命题与证明学案

『教案』命题、定理（新授课）【理论支持】义务教育阶段的数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体。

《数学课程标准》指出：对学生数学学习的评价，既要关注学生学习的结果，更要关注学生在学习过程中的变化和发展；既要关注学生数学学习的水平，更要关注他们在数学实践活动中所表现出来的情感和态度。

心理学认为：认知从感知开始，感知是认知的门户，是一切知识的来源。

在课堂教学中，让学生人人参与、积极动手动脑、合作交流的探究活动，能激发学生学习数学的兴趣，对提高学生的数学素养和数学意识也是十分有意义的。

“相交线与平行线”这一章对七年级学生来说是新的知识，但并不陌生。

这一部分知识是学生以后学习平面几何与立体几何的基础，在生活中也是处处可见的，所以很重要。

有了这些知识，我们才能更好的理解几何中的一些位置关系与性质，这也是图形变换的基础。

本节课研究的内容“命题、定理”不是本章的重点内容，但也是非常重要的知识，是以后学习推理证明的基础，更是培养学生有条理的思考和表达的一个重要环节。

因此，让学生正确而深刻地理解命题和定理也很重要。

教学对象分析：1．初一学生性格开朗活泼，对新鲜事物特别敏感，且较易接受，因此，教学过程中创设的问题情境应较生动活泼，直观形象，且贴近学生的生活，从而引起学生的有意注意。

