江苏省专科第十届高等数学竞赛题

高等数学竞赛 不定积分不定积分的概念与性质1、设)10(tan 2cos )(sin 22<<+='x x x x f ，求)(x f 2、设x x f +='1)(ln ，求)(x f3、已知]1)([)(-'=-'x f x x f ，试求函数)(x f 利用基本积分法求不定积分 一、利用凑微分法求不定积分 1、 求下列不定分; (1)⎰+dx x x x cos sin 12cos （2）⎰++dx x x 5212（3）⎰+x x dx22cos 2sin （4）⎰+-dx x x x x 5)sin (cos cos sin2、求下列不定积分 （1）⎰+++dx e x x e x x x x )13()(22 （2）⎰+dx x x x )1(ln )ln (23（3）dx x x ⎰+211arctan（4）⎰+-dx xe x xx x )cos 1(cos sin cos sin 2 （5）⎰++dx x x x x x )ln 1(ln 2ln 2 二、利用第二换元积分法求不定积分1、三角代换求下列积分 （1）⎰-+221)1(xxxdx（2）⎰+2323)1(x dx x （3）dx x x ⎰-229 （4）⎰-+211x dx2、倒代换（即令tx 1=）求下列积分 （1）)0(222>+⎰a x a x dx （2）⎰+)2(7x x dx3、指数代换（令,t a x=则tdt a dx ⋅=ln 1） （1）⎰++xx x dx4212 （2）⎰+++6321x x x ee e dx4、利用分部积分法求不定积分（1）⎰+dx e x x22)1( （2）⎰++xdx x x 2cos )52(3（3）⎰xdx x arccos 2（4）⎰dx x x 23)(ln （5）⎰xdx e xcos5、建立下列不定积分的递推公式 （1）⎰+=dx a x I n n )(122 （2）⎰=xdx I nn tan有理函数的积分 1、求下列不定积分 （1）⎰+++dx x x x 3422 （2）⎰-2)1(x x dx （3）⎰++)1)(21(2x x dx 2、求下列不定积分（1）⎰+)2(10x x dx （2）⎰+-dx x x n n 112 （3）⎰-+dx x x 1003)1(12 （4）⎰+xx dxx 3811简单无理函数积分 1、dx xx ⎰+31 2、dx x x x x ⎰+++1)1(三角有理式积分 1、⎰+dx x sin 1 2、⎰dx x3sin 1 3、⎰+dx x xsin 1sin4、⎰++dx x x x cos 1sin 5、⎰xdx x x 3cos 2cos 4sin 6、⎰xdx x 65cos sin含有反三角函数的不定积分1、⎰+xdx x x arctan 1222、⎰-dx x x32)1(arccos 抽象函数的不定积分1、⎰⎭⎬⎫⎩⎨⎧'''-'dx x f x f x f x f x f 32)]([)()()()( 2、dx x f x x f ⎰')(ln )(ln 分段函数的不定积分例如：设⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤+<=1,2;10,1;0,1)(x x x x x x f 求⎰dx x f )(.高等数学竞赛 定积分比较定积分大小 1、 比较定积分⎰21ln xdx 和⎰212)(ln dx x 的大小2、 比较定积分⎰+1)1ln(dx x 和⎰+101arctan dx xx的大小利用积分估值定理解题一、估值问题 1、试估计定积分⎰+4542)sin 1(ππdx x 的值2、试估计定积分⎰333arctan xdx x 的值二、不等式证明1、证明不等式：e dx ex ≤≤⎰1212、证明不等式：⎰-≤+≤1143812dx x 三、求极限1、⎰+∞>-21021limdx x x nn 2、dx ee x x x n n ⎰+∞>-101lim 关于积分上限函数及牛顿-莱布尼兹公式问题1、求下列导数： （1）⎰+=3241)(x x tdt x F ；（2）由方程⎰⎰=+y x t dt tt dt e 0221sin 确定的隐函数)(x f y =的导数dxdy 2、设)(x f 在),0[+∞上连续且满足⎰+=)1(02)(x x x dt t f ，求)2(f3、设)(x f 为关于x 的连续函数，且满足方程⎰⎰+++=11816298)()(x xC x x dt t f t dt t f ，求)(x f 及常数C .4、求下列极限：（1）xx tx ex tdt te 62sin lim⎰>- （2）25020)cos 1(lim xdt t xx ⎰-+>-5、设)(x f 是连续函数，且⎰+=1)(2)(dt t f x x f ，求)(x f .6、已知8)()(8='⎰dx x f x f 且0)0(=f ，求⎰2)(dx x f 及)(x f定积分的计算一、分段函数的定积分1、设;,2,20,)(⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤=l x l c l x kx x f 求⎰=Φx dt t f x 0)()( 2、求定积分⎰-222),max (dx x x二、被积函数带有绝对值符号的积分1、求下列定积分： （1）⎰eedx x 1ln （2）⎰-1dt x t t2、求定积分⎰--223cos cos ππdx x x 的值三、对称区间上的积分1、设)(x f 在],[a a -上连续，计算⎰-++1132)cos 1sin (dx xxx x 2、设)(x f 在),(+∞-∞上连续，且对任何y x ,有)()()(y f x f y x f +=+，计算⎰-+112)()1(dx x f x3、计算积分⎰--+=4421sin ππdx e xI x4、设)(),(x g x f 在区间)0](,[>-a a a 上连续，)(x g 为偶函数，且)(x f 满足条件A x f x f =-+)()(（A 为常数）.（1）证明：⎰⎰-=aaadx x g A dx x g x f 0)()()((2) 利用（1）的结论计算定积分⎰-22arctan sin ππdx e x x四、换元积分法 1、求下列定积分： （1）⎰-2141)1(arcsin dx x x x （2）⎰--2ln 021dx ex（3）dx xx xx ⎰---201010cos sin 4cos sin π五、分部积分1、设)(x f 有一个原函数为x xsin ，求⎰'ππ2)(dx x f x2、⎰+31arcsin dx xxx3、⎰-+102)2()1ln(dx x x积分等式的证明一、换元法（适用于被积函数或其主要部分仅给出连续条件） 1、若函数)(x f 连续，证明： （1）⎰⎰=2023)(21)(a adx x xf dx x f x（2）dx x a b a f a b dx x f ba⎰⎰-+-=1])([)()(（3）⎰⎰+=+x x dx x dx x 112121111 2、设)(x f 连续，求证dx x f dx x xf ⎰⎰=πππ)(sin 2)(sin ，并计算⎰+π23cos 1sin dx xxx 3、设)(x f 连续，且关于T x =对称，b T a <<，z 证明：⎰⎰⎰-+=bab TbT adx x f dx x f dx x f 2)()(2)(（提示：)(x f 关于T 对称，即)()(x T f x T f -=+）二、分部积分法（适用于被积函数中含有)(x f '或变上限积分的命题） 例：设)(x f '连续，⎰-'=xdt t a f t f x F 0)2()()(，证明：)2()0()()(2)2(2a f f a f a F a F -=-三、构造辅助函数法（适用于证明在积分限中至少存在一点ξ或0x 使等式成立的命题） 解题思路：（1）将ξ或0x 改成x ，移项使等式一端为零，则另一端即为所作的辅助函数)(x F 或)(x F '。

