. )3(-x f 一定是奇函数2.为使变换后的函数图象关于点(－π12，0)成中心对称，只需将函y ＝sin (2x ＋π3)的图象( )A ．左移π12个单位长度B ．左移π6个单位长度C ．右平π12个单位长度D ．右移π6个单位长度3.函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移2π个单位后，与函数sin(2)3y x π=+的图象重合，则ϕ=_________.本节反思：真题欣赏2010年全国新课标卷(4)如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0，， 角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为（ ）2011全国新课标卷（5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=（ ）（A ）45- （B ）35- （C ）35 （D ）452012年全国新课标卷（9）已知0>ω，函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ单调递减，则ω的取值范围是（）（A ）]45,21[ （B ）]43,21[ （C ）]21,0( （D ）(0,2]2013年全国新课标卷（15）设当x =θ 时，函数 f (x )＝sinx －2cosx 取得最大值，则 cosθ= ______ 2012年四川卷（4）如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =连接EC 、ED 则sin CED ∠=（ ）A 、10B 、10C 、10D 、15（18 ）函数2()6cos3(0)2xf x x ωωω=+->在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B 、C 为图象与x 轴的交点，且ABC ∆为正三角形.（Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的值域；（Ⅱ）若0()f x =，且0102(,)33x ∈-，求0(1)f x +的值。

第二讲 三角函数的图象与性质1．(2019·豫南九校联考)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移π6个单位，则所得函数图象的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－5π24B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－5π12 D.y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －7π12 解析：函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4经伸长变换得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，再作平移变换得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3.答案：B2．(2019·某某亳州一中月考)函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3在一个周期内的图象是( )解析：由题意得函数的周期为T ＝2π，故可排除B ，D.对于C ，图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，代入解析式，不成立，故选A. 答案：A3．(2019·某某某某十校期末测试)要得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝cos 2x的图象( )A ．向左平移π3个单位长度B ．向左平移π6个单位长度C ．向右平移π6个单位长度D ．向右平移π3个单位长度解析：∵y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∴要得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移π6个单位长度．答案：B4．(2019·东北三省三校一模)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离是π2，则该函数的一个单调增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3解析：由题意得2πω＝2×π2，解得ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z)，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π.当k ＝0时，有x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6.故选A.答案：A5．(2019·高考全国卷Ⅱ)若x 1＝π4，x 2＝3π4是函数f (x )＝sin ωx (ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝( ) A ．2B.32 C ．1D.12解析：由题意及函数y ＝sin ωx 的图象与性质可知， 12T ＝3π4－π4，∴T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2. 故选A. 答案：A6．(2019·某某某某一模)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，其中ω为常数，且ω∈(1,3)．若对任意的实数x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值是( ) A ．1 B.π2C ．2D.π解析：∵函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，∴π3ω＋π3＝k π，k ∈Z ，∴ω＝3k －1，k ∈Z ，由ω∈(1,3)，得ω＝2.由题意得|x 1－x 2|的最小值为函数的半个周期，即T 2＝πω＝π2.答案：B7．(2019·某某平遥中学调研)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，已知点A (0，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，若将它的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )图象的一条对称轴方程为( ) A ．x ＝π12B.x ＝π4C ．x ＝π3D.x ＝2π3解析：由题意知图象过A (0，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0， 即f (0)＝2sin φ＝3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6·ω＋φ＝0，又ω>0，|φ|<π，并结合图象知φ＝2π3，π6·ω＋φ＝π＋2k π(k ∈Z)，得ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3， 移动后g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋2π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z)，解得x ＝π12＋k π2(k ∈Z)，所以满足条件的一条对称轴方程是x ＝π12，故选A.答案：A8．(2019·某某某某适应性统考)已知A ，B ，C ，D ，E 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2一个周期内的图象上的五个点，如图所示，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，则ω，φ的值为( )A ．ω＝2，φ＝π3B.ω＝2，φ＝π6C ．ω＝12，φ＝π3D.ω＝12，φ＝π12解析：由题意知T ＝4×⎝⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝π，所以ω＝2.因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，所以0＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ. 又0<φ<π2，所以φ＝π3.答案：A9．(2019·某某某某3月模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)，f (0)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，若f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上有且仅有三个零点，则ω的可能取值为( )A.23 B.2 C.143D.263解析：∵函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)，f (0)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω－π6＝－12，∴π2ω－π6＝2k π＋π6或π2ω－π6＝2k π＋5π6，k ∈Z ，∴ω＝4k ＋23或ω＝4k ＋2，k ∈Z.∵函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上有且仅有三个零点，∴ωx －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，ωπ2－π6，∴2π<ωπ2－π6≤3π，∴133<ω≤193，∴ω＝143或ω＝6.故选C.答案：C10．(2019·贺州一模)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(φ∈R)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f (x )，且f (π)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，则函数f (x )取得最大值时x 的可能值为( )A.π6B.π5C.π3D.π2解析：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f (x )， 即y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，即函数f (x )在x ＝π6时取得最值，①当函数f (x )在x ＝π6时取得最大值时，又因为函数f (x )的周期为π，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝f (π)，满足题意， ②当函数f (x )在x ＝π6时取得最小值时，又因为函数f (x )的周期为π，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝f (π)，不满足题意， 综合①②得：函数f (x )取得最大值时x 的可能值为π6.故选A. 答案：A11．(2019·某某一模)若函数f (x )＝sinωx2·sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx 2＋π2(ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π2内有且仅有一个最大值，则ω的取值X 围是( ) A ．(0,5)B.[1,5)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，92 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，92 解析：f (x )＝sinωx2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx 2＋π2＝12sin ωx ，当ωx ＝2k π＋π2，即x ＝2k π＋π2ω(k ∈Z)时函数取最大值，又函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π2内有且仅有一个最大值，即有两种情况，一是区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π2内只有一个极值点，二是函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π2内单调递增，所以有⎩⎪⎨⎪⎧π2≤ωπ2<5π2，－3π2<－ωπ3或⎩⎪⎨⎪⎧π2≥ωπ2，－π2≤－ωπ3，解得ω∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，92或ω∈(－∞，1]，又∵ω>0，所以ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，92，故选C. 答案：C12．(2019·某某一模)函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋cos 2x ，若f (x )最大值为G (θ)，最小值为g (θ)，则( )A ．∃θ0∈R ，使G (θ0)＋g (θ0)＝πB ．∃θ0∈R ，使G (θ0)－g (θ0)＝πC ．∃θ0∈R ，使|G (θ0)·g (θ0)|＝πD ．∃θ0∈R ，使⎪⎪⎪⎪⎪⎪G (θ0)g (θ0)＝π解析：f (x )＝sin(2x ＋θ)＋cos 2x ＝cos θ·sin 2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋12·cos 2x ＋12＝54＋sin θsin(2x ＋φ)＋12，所以G (θ)＝54＋sin θ＋12，g (θ)＝－54＋sin θ＋12， ①对于选项A ，G (θ0)＋g (θ0)＝54＋sin θ＋12－54＋sin θ＋12＝1，显然不满足题意，即A 错误，②对于选项B ，G (θ0)－g (θ0)＝54＋sin θ＋12＋54＋sin θ－12＝254＋sin θ∈[1,3]，显然不满足题意，即B 错误， ③对于选项C ，G (θ0)·g (θ0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54＋sin θ＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫54＋sin θ－12＝1＋sin θ∈[0,2]，显然不满足题意，即C 错误，④对于选项D ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪G (θ)g (θ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪154＋sin θ－12＋1∈[2，＋∞)，即∃θ0∈R ，使⎪⎪⎪⎪⎪⎪G (θ0)g (θ0)＝π，故D 正确， 故选D. 答案：D13．(2019·某某模拟)函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1(x ∈R)的最大值为________．解析：∵f (x )＝4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －1＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴f (x )max ＝2. 答案：214．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)．若函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则函数f (x )的最小正周期为________． 解析：∵f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3， ∴x ＝π2和x ＝2π3均不是f (x )的极值点，其极值应该在x ＝π2＋2π32＝7π12处取得，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴x ＝π6也不是函数f (x )的极值点，又f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性， ∴x ＝π6－⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π2＝π12为f (x )的另一个相邻的极值点，故函数f (x )的最小正周期T ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π12＝π.答案：π15．(2019·某某某某武邑中学模拟)将f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π4ω个单位，得到y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上为增函数，则ω的最大值为________．解析：将f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π4ω个单位，得到y ＝g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4ω＋π4＝2sin ωx 的图象，若y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上为增函数，则满足T 4≥π4，即T ≥π，即2πω≥π，所以0<ω≤2，即ω的最大值为2.答案：216．已知函数f (x )＝2a sin(πωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ≠0，ω>0，|φ|≤π2，直线y ＝a 与f (x )的图象的相邻两个距离最近的交点的横坐标分别是2和4，现有如下命题： ①该函数在[2,4]上的值域是[a ，2a ]；②在[2,4]上，当且仅当x ＝3时函数取得最大值； ③f (x )的图象可能过原点． 其中真命题的个数为________．解析：对于①，∵直线y ＝a 与函数f (x )＝2a sin(πωx ＋φ)的图象的相邻两个距离最近的交点的横坐标分别为2和4，∴结合图象可以看出，当a >0时，f (x )在[2,4]上的值域为[a ，2a ]，当a <0时，f (x )在[2,4]上的值域为[2a ，a ]，①错误；对于②，根据三角函数图象的对称性，显然x ＝2和x ＝4的中点是x ＝3，即当a >0时，f (x )在x ＝3处有最大值f (3)＝2a ，当a <0时，f (x )在x ＝3处有最小值f (3)＝2a ，②错误； 对于③，f (0)＝2a sin φ，令f (0)＝0，得φ＝0，此时f (x )＝2a sin πωx ，由2a sin πωx ＝a 得sin πωx ＝22，则πωx ＝2k π＋π4(k ∈Z)或πωx ＝2k π＋3π4(k ∈Z)，∴x ＝2k ＋14ω(k ∈Z)或x ＝2k ＋34ω(k ∈Z)，∵直线y ＝a 与函数f (x )＝2a sin(πωx ＋φ)的图象的相邻两个距离最近的交点的横坐标分别为2和4，∴令⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋14ω＝2，2k ＋34ω＝4，解得k ＝18∉Z ，即不存在这样的k 符合题意，③错误． 综上，没有真命题． 答案：0。

