最新高三教案-高考第一轮复习数学单元测试卷不等式 精

新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习：单元质检卷一集合、常用逻辑用语与不等式(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.,B={y|y=2-2x},则A∩B=()1.(2021北京海淀高三模拟)已知集合A=x y=1lnxA.(0,2]B.(0,2)C.(0,1)∪(1,2)D.(0,1)∪(1,2]2.(2021重庆南开中学高三期末)若定义域为R的函数f(x)不是奇函数,则下列命题一定为真命题的是()A.∀x∈R,f(x)+f(-x)≠0B.∀x∈R,f(x)=f(-x)C.∃x∈R,f(x)+f(-x)≠0D.∃x∈R,f(x)=f(-x)>0的解集为(-2,a),则实数a的值是()3.(2021湖南岳阳高三月考)已知不等式-ax+1x+2C.1D.±1A.-1B.-124.(2021湖北十堰高三期中)已知函数f(x)=2x+2-x-a则“a<1”是“f(x)>0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(2021广东惠州高三月考)道路通行能力表示道路的容量,指单位时间内通过道路上指定断面的最大车辆数,是度量道路疏导交通能力的指标,通常由道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件决定.某条道路一小时的通行能力N满足N=1000V0.4V2+V+d0,其中d0为安全距离,V为车速(单位:m/s),且V>0.若安全距离d0取40 m,则该道路一小时通行能力的最大值约为()A.98B.111C.145D.1856.(2021江西赣州高三期中)已知a∈Z,关于x的一元二次不等式x2-6x+a≤0的解集中有且仅有5个整数,则所有符合条件的实数a的值之和是()A.13B.15C.21D.267.(2021浙江高三开学考试)已知函数f(x)=ax+bx,若存在两相异实数m,n使f(m)=f(n)=c,且a+4b+c=0,则|m-n|的最小值为()A.√22B.√32C.√2D.√38.(2021山东东营高三期末)已知a,b,c是正实数,且不等式a2+b2+c2+mb(a+c)≥0恒成立,则实数m 的取值范围是()A.(-∞,-√2]B.[-√2,+∞)C.[√2,+∞)D.(-∞,√2]9.设集合M={y|y=-e x+4},N={x|y=lg[(x+2)(3-x)]},则下列关系正确的是()A.∁R M⊆∁R NB.N⊇MC.M∩N=⌀D.∁R N⊆M10.若1a <1b<0,给出下列不等式正确的是()A.1a+b >1abB.|a|+b>0C.a-1a>b-1bD.ln a 2>ln b 211.已知命题p :x 2+3x-4<0,q :2ax-1<0,若p 是q 的充分不必要条件,则实数a 的值可以是( ) A.-12 B.1 C.2D.012.已知a>0,b>0,a log 42+b log 16√2=516,则下列结论错误的是( )A.4a+b=5B.4a+b=52C.ab 的最大值为2564D.1a +1b 的最小值为185二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021辽宁抚顺高三期中)设集合A={a ,2a 2},B={|a|,a+b },若A ∩B={-1},则b= . 14.(2021山东淄博高三月考)已知函数f (x )=|2x+m|x 2+1,命题p :∀x ∈R ,f (x )-f (-x )=0,若命题p 为真命题,则实数m 的值为 .15.(2021天津一中高三期末)已知a>0,b>0,且ab=1,则12a+12b+8a+b的最小值为 .16.(2021江苏南京高三月考)已知f (x )={-x 2+2x +3,x ≤0,x 2+4x +3,x >0,若关于x 的不等式f (x+a )>f (2a-x 2)在区间[a-1,a+1]上恒成立,则实数a 的取值范围是 .三、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)设全集是R ,集合A={x|x 2-2x-3>0},B={x|1-a<x<2a+3}. (1)若a=1,求(∁R A )∩B ;(2)已知A ∩B=B ,求实数a 的取值范围.18.(12分)(2021广东湛江高三期中)已知命题p :∃x ∈R ,x 2+2ax-8-6a=0,命题q :∀x ∈[1,2],12x 2-lnx+k-a ≥0.(1)若当k=0时,命题p 和q 都是真命题,求实数a 的取值范围;(2)若“命题q 为真命题”是“命题p 为假命题”的必要不充分条件,求实数k 的取值范围.19.(12分)(2021湖北黄冈高三月考)已知f(x)=ax2+(a2-3)x-3a.(1)若关于x的不等式f(x)<0的解集为{x|x>1或x<-3},求实数a的值;(2)若关于x的不等式f(x)+x+a<0的解集中恰有2个整数,求正整数a的值.20.(12分)(2021湖南湘潭高三期中)已知函数f(x)={x2+mx,x>0,log2(-x),x<0在(0,+∞)上有最小值1.(1)求实数m的值;(2)若关于x的方程[f(x)]2-(2k+1)f(x)+k2+k=0恰好有4个不相等的实数根,求实数k的取值范围. 21.(12分)某校决定在学校门口利用一侧原有墙体,建造一间墙高为3米,底面为24平方米,且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙,无需建造费用,甲工程队给出的报价为:屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左、右两面新建墙体报价为每平方米300元,屋顶和地面以及其他报价共计14 400元.设屋子的左、右两面墙的长度均为x米(3≤x≤6).(1)当左、右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低?并求出最低报价.(2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标,其给出的整体报价为1800a(1+x)x元(a>0),若无论左、右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求实数a的取值范围.22.(12分)已知函数f(x)=mx2-(m+1)x+1.(1)若m>0,求不等式f(x)<0的解集;(2)若对任意x∈[1,2],f(x)≤2恒成立,求实数m的取值范围;(3)若a,b,c为正实数,且2ab+bca2+b2+c2的最大值等于f(2),求实数m的值.单元质检卷一集合、常用逻辑用语与不等式1.C解析:由已知得A={x|x>0且x≠1},B={y|y<2},所以A∩B=(0,1)∪(1,2),故选C.2.C解析:∵定义域为R的函数f(x)不是奇函数,∴∀x∈R,f(-x)=-f(x)为假命题,∴∃x∈R,f(-x)≠-f(x)为真命题,故选C.3.C 解析:因为-ax+1x+2>0,即ax -1x+2<0,即不等式(ax-1)(x+2)<0的解集为(-2,a ),所以a>0,且1a =a ,所以a=1,故选C .4.A 解析:因为2x+2-x-a ≥2√2x ·2-x -a=2-a (当且仅当x=0时,等号成立),所以由a<1,得f (x )>1>0;由f (x )>0,得a<2.故“a<1”是“f (x )>0”的充分不必要条件,故选A . 5.B 解析:由题意得N=1000V0.4V 2+V+40=10000.4V+40V+1,因为V>0,所以0.4V+40V ≥2√0.4V ·40V =8,当且仅当0.4V=40V ,即V=10时,等号成立,所以N ≤10008+1≈111,故选B .6.B 解析:设f (x )=x 2-6x+a ,其图象为开口向上、对称轴为直线x=3的抛物线,根据题意可得,Δ=36-4a>0,解得a<9.∵f (x )≤0解集中有且仅有5个整数,结合二次函数图象的对称性可得{f(1)≤0,f(0)>0,解得0<a ≤5.又a ∈Z ,∴a=1,2,3,4,5,即符合题意的a 的值之和是1+2+3+4+5=15,故选B .7.B 解析:由题意知,当f (x )=ax+bx =c 时,有ax 2-cx+b=0(x ≠0).由f (m )=f (n )=c ,知m ,n 是ax 2-cx+b=0(x ≠0,a ≠0,b ≠0)两个不相等的实数根,∴m+n=c a ,mn=b a ,而|m-n|=√(m +n)2-4mn =√c 2-4ab a 2.∵a+4b+c=0,即c=-4b-a ,∴|m-n|=√16b 2+4ab+a 2a 2=√16·(b a ) 2+4·b a +1.令t=ba ,则|m-n|=√16t 2+4t +1=√4(2t +14) 2+34,∴当t=-18时,|m-n|的最小值为√32,故选B .8.B 解析:由于a ,b ,c 是正实数,所以不等式可化为m ≥-a 2+b 2+c 2b(a+c),而a 2+b 2+c 2b(a+c)=a 2+b 22+b 22+c 2b(a+c)≥2√a 2·b 22+2√b22·c 2b(a+c)=√2(ab+bc)b(a+c)=√2,因此-a 2+b 2+c 2b(a+c)≤-√2,当且仅当a 2=b 22且b 22=c 2,即b=√2a=√2c 时,等号成立,故-a 2+b 2+c 2b(a+c)的最大值为-√2,因此m ≥-√2,即实数m 的取值范围是[-√2,+∞),故选B .9.A 解析:因为M={y|y=-e x+4}={y|y<4},N={x|y=lg[(x+2)(3-x )]}={x|(x+2)(3-x )>0}={x|(x+2)(x-3)<0}={x|-2<x<3},所以N ⊆M ,∁R M={y|y ≥4},∁R N={x|x ≤-2或x ≥3},所以∁R M ⊆∁R N ,M ∩N ≠⌀,故选A .10.C 解析:因为1a<1b<0,所以b<a<0.对于A,1a+b<0<1ab ,故A 错误;对于B,因为b<a<0,所以|a|<|b|,即|a|+b<0,故B 错误;对于C,由于b<a<0,故a-b>0,1ab>0,所以a-1a-b-1b =(a-b )+a -bab =(a-b )1+1ab>0,所以a-1a >b-1b ,故C 正确;对于D,由于b<a<0,所以b 2>a 2,所以ln a 2<ln b 2,故D 错误.故选C .11.D 解析:对于p :-4<x<1,对于q :2ax<1.对于A,当a=-12时,q :x>-1,p 是q 的既不充分也不必要条件,故A 错误;对于B,当a=1时,q :x<12,p 是q 的既不充分也不必要条件,故B 错误;对于C,当a=2时,q :x<14,p 是q 的既不充分也不必要条件,故C 错误;对于D,当a=0时,q :x ∈R ,p 是q 的充分不必要条件,故D 正确.故选D .12.A 解析:由a log 42+b log 16√2=516可得,a2+b8=516,即4a+b=52,故A 错误,B 正确;因为52=4a+b ≥2√4ab⇒ab ≤2564,当且仅当a=516,b=54时,等号成立,所以ab 的最大值为2564,故C 正确;因为1a +1b =251a +1b(4a+b )=255+b a+4a b≥25(5+2√4)=185,当且仅当a=512,b=56时,等号成立,所以1a+1b的最小值为185,故D 正确.故选A .13.0 解析:因为2a 2≥0,|a|≥0,所以a=-1,a+b=-1,所以b=0. 14.0 解析:命题p 为真命题,即函数f (x )为偶函数,所以|2×(-x)+m|(-x)2+1=|2x+m|x 2+1,因此|2x-m|=|2x+m|,故m=0.15.4 解析:∵a>0,b>0,∴a+b>0.又ab=1,∴12a +12b +8a+b =ab2a +ab2b +8a+b =a+b 2+8a+b ≥2√a+b 2·8a+b =4,当且仅当a+b=4时,等号成立,结合ab=1,解得当a=2-√3,b=2+√3,或a=2+√3,b=2-√3时,等号成立.16.-∞,-14∪(2,+∞) 解析:∵y=-x 2+2x+3在(-∞,0]上单调递增,y=x 2+4x+3在(0,+∞)上单调递增,-02+2×0+3=02+4×0+3,∴f (x )={-x 2+2x +3,x ≤0,x 2+4x +3,x >0在(-∞,+∞)上单调递增.又不等式f (x+a )>f (2a-x 2)在区间[a-1,a+1]上恒成立,∴x+a>2a-x 2,即a<x 2+x 在区间[a-1,a+1]上恒成立.当a+1≤-12,即a ≤-32时,(x 2+x )min =(a+1)2+a+1,∴(a+1)2+a+1>a ,∴a ∈R ,∴a ≤-32;当a-1<-12<a+1,即-32<a<12时,(x 2+x )min =-122-12,∴-122-12>a ,∴a<-14,∴-32<a<-14;当a-1≥-12,即a ≥12时,(x 2+x )min =(a-1)2+a-1,∴(a-1)2+a-1>a ,∴a>2或a<0,∴a>2.综上,a<-14或a>2. 17.解(1)解不等式x 2-2x-3>0得A={x|x<-1或x>3}, 所以(∁R A )={x|-1≤x ≤3}. 若a=1,则B={x|0<x<5}, 所以(∁R A )∩B={x|0<x ≤3}. (2)A ∩B=B ,则B ⊆A.当B=⌀时,则有1-a ≥2a+3,即a ≤-23;当B ≠⌀时,则有{1−a <2a +3,2a +3≤−1或{1−a <2a +3,1−a ≥3,此时两不等式组均无解.综上,所求实数a 的取值范围是-∞,-23.18.解(1)若命题p 为真命题,则有Δ=4a 2-4(-8-6a )≥0,即a 2+6a+8≥0,解得a ≤-4或a ≥-2; 若当k=0时,命题q 为真命题,则12x 2-ln x-a ≥0,即a ≤12x 2-ln x 在[1,2]上恒成立, 令g (x )=12x 2-ln x ,则g'(x )=x-1x=x 2-1x≥0,且只有f'(1)=0,所以g (x )在[1,2]上单调递增,最小值为g (1)=12,故a ≤12.因此当命题p 和q 都是真命题时,实数a 的取值范围是(-∞,-4]∪-2,12; (2)当命题q 为真命题时,12x 2-ln x+k-a ≥0在[1,2]上恒成立,由(1)可知a ≤12+k ;当命题p 为假命题时,由(1)可知-4<a<-2.由于“命题q 为真命题”是“命题p 为假命题”的必要不充分条件, 所以12+k ≥-2,解得k ≥-52.故实数k 的取值范围是-52,+∞. 19.解f (x )=ax 2+(a 2-3)x-3a=(ax-3)(x+a ).(1)若不等式f (x )<0的解集为{x|x>1或x<-3},则a<0,且-a=1,3a =-3, 故a=-1.(2)不等式f (x )+x+a<0,即ax 2+(a 2-2)x-2a<0的解集中恰有2个整数, 即不等式(ax-2)(x+a )<0的解集中恰有2个整数.又a 为正整数,-a<x<2a , 所以解集必含0,即两整数解为-1,0或0,1. 当a>2时,整数解为-2,-1,0,不符合; 故a=1或a=2.20.解(1)当x>0时,f (x )=x 2+m x=x+mx ,若m ≤0,则f (x )在(0,+∞)上单调递增,无最小值,所以m>0,故f (x )=x+mx ≥2√m ,当且仅当x=√m 时,等号成立,f (x )取到最小值2√m =1, 所以m=14.(2)依题意,f (x )={x +14x ,x >0,log 2(-x),x <0,作出函数f (x )的大致图象如下:方程[f (x )]2-(2k+1)f (x )+k 2+k=0, 即[f (x )-k ][f (x )-k-1]=0, 故f (x )=k 或f (x )=k+1.方程恰好有4个不相等的实数根,作直线y=k 和y=k+1,则两直线与函数有4个交点,结合图象可知{k +1>1,k <1,解得0<k<1, 故实数k 的取值范围为(0,1). 21.解(1)设甲工程队的总造价为y 元, 则y=3300×2x+400×24x+14400=1800(x +16x )+14400≥1800×2×√x ×16x +14400=28800,3≤x ≤6,当且仅当x=16x ,即x=4时,等号成立.故当左、右两侧墙的长度为4米时,甲工程队的报价最低为28800元. (2)由题意可得1800(x +16x)+14400>1800a(1+x)x对任意的x ∈[3,6]恒成立.故(x+4)2x>a(1+x)x,从而(x+4)2x+1>a 恒成立,令x+1=t ,(x+4)2x+1=(t+3)2t=t+9t +6,t ∈[4,7].又y=t+9t +6在t ∈[4,7]上单调递增,故y min =12.25.所以a 的取值范围为(0,12.25).22.解(1)f (x )=mx 2-(m+1)x+1=(mx-1)(x-1). 当0<m<1时,f (x )<0的解集为x 1<x<1m;当m>1时,f (x )<0的解集为x 1m<x<1;当m=1时,f (x )<0无实数解. (2)当m=0时,f (x )=-x+1.对任意x ∈[1,2],f (x )≤f (1)=0<2恒成立.当m>0时,函数f (x )的图象开口向上,若对任意x ∈[1,2],f (x )≤2恒成立,只需{f(1)≤2,f(2)≤2,即{m -(m +1)+1≤2,4m -2(m +1)+1≤2,解得m ≤32. 故当0<m ≤32时,对任意x ∈[1,2],f (x )≤2恒成立.当m<0时,对任意x ∈[1,2],x-1≥0,mx-1<0,f (x )=(mx-1)(x-1)≤0<2恒成立. 综上可知,实数m 的取值范围为-∞,32. (3)若a ,b ,c 为正实数,则由基本不等式得,a 2+45b 2≥4√55ab ,15b 2+c 2≥2√55bc , 两式相加得a 2+b 2+c 2≥2√55(2ab+bc ),变形得2ab+bca 2+b 2+c 2≤√52, 当且仅当a 2=45b 2且c 2=15b 2,即a=2c=2√55b 时,等号成立.所以f (2)=√52,即2m-1=√52,m=2+√54.。