第十届高等数学竞赛理工类（一）试题答案南昌大学第十届高等数学竞赛(前湖校区理工类)试题答案序号：姓名：学生编号：学院（学科部）：检查室：考试号：2022年10月13日题号1，15，2，15，3，7，4，8，5，9，6，8，9，6，总分，累积分数签名：这个卷有X页，主要问题，考试时间是8:30～1130评分审阅者。

填空（每个问题3分，共15分）1。

曲面x2？2y2？3z2？21点？1.2,2? 正态方程是3nx？1岁？2z？2.1.461? 十、1.十、1.十、1.2.设n为正整数，则Lim=x？1n 3.设置向量a？？1,2,3?， B1,1,0?，如果非负实数k构成向量a？KB和a？KB垂直，然后K？(1?x)n?17.4.穿过直线x？1岁？2z？2.2.32并且垂直于平面3x？2岁？Z5.0的平面方程是x？8岁？13z？9? 0 N5。

幂级数1.N212n？3x的收敛域是？？2,2?. N2n第1页，共6页二、单项选择题(每题3分，共15分)得分评阅人1、设f?x??2x?3x?2，则当x?0时（b）(a)f?x?与x是等价无穷小.(b)f?x?与x是同阶但非等价无穷小.(c)f?x?是比x低阶的无穷小.(d)f?x?是比x高阶的无穷小.2、x?0是f?x??2?12?11x1x的（b）.(a)可去间断点.(b)跳跃间断点.(c)无穷间断点.(d)振荡间断点.?g(x),x?0?3、设f?xx其中g?x?在x?0的某个邻域内二阶导数存在，且g?0??0，??0,x?0g??0??0，则（c）(a)f?x?在x?0处不连续.(b)f?x?在x?0处连续但不可导.(c)f?x?在x?0处可导，但导函数在x?0处不一定连续.(d)f?x?在x?0处导函数连续.4、设线性无关的函数y1?x?，y2?x?，y3?x?均是二阶非齐次线性方程yp?x?y??q?x?y?f?x?的解，c1,c2是任意常数，则该非齐次方程的通解是(d)(a)c1y1?c2y2?y3.(b)c1y1?c2y2??c1?c2?y3.(c)c1y1?c2y2??1?c1?c2?y3.(d)c1y1?c2y2+?1?c1?c2?y3.5、设a为常数，则级数?sinna1n2??（a）.n?n?1??(a)发散.(b)绝对收敛.(c)条件收敛.(d)敛散性与a的取值有关.第2页共6页评分评审员3，（满分7分）找到极限limx2？lnarctan（x？1）？lnarctanx？。

