2011昌平高三二模数学(文科)试题及答案

昌平区2011－2012学年度第二学期高三年级第二次统一练习数 学 试 卷（理科） 2012. 4考生注意事项：1.本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间 120分钟．2．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚．答题卡上第一部分(选择题)必须用2B 铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B 铅笔．3．修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损．不得在答题卡上作任何标记．4．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知全集U = R ，集合}{42≤-=x x |x A ，}2{<=x |x B ，则B A =A. {0≥x |x } B . {20<≤x |x } C. {42≤<x |x } D. {40≤≤x |x } 2. 在复平面内，与复数i+11对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. “1=a ” 是“002=-=+y a x y x 和直线直线垂直”的A. 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件4. 已知直线l ：为参数）t t y tx (1⎩⎨⎧+==，圆C ：2cos ρθ=，则圆心C 到直线l 的距离是 A. 2 B.3 C.2 D. 15.已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面图形中，是直角三角形的有 A. 0个 B. 1个C. 2个D. 3 个左视图6. 某电视台曾在某时间段连续播放5个不同的商业广告，现在要在该时间段新增播一个商业广告与两个不同的公益宣传广告，且要求两个公益宣传广告既不能连续播放也不能在首尾播放，则在不改变原有5个不同的商业广告的相对播放顺序的前提下，不同的播放顺序共有 A. 60种 B. 120种 C. 144种 D. 300种7．如图，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中，P 为11D A 的中点，Q 为11B A 上 任意一点，F E 、为CD 上任意两点，且EF 的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是 A. 点P 到平面QEF 的距离B . 直线PQ 与平面PEF 所成的角 C. 三棱锥QEF P -的体积 D.二面角Q EF P --的大小8. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()37712012(1)1a a -+-=，()32006200612012(1)1a a -+-=-，则下列结论正确的是A ．20122012S =，20127a a <B ．20122012S =，20127a a >C ．20122012S =-，20127a a <D ．20122012S =-，20127a a >第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9．在∆ABC 中，4,2,2π===A b a 那么角C =_________.10.已知双曲线的方程为1422=-y x ，则其渐近线的方程为____________,若抛物线px y 22=的焦点与双曲线的右焦点重合，则_______p =.C 1A 1C11. 如图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值,若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值有 ___________个.12. 如图，AB 是⊙O 的直径，CD 切⊙O 于点D ，CA 切⊙O 于点A ，CD 交AB 的延长线于点E .若3AC =，2ED =，则BE =________;AO =________.13. 若变量 x , y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤400x y y x 表示平面区域M ，则当-42≤≤a 时，动直线a y x =+所经过的平面区域M 的面积为_____________.14. 若对于定义在R 上的函数f (x ) ,其图象是连续不断的，且存在常数λ(∈λR )使得 f (x +λ) +λf (x ) = 0对任意实数x 都成立，则称f (x ) 是一个“λ—伴随函数”. 有下列关于“λ—伴随函数”的结论：①f (x ) =0 是常数函数中唯一个“λ—伴随函数”；②f (x ) = x 不是“λ—伴随函数”；③f (x ) = x 2是一个“λ—伴随函数”； ④“21—伴随函数”至少有一个零点. 其中不正确．．．的序号是________________（填上所有不．正确．．的结论序号）．三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（本小题满分13分）已知向量a (cos ,sin ),θθ= b = (13-,), 22π≤θ≤π-. （Ⅰ）当b a ⊥时，求θ的值; （Ⅱ）求||b a +的取值范围.EA某游乐场将要举行狙击移动靶比赛. 比赛规则是：每位选手可以选择在A 区射击3 次或选择在B 区射击2次，在A 区每射中一次得3分，射不中得0分; 在B 区每射中一次得2分，射不中得0分. 已知参赛选手甲在A 区和B 区每次射中移动靶的概率分别是41和)10(<<p p .(Ⅰ) 若选手甲在A 区射击，求选手甲至少得3分的概率；(Ⅱ) 我们把在A 、B 两区射击得分的数学期望高者作为选择射击区的标准，如果选手甲最终选择了在B 区射击，求p 的取值范围.17.（本小题满分14分）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中, 122AA AB ==,E 为AD 中点,F 为1CC 中点.（Ⅰ）求证:1AD D F ⊥； （Ⅱ）求证://CE 平面1AD F ；(Ⅲ) 求平面1AD F 与底面ABCD 所成二面角的余弦值.18．（本小题满分13分） 已知函数∈+--=a x a xax x f ,ln )1()(R . （Ⅰ）当1>a 时，求)(x f 的单调区间;（Ⅱ）若)(x f 在]1[e ,上的最小值为2-，求a 的值.如图，已知椭圆M :)0(12222>>=+b a by a x ,离心率36=e ,椭圆与x 正半轴交于点A ，直线l 过椭圆中心O ，且与椭圆交于B 、C 两点，B (1,1).(Ⅰ) 求椭圆M 的方程；（Ⅱ）如果椭圆上有两点Q P 、,使PBQ ∠的角平分线垂直于AO ，问是否存在实数)0(≠λλ使得AC PQ λ=成立？20. (本小题满分13分)实数列 3210a ,a ,a ,a ，由下述等式定义123,0,1,2,3,.n n n a a n +=-=（Ⅰ）若0a 为常数，求123,,a a a 的值； （Ⅱ）求依赖于0a 和n 的n a 表达式；（Ⅲ）求0a 的值，使得对任何正整数n 总有1n n a a +>成立.昌平区2011－2012学年度第二学期高三年级第二次统一练习数学( 理科)试卷参考答案及评分标准 2012.4一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．)9．127π 10. x y 21±= , 52 11. 3 12. 1 ， 2313． 714. ① ③ 注：10,12题第一空2分三、解答题(本大题共6小题，共80分) 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ） a ⊥b ∴b a ⋅0sin cos 3=-=θθ ……… 2分得3tan =θ 又∵22π≤θ≤π-……… 4分 即：θ=3π………6分 （Ⅱ）||b a +=4)sin cos 3(21||2||22+-+=+⋅+θθb b a a )3sin(45π--=θ ……… 9分22π≤≤π-θ 6365π≤π-≤π-∴θ ……… 11分 21)3s i n (1≤π-≤-∴θ 4)3sin(42≤π--≤-∴θ∴33≤+≤||b a ……… 13分16．