2.初一学生的概括能力较弱，推理能力还有待发展，所以在教学时，可让学生充分探讨、分析，帮助他们直观形象地感知。

3.初一学生已经具备了一定的学习能力，所以本节课中，应多为学生创造自主学习、合作学习的机会，让他们主动参与、勤于动手、从而乐于探究。

总之，通过本节课的研究，旨在培养学生的逻辑推理能力。

教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验，体验推理论证的作用。

【教学目标】【教学重难点】1. 重点：命题的概念和区分命题的题设和结论。

13.3 数学归纳法考纲解读1．了解数学归纳法的原理．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．数学归纳法多用于证明与正整数n 有关的不等式及数列问题，一般出现在解答题中，但不排除在客观题中考查数学归纳法的原理和证明步骤．高考常见的题型有：证明等式问题，证明不等式问题，证明整除问题和解决数列中的探究性问题等．考点梳理1．数学归纳法一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；(2)(归纳递推)假设____________(k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当____________时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有__________都成立．2．数学归纳法主要用于解决与________有关的数学命题，证明时，它的两个步骤(归纳奠基与归纳递推)缺一不可．基础自测使不等式2n ＞n 2＋1对任意n ≥k 的自然数都成立的最小k 值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋an ＋1＝1－a n ＋21－a (a ≠1，n ∈N *)”，在验证n ＝1时，左端计算所得的结果是( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3 f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k ＋1成立时，总可推出f (k ＋1)≥k ＋2成立”．那么，下列命题总成立的是( )A ．若f (1)<2成立，则f (10)<11成立B ．若f (3)≥4成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k ＋1C ．若f (2)<3成立，则f (1)≥2成立D ．若f (4)≥5成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k ＋1成立用数学归纳法证明：设f (n )＝1＋12＋13＋ (1)，则n ＋f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝nf (n )(n ∈N ＋，n ≥2)，第一步要证的式子是________________．用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)”时，从n ＝k到n ＝k ＋1，等式的左边需要增乘的代数式是____________．典例解析类型一 证明等式证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)．对于n ∈N *，用数学归纳法证明：1·n ＋2·(n －1)＋3·(n －2)＋…＋(n －1)·2＋n ·1＝16n (n ＋1)(n ＋2)．类型二 证明不等式用数学归纳法证明：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n ＞1324(n ≥2 ，n ∈N )．用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n 2≥3n 2n ＋1(n ∈N *)．名师点津1．数学归纳法的两个步骤缺一不可，另外，没有运用“归纳假设”的证明不是数学归纳法．2．在n ＝k 到n ＝k ＋1的证明过程中寻找由n ＝k 到n ＝k ＋1的变化规律是难点，突破的关键是分析清楚p (k )与p (k ＋1)的差异与联系，利用拆、添、并、放、缩等手段，从p (k ＋1)中分离出p (k )．3．证明不等式的方法多种多样，故在用数学归纳法证明不等式的过程中，比较法、放缩法、分析法等要灵活运用．答案考点梳理1．(2)n ＝k n ＝k ＋1 正整数n2．正整数基础自测解：21＝12＋1，22＜22＋1，23＜32＋1，24＜42＋1，25＞52＋1，…，则使不等式成立的最小k 值为5，故选D.解：当n ＝1时，左边＝1＋a ＋a 2.故选C.解：根据题意，若f (4)≥5成立，则f (n 0＋1)≥n 0＋2(n 0≥4)，即f (k )≥k ＋1(k ≥5)．综合f (4)≥5，所以当k ≥4时，均有f (k )≥k ＋1成立．故选D.解：∵n ≥2，∴n 0＝2.观察等式左边最后一项，将n 0＝2代入即可得2＋f (1)＝2f (2)．故填2＋f (1)＝2f (2)．解：当n ＝k 时，等式左边＝(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )，当n ＝k ＋1时，等式左边＝(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋1＋k ＋1) ＝1)2)(1)(()3)(2)(1(++++++•⋯•+++k k k k k k k k k k ＝2(2k ＋1)(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )．观察、比较可知，从n ＝k 到n ＝k ＋1，等式的左边需要增乘的代数式是2(2k ＋1)．故填2(2k ＋1)．证明：(1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，等式成立． (2)假设n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ， 那么，当n ＝k ＋1时，1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2 ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2. 根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N *都成立．【评析】用数学归纳法证明与正整数n 有关的一些等式时，关键在于“先看项”，弄清从n ＝k 到n ＝k ＋1时等式两边的构成规律，然后正确写出归纳证明的步骤，使问题得以证明．证明：(1)n ＝1时，左边＝1，右边＝16×1×2×3＝1，等式成立． (2)假设n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1·k ＋2·(k －1)＋3·(k －2)＋…＋(k －1)·2＋k ·1＝16k (k ＋1)(k ＋2)， 那么，当n ＝k ＋1时，1·(k ＋1)＋2·k ＋3·(k －1)＋…＋k ·2＋(k ＋1)·1＝1·k ＋2·(k －1)＋3·(k －2)＋…＋(k －1)·2＋k ·1＋1＋2＋…＋(k ＋1)＝16k (k ＋1)(k ＋2)＋（k ＋1）（k ＋2）2＝16(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)． 根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N *都成立．证明：(1)当n ＝2时，左边＝12＋1＋12＋2＝712＞1324成立． (2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N )时不等式成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k ＞1324成立， 则当n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋…＋1k ＋k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＞1324＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1， 而12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝12k ＋1－12k ＋2 ＝1（2k ＋1）（2k ＋2）＞0. 综合(1)(2)知，原不等式成立．【评析】从n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加的项为12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1，证明时应注意左边代数式的变化规律，弄清增加的项后再恰当使用放缩法证明．证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝3×12×1＋1＝1，命题成立． (2)假设n ＝k (k ∈N *)时，命题成立，即1＋122＋132＋…＋1k 2≥3k 2k ＋1. 当n ＝k ＋1时，1＋122＋132＋…＋1k 2＋1（k ＋1）2≥3k 2k ＋1＋1（k ＋1）2. 令f (k )＝3k 2k ＋1＋1（k ＋1）2－3（k ＋1）2（k ＋1）＋1，则f (k )＝1（k ＋1）2－3（2k ＋1）（2k ＋3）＝（2k ＋1）（2k ＋3）－3（k ＋1）2（k ＋1）2（2k ＋1）（2k ＋3） ＝k （k ＋2）（k ＋1）2（2k ＋1）（2k ＋3）. ∵k ≥1，∴f (k )>0，即3k 2k ＋1＋1（k ＋1）2>3（k ＋1）2（k ＋1）＋1. 由(1)(2)知，不等式对任何n ∈N *都成立．。

学案设计主备课人：执教者：执教时间201 年月日（第周星期）累计节课题：2.2.1 定义、命题、证明（2）节教完，本节为第节教学目标：教学目标1、知识与技能：了解真命题和假命题；知道判断一个命题是假命题的方法。

2、过程与方法：结合实例让学生意识到证明的必要性，培养学生说理有据，有条理地表达自己想法的良好意识。

课型：新课教学重点：互逆命题和互逆定理的区别。

教学难点：互逆命题和互逆定理的区别。

教学用具与教学方法：教学准备：个人调整与补充内容一、复习引入：什么叫命题？命题由哪两部分构成？什么叫互逆命题？二、探究新知（一）命题、真命题与假命题学生回答后，教师给出答案：根据已有的知识可以判断出句子正确的，还是错误的。

像这样可以判断出它是正确的还是错误的句子叫做命题。

正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题（二）假命题的证明教师讲解：要判断一个命题是真命题，可以用逻辑推理的方法加以论证；而要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题题设而不符合该命题结论的例子就可以了，在数学中，这种方法称为“举反例”。

例如，要证明命题“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题，只要举出一个反例：60度角是锐角，100度角是钝角，但它们的和不是180度即可。