2025年新人教版高考数学一轮复习讲义含答案解析§4.5三角函数的图象与性质课标要求 1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]－π2，知识梳理1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(π，0)，(2π，0)．(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(π，－1)，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)|π方程常用结论1．对称性与周期性(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是12个周期．2．与三角函数的奇偶性相关的结论(1)若y＝A sin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ＋π2(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)．(2)若y＝A cos(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ＋π2(k∈Z)．(3)若y＝A tan(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝sin x，x∈[0,2π]，y＝cos x，x∈[0,2π]的五个关键点是零点和极值点．(×)(2)函数y＝sin x图象的对称轴方程为x＝2kπ＋π2(k∈Z)．(×)(3)若f(2x＋T)＝f(2x)，则T是函数f(2x)的周期．(×)(4)函数y＝tan x在整个定义域上是增函数．(×)2．(多选)已知函数f(x)＝x∈R)，下列结论正确的是()A．函数f(x)的最小正周期为2πB．函数f(x)在区间0，π2上单调递增C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称D．函数f(x)是奇函数答案ABC解析由题意得f(x)＝－cos x，对于A，T＝2π1＝2π，故A正确；对于B，因为y＝cos x在0，π2上单调递减，所以函数f(x)在0，π2上单调递增，故B正确；对于C，f(－x)＝－cos(－x)＝－cos x＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，所以其图象关于直线x＝0对称，故C 正确，D 错误．3．函数f (x )＝2tan x ()π＋π6，k ∈Z＋π6，k ∈Z＋π6，k ∈Z 答案D解析令2x －π3＝k π2，k ∈Z ，解得x ＝k π4＋π6，k ∈Z ，所以函数f (x )＝2tanx ＋π6，k ∈Z .4．(必修第一册P213T4改编)函数y ＝3－2cos ______，此时x ＝________.答案53π4＋2k π(k ∈Z )解析函数y ＝3－2cos 3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π(k ∈Z )，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z ).题型一三角函数的定义域和值域例1(1)函数y ＝cos x －32的定义域为()A.－π6，π6B.k π－π6，k π＋π6(k ∈Z )C.2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z )D ．R 答案C解析由cos x －320，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6(k ∈Z )．(2)如果函数f (x )＝＋32＋a 在区间－π3，5π6上的最小值为3，则a 的值为()A.3＋12B.32C.2＋32D.3－12答案A解析因为当x ∈－π3，5π6时，x ＋π3∈0，7π6，所以－12，1，当x ＝5π6时，sin 有最小值－12.可得f (x )＝＋32＋a 的最小值为－12＋32＋a ＝3，解得a ＝3＋12.思维升华三角函数值域的不同求法(1)把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域．(2)把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域．(3)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域．跟踪训练1(1)函数y ＝tan ()|x ≠π4|x ≠3π4|x ≠π4＋k π，k ∈Z|x ≠3π4＋k π，k ∈Z 答案D解析函数y ＝令x －π4≠π2＋k π，k ∈Z ，解得x ≠3π4＋k π，k ∈Z ，∴函数y |x ≠3π4＋k π，k ∈Z(2)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ()A ．4B ．5C ．6D ．7答案B解析因为f (x )＝cos 2x ＋＝cos 2x ＋6sin x ＝1－2sin 2x ＋6sin x＝－x ＋112，又sin x ∈[－1,1]，所以当sin x ＝1时，f (x )取得最大值5.题型二三角函数的周期性、对称性与奇偶性例2(1)(多选)(2023·合肥模拟)已知函数f (x )＝sin x (sin x －cos x )，则下列说法正确的是()A ．函数f (x )的最小正周期为πB －π8，y ＝f (x )图象的对称中心C y ＝f (x )图象的对称中心D ．直线x ＝5π8是y ＝f (x )图象的对称轴答案AD解析f (x )＝sin x (sin x －cos x )＝sin 2x －sin x cos x ＝1－cos 2x 2－12sin 2x ＝－22sin x ＋12，T ＝2π2＝π，故A 正确；当x ＝－π8时，2x ＋π4＝0，此时x 0，－π8，B 错误；当x ＝π8时，2x ＋π4＝π2，此时x 1，则函数关于直线x ＝π8对称，故C 错误；当x ＝5π8时，2x ＋π4＝3π2，此时x 1，则函数关于直线x ＝5π8对称，故D 正确．(2)已知函数f (x )＝2cos ＋π4＋φ∈－π2，π2，则φ的值为________．答案π4解析由已知，得π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π＋π4(k ∈Z )，又因为φ∈－π2，π2，所以当k ＝0时，φ＝π4符合题意．思维升华(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx 的形式．(2)周期的计算方法：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω>0)的周期为2πω，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0)的周期为πω求解．(3)对称轴、对称中心的求法：对于可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(或f (x )＝A cos(ωx ＋φ))形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )(或令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z ))，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z x 即可．对于可化为f (x )＝A tan(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π2(k ∈Z )，求x 即可．跟踪训练2(1)(多选)下列函数中，最小正周期为π的是()A ．y ＝cos|2x |B ．y ＝|cos x |C ．y ＝xD ．y ＝x答案ABC解析A中，y＝cos|2x|＝cos2x，最小正周期为π；B中，由图象知y＝|cos x|的最小正周期为π；C中，y＝cosxT＝2π2＝π；D中，y＝tanxT＝π2.(2)(2023·日照模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ>0，|φπ，其图象关于直线x＝π6对称，则f________.答案3解析函数f(x)＝2sin(ωx＋φ>0，|φπ，其图象关于直线x＝π6对称，π，φ＝π2＋kπ，k∈Z，∵|φ|<π2，∴ω＝2，φ＝π6，故f(x)＝x则f×π4＋＝3.题型三三角函数的单调性命题点1求三角函数的单调区间例3(1)(2022·北京)已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则()A．f (x)－π2，－B．f (x)－π4，C．f(x)D．f(x)答案C解析依题意可知f(x)＝cos2x－sin2x＝cos2x.对于A 选项，因为x －π2，－2x πf (x )＝cos 2x －π2，－单调递增，所以A 选项不正确；对于B 选项，因为x －π4，2x －π2，f (x )＝cos 2x －π4，调，所以B 选项不正确；对于C 选项，因为x 2x f (x )＝cos 2x 以C 选项正确；对于D 选项，因为x 2x f (x )＝cos 2x 以D 选项不正确．(2)函数f (x )＝sin 2________．答案k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z解析f (x )＝sin 2g (x )＝sin x 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所给函数的单调递减区间为k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .延伸探究若例3(2)中的函数不变，求其在[0，π]上的单调递减区间．解令A ＝k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ，B ＝[0，π]，∴A ∩B ＝0，5π12∪11π12，π，∴f (x )在[0，π]上的单调递减区间为0，5π12和11π12，π.命题点2根据单调性求参数例4已知f (x )＝sin(2x －φφ在0，π3上单调递增，且f (x )φ的取值范围是()A.π6，B.π6，C.π3，D.π4，答案B解析由x ∈0，π3，可得2x －φ∈－φ，2π3－φ，又由0<φ<π2，且f (x )在0，π3上单调递增，可得2π3－φ≤π2，所以π6≤φ＜π2.当x 2x －φφ，7π4－由f (x )上有最小值，可得7π4－φ>3π2，所以φ<π4.综上，π6≤φ<π4.思维升华(1)已知三角函数解析式求单调区间求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．跟踪训练3(1)设函数f (x )＝2f (x )在0，π2上的单调递减区间是()A.0，π8B.0，π4C.π4，π2 D.π8，π2答案D解析由已知f (x )＝x 得2k π≤2x －π4≤2k π＋π，k ∈Z ，则k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z ，又x ∈0，π2，∴f (x )在0，π2上的单调递减区间为π8，π2.(2)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]上单调递减，则a 的最大值是()A.π4B.π2C.3π4D ．π答案A解析f(x)＝cos x－sin x＝2cos由题意得a>0，因为f(x)＝2cos[－a，a]上单调递减，a＋π4≥0，＋π4≤π，>0，解得0<a≤π4，所以a的最大值是π4.课时精练一、单项选择题1．若函数y＝3cosωxω>0)两对称中心间的最小距离为π2，则ω等于() A．1B．2C．3D．4答案A解析因为函数y＝3cosωxω>0)两对称中心间的最小距离为π2，所以T2＝π2，则T＝π，所以T＝2π2ω＝π，解得ω＝1.2．(2023·焦作模拟)已知函数f(x)＝xf(x)在[－2,0]上()A．单调递增B．单调递减C．先增后减D．先减后增答案D解析∵x∈[－2,0]，∴2x－π6∈－4－π6，－π6，∵－3π2<－4－π6<－π<－π6<0，∴函数f (x )＝cos x [－2,0]上先减后增．3．已知函数f (x )＝a ＝f b ＝f c ＝f a ，b ，c 的大小关系是()A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．b >a >c 答案A解析a ＝f 2cos 13π42，b ＝f 2cos π3，c ＝f 2cos 5π12，因为y ＝cos x 在[0，π]上单调递减，又0<13π42<π3<5π12<π，所以a >b >c .4．(2023·全国乙卷)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)x ＝π6和x ＝2π3为函数y ＝f (x )的图象的两条相邻对称轴，则f ()A ．－32B ．－12 C.12 D.32答案D 解析因为直线x ＝π6和x ＝2π3为函数y ＝f (x )的图象的两条相邻对称轴，所以T 2＝2π3－π6＝π2，不妨取ω>0，则T ＝π，ω＝2πT＝2，由题意知，当x ＝π6时，f (x )取得最小值，则2×π6＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，则φ＝2k π－5π6，k ∈Z ，不妨取k ＝0，则f (x )＝x则f ＝32.5．(2023·抚州模拟)已知函数f (x )＝sin|x |－cos 2x ，则下列结论错误的是()A ．f (x )为偶函数B ．f (x )的最小正周期为πC ．f (x )的最小值为－98D ．f (x )的最大值为2答案B 解析因为f (－x )＝sin|－x |－cos(－2x )＝sin|x |－cos 2x ＝f (x )，所以f (x )是偶函数，则A 正确；若f (x )的最小正周期为π，则f (x ＋π)＝f (x )恒成立，即sin|x ＋π|－cos 2(x ＋π)＝sin|x |－cos 2x ，即sin|x ＋π|＝sin|x |恒成立，而当x ＝π2时，sin 3π2≠sin π2，所以“f (x )的最小正周期为π”是错误的，则B 错误；由f (x )是偶函数，只需考虑x ≥0时的最值即可，当x ≥0时，f (x )＝sin x －cos 2x ＝2sin 2x ＋sin x－1＝x －98，因为sin x ∈[－1,1]，所以x －98∈－98，2，即f (x )的值域为－98，2，则C 和D 正确．6．(2023·安康模拟)记函数f (x )＝b (ω∈N *)的最小正周期为T ，若π2<T <π，且y ＝f (x )的最小值为1.则y ＝f (x )图象的一个对称中心为()－π12，答案C 解析由函数的最小正周期T 满足π2<T <π，得π2<2πω<π，解得2<ω<4，又因为ω∈N *，所以ω＝3，所以f (x )＝x b ，又函数y ＝f (x )的最小值为1，所以b ＝2，所以f (x )＝x 2，令3x ＋π4＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π3－π12，k ∈Z ，－π12，k ∈Z )，只有C 符合题意(k ＝2)．二、多项选择题7．(2024·株洲模拟)下列关于函数f (x )＝cos x ＋a sin x (a ≠0)的说法正确的是()A ．存在a ，使f (x )是偶函数B ．存在a ，使f (x )是奇函数C ．存在a ，使f (x ＋π)＝f (x )D ．若f (x )的图象关于直线x ＝π4a ＝1答案AD 解析函数f (x )＝cos x ＋a sin x ＝1＋a 2sin(x ＋θ)，其中sin θ＝11＋a 2，cos θ＝a1＋a 2，θ∈(0，π)，当a ＝0时，f (x )＝cos x 为偶函数，故A 正确；对于B ，无论a 取何值，函数f (x )＝1＋a 2sin(x ＋θ)都不可能为奇函数，故B 错误；对于C ，f (x ＋π)＝1＋a 2sin(x ＋π＋θ)＝－1＋a 2sin(x ＋θ)≠f (x )，故C 错误；对于D ，当x ＝π4时，函数f (x )取得最大值或最小值，故22＋22a ＝±1＋a 2，解得a ＝1，故D 正确．8．(2023·西安模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ>0，0<|φ且f－f 1，则()A ．ω＝3B ．φ＝－π6C ．ω＝2D ．φ＝π6答案CD解析因为函数f (x )＝sin(ωx ＋φ>0，0<|φ所以T 2＝12·2πω≥2π3－π6＝π2，所以0<ω≤2，因为f f 1，所以＋＋1，所以π6ω＋φ＝π2＋2k 1π，2π3ω＋φ＝3π2＋2k 2π，k 1，k 2∈Z ，故π2ω＝π＋2(k 2－k 1)π，所以ω＝2＋4(k 2－k 1)，k 2，k 1∈Z ，因为0<ω≤2，k 2－k 1∈Z ，所以ω＝2，则φ＝π6＋2k 1π，k 1∈Z ，又0<|φ|<π2，所以φ＝π6.三、填空题9．函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．答案2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )解析方法一要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.在同一直角坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )．方法二要使函数y ＝sin x －cos x 有意义，即使sin x －cos x ≥0，即2sin 0，即2k π≤x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，即原函数的定义域为2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )．10．写出一个同时满足下列两个条件的函数f (x )＝________.①∀x ∈R ，f f (x )；②∀x ∈R ，f (x )≤f 答案－cos 4x (答案不唯一)解析由∀x ∈R ，f f (x )可知，函数的周期为π2，由∀x ∈R ，f (x )≤f x ＝π4处取到最大值，则f (x )＝－cos 4x 满足题意，一方面根据余弦函数的周期公式，T ＝2π4＝π2，满足∀x ∈R ，f f (x )，另一方面，f cos π＝1＝f (x )max ，满足∀x ∈R ，f (x )≤f11．若函数f (x )＝7sin在区间π2，a 上单调，则实数a 的最大值为________．答案7π5解析因为x ∈π2，a ，所以x ＋π10∈3π5，a ＋π10，又3π5在y ＝sin x 的单调递减区间π2，3π2内，所以a ＋π10≤3π2，解得a ≤7π5，所以a 的最大值为7π5.12．已知sin x ＋cos y ＝14，则sin x －sin 2y 的最大值为________．答案916解析∵sin x ＋cos y ＝14，sin x ∈[－1,1]，∴sin x ＝14－cos y ∈[－1,1]，∴cos y ∈－34，54，即cos y ∈－34，1，∵sin x －sin 2y ＝14－cos y －(1－cos 2y )＝cos 2y －cos y －34＝y －1，又cos y ∈－34，1，利用二次函数的性质知，当cos y ＝－34时，sin x －sin 2y 取最大值，(sin x －sin 2y )max －34－－1＝916.四、解答题13．设函数f (x )＝ωx m 的图象关于直线x ＝π对称，其中0<ω<12.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝f (x )的图象过点(π，0)，求函数f (x )在0，3π2上的值域．解(1)由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得ωπ±1，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又0<ω<12，所以ω＝13，所以函数f (x )的最小正周期为3π.(2)由(1)知f (x )＝m ，因为f (π)＝0，所以m ＝0，解得m ＝－2，所以f (x )＝2，当0≤x ≤3π2时，－π6≤23x －π6≤5π6，可得－12≤ 1.所以－3≤f (x )≤0，故函数f (x )在0，3π2上的值域为[－3,0]．14．(2023·新乡模拟)已知函数f (x )＝a x 2cos a >0)，且满足________．从①f (x )的最大值为1；②f (x )的图象与直线y ＝－3的两个相邻交点的距离等于π；③f (x )的图(1)求函数f (x )的解析式及最小正周期；(2)若关于x 的方程f (x )＝1在区间[0，m ]上有两个不同解，求实数m 的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．解(1)函数f (x )＝a x 2cos＝a x x 1＝a x x ＋π2－1＝a x x 1＝(a ＋x 1，若选择条件①f (x )的最大值为1，则a ＋1＝2，解得a ＝1，所以f (x )＝x 1，则函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.若选择条件②f (x )的图象与直线y ＝－3的两个相邻交点的距离等于π，且f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，所以－(a ＋1)－1＝－3，解得a ＝1，所以f (x )＝x 1.若选择条件③f (x )则f (a ＋1)sin π6－1＝0，解得a ＝1.所以f (x )＝x 1，则函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)令f (x )＝1，得x 1，解得2x －π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝π3＋k π，k ∈Z .若关于x 的方程f (x )＝1在区间[0，m ]上有两个不同解，则x ＝π3或x ＝4π3，所以实数m 的取值范围是4π3，15．(2024·抚顺模拟)已知函数f (x )＝|，则下列说法正确的是()A ．f (x )的周期是π2B ．f (x )的值域是{y |y ≠0，y ∈R }C ．直线x ＝5π3是函数f (x )图象的一条对称轴D ．f (x )k π－2π3，2k πk ∈Z答案D 解析函数f (x )的周期是2π，故A 错误；f (x )的值域是[0，＋∞)，故B 错误；当x ＝5π3时，12x －π6＝2π3≠k π2，k ∈Z ，∴直线x ＝5π3不是函数f (x )图象的一条对称轴，故C 错误；令k π－π2<12x －π6<k π，k ∈Z ，可得2k π－2π3<x <2k π＋π3，k ∈Z ，∴f (x )k π－2π3，2k πk ∈Z ，故D 正确．16．(2023·无锡模拟)设函数f (x )＝sinx α，α＋π3上的值域为[M ，N ]，则N －M 的取值范围是______．答案12，3解析函数f (x )＝sin x T ＝π，α＝π3<T 2，当函数f (x )在α，α＋π3上单调时，N －M ＝|f (α)－f＝|αα＝3|cos 2α|≤3，当函数f (x )在α，α＋π3上不单调时，由正弦函数的图象性质知，当f (x )在α，α＋π3上的图象关于直线x ＝α＋π6对称时，N －M 最小，此时－π3＝k π＋π2，k ∈Z ，即α＝k π2＋π4，k ∈Z ，因此(N －M )min ＝|f (α)－f＝|αsin 2α|＝|ππ＝|12cos k π－cos k π|＝12，所以N －M 的取值范围是12，3.。