（本小题满分13分)解：（Ⅰ）设“选手甲在A 区射击得0分”为事件M ,“选手甲在A 区射击至少得3分”为事件N ,则事件M 与事件N 为对立事件, 6427)411(41)(3003=-⋅⋅=)(C M P ………2分6437642711=-=-=)M (P )N (P ………4分 (Ⅱ) 设选手甲在A 区射击的得分为ξ,则ξ的可能取值为0，3，6,9.6427)41-(10)(3===ξP ;6427)411(41C 3)(213=-⋅⋅==ξP ; 649)411()41(6)(223=-==ξC P ; 641)41(9)(3===ξP 所以ξ的分布列为49641964966427364270=⨯+⨯+⨯+⨯=ξ∴E 设选手甲在B 区射击的得分为η，则η的可能取值为0，2，4.2)-(10)(p P ==η；)1(2)1(C 2)(12p p p p P -=-⋅⋅==η;24)(p P ==η所以η的分布列为p p )p (p )p (E 441221022=⋅+-⋅+-⨯=η∴根据题意， 有 ξηE E > ∴1169494<<∴>p ,p ……… 13分 17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在正四棱柱1111ABCD A B C D -中四边形ABCD 是正方形, AD CD ∴⊥1DD ABCD AD ABCD ⊥⊂平面，平面1AD DD ∴⊥ 1DD CD D = 11AD CDD C ∴⊥平面111D F CDD C ⊂平面 1A D D F∴⊥ ……… 4分 （Ⅱ）证明：在正四棱柱1111ABCD A B C D -中,连结1A D ,交1AD 于点M ,连结,ME MF .M ∴为1AD 中点.E 为AD 中点，F 为1CC 中点. 111//2ME DD ME DD ∴=且……… 6分 又1121DD CF DD //CF =且 ∴四边形CEMF 是平行四边形. MF //CE ∴ ……… 8分CE ⊄平面1AD F ,MF ⊂平面1AD F .//CE ∴平面1AD F . ………9分(Ⅲ)解：以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系如图. 则1(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,2),(0,1,1)D A B C D F……… 10分∴平面ABCD 的法向量为1(0,0,2)DD =………11分设平面1AD F 的法向量为(,,)x y z =n .1(1,1,1),(1,0,2)AF AD =-=-，分则有10,0.AF AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以 0,20.x y z x z -++=⎧⎨-+=⎩取1z =，得(2,1,1)=n .1116cos ,DD DD DD ⋅〈〉==n n n . ………13分平面F AD 1与平面所成二面角为锐角.所以平面1AD F 与底面ABCD ……… 14分 18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）f (x )的定义域为｛x |0>x ｝……………1分.2222))(1()1(11)(xa x x x x a a x x a x a x f --=+-+=+-+='…………3分 1>a 令0)(>'x f ，即a x x x a x x ><>--或得1,0))(1(2，∴)(x f 的增区间为（0，1），),(+∞a ……………4分 令0)(<'x f ，即a x xa x x <<<--1,0))(1(2得， ∴)(x f 的减区间为),1(a ………………5分（Ⅱ）①当1≤a 时， 0)(≥'x f 在]1[e ,上恒成立，∴)(x f 在]1[e ,恒为增函数. ……… 6分21)1()]([min -=-==∴a f x f ，得.(3舍去）=a ……… 7分②当e a <<1 时，令0)(='x f ，得1或a x =. 当a x <<1时，0)(<'x f ∴)(x f 在),1(a 上为减函数； 当e x a <<时，0)(>'x f ∴)(x f 在),(e a 上为增函数；2)ln()1(1)()]([min -=+--==∴a a a a f x f ，得（舍）……… 10分③当e a >时，0)(≤'x f 在],1[e 上恒成立，此时)(x f 在],1[e 恒为减函数.2)1()()]([min -=+--==∴a eae ef x f ，得 .e a = ………12分 综上可知 .e a = ……… 13分19．（本小题满分14分） 解：(Ⅰ)由题意可知2)(136abe -==,得 223b a = ……… 2分 )11(,B 点 在椭圆上11122=+ba 解得：34422==b ,a ……… 4分 故椭圆M 的方程为：143422=+y x ……… 4分 （Ⅱ）由于PBQ ∠的平分线垂直于OA 即垂直于x 轴，故直线PB 的斜率存在设为k ，则QB 斜率为 - k ，因此PB 、QB 的直线方程分别为y = k (x -1)+1， y = -k (x -1) +1 ……… 6分由⎪⎩⎪⎨⎧=++-=14341)1(22y x x k y 得01631631222=--+--+k k x )k (k x )k (①由0>∆ ，得31-≠k ……… 8分 点B 在椭圆上，x =1是方程①的一个根，设),(),,(Q Q p p y x Q y x P13163122+--=⋅∴k k k x P 即1316322+--=∴k k k x P ，同理1316322+-+=k k k x Q ………10分∴=PQk 311312213)13(22)(222=+--+-⋅=--+=--k k k k k k x x k x x k x x y y Q P Q P Q P Q P)1,1(),0,2(--C A 31=∴AC k 即：AC PQ k k =∴向量//，则总存在实数λ使λ=成立. ………13分20.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）0131a a -=,0291a a +-=,03277a a -= ……… 2分（Ⅱ）由123,nn n a a +=-得1112(3)(3)(3)nn n n n n a a +++-=--- ……… 3分 令(3)n n na b =-，所以112(3)nn n n b b ++-=-所以121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-++-23112342222(3)(3)(3)(3)n nb -=+++++---- 2111222()[()()()]3333n b -=+--+-++-1122()(1())133()231()3n b ----=+--- 1122(1()),153n b -=+-- ……… 6分所以1122(1())(3)3153n n n a a -=+---- ……… 7分 所以1112(3)[(3)32]15n n n n a a --=⋅-+-+⋅ 1102(13)(3)[(3)32]15n n n a --=--+-+⋅101[2(1)3](1)35n n n n n a -=+-⋅+-⋅⋅ ……… 8分（Ⅲ）1111101[2(1)3](1)35n n n n n n n a a a +++++-=+-⋅+-⋅⋅101[2(1)3](1)35n n n n n a --+-⋅--⋅⋅ 0112(1)43()55n n n a =⋅+-⋅⋅- 所以101121()()(1)4()3535n n n n n a a a +-=+-⋅⋅- ……… 10分 如果0105a ->，利用n 无限增大时，2()3n 的值接近于零，对于非常大的奇数n ，有10n n a a +-<；如果0105a -<，对于非常大的偶数n ，10n n a a +-<，不满足题目要求.当015a =时，112,5n n n a a +-=⋅于是对于任何正整数n ，1n n a a +>，因此015a =即为所求. ……… 13分【 以上答案仅供参考，若有其它解法，请酌情给分】。

