一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)

一、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：若21,x x 是关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根，则方程的两个根21,x x 和系数c b a ,,有如下关系：ac x x a b x x =⋅-=+2121,.【例1】先阅读，再填空解题：⑴方程x 2－x －12＝0的根是：x 1＝3-，x 2＝4，则x 1＋x 2＝1，x 1·x 2＝12-；⑵方程2x 2－7x ＋3＝0的根是：x 1＝12，x 2＝3，则x 1＋x 2＝72，x 1·x 2＝32；⑶方程x 2－3x ＋1＝0的根是：x 1＝，x 2＝．则x 1＋x 2＝，x 1·x 2＝；⑷根据以上⑴⑵⑶你能否猜出：如果关于x 的一元二次方程mx 2＋nx ＋p ＝0（m ≠0且m 、n 、p 为常数）的两根为x 1、x 2，那么x 1＋x 2、x 1·x 2与系数m 、n 、p 有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由．⑸在⑶的条件下，求下列各式的值：①221221x x x x +；②221211x x +【例2】不解方程，求下列方程两根的积与和．⑴25100x x --=⑵22710x x ++=⑶23125x x -=+⑷()137x x x -=+一元二次方程根与系数的关系【例3】（1）设方程24730x x --=的两个根为1x 、2x ，不解方程求下列各式的值①12(3)(3)x x --；②211211x x x x +++；③12x x -（2）已知α、β是方程2520x x ++=的两根，求βααβ+的值．（3）设1x 、2x 是方程()222120x k x k -+++=的两个不同的实根，且()()12118x x ++=，则k 的值是__________．【例4】若方程210x px ++=的一个根为12-，则它的另一根等于__________，p 等于_________【例5】（1）已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x ．①求实数m 的取值范围；②当22120x x -=时，求m 的值．（2）已知一元二次方程2(1)230m x mx m +++-=有两个不相等的实数根，并且这两个根又不互为相反数.①求m 的取值范围；②当m 在取值范围内取最小偶数时，方程的两根为12,x x ，求2123(14)x x -的值.（3）关于x 的方程20x px q ++=的两根和为1s ，两根的平方和为2s ，两根的立方和为3s ，试求321s ps qs ++的值．（4）已知方程组22200x y x kx y k ⎧+-=⎨--=⎩①②（x 、y 为未知数）⑴求证：不论k 为何实数，方程组总有两个不同的实数解⑵设方程组的两个不同的实数解为11x x y y =⎧⎨=⎩和22x x y y =⎧⎨=⎩求证：221212()()x x y y -+-是一个常数【例6】已知关于x 的方程①2230x mx m -+=的两个实根是1x 、2x 且212()16x x -=。