2000年江苏省高等数学竞赛试题（本科一级）一.填空（每题3分，共15分）1.设()f x =()f f x =⎡⎤⎣⎦0x x ≥<⎪⎩ 2. 1limln 1x x x xx x →-=-+ 2- 3. ()14451x dx x =+⎰10553(331)15(1)x x C x -++++ 4.通过直线122123:32;:312321x t x t L y t L y t z t z t =-=+⎧⎧⎪⎪=+=-⎨⎨⎪⎪=-=+⎩⎩的平面方程为20x z --=5..设(),z z x y =由方程,0y z F x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭确定（F 为任意可微函数），则z zxy x y∂∂+=∂∂z 二选择题（每题3分，共15分）1.对于函数112121xx y -=+，点0x =是 B .A. 连续点；B. 第一类间断点；C. 第二类间断点；D 可去间断点2.设()f x 可导，()()()1sin F x f x x =+，若欲使()F x 在0x =可导，则必有（ B ）A. ()00f '=；B. ()00f =；C. ()()000f f '+=；D ()()000f f '-=3. ()00sin limx y x y x y →→+=-（ D ） A. 等于1； B. 等于0；C. 等于1-；D 不存在 4.若()()0000,,,x y x y f f xy∂∂∂∂都存在，则(),f x y 在()00,x y ( D )A. 极限存在，但不一定连续；B. 极限存在且连续；C. 沿任意方向的方向导数存在； D 极限不一定存在，也不一定连续5.设α为常数，则级数21sin n n n α∞=⎛ ⎝∑ ( C ) A. 绝对收敛 B. 条件收敛； C. 发散； D 收敛性与α取值有关三（6分）设()f x 有连续导数，()()00,00f f '=≠，求()()2002limx xx f t dtxf t dt→⎰⎰解：()()()2222000022()4()4()lim=limlim lim 1()3()()2()3()x xxx x x x f t dtf x xf x f x f x f x xf x xf t dtf t dt xf x f x x→→→→''==='++'+⎰⎰⎰四（6分）已知函数()y y x =由参数方程(1)010y x t t te y +-=⎧⎨++=⎩确定，求202t d ydx =解：21x t '=-，2x ''=，得(0)1x '=-，(0)2x ''=，易知01t y ==-时,(1)0y y e te y '++=，得1(0)y e'=-，22()(1)0yy y e y te y te y ''''+++=，得22(0)y e''=20023222=t t d y x y y x edx x e==''''''--=' 五（6分）设()(),f x g x 在[],a b 上可微，且()0g x '≠，证明存在一点()c a c b <<，使得()()()()()()f a f c f cg c g b g c '-='-。

1、设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导，且 f(a) = 0，f(b) = 1。

若存在ξ∈ (a,b) 使得 f'(ξ) = 2，则以下哪个结论必然成立？A. ∀x ∈ (a, b), f(x) ≤ 2x - aB. ∃x₁, x₂∈ (a, b), f(x₁) < f(x₂)C. ∀x ∈ (a, ξ), f(x) < (x - a)/(b - a)D. ∃x₀∈ (a, b), f(x₀) = 1/2 且 f'(x₀) = 0（答案）2、设数列 {a_n} 满足 a_1 = 1，a_{n+1} = a_n + 2/a_n，则以下关于数列 {a_n} 的说法正确的是？A. {a_n} 是递减数列B. 对任意正整数 n，有 a_n < n + 1C. 存在正整数 k，使得 a_k < k 但 a_{k+1} > k + 1D. 对任意正整数 n，有 a_n ≥√(2n + 1)（答案）3、设函数 f(x, y) = x2 + y2 - 2x - 2y + 1，则 f(x, y) 在区域 D = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 2} 上的最小值为？A. -1B. 0C. 1 - √2（答案）D. 2 - 2√24、设向量 a = (1, 2)，b = (2, 1)，c = (1, -2)，若 (a + λb) ⊥ c，则实数λ的值为？A. -1/2B. 1/2（答案）C. -2D. 25、设函数 f(x) = x3 - 3x2 + 2，则 f(x) 的极值点个数为？A. 0B. 1C. 2（答案）D. 36、设矩阵 A = [1 2; 3 4]，B = [2 0; 1 1]，则 AB - BA =？A. [0 -2; 2 0]（答案）B. [2 2; -2 -2]C. [0 2; -2 0]D. [-1 -2; 3 4]7、设函数 f(x) = ex - x - 1，则不等式 ex > x2 + x + 1 的解集为？A. (-∞, 0)B. (0, +∞)（答案）C. (-∞, -1) ∪ (1, +∞)D. (-1, 0) ∪ (0, 1)8、设函数 f(x) = (x - a)(x - b)(x - c)，其中 a, b, c 是互不相等的实数。

江苏省高等数学竞赛历年真题（专科）2012年江苏省第十一届高等数学竞赛试题（专科）一．填空（4分*8=32分） 1.=-+-+→561434lim4x x x2. =+++∞→433321limn n n 3. =?→xx tdtt x x 3230sin sin lim4.)1ln(x y -=，则=)(n y5.=?xdx x arctan 26.=211arccosdx xx 7.点)3,1,2(-到直线22311zy x =-+=-的距离为 8.级数∑∞=--21)1(n knn n 为条件收敛，则常数k 的取值范围是二．（6分*2=12分）（1）求))(13(lim 31223∑=∞→+-i n i n n n（2）设)(x f 在0=x 处可导，且,2)0(,1)0(='=f f 求21)1(cos limxx f x --→三．在下面两题中，分别指出满足条件的函数是否存在？若存在，举一例，若不存在，请给出证明。

（4分+6分=10分）（1）函数)(x f 在),(δδ-上有定义（0>δ），当0<<-x δ时，)(x f 严格增加，当δ<<="" 0时，)(x="" f="" p="" 严格减少，)(lim="">x f x →存在，且)0(f 是)(x f 的极小值。