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第一讲三角函数的图象与性质课时作业文1．（2016·西安质检)将函数f(x)＝sin错误!的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍,所得图象的一条对称轴方程可能是( )A．x＝－π12B．x＝错误!C．x＝错误!D．x＝错误!解析：将函数f(x)＝sin错误!的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝sin错误!的图象，由错误!x＋错误!＝错误!＋kπ，k∈Z，得x＝错误!＋2kπ，k∈Z,∴当k＝0时，函数图象的对称轴为x＝2π3.故应选D.答案：D2．(2016·贵阳监测）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ)错误!的部分图象如图所示,如果x1，x2∈错误!,且f（x1）＝f(x2），则f(x1＋x2)＝( )A.错误!B。

错误!C。

错误!D．1解析：由题图可知,错误!＝错误!－错误!＝错误!,则T＝π，ω＝2，又错误!＝错误!，∴f(x)的图象过点错误!，即sin错误!＝1，得φ＝错误!，∴f(x)＝sin错误!。

而x1＋x2＝－错误!＋错误!＝错误!，∴f（x1＋x2）＝f错误!＝sin错误!＝sin 错误!＝错误!.答案：B3．（2016·高考山东卷)函数f（x)＝(错误!sin x＋cos x）·（错误!cos x－sin x）的最小正周期是（）A。