专题九 不等式一、考试内容：不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 二、考试要求：（1）理解不等式的性质及其证明．（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （4）掌握简单不等式的解法．（5）理解不等式│a │-│b │≤│a+b │≤│a │+│b │ 三、命题热点高考对该部分主要从以下几个方面考查：一元二次不等式、一元二次不等式组和简单的线性规划问题、基本不等式的应用等。

高考在解答题中一般有一道数列题，各地高考的试题不尽相同，但总的趋势是难度在下降；试卷中没有不等式解答题，通常会在小题中设置1到2道，而对不等式的深层考查则在数列解答题、解析几何解答题、函数导数解答题中考查。

四、知识回顾1. 不等式的基本概念（1） 不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a <⇔<-=⇔=->⇔>- （2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3） 同向不等式与异向不等式.（4） 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质（1）a b b a <⇔>（对称性）（2）c a c b b a >⇒>>,（传递性）（3）c b c a b a +>+⇒>（加法单调性）（4）d b c a d c b a +>+⇒>>,（同向不等式相加） （5）d b c a d c b a ->-⇒<>,（异向不等式相减） （6）bc ac c b a >⇒>>0,.（7）bc ac c b a <⇒<>0,（乘法单调性）（8）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（同向不等式相乘）(9)0,0a b a b c d c d>><<⇒>（异向不等式相除）11(10),0a b ab a b>>⇒<（倒数关系） （11）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（平方法则） （12）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（开方法则）3.几个重要不等式（1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若（2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号） （3）如果a ,b 都是正数，那么.2a b +（当仅当a=b 时取等号）极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则：○1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.,3a b c a b c R +++∈≥(4)若、、则a=b=c 时取等号） 0,2b aab a b>+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号）2222(6)0||;||a x a x a x a x a x a x a a x a >>⇔>⇔<-><⇔<⇔-<<时，或（7）||||||||||||,b a b a b a R b a +≤±≤-∈则、若 4.几个著名不等式（1）平均不等式： 如果a ,b 都是正数，那么2112a b a b ++（当仅当a=b 时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数）：特别地，222()22a b a b ab ++≤≤（当a = b 时，222()22a b a b ab ++==）),,,(332222时取等c b a R c b a c b a c b a ==∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≥++ ⇒幂平均不等式：22122221)...(1...n n a a a na a a +++≥+++ 注：例如：22222()()()ac bd abcd +≤++.常用不等式的放缩法：①21111111(2)1(1)(1)1n n n n n n n n n n-==-≥++--1)n ==≥（2）柯西不等式： 时取等号当且仅当（则若nn n n n n n n b a b a b ab a b b b b a a a a b a b a b a b a R b b b b R a a a a ====+++++++≤++++∈∈ 332211223222122322212332211321321))(();,,,,,,,,（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.5.不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）.步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解. 特例① 一元一次不等式ax >b 解的讨论；②一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩ （3）无理不等式：转化为有理不等式求解1()0()0()()f x g x f x g x ⎧≥⎫⇒⎪⎬≥⎨⎭⎪>⎩定义域○2⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ○3⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f （4）.指数不等式：转化为代数不等式()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a b a b f x a b>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>（5）对数不等式：转化为代数不等式()0()0log ()log ()(1)()0;log ()log ()(01)()0()()()()a a a a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>⎧⎧⎪⎪>>⇔>><<⇔>⎨⎨⎪⎪><⎩⎩（6）含绝对值不等式○1应用分类讨论思想去绝对值； ○2应用数形思想； ○3应用化归思想等价转化 ⎩⎨⎧>-<>≤⇔>⎩⎨⎧<<->⇔<)()()()(0)()0)(),((0)()(|)(|)()()(0)()(|)(|x g x f x g x f x g x g x f x g x g x f x g x f x g x g x g x f 或或不同时为注：常用不等式的解法举例（x 为正数）： ①231124(1)2(1)(1)()22327x x x x x -=⋅--≤=②2222232(1)(1)124(1)()22327x x x y x x y y --=-⇒=≤=⇒≤类似于22sin cos sin (1sin )y x x x x ==-，③111||||||()2x x x x x x+=+≥与同号，故取等7、二元一次不等式（组）与简单线性规划问题(一)二元一次不等式表示的区域对于直线0=++C By Ax (A>0)当B>0时, 0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 上方区域; 0<++C By Ax 表示直线0=++c By Ax 的下方区域.当B<0时, 0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 下方区域; 0<++C By Ax 表示直线0=++c By Ax 的上方区域.（二）线性规划(1)不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z =A x +B y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于z =A x +B y 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.(3)那么，满足线性约束条件的解（x ,y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（11,y x ）和（22,y x ）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解. 线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.2.设z =0，画出直线l 0.3.观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解.4.最后求得目标函数的最大值及最小值.(5) 利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解.最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解.五、典型例题例1 在ΔABC 中，已知lgtgA+lgtgc=2lgtgB.求证：3π≤B ＜2π. 这个问题的已知是三角形中量的一种相等关系，要求从相等的条件出发，去推证出关于另一(些)量的不等关系.虽说本题考查的是对数、三角函数、不等式的一些相关基础知识，并要求把分析法、综合法加以综合运用，但问题的实质却是某种“相等关系”向“不等关系”的转化，抓住这一实质特征，就可以找到解决问题的方法.当然要熟练掌握对数、三角函数及不等式的知识，在这里根据题意激活知识也是必不可少的.简解：lgtgA+lgtgC=2lgtgB=lgtgA ·tgc ⇒tg 2B=tgA ·tgctgB=tg(π-(A+C))=-Btg 21tgCtgA -+∴tgA+tgC=tgB(tg 2B －１) ∵tgA+tgC ≥2tgC tgA ⋅=2tgB 即 tg 2B-1≥2∴tgB ≥3 ∵B ≥3π……这里，抓住了tg 2B=tgA ·tgC 这一相等关系及tgB=-tgCtgA ⋅-+1tgCtgA 隐含关系.通过tgA+tgC≥2tgC tgA ⋅这一恒成立的不等式得出关于tgB 的不等式，求解即得结论.b)“不等”向“相等”的转化.ⅰ)由实数理论知：若a ≥b 且a ≤b 则必有a=b ，这是由“不等”变为“相等”的典型模型，在数学运算中经常用到，例如：由(x-y)2≤0及隐含条件(x-y)2≥0可以导出(x-y)２＝0ⅱ)添加变量使“不等”变“相等”.例如：由x+y ＞0⇒y ＞-x 可含y=-x+t ，这里t ＞0，从而把x,y 的“不等”关系转化为某种“相等”关系.例2 已知a 、b 、c ∈R ，函数f(x)=ax ２＋bx+c ，g(x)=ax+b ，当-1≤x ≤1时，f(x)≤1 (1)证明：｜c ｜≤｜(2)证明：当｜x ｜≤1时，｜g(x)｜≤2(3)设a ＞0，当｜x ｜≤1时，g(x)的最大值是2，求f(x).本题综合了函数、方程、不等式的知识与方法，由于是以证明不等式为主，对逻辑思维和推理论证能力的要求很高，难度很大，它以二次函数和一次函数为载体，侧重考查函数的概念，含绝对值的不等式的性质，函数的单调性等数学知识的综合灵活运用，并利用函数作为材料，考查恒等变形，放缩变形的方法和技能，等式和不等式的联系和转化.这里仅剖析第(3)小题.已知告诉我们：对一切x ∈［-1,1］，g(x)≤2恒成立，这是不等的关系，由此(加上“a ＞0”)要得出f(x)的表达式，即给出一组值，使之分别与a 、b 、c 相等，很明显是“不等”向“相等”的转化.简解如下：∵a ＞0，∴g(x)=ax+b 是［-1,1］上的增函数，当x=1时，g(x)max =g(1)即：a+b=g(1)=2=f(1)-f(0) ①∵-1≤f(0)=f(1)-2≤1-2≤-1 ∴c=f(0)=-1∵当-1≤x ≤1时f(x)≥-1恒成立，即f(x)≥f(0)∴直线x=0是抛物线y=f(x)的对称轴，由此可得-ab2=0，即b=0代入①得a=2 ∴f(x)=2x 2-12.“相等”与“不等”的构造 从上可以看出，“相等”向“不等”的转化，其关键之处在于构建出相关的不等关系，再将这个不等关系向目标(不等式)作进一步的变形处理即可.a)在“相等关系”中构造出“不等关系”：途径：①利用重要不等式：ⅰ)a 2+b 2≥2abⅱ)a 、b 、c ∈R ＋，a+b ≥2ab ，a+b+c ≥33abc ⅲ)a b +ba≥2(a 、b ＞0)等等 ②利用函数单调性：f(x)是区间I 上的增函数，若x 1、x 2∈I ，则f(x ２)＜f(x １)；f(x)是区间I 上的减函数，若x 1、x 2∈I ，则f(x 1)＞f(x 2)；③利用等量关系中的隐含条件，如x ２-１≥0 ｜x ｜≤a y=1-x 2⇒ x 2+y 2=a 2⇒y ≥0 ｜y ｜≤a例3 已知a 、b ∈R 且a 21b -+b 21a -=1，求证a 2+b 2=1这是一道脍炙人口的名题，其证法有多种，常见的方法有：平方法、三角法、几何法等，但另辟蹊径，巧用“相等”与“不等”，又可别开生面，证明如下：证明：∵a21b-≤2b -1a 22+ b 21a -≤2a -1b 22+两式相加得a 21b -+b 21a - ≤1又已知a 21b -+b 21a - =1，则上述两不等式必同时取等号即a=21b - ,b=21a -∴a 2+b 2=1例4 求满足(x 2+2x+3)(y 2+1)=2的实数x,y解：∵x 2+2x+3=(x+1)2+2≥2 y 2+1≥1∴(x 2+2x+3)(y 2+1)≥2 当且仅当x 2+2x+3=2,y 2+1=1时成立解之得x=-1且y=0 b)在“不等”关系中构造“相等”关系.x=rcos θ途径：①设元构造.例：x 2+y 2≤1⇒ (0≤r ≤1) y=rsin θ②数形结合，构造函数(或方程).例：x -4x -52≥x 可设y 1=x -4x -52,y 2=x例5 求证：nn 2＜1-n 2 (n ∈N ，n ≥2) 证明：∵2n =(1+1)n＝1+n+21)-n(n +…∴n ≥2，n ∈N,右端展开式中的各项为正∴2n＞21)-n(n即n n 2＜1-n 2例6 为使不等式x 2+4xy+4y 2+10x+ay+b ＞0对任意实数x 、y 恒成立，求实数a 、b 应满足的条件.解：为使不等式恒成立，须且仅须x 2+4xy+4y 2+10x+ay+b 为一个实数的平方加上一个正增量t ，可令x 2+4xy+4y 2+10x+ay+b=(x+2y+m)2+t=x 2+4xy+4y 2+2mx+4my+m 2+410=2m a=20 根据多项式相等的条件有： a=4m ⇒b=m 2+t(t ＞0) b=25+t ＞25 所以当a=20,b ＞25时，原不等式恒成立.例7 已知x 2+y 2≤1，求x+y 的最大值.分析：这里，量x+y 与x 2+y 2的直接关系可以通过2(x 2+y 2)≥(x+y)2得出，还可以通过换元令x=rcos θ，y=rsin θ，则有r 2≤1∴0≤r ≤1∴x+y=rcos θ+rsin θ=2rsin(θ+4π)≤2 r ≤2 得出. 3.由不等进行估算估计变数或式子的取值范围，对某些数学问题能起到挖掘隐含信息，找到思维的切入点，从而使困难的问题迎刃而解.x+y=6 例8 求解方程组z 2=xy-9这是二个方程三个变量的方程组，按常规似乎有无数个解.但可对xy 进行估算，可知xy ＞9，否则z 2＜0,x+y ＞0∵x ＞0,且y ＞0且6=x+y ≥2xy ⇒xy ≤9故z 2=xy-9≤9-9=0∴z=0且x=y=34.由不等推出矛盾：反证法是“数学家最精良的武器之一”，它在数学解题中确有奇效，若能有意识地挖掘问题中潜在的不等关系，使两者联手，往往可以及时找到矛盾点——由不等导出矛盾.例9 已知锐角α，β满足βαsin cos +αβsin cos =2，求证α+β＝2π证明：假设α+β＞2π，则α＞2π-β，β＞2π-α ∵α，β，2π-2，2π-β∈(0，2π)∴cos α＜cos(2π-β)＝sin βcos β＜cos(2π-α)=sin α从而2=βαcos cos +αβsin log ＜ββsin sin +ααsin sin =2矛盾 故α+β≤2π，同理α+β≥2π，∴α+β=2π(二)不等式与函数、方程的关系前面谈到“不等”与“相等”的相互依存，转化，在不等式与函数、方程中尤为突出. 1.一元二次不等式与二次函数，一元二次方程的关系(1)一元二次方程的根(二次函数图像与x 轴交点的横坐标)是对应一元二次不等式解集的端点值，由此可引申出解一元高次不等式的“根轴法”，可以由数形结合，根据函数图像求不等式的解集.(2)方程的条件根问题可以借助所设辅助函数与关于函数值的不等式，得出等价转化.例10 2x ２-3x=k 在［-1,1］内有实根，求实数k 的取值范围.此题是有关一元二次方程根的个数讨论，通过构造二次函数，讨论其零值点的分布，借助不等式求出k 的范围.解：设y=2x 2-3x-k=f(x)①若方程2x 2-3x-k=0在［-1，1］上有两根，则 Δ≥0f(-1)≥0 9+8k ≥0f(1)≥0 ⇔ 2+3-k ≥0 解之得：-89≤k ≤-1 -1＜43＜1 2-3-k ≥0 ②若方程2x 2-3x-k=0在［-1,1］上仅有一根则 Δ＞0 k ＞-89 ⇔ ⇔ -1≤k ≤5 f(-1)f(1)≤0 (5-k)(1-k)≤0 综上可知，k ∈［-89,5］ 2.不等式与函数最值(1)求函数的最大值与最小值涉及的范围极为广泛，可使用的方法很多，代数的，三角的，几何的问题中都有大量的求最值问题，求函数的值域也常归结为函数的最值；许多实际问题的应用题也能利用最值解决.而最值问题往往归结为不等问题，用不等式的性质以及求解不等式的方法都可用于解决最值问题，代数课本上册P26例2实际上是两个极值定理，有着广泛的应用价值，(课本上虽为二个正数，但可推广到三、四个及多个的情形)在利用它解决问题时，要注意三个条件“一正、二定、三能等”即：①这几个数都必须是正数.例如：当xy=4，如果没有x 、y 都为正数这个条件，就不能说x+y 有最小值4，因为若x=y=-2虽满足xy=4但x+y=-4＜4.②这几个数必须满足条件“和为定值”或“积为定值”，如果找不出“定值”这个条件，就不能应用这两个定理.例如：当x ＞0时，求y=x 2+x 1的最小值，若写成y=x 2+x1≥2xx 12⋅=2x (等号当且仅当x 2=x 1即x=1时y min =21=2)则最小值为2，这是错误的.