一元二次方程根与系数的关系公式
一元二次方程根与系数的关系公式：ax²+bx+c=(a≠0)，当判别式＝b²-4ac>=0时。

设两根为x₁，x₂，则根与系数的关系（韦达定理）：x₁＋x₂＝－b/a；x₁x₂＝c/a。

一元二次方程必须同时满足三个条件：
①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）。

②只含有一个未知数。

③未知数项的最高次数是2。

用因式分解法解一元二次方程的步骤：
（1）将方程右边化为0。

（2）将方程左边分解为两个一次式的积。

（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程。

（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

微专题：一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）【主题】根与系数的关系（韦达定理）：如果一元二次方程20ax bx c ++= (0),(0)a ≠∆>的实数根分别为：12,x x ，由解方程中的公式法得：1x =2x =；那么可推得1212,b cx x x x a a+=-=；这是一元二次方程根与系数的关系；【典例】例1、已知关于x 的一元二次方程x 2＋(2k ＋3)x ＋k 2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2； （1）求k 的取值范围；（2）若1x 1＋1x 2＝－1，求k 的值；例2、关于x 的一元二次方程x 2－(m －3)x －m 2＝0. （1）证明：方程总有两个不相等的实数根；（2）设这个方程的两个实根为x 1，x 2，且|x 1|＝|x 2|－2，求m 的值及方程的根例3、已知m 2－2m －1＝0，n 2＋2n －1＝0，且mn ≠1，则mn ＋n ＋1n 的值为_______【归纳】一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为“韦达定理”； 定理：如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根为x 1，x 2，那么：x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca .说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2，1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2，(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，2121212||()4x x x x x x -=+-|， x 1x 22＋x 21x 2＝x 1x 2(x 1＋x 2)，x 31＋x 32＝(x 1＋x 2)3－3x 1x 2(x 1＋x 2)等等；【特别说明】在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，必须考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零；因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根； 【即时练习】1、已知关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋m 4＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2.若1x 1＋1x 2＝4m ，则m 的值是( )A ．2B ．－1C ．2或－1D ．不存在2、已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－5x ＋a ＝0的两个实数根，且x 21－x 22＝10，则a ＝________.3、设a ，b 是方程x 2＋x －2 022＝0的两个实数根，则a 2＋2a ＋b 的值为________．4、已知关于x 的一元二次方程21202mx x ++=有两个不相等的实数根； （1）求m 的取值范围；（2）当方程一个根为1时，求m 的值以及方程的另一个根．5、已知关于x 的一元二次方程()2120x m x m --++=，（1）若方程有两个相等的实数根，求m 的值；（2）若方程两实数根之积等于292m m -+6m +的值．【教师版】 微专题：一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）【主题】根与系数的关系（韦达定理）：如果一元二次方程20ax bx c ++= (0),(0)a ≠∆>的实数根分别为：12,x x ，由解方程中的公式法得：1x =2x =；那么可推得1212,b cx x x x a a+=-=；这是一元二次方程根与系数的关系；【典例】例1、已知关于x 的一元二次方程x 2＋(2k ＋3)x ＋k 2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2； （1）求k 的取值范围；（2）若1x 1＋1x 2＝－1，求k 的值；【提示】注意：首先通过判别式确定参数的取值范围；【解析】（1）由题得Δ＝(2k ＋3)2－4k 2>0，解得k >－34，所以，k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－34，＋∞； （2）由题知，x 1＋x 2＝－2k －3，x 1x 2＝k 2，所以，1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝－2k －3k 2＝－1，解得k 1＝3，k 2＝－1，又因为k >－34，所以，k ＝3；【说明】一元二次方程的根与系数关系：首先，通过判别式保证有根，然后，根与系数关系再结合代数变换。

一元二次方程的根与系数的关系（知识点考点一站到底）知识点☀笔记韦达定理:如一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，则12b x x a +=-，12c x x a⋅= 考点☀梳理考点1：韦达定理必备知识点：如一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，则12b x x a +=-，12c x x a⋅= 解题指导：适用题型：(1)已知一根求另一根及未知系数；(2)求与方程的根有关的代数式的值；(3)已知两根求作方程；(4)已知两数的和与积，求这两个数；(5)确定根的符号:(12,x x 是方程两根)；（6）题目给出两根之间的关系，如两根互为相反数、互为倒数、两根的平方和或平方差是多少、两根是Rt ∆的两直角边求斜边等情况.注意：（1）韦达定理拓展公式 ①x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1∙x 2②1x 1+1x 2=x 2+x 1x 1∙x 2x 2x 1+x1x 2=x 12+x 22x 1∙x 2=(x 1+x 2)2−2x 1∙x 2x 1∙x 2③(x 1−x 2)2=(x 1+x 2)2−4x 1∙x 2④|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1∙x 2 ；（2）①方程有两正根，则1212000x x x x ∆≥⎧⎪+>⎨⎪⋅>⎩；②方程有两负根，则1212000x x x x ∆≥⎧⎪+<⎨⎪⋅>⎩ ；③方程有一正一负两根，则120x x ∆>⎧⎨⋅<⎩；（3）应用韦达定理时，要确保一元二次方程有根，即一定要判断根的判别式是否非负;求作一元二次方程时，一般把所求作得方程的二次项系数设为1，即以12,x x 为根的一元二次方程为21212()0x x x x x x -++⋅=;求字母系数的值时，需使二次项系数0a ≠，同时满足∆≥0;求代数式的值，常用整体思想，把所求代数式变形成为含有两根之和12x x +，•两根之积12x x ⋅的代数式的形式，整体代入。