高考数学二轮复习考点知识讲解与练习第29讲三角函数与解三角形热点问题核心热点真题印证核心素养三角函数的图象与性质2022·全国Ⅰ，7；2022·全国Ⅲ，16；2022·天津，8；2019·全国Ⅰ，11；2019·北京，9；2019·全国Ⅲ，12；2019·天津，7；2018·全国Ⅱ，10；2018·全国Ⅰ，16；2018·全国Ⅲ，15直观想象、逻辑推理三角恒等变换2022·全国Ⅰ，9；2022·全国Ⅱ，2；2022·全国Ⅲ，9；2019·全国Ⅱ，10；2019·浙江，18；2018·浙江，18；2018·江苏，16；2018·全国Ⅱ，15；2018·全国Ⅲ，4逻辑推理、数学运算解三角形2022·全国Ⅰ，16；2022·全国Ⅲ，7；2022·北京，17；2022·天津，16；2022·新高考山东，17；2022·浙江，18；2019·全国Ⅰ，17；2019·全国Ⅲ，18；2019·北逻辑推理、数学运算京，15；2019·江苏，15；2018·全国Ⅰ，17三角函数的图象与性质(必修4P147复习参考题A 组第9题、第10题)题目9 已知函数y ＝(sin x ＋cos x )2＋2cos 2x . (1)求它的递减区间； (2)求它的最大值和最小值．题目10 已知函数f (x )＝cos 4x －2sin x cos x －sin 4x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求f (x )的最小值及取得最小值时x 的集合．[试题评析]两个题目主要涉及三角恒等变换和三角函数的性质，题目求解的关键在于运用二倍角公式及两角和公式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，然后利用三角函数的性质求解. 【教材拓展】 已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．解 (1)f (x )的定义域为{x |x ≠π2＋k π，k ∈Z}， f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π(k ∈Z)，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π(k ∈Z).设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4. 所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减．探究提高 1.将f (x )变形为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3是求解的关键，(1)利用商数关系统一函数名称；(2)活用和、差、倍角公式化成一复角的三角函数．2．把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．【链接高考】(2019·浙江卷)设函数f (x )＝sin x ，x ∈R. (1)已知θ∈[0,2π)，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值；(2)求函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π42的值域．解 (1)因为f (x ＋θ)＝sin(x ＋θ)是偶函数， 所以，对任意实数x 都有sin(x ＋θ)＝sin(－x ＋θ)， 即sin x cos θ＋cos x sin θ＝－sin x cos θ＋cos x sin θ， 故2sin x cos θ＝0，所以cos θ＝0. 又θ∈[0,2π)，因此θ＝π2或3π2. (2)y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π42＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 2x －32sin 2x＝1－32cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由于x ∈R ，知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∈[－1,1]，因此，所求函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，1＋32.三角函数与平面向量【例题】(2021·湘赣十四校联考)已知向量m ＝(sin x ，－1)，n ＝(3，cos x )，且函数f (x )＝m ·n .(1)若x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且f (x )＝23，求sin x 的值；(2)在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝7，△ABC 的面积为332，且f ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝73b sin C ，求△ABC 的周长．[自主解答]解 (1)f (x )＝m ·n ＝(sin x ，－1)·(3，cos x ) ＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6.∵f (x )＝23，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝13.又∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴x －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝223.∴sin x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝13×32＋223×12＝3＋226. (2)∵f ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝73b sin C ， ∴2sin A ＝73b sin C ，即6sin A ＝7b sin C ． 由正弦定理可知6a ＝7bc . 又∵a ＝7，∴bc ＝6.由已知△ABC 的面积等于12bc sin A ＝332，∴sin A ＝32. 又∵A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A ＝π3.由余弦定理，得b 2＋c 2－2bc cos A ＝a 2＝7，故b 2＋c 2＝13， ∴(b ＋c )2＝25，∴b ＋c ＝5， ∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋7.探究提高 1.破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”，即先利用三角公式对三角函数式进行“化简”；然后把以向量共线、向量垂直、向量的数量积运算等形式出现的条件转化为三角函数式；再活用正、余弦定理对边、角进行互化． 2．这种问题求解的难点一般不是向量的运算，而是三角函数性质、恒等变换及正、余弦定理的应用，只不过它们披了向量的“外衣”．【尝试训练】(2021·沧州质检)已知a ＝(53cos x ，cos x )，b ＝(sin x,2cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋|b |2.(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )的单调减区间；(3)当π6≤x ≤π2时，求函数f (x )的值域．解 f (x )＝a ·b ＋|b |2＝53cos x sin x ＋2cos 2x ＋sin 2x ＋4cos 2x ＝53sin x cos x ＋sin 2x ＋6cos 2x ＝532sin 2x ＋1－cos 2x 2＋3(1＋cos 2x ) ＝532sin 2x ＋52cos 2x ＋72＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋72.(1)f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z)得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z)．∴f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)．(3)∵π6≤x ≤π2，∴π2≤2x ＋π6≤7π6，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1， ∴1≤5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋72≤172. ∴当π6≤x ≤π2时，函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，172.解三角形【例题】(12分)(2022·全国Ⅱ卷)△ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C ＝sin B sin C ．(1)求A ；(2)若BC ＝3，求△ABC 周长的最大值． [规范解答]解 (1)由正弦定理和已知条件得用正弦定理化角为边BC 2－AC 2－AB 2＝AC ·AB .①2′由余弦定理得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ．② 由①②得cos A ＝－12. 用余弦定理化边为角4′因为0<A <π，所以A ＝2π3.6′ (2)由正弦定理及(1)得AC sin B＝AB sin C＝BC sin A＝23，8′从而AC ＝23sin B ，AB ＝23sin(π－A －B )＝3cos B －3sin B ． 故BC ＋AC ＋AB ＝3＋3sin B ＋3cos B＝3＋23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3. 两角和正弦公式的逆用10′又0<B <π3，所以当B ＝π6时，△ABC 周长取得最大值3＋2 3. 三角函数性质的应用12′❶写全得步骤分：对于解题过程中得分点的步骤有则给分，无则没分，所以得分点步骤一定要写全，如第(1)问中只要写出0<A <π就有分，没写就扣1分，第(2)问中0<B <π3也是如此．❷写明得关键分：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时要写清得分关键点，如第(1)问中由正弦定理得BC 2－AC 2－AB 2＝AC ·AB ，由余弦定理得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos A ，第(2)问中ACsin B＝AB sin C＝BC sin A＝23等．❸保证正确得计算分：解题过程中计算准确，是得满分的根本保证，如第(1)问中，cos A ＝－12，若计算错误，则第(1)问最多2分；再如第(2)问3＋3sin B ＋3cos B ＝3＋23sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3化简如果出现错误，则第(2)问最多得2分．……利用正弦、余弦定理，对条件式进行边角互化……由三角函数值及角的范围求角……由正弦、余弦定理及条件式实现三角恒等变换……利用角的范围和三角函数性质求出最值……检验易错易混，规范解题步骤得出结论【规范训练】(2022·浙江卷)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知2b sin A －3a ＝0. (1)求角B 的大小；(2)求cos A ＋cos B ＋cos C 的取值范围． 解 (1)由正弦定理，得2sin B sin A ＝3sin A ，故sin B ＝32，由题意得B ＝π3. (2)由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝2π3－A . 由△ABC 是锐角三角形，得A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2 .由cos C ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝－12cos A ＋32sin A ，得 cos A ＋cos B ＋cos C ＝32sin A ＋12cos A ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋12∈⎝⎛⎦⎥⎤3＋12，32. 故cos A ＋cos B ＋cos C 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤3＋12，32.1．(2019·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a ， 3c sin B ＝4a sin C ． (1)求cos B 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6的值．解 (1)在△ABC 中，由正弦定理b sin B＝c sin C，得b sin C ＝c sin B ．又由3c sin B ＝4a sin C ， 得3b sin C ＝4a sin C ，即3b ＝4a . 因为b ＋c ＝2a ，所以b ＝43a ，c ＝23a . 由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋49a 2－169a 22·a ·23a ＝－14. (2)由(1)可得sin B ＝1－cos 2B ＝154， 从而sin 2B ＝2sin B cos B ＝－158， cos 2B ＝cos 2B －sin 2B ＝－78， 故sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝sin 2B cos π6＋cos 2B sin π6 ＝－158×32－78×12＝－35＋716. 2．已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R.(1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值．解 (1)f (x )＝2cos 2x －3sin 2x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 令2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z)， 解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z)， ∴函数y ＝f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)． (2)∵f (A )＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，又π3＜2A ＋π3＜7π3， ∴2A ＋π3＝π，即A ＝π3. ∵a ＝7，∴由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.①∵向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，∴2sin B ＝3sin C ，由正弦定理得2b ＝3c ，②由①②得b ＝3，c ＝2.3．已知函数f (x )＝cos x (cos x ＋3sin x )．(1)求f (x )的最小值；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若f (C )＝1，S △ABC ＝334，c ＝7，求△ABC 的周长．解 (1)f (x )＝cos x (cos x ＋3sin x )＝cos 2x ＋3sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋32sin 2x ＝12＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－1时，f (x )取得最小值－12. (2)f (C )＝12＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝12， ∵C ∈(0，π)，2C ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，∴2C ＋π6＝5π6，∴C ＝π3.∵S △ABC ＝12ab sin C ＝334，∴ab ＝3. 又(a ＋b )2－2ab cos π3＝7＋2ab ， ∴(a ＋b )2＝16，即a ＋b ＝4，∴a ＋b ＋c ＝4＋7， 故△ABC 的周长为4＋7.4．(2021·东北三省三校联考)已知在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2tan A ＝a 2tan B ，2sin 2A ＋B 2＝1＋cos 2C .(1)求角A 的大小； (2)若点D 为AB 上一点，满足∠BCD ＝45°，且CD ＝32－6，求△ABC 的面积． 解 (1)由2sin 2A ＋B2＝1＋cos 2C 得1－cos(A ＋B )＝2cos 2C ，即2cos 2C －cos C －1＝0， 解得cos C ＝－12(cos C ＝1舍去)，故C ＝120°. 因为asin A ＝bsin B ，b 2tan A ＝a 2tan B ，所以sin 2B sin A cos A ＝sin 2A sin B cos B， 即sin A ·cos A ＝sin B cos B ，故sin 2A ＝sin 2B ，因此A ＝B 或A ＋B ＝90°(舍去)，故A ＝30°.(2)由(1)知△ABC 为等腰三角形，设BC ＝AC ＝m ，由S △ABC ＝S △ACD ＋S △BCD 得12m 2·sin 120°＝12m · CD ·sin 45°＋12m ·CD ·sin 75°，整理得32m＝CD⎝⎛⎭⎪⎫22＋2＋64＝()32－6×32＋64，解得m＝23，故S△ABC＝12m2·sin 120°＝3 3.5．(2021·郑州调研)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其面积S＝b2＋c2－a24.(1)若a＝6，b＝2，求cos B；(2)求sin(A＋B)＋sin B cos B＋cos(B－A)的最大值．解(1)∵S＝b2＋c2－a24，∴12bc sin A＝b2＋c2－a24，即sin A＝b2＋c2－a22bc＝cos A，则tan A＝1，又A∈(0，π)，∴A＝π4.由正弦定理asin A ＝bsin B，得622＝2sin B，∴sin B＝66，又a>b，∴cos B＝1－16＝306.(2)由第(1)问可知，A＝π4，sin(A ＋B )＋sin B cos B ＋cos(B －A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＋sin B cos B ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π4 ＝22sin B ＋22cos B ＋sin B cos B ＋22cos B ＋22sin B ＝2(sin B ＋cos B )＋sin B cos B ，令t ＝sin B ＋cos B ，则t 2＝1＋2sin B cos B ，sin(A ＋B )＋sin B cos B ＋cos(B －A )＝2t ＋12(t 2－1)， 令y ＝12t 2＋2t －12＝12(t ＋2)2－32，t ∈(0，2]， ∴当t ＝2，即B ＝π4时， sin(A ＋B )＋sin B cos B ＋cos(B －A )取得最大值52.。