三、练习 P55 练习1、2、3四、总结1、什么叫命题？什么叫真命题？什么叫假命题？2、命题都可以写成“如果.....，那么.......”的形式。

3、要判断一个命题是假命题，只要举出一个反例就行了。

五、布置作业P59 习题A组3作业布置：教后梳理或反思：。

1．1.2命题的四种形式1．了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．2．会判断四种命题的真假．下列四个命题：(1)若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；(2)若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；(3)若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；(4)若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．观察命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？答：命题(1)的条件是命题(2)的结论，且命题(1)的结论是命题(2)的条件．对于命题(1)和(3)．其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定；对于命题(1)和(4)．其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定．1．命题“若p则q”的四种形式原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若¬p则¬q；逆否命题若¬q则¬p.2．四种命题间的关系3．四种命题的真假判断(1)原命题为真，它的逆命题可以为真，也可以为假．(2)原命题为真，它的否命题可以为真，也可以为假．(3)原命题为真，它的逆否命题一定为真．(4)互为逆否的两个命题是等价命题，它们同真同假，同一个命题的逆命题和否命题是一对互为逆否的命题，所以它们同真同假．要点一四种命题的概念例1分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：(1)实数的平方是非负数；(2)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数．解(1)原命题是真命题逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．真命题．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．真命题．(2)原命题是真命题逆命题：若x＋y是偶数，则x、y都是奇数，是假命题．否命题：若x、y不都是奇数，则x＋y不是偶数，是假命题．逆否命题：若x＋y不是偶数，则x、y不都是奇数，是真命题．规律方法(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题．(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当的添加一些词语，但不能改变条件和结论．跟踪演练1写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面；(2)如果x>10，那么x>0；(3)当x＝2时，x2＋x－6＝0.解(1)逆命题：如果一条直线垂直于平面，那么该直线垂直于平面内的两条相交直线．否命题：如果一条直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线不垂直于这个平面．逆否命题：如果一条直线不垂直于平面，那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线．(2)逆命题：如果x>0，那么x>10.否命题：如果x≤10，那么x≤0.逆否命题：如果x≤0，那么x≤10.(3)逆命题：如果x2＋x－6＝0，那么x＝2.否命题：如果x≠2，那么x2＋x－6≠0.逆否命题：如果x2＋x－6≠0，那么x≠2.要点二四种命题的关系例2下列命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题．其中是真命题的是________．答案①②③解析①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题是“若a>b，则ac2>bc2”，是假命题．所以真命题是①②③.规律方法要判断四种命题的真假：首先，要熟练四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握．跟踪演练2有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；②“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；③“同位角相等”的逆命题．其中真命题的个数是________．答案 1解析①“若x＋y≠0，则x，y不是相反数”，是真命题．②“若x>－3，则x2－x－6≤0”，解不等式x2－x－6≤0可得－2≤x≤3，而x＝4>－3不是不等式的解，故是假命题．③“相等的角是同位角”是假命题．要点三等价命题的应用例3判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，则a≥1”的逆否命题的真假．解法一原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．真假判断如下：因为抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，若a<1，则4a－7<0.即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点．所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．故原命题的逆否命题为真．法二先判断原命题的真假．因为a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，所以a≥1.所以原命题成立．又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真．规律方法由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．跟踪演练3判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．解∵m>0，∴12m>0，∴12m＋4>0.∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真．1．命题“若a∉A，则b∈B”的否命题是()A．若a∉A，则b∉B B．若a∈A，则b∉B C．若b∈B，则a∉A D．若b∉B，则a∉A 答案 B解析命题“若p，则q”的否命题是“若¬p，则¬q”，“∈”与“∉”互为否定形式．2．命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是()A．若A∪B＝B，则A∩B＝AB．若A∩B≠A，则A∪B≠BC．若A∪B≠B，则A∩B≠AD．若A∪B≠B，则A∩B＝A答案 C解析注意“A∩B＝A”的否定是“A∩B≠A”．3．命题“若平面向量a，b共线，则a，b方向相同”的逆否命题是______________________________，它是________命题(填“真”或“假”)．答案若平面向量a，b的方向不相同，则a，b不共线假4．给出以下命题：①“若x2＋y2≠0，则x、y不全为零”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．其中为真命题的是________．答案①③解析①否命题是“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”．真命题．②逆命题是“若两个多边形相似，则这两个多边形为正多边形”，假命题．③∵Δ＝1＋4m，若m>0时，Δ>0，∴x2＋x－m＝0有实根，即原命题为真．∴逆否命题为真．1．写四种命题时，可以按下列步骤进行：(1)找出命题的条件p和结论q；(2)写出条件p的否定¬p和结论q的否定¬q；(3)按照四种命题的结构写出所有命题．2．每一个命题都有条件和结论组成，要分清条件和结论．3．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础．。

第五章相交线与平行线5. 3.2 命题、定理、证明（1）教学设计教学目标：【知识与技能】1、了解什么是命题，并且会把一些简单命题改写成如果……那么……”的形式。

2、了解命题的题设和结论，并能够分析出命题的题设和结论。

3、了解什么是真命题和假命题，并能够判断哪些是真命题，哪些是假命题。

【过程与方法】通过对若干个命题的分析，了解什么叫命题及命题的组成，知道什么是真命题，什么是假命题；【情感态度】通过本节课的学习让同学们知道命题在数学上的重要作用，不仅如此，命题在其他许多学科上都有重要作用。

教学重点：命题的定义和命题的组成；教学难点：1、命题的判断；2、命题的题设和结论的区分；3、真假命题的判断；学情分析：七年级的学生自主学习能力和独立思考能力不强，但大部分学生对数学感兴趣，有些学生学习方法不对路。

