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第3章 矩阵及线型方程组精品文档

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线性代数第三章矩阵的初等变换与线性方程组PPT课件

线性代数第三章矩阵的初等变换与线性方程组PPT课件

求F，并求一个可逆矩阵 P，使 P A F.
35
三、小结
1 r i r jc i c j;
1.初等行(列)变换 2 r i k c i k ;
3 r i k jc ir k j.c
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同． 2. A 初等变换 B A ~B . 3.矩阵等价具有的性质
F
矩阵 F称为B 矩 的阵 标.准形
22
特点：F的左上角是一阵 个， 单其 位余 矩元 为零 .
mn矩阵 A总可经过初等标 变准 换形 化为
FEr O O Omn
此标准m 形 ,n,由 r三个数唯一确r定 就， 是其 行阶梯形矩阵的 中行 非 . 数 零行
所有与矩阵A 等价的矩阵组成的一个集 合，称为一个等价类，标准F形 是这个等价类 中最简单的矩阵.
1 0 0 1 3 2 r2（2）
0 0
2 0
0 1
3 1
6 1
5 1
r3
（1）
r2
（2）1 A01
101003
13 33
3532.
52
r3 （1）0
0
2 11
2 1
121 21
29
利用初等行变 的换 方求 法逆 ，阵 还可 矩阵 A1B.
A 1 (A B ) (E A 1 B )
即
(A B)
2 3
(B1 )
3x1 6x2 9x3 7x4 9, 4
x1 x2 2x3 x4 4,
2 3
4
3 21
31
2 x2 5 x2
2 x3 5 x3
2 x4 3 x4
0, 6,
3x2 3x3 4x4 3,

线性代数课件第三章矩阵的初等变换与线性方程组——1

线性代数课件第三章矩阵的初等变换与线性方程组——1

就称这两个线性方程组等价
2021/3/6
线性代数课件
用矩阵的初等行变换 解方程组（1）：
2 1 1 1 2
B41
1 6
2 2
1 2
4 4
3 6 9 7 9
r1 r2 r3 2
1 2 2 3
1 1 3
6
2 1
1 9
1 1 1 7
4
2 2
B1
9
2021/3/6
线性代数课件
r2 r31 1 12 12 41 r2 4 r3
或令 x3 c,方程组的解可记作
x1 c 4 1 4
x
x2
x x
3 4
c 3 c 3
c
1 1 0
3 0 3
其中c为任意常. 数
2021/3/6
线性代数课件
矩阵 B4 和B5 都称为行阶梯. 形矩阵
特点：
（1）、可划出 一条阶梯线，线 的下方全为零；
（2）、每个 台阶 只有一行，
(1)
1 2 3 2
2x1 x2 x3 x4 2, 2x1 3x2 x3 x4 2,
2 3
( B1 )
3x1 6x2 9x3 7x4 9, 4
x1 x2 2x3 x4 4,
2 3
4
3 21
31
25xx22
2x3 5x3
2x4 3x4
0, 6,
3x2 3x3 4x4 3,
2021/3/6
线性代数课件
3．上述三种变换都是可逆的．
若(A) i j (B), 则(B) i j ( A); 若(A) i k (B), 则(B) i k ( A); 若(A) i k j (B), 则(B) i k j ( A).

线性代数课件PPT第三章 线性方程组 S1 向量组与矩阵的秩

线性代数课件PPT第三章 线性方程组 S1 向量组与矩阵的秩

i
am1 am2 amn m
向量组 1 ,2 , ,m 称为矩阵A的行向量组．
11
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m个n维列向量所组成的向量组1, 2 ,, m ,
构成一个n m矩阵
A (1 , 2 ,, m )
m个n维行向量所组成
的向量组1, 2 , m ,构成
li hi 0, (i 1, 2, , s)
即 li hi , (i 1, 2, , s)
所以表示法唯一. 例5和例6的结论可作为定理使用
24
三、几个有关的结论
定理2 n阶行列式|A|=det(aij)=0 它的n个行（列） 向量线性相关.
25
推论 n阶行列式|A|≠0 它的n个行(列)向量线 性无关.
(a1 , a2 , , an ),
注意
b1
b2
bn
行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算.
9
§3.1.1.2向量组的线性相关性
一、向量、向量组与矩阵
若干个同维数的列向量（或行向量）所组成 的集合叫做向量组．
例如1 A
矩阵A
a11 a21
(a
2
a12
a22
ij)mn
但是，若A为可逆矩阵，则可以得到B=O.
| An | n | A |
注意: 矩阵与行列式线性运算的不同点，以及
(AB)T=BTAT
|AnBn| = |An| |Bn| = |Bn| |An|
2
3. 掌握逆矩阵及其性质、矩阵可逆的充要条 件，会用伴随矩阵求二阶矩阵逆矩阵． 如： |A|≠0时A可逆，或对于方阵A，若存在 方阵B，使 AB=E (AB=BA=E)则A可逆。 (AT)−1=(A−1)T, (AB)−1=B−1A−1, |A−1|=|A|−1 A−1=A* / |A|，注意A*中元素的排列顺 序 对任意方阵A，有 AA*=A*A=|A|E