第1讲 三角函数的图象与性质高考定位 三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：1.三角函数的图象，涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查.真 题 感 悟1.(2018·全国Ⅰ卷)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝( ) A.15 B.55 C.255D.1解析 由题意知cos α>0.因为cos 2α＝2cos 2α－1＝23，所以cos α＝306，sin α＝±66，得|tan α|＝55.由题意知|tan α|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b 1－2，所以|a －b |＝55. 答案 B2.(2019·全国Ⅱ卷)若x 1＝π4，x 2＝3π4是函数f (x )＝sin ωx (ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝( ) A.2B.32C.1D.12解析 由题设知，函数f (x )的最小正周期T ＝2πω＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫34π－π4＝π，解得ω＝2.答案 A3.(2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4 B.π2 C.3π4D.π解析 f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，且函数y ＝cos x 在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x ＋π4≤π，得－π4≤x ≤3π4.因为f (x )在[－a ，a ]上是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥－π4，a ≤3π4，解得a ≤π4.所以0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4. 答案 A4.(2019·全国Ⅰ卷)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________.解析 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x ＝－cos 2x －3cos x ＝－2cos 2x －3cos x ＋1 ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ＋342＋178，因为cos x ∈[－1，1]，所以当cos x ＝1时，f (x )取得最小值，即f (x )min ＝－4. 答案 －4考 点 整 合1.常用的三种函数的图象与性质(下表中k ∈Z )图象递增区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 [2k π－π，2k π]⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2 递减区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π，2k π＋π]奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 (k π，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0 对称轴 x ＝k π＋π2 x ＝k π 周期性2π2ππ2.三角函数的常用结论(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得.(2)y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得. (3)y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数. 3.三角函数的两种常见变换(1)y ＝sin x ――――――――――――――→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位热点一 三角函数的定义与同角关系式【例1】 (1)在平面直角坐标系中，AB ︵，CD ︵，EF ︵，GH ︵是圆x 2＋y 2＝1上的四段弧(如图)，点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边.若tan α<cos α<sin α，则P 所在的圆弧是( )A.AB ︵B.CD ︵C.EF ︵D.GH ︵(2)如图，以Ox 为始边作角α(0<α<π)，终边与单位圆相交于点P ，已知点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，则sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α＝________.解析 (1)设点P 的坐标为(x ，y )，由三角函数的定义得y x <x <y ，所以－1<x <0，0<y <1.所以P 所在的圆弧是EF ︵.(2)由三角函数定义，得cos α＝－35，sin α＝45， ∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos α（sin α＋cos α）sin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1825.答案 (1)C (2)1825探究提高 1.任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P 的位置无关.若角α已经给出，则无论点P 选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的.2.应用诱导公式与同角关系开方运算时，一定要注意三角函数值的符号；利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.【训练1】 (1)(2019·济南质检)在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π3，cos 5π3，则sin(π＋α)等于( ) A.－32 B.－12C.12D.32(2)(2018·全国Ⅰ卷改编)已知角θ的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，且终边经过点(a ，2a )(a ≠0)，则cos 2θ＝( ) A.－45 B.－35 C.35D.45解析 (1)|OP |＝1，且点P 在α的终边上， ∴sin α＝cos 5π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－2π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝cos π3＝12，因此sin(π＋α)＝－sin α＝－12.(2)法一 依题意tan θ＝2aa ＝2.∴cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35. 法二 由θ的终边过点(a ，2a )(a ≠0)，知cos 2θ＝⎝⎛⎭⎪⎫a 5|a |2＝15.∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×15－1＝－35. 答案 (1)B (2)B 热点二 三角函数的图象【例2】 (1)(2019·天津卷)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x ).若g (x )的最小正周期为2π，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝( )A.－2B.－ 2C. 2D.2(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，x 1≠x 2且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A.1B.12C.22D.32解析 (1)由f (x )是奇函数可得φ＝k π(k ∈Z )，又|φ|<π，所以φ＝0. 所以g (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12ωx ，且g (x )最小正周期为2π，可得2π12ω＝2π，故ω＝2，所以g (x )＝A sin x ，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝A sin π4＝22A ＝2，所以A ＝2. 所以f (x )＝2sin 2x ，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝2sin 3π4＝ 2.(2)观察图象知，A ＝1，T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π6＝π，则ω＝2.又点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是“五点法”中的始点，∴2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝0，φ＝π3.则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 所以在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3上，函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，x 1≠x 2且f (x 1)＝f (x 2)，所以x 1＋x 22＝π12，则x 1＋x 2＝π6， 因此f (x 1＋x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32.答案 (1)C (2)D探究提高 1.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.2.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，一般把第一个“零点”作为突破口，可以从图象的升降找准第一个“零点”的位置.【训练2】 (1)(2019·长郡中学联考)要得到函数y ＝3cos 2x ＋sin x cos x －32的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( ) A.向左平移π12个单位 B.向右平移π12个单位 C.向左平移π6个单位D.向右平移π6个单位(2)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，π2≤φ≤π的部分图象如图所示，其中f (0)＝1，|MN |＝52，将f (x )的图象向右平移1个单位，得到函数g (x )的图象，则g (x )的解析式为( )A.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋2π3 B.y ＝2cos π3xC.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3x ＋π3 D.y ＝－2cos π3x 解析 (1)y ＝32(2cos 2x －1)＋12sin 2x ＝32cos 2x ＋12sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝ sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6∴将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象. (2)由题意|MN |＝52，得T 4＝32，则T ＝6，ω＝π3，又f (0)＝1，得sin φ＝12，且π2≤φ≤π，所以φ＝5π6，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋5π6，则g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3（x －1）＋5π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π2＝2cos π3x .答案 (1)C (2)B 热点三 三角函数的性质 角度1 三角函数性质【例3－1】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A.f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B.f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C.f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D.f (x )的最小正周期为2π，最大值为4(2)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A.f (x )的一个周期为－2πB.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C.f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6 D.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减解析 (1)易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝3cos 2x ＋12＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当2x ＝2k π，即x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4.(2)根据函数解析式可知f (x )的周期为2k π(k ∈Z 且k ≠0)，所以f (x )的一个周期为 －2π，A 项正确.当x ＝8π3时，x ＋π3＝3π，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－1，所以B 项正确.f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3，当x ＝π6时，x ＋4π3＝3π2，所以f (x ＋π)＝0，所以C 项正确；f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，23π上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π上单调递增，故D 项不正确.答案 (1)B (2)D探究提高 1.讨论三角函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数.2.求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间，是将ωx ＋φ作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为y ＝A sin(ωx ＋φ)的增区间(或减区间). 角度2 三角函数图象与性质的综合应用【例3－2】 (2019·湖北八校联考)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在它的某一个周期内的单调递减区间是[5π12，11π12].将y ＝f (x )的图象先向左平移π4个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，所得到的图象对应的函数记为g (x ).(1)求g (x )的解析式；(2)求g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值和最小值. 解 (1)依题意T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1112π－512π＝π，∴ω＝2.又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ＝1，5π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，|φ|<π2，∴φ＝－π3，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3， 由图象变换，得g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，4x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，当4x ＋π6＝7π6，即x ＝π4时，g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin 7π6＝－12；当4x ＋π6＝π2，即x ＝π12时，g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝sin π2＝1. 故函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值和最小值分别为1和－12.探究提高 1.研究三角函数的图象与性质，关键是将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B )的形式，利用正余弦函数与复合函数的性质求解. 2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|.应特别注意y ＝|A sin(ωx ＋φ)|的最小正周期为T ＝π|ω|.【训练3】 (1)(2019·河南八市联考)已知f (x )＝4cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列说法中错误的是( )A.函数f (x )的最小正周期为πB.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12上单调递减C.函数f (x )的图象可以由函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到D.⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，1是函数f (x )图象的一个对称中心 (2)设函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx －3cos 2ωx ＋32(ω>0)的图象上相邻最高点与最低点的距离为π2＋4. ①求ω 的值；②若函数y ＝f (x ＋φ)(0<φ<π2)是奇函数，求函数g (x )＝cos(2x －φ)的单调减区间. (1)解析 f (x )＝2cos 2x －3sin 2x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1，易知f (x )的最小正周期T ＝π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12上单调递减，A ，B 正确；函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到的是y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2的图象，因此C 项错误；易验证D 项正确，故选C.答案 C(2)解 ①f (x )＝sin ωx ·cos ωx －3cos 2ωx ＋32 ＝12sin 2ωx －3（1＋cos 2ωx ）2＋32 ＝12sin 2ωx －32cos 2ωx ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.设T 为f (x )的最小正周期，由f (x )的图象上相邻最高点与最低点的距离为π2＋4，得⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＋[2f (x )max ]2＝π2＋4.又f (x )max ＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＋4＝π2＋4，解得T ＝2π.又ω>0，T ＝2π2ω＝2π，∴ω＝12. ②由①可知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，∴f (x ＋φ)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ－π3.∵y ＝f (x ＋φ)是奇函数，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π3＝0.又0<φ<π2，∴φ＝π3，∴g (x )＝cos(2x －φ)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.令2k π≤2x －π3≤2k π＋π，k ∈Z ，则k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ，∴函数g (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z .1.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的图象求解析式 (1)A ＝y max －y min 2，B ＝y max ＋y min2. (2)由函数的周期T 求ω，ω＝2πT . (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求φ. 2.运用整体换元法求解单调区间与对称性类比y ＝sin x 的性质，只需将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的“ωx ＋φ”看成y ＝sin x 中的“x ”，采用整体代入求解.(1)令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，可求得对称轴方程； (2)令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，可求得对称中心的横坐标；(3)将ωx ＋φ看作整体，可求得y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，注意ω的符号. 3.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (一角一函数)的形式；第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.A 级 巩固提升一、选择题1.(2018·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x的最小正周期为( )A.π4B.π2C.πD.2π解析 f (x )＝tan x 1＋tan 2x ＝sin x cos x 1＋sin 2x cos 2x ＝sin x cos x cos 2x ＋sin 2x＝sin x cos x ＝12sin 2x ，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 答案 C2.(2019·合肥质检)将点P (1，1)绕原点O 沿逆时针方向旋转π3到点Q 的位置，则Q 的横坐标为( ) A.1－32B.1＋32C.2－64D.2＋64解析 由题意，点Q 在角π4＋π3＝712π的终边上，且|OQ |＝2，∴点Q 的横坐标x 0＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π3＝1－32.答案 A3.(2019·衡水中学联考)函数f (x )＝cos x ＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的最大值为( )A.1B. 3C.2D.3＋1解析 f (x )＝cos x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x －32cos x＝32sin x －12cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，∴函数f (x )的最大值为1. 答案 A4.(2019·广州模拟)古希腊人早在公元前就知道，七弦琴发出不同的声音，是由于弦长度的不同.数学家傅里叶(公元1768年～1830年)关于三角函数的研究告诉我们：人类的声音，小提琴的奏鸣，动物的叫声——都可以归结为一些简单声音的组合，而简单声音是可以用三角函数描述的.已知描述百灵鸟的叫声时用到如图所示的三角函数图象，图象的解析式是f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)，则( )A.ω＝3，φ＝π6B.ω＝6，φ＝π3C.ω＝3，φ＝π4D.ω＝6，φ＝5π6解析 由图象知，T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1112π－712π＝2π3，∴2πω＝2π3，则ω＝3.又A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×7π12＋φ＝0，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫74π＋φ＝0， ∴74π＋φ＝2k π(k ∈Z )，由φ∈(0，π)，得φ＝π4. 答案 C5.定义一种运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 2sin x 3 cos x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则φ的最小值是( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析 f (x )＝2cos x －23sin x ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，依题意g (x )＝f (x ＋φ)＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ是偶函数(其中φ>0).∴π3＋φ＝k π，k ∈Z ，则min 3答案 C 二、填空题6.(2018·江苏卷)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2 的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是________.解析 由函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1.因为－π2<φ<π2，所以π6<2π3＋φ<7π6，则2π3＋φ＝π2，φ＝－π6.答案 －π67.(多填题)偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，其中△EFG 是斜边为4的等腰直角三角形(E ，F 是函数与x 轴的交点，点G 在图象上)，则A ＝________，f (1)的值为________.解析 依题设，T 2＝|EF |＝4，T ＝8，ω＝π4. ∵函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，且0<φ<π. ∴φ＝π2，在等腰直角△EGF 中，易求A ＝2.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π2＝2cos π4x ，则f (1)＝ 2. 答案 228.(2018·北京卷)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0).若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________.解析 由于对任意的实数都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4成立，故当x ＝π4时，函数f (x )有最大值，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，∴ω＝8k ＋23(k ∈Z ).又ω>0，∴ωmin ＝23.3三、解答题9.已知函数f (x )＝3sin 2x －2sin 2x .(1)若点P (1，－3)在角α的终边上，求f (α)的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递减区间. 解 (1)∵点P (1，－3)在角α的终边上， ∴sin α＝－32，cos α＝12， ∴f (α)＝3sin 2α－2sin 2α＝23sin αcos α－2sin 2α ＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×12－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝－3.(2)f (x )＝3sin 2x －2sin 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x －1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1.易知f (x )的最小正周期为2π2＝π. 由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π，k ∈Z .10.(2019·浙江卷)设函数f (x )＝sin x ，x ∈R .(1)已知θ∈[0，2π)，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值； (2)求函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π42的值域.解 (1)因为f (x ＋θ)＝sin(x ＋θ)是偶函数， 所以，对任意实数x 都有sin(x ＋θ)＝sin(－x ＋θ)， 即sin x cos θ＋cos x sin θ＝－sin x cos θ＋cos x sin θ， 故2sin x cos θ＝0，所以cos θ＝0.又θ∈[0，2π)，因此θ＝π2或3π2. (2)y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π42＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 ＝1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 2x －32sin 2x＝1－32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由于x ∈R ，知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∈[－1，1]，因此，所求函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，1＋32.B 级 能力突破11.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(0<φ<π)的图象与直线y ＝2的两个交点的横坐标分别为x 1，x 2，若|x 1－x 2|的最小值为π，且将函数f (x )的图象向右平移π4个单位长度得到的函数为奇函数，则函数f (x )的一个递增区间为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4 解析 由题意得T ＝π，所以ω＝2πT ＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)向右平移π4个单位，得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＋φ，且g (x )为奇函数， 故φ－π2＝k π，k ∈Z ，所以φ＝π2＋k π，k ∈Z ，因为0<φ<π，所以φ＝π2，因此f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x ，故⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0为函数f (x )的一个递增区间. 答案 A12.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32. (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值.解 (1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1)＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1.(2)令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝5π12＋k2(k ∈Z )，所以函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π(k ∈Z )，∴当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π或x ＝11π12.又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2.∴x 1＋x 2＝56π⎝ ⎛⎭⎪⎫易证x 1＋x 2＝11π6不合题意，则x 1＝56π－x 2， ∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3，又f (x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝23，故cos(x 1－x 2)＝23.。