（2）函数)(x f 在),(δδ-上一阶可导（0>δ），)0(f 为极值，且))0(,0(f 为曲线)(x f y =的拐点。

四．（10分）求一个次数最低的多项式)(x p ，使得它在1=x 时取得极大值13，在4=x 时取得极小值－14。

五．（12分）过点)0,0(作曲线x e y -=Γ:的切线L ，设D 是以曲线Γ、切线L 及x 轴为边界的无界区域。

（1）求切线L 的方程。

2006年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级、民办本科）一.填空（每题5分，共40分） 1.22232323212lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭ 2. ()23001lim 1x t x e dt x -→-=⎰3. )lim 0x ax b →+∞+=，则,a b = 4.()()()2sin 1,0x f x x x e f ''=++=5. 设由y z x ze +=确定(,)z z x y =，则(),0e dz =6.函数()()2,x f x y e ax b y -=+-中常数,a b 满足条件 时，()1,0f -为其极大值.7.交换二次积分的次序()211,x e e x dx f x y dy -=⎰⎰ .8.设22:2,02D x x y y x ≤+≤≤≤，则D= 二.（8分）设()()2sin 0ln 10ax b x c x f x x x ⎧++≤⎪=⎨+>⎪⎩，试问,,a b c 为何值时，()f x 在0x =处一阶导数连续，但二阶导数不存在.三.（9分）过点()1,5作曲线3:y x Γ=的切线L ，（1）求L 的方程；（2）求Γ与L 所围成平面图形D 的面积；（3）求图形D 的0x ≥部分绕x 轴旋转一周所得立体的体积.四（8分）设()f x 在(),-∞+∞上是导数连续的函数，()00f =，()()1f x f x '-≤， 求证：()[)1.0,x f x e x ≤-∈+∞五（8分）求()120arctan 1xdx x +⎰六（9分）本科三级做：设()()()()()()2222tan ,0,0,0,0,0x y x y x y x yf x y x y -⎧+≠⎪+=⎨⎪=⎩，证明(),f x y 在点()0,0处可微，并求()()0,0,df x y民办本科做：设圆柱面221(0)x y z +=≥被柱面222z x x =++截下的有限部分为∑.为计算曲面∑的面积，用薄铁片制作∑的模型，()(1,0,5),(1,0,1),1,0,0A B C --为∑上的三点，将∑沿线段BC 剪开并展成平面图形D ，建立平面在极坐标系，使D 位于x 轴正上方，点A 坐标为()0,5，写出D 的边界的方程，并求D 的面积.七（9分）本科一级考生做：用拉格朗日乘数法求函数()22,2f x y x y =++在区域2224x y +≤上的最大值与最小值.八（9分）设D 为,,02y x x y π===所围成的平面图形，求()cos D x y dxdy +⎰⎰。

α ⎪2018 年第十届全国大学生数学竞赛初赛（数学类）试卷一、（本题 15 分）在空间直角坐标系中，设马鞍面S 的方程为x 2 - y 2 = 2z . 设σ 为平面z = αx + βy + γ ，其中α, β, γ 为给定常数. 求马鞍面S 上点P 的坐标，使得过P 且落在马鞍面S 上的直线均平行于平面σ.二、（本题 15 分）A = (a ij) 为n 阶实方阵，满足1)a 11 = a 22 = = a nn = a > 0 ；n n 2)对每个i (i = 1, 2,, n )，有∑| a ij | + ∑| a ji | < 4a .j =1 ⎛ x 1 ⎫⎪ ⎪ j =1 求f (x ,, x ) = (x ,, x )A ⎪ 的规范形. 1 n 1 n ⎪ ⎪ ⎝x n ⎭三、（本题 20 分）元素皆为整数的矩阵称为整矩阵. 设n 阶方阵A , B 皆为整矩阵.1) 证明以下两条等价：i ）A 可逆且A -1 仍为整矩阵；ii) A 的行列式的绝对值为 1；2）若又知A ,A -2B ,A -4B ,,A -2n B ,A -2(n +1)B ,A - 2(n + n )B 皆可逆，且它们的逆矩阵皆为整矩阵. 证明：A + B 可逆.四、（本题 15 分）设f (x )在⎡⎢⎣0, 1⎤⎥⎦ 上连续可微，在x = 0 处有任意阶导数，f (n )(0) = 0(∀n ≥ 0) ，且存在常数C > 0 使得 x f '(x ) ≤ C | f (x ) |, ∀x ∈ ⎡⎢⎣0, 1⎤⎥⎦ .证明：(1) f (x ) lim = 0 (∀n ≥ 0)；(2)在⎡0, 1⎤ 上成立f (x )≡ 0. x →0+ x n ⎣⎢ ⎥⎦ ∞五、（本题 15 分）设{a n }, {b n } 是两个数列，a n > 0(n ≥ 0)， ∑b n 绝对收敛，且n =1a n ≤ 1 + 1 + 1 +b , n ≥ 2.a n + 1 a n +1 n n ln n ln (n +1) ∞ 求证：(1) n < ⋅ + b n (n ≥ 2)； (2) ∑a n 发散. a n +1 n ln n n =1六、（本题 20 分）设f : → (0, +∞)是一可微函数，且对所有x , y ∈，有 f '(x )- f '(y ) ≤ x - y α , 其中α ∈ (0, 1]是常数.求 证 ： 对 所 有 x ∈ ， 有 f '(x ) α+1 < α + 1 α f(x ). n ⨯n n。