线性代数 第三章

线性代数 第三章

( b1 , b2 ,, bm 为不全为零的常数) （3-1-1）
在上一章知道，它的矩阵表达式为 常数项与未知阵。
a11 a 21 A , B 将系数矩阵与常数项矩阵放在一起构成的矩阵 ~ 称为方程组（3-1-1）的增广矩阵（也可记作 A ）。 a m1
第三章 向量组与线性方程组
• 3.1 线性方程组及其矩阵表示
设非齐次线性方程组的一般形式为
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a m1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm
Ax B与 Sx T 同解。（证）
证明 由于对矩阵作一次初等行变换等价于矩阵左乘一个初等矩阵，因此存在初等矩 阵 P 记 Pk Pk 1 P1 P 显然 P 可逆。 1, P 2 ,, P k 使得 P kP k 1 P 1 ( A, B) ( S , T )
x x1 为 Ax B 的解，即 Ax1 B Sx1 T 于是 x x1 为 Sx T 的解。
21 1
22
2
2n
n
x1 2 x 2 2 x3 x 4 1 【例1】把线性方程组 2 x1 x 2 2 x 2 5 x 4 2 表示为矩阵方程的形式。 x 3 x 7 x 4 x 0 2 3 4 1 x1 1 2 2 1 1 解 设 A x2 B 2 1 2 5 2 则原方程组可表示为 Ax B x 1 3 7 4 0 x3 x 4
Ax B 其中 A, B, x 分别是系数阵、

《线性代数》第三章矩阵的初等变换与线性方程组精选习题及解答

《线性代数》第三章矩阵的初等变换与线性方程组精选习题及解答

⎯r⎯→
⎢⎢0
−1
2
6 −4⎥⎥ ⎯r⎯→
⎢⎣−1 0 2 5 −3⎥⎦
⎢⎣0 0 1 7 −3⎥⎦
⎡1 0 0 9 −3⎤ ⎢⎢0 1 0 8 −2⎥⎥ ⎢⎣0 0 1 7 −3⎥⎦
5
⎡9 −3⎤ 所以 X = (E − A)−1 B = ⎢⎢8 −2⎥⎥
⎢⎣7 −3⎥⎦
例
3.9
方程组
⎪⎨⎧ax1x1++axx22
⎢⎣1 0 1⎥⎦ 可得 R( A) = 2 .故 R( A2 + 2A) = R( A( A + E)) = R( A) = 2 .
例 3.6 设 A* 是 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵，证明
(1) A* = A n−1 ，
⎧n, R( A) = n; (2) R( A*) = ⎨⎪1, R( A) = n −1;
⎢ ⎢
M
M
M
M
⎥ ⎥
⎢⎣a a a L a⎥⎦
(A) 1
1
(B)
1− n
(C) -1
1
(D)
n −1
解 因 为 R( A) = n −1 ， 所 以 A = 0 . 又 A = (1− a)n−1[(n −1)a +1] ， 故 a = 1 或
a = 1 .当 a = 1 时，易知 R( A) = 1 ，当 a = 1 时， R( A) = n −1.
⎡ x1 ⎤ ⎡− 2c1 + c2 − 1⎤
⎢ ⎢
x2
⎥ ⎥
⎢ ⎢
4c1 − 2c2
⎥ ⎥
⎡− 2⎤
⎢ ⎢
4
⎥ ⎥
⎡ 1 ⎤ ⎡− 1⎤
⎢⎢− 2⎥⎥

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组.

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组.

