2016年上海市高考数学试卷(理科)

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2016年上海高考数学（理科）真题一、解答题（本大题共有14题，满分56分）1. 设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为________________ 【答案】(2,4)【解析】131x -<-<，即24x <<，故解集为(2,4)2. 设32iiz +=，其中i 为虚数单位，则Im z =_________________【答案】3-【解析】i(32i)23i z =-+=-，故Im 3z =-3. 1l :210x y +-=, 2l :210x y ++=, 则12,l l 的距离为__________________【解析】d ==4. 某次体检，6位同学的身高（单位:米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77，则这组数据的中位数是___ （米） 【答案】1.765. 已知点(3,9)在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数1()f x -=____________ 【答案】2log (1)x -【解析】319a +=，故2a =，()12x f x =+∴2log (1)x y =-∴12()log (1)f x x -=-6. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为2arctan 3，则该正四棱柱的高等于____________________【答案】【解析】BD =, 123DD BD =⋅=7. 方程3sin 1cos 2x x =+在区间[0,2π]上的解为________________【答案】π5π,66x =【解析】23sin 22sin x x =-，即22sin 3sin 20x x +-=∴(2sin 1)(sin 2)0x x -+=∴1sin 2x =∴π5π,66x =8. 在2n x ⎫⎪⎭的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_______________ 【答案】112【解析】2256n =， 8n =通项88433882()(2)r rr r r r C x C x x--⋅⋅-=-⋅取2r =常数项为228(2)112C -=9. 已知ABC 的三边长为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于________________【解析】3,5,7a b c ===，2221cos 22a b c C ab +-==-∴sin C =∴2sin c R C ==10. 设0,0a b >>，若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则a b +的取值范围是_____________ 【答案】(2,)+∞【解析】由已知，1ab =，且a b ≠，∴2a b +>=11. 无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和，若对任意*n ∈N ，{2,3}n S ∈，则k 的最大值为___________ 【答案】412. 在平面直角坐标系中，已知(1,0)A, (0,1)B -, P 是曲线y BP BA ⋅的取值范围是____________ 【答案】[0,1【解析】设(cos ,sin )P αα, [0,π]α∈，(1,1)BA = , (cos ,sin 1)BP αα=+πcos [0,1sin 1)14BP BA ααα⋅=+++∈+13. 设,,a b ∈R , [0,2π)c ∈，若对任意实数x 都有π2sin(3)sin()3x a bx c -=+，则满足条件的有序实数组(,,)a b c 的组数为______________ 【答案】4【解析】(i)若2a =若3b =，则5π3c =； 若3b =-，则4π3c =(ii)若2a =-，若3b =-，则π3c =；若3b =，则2π3c =共4组14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形128A A A 的中心，1(1,0)A ，任取不同的两点,i j A A ，点P 满足0i j OP OA OA ++=，则点P 落在第一象限的概率是_______________【答案】528 【解析】285528C =二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15. 设a ∈R ，则“1a >”是“21a >”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件 【答案】A16. 下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是( ) A. 65cos ρθ=+ B. 65sin ρθ=+ C. 65cos ρθ=- D. 65sin ρθ=- 【答案】D【解析】π2θ=-时，ρ达到最大17. 已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且lim n n S S →∞=，下列条件中，使得*2()n S S n <∈N 恒成立的是( )A. 10a >, 0.60.7q <<B. 10a <, 0.70.6q -<<-C. 10a >, 0.70.8q <<D. 10a <, 0.80.7q -<<-【答案】B【解析】1(1)1n n a q S q-=-, 11a S q =-, 11q -<<2n S S <，即1(21)0n a q -> 若10a >，则12nq >，不可能成立若10a <，则12nq <，B 成立18. 