虽然说时间花费很多，但效果不是最佳的，学习方法很重要，要养成良好的学习方法，才能有所上升。

教学过程：一、回顾旧知，导入新课：平行线的判定和性质设计目的：回顾旧知的同时给学生呈现命题的例句，让学生对命题有个初步的体会和认识，并导入新课。

二、学习目标1、了解什么是命题，并且会把一些简单命题改写成“如果…… 那么……”的形式。

2、了解命题的题设和结论，并能够分析出命题的题设和结论。

3、了解什么是真命题和假命题，并能够判断哪些是真命题，哪些是假命题。

设计目的：让学生有目的的学习。

三、预习板块通过预习，我学到了什么？在预习中，我存在的疑惑是什么？需要解决哪些问题？1什么是命题？命题由几部分组成？2、命题可以被改写成什么形式？并试着改写命题对顶角相等”。

3、什么是真命题？什么是假命题？设计目的：要求学生课前预习，养成良好的学习习惯。

四、合作探究一(设计目的：让同学们通过合作探究的方式将句子改写成“如果…..那么……”的形式来体会什么是命题)1、观察下列两组语句有什么区别？A组：(1)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；(2)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；(3)对顶角相等；(4)等式两边加同一个数，结果仍是等式•B组：⑴画线段AB=CD(2)点P在直线AB外.(3)对顶角相等吗？总结：1、_____________________________ 的语句，叫做命题。

单县实验中学初二数学学案课题：5.1定义与命题主备高祥鲁审核初二数学组一学习目标：1了解定义、命题的含义，会区分命题的条件和结论。

2会辨别真命题和假命题。

3能通过具体例子理解反例的作用，会利用反例证明一个命题是假命题。

4通过学习命题的条件和结论，养成言必有据的好习惯。

二．导学探究：探究一定义：观察与思考(1)有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。

（2）同一平面内两条不相交的直线叫做平行线。

（3）有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形。

总结：用来说明一个的语句叫做定义。

请再举出几例学过的几个定义：探究二命题：（1）定义：表示的语句叫做命题。

（2）组成：命题通常由和两部分组成，（3）一般叙述形式：“”（4）其中“”所引出的部分是条件，“”所引出的部分是结论。

（5）分类：命题分为和，正确的命题角做，错误的命题叫做。

（5）反例：要指出一个命题是假命题，只要能够举出一个例子，使它具备命题的，而不符合命题的就可以了，这种例子成为反例。

想一想：命题一定是正确的吗？说明：判断一个语句是否为命题应抓住两点：①命题必须是一个完整的语句且是陈述句；②命题必须对某件事情作出肯定或否定的判断。

题例分析例1 下列语句中不是命题的是（）①两点之间线段最短。

②禁止吸烟。

③连接A、B两点。

④如果两个角都是300，那么这两个角是对顶角。

⑤直角三角形中两个锐角互余。

⑥无论n为怎样的自然数，n2－n＋11的值都是质数吗？A 2个B 3个C 4个D 5个例2指出下列命题的条件和结论。

（欣赏p155例1）（1）若a＞b＞c，则a＞c；（2）全等的两个三角形的面积相等；（3)对顶角相等。

达标练习1、下列属于定义的是（）A.两点确定一条直线B．两直线平行，同位角相等C．等角的的补角相等 D.线段是直线上两点和两点间的部分2、下列语句中不是命题的是（）A.若a+b=b+c，则a=bB.两条直线平行没有公共点C．延长直线AB D.我爱八年级一班3、下列语句不是命题的是A. 两点之间线段最短B．对顶角相等C．鸵鸟不能飞 D.连接A、B两点4、下列命题中正确的是（）A．若a·b＞0,则a＞0,b＞0 B.a·b＜0,则a＜0,b＜0C．a·b=0,则a=0,b=0 D a·b=0,则a=0或b=05、把命题“同角的余角相等”用“如果…，那么…”的形式写出来，下列写法正确的是（）A.如果几个角是同一个角的余角，那么这几个角相等B．如果一个角是两个角的余角，那么这两个角相等C．如果两个角是同角，那么同角的余角相等D．如果两个角的和为900，那么这两个角可能相等6、下列命题中，错误的是（）A.三角形两边之差小于第三边B．三角形的外角和是3600C．三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分D．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形7、下列各数中，可以用来证明“任何偶数都是8的整数倍”是假命题的反例是（）A.32B.16C.8D.48、举反例说明“一个角的余角大于这个角”是假命题，错误的是（）A.设这个角是450，它的余角是450，但450=450B．设这个角是600，它的余角是300但300＜600C．设这个角是300，它的余角是600但300＜600D．设这个角是500，它的余角是400但400＜5009、若a＞c则a+b＞b+c”是定义还是命题？10、填空，使之成为一个完整的真命题。