高三文科数学模拟试题含答案高三文科数学模拟试题本试卷共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1.复数3+ i的虚部是（）。

A。

2.B。

-1.C。

2i。

D。

-i2.已知集合A={-3,-2,0,1,2}，集合B={x|x+2<0}，则A∩(CRB) =（）。

A。

{-3,-2,0}。

B。

{0,1,2}。

C。

{-2,0,1,2}。

D。

{-3,-2,0,1,2}3.已知向量a=(2,1)，b=(1,x)，若2a-b与a+3b共线，则x=（）。

A。

2.B。

11/22.C。

-1.D。

-24.如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为（）。

A。

4π/3.B。

π。

C。

3π/2.D。

2π5.将函数f(x)=sin2x的图像向右平移π/6个单位，得到函数g(x)的图像，则它的一个对称中心是（）。

A。

(π/6,0)。

B。

(π/3,0)。

C。

(π/2,0)。

D。

(π,0)6.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）。

开始是否输出结束A。

-10.B。

-3.C。

4.D。

57.已知圆C:x^2+2x+y^2=1的一条斜率为1的切线l1，若与l1垂直的直线l2平分该圆，则直线l2的方程为（）。

A。

x-y+1=0.B。

x-y-1=0.C。

x+y-1=0.D。

x+y+1=08.在等差数列{an}中，an>0，且a1+a2+⋯+a10=30，则a5⋅a6的最大值是（）。

A。

4.B。

6.C。

9.D。

369.已知变量x,y满足约束条件2x-y≤2，x-y+1≥0，设z=x^2+y^2，则z的最小值是（）。

A。

1.B。

2.C。

11.D。

3210.定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)=2，当x<0时，f(x)=1-|x-3|，则函数F(x)=f(x)-a(0<a<1)的所有零点之和为（）。

2011年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M N I ，则P 的子集共有
A ．2个
B ．4个
C ．6个
D ．8个
2．复数512i i =- A ．2i - B ．12i - C ． 2i -+ D ．12i -+
3．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是
A ．3y x =
B ．||1y x =+
C ．2
1y x =-+ D ．||2x y -= 4．椭圆22
1168
x y +=的离心率为 A ．13
B ．12
C ．3
D ．
22 5．执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是
A ．120
B ． 720
C ． 1440
D ． 5040
6．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每
位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一
个兴趣小组的概率为
A ．13
B ． 12
C ．23
D ．34
7．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=
A ． 45-
B ．35-
C ． 35
D ．45。

绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修I)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题．．．卷上作答无效．．．．．．. 3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 一、选择题(1)设集合U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则U=（M N ）I ð （A ）{}12，（B ）{}23， （C ）{}2，4 （D ）{}1，4 【答案】D【命题意图】本题主要考查集合交并补运算. 【解析】{2,3},(){1,4}U M N M N =∴=ðQ I I(2)函数0)y x =≥的反函数为（A ）2()4xy x R =∈ （B ）2(0)4xy x =≥（C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥ 【答案】B【命题意图】本题主要考查反函数的求法.【解析】由原函数反解得24yx =,又原函数的值域为0y ≥,所以函数0)y x =≥的反函数为2(0)4xy x =≥.(3)设向量,a b 满足||||1a b == ,12a b ⋅=-r r ,则2a b +=（A （B （C （D【答案】B【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积与长度的计算方法.【解析】2221|2|||44||14()432a b a a b b +=+⋅+=+⨯-+=r r r r r u r ,所以2a b +=r r (4)若变量x ，y 满足约束条件63-21x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则=23z x y +的最小值为（A ）17 （B ）14 （C ）5 （D ）3 【答案】C【命题意图】本题主要考查简单的线性规划.【解析】作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线=23z x y +过直线x=1与x-3y=-2的交点（1，1）时取得最小值,所以最小值为5.(5)下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞ 【答案】A【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质.【解析】即寻找命题P ,使P a b ⇒>,且a b >推不出P ,逐项验证知可选A.(6)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = （A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5 【答案】D【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用. 【解析】解法一2(2)(1)(1)[(2)12][12]442422k k k k k k S S k k k +++--=+⨯+⨯-⨯+⨯=+=，解得5k =.解法二: 221[1(1)2](12)4424k k k k S S a a k k k +++-=+=++⨯++⨯=+=，解得5k =.(7)设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9【答案】C【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性与三角函数图像变换的关系.【解析】由题意将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3π是此函数周期的整数倍,得2()3k k Z ππω⨯=∈,解得6k ω=,又0ω>,令1k =,得min 6ω=.(8)已知直二面角l αβ--,点A α∈，A C l ⊥,C 为垂足,B β∈，B D l ⊥,D 为垂 足,若2,1AB AC BD ===，则C D = （A ） 2 （B（C （D ）1 【答案】C【命题意图】本题主要考查二面角的平面角及解三角形.【解析】因为l αβ--是直二面角, A C l ⊥,∴AC ⊥平面β,A C B C ∴⊥BC ∴=又B D l ⊥,CD ∴=(9) 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有 (A) 12种 (B) 24种 (C) 30种 (D)36种 【答案】B【命题意图】本题主要考查两个原理与排列组合知识，考察考生分析问题的能力.【解析】第一步选出2人选修课程甲有246C =种方法，第二步安排剩余两人从乙、丙中各选1门课程有22⨯种选法，根据分步计数原理，有6424⨯=种选法.(10) 设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()f x =2(1)x x -,则5()2f -=(A) -12(B)1 4- (C)14(D)12【答案】A【命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法. 关键是把通过周期性和奇偶性把自变量52-转化到区间[0,1]上进行求值.【解析】由()f x 是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性得:5511111((2)()()2(12222222f f f f -=-+=-=-=-⨯⨯-=-(11)设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12C C = (A)4 (B)【答案】C【命题意图】本题主要考查圆的方程与两点间的距离公式.【解析】由题意知圆心在直线y=x 上并且在第一象限,设圆心坐标为(,)(0)a a a >,则a =,即210170a a -+=,所以由两点间的距离公式可求出128C C ===.(12)已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π 【答案】D【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质.【解析】如图所示,由圆M 的面积为4π知球心O 到圆M 的距离O M =,在R t O M N ∆中,30OMN ︒∠=, ∴12O N O M ==故圆N 的半径r ==,∴圆N的面积为213S r ππ==.第Ⅱ卷注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。