前三届高数竞赛预赛试题非数学类参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题;2009-2010年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题每小题5分1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(16/15,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,,则v u y v x -==,,v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=,⎰-=102d 1u uu 令u t -=1,则21t u -=dt 2d t u -=,42221t t u +-=,)1)(1()1(2t t t u u +-=-,2．设)(x f 是连续函数,且满足⎰--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=2d )(x x f A ,则23)(2--=A x x f ,A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A ;因此3103)(2-=x x f ; 3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-,而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ,故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行,因此,由xz x =,yz y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====,即1,200==y x ,又5)1,2(),(00==z y x z ,于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ,即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x ;4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定,其中f 具有二阶导数,且1≠'f ,则=22d d x y________________. 解: 方程29ln )(y y f e xe =的两边对x 求导,得 因)(29ln y f y xe e =,故y y y f x '=''+)(1,即))(1(1y f x y '-=',因此二、5分求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ,其中n 是给定的正整数. 解 :因 故 因此三、15分设函数)(x f 连续,⎰=10d )()(t xt f x g ,且A xx f x =→)(lim,A 为常数,求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.解 : 由A x x f x =→)(lim和函数)(x f 连续知,0)(lim lim )(lim )0(000===→→→xx f x x f f x x x因⎰=10d )()(t xt f x g ,故0)0(d )0()0(10===⎰f t f g , 因此,当0≠x 时,⎰=xu u f xx g 0d )(1)(,故 当0≠x 时,xx f u u f x x g x )(d )(1)(02+-='⎰, 这表明)(x g '在0=x 处连续.四、15分已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界,试证：1⎰⎰-=---Lx y Lx y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ；22sin sin 25d d π⎰≥--Ly y x ye y xe .证 :因被积函数的偏导数连续在D 上连续,故由格林公式知 1y x ye y xe x x ye y xe Dx y Lx y d d )()(d d sin sin sin sin ⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂-∂∂=---而D 关于x 和y 是对称的,即知 因此 2因 故 由知即 2sin sin 25d d π⎰≥--Ly y x ye y xe五、10分已知x x e xe y 21+=,x x e xe y -+=2,x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程.解 设x x e xe y 21+=,x x e xe y -+=2,x x x e e xe y --+=23是二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,则x x e e y y 212-=--和x e y y -=-13都是二阶常系数线性齐次微分方程 的解,因此0=+'+''cy y b y 的特征多项式是0)1)(2(=+-λλ,而0=+'+''cy y b y 的特征多项式是因此二阶常系数线性齐次微分方程为02=-'-''y y y ,由)(2111x f y y y =-'-''和 x x x e xe e y 212++=',x x x e xe e y 2142++='' 知,1112)(y y y x f -'-''=)(2)2(42222x x x x x x x x e xe e e xe e e xe +-++-++= 二阶常系数线性非齐次微分方程为六、10分设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.解 因抛物线c bx ax y ln 22++=过原点,故1=c ,于是 即而此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积 即 令0)1(278)21(3152)(=---+='a a a a V πππ, 得 即 因此45-=a ,23=b ,1=c .七、15分已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n, 且neu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和.解x n n ne x x u x u 1)()(-+=', 即由一阶线性非齐次微分方程公式知 即 因此由)1()1(nC e u n e n +==知,0=C , 于是下面求级数的和：令 则 即由一阶线性非齐次微分方程公式知令0=x ,得C S ==)0(0,因此级数∑∞=1)(n n x u 的和八、10分求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.