设(),(),()f x g x h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题:①若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均为增函数，则(),(),()f x g x h x 中至少有一个为增函数；②若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则(),(),()f x g x h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是( )A. ①和②均为真命题B. ①和②均为假命题C. ①为真命题，②为假命题D. ①为假命题，②为真命题 【答案】D【解析】①不成立，可举反例2,1)1(3,x x f x x x ≤-+>⎧=⎨⎩, 03,023,21()1,x x x x x x g x ≤-+<+⎧≥=<⎪⎨⎪⎩, 0(0)2,,x h x x x x -=≤>⎧⎨⎩②()()()()f x g x f x T g x T +=+++()()()()f x h x f x T h x T +=+++ ()()()()g x h x g x T h x T +=+++前两式作差，可得()()()()g x h x g x T h x T -=+-+ 结合第三式，可得()()g x g x T =+, ()()h x h x T =+ 也有()()f x f x T =+ ∴②正确 故选D三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19. （本题满分12分）将边长为1的正方形11AA O O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图， AC 长为23π，11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AA O O 的同侧(1) 求三棱锥111C O A B -的体积(2) 求异面直线1B C 与1AA 所成角的大小【解析】(1) 连11O B ，则 111113AO A B B π∠== ∴111O A B 为正三角形∴111O A B S =∴111111113C O A B O A B V OO S -=⋅=(2) 设点1B 在下底面圆周的射影为B ，连1BB ，则11BB AA ∥ ∴1BB C ∠为直线1B C 与1AA 所成角（或补角）111BB AA == 连,,BC BO OC113AB A B π==, 23AC π= ∴ 3BCπ=∴3BOC π∠=∴BOC 为正三角形 ∴1BC BO ==∴11tan 1BCBB C BB ∠== ∴145BB C ∠=︒∴直线1B C 与1AA 所成角大小为45︒20．（本题满分14分）有一块正方形菜地EFGH , EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。

2016年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理科数学一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1、设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为__________. 【答案】(2,4) 【解析】 试题分析：由题意得：131x -<-<，即24x <<，故解集为(2,4). 考点：绝对值不等式的基本解法.【名师点睛】解绝对值不等式，关键是去掉绝对值符号，进一步求解，本题也可利用两边平方的方法.本题较为容易. 2、设iiZ 23+=，期中i 为虚数单位，则Im z =_____________. 【答案】3- 【解析】 试题分析：i(32i)23i z =-+=-，故Im 3z =-考点：1.复数的运算；2.复数的概念.【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时运算与概念、复数的几何意义综合考查，也是考生必定得分的题目之一.3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离___________.【解析】试题分析：利用两平行线间距离公式得d 5===. 考点：两平行线间距离公式.【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即,x y 的系数应该分别相同，本题较为容易，主要考查考生的基本运算能力.4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米）. 【答案】1.76考点：中位数的概念.【名师点睛】本题主要考查中位数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，涉及统计的题目，往往不难，主要考查考生的视图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力. 5、已知点(3,9)在函数xa x f +=1)(的图像上，则________)()(1=-x f x f 的反函数.【答案】2log (x 1)- 【解析】 试题分析：将点39（，）带入函数()xf x 1a =+的解析式得a 2=，所以()xf x 12=+，用y 表示x 得2x log (y 1)=-，所以()12log (f x x 1)-=-.考点：1.反函数的概念；2.指数函数的图象和性质.【名师点睛】指数函数与对数函数互为反函数，求反函数的基本步骤是：一解、二换、三注.本题较为容易.6、如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为32arctan ，则该正四棱柱的高等于____________.