2011年北京市丰台区高考数学二模试卷（文科）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 若2∈{1, a, a 2−a}，则a =( ) A −1 B 0 C 2 D 2或−12. 下列四个命题中，假命题为（ ）A ∀x ∈R ，2x >0B ∀x ∈R ，x 2+3x +1>0C ∃x ∈R ，lgx >0D ∃x ∈R ，x 12=23. 已知a >0且a ≠1，函数y =log a x ，y =a x 在同一坐标系中的图象可能是（ ）A BCD4. 已知数列{a n }中，a 1=35，a n =1−1a n−1(n ≥2)，则a 2011=( )A −12B −23C 35D 525. 如图所示，已知AB →=2BC →，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，则下列等式中成立的是（ ）A c →=32b →−12a →B c →=2b →−a →C c →=2a →−b →D c →=32a →−12b →6.已知函数y =Asin(ωx +φ)的图象如图所示，则该函数的解析式可能是．（ ）A y =45sin(45x +15) B y =32sin(2x +15) C y =45sin(45x −15) D y =45sin(2x +15) 7. 已知x ，y 的取值如表：从散点图可以看出y 与x 线性相关，且回归方程为y =0.95x +a ，则a ＝（ ）8. 用max{a, b}表示a ，b 两个数中的最大数，设f(x)=max{−x 2+8x −4, log 2x}，若函数g(x)=f(x)−kx 有2个零点，则k 的取值范围是（ ）A (0, 3)B (0, 3]C (0, 4)D [0, 4]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 在复平面内，复数z=1−2i对应的点位于第________象限．1+i10. 圆C:x2+y2+2x−2y−2=0的圆心到直线3x+4y+14=0的距离是________．11. 若x∈[0, 2π]，则函数y=sinx−xcosx的单调递增区间是________．12. 已知签字笔2元一只，练习本1元一本．某学生欲购买的签字笔不少于3只，练习本不少于5本，但买签字笔和练习本的总数量不超过10，则支出的钱数最多是________元．13. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．14. 如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，以A为圆心，AD 长为半径画弧，交BA的延长线于P1，然后以B为圆心，BP1长为半径画弧，交CB的延长线于P2，再以C为圆心，CP2长为半径画弧，交DC的延长线于P3，再以D为圆心，DP3长为半径画弧，交AD的延长线于P4，再以A为圆心，AP4长为半径画弧，…，如此继续下去，画出的第8道弧的半径是________，画出第n道弧时，这n道弧的弧长之和为________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15. 已知函数f(x)=sin2x+√3sinxcosx−1．2)的值；（1）求f(−π12]，求函数y=f(x)的最小值及取得最小值时的x值．（2）若x∈[0,π216. 已知梯形ABCD中，BC // AD，BC=12AD=1，CD=√3，G，E，F分别是AD，BC，CD的中点，且CG=√2，沿CG将△CDG翻折到△CD′G．（1）求证：EF // 平面AD′B；（2）求证：平面CD′G⊥平面AD′G．17.某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40, 50),[50, 60),…,[90, 100]后得到如下频率分布直方图．(1)求分数在[70, 80)内的频率；(2)根据频率分布直方图，估计该校高一年级学生期中考试数学成绩的平均分；(3)用分层抽样的方法在80分以上的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2人，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率．18. 已知函数f(x)=12x2+ax，(a≠0)．（1）当x=1时函数y=f(x)取得极小值，求a的值；（2）求函数y=f(x)的单调区间．19. 已知椭圆C的长轴长为2√2，一个焦点的坐标为(1, 0)．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l:y=kx与椭圆C交于A，B两点，点P为椭圆的右顶点．①若直线l斜率k=1，求△ABP的面积；②若直线AP，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1⋅k2为定值．20. 已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2．数列{b n}为等比数列，且b1=1，b4=8．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若数列{c n}满足c n=a bn，求数列{c n}的前n项和T n；（3）在（2）的条件下，数列{c n}中是否存在三项，使得这三项成等差数列？若存在，求出此三项；若不存在，说明理由．2011年北京市丰台区高考数学二模试卷（文科）答案1. A2. B3. D4. C5. A6. A7. B8. C9. III 10. 3 11. (0, π) 12. 15 13. 12 14. 8,n(n+1)π415. 解：（1）∵ f(x)=sin 2x +√3sinxcosx −12 =√32sin2x −12cos2x =sin(2x −π6)，… ∴ f(−π12)=sin(−2×π12−π6)=sin(−π3)=−√32．… （2）∵ 0≤x ≤π2， ∴ 0≤2x ≤π． ∴ −π6≤2x −π6≤5π6． …∴ −12≤sin(2x −π6)≤1， 即−12≤f(x)≤1．… ∴ f(x)min =−12，此时2x −π6=−π6，∴ x =0． …∴ 当x =0时，f(x)min =−12． …16. 证明：（1）∵ E ，F 分别是BC ，CD 的中点，即E ，F 分别是BC ，CD ′的中点， ∴ EF 为△D ′BC 的中位线．∴ EF // D ′B ． …又∵ EF⊄平面AD′B，D′B⊂平面AD′B，…∴ EF // 平面AD′B．…（2）∵ G是AD的中点，BC=12AD=1，即AD=2，∴ DG=1．又∵ CD=√3，CG=√2，∴ 在△DGC中，DG2+GC2=DC2∴ DG⊥GC．…∴ GC⊥D′G，GC⊥AG．∵ AG∩D′G=G，∴ GC⊥平面AD′G．…又∵ GC⊂平面CD′G，∴ 平面CD′G⊥平面AD′G．…17. 解：(1)分数在[70, 80)内的频率为：1−(0.010+0.015+0.015+0.025+0.005)×10=1−0.7=0.3．(2)平均分为：x¯=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71．(3)由题意，[80, 90)分数段的人数为：0.25×60=15人；[90, 100]分数段的人数为：0.05×60=3人；∵ 用分层抽样的方法在80（分）以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本，∴ [80, 90)分数段抽取5人，分别记为A，B，C，D，E；[90, 100]分数段抽取1人，记为M．因为从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90（分），则另一人的分数一定是在[80, 90)分数段，所以只需在分数段[80, 90)抽取的5人中确定1人．设“从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于9”为事件A，则基本事件空间包含的基本事件有：(A, B)，(A, C)，(A, D)，(A, E)，(B, C)，(B, D)，(B, E)，(C, D)，(C, E)，(D, E)，(A, M)，(B, M)，(C, M)，(D, M)，(E, M)共15种．事件A包含的基本事件有：(A, M)，(B, M)，(C, M)，(D, M)，(E, M)5种．∴ 恰有1人的分数不低于9的概率为P(A)=515=13．18. 解：（1）函数f(x)的定义域为(−∞, 0)∪(0, +∞)，…f′(x)=x−a x 2． …∵ x =1时函数y =f(x)取得极小值，∴ f ′(1)=0． … ∴ a =1． …当a =1时，在(0, 1)内f ′(x)<0，在(1, +∞)内f ′(x)>0，… ∴ x =1是函数y =f(x)的极小值点．∴ a =1有意义． … （2）f(x)的定义域为(−∞, 0)∪(0, +∞)， f′(x)=x −a x 2=x 3−a x 2．令f ′(x)=0，得x =√a 3． … ①当a <0时，√a )√a ，0)，(0, +∞)；②当a >0时，∴ 当a >0时，函数y =f(x)的单调递减区间为(−∞, 0)，(0,√a )，单调递增区间为(√a ，+∞)．…19. 解：（1）依题意椭圆的焦点在x 轴上，且c =1，2a =2√2，… ∴ a =√2，b 2=a 2−c 2=1． … ∴ 椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1． … （2）①{x 2+2y 2=2y =x …∴ {x =√63y =√63或 {x =−√63y =−√63，… 即A(√63，√63)，B(−√63，−√63)，P(√2，0)． 所以S △ABP =12⋅√2⋅2√63=2√33． … ②证明：设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)． 椭圆的右顶点为P(√2，0)联立方程{x 2+2y 2=2y =kx ，消y 整理得 (2k 2+1)x 2=2，不妨设x 1>0>x 2，∴ x 1=√22k 2+1，x 2=−√22k 2+1；y 1=k√22k 2+1，y 2=−k√22k 2+1．…k AP ⋅k BP =1x −√22x −√2=12x x −√2(x +x )+2=−k 222k 2+12−22k 2+1=−2k 2−2+4k 2+2=−12∴ k AP ⋅k BP 为定值−12． …20. 解：（1）∵ 数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =n 2， ∴ 当n ≥2时，a n =S n −S n−1=n 2−(n −1)2=2n −1． 当n =1时，a 1=S 1=1亦满足上式， 故a n =2n −1，(n ∈N ∗)．又数列{b n }为等比数列，设公比为q ， ∵ b 1=1，b 4=b 1q 3=8，∴ q =2． ∴ b n =2n−1(n ∈N ∗)． （2）c n =a b n =2b n −1=2n −1．T n =c 1+c 2+c 3+...c n =(21−1)+(22−1)+...+(2n −1)=(21+22+...2n )−n =2(1−2n )1−2−n ．所以 T n =2n+1−2−n ．（3）假设数列{c n }中存在三项c m ，c k ，c l 成等差数列，不妨设m <k <l(m, k, l ∈N ∗) 因为 c n =2n −1，所以 c m <c k <c l ，且三者成等差数列． 所以 2c k =c l +c m ，即2(2k −1)=(2m −1)+(2l −1)，变形可得：2⋅2k =2m +2l =2m (1+2l−m ) 所以 2k+12m =1+2l−m ，即2k+1−m =1+2l−m ． 所以 2k+1−m −2l−m =1．因为m <k <l(m, k, l ∈N ∗)，所以 2k+1−m ，2l−m 均为偶数，而1为奇数， 所以等式不成立．所以数列{c n }中不存在三项，使得这三项成等差数列．。