第三章矩阵的初等变换与线性方程组1. 把下列矩阵化为行最简形：解(下一步r23r1 r32r1 r43r1 ~(下一步r2(4 r3(3 r4(5 ~(下一步r13r2 r3r2 r4r2~2. 利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆：⑴解~~~~,故逆矩阵为(2解~~ ~~ ~故逆矩阵为3. 设求X使AXB.解因为所以4. 求作一个秩是4的方阵，使它的两个行向量.解用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵此矩阵的秩为4 其第2行和第3行是已知向量5. 求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式.⑴解(下一步r1r2 ~(下一步r23r1 r3r1~(下一步r3r2 ~矩阵的是一个最高阶非零子式⑵解(下一步r1r2 r22r1 r37r1~(下一步r33r2 ~矩阵的秩是3是一个最高阶非零子式6. 解下列齐次线性方程组：⑴解对系数矩阵A进行初等行变换有A~于是故方程组的解为(k1k2为任意常数⑵解对系数矩阵A进行初等行变换有A~于是故方程组的解为(k1k2为任意常数7 写出一个以为通解的齐次线性方程组解根据已知可得与此等价地可以写成或或这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组非齐次线性方程组.8 解下列非齐次线性方程组：⑴解对增广矩阵B进行初等行变换有B~于是即(k1k2为任意常数⑵解对增广矩阵B进行初等行变换有B~于是即(k1 k2为任意常数9.当取何值时有解？并求出它的解解~要使方程组有解必须(1(20 即1 2当1时~方程组解为或即(k为任意常数当2时~方程组解为或即(k为任意常数10 设问为何值时此方程组有唯一解、无解或有无穷多解? 并在有无穷多解时求解解B~要使方程组有唯一解必须R(AR(B3 即必须(1(100所以当1且10时方程组有唯一解.要使方程组无解必须R(AR(B即必须(1(100且(1(40所以当10时方程组无解.要使方程组有无穷多解必须R(AR(B3 即必须(1(100且(1(40所以当1时方程组有无穷多解此时，增广矩阵为B~方程组的解为或(k1 k2为任意常数。

第3章 矩阵的秩与方程组(4)

等价关系的性质： (1) 反身性 A~A； （2）对称性 若A~B, 则B~A； （3）传递性 若A~B,B~C,则A~C. 具有上述三条性质的关系称为等价． 例如，两个线性方程组同解，
就称这两个线性方程组等价
向前 向后 返回 13
1 1 −2 1 4
2 2
−1 −3
−1 1
1 −1
2 2
=
B1
− 2
−
5 3 0
的秩.
解 Q B是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行，
∴ B 的所有 4 阶子式全为零.
2 −1 3 而 0 3 −2 ≠ 0, ∴ R(B) = 3.
004
29 向前 向后 返回 29
26 向前 向后 返回 26
1 2 3
例1
求矩阵
A
=
2 4
3 7
−5 1
的秩
解 又 Q A的 3 阶子式只有一个 A， 且 A = 0，
01
−2 0 5
0 15
−2 2 −1 3 = 0=, 0. Q 1 3 = 2 ≠ 0,
02 15
∴ R(A) = 2.
30 向前 向后 返回 30
1 3 −2 2
另解
对矩阵
A
=
0 −2
2 0
−1 1
3 5
做初等变换，
1 3 −2 2 1 3 −2 2
∴
0 −2
2 0
−1 1
3 5
~
问:是否∃Dr+2 ≠ 0 ? 是否∃Dr−1 = 0 ?
答：无； 答：可能有.
m × n 矩阵A的秩R ( A )是A中最高阶非零子式的阶数. 对于 AT， 显有 R( AT ) = R( A).