高三数学二轮复习重点高三数学第二轮重点复习内容专题一：函数与不等式，以函数为主线，不等式和函数综合题型是考点函数的性质：着重掌握函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性。

这些性质通常会综合起来一起考察，并且有时会考察具体函数的这些性质，有时会考察抽象函数的这些性质。

一元二次函数：一元二次函数是贯穿中学阶段的一大函数，初中阶段主要对它的一些基础性质进行了了解，高中阶段更多的是将它与导数进行衔接，根据抛物线的开口方向，与x轴的交点位置，进而讨论与定义域在x轴上的摆放顺序，这样可以判断导数的正负，最终达到求出单调区间的目的，求出极值及最值。

不等式：这一类问题常常出现在恒成立，或存在性问题中，其实质是求函数的最值。

当然关于不等式的解法，均值不等式，这些不等式的基础知识点需掌握，还有一类较难的综合性问题为不等式与数列的结合问题，掌握几种不等式的放缩技巧是非常必要的。

专题二：数列。

以等差等比数列为载体，考察等差等比数列的通项公式，求和公式，通项公式和求和公式的关系，求通项公式的几种常用方法，求前n项和的几种常用方法，这些知识点需要掌握。

专题三：三角函数，平面向量，解三角形。

三角函数是每年必考的知识点，难度较小，选择，填空，解答题中都有涉及，有时候考察三角函数的公式之间的互相转化，进而求单调区间或值域;有时候考察三角函数与解三角形，向量的综合性问题，当然正弦，余弦定理是很好的工具。