龙文教育学科老师个性化教案教师王健学生姓名上课日期2013-8- 学科数学年级年级教材版本浙教版类型知识讲解□：√考题讲解□:本人课时统计第（）课时共（）课时学案主题新课讲解课时数量（全程或具体时间）第（）课时授课时段教学目标教学内容个性化学习问题解决教学重点、难点教学重点：教学难点：考点分析教学过程学生活动教师活动定义与命题三个内容：⎧⎪⎨⎪⎩定义的含义：规定某一名称或术语的意义的句子命题的概念：对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子命题的的结构：通常命题是由条件和结论两部分组成一、说一说：你还学过哪些定义？一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。

二、练一练：下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？（1）对顶角相等；（2）画一个角等于已知角；（3）两直线平行，同位角相等；（4）a、b两条直线平行吗？（5）高个的李明明。

（6）玫瑰花是动物。

（7）若a2＝4，求a的值。

（8）若a2＝b2，则a＝b。

例题解析例1 指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式：（1）三条边对应相等的两个三角形全等；条件是：两个三角形的三条边对应相等；结论是：这两个三角形全等改写成：如果两个三角形有三条边对应相等，那么这两个三角形全等。

（2）在同一个三角形中，等角对等边；条件是：同一个三角形中的两个角相等；结论是：这两个角所对的两条边相等 改写成：如果在同一个三角形中，有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

（3）对顶角相等。

条件是：两个角是对顶角；结论是：这两个角相等。

改写成：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。

(4)同角的余角相等；条件是：两个角是同一个角的余角；结论是：这两个角相等。

改写成：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等。

(5)三角形的内角和等于180°； 条件是：三个角是一个三角形的三个内角；结论是：这三个角的和等于180°。

改写成：如果三个角是一个三角形的三个内角，那么这三个角的和等于180°。

数学归纳法（一） 日期：学习目标：了解数学归纳法原理，理解数学归纳法的概念；掌握数学归纳法的证明步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．重点难点：了解数学归纳法原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 学习过程：一、自学课本，解决课后练习； 二、交流探究：1、请写出数学归纳法的概念及适用范围：数学归纳法:对于某些与正整数n 有关的命题常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n 取第一个值0n 时命题成立；然后假设当n=k(k ∈N*，k ≥0n )时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立2、数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数0n （0n 可能为1或2，…），如果当n =n 0时，命题成立，再假设当n =k (k ≥n 0，k ∈N *)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n =k +1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立.3、请给出用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤三、学以致用：1、判断下列推证是否正确，若是不对，如何改正.nn)21(12121212132-=＋＋＋＋求证： 证明：①当n=1时，左边＝21 右边＝212111=⎪⎭⎫⎝⎛-，等式成立②设n=k 时，有k k)21(12121212132-=＋＋＋＋ 那么，当n=k+1时，有11132211211211212121212121+++⎪⎭⎫⎝⎛-=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-=+k k k k ＋＋＋＋ 即n=k+1时，命题成立根据①②问可知，对n ∈N ＊，等式成立2、用数学归纳法证明：等差数列{}n a 中，1a 为首项，d 为公差，则通项公式为1(1)n a a n d =+-．3、用数学归纳法证明：(1)(2)()2135(21)nn n n n n ++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅-，*n N ∈4、用数学归纳法证明 2)1()13(1037241+=+++⨯+⨯+⨯n n n n5、用数学归纳法证明：当*n N ∈时，2135(21)n n +++⋅⋅⋅+-=．四、概括升华：五、温故知新：习题1-4 1、32、证：（1）当1n =时，等式左边1a =，等式右边110a d a =+⨯=，等式①成立．（2）假设当n k =时等式①成立，即1(1)k a a k d =+-，那么，当1n k =+时，有111(1)[(1)1]k k a a d a k d d a k d +=+=+-+=+--． 这就是说，当1n k =+时等式也成立．根据（1）和（2），可知对任何*n N ∈，等式①都成立．注意：（1）这两个步骤是缺一不可的．数学归纳法的步骤（1）是命题论证的基础，步骤（2）是判断命题的正确性能否递推下去的保证；（2）在数学归纳法证明有关问题的关键，在第二步，即1n k =+时为什么成立？1n k =+时成立是利用假设n k =时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证1n k =+出时成立，而不是直接代入，否则1n k =+时也成假设了，命题并没有得到证明；（3）用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析． 3、解：（1）当1n =时，等式左边2=，等式右边212=⨯=，所以，等式成立． （2）假设n k =*()k N ∈时，等式成立，即(1)(2)()2135(21)kk k k k k ++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅- 那么，当1n k =+时，1(2)(3)()(21)(22)2(1)(2)(3)()(21)2135(21)[2(1)1]k k k k k k k k k k k k k k k +++⋅⋅⋅+++=+++⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅-+-即1n k =+时等式成立．根据（1）和（2），可知对任何*n N ∈，等式都成立．5、证：（1）当1n =时，等式左边1=，等式右边1=，等式成立． （2）假设当n k =时等式成立，即2135(21)k k +++⋅⋅⋅+-=， 那么，当1n k =+时，有135(21)[2(1)1]k k +++⋅⋅⋅+-++-222[2(1)1]21(1)k k k k k =++-=++=+．这就是说，当1n k =+时等式也成立．根据（1）和（2），可知对任何*n N ∈，等式都成立．例3．用数学归纳法证明：当*n N ∈时，2222(1)(21)1236n n n n +++++⋅⋅⋅+=．证：（1）当1n =时，211=，1(11)(211)16⨯+⨯⨯+=，结论成立．（2）假设n k =时，结论成立，即2222(1)(21)1236k k k k +++++⋅⋅⋅+=，那么22222222(1)(21)(1)(266)123(1)(1)66(1)(276)(1)(2)(23)(1)[(1)1][2(1)1]666k k k k k k k k k k k k k k k k k k k +++++++++⋅⋅⋅+++=++=+++++++++++===所以当1n k =+时，命题也成立．根据（1）和（2），可知结论当*n N ∈时都成立． 变式：2．练习：课本88P 练习2，3，4．教学目标（1）理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证明步骤；（2）通过数学归纳法的学习，体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明规律的途径； （3）学会数学归纳法在整除问题、几何问题、归纳猜想问题及不等式问题中的应用． 教学重点，难点体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明规律的途径，学会数学归纳法的应用． 教学过程 一．问题情境 复习回顾：1．数学归纳法公理；2．练习：用数学归纳法证明：当*n N ∈时111111111234212122n n n n n-+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-++．二．数学运用1．例题：例1．设*n N ∈，1()5231nn f n -=+⨯+．（1）当1,2,3,4n =时，计算()f n 的值；（2）你对()f n 的值有何感想？用数学归纳法证明你的猜想． 解：（1）当1n =时，111(1)5231881f -=+⨯+==⨯；当2n =时，221(2)52313284f -=+⨯+==⨯； 当3n =时，331(3)5231144818f -=+⨯+==⨯； 当4n =时，441(4)5231680885f -=+⨯+==⨯．（2）猜想：当*n N ∈时，1()5231nn f n -=+⨯+能被8整除．①当1n =时，有111(1)52318f -=+⨯+=能被8整除，命题成立．②假设当n k =时，命题成立，即()f k 能被8整除， 那么当1n k =+时，有1(1)11(1)523155631k k k k f k ++--+=+⨯+=⨯+⨯+111(5231)4(53)()4(53)k k k k k k f k ---=+⨯+++=++．这里，5k和13k -均为奇数，它们的和1(53)k k -+必为偶数，从而14(53)k k -+能被8整除．又依归纳假设，()f k 能被8整除，所以(1)f k +能被8整除．这就是说，当1n k =+时，命题也成立．根据（1）和（2），可知命题对任何*n N ∈都成立． 变式：求证当n 取正奇数时，nnx y +能被x y +整除。