线性代数第三章矩阵的初等变换与线性方程组第一节矩阵的初等变换


例如
2. 重要结论 定理 每一个矩阵都可以经过单纯的初等行
变换化为行阶梯形矩阵. 这个定理我们不作证明,下面通过几个具体的
例子说明如何用初等行变换化矩阵为行阶梯形矩 阵.
单击这里开始
五、行最简形矩阵和标准形矩阵
定义 一个行阶梯形矩阵若满足
(1) 每个非零行的第一个非零元素为 1 ; (2) 每个非零行的第一个非零元素所在列
定理 1 把矩阵的初等变换与矩阵的乘法运算联 系了起来，从而可以依据矩阵乘法的运算规律得到 初等变换的运算规律，也可以利用矩阵的初等变换 去研究矩阵的乘法.
由定理 1 可得如下推论.
推论 方阵 A 可逆的充要条件是 A ~r E .
七、求逆矩阵的初等变换法
表明，如果
A ~r ，
B
即 A 经一系列
九、矩阵的行阶梯形、行最简形和 标准形的比较
我们还是以引例中的矩阵 B 为例.
矩阵 B 的行阶梯形、行最简形和标准形分 别如下：
行阶梯形矩阵
特点：阶梯线以下的元 素全是０，台阶数即为非零 行数, 竖线后面的第一个元素 为非零元 .
行最简形矩阵
特点：非零行的第一个 非零元为１，且这些非零元 所在的列的其他元素都为０.
（i） A ~r B 的充要条件是存在 m 阶可逆矩阵 P，使 PA = B；
（ii）A ~c B 的充要条件是存在 n 阶可逆矩阵 Q，使 AQ = B；
（iii）A ~ B 的充要条件是存在 m 阶可逆矩阵 P，及 n 阶可逆矩阵 Q，使 PAQ = B .
为了证明定理 1，需引进初等矩阵的知识.
利用初等变换, 把一个矩阵化为行阶梯形矩 阵和行最简形矩阵, 是一种很重要的运算. 由引 例可知, 要解线性方程组只需把增广矩阵化为行 最简形矩阵.

线性代数第三章 矩阵的初等变换与线性方程组


✓一个方程加上另一个方程的 k 倍，记作 i ＋k j .
其逆变换是：
ij
i ×k i +k j
ij
i ÷k i －k j
结论： 1. 由于对原线性方程组施行的变
换是可逆变换，因此变换前后 的方程组同解. 2. 在上述变换过程中，实际上只 对方程组的系数和常数进行运 算，未知数并未参与运算．
定义：下列三种变换称为矩阵的初等行变换：
0 0 0 0 1
以 k 乘单位阵第 i 列加到第 j 列．
1 0 0 0 0
1 0 0 0 0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
? E5
0
0
1
0
0 c53 c53 k 0
0
1
0
k0
0 0 0 1 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
0 0 0k 0 1
a11 a12 a13 a14
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
知识点回顾：克拉默法则
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
设
a21
x1
a22 x2
a2n xn b2
(1)
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
结论 1 如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，则该 线性方程组一定有解,而且解是唯一的.（P. 24定理4）
✓对调两行，记作 ri rj ； ✓以非零常数 k 乘某一行的所有元素，记作 ri k ； ✓某一行加上另一行的 k 倍，记作 ri krj .
其逆变换是：
ri rj ri k ri krj
ri rj ; ri k; ri krj .

矩阵的线性方程组

第3章 矩阵的初等变换与线性方程组 2010-10-9§1 矩阵的初等变换1、 定义1 下面的三种变换称为矩阵的初等行变换把定义中的“行”换成“列”,称为矩阵的初等列变换。

矩阵的初等变换-----矩阵的初等行变换、矩阵的初等列变换。

例,对三阶单位矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010001E 做初等变换。

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010001E 21~r r ↔⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001010=E (1,2), ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010001E 23~r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100030001= E (2(3)), ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010001E 213~r r +⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010031=E (1,2(3)), 初等方阵 有三种初等方阵:E( i, j ), E(i(k)), E(i, j(k)) 2、 等价矩阵 (P59)等价矩阵的定义如果矩阵A 经有限次初等行变换变成矩阵B,就称矩阵A 与矩阵B 行等价:B A r~如果矩阵A 经有限次初等列变换变成矩阵B,就称矩阵A 与矩阵B 列等价: B A c ~如果矩阵A 经有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A 与矩阵B 等价:A ~ B等价矩阵的性质 (1)反身性 A~ A(2)对称性 若A~ B, 则 B ~ A (3)传递性 若 A ~ B, B ~ C, 则A ~ C 3、 阶梯形矩阵阶梯型矩阵就就是各行排在前面零的个数,随着行数的增加而严格增加、 下面矩阵就是阶梯形:下面矩阵不就是阶梯形:4、 行最简形矩阵在阶梯形矩阵当中,非零行的第一个非零元素就是1,且所在列其它元素就是0。

例如下面矩阵就是行最简形矩阵。

例题:把下面矩阵化为行最简形矩阵。

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=34732038234202173132A方法:先化为阶梯形矩阵:方法:用初等变换(行初等变换) 目标:上三角形再化非零行第一个非零元素为1,并把所在列的其她元素化为0。

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