解 令2)(t x t f =,则因当10<<x ,(0,)t ∈+∞时,2()2ln 0t f t tx x '=<,故xt t ex t f 1ln22)(-==在(0,)+∞上严格单调减;因此即()d ()1()d n f t t f n f t t ∞+∞+∞=≤≤+∑⎰⎰,又2()n n n f n x ∞∞===∑∑,21ln 1d 1ln1d d d )(01ln222πxt e xt et x t t f t xt t====⎰⎰⎰⎰∞+-∞+-∞+∞+,所以,当-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量是x-121π;2010-2012年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题; 一、25分,每小题5分1设22(1)(1)(1),nn x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞2求21lim 1x x x e x-→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭;3设0s >,求0(1,2,)sx n I e x dx n ∞-==⎰;4设函数()f t 有二阶连续导数,1(,)r g x y f r ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求2222g g x y ∂∂+∂∂;5求直线10:0x y l z -=⎧⎨=⎩与直线2213:421x y z l ---==--的距离; 解：122(1)(1)(1)n n x a a a =+++=22(1)(1)(1)(1)/(1)nn x a a a a a =-+++- =222(1)(1)(1)/(1)na a a a -++-==12(1)/(1)n a a +--2 22211ln (1)ln(1)1lim 1lim lim x x x e x x xx xx x x e e e x -++--→∞→∞→∞⎛⎫+== ⎪⎝⎭令x=1/t,则原式=21(ln(1))1/(1)112(1)22lim lim lim t t t t ttt t t eeee +-+---+→→→===30000112021011()()[|](1)!!sx n n sx n sx sx n n sx n n n n n I e x dx x de x e e dx s s n n n n n n e x dx I I I s s s s s ∞∞∞---∞-∞----+==-=--=-=====⎰⎰⎰⎰二、15分设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数,并且()0,lim ()0,lim ()0,x x f x f x f x αβ→+∞→-∞''''>=>=<且存在一点0x ,使得0()0f x <;证明：方程()0f x =在(,)-∞+∞恰有两个实根;解： 二阶导数为正,则一阶导数单增,fx 先减后增,因为fx 有小于0的值,所以只需在两边找两大于0的值;将fx 二阶泰勒展开： 因为二阶倒数大于0,所以lim ()x f x →+∞=+∞,lim ()x f x →-∞=-∞证明完成;三、15分设函数()y f x =由参数方程22(1)()x t t t y t ψ⎧=+>-⎨=⎩所确定,其中()t ψ具有二阶导数,曲线()y t ψ=与22132t u y e du e-=+⎰在1t =出相切,求函数()t ψ; 解：这儿少了一个条件22d ydx=由()y t ψ=与22132t u y e du e-=+⎰在1t =出相切得 3(1)2e ψ=,'2(1)eψ= 22d y dx ='3''()(2(/)(/)//(22)2)2()d dy dx d dy dx dt dx dx d t t t t t ψψ==++-=;;; 上式可以得到一个微分方程,求解即可; 四、15分设10,,nn n k k a S a =>=∑证明：1当1α>时,级数1nn na S α+∞=∑收敛； 2当1α≤且()n s n →∞→∞时,级数1nn na S α+∞=∑发散; 解：1n a >0, n s 单调递增 当1n n a ∞=∑收敛时,1n n n a a s s αα<,而1n a s α收敛,所以nna s α收敛； 当1n n a ∞=∑发散时,lim n n s →∞=∞所以,11111211n n n s s n s s n n na a a dx dx s s x s x ααααα-∞∞==<+=+∑∑⎰⎰而1111111111lim 11ns n s n s s a a s dx k x s s αααααααα---→∞-=+=+=--⎰,收敛于k; 所以,1nn na s α∞=∑收敛; 2lim n n s →∞=∞所以1n n a ∞=∑发散,所以存在1k ,使得112k n n a a =≥∑于是,111122212k k k n n n n nk a a a s s s α≥≥≥∑∑∑依此类推,可得存在121...k k <<<使得112i i k n k n a s α+≥∑成立,所以112Nk n na N s α≥⋅∑ 当n →∞时,N →∞,所以1nn na s α∞=∑发散 五、15分设l 是过原点、方向为(,,)αβγ,其中2221)αβγ++=的直线,均匀椭球2222221x y z a b c ++≤,其中0,c b a <<<密度为1绕l 旋转; 1求其转动惯量；2求其转动惯量关于方向(,,)αβγ的最大值和最小值; 解：1椭球上一点Px,y,z 到直线的距离 由轮换对称性, 2a b c >>∴当1γ=时,22max 4()15I abc a b π=+ 当1α=时,22min 4()15I abc b c π=+六、15分设函数()x ϕ具有连续的导数,在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上,曲线积分422()cxydx x dyx yϕ++⎰的值为常数; 1设L 为正向闭曲线22(2)1,x y -+=证明422()0;cxydx x dyx y ϕ+=+⎰2求函数()x ϕ；3设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线,求422()cxydx x dyx y ϕ++⎰;解：（1） L 不绕原点,在L 上取两点A,B,将L 分为两段1L ,2L ,再从A,B 作一曲线3L ,使之包围原点; 则有 （2） 令42422(),xy x P Q x y x yϕ==++ 由1知0Q P x y∂∂-=∂∂,代入可得 上式将两边看做y 的多项式,整理得 由此可得 解得：2()x x ϕ=-（3） 取'L 为424x y ξ+=,方向为顺时针2011-2012年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题;一． 计算下列各题本题共3小题,每小题各5分,共15分1.求11cos 0sin lim xx x x -→⎛⎫⎪⎝⎭；解：用两个重要极限：2.求111lim ...12n n n n n →∞⎛⎫+++⎪+++⎝⎭； 解：用欧拉公式令111...12n x n n n n=++++++ 其中,()1o 表示n →∞时的无穷小量,3已知()2ln 1arctan tt x e y t e ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩,求22d y dx ; 解：222222221211,121121tt t t t t t t t tte dx e dy e dy e e e e dt e dt e dx e e --++==-∴==+++ 二．