命题的四种形式．了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念．．能求一般命题的逆命题、否命题、逆否命题．(重点、难点)．掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系．(易混点)[基础·初探]教材整理四种命题的概念及结构阅读教材～，完成下列问题．．四种命题的概念一般地，对于两个命题，()如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做．()如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．()如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的的否定和的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．以上定义中，把第一个命题叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的、、.【答案】()互逆命题()否定()结论条件逆命题否命题逆否命题．四种命题的结构【答案】若，则若綈，则綈若綈，则綈判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()命题“若綈，则”的否命题为“若綈，则綈”．( )()同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题．( )()命题“若∩＝，则∪＝”的逆否命题是“若∪≠，则∩≠”．( )【答案】()×()√()√教材整理四种命题之间的关系阅读教材“例”以下内容，完成下列问题．．四种命题之间的关系【答案】若，则若，则若綈，则綈若綈，则綈．四种命题的真假关系()两个命题互为逆否命题，它们有的真假性；()两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性．【答案】()相同()没有关系下列四个命题：①“若＝，则＝，且＝”的逆否命题；②“正方形是矩形”的否命题；③“若>，则>”的逆命题；④若>，则不等式－＋>.其中真命题的个数为( )。

2.1 命题、定理、定义 学 习 任 务核 心 素 养1．理解命题的概念，能判断给定的语句是不是命题．(重点)2．掌握判断命题真假的方法，能判断命题的真假．(难点、易错点) 3．了解定理和定义与命题的关系，会用定理和定义解题．(重点) 4．理解命题的结构，会分析命题的条件和结论，能把命题改写成“若p ，则q ”的形式．(重点)1．借助命题的概念及应用，提升数学抽象素养． 2．借助命题真假的判定、定理与定义的应用，培养逻辑推理素养.在数学中，我们将可以判断真假的陈述句叫做命题，一方面，数学中的定义、定理属于命题吗？它们有什么共同的结构？它们都是真命题吗？另一方面，初中平面几何中推理论证的基础是什么？知识点1 命题的定义与分类(1)命题的定义：在数学中，可以判断真假的陈述句叫作命题．(2)命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”．(3)分类：命题⎩⎨⎧真命题：判断为真的语句假命题：判断为假的语句 1.(1)“x －1＝0”是命题吗？(2)“命题一定是陈述句，但陈述句不一定是命题”这个说法正确吗？[提示] (1)“x －1＝0”不是命题，因为它不能判断真假．(2)正确．根据命题的定义，命题一定是陈述句，但陈述句中只有能够判断真假的才是命题．一般地，疑问句、祈使句、感叹句、开语句都不是命题．如x >15等．1.思考辨析(正确的画√，错误的画×)(1)语句“陈述句都是命题”不是命题．()(2)命题“实数的平方是非负数”是真命题．()[答案](1)×(2)√知识点2命题的结构及定理、定义1．命题的结构(1)命题的一般形式为“若p，则q”．其中p叫作命题的条件，q叫作命题的结论．(2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式．2.命题“实数的平方是非负数”的条件与结论分别是什么？[提示]条件是：“一个数是实数”，结论是：“它的平方是非负数”．2.把命题“矩形的对角线相等”改写成“若p则q”的形式为______．[答案]若一个四边形是矩形，则它的对角线相等2．定理与定义在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据直接使用，一般称之为定理．在数学中的定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵．(1)数学中的定理、推论和数学中定义都是命题．(2)数学中的定义既可以用于对某些对象的判断，也可以作为某类对象所具有的性质．类型1命题的判断【例1】(1)下列语句为命题的是()A．x2－1＝0B．2＋3＝8C．你会说英语吗？D．这是一棵大树(2)下列语句为命题的有________．①x∈R，x>2；②梯形是不是平面图形呢？③22 020是一个很大的数；④4是集合{2,3,4}中的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′.(1)B(2)①④[(1)A中x不确定，x2－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假．(2)①中x有范围，可以判断真假，因此是命题；②是疑问句，不是命题；③是陈述句，但“大”的标准不确定，无法判断真假，因此不是命题；④是陈述句且能判断真假，因此是命题；⑤是祈使句，不是命题．]判断一个语句是否是命题的关键点是什么？[提示](1)该语句必须是陈述句；(2)该语句可以判断真假．提醒：对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围看能否判断其真假，若能，就是命题，若不能，就不是命题．[跟进训练]1．判断下列语句是不是命题，并说明理由．(1)函数y＝x2－2x (x∈R)是二次函数；(2)x2－3x＋2＝0；(3)若x∈R，则x2＋4x＋7>0；(4)垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？(5)一个数不是奇数就是偶数；(6)2030年6月1日上海会下雨．[解](1)是命题，满足二次函数的定义．(2)不是命题，不能判断真假．(3)是命题．当x∈R时，x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0能判断真假．(4)疑问句，不是命题．(5)是命题，能判断真假．(6)不是命题，不能判断真假．类型2命题的构成【例2】 (1)已知命题：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的弧．若把上述命题改为“若p ，则q ”的形式，则p 是________，q 是________．(2)把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式．①函数y ＝2x ＋1是一次函数；②已知x ，y 为正整数，当y ＝x ＋1时，y ＝3，x ＝2；③当abc ＝0时，a ＝0且b ＝0且c ＝0.(1)一条直线是弦的垂直平分线 这条直线经过圆心且平分弦所对的弧 [命题的条件是“弦的垂直平分线”，结论是“经过圆心并且平分弦所对的弧”．