而应该是这样的：由于x 2·x 21·x 21=4为定值，故y=x 2+x 1=x 2+x 21+x 21≥3322121x x x ⋅⋅=2332，即y min ＝2332(显然(2332)3=427＜8 即2332＜2＝③要保证等号能成立，如果等号不能成立，则求出的仍不是最值，例如：当0＜x ＜2π时求y=sinx+sinx 4的最小值，尽管y=sinx+sinx 4≥2xsin 4sin ⋅=4.但y min ＝４是错误的，因为当sinx=sinx4时可推出sinx=2(sinx ＞0)不成立，这只能说y ＞4恒成立，因此y min ＞4必成立，实际上由y=t+t4在(0，1］上是单调减函数可知，当sinx=1时y min =5(2)不等式与二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的最椎 x ∈R 时①当a ＞0时，x=-a b 2时，y min =a 4b -4ac 2；当a ＜0，x=-a b 2时y max =a4b -4ac 2②当x ∈［m,n ］(m ＜n ＝时，易画出图像(是抛物线的一部分)“看图说话”. 例11 若a ＞0，y=ax 2+bx+c 的最值如下表当a ＜0时，可依上表写出类似结论.(3)重要函数y=x+c ，(a ＞0,x ＞0)的单调性.利用不等式的性质可证明，y=x+ f(m) 在(o ，a )上是减函数，在QS ［a ，+∞)上是增函数.例12 求y=4522++x x 的最值解：y=41422+++x x ＝4x 2++412+x令t=4x 2+≥2，于是y=t+t 1在［1,+∞)单调递增，可知t=2，即x=0时y min =25 (三)不等式与几何的关系数学关系实质上是反映现实生活中的量与量的关系的，因而往往具有一些实际意义(或几何意义)，不等关系也是这样.1.构造几何图形证明不等式1)对于一些含有“A+B ≥C ”结构的不等式问题，可联想“三角形两边之和大于第三边.”构造三角形证明例13 x 、y 、z ∈R +，求证：-xy y x 22+ +yz -z y 22+＞xz y x -+22简析：x 2+y 2-xy=x 2+y 2-2xycos60°由 y 2+z 2-yz=y 2+z 2-2yzcos60°联想到余弦定理，构造三棱锥z 2+x 2-xz=x 2+z 2-2xzcos60°o-ABC 得证(如图)，AB=xy -y x 22+ BC=yz -y 22z + CA=xz -x 22z +及ΔABC 中，AB+BC ＞AC2)对于一些含有“A ·B 或21(A+B)·C ”结构的不等式问题，可联想面积证明之例14 设a ＞c,b ＞c ＞0,求证：c)-c(a +)(c b c -≤ab 简析：∵(c -b )2+(c )2=(b )2(c -a )2+(c )2=(a )2即勾股定理，c)-c(a +)(c b c -=c (c -a +c -b )联想到梯形面积可用补形法构造一个梯形.(如图二)3)对于含有“a 2+b 2=c 2”结构的不等式问题，可联想长方体中的对角线与棱长的公式，构造长方体.4)对于一些含有“(a-m)2+(b-n)2”或22C bB aA BA +++”结构的不等式问题可用解几中的两点间的距离，点到直线的距离公式进行构图求证.5)对含有“a 2+b 2=R 2且aA+bB+C=0”结构的不等问题，可构造圆与直线的位置关系求证. 2.运用不等式知识解决几何最值这类问题主要是通过建立目标函数之后，应用不等式知识(如函数单调性，基本不等式等)求出函数最值，这里不作详述.(四)不等式与其它杂题 1.不等关系的探索.现实生活中量与量的不等关系是普遍的、大量的，高考中探索性问题即包含对不等关系的探索，下面举例说明之：例15 已知S n =1+21+31+…n1(n ∈N),设f(n)=S 2n+1-S n+1.试确定m 的取值范围，使得对于一切大于1的自然数，不等式f(n)＞m 恒成立.分析：依题意f(n)=S 2n+1-S n+1=2n 1++3n 1++…+12n 1+ (n ∈N)由于f(n)无法求和化简，故应把f(n)看作n 的函数，只须求出f(n)的最小值即可.略解：∵f(n)=2n 1++3n 1++…+12n 1+ f(n+1)=3n 1++…+32n 1+ 且f(n+1)-f(n)=22n 1++ 32n 1+-2n 1+=(22n 1+-42n 1+)+(32n 1+-42n 1+)＞0∴f(n+1)＞f(n) (n ＞1，n ∈N)∴f(2)是f(n)(n ＞1，n ∈N)的最小值f(2)=209 要使f(n)＞m 恒成立，只须f(2)＞m 恒成立，故m ＜209 例16 已知等差数列｛a n ｝和等比数列｛b n ｝中，a 1=b 1,a 2=b 2,a 1≠a 2,a n ＞0,n ∈N (1)试比较a 3,b 3及a 4,b 4的大小.(2)推测a n 与b n 的大小，并证明你的结论. (结论：b n ＞a n 对任意n ∈N ，n ≥3成立)简析：运用归纳法进行探测，猜出一般性的结果，用数学归纳法证明之.例17 定义在(-1，1)上的函数f(x)满足(ⅰ)对任意x 、y ∈(-1，1)有f(x)+f(y)=f(xyyx ++1) (ⅱ)当x ∈(-1,0)时，有f(x)＞0，试研究f(51)+f(111)+…+f(13n n 12++)与f(21)的关系.简析：由(ⅰ)、(ⅱ)可知f(x)是(-1，1)上的奇函数且是减函数. f(13n n 12++)=f(1-2)1)(n (n 1++)=f(211111)21(11+-⋅+++-++n n n n ) =f(1n 1+)+f(-2n 1+)=f(1n 1+)-f(2n 1+)∴f(51)+f(111)+…+f(13n n 12++)=［f(21)-f(31)］+［f(31)-f(41)］+…+［f(1n 1+)-f(2n 1+)］=f(21)-f(2n 1+)＞f(21)(∵0＜2n 1+＜1，∴f(2n 1+)＜0)2.不等式问题中的思维策略1)反客为主当从正面按常规方法不易得出问题的解时，可以变换角度从侧面入手寻找突破口.例18 当｜p ｜≤2时，不等式2x-1＞p(x 2-1)恒成立，求x 的取值范围x 2-1=0 x 2-1＞0 x 2-1＜0 简析：若按常规思路，将问题转化为 或 或 2x-1＞0 1-x 1-2x 2＞2 1-x 1-2x 2＜-2 分别解三个不等式组获解，但太繁琐.若“反客为主”将原不等式化为关于P 的不等式：(1-x 2)p+(2x-1)＞0构造函数f(p)=(1-x 2)p+2x-1 问题转化为对一切｜p ｜≤2，f(p)＞0恒成立当1-x 2=0时易得x=1f(-2)＞0 当1-x 2≠0时，当且仅当 解之得217-＜x ＜231+且x ≠1 f(2)＞0 综上217-＜x ＜231+ 2)以退为进有时从问题的整体去思考颇为费解，但若退出局部着手，常能轻易找出问题的解决途径. 例19 在锐角ΔABC 中，求证：sinA+sinB+sinC ＞cosA+cosB+cosC简析：观察此题，求证式整体与局部，三个角的三角函数有轮换的特征可退出局部考察A 、B 的关系是否有sinA ＞sinB证明：∵A+B=π-C ＞2π ∴2π＞A ＞2π-B ＞0 ∴sinA ＞sin(2π-B)=cosB同理 sinB ＞cosCsinC ＞cosA三式相加得sinA+sinB+siC ＞cosA+cosB+cosC 五、二元一次不等式（组）与简单线性规划问题 （一）二元一次不等式(组)与平面区域 （1）求约束条件及平面区域的面积例20.双曲线4y x 22=-的两条渐近线与直线x=3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（ ）A. ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+≥-3x 00y x 0y xB. ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≥-3x 00y x 0y xC. ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≤-3x 00y x 0y xD. ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+≤-3x 00y x 0y x【解题思路】依据平面区域的画法求解.[解析]双曲线4y x 22=-的两条渐近线方程为x y ±=，两者与直线3x =围成一个三角形区域时有⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+≥-3x 00y x 0y x ，故选A 。

6.5 不等式的解法（二）●知识梳理1.|x|＞a ⇔x ＞a 或x ＜－a （a ＞0）； |x|＜a ⇔－a ＜x ＜a （a ＞0）.2.形如|x －a|+|x －b|≥c 的不等式的求解通常采用“零点分段讨论法”.3.含参不等式的求解，通常对参数分类讨论.4.绝对值不等式的性质：||a|－|b||≤|a ±b|≤|a|+|b|. 思考讨论1.在|x|＞a ⇔x ＞a 或x ＜－a （a ＞0）、|x|＜a ⇔－a ＜x ＜a （a ＞0）中的a ＞0改为a ∈R 还成立吗?2.绝对值不等式的性质中等号成立的条件是什么? ●点击双基1.（2003年成都第三次诊断题）设a 、b 是满足ab ＜0的实数，那么 A.|a+b|＞|a －b| B.|a+b|＜|a －b|C.|a －b|＜||a|－|b||D.|a －b|＜|a|+|b|解析：用赋值法.令a=1，b=－1，代入检验. 答案：B2.（2004年春季安徽）不等式|2x 2－1|≤1的解集为A.{x|－1≤x ≤1}B.{x|－2≤x ≤2}C.{x|0≤x ≤2}D.{x|－2≤x ≤0}解析：由|2x 2－1|≤1得－1≤2x 2－1≤1.∴0≤x 2≤1，即－1≤x ≤1. 答案：A3.不等式|x+log 3x|＜|x|+|log 3x|的解集为A.（0，1）B.（1，+∞）C.（0，+∞）D.（－∞，+∞） 解析：∵x ＞0，x 与log 3x 异号， ∴log 3x ＜0.∴0＜x ＜1. 答案：A4.已知不等式a ≤||22x x +对x 取一切负数恒成立，则a 的取值范围是____________.解析：要使a ≤||22x x +对x 取一切负数恒成立，令t=|x|＞0，则a ≤t t 22+.而t t 22+≥tt 22=22，∴a ≤22. 答案：a ≤225.已知不等式|2x －t|+t －1＜0的解集为（－21，21），则t=____________. 解析：|2x －t|＜1－t ，t －1＜2x －t ＜1－t ，2t －1＜2x ＜1，t －21＜x ＜21. ∴t=0.答案：0 ●典例剖析【例1】 解不等式|2x+1|+|x －2|＞4.剖析：解带绝对值的不等式，需先去绝对值，多个绝对值的不等式必须利用零点分段法去绝对值求解.令2x+1=0，x －2=0，得两个零点x 1=－21，x 2=2.解：当x ≤－21时，原不等式可化为－2x －1+2－x ＞4， ∴x ＜－1.当－21＜x ≤2时，原不等式可化为2x+1+2－x ＞4，∴x ＞1.又－21＜x ≤2，∴1＜x ≤2.当x ＞2时，原不等式可化为2x+1+x －2＞4，∴x ＞35.又x ＞2，∴x ＞2.综上，得原不等式的解集为{x|x ＜－1或1＜x}. 深化拓展若此题再多一个含绝对值式子.如：|2x+1|+|x －2|+|x －1|＞4，你又如何去解？ 分析：令2x+1=0，x －2=0，x －1=0，得x 1=－21，x 2=1，x 3=2.解：当x ≤－21时，原不等式化为－2x －1+2－x+1－x ＞4，∴x ＜－21.当－21＜x ≤1时，原不等式可化为2x+1+2－x+1－x ＞4，4＞4（矛盾）. 当1＜x ≤2时，原不等式可化为 2x+1+2－x+x －1＞4，∴x ＞1. 又1＜x ≤2， ∴1＜x ≤2.当x ＞2时，原不等式可化为2x+1+x －2+x －1＞4，∴x ＞23.又x ＞2，∴x ＞2.综上所述，原不等式的解集为{x|x ＜－21或x ＞1}.【例2】 解不等式｜x 2－9｜≤x ＋3.剖析：需先去绝对值，可按定义去绝对值，也可利用|x|≤a －a ≤x ≤a 去绝对值.解法一：原不等式⇔（1）⎪⎩⎪⎨⎧+≤-≥-390922x x x ，或（2）⎪⎩⎪⎨⎧+≤-<-.390922x x x ，不等式（1）⇔⎩⎨⎧≤≤-≥≤4333x x x 或⇔x ＝－3或3≤x ≤4；不等式（2）⇔⎩⎨⎧≥-≤<<-2333x x x 或⇔2≤x ＜3.∴原不等式的解集是｛x ｜2≤x ≤4或x ＝－3｝. 解法二：原不等式等价于 ⎩⎨⎧+≤-≤+-≥+393032x x x x ）（ ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≤-≥4333x x x ，或x ≥2⇔x=－3或2≤x ≤4. ∴原不等式的解集是｛x ｜2≤x ≤4或x ＝－3｝. 【例3】 （理）已知函数f （x ）=x|x －a|（a ∈R ）. （1）判断f （x ）的奇偶性；（2）解关于x 的不等式：f （x ）≥2a 2. 解：（1）当a=0时，f （－x ）=－x|－x|=－x|x|=－f （x ）， ∴f （x ）是奇函数.当a ≠0时，f （a ）=0且f （－a ）=－2a|a|. 故f （－a ）≠f （a ）且f （－a ）≠－f （a ）. ∴f （x ）是非奇非偶函数.（2）由题设知x|x －a|≥2a 2，∴原不等式等价于⎩⎨⎧≥+-<222a ax x a x ，① 或⎩⎨⎧≥-≥.222a ax x a x ，②由①得⎩⎨⎧≤+-<.0222a ax x a x ，x ∈∅. 由②得⎩⎨⎧≥+-≥.02））（（，a x a x a x当a=0时，x ≥0.当a ＞0时，⎩⎨⎧-≥≤≥，或，a x a x a x 2∴x ≥2a.当a ＜0时，⎩⎨⎧-≤≥≥，或，a x a x a x 2即x ≥－a. 综上a ≥0时，f （x ）≥2a 2的解集为{x|x ≥2a}；a ＜0时，f （x ）≥2a 2的解集为{x|x ≥－a}.（文）设函数f （x ）=ax+2，不等式| f （x ）|＜6的解集为（－1，2），试求不等式）（x f x≤1的解集.解：|ax+2|＜6，∴（ax+2）2＜36，即a 2x 2+4ax －32＜0.由题设可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-.2321422a a a ，解得a=－4.∴f （x ）=－4x+2.由）（x f x ≤1，即24+-x x ≤1可得2425--x x ≥0. 解得x ＞21或x ≤52.∴原不等式的解集为{x|x ＞21或x ≤52}.●闯关训练 夯实基础1.（2003年北京海淀区一模题）已知集合A={x|a －1≤x ≤a+2}，B={x|3＜x ＜5}，则能使A ⊇B 成立的实数a 的取值范围是A.{a|3＜a ≤4}B.{a|3≤a ≤4}C.{a|3＜a ＜4}D.∅解析：由题意知⎩⎨⎧≥+≤-，，5231a a 得3≤a ≤4.答案：B 2.不等式|x 2+2x|＜3的解集为____________.解析：－3＜x 2+2x ＜3，即⎪⎩⎪⎨⎧>++<-+.03203222x x x x ，∴－3＜x ＜1. 答案：－3＜x ＜13.（2004年全国Ⅰ，13）不等式|x+2|≥|x|的解集是____________.解法一：|x+2|≥|x|⇔（x+2）2≥x 2⇔4x+4≥0⇔x ≥－1.解法二： 在同一直角坐标系下作出f （x ）=|x+2|与g （x ）=|x|的图象，根据图象可得x ≥－1.|表示数轴上x 到－2的距离不小于到0的距离，∴x ≥－1.答案：{x|x ≥－1}评述：本题的三种解法均为解绝对值不等式的基本方法，必须掌握.4.（2004年春季北京）当0＜a ＜1时，解关于x 的不等式a 12-x ＜ax －2.解：由0＜a ＜1，原不等式可化为12-x ＞x －2.这个不等式的解集是下面不等式组①及②的解集的并集.⎩⎨⎧<-≥-02012x x ，①或⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-.212020122）（，，x x x x ② 解不等式组①得解集为{x|21≤x ＜2}，解不等式组②得解集为{x|2≤x ＜5}，所以原不等式的解集为{x|21≤x ＜5}.5.关于x 的方程3x 2－6（m －1）x+m 2+1=0的两实根为x 1、x 2，若|x 1|+|x 2|=2，求m 的值. 解：x 1、x 2为方程两实根，∴Δ=36（m －1）2－12（m 2+1）≥0. ∴m ≥253+或m ≤253-. 又∵x 1·x 2=212+m ＞0，∴x 1、x 2同号.∴|x 1|+|x 2|=|x 1+x 2|=2|m －1|.于是有2|m －1|=2，∴m=0或2. ∴m=0. 培养能力6.解不等式212-x ≤||1x .解：（1）当x 2－2＜0且x ≠0，即当－2＜x ＜2且x ≠0时，原不等式显然成立．（2）当x 2－2＞0时，原不等式与不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥->||22||2x x x ，等价．x 2－2≥｜x ｜，即｜x ｜2－｜x ｜－2≥0. ∴｜x ｜≥2.∴不等式组的解为｜x ｜≥2， 即x ≤－2或x ≥2．∴原不等式的解集为（－∞，－2］∪（－2，0）∪（0，2）∪［2，＋∞）．7.（2003年湖北黄冈模拟题）已知函数f （x ）=xx ax 122-+的定义域恰为不等式log 2（x+3）+log 21x ≤3的解集，且f （x ）在定义域内单调递减，求实数a 的取值范围.解：由log 2（x+3）+log 21x ≤3得⎪⎩⎪⎨⎧>≤+033log 2x x x ⇔⎪⎩⎪⎨⎧>≤+⇔083x x x x ≥73， 即f （x ）的定义域为［73，+∞）.∵f （x ）在定义域［73，+∞）内单调递减，∴当x 2＞x 1≥73时，f （x 1）－f （x 2）＞0恒成立，即有（ax 1－11x +2）－（ax 2－21x +2）＞0⇔a （x 1－x 2）－（11x －21x ）＞0⇔（x 1－x 2）（a+211x x ）＞0恒成立. ∵x 1＜x 2，∴（x 1－x 2）（a+211x x ）＞0⇔a+211x x ＜0. ∵x 1x 2＞499⇒－211x x ＞－949， 要使a ＜－211x x 恒成立，则a 的取值范围是a ≤－949.8.