韦达定理（根与系数的关系）一、韦达定理与对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，由求根公式得x =，令1x =，2x = 可得1212,b cx x x x a a +=-=。

说明：定理成立的条件0∆≥。

二、韦达定理与根的符号关系 在24b ac ∆=-≥0的条件下，我们有如下结论：①当0c a<时，方程的两根必一正一负．若0ba -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0ba-<，则此方程的正根小于负根的绝对值． ②当0c a>时，方程的两根同正或同负．若0b a ->，则此方程的两根均为正根；若0ba -<，则此方程的两根均为负根．已知一根求参数和另一根【例1】 若方程240x x c -+=的一个根为2+，则方程的另一个根为 ，c = ．练习1. 方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么12x x += ，1x 2x = .练习2. 一元二次方程2310x x --=与230x x -+=的所有实数根的和等于（ ）A ．2B ．﹣4C ．4D ．3【例2】 以13+，13-为根的一元二次方程是 .练习1. 以23+和23-为根的一元二次方程是 . 【例3】 已知a 、b 、c 是△ABC 三边的长，则方程2()04aax b c x +++=的根的情况为（ ） A ．没有实数根B ．有两个相等的正实数根C ．有两个不相等的负实数根D ．有两个异号的实数根求与一元二次方程两根有关的代数式的值【例4】 已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ,求下列各式的值:（1）2212x x += ；（2）2111x x += ；（3）212()x x -= ；（4）12x x -= ；（5）2113x x -= ；（6）2223x x -= .【例5】 已知α、β是方程2250x x +-=的两个实数根，22ααβα++的值 . 练习1. 已知m 、n 是方程2250x x +-=的两个实数根，则23m mn m n -++m 2= ．练习2. 已知方程122-+x x =0的两根是1x ，2x ，那么=++1221221x x x x （） A.－7 B.3 C .7 D.－3练习3. 设A是方程220090x -=的所有根的绝对值之和，则2A = ．【例6】 设α、β是方程2910x x ++=的两根，则22(20091)(20091)ααββ++++的值是（ ） A ．0 B ．1C ．2000D ．4 000 000练习1. 已知m 、n 方程2201670x x ++==0的两个根，则22(20156)(20178)m m n n ++++= ．【例7】 若两个不等实数m 、n 满足条件：2210m m --=，2210n n --=，则22m n+的值是 ．练习1. 若实数m 、n 满足条件：2210m m --=，2210n n --=，则22m n +的值是 ．【例8】 分别以方程2210x x --=两根的平方为根的方程是（ ） A.0162=++y y B .0162=+-y y C.0162=--y y D.0162=-+y y确定一元二次方程中字母参数的值或取值范围【例9】 方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = .练习1. 若方程04)103(422=+--+a x a a x的两根互为相反数，则a 的值是（ ）A .5或－2 B.5 C. －2 D.－5或2练习2. 如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 .练习3. 一元二次方程：222(1)40x a x a -+++=的两根是12,x x ，且122x x -=，则a 的值是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【例10】 已知关于x 的方程2210x mx m -+-=的两个实数根的平方和为23，求m 的值【例11】 已知方程2230x x m -+=，若两根之差为－4，求m 的值.练习1. 已知关于x 的方程22210x x k ++-=的两根平方差等于2，求k 的值．【例12】 已知一元二次方程220x x m -+=．（1）若方程有两个实数根，求m 的范围；（2）若方程的两个实数根为1x ，2x ，且1233x x +=，求m 的值．一元二次方程应用一、数字问题【例13】有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数练习1.有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这两位数二、增长率问题【例14】某新华书店计划第一季度共发行图书122万册，其中一月份发行图书32万册，二、三月份平均每月增长率相同，求二、三月份各应发行图书多少万册？练习1.市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。