因此p 是“一条直线是弦的垂直平分线”，q 是“这条直线经过圆心并且平分弦所对的弧”．](2)[解] ①若函数的解析式为y ＝2x ＋1，则这个函数是一次函数．②已知x ，y 为正整数，若y ＝x ＋1，则y ＝3，x ＝2.③若abc ＝0，则a ＝0且b ＝0且c ＝0.1．若一个命题有大前提，则在将其改写成“若p ，则q ”的形式时，大前提仍应作为大前提，不能写在条件中．2．“若p ，则q ”这种形式是数学中命题的基本结构形式，也有一些命题的叙述比较简洁，并不是以“若p ，则q ”这种形式给出的，这时，首先要把这个命题补充完整，然后确定命题的条件和结论．[跟进训练]2．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式．(1)当1a >1b 时，a <b ；(2)垂直于同一条直线的两个平面互相平行；(3)同弧所对的圆周角不相等．[解] (1)若1a >1b ，则a <b .(2)若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行．(3)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等．类型3命题真假的判断【例3】判断下列命题的真假，并说明理由．(1)正方形既是矩形又是菱形；(2)当x＝4时，2x＋1<0；(3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；(4)一个奇数是两个整数的平方差．[解](1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．(2)是假命题，x＝4不满足2x＋1<0.(3)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0.(4)是真命题，因为当n∈Z时，任意奇数2n－1＝n2－(n－1)2，所以一个奇数是两个整数的平方差．命题真假的判定方法(1)真命题的判断方法要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证．(2)假命题的判断方法通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．[跟进训练]3．判断下列命题的真假：(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；(2)若x∈N，则x3>x2成立；(3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；(4)存在一个三角形没有外接圆．[解](1)假命题．反例：1≠4,5≠2，而1＋5＝4＋2.(2)假命题．反例：当x＝0时，x3>x2不成立．(3)真命题．∵m>1⇒Δ＝4－4m<0，∴方程x2－2x＋m＝0无实数根．(4)假命题．因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆．类型4 数学中的新定义【例4】 对于a ，b ∈N *，规定a *b ＝⎩⎨⎧a ＋b ，a 与b 的奇偶性相同，a ×b ，a 与b 的奇偶性不同，集合M ＝{(a ，b )}|a *b ＝12，a ，b ∈N *}，则M 中元素的个数为( )A ．6B ．8C ．15D ．16 [思路点拨] 本题新定义两个正整数的新运算，利用新定义解方程a *b ＝12，a ，b ∈N *，分a ，b 奇偶性相同和a ，b 奇偶性不同进行分类讨论即可．C [分a ，b 奇偶性相同和奇偶性不同两种情况讨论．如果a ，b 奇偶性相同，满足条件的有1＋11＝2＋10＝3＋9＝…＝6＋6＝…＝9＋3＝10＋2＝11＋1，共11种情况，即有11组(a ，b )符合M 中元素的要求；如果a ，b 奇偶性不同，则满足条件的有1×12＝3×4＝4×3＝12×1，共4种情况，即有4组(a ，b )符合M 中元素的要求．综上，M 中元素的个数为11＋4＝15.故选C .]数学中的定义在解题中得应用还很多，它是数学理论的基础，是进行判断、推理、论证的重要依据．在解题中充分利用定义，有时会收到事半功倍的效果．数学定义的应用蕴涵着极其丰富的内涵，深刻理解定义，可抓住问题的实质，从而找到解决问题的有效途径．本题中新定义的运算，是以正整数的奇偶作为分类的基准，就是本题解相关方程的依据．[跟进训练]4．设集合S ＝{r 1，r 2，…，r n }⊆{1,2,3，…，32}，又S 中任意两数之和不能被5整除，则n 的最大值为________．15 [一个数能被5整除，可以用5k 表示，k ∈Z .两数之和被5整除，我们需要分析一下每个数被5除后的余数，如果两个余数之和能被5整除，则两数之和就能被5整除，否则不能．比如1和9,2和8,3和7,4和6，余数分别是1和4,2和3,3和2,4和1，按此原则，把1～32这32个数字进行归类．集合S 的元素从1～32中选取，我们将这32个数字分入以下5个集合；S0＝{5,10,15,20,25,30}，S0中的元素共6个，都能被5整除；S1＝{1,6,11,16,21,26,31}，S1中的元素共7个，都被5除余1；S2＝{2,7,12,17,22,27,32}，S2中的元素共7个，都被5除余2；S3＝{3,8,13,18,23,28}，S3中的元素共6个，都被5除余3；S4＝{4,9,14,19,24,29}，S4中的元素共6个，都被5除余4.S0中的元素都能被5整除，因此S0中只能选1个数字；S1中的元素，两两相加都不能被5整除；同理，S2，S3中，同组内两两相加都不能被5整除，因此可以整组挑选．但S1与S4中各任选一个元素相加，必定能被5整除，因此只能选一组，S1中7个元素，比S4更多，选S1；同理，S2与S3也只能选1组，S2的元素比S3多，因此最多的取法是S0中选1个元素，S1整组7个，S2整组7个，共1＋7＋7＝15.故n的最大值为15.]1．下列语句为真命题的是()A．a>bB．四条边都相等的四边形为矩形C．1＋2＝3D．今天是星期天C[A、D不是命题，B为假命题，C为真命题．]2．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是() A．这个四边形的对角线互相平分B．这个四边形的对角线互相垂直C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直D．这个四边形是平行四边形C[把命题改写成“若p，则q”的形式后可知C正确．故选C.]3．下列命题是真命题的为()A．若a>b，则1 a< 1 bB．若b2＝ac，则b2>a或b2>c C．若|x|<y，则x2<y2D．若a＝b，则a＝bC[对于A，若a＝1，b＝－2，则1a>1b，故A是假命题．对于B，当a＝b＝0，c＝1时，满足b2＝ac，且b2>a，a2>c不成立，故B 是假命题．对于C，因为y>|x|≥0，则x2<y2是真命题．对于D，当a＝b＝－2时，a与b没有意义，故D是假命题．]4．命题“对顶角相等”中的条件为________，结论为________．[答案]两个角是对顶角它们相等5．菱形的对角线互相垂直的真假性为________(填真、假)．[答案]真回顾本节知识，自我完成以下问题．1．什么是命题？命题的构成方式是怎样的？它们之间有怎样的关系？[提示]可以判断真假的陈述句为命题；命题由条件与结论构成．它们之间是因果关系．2．含有大前提的命题怎样写成若p则q的形式？[提示]大前提应保持不变，且不写在条件p中．。