有点难度哟！已知f （x ）=x 2－x+c 定义在区间［0，1］上，x 1、x 2∈［0，1］，且x 1≠x 2，求证： （1）f （0）=f （1）；（2）| f （x 2）－f （x 1）|＜|x 1－x 2|；（3）| f （x 1）－f （x 2）|＜21；（4）| f （x 1）－f （x 2）|≤41. 证明：（1）f （0）=c ，f （1）=c ， ∴f （0）=f （1）.（2）| f （x 2）－f （x 1）|=|x 2－x 1||x 2+x 1－1|. ∵0≤x 1≤1，∴0≤x 2≤1，0＜x 1+x 2＜2（x 1≠x 2）. ∴－1＜x 1+x 2－1＜1.∴| f （x 2）－f （x 1）|＜|x 2－x 1|. （3）不妨设x 2＞x 1，由（2）知| f （x 2）－f （x 1）|＜x 2－x 1. ①而由f （0）=f （1），从而| f （x 2）－f （x 1）|=| f （x 2）－f （1）+f （0）－f （x 1）|≤| f （x 2）－f （1）|+| f （0）－f （x 1）|＜|1－x 2|+|x 1|＜1－x 2+x 1. ②①+②得2| f （x 2）－f （x 1）|＜1，即| f （x 2）－f （x 1）|＜21.（4）|f （x 2）－f （x 1）|≤f max －f min =f （0）－f （21）=41.探究创新9.（1）已知|a|＜1，|b|＜1，求证：|b a ab--1|＞1；（2）求实数λ的取值范围，使不等式|ba ab --λλ1|＞1对满足|a|＜1，|b|＜1的一切实数a 、b 恒成立；（3）已知|a|＜1，若|ab ba ++1|＜1，求b 的取值范围.（1）证明：|1－ab|2－|a －b|2=1+a 2b 2－a 2－b 2=（a 2－1）（b 2－1）.∵|a|＜1，|b|＜1，∴a 2－1＜0，b 2－1＜0.∴|1－ab|2－|a －b|2＞0. ∴|1－ab|＞|a －b|， |||1|b a ab --=|||1|b a b a -⋅-＞1. （2）解：∵|ba ab --λλ1|＞1⇔|1－ab λ|2－|a λ－b|2=（a 2λ2－1）（b 2－1）＞0.∵b 2＜1，∴a 2λ2－1＜0对于任意满足|a|＜1的a 恒成立.当a=0时，a 2λ2－1＜0成立；当a ≠0时，要使λ2＜21a 对于任意满足|a|＜1的a 恒成立，而21a＞1，∴|λ|≤1.故－1≤λ≤1.（3）|ab b a ++1|＜1⇔（ab b a ++1）2＜1⇔（a+b ）2＜（1+ab ）2⇔a 2+b 2－1－a 2b 2＜0⇔（a2－1）（b 2－1）＜0.∵|a|＜1，∴a 2＜1.∴1－b 2＞0，即－1＜b ＜1. ●思悟小结1.解含有绝对值的不等式的指导思想是去掉绝对值.常用的方法是：（1）由定义分段讨论；（2）利用绝对值不等式的性质；（3）平方.2.解含参数的不等式，如果转化不等式的形式或求不等式的解集时与参数的取值范围有关，就必须分类讨论.注意：（1）要考虑参数的总取值范围.（2）用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏.●教师下载中心教学点睛1.绝对值是历年高考的重点，而绝对值不等式更是常考常新.在教学中要从绝对值的定义和几何意义来分析，绝对值的特点是带有绝对值符号，如何去掉绝对值符号，一定要教给学生方法，切不可以题论题.2.无理不等式在新课程书本并未出现，但可以利用不等式的性质把其等价转化为代数不等式.3.指数、对数不等式能利用单调性求解.拓展题例【例1】设x1、x2、y1、y2是实数，且满足x12+x22≤1，证明不等式（x1y1+x2y2－1）2≥（x12+x22－1）（y12+y22－1）.分析：要证原不等式成立，也就是证（x1y1+x2y2－1）2－（x12+x22－1）（y12+y22－1）≥0.证明：（1）当x12+x22=1时，原不等式成立.（2）当x12+x22＜1时，联想根的判别式，可构造函数f（x）=（x12+x22－1）x－2（x1y1+x2y2－1）x+（y12+y22－1），其根的判别式Δ=4（x1y1+x2y2－1）2－4（x12+x22－1）（y12+y22－1）.由题意x12+x22＜1，函数f（x）的图象开口向下.又∵f（1）=x12+x22－2x1y1－2x2y2+y12+y22=（x1－y1）2+（x2－y2）2≥0，因此抛物线与x轴必有公共点.∴Δ≥0.∴4（x1y1+x2y2－1）2－4（x12+x22－1）（y12+y22－1）≥0，即（x1y1+x2y2－1）2≥（x12+x22－1）（y12+y22－1）.。

芯衣州星海市涌泉学校一．课题：含绝对值的不等式的解法二．教学目的：掌握一些简单的含绝对值的不等式的解法．三．教学重点：解含绝对值不等式的根本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次〔二次〕不等式〔组〕，难点是含绝对值不等式与其它内容的综合问题及求解过程中，集合间的交、并等各种运算．四．教学过程：〔一〕主要知识：1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的间隔；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的间隔 2．当0c >时，||ax b c ax b c +>⇔+>或者者ax b c +<-，||ax b c c ax b c +<⇔-<+<；当0c <时，||ax b c x R +>⇔∈，||ax b c x φ+<⇔∈．〔二〕主要方法：1．解含绝对值的不等式的根本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次〔二次〕不等式〔组〕进展求解；2．去掉绝对值的主要方法有：〔1〕公式法：|| (0)x a a a x a <>⇔-<<，|| (0)x a a x a >>⇔>或者者x a <-． 〔2〕定义法：零点分段法；〔3〕平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方．〔三〕例题分析：例1．解以下不等式：〔1〕4|23|7x <-≤；〔2〕|2||1|x x -<+；〔3〕|21||2|4x x ++->．解：〔1〕原不等式可化为4237x <-≤或者者7234x -≤-<-，∴原不等式解集为17[2,)(,5]22--． 〔2〕原不等式可化为22(2)(1)x x -<+，即12x >，∴原不等式解集为1[,)2+∞． 〔3〕当12x≤-时，原不等式可化为2124x x --+->，∴1x <-，此时1x <-； 当122x -<<时，原不等式可化为2124x x ++->，∴1x >，此时12x <<； 当2x ≥时，原不等式可化为2124x x ++->，∴53x >，此时2x ≥． 综上可得：原不等式的解集为(,1)(1,)-∞-+∞． 例2．〔1〕对任意实数x ，|1||2|x x a ++->恒成立，那么a 的取值范围是(,3)-∞； 〔2〕对任意实数x ，|1||3|x x a --+<恒成立，那么a 的取值范围是(4,)+∞．解：〔1〕可由绝对值的几何意义或者者|1||2|y x x =++-的图象或者者者绝对值不等式的性质|1||2||1||2||12|3x x x x x x ++-=++-≥++-=得|1||2|3x x ++-≥，∴3a <；〔2〕与〔1〕同理可得|1||3|4x x --+≤，∴4a >．例3．〔高考A 方案考点3“智能训练第13题〞〕设0,0ab >>，解关于x 的不等式：|2|ax bx -≥．解：原不等式可化为2ax bx -≥或者者2ax bx -≤-，即()2a b x -≥①或者者2()2a b x x a b +≤⇒≤+②， 当0a b >>时，由①得2x a b ≥-，∴此时，原不等式解为：2x a b ≥-或者者2x a b≤+； 当0a b =>时，由①得x φ∈，∴此时，原不等式解为：2x a b≤+； 当0a b <<时，由①得2x a b ≤-，∴此时，原不等式解为：2x a b≤+． 综上可得，当0a b >>时，原不等式解集为22(,][,)a b a b -∞+∞+-， 当0a b <≤时，原不等式解集为2(,]a b -∞+． 例4．{||23|}A x x a =-<，{|||10}B x x =≤，且A B ⊂≠，务实数a 的取值范围．解：当0a≤时，A φ=，此时满足题意； 当0a >时，33|23|22a a x a x -+-<⇒<<，∵A B ⊂≠， ∴3102173102a a a -⎧≥-⎪⎪⇒≤⎨+⎪≤⎪⎩， 综上可得，a 的取值范围为(,17]-∞．例5．〔高考A 方案考点3“智能训练第15题〞〕在一条公路上，每隔100km 有个仓库〔如以下列图〕，一一共有5个仓库．一号仓库存有10t 货物，二号仓库存的．如今想把所有的货物放在一个仓库里，假设每吨货物运输1km 需要0.5元运输费，那么最少要多少运费才行？解：以一号仓库为原点建立坐标轴，那么五个点坐标分别为12345:0,:100,:200,:300,:400A A A A A ，设货物集中于点:B x ，那么所花的运费5||10|100|20|200|y x x x =+-+-， 当0100x ≤≤时，259000y x =-+，此时，当100x =时，min 6500y =；当100400x <<时，57000y x =-+，此时，50006500y <<； 当400x ≥时，359000y x =-，此时，当400x =时，min 5000y =．综上可得，当400x=时，min 5000y =，即将货物都运到五号仓库时，花费最少，为5000元． 〔四〕稳固练习：1．||11x x x x >++的解集是(1,0)-；|23|3x x ->的解集是3(,)5-∞； 2．不等式||1||||a b a b +≥-成立的充要条件是||||a b >； 3．假设关于x 的不等式|4||3|x x a -++<的解集不是空集，那么a ∈(7,)+∞； 4．不等式22|2log |2|log |x x x x -<+成立，那么x ∈(1,)+∞．五．课后作业：高考A方案考点3，智能训练4，5，6，8，12，14．。

高考第一轮复习数学单元测试卷不等式说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、 若m<0，n>0，且m+n<0，则下列不等式中成立的是A 、-n<m<n<-mB 、-n<m<-m<nC 、m<-n<n<-mD 、m<-n<-m<n2、 已知bda c ab dc b a -<->，均为实数，且、、、0，则下列不等式中成立的是 db c a D d b c a C adbc B ad bc A <>><、、、、 3、 下列不等式中解集为实数集R 的是0)cos(sin 111004422><->>++x D x x C x B x x A 、、、、 4、，则，设00>>>>b a bd acC B AD dc Cd c B d c A 、、、不同于、、、<<>=>>005、 设，，，，222222)()()(0b a c z a c b y c b a x c b a ++=++=++=>>>则222z y x zx yz xy ，，，，，中最小的是22z D x C yzB xy A 、、、、6、 不等式a R x x a x a 恒成立，则实数对一切∈<--+-04)2(2)2(2的取值范围是 )2(]22(]22[)2(--∞---∞，、，、，、，、D C B A 7、 如果方程02)1(22=-+-+m x m x 的两个实根一个小于-1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是)10()12()02()22(，、，、，、，、D C B A ---8、 如果x x sin 2log 3log 2121，那么ππ≥-的取值范围是]123()2321[]121()2121[]121[]2121[，，、，，，、，、 ----D C B A9、 函数)0(31632>+=x xx y 的最小值是431493233、、、、D C B A 10、在的条件下，，00>>b a 三个结论：①22b a b a ab +≤+，②，2222b a ba +≤+③b a ba ab +≥+22，其中正确的个数是 A 、0 B 、1 C 、2 D 、311、若不等式)210(0log 2，在<-x x a 内恒成立，则实数a 的取值范围是)21()121()1161()1()1161[，，、，、，、，、 D C B A ∞+ 12、设μμ，那么，，且、10)(4422++-⋅==+∈-y x y x y x R y x 的最值情况是A 、有最大值2，最小值2)22(2-B 、有最大值2，最小值0C 、有最大值10，最小值2)22(2- D 、最值不存在第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13、不等式3332)21(22---<x x x 的解集为A ，不等式)26(log )9(log 31231x x --的解集为B ，不等式0102=++<++by ax B A b ax x ，那么直线的解集为 的斜率是_________。

第七章不等式第一节不等式的性质及一元二次不等式课程标准1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．2．会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．3．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．4．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的算法框图．[由教材回扣基础]1．比较两个实数大小的方法关系方法作差法作商法a >b a －b >0a b >1(a ，b >0)或ab<1(a ，b <0)a ＝b a －b ＝0ab＝1(b ≠0)a <ba －b <0a b <1(a ，b >0)或ab>1(a ，b <0)2.不等式的性质性质性质内容注意对称性a >b ⇔b <a ；a <b ⇔b >a 可逆传递性a >b ，b >c ⇒a >c ；a <b ，b <c ⇒a <c同向可加性a >b ⇔a ＋c >b ＋c可逆可乘性a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bcc 的符号同向可加性a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d同向同向同正可乘性a >b >0，c >d >0⇒ac >bd 同向同正可乘方性a >b >0，n ∈N *⇒a n >b n 同正可开方性a >b >0，n ∈N ，n ≥2⇒na >nb同正3.一元二次不等式与二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ＝b 2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的根有两个相异实根x 1，x 2(x 1＜x 2)有两个相等实根x 1＝x 2＝－b 2a没有实数根续表(1)倒数性质①a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜1b ；②a ＜0＜b ⇒1a ＜1b ；③a ＞b ＞0,0＜c ＜d ⇒a c ＞bd；④0＜a ＜x ＜b 或a ＜x ＜b ＜0⇒1b ＜1x ＜1a .(2)两个重要不等式若a ＞b ＞0，m ＞0，则：①b a ＜b ＋m a ＋m ；b a ＞b －m a －m (b －m ＞0)；②a b ＞a ＋m b ＋m ；a b ＜a －m b －m (b －m ＞0)．(3)一元二次不等式恒成立问题①不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，x ∈R 恒成立⇔a >0且Δ<0；②不等式ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)，x ∈R 恒成立⇔a <0且Δ<0；③若a 可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a ＝0的情形．(4)简单分式不等式①f (x )g (x )≥0x )g (x )≥0，(x )≠0；②f (x )g (x )>0⇔f (x )g (x )>0.(5)对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记a ＝0时的情形．(6)当Δ<0时，不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别．[练小题巩固基础]一、准确理解概念(判断正误)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a <b 三种关系中的一种．()(2)一个不等式的两边同时加上或乘同一个数，不等号方向不变．()(3)一个非零实数越大，则其倒数就越小．()(4)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.()(5)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R.()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√(5)×二、练牢教材小题1．(人教A 版必修⑤P 75B 组T 1改编)设A ＝(x －3)2，B ＝(x －2)(x －4)，则A 与B 的大小关系为()A ．A ≥B =B ．.A >BC ．A ≤BD ．.A <B解析：选B因为A －B ＝(x 2－6x ＋9)－(x 2－6x ＋8)＝1>0，所以A >B .故选B.2．(新人教A 版必修①P42例2改编)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有()A.a c －b a ＞0B.a c －b d ＜0C.a d ＞b cD.a d ＜b c答案：D3．