2011届高考二模数学试卷文科数学命题人：胡全新 何春阳注意：本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。

时量120分钟。

满分150分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设合集{0,1,2,3,4},{0,3,4},{1,3},()U U A B C A B === 则= （ ）A ．{2}B ．{1，2，3}C ．{1，3}D ．{0，1，2，3，4}2．在样本的频率分布直方图中，共有5个长方形，若正中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的14，且样本容量为100，则正中间的一组的频数为（ ） A ．80B ．0.8C ．20D ．0.23．一组数据4，5，12，7，11，9，8，则下面叙述正确的是 （ ） A ．它们的中位数是7，总体均值是8 B ．它们的中位数是7，总体方差是52 C ．它们的中位数是8，总体方差是528D ．它们的中位数是8，总体方差是5274．在区间[,]22ππ-上随机取一个,sin x x 的值介于1122-与之间的概率为（ ）A ．13B ．2π C ．12D ．235．已知实数m 是2，8的等比中项，则双曲线221yx m-=的离心率为（ ）A ．5B ．52C ．3D ．26．设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为,l P 为抛物线上一点，,P A l A ⊥为垂足，如果直线AF 斜率为3-，那么|PF|=（ ）A ．43B ．8C ．83D ．167．若0,0,4a b a b >>+=且，则下列不等式恒成立的是 （ ）A ．112a b> B ．111ab+≤ C ．2ab ≥ D ．228a b +≥8．若函数s i n ()(0,0,||)2y A x A πωϕωϕ=+>><在一个周期内的 图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点和最低点，且O MO N ⋅=（O 为坐标原点），则A= （ ） A ．6π B ．712π C ．76π D ．73π二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，满分35分。