向量可以很好得实现数与形的转化，是一个很重要的知识衔接点，它还可以和数学的一大难点解析几何整合。

专题四：立体几何。

立体几何中，三视图是每年必考点，主要出现在选择，填空题中。

大题中的立体几何主要考察建立空间直角坐标系，通过向量这一手段求空间距离，线面角，二面角等。

另外，需要掌握棱锥，棱柱的性质，在棱锥中，着重掌握三棱锥，四棱锥，棱柱中，应该掌握三棱柱，长方体。

空间直线与平面的位置关系应以证明垂直为重点，当然常考察的方法为间接证明。

专题五：解析几何。

第2讲 平面向量、解三角形【课前热身】第2讲 平面向量、解三角形(本讲对应学生用书第4~6页)1.(必修4 P76习题7改编)在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC u u u r =e 1，DC u u u r =e 2，则OC u u u r= .【答案】12(e 1+e 2)【解析】因为O 是矩形ABCD 对角线的交点，BCu u u r =e 1，DCu u u r =e 2，所以OCu u u r =12(BC u u u r +DC u u u r)=12(e 1+e 2).2.(必修4 P90习题19改编)已知向量a =(6，-3)，b =(2，x+1)，若a ⊥b ，则实数x= . 【答案】3【解析】因为a ⊥b ，所以a ·b =0，所以12-3x-3=0，解得x=3.3.(必修5 P10练习2改编)在锐角三角形ABC 中，设角A ，B 所对的边分别为a ，b.若2a sin B=3b ，则角A= .【答案】π3【解析】在△ABC 中，由正弦定理及已知得2sin A·sin B=3sin B ，因为B 为△ABC的内角，所以sin B ≠0，所以sinA=32.又因为△ABC 为锐角三角形，所以A ∈π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以A=π3.4.(必修4 P80例5改编)已知向量a =(1，0)，b =(2，1)，则当k= 时，向量k a -b 与a +3b 平行.【答案】-13【解析】由题设知向量a 与b 不平行，因为向量k a -b 与a +3b 平行，所以1k =-13，即k=-13.5.(必修5 P16习题1(3)改编)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a=7，b=43，c=13，则△ABC 最小的内角为 .【答案】π6【解析】因为13<43<7，所以C<B<A ，又因为cosC=222-2a b c ab +=2743⨯⨯=32，所以C=π6.【课堂导学】平面向量与三角函数综合例1 (2016·淮安5月信息卷)已知向量m =(cos α，sin α)，n =(3，-1)，α∈(0，π).(1)若m ⊥n ，求角α的大小； (2)求|m +n |的最小值.【解答】(1)因为m =(cos α，sin α)，n =(3，-1)，且m ⊥n ，所以3cos α-sin α=0，即tan α=3.又因为α∈(0，π)，所以α=π3.(2)因为m +n =(cos α+3，sin α-1)，所以|m +n |=22(cos 3)(sin -1)αα++=523cos -2sin αα+=π54cos 6α⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 因为α∈(0，π)，所以α+ππ7π666⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，故当α+π6=π，即α=5π6时，|m +n |取得最小值1.正弦定理、余弦定理的应用例2 (2016·苏州暑假测试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin2-2A B+sin A sin B=22+.(1)求角C 的大小；(2)若b=4，△ABC 的面积为6，求c 的值.【解答】(1)sin2-2A B+sin A sin B=1-cos(-)2A B+2sin sin2A B=1-cos cos-sin sin2A B A B+2sin sin2A B=1-cos cos sin sin2A B A B+=1-(cos cos-sin sin)2A B A B=1-cos()2A B+=1-cos(π-)2C=1cos2C+=22+，所以cos C=22.又0<C<π，所以C=π4.(2)因为S=12ab sin C=12a×4×sinπ4=2a=6，所以a=32.因为c2=a2+b2-2ab cos C=(32)2+42-2×32×4×22=10，所以c=10.变式1(2016·南通一调)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a+b-c)(a+b+c)=ab.(1)求角C的大小；(2)若c=2a cos B，b=2，求△ABC的面积.【解答】(1)在△ABC中，由(a+b-c)(a+b+c)=ab，得222-2a b cab+=-12，即cosC=-12.因为0<C<π，所以C=2π3.(2)方法一：因为c=2a cos B，由正弦定理，得sin C=2sin A cos B.因为A+B+C=π，所以sin C=sin(A+B )，所以sin(A+B )=2sin A cos B ，即sin A cos B-cos A sin B=0， 所以sin(A-B )=0.又-π3<A-B<π3，所以A-B=0，即A=B ，所以a=b=2. 所以△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C=12×2×2×sin 2π3=3.方法二：由c=2a cos B 及余弦定理，得c=2a×222-2a c b ac +，化简得a=b ，所以△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C=12×2×2×sin 2π3=3.变式2 (2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)在斜三角形ABC 中，tan A+tan B+tan A tan B=1.(1)求角C 的大小； (2)若A=15°，2，求△ABC 的周长.【解答】(1)因为tan A+tan B+tan A tan B=1， 即tan A+tan B=1-tan A tan B.因为在斜三角形ABC 中，1-tan A tan B ≠0，所以tan(A+B )=tan tan 1-tan tan A BA B +=1，即tan(180°-C )=1，tan C=-1. 因为0°<C<180°，所以C=135°.(2)在△ABC 中，A=15°，C=135°，则B=180°-A-C=30°.由正弦定理sin BC A =sin CAB =sin ABC ，得sin15BC o =°sin30CA=2=2，故BC=2sin 15°=2sin(45°-30°)=2(sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°)=6-2 2，CA=2sin 30°=1.所以△ABC的周长为AB+BC+CA=2+1+6-22=2622++.平面向量与解三角形综合例3(2016·无锡期末)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量a=(sin B-sin C，sin C-sin A)，b=(sin B+sin C，sin A)，且a⊥b.(1)求角B的大小；(2)若b=c·cos A，△ABC的外接圆的半径为1，求△ABC的面积.【解答】(1)因为a⊥b，所以a·b=0，即sin2B-sin2C+sin A(sin C-sin A)=0，即sin A sin C=sin2A+sin2C-sin2B，由正弦定理得ac=a2+c2-b2，所以cos B=222-2a c bac+=12.因为B∈(0，π)，所以B=π3.(2)因为c·cos A=b，所以bc=222-2b c abc+，即b2=c2-a2，又ac=a2+c2-b2，b=2R sin3，解得a=1，c=2.所以S△ABC =12ac sin B=3.变式(2016·苏锡常镇二调)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量m=(cos B，cos C)，n=(4a-b，c)，且m∥n.(1)求cos C的值；(2)若c=3，△ABC的面积S=15，求a，b的值.【解答】(1)因为m∥n，所以c cos B=(4a-b)cos C，由正弦定理，得sin C cos B=(4sin A-sin B)cos C，化简得sin(B+C)=4sin A cos C.因为A+B+C=π，所以sin(B+C)=sin A.又因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以cos C=14.(2)因为C∈(0，π)，cos C=14，所以sin C=21-cos C=11-16=15.因为S=12ab sin C=15，所以ab=2.①因为c=3，由余弦定理得3=a2+b2-12ab，所以a2+b2=4，②由①②，得a4-4a2+4=0，从而a2=2，a=2(a=-2舍去)，所以a=b=2.【课堂评价】1.(2016·镇江期末)已知向量a=(-2，1)，b=(1，0)，则|2a+b|=. 【答案】13【解析】因为2a+b=(-3，2)，所以|2a+b|=22(-3)2+=13.2.(2016·南京学情调研)已知向量a=(1，2)，b=(m，4)，且a∥(2a+b)，则实数m=.【答案】2【解析】方法一：由题意得a=(1，2)，2a+b=(2+m，8)，因为a∥(2a+b)，所以1×8-(2+m)×2=0，故m=2.方法二：因为a∥(2a+b)，所以存在实数λ，使得λa=2a+b，即(λ-2)a=b，所以(λ-2，2λ-4)=(m，4)，所以λ-2=m且2λ-4=4，解得λ=4，m=2.3.(2016·南京、盐城一模)在△ABC中，设a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若a=5，A=π4，cos B=35，则c=.【答案】7【解析】因为cos B=35，所以B∈π2⎛⎫⎪⎝⎭，，从而sin B=45，所以sin C=sin(A+B)=sinA cos B+cos A sin B=2×35+2×45=72，又由正弦定理得sinaA=sincC，即52 =72c，解得c=7.4.(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中，B=π4，BC边上的高等于13BC，则cos A=.(第4题)【答案】-10【解析】如图，作AD ⊥BC交BC 于点D ，设BC=3，则AD=BD=1，AB=2，AC=5.由余弦定理得32=(2)2+(5)2-2×2×5×cos A ，解得cos A=-10.5.(2016·南通一调)已知在边长为6的正三角形ABC 中，BD u u u r =12BC u u u r ，AE u u u r=13AC u u u r ，AD 与BE 交于点P ，则PB u u u r ·PD u u ur 的值为 .(第5题)【答案】274【解析】如图，以BC 为x 轴，AD 为y 轴，建立平面直角坐标系，不妨设B (-3，0)，C (3，0)，则D (0，0)，A (0，33)，E (1，23)，P 330⎛ ⎝⎭，，所以PB u u u r ·PD u u ur =|PD u u u r |2=233⎝⎭=274.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第3～4页.【检测与评估】第2讲 平面向量、解三角形一、 填空题1.(2016·苏州暑假测试)设x ，y ∈R ，向量a =(x ，1)，b =(2，y )，且a +2b =(5，-3)，则x+y= .2.(2016·盐城三模)已知向量a ，b 满足a =(4，-3)，|b |=1，|a -b |=21，则向量a ，b 的夹角为 .3.(2016·全国卷Ⅱ)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b= .4.(2016·天津卷)在△ABC 中，若AB=13，BC=3，∠C=120°，则AC= .5.(2016·南京三模)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=4，AD=3，CD=2，AM u u u u r =2MD u u u u r .若AC u u u r ·BM u u u u r =-3，则AB u u u r ·AD u u u r = .(第5题)6.(2016·无锡期末)已知平面向量α，β满足|β|=1，且α与β-α的夹角为120°，则α的模的取值范围为 .7.在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若b a +ab =6cos C ，则tan tan C A +tan tan CB = .8.(2016·苏北四市摸底)在△ABC 中，AB=2，AC=3，角A 的平分线与AB 边上的中线交于点O ，若AO u u u r =x AB u u u r+y AC u u u r (x ，y ∈R )，则x+y 的值为 .二、 解答题9.(2016·苏北四市期末)已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin A=35，tan(A-B )=-12.(1)求tan B 的值； (2)若b=5，求c 的值.10.(2016·徐州、连云港、宿迁三检)如图，在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AD=1，BD=210，∠CAD=π4，tan ∠ADC=-2.(1)求CD 的长； (2)求△BCD 的面积.(第10题)11.(2016·南京三模)在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边.若向量m =(a ，cos A )，向量n =(cos C ，c )，且m ·n =3b cos B.(1)求cos B 的值；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求1tan A +1tan C 的值.【检测与评估答案】第2讲 平面向量、解三角形一、 填空题1. -1 【解析】由题意得a +2b =(x+4，1+2y )=(5，-3)，所以4512-3x y +=⎧⎨+=⎩，，解得1-2x y =⎧⎨=⎩，，所以x+y=-1.2. π3【解析】设向量a ，b 的夹角为θ，由|a -b|=，得21=(a -b )2=a 2+b 2-2a ·b =25+1-2·5·cos θ，即cos θ=12，所以向量a ，b 的夹角为π3.3. 2113 【解析】因为cos A=45，cos C=513，且A ，C 为三角形的内角，所以sin A=35，sin C=1213，所以sin B=sin(A+C )=sin A cos C+cos A sin C=6365.由正弦定理得sin b B =sin aA ，解得b=2113.4. 1【解析】设AC=x，由余弦定理得cos 120°=29-13 23xx+⋅⋅=-12，即x2+3x-4=0，解得x=1或x=-4(舍去)，所以AC=1.5.32【解析】方法一：设ABu u u r=4a，ADu u u r=3b，其中|a|=|b|=1，则DCu u u r=2a，AMu u u u r=2b.由ACu u u r·BMu u u u r=(ADu u u r+DCu u u r)·(BAu u u r+AMu u u u r)=-3，得(3b+2a)·(2b-4a)=-3，化简得a·b=18，所以ABu u u r·ADu u u r=12a·b=32.方法二：建立平面直角坐标系，使得A(0，0)，B(4，0)，设D(3cos α，3sin α)，则C(3cos α+2，3sin α)，M(2cos α，2sin α).由ACu u u r·BMu u u u r=-3，得(3cos α+2，3sin α)·(2cos α-4，2sin α)=-3，化简得cos α=18，所以ABu u u r·ADu u u r=12cos α=32.6.23⎛⎤⎥⎝⎦，【解析】如图，设α=ABu u u r，β=ACu u u r，则β-α=BCu u u r，∠ABC=60°，设α与β的夹角为θ，则0°<θ<120°，由正弦定理可得°||sin(120-)θα=°||sin60β，所以|α|=233sin(120°-θ).因为0°<θ<120°，所以0°<120°-θ<120°，所以0<sin(120°-θ)≤1，所以0<|α|≤23.(第6题)7. 4 【解析】b a +ab =6cos C ⇒6ab cos C=a 2+b 2⇒3(a 2+b 2-c 2)=a 2+b 2⇒a 2+b 2=232c ，所以tan tan C A +tan tan CB =sin cosC C ·cos sin sin cos sin sin B A B A A B +=sin cos C C ·sin()sin sin A B A B +=1cos C ·2sin sin sin C A B =2222-aba b c +·2c ab =22223-2c c c=2222c c =4.8. 58 【解析】如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，CE 为AB 边上的中线，且AD ∩CE=O.在△AEO 中，由正弦定理得sin AE AOE ∠=sin EOEAO ∠.在△ACO 中，由正弦定理得sin AC AOC ∠=sin COCAO ∠，两式相除得AE AC =EO OC .因为AE=12AB=1，AC=3，所以EO OC =13，所以CO u u u r =3OE u u u r ，即AO u u u r -AC u u u r =3(AE u u u r -AO u u ur )，即4AO u u u r =3AE u u u r+AC u u u r ，所以4AO u u u r =32AB u u ur +AC u u u r ，从而AO u u u r =38AB u u u r +14AC u u u r .因为AO u u u r =x AB u u u r+y ACu u u r ，所以x=38，y=14，所以x+y=58.(第8题)二、 解答题9. (1) 方法一：在锐角三角形ABC 中，由sin A=35，得cos A=21-sin A =45，所以tan A=sin cos A A =34.由tan(A-B )=tan -tan 1tan ?tan A B A B +=-12，得tan B=2.方法二：在锐角三角形ABC 中，由sin A=35，得cos A=21-sin A =45，所以tanA=sin cos A A =34.又因为tan(A-B )=-12，所以tan B=tan[A-(A-B )]=tan -tan(-)1tan tan(-)A A B A A B +=31--42311-42⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭=2. (2) 由(1)知tan B=2，得sin B=255，cos B=55， 所以sin C=sin(A+B )=sin A cos B+cos A sin B=11525，由正弦定理sin bB =sin cC ，得c=sin sin b C B =112.10. (1) 因为tan ∠ADC=-2，且∠ADC ∈(0，π)，所以sin ∠ADC=255，cos ∠ADC=-55. 所以sin ∠ACD=sinππ--4ADC ∠⎛⎫ ⎪⎝⎭ =sin ∠ADC+π4=sin ∠ADC ·cos π4+cos ∠ADC ·sin π4=，在△ADC 中，由正弦定理得CD=·sin sin AD DACACD ∠∠=.(2) 因为AD ∥BC ，所以cos ∠BCD=-cos ∠ADC=，sin ∠BCD=sin ∠ADC=.在△BDC 中，由余弦定理得BD 2=BC 2+CD 2-2BC ·CD ·cos ∠BCD ， 即BC 2-2BC-35=0，解得BC=7，所以S △BCD =12BC ·CD ·sin ∠BCD=12×7=7.11. (1) 因为m ·n =3b cos B ，所以a cos C+c cos A=3b cos B. 由正弦定理得sin A cos C+sin C cos A=3sin B cos B ， 所以sin(A+C )=3sin B cos B ， 所以sin B=3sin B cos B.因为B 是△ABC 的内角，所以sin B ≠0，所以cos B=13.(2) 因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2=ac. 由正弦定理得sin 2B=sin A ·sin C.因为cos B=13，B 是△ABC 的内角，所以sinB=，又1tan A +1tan C =cos sin A A +cos sin C C =cos ?sin sin ?cos sin sin A C A CA C +⋅ =sin()sin sin A C A C +⋅=sin sin sin B A C=2sin sin B B =1sin B=.。