(新湘教版必修①P 54例6改编)已知不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为(－3，－1)，则实数a ＝______，b ＝______.答案：43三、练清易错易混1．(乘法运算忽视符号)已知实数a ∈(－3,1)，b ，则ab 的取值范围是()A ．(－12,8) B.(－24,8)C.(－24,4)D.(－12,4)解析：选B当－3<a ≤0时，a b ∈(－24,0]；当0<a <1时，a b ∈(0,8)．综上可知ab∈(－24,8)．2．(忽视二次项的符号)不等式(x －2)(3－2x )≥0的解集为________．解析：由(x －2)(3－2x )≥0得(x －2)(2x －3)≤0，解得32≤x ≤2，故不等式的解集为32，2.答案：32，23．(忽视对含参二次项系数的讨论)若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 对任意x 都成立，则实数m 的取值范围是________．解析：原不等式可整理为(2－m )x 2＋(4－2m )x ＋4>0.当m ＝2时，不等式为4>0，该不等式恒成立；当m ≠2时，－m >0，－2m )2－4×4(2－m )<0，解得－2<m <2.综上知实数m的取值范围是(－2,2]．答案：(－2,2]命题视角一不等式的性质及应用(自主练通)1．若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2.其中正确的不等式是()A ．①④B ．②③C ．①③D ．.②④解析：选C因为1a <1b<0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1<0，所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4>0，所以④错误．综上所述，可排除A 、B 、D.2．已知实数a ，b ，c 满足c <b <a 且ac <0，则下列不等式不一定成立的是()A ．ab >acB ．.c (b －a )>0C ．ac (a －c )<0D ．.cb 2<ab 2解析：选D因为c <b <a 且ac <0，所以c <0，a >0，所以ab >ac ，故A 一定成立；又b－a <0，所以c (b －a )>0，故B 一定成立；又a －c >0，ac <0，所以ac (a －c )<0，故C 一定成立；当b ＝0时，cb 2＝ab 2，当b ≠0时，有cb 2<ab 2，故D 不一定成立．3．已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是()A ．c ≥b >aB ．.a >c ≥bC ．c >b >aD ．.a >c >b解析：选A∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b .又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，∴2b ＝2＋2a 2，∴b ＝a 2＋1，∴b －a ＝a 2－a ＋1＋34>0，∴b >a ，∴c ≥b >a .4．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是______．解析：∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，∴－4<－|β|≤0.∴－3<α－|β|<3.答案：(－3,3)[一“点”就过]1．比较两个数(式)大小的2种方法2．谨记2个注意点(1)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．(2)在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大．命题视角二一元二次不等式的解法[典例](1)不等式2x＋3－x2>0的解集是()A．{x|－1<x<3}B．.{x|x>3或x<－1}C．{x|－3<x<1}D．.{x|x>1或x<－3}(2)已知常数a∈R，解关于x的不等式12x2－ax>a2.[解析](1)选A原不等式变形为x2－2x－3<0，即(x－3)(x＋1)<0，解得－1<x<3.故选A.(2)由题意，得12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0.令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－a4，x2＝a.①当a>0时，解集为；②当a＝0时，x2>0，解集为3；③当a<0时，解集为综上所述，当a>0时，不等式的解集为；当a＝0时，不等式的解集为；当a<0时，不等式的解集为[方法技巧]1．解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．2．“三个二次”之间的关系若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根是x 1，x 2，则x 1，x 2是不等式ax 2＋bx ＋c >0(或ax 2＋bx ＋c <0)解集的端点，也是函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的横坐标．[针对训练]1．若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－1<x <2}，那么不等式a (x 2＋1)＋b (x －1)＋c >2ax 的解集为()A ．{x |－2<x <1}B ．.{x |x <－2或x >1}C ．{x |0<x <3}D ．.{x |x <0或x >3}解析：选C 由题意a (x 2＋1)＋b (x －1)＋c >2ax ，整理得ax 2＋(b －2a )x ＋(a ＋c －b )>0，①又不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－1<x <2}，则a <0，且－1,2分别为方程ax 2＋bx ＋c＝0的两根，由根与系数的关系，1＋2＝－ba，－1)×2＝ca，1，2.②将①两边同除以a 得x 2＋c a －，将②代入得x 2－3x <0，解得0<x <3，故选C.2．不等式0<x 2－x －2≤4的解集为________．解析：原不等式等价于2－x －2>0，2－x －2≤4，2－x －2>0，2－x －6≤0，x －2)(x ＋1)>0，x －3)(x ＋2)≤0，>2或x <－1，2≤x ≤3.故原不等式的解集为{x |－2≤x <－1或2<x ≤3}．答案：[－2，－1)∪(2,3]3．已知实数a 满足不等式－3<a <3，求关于x 的不等式(x －a )(x ＋1)>0的解集．解：方程(x －a )(x ＋1)＝0的两根为－1，a .①当a <－1，即－3<a <－1时，原不等式的解集为{x |x <a 或x >－1}；②当a ＝－1时，原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠－1}；③当a >－1，即－1<a <3时，原不等式的解集为{x |x <－1或x >a }．综上所述，当－3<a <－1时，原不等式的解集为{x |x <a 或x >－1}；当a ＝－1时，原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠－1}；当－1<a <3时，原不等式的解集为{x |x <－1或x >a }．命题视角三一元二次不等式恒(能)成立问题考法(一)一元二次不等式在实数集R 上的恒成立问题[例1]若不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为________．[解析]当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x<0，＝k 2－4×2k，解得－3<k <0.综上，满足不等式2kx 2＋kx－38<0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3,0]．[答案](－3,0][方法技巧]一元二次不等式在R 上恒成立的条件不等式类型恒成立条件ax 2＋bx ＋c >0a >0，Δ<0ax 2＋bx ＋c ≥0a >0，Δ≤0ax 2＋bx ＋c <0a <0，Δ<0ax 2＋bx ＋c ≤0a <0，Δ≤0考法(二)一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题[例2]设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，则m的取值范围是________________．[解析]f (x )<－m ＋5即mx2－mx ＋m －6<0，故＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．因为x 2－x ＋1＋34>0，且m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝612＋34在[1,3]上的最小值为67m <67即可．又m ≠0，所以m 的取值范围是(－∞，0)[答案](－∞，0)[方法技巧]在给定区间上的恒成立问题的求解方法(1)若f (x )>0在集合A 中恒成立，即集合A 是不等式f (x )>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)．(2)转化为函数值域问题，即：已知函数f (x )的值域为[m ，n ]，则f (x )≥a 恒成立⇒f (x )min ≥a ，即m ≥a ；f (x )≤a 恒成立⇒f (x )max ≤a ，即n ≤a .考法(三)不等式能成立或有解问题[例3]设a ∈R ，若关于x 的不等式x 2－ax ＋1≥0在区间[1,2]上有解，则()A．a≤2=B．.a≥2C．a≥52D．.a≤52[解析]∵关于x的不等式x2－ax＋1≥0在区间[1,2]上有解，∴a≤x＋1x在x∈[1,2]上有解⇔a，x∈[1,2]，∵函数y＝x＋1x在[1,2]上单调递增，∴f(x)max＝52，∴a≤52.[答案]D[方法技巧]解决不等式能成立问题的策略一般是转化为函数的最值，即a＞f(x)能成立⇒a＞f(x)min；a≤f(x)能成立⇒a≤f(x)max.[针对训练]1．已知关于x的不等式x2－(k－1)x－k＋1≥0对任意实数x都成立，则实数k的取值范围是()A．(－∞，－3]∪[1，＋∞)B．[－1,3]C．(－∞，1]∪[3，＋∞)D．[－3,1]解析：选D关于x的不等式x2－(k－1)x－k＋1≥0对任意实数x都成立，则Δ＝(k－1)2＋4(k－1)≤0，解得－3≤k≤1.故选D.2．设m为实数，若函数f(x)＝x2－mx＋2在区间(－∞，2)上是减函数，对任意的x1，x2∈，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，则m的取值范围为()A．[4,6]=B．.(4,6)C．(4,6]D．.[4,6)解析：选A函数f(x)＝x2－mx＋2的对称轴为x＝m2，由其在区间(－∞，2)上是减函数，可得m2≥2，∴m≥4.∴m2∈1，m2＋1且m2＋1－m2≤m2－1，∴当x1，x2∈1，m2＋1时，f(x)max＝f(1)＝3－m，f(x)min＝＝－m24＋2.由∀x1，x2∈1，m2＋1，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，∴|f(x1)－f(x2)|max≤4，∴f(x)max－f(x)min≤4，∴(3－m)－m24＋4，即m2－4m－12≤0，解得－2≤m≤6.综上，4≤m≤6，故选A.一题多变·练发散思维——“糖水不等式”的应用（新湘教版必修①P33典例)a g糖水中含有b g糖，若再添加m g糖(其中a＞b＞0，m ＞0)，生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜.根据这个生活常识，你能提炼出一个不等式吗？试给出证明[升维训练]1．(2020·全国Ⅲ卷)已知55<84,134<85.设a ＝log 53，b ＝log 85，c ＝log 138，则()A ．a <b <c =B ．.b <a <cC ．b <c <aD ．.c <a <b解析：选A∵log 53－log 85＝log 53－1log 58＝log 53·log 58－1log 58<log 53＋log 5822－15log 52422－15log 52522－150，∴log 53<log 85.∵55<84,134<85，∴5log 85<4,4<5log 138，∴log 85<log 138，∴log 53<log 85<log 138，即a <b <c .2．依据糖水不等式可得出log 32________log 1510(用“＜”或“＞”填空)；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式________．解析：①因为0＜log 32＜1，所以可得log 32＝log 52log 53＜log 52＋1log 53＋1⇒log 52log 53＜log 510log 515＝log 1510；②由①可得log 32＜log 1510⇒ln 2ln 3＜ln 10ln 15＝ln 2＋ln 5ln 3＋ln 5，即ln 2＋ln 5ln 3＋ln 5＞ln 2ln 3.答案：＜ln 2＋ln 5ln 3＋ln 5＞ln 2ln 33．若等比数列{a n }的前n项和为S n (a 1>0，q >0)，则S n S n ＋2与的大小关系为________．解析：∵S n ＋2>S n ＋1>S n ，∴S n ＋2S n ＋1＝a 1＋qS n ＋1a 1＋qS n ＝a 1q ＋S n ＋1a 1q＋S n <S n ＋1Sn ，故S n S n ＋2<.答案：S n S n ＋2<[融会贯通]“糖水不等式”，它实际是真分数的一个性质，总结如下：已知a ，b ，m 都是正数，且b >a ，则：(1)真分数的性质：a －m b －m <a b <a ＋mb ＋m(a －m >0)．(2)假分数的性质：b ＋m a ＋m <b a <b －ma －m(a －m >0)．应用“糖水”不等式可解决证明不等式、比较大小、单调性问题．[课时跟踪检测]一、基础练——练手感熟练度1．(2022·济宁模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≥0}，则∁R A 等于()A ．(1,2)=B ．.[1,2]C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．.(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：选A 由题意可得，∁R A ＝{x |x 2－3x ＋2<0}＝{x |1<x <2}，表示为区间形式即(1,2)．故选A.2．若实数m ，n 满足m >n >0，则()A ．－1m <－1n B.m ＋n >m ＋nD ．.m 2<mn解析：选B取m ＝2，n ＝1，代入各选择项验证A 、C 、D 不成立，只有B 项成立(事实上2＋1>2＋1)．3．若a <0，b <0，则p ＝b 2a ＋a 2b 与q ＝a ＋b 的大小关系为()A ．p <q =B ．.p ≤qC ．p >qD ．.p ≥q解析：选Bp －q ＝b 2a ＋a 2b －a －b ＝b 2－a 2a ＋a 2－b 2b ＝(b 2－a 2(b 2－a 2)(b －a )ab＝(b －a )2(a ＋b )ab ，∵a ＜0，b ＜0，∴a ＋b ＜0，ab ＞0，若a ＝b ，则p －q ＝0，此时p ＝q ，若a ≠b ，则p －q ＜0，此时p ＜q ，综上，p ≤q .4．不等式x ＋5(x －1)2≥2的解集是()A ．－3，12=B ．.－12，3C.D ．.－12，1∪(1,3]解析：选D因为x ＋5(x －1)2≥2，所以(2x ＋1)(x －3)(x －1)2≤0x ＋1)(x －3)≤0，－1≠0，解得－12≤x ≤3且x ≠1.5．若∀x∈R,2x2－mx＋3≥0恒成立，则实数m的取值范围为________．解析：由题意可知Δ＝m2－24≤0，解得－26≤m≤2 6.答案：[－26，26]二、综合练——练思维敏锐度1．已知x>y>z，且x＋y＋z＝0，下列不等式中成立的是()A．xy>yz=B．.xz>yzC．xy>xz D．.x|y|>z|y|解析：选C因为x>y>z，所以3x>x＋y＋z＝0,3z<x＋y＋z＝0，所以x>0，z<0，>0，>z得xy>xz.故选C.2．已知a为实数，“a>1”是“a2<a3”的()A．充分不必要条件=B．.必要不充分条件C．充要条件D．.既不充分也不必要条件解析：选C当a>1时，a2－a3＝a2(1－a)<0，所以a2<a3；当a2<a3时，a2(a－1)>0，所以a>1.综上，“a>1”是“a2<a3”的充要条件．故选C.3．若关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是()A．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B．(1,3)C．(－1,3)D．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：选C关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax<b的解集是(1，＋∞)，∴a＝b<0，∴不等式(ax＋b)(x－3)>0可化为(x＋1)·(x－3)<0，解得－1<x<3，∴所求解集是(－1,3)．4．若存在x∈[－2,3]，使不等式2x－x2≥a成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1]=B．.(－∞，－8]C．[1，＋∞)D．.