2012年北京市昌平区高考数学二模试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 若集合A ={x|x >0}，B ={x|x 2<4}，则A ∩B =( )A {x|−2<x <0}B {x|0<x <2}C {x|−2<x <2}D {x|x >−2} 2. “x >1”是“lgx >0”的（ ）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 3. 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） A y =lgx B y =tanx C y =3x D y =x 134. 已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A 43 B 83 C4 D 85.已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则φ=( )A −π4B π6C π3D 5π126. 爬山是一种简单有趣的野外运动，有益于身心健康，但要注意安全，准备好必需物品，控制好速度．现有甲、乙两人相约爬山，若甲上山的速度为v 1，下山的速度为v 2(v 1≠v 2)，乙上下山的速度都是v 1+v 22（甲、乙两人中途不停歇），则甲、乙两人上下山所用的时间t 1，t 2的关系为( )A t 1>t 2B t 1<t 2C t 1=t 2D 不能确定7. 四面体的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，记其中最大的面积为S ，则∑43S 的取值范围是（ ）A (13，2] B [13，2] C (23,43] D [23,43]8. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 7−1)3+2012(a 7−1)=1，(a 2006−1)3+2012(a 2006−1)=−1，有下列结论：①S 2012=−2012； ②S 2012=2012； ③a 2012>a 7； ④a 2012<a 7．其中正确的结论序号是（ ）A ①②B ①③C ②③D ②④二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9. −i(1−2i )=________．10. 若向量a →，b →满足a →|=2，a →⋅b →=3，cos <a →，b →>=34，则|b →|=________．11. 已知双曲线的方程为x 24−y 2=1，则其渐近线的方程为________，若抛物线y 2=2px 的焦点与双曲线的右焦点重合，则p =________．12. 如图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值．若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值有________个．13. 若变量 x ，y 满足约束条件{x ≤0y ≥0y −x ≤4表示平面区域M ，则平面区域M 的面积是________；当−4≤a ≤2时，动直线x +y =a 所经过的平面区域M 的面积为________．14. 若对于定义在R 上的函数f(x)，其函数图象是连续不断，且存在常数λ(λ∈R)，使得f(x +λ)+λf(x)=0对任意的实数x 成立，则称f(x)是λ−伴随函数．有下列关于λ−伴随函数的结论：①f(x)=0是常数函数中唯一一个λ−伴随函数； ②f(x)=x 2是一个λ−伴随函数； ③12−伴随函数至少有一个零点．其中不正确的结论的序号是________．（写出所有不正确结论的序号）三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知向量 a →=(cosθ, sinθ)，b →=(−√3，1)，−π2≤θ≤π2． （1）当 a →⊥b →时，求θ的值； （2）求 a →⋅b →的取值范围．16. 某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X 依次为1，2，3，4，5．现从一批日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如表所示：（1）若所抽取的20件日用品中，等级系数为2的恰有4件，求a ，b ，c 的值；（2）在（1）的条件下，从等级为4的2件日用品和等级为5的3件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．17.在正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 为AD 中点，F 为B 1C 1中点．（1）求证：A 1F // 平面ECC 1；（2）在CD 上是否存在一点G ，使BG ⊥平面ECC 1？若存在，请确定点G 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．18. 已知函数f(x)=4lnx +ax 2−6x +b （a ，b 为常数），且x =2为f(x)的一个极值点． （1）求a 的值；（2）求函数f(x)的单调区间；（3）若函数y =f(x)有3个不同的零点，求实数b 的取值范围． 19. 已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)，过点B(0, 1)，离心率为2√23． （I ）求椭圆C 的方程；（II ）是否存在过点P(0, 2)的直线l 与椭圆交于M ，N 两个不同的点，且使PM →=12PN →成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．20. 设数列{a n }的首项a 1=−12，前n 项和为S n ，且对任意n ，m ∈N ∗都有S n S m=n(3n−5)m(3m−5)，数列{a n }中的部分项{a b k }(k ∈N ∗)成等比数列，且b 1=2，b 2=4． （1）求数列{a n }与{b n }与的通项公式； （2）令f(n)=1bn+1，并用x 代替n 得函数f(x)，设f(x)的定义域为R ，记c n =f(0)+f(1n )+f(2n )+⋯+f(nn )(n ∈N ∗)，求∑1c i c i+1n i=1．2012年北京市昌平区高考数学二模试卷（文科）答案1. B2. C3. D4. B5. B6. A7. C8. D9. −2−i 10. 211. y =±12x ,2√512. 3 13. 8,7 14. ①②15. 解：（1）由题意可得 a →⋅b →=−√3cosθ+sinθ=0，… 求得tanθ=√3，由 −π2≤θ≤π2，可得 θ=π3． …（2）由a →⋅b →=−√3cosθ+sinθ=2sin(θ−π3)… ∵ −π2≤θ≤π2， ∴ −5π6≤θ−π3≤π6，…∴ −1≤sin(θ−π3)≤12， ∴ −2≤2sin(θ−π3)≤1，…∴ −2≤a →⋅b →≤1，即 a →⋅b →的取值范围 为[−2, 1]．…16. 解：（1）由频率分布表得a +b +0.45+0.1+0.15=1，即a +b =0.3． … 因为抽取20件日用品中，等级系数为2的恰有4件，所以b =420=0.2，解得a =0.1，c =20×0.1=2，…从而a =0.35−b −c =0.1， 所以a =0.1，b =0.2，c =2…（2） 从日用品x 1，x 2，y 1，y 2，y 3中任取两件，所有可能的结果为{x 1, y 1}，{x 1, y 2}，{x 1, y 3}，{x2, y1}，{x2, y2}，{x2, y3}，{y1, y2}，{y1, y3}，{y2, y3}，{x1, x2}，共计10种，…设事件A表示“从日用品x1，x2，y1，y2，y3中任取两件，其等级系数相等”，则A包含的基本事件{x1, x2}，{y1, y2}，{y1, y3}，{y2, y3}共4个，基本事件总数为10，…故所求事件的概率P(A)=410=0.4．…17. 解：（1）在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，取BC中点M，连接AM，FM．∵ 平行四边形BB1C1C中，F、M分别是B1C1、BC的中点，∴ FM // B1B且FM=B1B．…∵ 正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1 // B1B且AA1=B1B∴ FM // A1A且FM=A1A，得四边形AA1FM是平行四边形．∴ FA1 // AM．∵ 平行四边形ABCD中，E为AD中点，M为BC中点，∴ AE // MC且AE=MC．得四边形AMCE是平行四边形．…∴ CE // AM，可得CE // A1F．∵ A1F⊄平面ECC1，EC⊂平面ECC1，∴ A1F // 平面ECC1．…（2）结论：在CD上存在一点G，使BG⊥平面ECC1取CD中点G，连接BG…在正方形ABCD中，DE=GC，CD=BC，∠ADC=∠BCD，∴ △CDE≅△BCG，得∠ECD=∠GBC．…∵ ∠CGB+∠GBC=90∘，所以∠CGB+∠DCE=90∘，得BG⊥EC．…∵ CC1⊥平面ABCD，BG⊂平面ABCD，∴ CC1⊥BG，又∵ EC∩CC1=C．EC、CC1⊆平面ECC1．∴ BG⊥平面ECC1．故在CD上存在中点G，使得BG⊥平面ECC1．…18. 解：（1）函数f(x)的定义域为(0, +∞)…∵ f′(x)=4x+2ax−6，x=2为f(x)的一个极值点…∴ f′(2)=2+4a−6=0，∴ a=1．…（2）由（1）知f(x)=4lnx+x2−6x+b∴ f′(x)=4x +2x−6=2x2−6x+4x=2(x−2)(x−1)x…由f′(x)>0可得x>2或x<1，由f′(x)<0可得1<x<2．∴ 函数f(x)的单调递增区间为(0, 1)和(2, +∞)，单调递减区间为(1, 2)．…（3）由（2）可知函数f(x)在(0, 1)单调递增，在(1, 2)单调递减，在(2, +∞)单调递增．且当x =1或x =2时，f′(x)=0． …∴ f (x) 的极大值为f(1)=4ln1+1−6+b =b −5…f (x)的极小值为f(2)=4ln2+4−12+b =4ln2−8+b… 由题意可知{f(1)=b −5>0f(2)=4ln2−8+b <0则5<b <8−4ln2…19. 解：(I)由题意可知b =1，ca =√1−(ba )2=√1−1a 2=2√23，解得a 2=9故椭圆M 的方程为x 29+y 2=1…（II ）∵ PM →=12PN →，∴ 点M 为PN 的中点，设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，则 x 2=2x 1①…（1）当直线的斜率k 不存在时，M(0, 1)，N(0, −1)，P(0, 2)，不符合条件，此时直线方程不存在．…（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为y =kx +2 由{y =kx +2x 29+y 2=1，消去y 得(9k 2+1)x 2+36kx +27=0由△=(36k)2−4•(9k 2+1)⋅27>0，解得k 2>13(∗) … x 1+x 2=−36k9k 2+1②，x 1x 2=279k 2+1③由①②③可得消去x 1，x 2，可得k 2=35，故k =±√155… 综上可知：存在这样直线l 的方程为：y =±√155x +2…20. 解：（1）因为s 1=a 1=−12，又s n s 1=(3n−5)n (3−5)×1所以s n =34n 2−54n ，于是有a n ={s 1(n =1)s n −s n−1(n ≥2)={−12(n =1)32n −2(n ≥2)又a 1=−12=32×1−2=s 1，所以数列{a n }的通项公式为a n =32n −2由a 2=1，a 4=4知，数列{a b k }是首项为1，公比为4的等比数列，a b k =4n−1而a b k 为等差数列{a n }中的第b k 项，是等比数列{a b k }中的第k 项，所以有4k−1=32b k −2，即b n =23(4n−1)+43（2）解：由已知f(x)=3214x +2，则f(x)+f(1−x)=32[14x +2+141−x +2]=32[14x +2+4x2(4x +1)]=34∴ c n =f(0)+f(1n)+f(2n)+⋯+f(n−1n)+f(nn) ①c n =f(n n)+f(n−1n)+⋯f(1n )+f(0) ②由①+②得，2c n =(n +1)34，所以c n =38(n +1) ∑1c i c i+1n i=1=1c1c 2+1c2c 3+⋯+1cn c n+1=649(12−13+13−14+...+1n+1−1n+2)=32n9(n+2)．。

绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修I)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试．．题卷上作答无效．．．．．．．. 3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.一、选择题(1)设集合U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则U=（M N ）I ð （A ）{}12，（B ）{}23， （C ）{}2，4 （D ）{}1，4 【答案】D【命题意图】本题主要考查集合交并补运算. 【解析】{2,3},(){1,4}U M N M N =∴=ðQ I I(2)函数0)y x =≥的反函数为（A ）2()4xy x R =∈ （B ）2(0)4xy x =≥（C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥【答案】B【命题意图】本题主要考查反函数的求法.【解析】由原函数反解得24yx =,又原函数的值域为0y ≥,所以函数0)y x =≥的反函数为2(0)4xy x =≥.(3)设向量,a b 满足||||1a b == ,12a b ⋅=-r r ,则2a b +=（A（B（C（D【答案】B【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积与长度的计算方法.【解析】2221|2|||44||14()432a b a a b b +=+⋅+=+⨯-+=r r r r r u r ,所以2a b +=r r (4)若变量x ，y 满足约束条件63-21x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则=23z x y +的最小值为（A ）17 （B ）14 （C ）5 （D ）3【答案】C【命题意图】本题主要考查简单的线性规划.【解析】作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线=23z x y +过直线x=1与x-3y=-2的交点（1，1）时取得最小值,所以最小值为5.(5)下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞【答案】A【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质.【解析】即寻找命题P ,使P a b ⇒>,且a b >推不出P ,逐项验证知可选A. (6)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =（A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5【答案】D【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用. 【解析】解法一2(2)(1)(1)[(2)12][12]442422k k k k k k S S k k k +++--=+⨯+⨯-⨯+⨯=+=，解得5k =.解法二: 221[1(1)2](12)4424k k k k S S a a k k k +++-=+=++⨯++⨯=+=，解得5k =. (7)设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9【答案】C【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性与三角函数图像变换的关系.【解析】由题意将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3π是此函数周期的整数倍,得2()3k k Z ππω⨯=∈,解得6k ω=,又0ω>,令1k =,得min 6ω=.(8)已知直二面角l αβ--,点A α∈，A C l ⊥,C 为垂足,B β∈，B D l ⊥,D 为垂 足,若2,1AB AC BD ===，则C D =（A ） 2 （B（C （D ）1【答案】C【命题意图】本题主要考查二面角的平面角及解三角形.【解析】因为l αβ--是直二面角, A C l ⊥,∴A C⊥平面βA C B C ∴⊥BC ∴=又B D l ⊥,CD ∴=(9) 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有(A) 12种 (B) 24种 (C) 30种 (D)36种【答案】B【命题意图】本题主要考查两个原理与排列组合知识，考察考生分析问题的能力. 【解析】第一步选出2人选修课程甲有246C =种方法，第二步安排剩余两人从乙、丙中各选1门课程有22⨯种选法，根据分步计数原理，有6424⨯=种选法.(10) 设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()f x =2(1)x x -,则5()2f -=(A) -12(B)1 4- (C)14(D)12【答案】A【命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法. 关键是把通过周期性和奇偶性把自变量52-转化到区间[0,1]上进行求值.【解析】由()f x 是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性得:5511111((2)()()2(12222222f f f f -=-+=-=-=-⨯⨯-=-(11)设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12CC = (A)4 (B)【答案】C【命题意图】本题主要考查圆的方程与两点间的距离公式.【解析】由题意知圆心在直线y=x 上并且在第一象限,设圆心坐标为(,)(0)a a a >,则a =,即210170a a -+=,所以由两点间的距离公式可求出128C C ===.(12)已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π【答案】D【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质.【解析】如图所示,由圆M 的面积为4π知球心O 到圆M 的距离O M =,在R t O M N∆中,30OMN ︒∠=, ∴12O N O M ==故圆N的半径r ==,∴圆N的面积为213S r ππ==.第Ⅱ卷注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。

北京市东城区2010-2011学年度综合练习（二）高三数学 （文科）2011.5一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