本题10分求方程()()2410x y dx x y dy +-++-=的通解;解：设24,1P x y Q x y =+-=+-,则0Pdx Qdy +=1,P Q y x ∂∂==∴∂∂0Pdx Qdy +=是一个全微分方程,设dz Pdx Qdy =+ ,P Q y x∂∂=∴∂∂该曲线积分与路径无关 三．本题15分设函数fx 在x=0的某邻域内具有二阶连续导数,且()()()'"0,0,0f f f 均不为0,证明：存在唯一一组实数123,,k k k ,使得()()()()1232230lim0h k f h k f h k f h f h→++-=;证明：由极限的存在性：()()()()1230lim 2300h k fh k f h k f h f →++-=⎡⎤⎣⎦即[]()123100k k k f ++-=,又()00f ≠,1231k k k ∴++=①由洛比达法则得由极限的存在性得()()()'''1230lim 22330h k fh k f h k f h →⎡⎤++=⎣⎦即()()'1232300k k k f ++=,又()'00f ≠,123230k k k ∴++=②再次使用洛比达法则得123490k k k ∴++=③由①②③得123,,k k k 是齐次线性方程组1231231231230490k k k k k k k k k ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩的解设1231111123,,01490k A x k b k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则Ax b =, 增广矩阵*111110031230010314900011A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()(),3R A b R A ==所以,方程Ax b =有唯一解,即存在唯一一组实数123,,k k k 满足题意, 且1233,3,1k k k ==-=;四．本题17分设2221222:1x y z a b c∑++=,其中0a b c >>>,2222:z x y ∑=+,Γ为1∑与2∑的交线,求椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值;解：设Γ上任一点(),,M x y z ,令()222222,,1x y z F x y z a b c=++-,则'''222222,,,x y z x y z F F F a b c ===∴椭球面1∑在Γ上点M 处的法向量为：222,,,x y z t a b c ⎛⎫=∴ ⎪⎝⎭1∑在点M 处的切平面为∏：原点到平面∏的距离为d =,令()222444,,,x y z G x y z a b c =++则1d =现在求()222444,,,x y z G x y z a b c =++在条件2222221x y z a b c++=,222z x y =+下的条件极值,令()()22222222212444222,,1x y z x y z H x y z x y z a b c a b c λλ⎛⎫=+++++-++- ⎪⎝⎭则由拉格朗日乘数法得：'1242'1242'1242222222222222022202220100x y z xx H x a a y y H y b b z z H z c c x y z ab c x y z λλλλλλ⎧=++=⎪⎪⎪=++=⎪⎪⎪=+-=⎨⎪⎪++-=⎪⎪⎪+-=⎪⎩, 解得2222220x b c y z b c =⎧⎪⎨==⎪+⎩或2222220a c x z a c y ⎧==⎪+⎨⎪=⎩, 对应此时的()()442222,,b c G x y z b c b c +=+或()()442222,,a c G x y z a c a c +=+此时的1d =2d =又因为0ab c >>>,则12d d <所以,椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值分别为：2d =1d =五．本题16分已知S 是空间曲线2231x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转形成的椭球面的上半部分0z≥取上侧,∏是S 在(),,P x y z 点处的切平面,(),,x y z ρ是原点到切平面∏的距离,,,λμν表示S 的正法向的方向余弦;计算：1(),,SzdS x y z ρ⎰⎰；2()3S z x y z dS λμν++⎰⎰解：1由题意得：椭球面S 的方程为()222310x y z z ++=≥令22231,Fx y z =++-则'''2,6,2x y z F x F y F z ===,切平面∏的法向量为(),3,n x y z =,∏的方程为()()()30x X x y Y y z Z z -+-+-=,原点到切平面∏的距离()222,,x y z ρ==将一型曲面积分转化为二重积分得：记22:1,0,0xz D x z x z +≤≥≥2方法一：λμν===六．本题12分设fx 是在(),-∞+∞内的可微函数,且()()f x mf x <、,其中01m <<,任取实数0a ,定义()1ln ,1,2,...,n n a f a n -==证明：()11n n n a a ∞-=-∑绝对收敛; 证明：()()112ln ln nn n n a a f a f a ----=-由拉格朗日中值定理得：ξ∃介于12,n n a a --之间,使得()()()'112n n n n f a a a a f ξξ---∴-=-,又()()f mf ξξ<、得()()'f m f ξξ<∴级数1101n n m a a ∞-=-∑收敛,∴级数11nn n aa ∞-=-∑收敛,即()11n n n a a ∞-=-∑绝对收敛;七．本题15分是否存在区间[]0,2上的连续可微函数fx,满足()()021f f ==,()()201,1fx f x dx ≤≤⎰、请说明理由;解：假设存在,当[]0,1x ∈时,由拉格朗日中值定理得： 1ξ∃介于0,x 之间,使得()()()'10,f x f f x ξ=+, 同理,当[]1,2x ∈时,由拉格朗日中值定理得：2ξ∃介于x,2之间,使得()()()()'222f x f f x ξ=+-即()()[]()()()[]''121,0,1;12,1,2f x f x x f x f x x ξξ=+∈=+-∈ ()11f x -≤≤、,显然,()()200,0f x f x dx ≥≥⎰()()()()()1221211111133x dx x dx f x dx x dx x dx ≤-+-≤≤++-=⎰⎰⎰⎰⎰()21f x dx ∴≥⎰,又由题意得()()221,1f x dx f x dx ≤∴=⎰⎰即()21f x dx =⎰,()[][]1,0,11,1,2x x f x x x ⎧-∈⎪∴=⎨-∈⎪⎩ ()'1f ∴不存在,又因为fx 是在区间[]0,2上的连续可微函数,即()'1f 存在,矛盾,故,原假设不成立,所以,不存在满足题意的函数fx;。