[－8，＋∞)解析：选A设f(x)＝2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，因为存在x∈[－2,3]，使不等式2x－x2≥a成立，所以a≤f(x)max，所以a≤1，故选A.5．我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：“今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，问各几何？”其意是：“今有人出钱576，买竹子78根，拟分大、小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大、小竹子各多少根？每种竹子单价各是多少钱？”则在这个问题中大竹子的单价可能为()A．6钱B．7钱C．8钱D．.9钱解析：选C依题意可设买大竹子x根，每根单价为m，购买小竹子78－x根，每根单价为m－1钱，所以576＝mx＋(78－x)(m－1)，即78m＋x＝654，即x＝6(109－13m)．因为0≤x≤78，－13m≥0，(109－13m)≤78，≤10913，m，即9613≤m≤10913.根据选项知m＝8，x＝30，所以买大竹子30根，每根8钱．6．(2022·广州模拟)若α，β满足－π2＜α＜β＜π2，则α－β的取值范围是()A．－π＜α－β＜π=B．.－π＜α－β＜0C．－π2＜α－β＜π2D．.－π2＜α－β＜0解析：选B从题中－π2＜α＜β＜π2可分离出三个不等式－π2＜α＜π2①，－π2＜β＜π2②，α＜β③.根据不等式的性质，②式同乘以－1得－π2＜－β＜π2④，根据同向不等式的可加性，可得－π＜α－β＜π.由③式得α－β＜0，所以－π＜α－β＜0，故选B.7．在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含2个整数，则a的取值范围是()A．(－3,5)=B．.(－2,4)C．[－3,5]D．.[－2,4]解析：选D关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化为(x－1)(x－a)<0.当a>1时，不等式的解集为(1，a)；当a<1时，不等式的解集为(a,1)．要使得解集中至多包含2个整数，则a≤4且a≥－2.又当a＝1时，不等式的解集为∅，符合题意．所以a的取值范围是[－2,4]，故选D.8．若0<a<1，则不等式(a－x的解集是________________．解析：原不等式等价于(x－a，由0<a<1，得a<1a，∴a<x<1a.|a<x<1a9．已知a＋b＞0，则ab2＋ba2与1a＋1b的大小关系是________．解析：ab2＋ba2＝a－bb2＋b－aa2＝(a－b ＝(a＋b)(a－b)2a2b2.∵a＋b＞0，(a－b)2≥0，∴(a＋b)(a－b)2a2b2≥0.∴ab2＋ba2≥1a＋1b.答案：a b 2＋b a 2≥1a ＋1b10．已知三个不等式：①ab ＞0；②c a ＞db ；③bc ＞ad .若以其中两个作为条件，余下的一个作为结论，共可组成________个正确的命题．解析：研究①②⇒③，由于ab ＞0，故－c a ＜－db 两边同乘以－ab 得bc ＞ad ，故①②⇒③成立；研究①③⇒②，由于ab ＞0，故bc ＞ad 两边同除以－ab 得－c a ＜－db ，故①③⇒②成立；研究②③⇒①，由于－c a ＜－db 两边同乘以－ab 得bc ＞ad ，由不等式的性质知必有－ab＜0即ab ＞0，故②③⇒①成立．答案：311．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是__________．解析：令f (x )＝x 2＋ax －2.∵f (0)＝－2，于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)＞0，解得a ＞－235，故a －235，＋答案－235，＋∞12．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R)的值域为[0，＋∞)．若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．解析：由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝＋b －a 24.因为函数f (x )的值域为[0，＋∞)，所以b －a 24＝0，得b ＝a 24.由f (x )＜c 可得c ＞0，且＜c ，解得－a 2－c ＜x ＜－a2＋c ，所以m ＝－a 2－c ，m ＋6＝－a2＋c ，所以6＝(m ＋6)－m ＝2c ，解得c ＝9.答案：913．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z)，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )＞1的解集为________．解析：因为f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ≠0)，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4＞0，所以函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点．因此f (－2)f (－1)＜0，所以(6a ＋5)(2a ＋3)＜0.解得－32＜a ＜－56.又a ∈Z ，所以a ＝－1.不等式f (x )＞1，即为－x 2－x ＞0，解得－1＜x ＜0.故不等式f (x )＞1的解集为(－1,0)．答案：(－1,0)14．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x 的取值范围．解：(1)由题意得，y ＝＋850x因为售价不能低于成本价，所以80≥0，解得0≤x ≤2.所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，定义域为{x |0≤x ≤2}．(2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10260，化简得8x 2－30x ＋13≤0，解得12≤x ≤134.又0≤x ≤2，所以x 的取值范围是12，2.15．已知函数f (x )＝x 2－a2x ＋1.(1)若f (x )≥0在R 上恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若∃x ∈[1,2]，f (x )≥2成立，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意得Δ＝a 24－4≤0，解得－4≤a ≤4，∴实数a 的取值范围为[－4,4]．(2)由题意∃x ∈[1,2]，使得a 2≤x －1x 成立．令g (x )＝x －1x ，x ∈[1,2]，则g (x )在区间[1,2]上单调递增，∴g (x )max ＝g (2)＝32，∴a 2≤32，解得a ≤3，∴实数a 的取值范围为(－∞，3]．第二节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课程标准1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.)[由教材回扣基础]1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax ＋By ＋C ＞0直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax ＋By ＋C ≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2．确定二元一次不等式(组)表示平面区域的步骤画线在平面直角坐标系中画出不等式所对应方程表示的直线(注意不等式中有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线)定侧将某个区域位置明显的特殊点的坐标代入不等式，根据“同侧同号，异侧异号”的规律确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧．若直线不过原点，特殊点常选取原点求“交”若平面区域是由不等式组决定的，则在确定了各个不等式所表示的区域后，再求这些区域的公共部分以上简称为“直线定界，特殊点定域”3.线性规划的有关概念名称意义线性约束条件由变量x，y组成的一次不等式(等式)目标函数关于x，y的函数解析式线性目标函数目标函数为关于x，y的一次函数解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数达到最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题澄清微点·熟记结论(1)画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：①直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；②特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．(2)判定二元一次不等式表示的区域①若B(Ax＋By＋C)＞0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方．②若B(Ax＋By＋C)＜0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．[练小题巩固基础]一、准确理解概念(判断正误)(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．()(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．()(3)在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．()答案：(1)×(2)√(3)×二、练牢教材小题1．(人教A 版必修⑤P84例1改编)－3y ＋6<0，－y ＋2≥0表示的平面区域是()解析：选C x －3y ＋6<0表示直线x －3y ＋6＝0左上方部分，x －y ＋2≥0表示直线x －y ＋2＝0及其右下方部分．故不等式组表示的平面区域为选项C 所示阴影部分．2．(人教A 版必修⑤P93T2改编)关于x ，y x ＋y －6≥0，－y －2≤0，＋y －4≤0表示的平面区域的面积为()A ．3 B.52C ．2 D.32解析：选C平面区域为一个直角三角形ABC ，其中A (3,1)，B (2,0)，C (1,3)，所以面积为12|AB |·|AC |＝12×2×8＝2，故选C.3．(人教A 版必修⑤P 91T 1改编)若x ，y －y ≥0，＋y －2≤0，≥0，则z ＝3x －4y的最小值为________．解析：画出可行域如图中阴影部分所示．由z ＝3x －4y ，得y ＝34x －z 4，作出直线y ＝34x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A (1,1)处时z 取最小值，故z min ＝3×1－4×1＝－1.答案：－1三、练清易错易混1．(不清楚截距的意义)已知实数x ，y ＋y －1≤0，－y －1≤0，＋2y ＋1≥0，则z ＝x －2y 的最大值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．易知当直线y ＝12x －12z 经过点B 13，－23时，z 取得最大值，最大值为13－2×－23＝53.答案：532．(混淆目标函数的几何意义)已知x ≥1，x －y ＋1≤0，2x －y －2≤0，则x 2＋y 2的最小值是________．解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，易求得点A (1,2)，B (3,4)．x 2＋y 2的几何意义为可行域内的点到原点O 的距离的平方．由图知，可行域内的点A 到原点的距离最小，所以x 2＋y 2的最小值是12＋22＝5.答案：53．(不理解最优解的意义)已知实数x ，y 满足不等式组y ≥0，y －x ＋1≤0，y －2x ＋4≥0.若z ＝y －ax 取得最大值时的最优解有无数个，则a 的值为________．解析：画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝y －ax ，得y ＝ax ＋z ，要使z 取最大值时的最优解有无数个，则直线y ＝ax ＋z 必平行于y －x ＋1＝0，所以a ＝1.答案：1命题视角一二元一次不等式(组)表示的平面区域(自主练通)10≤2x ＋y ≤6，0≤x －2y ≤3在坐标平面内表示的图形的面积为()A.95B.185C.36 5D.1855解析：选B作出不等式组表示的平面区域，如图，平面区域为矩形OABC及其内部，其中B(3,0)，－2y＝0，x＋y＝6，＝125，＝65，即OABC的面积S＝2S△OBC＝2×12×3×65＝185，故选B.2．(2022·清远质检)设变量x，y≤x，＋y≥2，≥3x－6，若满足条件的点P(x，y)表示的平面区域为M，则区域M表示的几何图形的周长是()A．63B．32＋10C．2D．9解析：选B在坐标系中画出不等式组表示的可行域△ABC，如图所示．则A(2,0)，B(1,1)，C(3，3)，用两点间距离公式可求得AB＝2，AC＝10，BC＝22，则周长为32＋10，故选B.3＋y≥0，－y＋2≥0，x－y－2≤0所表示的平面区域被直线l：mx－y＋m＋1＝0分为面积相等的两部分，则m＝()A.12=B．.2C．－12D．.－2解析：选A由题意可画出可行域为△ABC及其内部所表示的平面区域，如图所示．联立可行域边界所在直线方程，可得A (－1,1)，C (4,6)．因为直线l ：y ＝m (x ＋1)＋1过定点A (－1,1)，直线l 将△ABC 分为面积相等的两部分，所以直线l 过边BC 的中点D ，易得mx －y ＋m ＋1＝0，得m ＝12，故选A.[一“点”就过]求解平面区域的面积问题的基本步骤(1)画出不等式组表示的平面区域；(2)判断平面区域的形状，若平面区域不规则，可将其划分为几个三角形；(3)求解面积．命题视角二简单的线性规划问题考法(一)求线性目标函数的最值[例1](1)(2021·全国乙卷)若x ，y ＋y ≥4，－y ≤2，≤3，则z ＝3x ＋y 的最小值为()A ．18B ．.10C ．6D ．.4(2)(2020·全国Ⅰ卷)若x ，y x ＋y －2≤0，－y －1≥0，＋1≥0，则z ＝x ＋7y 的最大值为________．[解析](1)作出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分．由z＝3x ＋y ，得y ＝－3x ＋z .作出直线y ＝－3x 并平移，当平移后的直线经过点A 时，在y 轴上的截距最小，此时z 取得最小值．＋y ＝4，＝3，易得A (1,3)．所以z min ＝3×1＋3＝6.故选C.(2)作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示．－y －1＝0，x ＋y －2＝0，＝1，＝0，故A (1,0)．作出直线x ＋7y ＝0，数形结合可知，当直线z ＝x ＋7y 过点A 时，z ＝x ＋7y 取得最大值，为1.[答案](1)C(2)1[方法技巧]求线性目标函数最值的一般步骤画域根据线性约束条件，画出可行域转化将目标函数进行转化，确定z 的几何意义平移画出目标函数等于0时的直线l 0，平行移动直线l 0，使平移后的直线与可行域有公共点求值求出最优解的坐标，代入目标函数，即可求出最值考法(二)求非线性目标函数的最值[例2]已知变量x ，y 满足约束条件x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0，则yx的取值范围是()A.95，6 B.－∞，95C ．(－∞，3]∪[6，＋∞)D ．(3,6][解析]作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．易知可行域的三个顶点的坐标分别为(1,3)，(1,6)，52，92，yx 表示可行域内的点(x ，y )与原点连线的斜率．观察图象可知，当(x ，y )＝(1,6)时，y x 取得最大值，最大值为6；当(x ，y )＝52，92时，yx 取得最小值，最小值为95，故yx的取值范围是95，6，故选A.[答案]A[方法技巧]求非线性目标函数的最值的策略目标函数是非线性形式的函数时，常考虑目标函数的几何意义，常见代数式的几何意义主要有：(1)x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)间的距离，(x －a )2＋(y －b )2表示点(x ，y )与点(a ，b )间的距离；(2)yx 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率，y －b x －a表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率．[针对训练]1．已知x ，y 满足约束条件x ＋y －1≥0，x －3y ＋3≥0，x －y －1≤0，则目标函数z ＝x 2＋y 2的最大值为()A ．2 B.13C ．22D ．.13解析：选D由约束条件作出可行域如图阴影部分所示，目标函数z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域内的点到原点的距离的平方，由图可知，A 是距离原点最远的点，所以点A 到－3y ＋3＝0，－y －1＝0＝3，＝2，即A (3,2)，所以目标函数z ＝x 2＋y 2的最大值为32＋22＝13.2．若x ，y ≤2，≥－1，x －3y ＋1≥0，则y －x 的最小值为____，最大值为______．解析：x ，y 满足的平面区域如图所示．设z ＝y －x ，则y ＝x ＋z .把z 看作常数，则目标函数是可平行移动的直线，z 的几何意义是直线y ＝x ＋z 的纵截距，通过图象可知，当直线y ＝x ＋z 经过点A (2，3)时，z 取得最大值，此时z max ＝3－2＝1；当经过点B (2，－1)时，z 取得最小值，此时z min ＝－1－2＝－3.