第一讲函数的图象与性质A组基础题组+的定义域为()1.函数f(x)=-A.[0,+∞)B.(1,+∞)C.[0,1)∪(1,+∞)D.[0,1)2.已知函数f(x)=3x-,则f(x)()A.是偶函数,且在R上是增函数B.是奇函数,且在R上是增函数C.是偶函数,且在R上是减函数D.是奇函数,且在R上是减函数3.(2018湖北武汉调研)函数f(x)=log2(x2-4x-5)的单调递增区间是()A.(-∞,-2)B.(-∞,-1)C.(2,+∞)D.(5,+∞)4.(2018河北石家庄模拟)已知f(x)=(0<a<1),且f(-2)=5,f(-1)=3,则f(f(-3))=()A.-2B.2C.3D.-35.(2018湖南益阳、湘潭调研)函数f(x)=的图象大致是()-6.(2018陕西质量检测一)设x∈R,定义符号函数sgn x=则函数f(x)=|x|sgn x的图象大-致是()7.(2018贵州贵阳模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=log2(x+2)-1,则f(-6)=()A.2B. 4C.-2D.-48.已知函数f(x)=则下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数B.f(x)是增函数C.f(x)是周期函数D.f(x)的值域为[-1,+∞)9.奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+2)为偶函数,则f(8)=()A.-1B.0C.1D.-210.已知函数f(x)=,则下列结论正确的是()-A.函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称B.函数f(x)在(-∞,1)上是增函数C.函数f(x)的图象关于直线x=1对称D.函数f(x)的图象上至少存在两点A,B,使得直线AB∥x轴11.(2018四川成都模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称,且当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+1),则下列不等式正确的是()A.f(log27)<f(-5)<f(6)B.f(log27)<f(6)<f(-5)C.f(-5)<f(log27)<f(6)D.f(-5)<f(6)<f(log27)12.(2018广东惠州模拟)已知函数f(x)=---若函数f(x)的图象上关于原点对称的点有2对,则实数k的取值范围是()A.(-∞,0)B.C.(0,+∞)D.(0,1)13.已知函数f(x)=若f(a)+f(1)=0,则实数a的值为.14.(2018广东惠州模拟)已知f(x)=x+-1,f(a)=2,则f(-a)=.15.(2018河南洛阳第一次统考)若函数f(x)=ln(e x+1)+ax为偶函数,则实数a=.16.设函数f(x)=|x+a|,g(x)=x-1,对于任意的x∈R,不等式f(x)≥g(x)恒成立,则实数a的取值范围是.B组提升题组1.(2018重庆六校联考)函数f(x)=的大致图象为()2.已知函数f(x)=e|ln x|--,则函数y=f(x+1)的大致图象为()3.某地一年的气温Q(t)(单位:℃)与时间t(月份)之间的关系如图所示.已知该年的平均气温为10℃,令C(t)表示时间段[0,t]的平均气温,下列四个函数图象中,最能表示C(t)与t之间的函数关系的是()4.函数f(x)=的图象如图所示,则下列结论成立的是()A.a>0,b>0,c<0B.a<0,b>0,c>0C.a<0,b>0,c<0D.a<0,b<0,c<05.(2018河南开封模拟)已知f(x)是定义在R上周期为4的奇函数,当x∈(0,2]时,f(x)=2x+log2x,则f(2015)=()A.5B.C.2D.-26.设函数f(x)=若f=2,则实数n的值为()A.-B.-C.D.7.∀x∈,8x≤log a x+1恒成立,则实数a的取值范围是()A. B. C. D.8.设曲线y=f(x)与曲线y=x2+a(x>0)关于直线y=-x对称,且f(-2)=2f(-1),则a=()A.0B.C.D.19.(2018福建福州模拟)已知函数f(x)=e x+e2-x,若关于x的不等式[f(x)]2-af(x)≤0恰有3个整数解,则实数a的最小值为()A.1B.2eC.e2+1D.e3+10.已知函数f(x)的定义域为R,且满足下列三个条件:>0;①对任意的x1,x2∈[4,8],当x1<x2时,都有--②f(x+4)=-f(x);③y=f(x+4)是偶函数.若a=f(6),b=f(11),c=f(2017),则a,b,c的大小关系正确的是()A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<b<a11.已知函数f(x)=-的值域为R,则实数a的取值范围是.12.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2,若对任意的x∈[m-2,m],不等式f(x+m)-9f(x)≤0恒成立,则实数m的取值范围是.13.已知函数f(x)=-若f(x-1)<f(2x+1),则x的取值范围为.14.(2018陕西西安八校联考)函数f(x)在定义域R内可导,若f(x)=f(2-x),且(x-1)f'(x)<0,设a=f(0),b=f,c=f(3),则a,b,c的大小关系是.答案精解精析A组基础题组1.C由题意知-即0≤x<1或x>1.∴f(x)的定义域为[0,1)∪(1,+∞).2.B易知函数f(x)的定义域为R,∵f(-x)=3-x--=-3x=--=-f(x),∴f(x)为奇函数.又∵y=3x在R上为增函数,y=-在R上为增函数,∴f(x)=3x-在R上是增函数.故选B.3.D由x2-4x-5>0得x∈(-∞,-1)∪(5,+∞).原函数f(x)=log2(x2-4x-5)由t=x2-4x-5与y=log2t复合而成,当x∈(-∞,-1)时,t=x2-4x-5为减函数;当x∈(5,+∞)时,t=x2-4x-5为增函数.又y=log2t为增函数,所以函数f(x)=log2(x2-4x-5)的单调递增区间是(5,+∞).故选D.4.B由题意得f(-2)=a-2+b=5①,f(-1)=a-1+b=3②.联立①②,结合0<a<1,得a=,b=1,所以f(x)=则f(-3)=-+1=9,所以f(f(-3))=f(9)=log39=2.故选B.5.B易知函数f(x)的定义域为{x|x≠±1},f(-x)=---=--=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.当x∈(0,1)时,f(x)=->0,排除D;当x∈(1,+∞)时,f(x)=-<0,排除A,C.故选B.6.C函数f(x)=|x|sgn x=即f(x)=x,故函数f(x)=|x|sgn x的图象为直线y=x.故选C.7.C由题意,知f(-6)=-f(6)=-(log28-1)=-3+1=-2,故选C.8.D由f(-x)≠f(x)知f(x)不是偶函数,当x≤0时,f(x)不是增函数,显然f(x)也不是周期函数,故选D.9.B由奇函数f(x)的定义域为R,可得f(0)=0,由f(x+2)为偶函数,可得f(-x+2)=f(x+2),故f(x+4)=f((x+2)+2)=f(-(x+2)+2)=f(-x)=-f(x),则f(x+8)=f((x+4)+4)=-f(x+4)=-[-f(x)]=f(x),即函数f(x)的周期为8,所以f(8)=f(0)=0.故选B.的图象是由函数y=的图象向右平移1个单位长度得到的,可得函10.A由题知,函数f(x)=-数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称,选项A正确;函数f(x)在(-∞,1)上是减函数,选项B错误;易的图象不关于直线x=1对称,选项C错误;由函数f(x)的单调性及函数f(x)的图知函数f(x)=-象可知函数f(x)的图象上不存在两点A,B,使得直线AB∥x轴,选项D错误.11.C因为奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称,所以函数f(x)是以4为周期的周期函数,所以f(-5)=f(-1)=-f(1)=-1,f(6)=f(2)=f(0)=0.于是,结合题意可画出函数f(x)在[-2,4]上的大致图象,如图所示.又2<log27<3,所以结合图象可知-1<f(log27)<0,故f(-5)<f(log27)<f(6).故选C.12.D依题意,函数f(x)的图象上存在关于原点对称的点,可作出函数y=-ln(-x)(x<0)的图象关于原点对称的函数y=ln x(x>0)的图象,使得它与直线y=kx-1(x>0)的交点个数为2即可,当直线y=kx-1与函数y=ln x的图象相切时,设切点为(m,ln m),又y=ln x的导函数为y'=,则-解得可得切线的斜率为1,结合图象可知k∈(0,1)时,函数y=ln x的图象与直线y=kx-1有2个交点,即函数f(x)的图象上关于原点对称的点有2对.故选D.13.答案-3解析∵f(1)=2>0,且f(1)+f(a)=0,∴f(a)=-2<0,故a≤0.依题知a+1=-2,解得a=-3.14.答案-4解析因为f(x)=x+-1,所以f(a)=a+-1=2,所以a+=3,所以f(-a)=-a--1=--1=-3-1=-4.15.答案-解析∵函数f(x)是偶函数,∴f(x)-f(-x)=ln(e x+1)+ax-ln(e-x+1)+ax=ln-+2ax=lne x+2ax=(1+2a)x=0恒成立.∴1+2a=0,即a=-.16.答案[-1,+∞)解析如图,要使f(x)≥g(x)恒成立,则-a≤1,∴a≥-1.B组提升题组1.D易知函数f(x)=为奇函数且定义域为{x|x≠0},只有选项D满足,故选D.2.A根据已知函数关系式可得f(x)=----作出其图象,然后将其向左平移1个单位即得函数y=f(x+1)的图象,结合选项知A正确.3.A若增加的数大于当前的平均数,则平均数增大;若增加的数小于当前的平均数,则平均数减小.因为12个月的平均气温为10℃,所以当t=12时,平均气温应该为10℃,故排除B;因为在靠近12月份时其温度小于10℃,因此12月份前的一小段时间内的平均气温应该大于10℃,故排除C;6月份以后增加的温度先大于平均值后小于平均值,故平均气温不可能出现先减小后增加的情况,故排除D.故选A.4.C函数f(x)的定义域为{x|x≠-c},由题中图象可知-c=x P>0,即c<0,排除B.令f(x)=0,可得x=-,则x N=-.又x N>0,所以<0.所以a,b异号,排除A,D.故选C.5.D由题意得f(2015)=f(4×504-1)=f(-1)=-f(1).又当x∈(0,2]时,f(x)=2x+log2x,故f(1)=2+log21=2,所以f(2015)=-2.故选D.6.D因为f=2×+n=+n,当+n<1,即n<-时,f=2+n=2,解得n=-,不符合题意;当+n≥1,即n≥-时,f=log2=2,即+n=4,解得n=.故选D.7.C由各选项及题意可得解得≤a<1.8.C依题意得曲线y=f(x)即为-x=(-y)2+a(其中-y>0,即y<0,注意到点(x0,y0)关于直线y=-x的对称点是点(-y0,-x0)),化简后得y=---,即f(x)=---,于是有--=-2-,由此解得a=.故选C.9.C因为f(x)=e x+e2-x>0,所以由[f(x)]2-af(x)≤0可得0<f(x)≤a.令t=e x,g(t)=t+(t>0),画出函数g(t)的大致图象,如图所示,结合图象分析易知原不等式有3个整数解可转化为0<g(t)≤a的3个解分别为1,e,e2.又当t=e x的值分别为1,e,e2时,x=0,1,2.画出直线y=e2+1,故结合函数图象可知a的最小值为e2+1.故选C.10.B∵对任意的x1,x2∈[4,8],当x1<x2时,都有->0,-∴函数f(x)在区间[4,8]上为增函数.∵f(x+4)=-f(x),∴f(x+8)=-f(x+4)=f(x),∴函数f(x)是周期为8的周期函数.∵y=f(x+4)是偶函数,∴函数f(x)的图象关于直线x=-4对称,又函数f(x)的周期为8,∴函数f(x)的图象也关于直线x=4对称.∴b=f(11)=f(3)=f(5),c=f(2017)=f(252×8+1)=f(1)=f(7).又a=f(6),函数f(x)在区间[4,8]上为增函数,∴b<a<c.故选B.11.答案-2019版《3年高考2年模拟》（二轮）专有资源11 / 11解析 要使函数f(x)的值域为R,则有 - - ∴ -∴-1≤a< .12.答案 [4,+∞)解析 依题意知函数f(x)在R 上单调递增,且当x ∈[m-2,m]时, f(x+m)≤9f(x)=f(3x),所以x+m ≤3x,即x ≥ 恒成立,于是有 ≤m-2,解得m ≥4,即实数m 的取值范围是[4,+∞).13.答案 (-∞,-2)∪(0,+∞)解析 若x>0,则-x<0, f(-x)=3(-x)2+ln( 2+ln( 同理可得,当x<0时, f(-x)=f(x),且x=0时,f(0)=f(-0),所以f(x)是偶函数.因为当x>0时,函数f(x)单调递增,所以不等式f(x-1)<f(2x+1)等价于|x-1|<|2x+1|,整理得x(x+2)>0,解得x>0或x<-2.14.答案 b>a>c解析 因为f(x)=f(2-x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称.因为(x-1)f '(x)<0,所以当x>1时, f '(x)<0,所以函数f(x)在(1,+∞)上单调递减;当x<1时, f '(x)>0,所以函数f(x)在(-∞,1)上单调递增.取符合题意的函数f(x)=-(x-1)2,则a=f(0)=-1,b=f =- ,c=f(3)=-4,故b>a>c.。