高等数学竞赛训练题（理工类、数学专业适用））1、设0>a ，}{n x 满足：,00>x ,2,1,0),(211 =+=+n x a x x nn n证明：}{n x 收敛，并求。

n n x ∞→lim2、设)(x f 在0=x 的邻域具有二阶导数，且31)(1 lim e x x f x xx =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++→，试求)0(f ，)0(f '及)0(f ''. （答案：(0)0f =,(0)0f '=,(0)4f ''=）3、设0>a ，且)(x f 在),[+∞a 满足：),[,+∞∈∀a y x ，有|||)()(|y x K y f x f -≤-（0≥K 为常数）。

证明：xx f )(在),[+∞a 有界。

4、设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥++<=0,;0 ,)(2x c bx ax x e x f x且f ''(0)存在, 试确定常数,,a b c .（答案：21=a ，1b =1c =）5、设当1->x 时, 可微函数)(x f 满足条件0d )(11)()( 0=+-+'⎰x t t f x x f x f ，且1)0(=f ，试证: 当0≥x 时, 有1)(≤≤-x f e x成立.6、计算三重积分⎰⎰⎰++=Vdxdydzcz by ax I )(222222。

其中V 是椭球体1222222≤++cz by ax ． （答案：45a b c π）7、讨论积分dxxxx x qp⎰∞++πcos 的敛散性。

（数学专业选做，提示：利用Cauchy 收敛准则，答案：当1),max(>q p 时，收敛；当时1),max(≤q p ，发散） 8、设)(x f 在[] 0, 1 上二阶可导，(0)(1) , (1)1,f f f '== 求证：( 0, 1 )ξ∃∈ 使()2f ξ''=.9、设f 在],[b a 上可微，且a 与b 同号，证明：存在),(b a ∈ξ，使 （1）)(')()]()([222ξξf a ba fb f -=-；（2）)('ln )()(ξξf a b a f b f ⎪⎭⎫⎝⎛=-.10、设R f →]1,0[:二阶可微，1)1('),1()0(==f f f ，证明：存在)1,0(∈ξ，使2)("=ξf .（提示：令x x x f x F +-=2)()(）11、设)(x f 是定义在),(∞+-∞上的函数，1)0(',0)(=≠f x f .且.)()()(,),(,y f x f y x f y x =+∞+-∞∈∀ 证明：f 在),(∞+-∞上可导，且)()('x f x f = . 12、设),,2,1,(sin sin sin )(221n i R a nxa x a x a x f i n =∈+++=，且|sin ||)(|x x f ≤，证明：1|2|21≤+++n na a a .13、设f 在],[b a 上二阶可微，0)()(==b f a f ，0)(')('>-+b f a f ，则方程0)("=x f 在),(b a 内至少有一个根 .14、设()f x 在[0,1]上具有二阶导数，且满足条件()f x a ≤，()f x b ''≤，其中,a b 都是非负常数，c 是(0,1)内的任一点，证明()22b fc a '≤+.15、设13[0,1],(0)1,(1)2,'02f C f f f ⎛⎫∈=== ⎪⎝⎭. 证明： (0,1)ξ∃∈，使()24f ξ'''≥.16、（2003高数一）将函数xx x f 2121arc tan)(+-=展开成x 的幂级数，并求级数∑∞=+-012)1(n nn 的和. （答案：].21,21(,124)1(24)(120-∈+--=+∞=∑x xn x f n n nnπ0(1)214nn n π∞=-=+∑）17、（2003高数一）设函数f(x)连续且恒大于零，⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y x f dvz y x f t F σ，⎰⎰⎰-+=tt D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ，其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω，}.),{()(222t y x y x t D ≤+= (1) 讨论F(t)在区间),0(+∞内的单调性. (2) 证明当t>0时，).(2)(t G t F π>18、（2004年上海交通大学）设()d af x x +∞⎰收敛,且)(x f 在[)+∞,a 上一致连续，证明)(lim x f x +∞→= 0. （数学专业选做） 19、（2004年上海交通大学）计算下述积分：d Dx y ⎰⎰，其中D 是矩形区域x 1≤，20≤≤y 。

2012年江苏省第十一届高等数学竞赛试题（专科）一．填空（4分*8=32分） 1.=-+-+→561434lim 4x x x 2. =+++∞→433321lim n n n 3. =⎰→x x tdtt x x 32030sin sin lim4.)1ln(x y -=，则=)(n y5.=⎰xdx x arctan 2 6.⎰=211arccos dx xx 7.点)3,1,2(-到直线22311z y x =-+=-的距离为 8.级数∑∞=--21)1(n knn n 为条件收敛，则常数k 的取值范围是 二．（6分*2=12分）（1）求))(13(lim 31223∑=∞→+-i n i n n n（2）设)(x f 在0=x 处可导，且,2)0(,1)0(='=f f 求201)1(cos lim xx f x --→三．在下面两题中，分别指出满足条件的函数是否存在？若存在，举一例，若不存在，请给出证明。

（4分+6分=10分）（1）函数)(x f 在),(δδ-上有定义（0>δ），当0<<-x δ时，)(x f 严格增加，当δ<<x 0时，)(x f 严格减少，)(lim 0x f x →存在，且)0(f 是)(x f 的极小值。

（2）函数)(x f 在),(δδ-上一阶可导（0>δ），)0(f 为极值，且))0(,0(f 为曲线)(x f y =的拐点。

四．（10分）求一个次数最低的多项式)(x p ，使得它在1=x 时取得极大值13，在4=x 时取得极小值－14。

五．（12分）过点)0,0(作曲线x e y -=Γ:的切线L ，设D 是以曲线Γ、切线L 及x 轴为边界的无界区域。

（1）求切线L 的方程。

（2）求区域D 的面积。

（3）求区域D 绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积。

六．（12分）点)3,2,5(,)1,2,1(--B A 在平面322:=--∏z y x 的两侧，过点B A ,作球面∑使其在平面∏上截得的圆Γ最小。