答案：－31命题视角三实际生活中的线性规划问题[典例]某运货员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、质量、可获利润如下表所示：体积(升/件)质量(千克/件)利润(元/件)甲20108乙102010在一次运输中，货物总体积不超过110升，总质量不超过100千克，那么在合理的安排下，求一次运输获得的最大利润．[解]设运送甲种货物x 件，乙种货物y 件，可获利润为z ，则由题意得x ＋10y ≤110，x ＋20y ≤100，，y ∈N ，x ＋y ≤11，＋2y ≤10，，y ∈N ，且z ＝8x ＋10y .作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分内的整点．由z ＝8x ＋10y ，得y ＝－45x ＋z 10，平移直线y ＝－45x ＋z 10，由图可知当经过点B 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 最大．x ＋y ＝11，＋2y ＝10，＝4，＝3，即B (4,3)，故z max ＝8×4＋10×3＝62，即一次运输获得的最大利润为62元．[方法技巧]解线性规划应用题的一般步骤设元仔细阅读题目，分析题意，设出未知量转化写出线性约束条件和目标函数，将实际问题转化为线性规划问题求解作出可行域并利用数形结合求解这个线性规划问题作答将数学问题的答案还原为实际问题的答案[针对训练]某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在要求每天消耗A ，B 原料都不超过12千克的条件下，生产产品甲和乙的利润之和的最大值为()A ．1800元B ．2100元C ．2400元D ．2700元解析：选C 设分别生产甲、乙两种产品为x 桶，y 桶，利润为z 元，则根据题意可得x ＋2y ≤12，x ＋y ≤12，，y ≥0，x ，y ∈N ，z ＝300x ＋400y .作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作直线L ：300x ＋400y ＝0，然后把直线向可行域平移，可得当x ＝0，y ＝6时，z 最大，其值为2400，故选C.[课时跟踪检测]一、基础练——练手感熟练度1．若点P (－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则实数t 的取值范围是()B.－23，＋∞解析：选C 因为点P (－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，所以－4－3t ＋6<0，即t >23，故选C.2．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为()A ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)=B ．.(－7,24)C ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)D ．.(－24,7)解析：选B 根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0，即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24.3＋2y ＋4≤0，－y ＋1≤0所表示的平面区域大致为()解析：选C 作出直线x ＋2y ＋4＝0，取其左下方，作出直线x －y ＋1＝0，取其左上方，故选C.4．不等式组x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0表示的平面区域的形状为()A ．钝角三角形=B ．.直角三角形C ．等腰三角形D ．.等腰直角三角形解析：选C作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知平面区域是一个等腰三角形，故选C.5．(2020·浙江高考)若实数x ，y 满足约束条件x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≥0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是()A ．(－∞，4]B ．.[4，＋∞)C ．[5，＋∞)D ．.(－∞，＋∞)解析：选B 画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示．作出直线x ＋2y ＝0，平移该直线，易知当直线经过点A 时，z 取得最小值．联立x －3y ＋1＝0，x ＋y －3＝0，解得x ＝2，y ＝1，所以z min ＝2＋2×1＝4，再数形结合可得z ＝x ＋2y 的取值范围是[4，＋∞)．二、综合练——练思维敏锐度1．设变量x ，y 满足约束条件x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0，2x －y －2≤0，则z ＝3x －2y 的最大值为()A ．－2=B ．.2C ．3D ．.4解析：选C作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示(含边界)，作出直线y ＝32x ，平移该直线，当直线经过点C (1,0)时，在y 轴上的截距最小，z 取最大值，z max ＝3×1－0＝3，故选C.2．(2021·浙江高考)若实数x ，y ＋1≥0，－y ≤0，x ＋3y －1≤0，则z ＝x －12y 的最小值是()A ．－2=B ．.－32C ．－12D.110解析：选B＋1≥0，－y ≤0，x ＋3y －1≤0所表示的可行域，如图中阴影部分．由z ＝x －12y ，得y ＝2x －2z .作出直线l 0：y＝2x ，并平移该直线，发现当该直线经过点A 时，在y 轴上的截距最大，此时z ＋1＝0，x ＋3y －1＝0，得A (－1,1)．所以z min ＝－1－12×1＝－32.故选B.3．(2022·郑州一模)已知变量x ，y －2y ＋4≤0，≥2，＋y －6≥0，则k ＝y ＋1x －3的取值范围是()A ．(－∞，－5] B.－5C ．(－∞，－5]∪12，＋∞D.－5，12解析：选A 由约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，其中A (2,4)，k ＝y ＋1x －3的几何意义为可行域内的动点(x ，y )与定点P (3，－1)连线的斜率，由图可知，k ≤k PA ＝4－(－1)2－3＝－5，或k >12.故选A.4．若关于x ，y ≤0，＋2y ≥0，－y ＋1≥0表示的平面区域是直角三角形区域，则正数k 的值为()A ．1=B ．.2C ．3D ．.4。

高三一轮复习 6.1不等关系与不等式【教学目标】1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系．2.了解不等式(组)的实际背景．【重点难点】1.教学重点：掌握不等式的性质及比较两个数大小的方法；2.教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】1．作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a >b ，a －b ＝0⇔a ＝b ，a －b <0⇔a <b .2．作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab >1⇔a >b a ∈R ，b >0，ab ＝1⇔a ＝b a ∈R ，b >0，a b<1⇔a <b a ∈R ，b >0.知识点2 不等式的性质(1)对称性：a >b ⇔b <a ；(双向性) (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ；(单向性)(3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；(双向性) a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；(单向性) (4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ；a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(单向性)(5)乘方法则：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)；(单向性)(6)开方法则：a >b >0⇒na >nb (n ∈N ，n ≥2)．(单向性)1．必会结论；(1)不等式的倒数性质①⎩⎨⎧a >b ，ab >0⇒1a <1b ；②a >0>b ⇒1a >1b .评分标准：65分以上为能力超强60~65分为能力强55~60分为能力较强50~55分为能力一般50分以下为能力差凡事发生，必有利我！因为凡事都是我赋予它意义，它才对我有意义。

6.6 不等式的应用●知识梳理1.运用不等式求一些最值问题.用a +b ≥2ab 求最小值；用ab ≤（2b a +）2≤222b a +求最大值.2.某些函数的单调性的判定或证明也就是不等式的证明.3.求函数的定义域，往往直接归纳为解不等式（组）.4.三角、数列、立体几何和解析几何中的最值都与不等式有密切联系.5.利用不等式可以解决一些实际应用题. ●点击双基1.已知函数f （x ）=log 21（x 2－ax +3a ）在［2，+∞）上是减函数，则实数a 的范围是A.（－∞，4］B.（－4，4］C.（0，12）D.（0，4］解析：∵f （x ）=log 21（x 2－ax +3a ）在［2，+∞）上是减函数， ∴u =x 2－ax +3a 在［2，+∞）上为增函数，且在［2，+∞）上恒大于0.∴⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤.032422a a a， ∴－4＜a ≤4. 答案：B2.把长为12 cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是A.233 cm 2B.4 cm 2C.32 cm 2D.23 cm 2解析：设两段长分别为x cm ，（12－x ） cm ，则S =43（3x ）2+43（312x -）2=183（x 2－12x +72）=183［（x －6）2+36］≥23. 答案：D3.（理）如果0＜a ＜1，0＜x ≤y ＜1，且log a x log a y =1，那么xy A.无最大值也无最小值 B.有最大值无最小值 C.无最大值有最小值 D.有最大值也有最小值解析：∵log a x +log a y ≥2y x a a log log =2， ∴log a xy ≥2.∴0＜xy ≤a 2. 答案：B（文）已知a ＞b ＞c ＞0，若P =a cb -，Q =bca -，则 A.P ≥Q B.P ≤Q C.P ＞Q D.P ＜Q解析：特殊值检验.a =3，b =2，c =1. P =31，Q =1，P ＜Q . 答案：D4.已知实数x 、y 满足yx=x －y ，则x 的取值范围是_______. 解析：由yx=x －y ，得y 2－xy +x =0. ∵y ∈R ，∴Δ=x 2－4x ≥0.∴0≤x ≤4. ∵x =0时y =0不符合题意，∴0＜x ≤4. 答案：0＜x ≤45.已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+-<+-08603422x x x x ，的解集是不等式2x 2－9x +a ＜0的解集的子集，则实数a的取值范围是____________.解析：由⎪⎩⎪⎨⎧<+-<+-，，08603422x x x x 得2＜x ＜3.则⇒⎩⎨⎧≤≤0302）（）（f f a ≤9. 答案：（－∞，9］ ●典例剖析【例1】 函数y =122++x bax 的最大值为4，最小值为－1，求常数a 、b 的值.剖析：由于函数是分式函数，且定义域为R ，故可用判别式法求最值.解：由y =122++x bax 去分母整理得yx 2－2ax +y －b =0. ①对于①，有实根的条件是Δ≥0， 即（－2a ）2－4y （y －b ）≥0. ∴y 2－by －a 2≤0.又－1≤y ≤4， ∴y 2－by －a 2=0的两根为－1和4. ∴⎩⎨⎧-=⨯-=+-.41412a b ，解得⎩⎨⎧==32b a ，或⎩⎨⎧=-=.32b a ， 评述：这是关于函数最大值、最小值的逆向题.深化拓展已知x 、y ∈R +且x 2+y8=1，求x +y 的最小值.本题不难求解（读者不妨求解）. 由本题的启发，你能解下列问题吗？已知a 、b 是正常数，a +b =10，又x 、y ∈R +， 且x a +y b=1，x +y 的最小值为18. 求a 、b 的值. 略解：x +y =（x +y ）（y x 82+）=10+xy 2+y x8≥10+2y x x y 82⋅=18. 当且仅当yxx y 82=时取等号. 由⎪⎩⎪⎨⎧==+224182x y y x ，解得⎩⎨⎧==.126y x ，∴当x =6，y =12时，x +y 的最小值为18.同上题，x +y =（x +y ）（x a +y b）=a +b +y bx x ay +≥a +b +2ab . 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=++，，10182b a ab b a 得⎩⎨⎧==，，82b a 或⎩⎨⎧==.28b a ，【例2】 已知a ＞0，求函数y =ax a x +++221的最小值.解：y =a x +2+ax +21，当0＜a ≤1时，y =a x +2+ax +21≥2，当且仅当x =±a -1时取等号，y min =2. 当a ＞1时，令t =a x +2（t ≥a ）.y =f （t ）=t +t 1.f '（t ）=1－21t＞0.∴f （t ）在［a ，+∞）上为增函数. ∴y ≥f （a ）=aa 1+，等号当t =a 即x =0时成立，y min =aa 1+.综上，0＜a ≤1时，y min =2；a ＞1时，y min =aa 1+.【例3】 已知函数f （x ）=ax 2+bx +c （a ＞0且bc ≠0）.（1）若| f （0）|=| f （1）|=| f （－1）|=1，试求f （x ）的解析式；（2）令g （x ）=2ax +b ，若g （1）=0，又f （x ）的图象在x 轴上截得的弦的长度为l ，且0＜l ≤2，试确定c －b 的符号.解：（1）由已知| f （1）|=| f （－1）|，有|a +b +c |=|a －b +c |，（a +b +c ）2=（a －b +c ）2，可得4b （a +c ）=0.∵bc ≠0，∴b ≠0.∴a +c =0. 又由a ＞0有c ＜0.∵|c |=1，于是c =－1，则a =1，|b |=1. ∴f （x ）=x 2±x －1.（2）g （x ）=2ax +b ，由g （1）=0有2a +b =0，b ＜0. 设方程f （x ）=0的两根为x 1、x 2.∴x 1+x 2=－a b =2，x 1x 2=ac . 则|x 1－x 2|=212214x x x x -+）（=ac44-. 由已知0＜|x 1－x 2|≤2，∴0≤ac＜1. 又∵a ＞0，bc ≠0，∴c ＞0.∴c －b ＞0. ●闯关训练 夯实基础1.已知方程sin 2x －4sin x +1－a =0有解，则实数a 的取值范围是 A.［－3，6］ B.［－2，6］ C.［－3，2］ D.［－2，2］ 解析：∵a =（sin x －2）2－3，|sin x |≤1， ∴－2≤a ≤6. 答案：B2.当x ∈［－1，2］时，不等式a ≥x 2－2x －1恒成立，则实数a 的取值范围是 A.a ≥2 B.a ≥1 C.a ≥0 D.a ≥－2 解析：当x ∈［－1，2］时，x 2－2x －1=（x －1）2－2∈［－2，2］. ∵a ≥x 2－2x －1恒成立，∴a ≥2. 答案：A3.b g 糖水中有a g 糖（b ＞a ＞0），若再添m g 糖（m ＞0），则糖水变甜了.试根据这一事实，提炼出一个不等式____________.解析：b a ＜mb m a ++. 答案：b a ＜mb m a ++ 4.若a ＞0，b ＞0，ab ≥1+a +b ，则a +b 的最小值为____________.解析：1+a +b ≤ab ≤（2b a +）2， ∴（a +b ）2－4（a +b ）－4≥0.∴a +b ≤2244-或a +b ≥2244+. ∵a ＞0，b ＞0，∴a +b ≥2+22. 答案：2+225.已知正数x 、y 满足x +2y =1，求x 1+y1的最小值. 解：∵x 、y 为正数，且x +2y =1，∴x 1+y 1=（x +2y ）（x 1+y 1） =3+x y 2+yx≥3+22， 当且仅当x y 2=yx，即当x =2－1，y =1－22时等号成立.∴x 1+y1的最小值为3+22. 6.（2004年春季上海）已知实数p 满足不等式212++x x ＜0，试判断方程z 2－2z +5－p 2=0有无实根，并给出证明.解：由212++x x ＜0，解得－2＜x ＜－21.∴－2＜p ＜－21. ∴方程z 2－2z +5－p 2=0的判别式Δ=4（p 2－4）. ∵－2＜p ＜－21，41＜p 2＜4， ∴Δ＜0.由此得方程z 2－2z +5－p 2=0无实根. 培养能力7.（2003年全国）已知c ＞0，设P ：函数y =c x 在R 上单调递减，Q ：不等式x +|x －2c |＞1的解集为R .如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围.解：函数y =c x 在R 上单调递减⇔0＜c ＜1.不等式x +|x －2c |＞1的解集为R ⇔函数y =x +|x －2c |在R 上恒大于1.∵x +|x －2c |=⎩⎨⎧>≥-，，c x cc x cx 22222 ∴函数y =x +|x －2c |在R 上的最小值为2c . ∴不等式x +|x －2c |＞1的解集为R ⇔2c ＞1⇔c ＞21. 如果P 正确，且Q 不正确，则0＜c ≤21. 如果P 不正确，且Q 正确，则c ≥1.