一元二次方程根与系数的关系及应用【定理内容】一、韦达定理1.()002≠=++a c bx ax 的求根公式： 当042≥-ac b 时，a ac b b x 242-±-= 2.定理的内容：若1x ，2x 为()002≠=++a c bx ax 的两根：则 =+21x x ab - ，=⋅21x x ac [注：这就是一元二次方程根与系数的关系，常称为韦达定理]二、韦达定理的应用（一）已知一根，求另一根。

1.已知方程23520x x +-=的一个根是2-，求另一个根。

512,3321(2,)33aa a a a -+=-=-=-=解：设另一根为由韦达定理得 设出另一根，由韦达定理直接解得。

亦可用于验根，确定根的符号。

（二）求关于两根的代数式的值。

（常见题型）1. 设1x ，2x 方程0522=--x x 的两个根，求下列代数式的值。

（先写1x +2x =?，1x 2x =?）（1）2221x x + （2）2111x x + （3）222111x x + （4）122221x x x x ⋅+⋅ （5）()221x x - （6）21x x -12122221212121212122221212122222212121215,22(1)()211(2)()211(3)()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +==-+=+-++=++-+==解：由韦达定理22122112122222121212121212(4)()(5)()2()4(6)||x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⋅+⋅=+-=+-=+--==借助完全平方公式变形之后，代入即可。

2.已知：α、β是方程012=--x x 的两实根，求：βα34+． 224210=+1+=1=13(+1)3(1)5x x αβαααββααβαα--=∴∴-∴+=+-=解：、是方程的两个根，（三）确定方程中待定字母的值1.已知关于x 的方程02)1(2=+++-k x k x 的两个实数根的平方和等于6，求k 的值。

一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)学习目标：1．通过观察、归纳，猜想根与系数的关系，并证明此关系成立，使学生理解其理论根据；2．使学生运用根与系数关系解决有关问题。

学习重点：重点：一元二次方程根与系数的关系；难点：从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系。

预习感知：（课前完成）从表中找出两根之和x1+ x2与两根之积x1·x2和a、b、c的关系：2．再看后面三个方程（二次项系数不是1），观察x1+ x2，x1·x2的值与系数的关系；3．猜想ax2+bx+c=0（a≠0）的x1+ x2，x1·x2与a、b、c的关系;我的猜想是：x1+ x2=_____，x1·x2=______；4．怎样证明上面的结论？（求根公式是具有一般性的，我们用求根公式来证明就可以了）归纳：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），如果方程有两个实数根x1，x2，那么x1+ x2=—ba，x1·x2=ca。

说明：（1）定理成立的条件是⊿≥0；（2）注意公式中x1+ x2= —ba，的负号与b的符号的区别。

通过自学，我的困惑和问题是____________________________________________________.（二）共研释疑（课内完成）1．组内交流“预习感知”中的疑难和困惑；2．各组汇报需要帮助解决的问题，让能解决的学习小组代表解决。

（三）典型例题例子1：说出下列方程的两根之和、两根之积是多少？（1）x2-3x+1=0 （2）3x2-2x=2 （3）2x2+3x=0（4）3x2=1 （5）x2+px+q=0例2：利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2+3x-1=0的两根x1，x2的（1）平方和；（2）倒数和；（3）（x1—x2）2（4）（x1+1）（x2+1）（5）| x1—x2|例3：已知方程5x 2+ k x —6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值.（四）迁移运用1．已知关于x 的一元二次方程x 2—mx+2m —1=0的两个实数根的平方各为23，求m 的值.2．已知α、β是方程x 2+2x-7=0的两个实数根，求α2+3β2+4β的值.4． 已知关于x 的一元二次方程x 2-2kx+12k 2-2=0（1） 求证：不论k 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2） 设x 1，x 2为方程的两个根，且满足x 12-2kx 1+2x 1x 2=5，求k 的值.（五）心得交流。