18、（本小题共13分）已知函数x a x x f ln )(2-=(R a ∈)．（Ⅰ）若2=a ，求证：)(x f 在(1,)+∞上是增函数； （Ⅱ）求)(x f 在[1,)+∞上的最小值． 19、（本小题共14分）已知椭圆的中心在原点O ，离心率e =，点M 为直线12y x =与该椭圆在第一象限内的交点，平行于OM 的直线l 交椭圆于,A B 两点． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求证：直线MA ，MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形． 20、(本小题共14分)已知b a ,为两个正数，且a b >，设,,211ab b ba a =+=当2≥n ，*n ∈N 时，1111,2----=+=n n n n n n b a b b a a ． （Ⅰ）求证：数列{}n a 是递减数列，数列{}n b 是递增数列； （Ⅱ）求证：)(2111n n n n b a b a -<-++； （Ⅲ）是否存在常数,0>C 使得对任意*n ∈N ，有C b a n n >-，若存在，求出C 的取值范围；若不存在，试说明理由．北京市东城区2010-2011学年度第二学期综合练习（二）高三数学参考答案 （文科） 2011.5一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1、B 2、A 3、C 4、A 5、C 6、B 7、C 8、A 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9、2- 10、4 11、10512、935 13、614、2 53n - 注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分）15、（共13分）解：（Ⅰ）因为π04A <<，且πsin()4A +=所以πππ442A <+<，πcos()4A +=． 因为ππcos cos[()]44A A =+-ππππcos()cos sin()sin 4444A A =+++45== 所以4cos 5A =． ……………………6分 （Ⅱ）因为()cos 25cos cos 1f x x A x =++ 22c o s 4c o sx x =+ 22(cos 1)2x =+-，x ∈R ．因为cos [1,1]x ∈-，所以，当cos 1x =时，()f x 取最大值6；当cos 1x =-时，()f x 取最小值2-．所以函数()f x 的值域为[2,6]-． …………………13分16、（共13分）（Ⅰ）证明：由34-=n n a S ，1n =时，3411-=a a ，解得11=a .因为34-=n n a S ，则3411-=--n n a S (2)n ≥， 所以当2n ≥时，1144n n n n n a S S a a --=-=-，C 1整理得143n n a a -=. 又110a =≠，所以{}n a 是首项为1，公比为43的等比数列. ……………………6分 Ⅱ、解：因为14()3n n a -=，由*1()n n n b a b n +=+∈N ，得114()3n n n b b -+-=.可得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b＝1)34(3341)34(1211-=--+--n n ，（2≥n ）， 当1n =时也满足，所以数列{}n b 的通项公式为1)34(31-=-n n b . ……………………13分17、（共13分）证明：（Ⅰ）连结1AC ，与1AC 交于O 点，连结OD ． 因为O ，D 分别为1AC 和BC 所以OD ∥1A B ． 又OD ⊂平面1AC D ，1A B ⊄平面1AC D ，所以1A B ∥平面1AC D ． ……………………6分（Ⅱ）在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，又AD ⊂平面ABC ， 所以1BB AD ⊥．因为AB AC =，D 为BC 中点，所以AD BC ⊥．又1BC BB B = ， 所以AD ⊥平面11B BCC ． 又CE ⊂平面11B BCC ，所以AD ⊥CE ．因为四边形11B BCC 为正方形，D ，E 分别为BC ，1BB 的中点， 所以Rt △CBE ≌Rt △1C CD ，1CC D BCE ∠=∠． 所以190BCE C DC ∠+∠= ．所以1C D ⊥CE ．又1AD C D D = ，所以CE ⊥平面1AC D ． ……………………13分18、（共13分）（Ⅰ）证明：当2=a 时，x x x f ln 2)(2-=，当),1(+∞∈x 时，0)1(2)(2>-='xx x f ， 所以)(x f 在),1(+∞上是增函数． ……………………5分（Ⅱ）解：)0(2)(2>-='x xax x f ， 当0a ≤时，'()0f x >，()f x 在[1,)+∞上单调递增，最小值为(1)1f =．当0a >，当)2,0(ax ∈时，)(x f 单调递减； 当),2(+∞∈ax 时，)(x f 单调递增． 若12≤a，即02a <≤时，)(x f 在),1[+∞上单调递增， 又1)1(=f ，所以)(x f 在),1[+∞上的最小值为1． 若12>a ，即2>a 时，)(x f 在)2,1[a 上单调递减； 在),2(+∞a上单调递增．又ln 222a a a f =-， 所以)(x f 在),1[+∞上的最小值为ln 222a a a-． 综上，当2a ≤时，()f x 在[1,)+∞上的最小值为1；当2a >时，()f x 在[1,)+∞上的最大值为ln 222a a a-．………13分 19、（共14分）解：（Ⅰ）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则2c a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得a = 所以椭圆方程为22182x y +=． ……………………5分（Ⅱ）由题意(2,1)M ，设直线l 的方程为12y x m =+． 由221,21,82y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得222240x mx m ++-=， 设直线MA ，MB 的斜率分别为12,k k ， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则11112y k x -=-，22212y k x -=-． 由222240x mx m ++-=，可得122x x m +=-，21224x x m =-，12122112121211(1)(2)(1)(2)22(2)(2)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=----12211211(1)(2)(1)(2)22(2)(2)x m x x m x x x +--++--=--121212(2)()4(1)(2)(2)x x m x x m x x +-+--=--21224(2)(2)4(1)(2)(2)m m m m x x -+----=-- 2212242444(2)(2)m m m m x x --+-+=--0=．即120k k +=．故直线MA ，MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形．………………14分20、(共13分)(Ⅰ)证明：易知对任意*n ∈N ，0>n a ，0>n b ．由,b a ≠可知,2ab ba >+即11b a >． 同理，11112b a b a >+，即22b a >． 可知对任意*n ∈N ，n n b a >．0221<-=-+=-+nn n n n n n a b a b a a a ， 所以数列{}n a 是递减数列．0)(1>-=-=-+n n n n n n n n b a b b b a b b ，所以数列{}n b 是递增数列． ……………………5分(Ⅱ)证明：)(212211n n n n n n n n n n n n b a b b b a b a b a b a -<-+<-+=-++． ……………………10分 （Ⅲ）解：由)(2111n n n n b a b a -<-++，可得1)21()(-⋅-<-n n n b a b a ． 若存在常数,0>C 使得对任意*n ∈N ，有C b a n n >-，则对任意*n ∈N ，C b a n >⋅--1)21()(．即C b a n222-<对任意*n ∈N 成立． 即Cb a n 22log 2-<对任意*n ∈N 成立． 设][x 表示不超过x 的最大整数，则有Cba Cb a 22log 1]22[log 22->+-． 即当1]22[log 2+-=C b a n 时，Cba n 22log 2->． 与Cb a n 22log 2-<对任意*n ∈N 成立矛盾． 所以，不存在常数,0>C 使得对任意*n ∈N ，有C b a n n >-． ……14分。

2011年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M N ，则P 的子集共有A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个2．复数512ii=-A ．2i -B ．12i -C ． 2i -+D ．12i -+3．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是A ．3y x =B ．||1y x =+C ．21y x =-+ D ．||2x y -=4．椭圆221168x y +=的离心率为A ．13 B ．12C ．33D ．225．执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是A ．120B ． 720C ．1440D ．50406．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为A ．13 B ． 12C ．23D ．347．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=A ． 45-B ．35-C ．35D ．458．在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧 视图可以为9．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，||12AB =，P 为C 的准线上一点，则ABP ∆的面积为 A ．18 B ．24C ． 36D ． 4810．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为A ．1(,0)4-B ．1(0,)4C ．11(,)42D ．13(,)2411．设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则 A ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线4x π=对称 B ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线2x π=对称 C ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线4x π=对称D ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线2x π=对称12．已知函数()y f x =的周期为2，当[1,1]x ∈-时2()f x x =，那么函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象的交点共有A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a+b 与向量ka-b 垂直，则k=_____________．14．若变量x ，y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值是_________．15．ABC ∆中，120,7,5B AC AB =︒==，则ABC ∆的面积为_________．16．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________． 三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 中，113a =，公比13q =．（I ）n S 为{}n a 的前n 项和，证明：12nn a S -=（II ）设31323log log log n n b a a a =+++，求数列{}n b 的通项公式．18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ．（I ）证明：PA BD ⊥； （II ）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC 的高． 19．（本小题满分12分） 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：A 配方的频数分布表 指标值分组 [90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数 8 20 42228B 配方的频数分布表指标值分组 [90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数 412423210（I ）分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；（II ）已知用B 配方生产的一种产品利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为2,942,941024,102t y t t -<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B 配方生产的上述100件产品平均一件的利润． 20．（本小题满分12分） 在平面直角坐标系xOy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上． （I ）求圆C 的方程；（II ）若圆C 与直线0x y a -+=交于A ，B 两点，且,OA OB ⊥求a 的值．21．（本小题满分12分）已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=． （I ）求a ，b 的值；（II ）证明：当x>0，且1x ≠时，ln ()1xf x x >-． 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为ABC ∆的边AB ，AC 上的点，且不与ABC ∆的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根．（I ）证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；（II ）若90A ∠=︒，且4,6,m n ==求C ，B ，D ，E 所在圆的半径． 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos (22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），M 为1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，点P 的轨迹为曲线2C ． （I ）求2C 的方程；（II ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求|AB|．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()||3f x x a x =-+，其中0a >． （I ）当a=1时，求不等式()32f x x ≥+的解集．（II ）若不等式()0f x ≤的解集为｛x|1}x ≤-，求a 的值．2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试卷参考答案一、选择题（1）B （2）C （3）B （4）D （5）B （6）A （7）B （8）D （9）C （10）C （11）D （12）A 二、填空题（13）1 （14）-6 （15）4315 （16）31三、解答题 （17）解：（Ⅰ）因为.31)31(311n n n a =⨯=- ,2311311)311(31nn n S -=--= 所以,21nn a S --（Ⅱ）n n a a a b 32313log log log +++= )21(n +++-=2)1(+-=n n所以}{n b 的通项公式为.2)1(+-=n n b n (18)解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=︒=，由余弦定理得BD =从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面P AD. 故 P A ⊥BD（Ⅱ）如图，作DE ⊥PB ，垂足为E 。