∴c 的取值范围为（0，21］∪［1，+∞）. 8.已知函数f （x ）=x 2+bx +c （b 、c ∈R ）且当x ≤1时，f （x ）≥0，当1≤x ≤3时，f （x ）≤0恒成立.（1）求b 、c 之间的关系式；（2）当c ≥3时，是否存在实数m 使得g （x ）=f （x ）－m 2x 在区间（0，+∞）上是单调函数？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.解：（1）由已知f （1）≥0与f （1）≤0同时成立，则必有f （1）=0，故b +c +1=0. （2）假设存在实数m ，使满足题设的g （x ）存在.∵g （x ）=f （x ）－m 2x =x 2+（b －m 2）x +c 开口向上，且在［22bm -，+∞）上单调递增，∴22b m -≤0.∴b ≥m 2≥0.∵c ≥3，∴b =－（c +1）≤－4.这与上式矛盾，从而能满足题设的实数m 不存在. 探究创新9.有点难度哟！已知a ＞b ＞0，求a 2+）（b a b -16的最小值.解：∵b （a －b ）≤（2b a b -+）2=42a ，∴a 2+）（b a b -16≥a 2+264a ≥16.当且仅当⎩⎨⎧=-=82a b a b ，，即⎪⎩⎪⎨⎧==222b a ，时取等号.深化拓展a ＞b ＞0，求b （a －b ）·216a 的最大值.提示：b （a －b ）≤42a .答案：4●思悟小结1.不等式的应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值问题.2.建立不等式的主要途径有：（1）利用问题的几何意义；（2）利用判别式；（3）利用函数的有界性；（4）利用函数的单调性.3.解不等式应用问题的三个步骤： （1）审题，必要时画出示意图；（2）建立不等式模型，即根据题意找出常量与变量的不等关系；（3）利用不等式的有关知识解题，即将数学模型转化为数学符号或图形符号.4.利用重要不等式求最值时，要注意条件：一正、二定、三相等，即在x +y ≥2xy 中，x 和y 要大于零，要有定积或定和出现；同时要求“等号”成立.5.化归思想在本节占有重要位置，等式和不等式之间的转化、不等式和不等式之间的转化、函数与不等式之间的转化等，对于这些转化，一定要注意条件.●教师下载中心 教学点睛1.应用不等式解决数学问题时，关键在于要善于把等量关系转化为不等量关系，以及不等关系的转化等，把问题转化为不等式的问题求解.2.应用不等式解决应用问题时，应先弄清题意，根据题意列出不等式或函数式，再利用不等式的知识求解.3.与不等式相关联的知识较多，如函数与不等式、方程与不等式、数列与不等式、解析几何与不等式，要善于寻找它们之间的联系，从而达到综合应用的目的.拓展例题【例1】 （2003年福建质量检测题）已知函数f （x ）=|log 2（x +1）|，实数m 、n 在其定义域内，且m ＜n ，f （m ）=f （n ）.求证：（1）m +n ＞0；（2）f （m 2）＜f （m +n ）＜f （n 2）. （1）证法一：由f （m ）=f （n ），得|log 2（m +1）|=|log 2（n +1）|，即log 2（m +1）=±log 2（n +1），log 2（m +1）=log 2（n +1）， ①或log 2（m +1）=log 211+n .②由①得m +1=n +1，与m ＜n 矛盾，舍去. 由②得m +1=11+n ，即（m +1）（n +1）=1.③∴m +1＜1＜n +1.∴m ＜0＜n .∴mn ＜0. 由③得mn +m +n =0，m +n =－mn ＞0. 证法二：（同证法一得）（m +1）（n +1）=1.∵0＜m +1＜n +1，∴211）（）（+++n m ＞））（（11++n m =1.∴m +n +2＞2.∴m +n ＞0.（2）证明：当x ＞0时，f （x ）=|log 2（x +1）|=log 2（x +1）在（0，+∞）上为增函数. 由（1）知m 2－（m +n ）=m 2+mn =m （m +n ），且m ＜0，m +n ＞0，∴m （m +n ）＜0. ∴m 2－（m +n ）＜0，0＜m 2＜m +n . ∴f （m 2）＜f （m +n ）. 同理，（m +n ）－n 2=－mn －n 2=－n （m +n ）＜0， ∴0＜m +n ＜n 2.∴f （m +n ）＜f （n 2）. ∴f （m 2）＜f （m +n ）＜f （n 2）. 【例2】 求证：对任意x 、y ∈R ，都有497721++x x ≤5－3y +21y 2，并说明等号何时成立. 证明：72x +49≥2·7x ·7=2·7x +1， ∴497721++x x ≤21. 又∵5－3y +21y 2=21（y －3）2+21≥21，∴497721++x x ≤5－3y +21y 2.当且仅当x =1，y =3时取等号.。

2025高考数学一轮复习-第4讲-不等式的性质、基本不等式-专项训练（原卷版）一、单项选择题1．设a，b均为非零实数且a＜b，则下列结论中正确的是()A．1a＞1bB．a2＜b2C．1a2＜1b2D．a3＜b32．已知实数a＞b＞0＞c，则下列结论一定正确的是()A．ab＞acBC．1a＜1cD．a2＞c23．已知a＞0，b＞0，若直线l1：ax＋by－2＝0与直线l2：2x＋(1－a)y＋1＝0垂直，则a＋2b的最小值为()A．1B．3C．8D．94．已知x＞0，y＞0，且1x＋2＋1y＝23，若x＋y＞m2＋3m恒成立，则实数m的取值范围是()A．(－4，6)B．(－3，0)C．(－4，1)D．(1，3)5．(2023·深圳罗湖期末)某科技企业开发生产一种智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产x万件该产品，需另投入成本ω(x)万元．其中ω(x)2＋10x，0＜x≤40，x＋10000x－945，x＞40，若该公司一年内生产的该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每年利润的最大值为()A．720万元B．800万元C．875万元D．900万元二、多项选择题6．下列结论中，正确的有()A．若a＞b，则ac2＞b c2B．若ab＝4，则a2＋b2≥8C．若a＞b，则ab＜a2D．若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c7．(2023·曲靖一模)已知a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列结论一定正确的有()A．(a＋2b)2≥8ab B．1a＋1b≥2abC．ab有最大值4D．1a＋4b有最小值98．设a＞0，b＞0，且a＋2b＝2，则() A．ab的最大值为12B．a＋b的最小值为1C．a2＋b2的最小值为45D．a－b＋2ab的最小值为9 2三、填空题9．已知实数a，b满足－3≤a＋b≤－2，1≤a－b≤4，则3a－5b的取值范围是___．10．已知a＞0，b＞0，且ab＝a＋b＋3，则a＋b的最小值为___．11．若a＞0，b＞0，a＋b＝9，则36a＋ab的最小值为____．四、解答题12．已知a，b为正实数，且4a2＋b2＝2.(1)求ab的最大值，并求此时a，b的值；(2)求a1＋b2的最大值，并求此时a，b的值．13．已知a＞1，b＞2.(1)若(a－1)(b－2)＝4，求1a－1＋1b－2的最小值及此时a，b的值；(2)若2a＋b＝6，求1a－1＋1b－2的最小值及此时a，b的值；(3)若1a＋1b＝1，求1a－1＋1b－2的最小值及此时a，b的值．14．某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备．这种净水设备的购置费(单位：万元)与设备的占地面积x(单位：平方米)成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费C(单位：万元)与设备占地面积x之间的函数关系为C(x)＝20x＋5(x＞0).将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y(单位：万元)．(1)要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围；(2)设备占地面积x为多少时，y的值最小？2025高考数学一轮复习-第4讲-不等式的性质、基本不等式-专项训练（解析版）一、单项选择题1．设a ，b 均为非零实数且a ＜b ，则下列结论中正确的是(D )A ．1a ＞1b B ．a 2＜b 2C ．1a 2＜1b2D ．a 3＜b 3【解析】对于A ，取a ＝－1，b ＝1，则1a ＜1b ，A 错误；对于B ，取a ＝－1，b ＝1，则a 2＝b 2，B 错误；对于C ，取a ＝－1，b ＝1，则1a 2＝1b 2，C 错误；对于D ，由a ＜b ，可得b 3－a 3＝(b －a )·(b 2＋ab ＋a 2)＝(b －a ＋12a ＋34a2＞0，所以a 3＜b 3，D 正确．2．已知实数a ＞b ＞0＞c ，则下列结论一定正确的是(A )A ．a b ＞ac B C ．1a ＜1cD ．a 2＞c 2【解析】对于A ，因为a ＞b ＞0＞c ，所以a b ＞0＞ac ，故A 正确；对于B ，因为函数y 在R 上单调递减，且a ＞c ，故B 错误；对于C ，因为a ＞0＞c ，则1a ＞0＞1c ，故C 错误；对于D ，若a ＝1，c ＝－2，满足a ＞0＞c ，但a 2＜c 2，故D 错误．3．已知a ＞0，b ＞0，若直线l 1：ax ＋by －2＝0与直线l 2：2x ＋(1－a )y ＋1＝0垂直，则a ＋2b 的最小值为(D )A ．1B ．3C ．8D ．9【解析】由题可知两条直线的斜率一定存在，因为两直线垂直，所以斜率乘积为－1，即－a b×1，即2a ＋b ＝ab ，整理得2b ＋1a ＝1，所以a ＋2b＝(a ＋2b ＝2a b ＋1＋4＋2ba ≥5＋22a b ·2ba＝9，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立．因此a ＋2b 的最小值为9.4．已知x ＞0，y ＞0，且1x ＋2＋1y ＝23，若x ＋y ＞m 2＋3m 恒成立，则实数m 的取值范围是(C)A ．(－4，6)B ．(－3，0)C ．(－4，1)D ．(1，3)【解析】因为x ＞0，y ＞0，且1x ＋2＋1y ＝23，所以x ＋2＋y ＝32(x ＋2＋y＋y x ＋2＋x ＋2y ＋＋6，当且仅当y x ＋2＝x ＋2y，即y＝3，x ＝1时取等号，所以x ＋y ≥4.因为x ＋y ＞m 2＋3m 恒成立，所以m 2＋3m ＜4，即(m －1)(m ＋4)＜0，解得－4＜m ＜1.所以实数m 的取值范围是(－4，1).5．(2023·深圳罗湖期末)某科技企业开发生产一种智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产x 万件该产品，需另投入成本ω(x )万元．其中ω(x )2＋10x ，0＜x ≤40，x ＋10000x－945，x ＞40，若该公司一年内生产的该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每年利润的最大值为(C)A ．720万元B ．800万元C ．875万元D ．900万元【解析】该企业每年利润为f (x )＝x －(x2＋10x ＋25)，0＜x ≤40，xx ＋10000x－945＋x ＞40，当0＜x ≤40时，f (x )＝－x 2＋60x －25＝－(x －30)2＋875，当x ＝30时，f(x )取得最大值875；当x ＞40时，f (x )＝920920－2x ·10000x＝720，当且仅当x ＝100时等号成立，即在x＝100时，f (x )取得最大值720.由875＞720，可得该企业每年利润的最大值为875万元．二、多项选择题6．下列结论中，正确的有(BD )A ．若a ＞b ，则a c 2＞bc 2B ．若ab ＝4，则a 2＋b 2≥8C ．若a ＞b ，则ab ＜a 2D ．若a ＞b ，c ＞d ，则a －d ＞b －c【解析】对于A ，若c ＝0，则a c 2，bc 2无意义，故A 错误；对于B ，若ab ＝4，则a 2＋b 2≥2ab ＝8，当且仅当a ＝b ＝±2时等号成立，故B 正确；对于C ，由于不确定a 的符号，故无法判断，例如a ＝0，b ＝－1，则ab ＝a 2＝0，故C 错误；对于D ，若a ＞b ，c ＞d ，则－d ＞－c ，所以a －d ＞b －c ，故D 正确．7．(2023·曲靖一模)已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝4，则下列结论一定正确的有(AC)A ．(a ＋2b )2≥8abB ．1a ＋1b ≥2ab C ．ab 有最大值4D ．1a ＋4b有最小值9【解析】对于A ，(a ＋2b )2＝a 2＋4b 2＋4ab ≥2·a ·2b ＋4ab ＝8ab ，故A 正确；对于B ，找反例，当a ＝b ＝2时，1a ＋1b ＝2，2ab ＝4，1a ＋1b＜2ab ，故B 错误；对于C ，因为a ＋b ＝4≥2ab ，所以ab ≤4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故C 正确；对于D ，1a ＋4b ＝a ＋b )＋4＋b a ＋＋＝94，当且仅当a ＝43，b ＝83时取等号，故D 错误．8．设a ＞0，b ＞0，且a ＋2b ＝2，则(ACD )A ．ab 的最大值为12B ．a ＋b 的最小值为1C．a2＋b2的最小值为45D．a－b＋2ab的最小值为9 2【解析】对于A，a＞0，b＞0，22ab≤a＋2b＝2⇒ab≤12，当且仅当a＝1，b＝12时取等号，故A正确；对于B，a＋b＝2－b，a＝2－2b.因为a＞0，b＞0，所以0＜b＜1，1＜a＋b＜2，故B错误；对于C，a2＋b2＝(2－2b)2＋b2＝5b2－8b＋4＝＋45≥45，当且仅当a＝25，b＝45时取等号，故C正确；对于D，a－b＋2ab＝a－b＋a＋2bab＝2a＋bab＝2b＋1a＝·(a＋2b)·12＝＋2b a＋＋＝92，当且仅当2ba＝2ab，即a＝b＝23时取等号，故D正确．三、填空题9．已知实数a，b满足－3≤a＋b≤－2，1≤a－b≤4，则3a－5b的取值范围是__[6，19]__．【解析】因为3a－5b＝－(a＋b)＋4(a－b)，由－3≤a＋b≤－2，得2≤－(a ＋b)≤3，由1≤a－b≤4，得4≤4(a－b)≤16，所以6≤3a－5b≤19，即3a－5b 的取值范围是[6，19].10．已知a＞0，b＞0，且ab＝a＋b＋3，则a＋b的最小值为__6__．【解析】因为ab＝a＋b＋3≤14(a＋b)2，所以(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，即(a＋b－6)(a＋b＋2)≥0，解得a＋b≥6或a＋b≤－2.因为a＞0，b＞0，所以a＋b≥6(当且仅当a＝b＝3时取等号).11．若a＞0，b＞0，a＋b＝9，则36a＋ab的最小值为__8__．【解析】36a＋ab＝4(a＋b)a＋ab＝4＋4ba＋ab≥4＋24ba·ab＝8，当且仅当a＝6，b＝3时取等号，故36a＋ab的最小值为8.四、解答题12．已知a，b为正实数，且4a2＋b2＝2.(1)求ab的最大值，并求此时a，b的值；【解答】由不等式4a2＋b2≥4ab，解得ab≤12，当且仅当2a＝b＝1时取等号，所以ab的最大值为12，此时a＝12，b＝1.(2)求a1＋b2的最大值，并求此时a，b的值．【解答】由4a2＋b2＝2，得4a2＋(1＋b2)＝3.由4a2＋(1＋b2)≥24a2·(1＋b2)＝4a1＋b2，得a1＋b2≤34，当且仅当4a2＝1＋b2，即a＝64，b＝22时取等号，所以a1＋b2的最大值为34，此时a＝64，b＝22.13．已知a＞1，b＞2.(1)若(a－1)(b－2)＝4，求1a－1＋1b－2的最小值及此时a，b的值；【解答】因为a＞1，b＞2，所以a－1＞0，b－2＞0，所以1a－1＋1b－2＝a－1)(b－2)＝14[(b－2)＋(a－1)]≥14×2(b－2)(a－1)＝1，当且仅－2＝a－1，a－1)(b－2)＝4，即a＝3，b＝4时等号成立，所以1a－1＋1b－2的最小值为1，此时a＝3，b＝4.(2)若2a＋b＝6，求1a－1＋1b－2的最小值及此时a，b的值；【解答】由2a＋b＝6，得2(a－1)＋(b－2)＝2，所以(a－1)＋b－22＝1，所以1a－1＋1b－2＝(a－1)＋b－22＝32＋a－1b－2＋b－22(a－1)≥3＋222，当－2＝2(a－1)，a－1)＋(b－2)＝2，即a＝3－2，b＝22时等号成立，所以1a－1＋1b－2的最小值为3＋222，此时a＝3－2，b＝2 2.(3)若1a＋1b＝1，求1a－1＋1b－2的最小值及此时a，b的值．【解答】因为b＞2，由1a＋1b＝1，可得a＝bb－1，所以a－1＝1b－1，所以1a－1＋1b－2＝b－2＋1b－2＋1≥3，当且仅当a＝32，b＝3时等号成立，所以1a－1＋1b－2的最小值为3，此时a＝32，b＝3.14．某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备．这种净水设备的购置费(单位：万元)与设备的占地面积x(单位：平方米)成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费C(单位：万元)与设备占地面积x之间的函数关系为C(x)＝20x＋5(x＞0).将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y(单位：万元)．(1)要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围；【解答】由题意得y＝0.2x＋80x＋5x＞0).由y≤7.2，得0.2x＋80x＋5≤7.2，整理得x2－31x－220≤0，解得11≤x≤20，即设备占地面积x的取值范围为[11，20].(2)设备占地面积x为多少时，y的值最小？【解答】y＝0.2x＋80x＋5＝x＋55＋80x＋5－1≥2x＋55×80x＋5－1＝7，当且仅当x＋55＝80x＋5，即x＝15时等号成立.所以设备占地面积为15平方米时，y的值最。