【答案】【解析】 试题分析：由题意得11122tan 33DD DBD DD BD ∠==⇒=⇒=.考点：1.正四棱柱的几何特征；2.直线与平面所成的角.【名师点睛】涉及立体几何中的角的问题，往往要将空间问题转化成平面问题，做出角，构建三角形，在三角形中解决问题；也可以通过建立空间直角坐标系，利用空间向量方法求解，应根据具体情况选择不同方法，本题难度不大，能较好地考查考生的空间想象能力、基本计算能力等.7、方程3sin 1cos2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________ 学优高考网 【答案】566ππ或 【解析】 试题分析：3sinx 1cos 2x =+，即23s i n x 22s i n x =-，所以22sin x 3sinx 20+-=，解得1sinx 2=或sinx 2=-（舍去），所以在区间[]π2,0上的解为566ππ或. 考点：1.二倍角公式；2.已知三角函数值求角.【名师点睛】已知三角函数值求角，基本思路是通过化简 ，得到角的某种三角函数值，结合角的范围求解.. 本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等.8、在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________.【答案】112 【解析】 试题分析：因为二项式所有项的二项系数之和为n2，所以n2256=，所以n 8=，二项式展开式的通项为84r r 8rr r r 33r 1882T C ()(2)C x x --+=-=-，令84r 033-=，得r 2=，所以3T 112=.考点：1.二项式定理；2.二项展开式的系数.【名师点睛】根据二项式展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，是二项式定理问题中的基本问题，往往要综合运用二项展开式的系数的性质、二项式展开式的通项求解. 本题能较好地考查考生的思维能力、基本计算能力等.9、已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________.【答案】3【解析】 试题分析：由已知3,5,7a b c ===，∴2221cos 22a b c C ab +-==-，∴sin C =，∴2sin c R C ==考点：1.正弦定理；2.余弦定理.【名师点睛】此类题目是解三角形问题中的典型题目.解答本题，往往要利用三角公式化简三角恒等式，利用正弦定理实现边角转化，达到解题目的；三角形中的求角问题，往往要利用余弦定理用边表示角的函数.本题较易，主要考查考生的基本运算求解能力等. 10、设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则b a +的取值范围是_________.【答案】2+∞（，）考点：方程组的思想以及基本不等式的应用.【名师点睛】从解方程组入手，探讨得到方程组无解的条件，进一步应用基本不等式达到解题目的.易错点在于忽视得到a b ≠.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力等.11.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 【答案】4 【解析】 试题分析：要满足{}3,2∈n S ，说明n S 的最大值为3，最小值为2.所以涉及最多的项的数列可以为2,1,1,0,0,0,-⋅⋅⋅，所以最多由4个不同的数组成.考点：数列求和.【名师点睛】从分析条件入手，推断数列的构成特点，解题时应特别注意“数列{}n a 由k 个不同的数组成”的不同和“k 的最大值”.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力等.12.在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则⋅的取值范围是 .【答案】[0,1 【解析】 试题分析：由题意得知21x y -=表示以原点为圆心，半径为1的上半圆. 设(cos ,sin )P αα, [0,π]α∈，(1,1)BA =, (cos ,sin 1)BP αα=+所以πcos [0,1sin 1)14BP BA ααα⋅=+++∈+⋅BP BA 的范围为[0,1+.考点：1.平面向量的数量积；2.三角函数的图象和性质；3.数形结合的思想.【名师点睛】本题解答利用数形结合思想，将问题转化到单位圆中，从而转化成平面向量的坐标运算，利用三角函数的图象和性质，得到BA BP ⋅的取值范围.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力、数形结合思想、转化与化归思想等. 13.设[)π2,0,,∈∈c R b a ，若对任意实数x 都有()c bx a x +=⎪⎭⎫⎝⎛-sin 33sin 2π，则满足条件的有序实数组()c b a ,,的组数为 . 【答案】4 【解析】考点：1.三角函数的诱导公式；2.三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，首先确定得到,a b 的可能取值，利用分类讨论的方法，进一步得到c 的值，从而根据具体的组合情况，使问题得解.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等.14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A 的中心，()0,11A .任取不同的两点j i A A ,，点P 满足0=++j i OA OA OP ，则点P 落在第一象限的概率是 .【答案】528【解析】试题分析：共有2828C =种基本事件，其中使点P 落在第一象限共有2325C +=种基本事件，故概率为528. 考点：1.排列组合；2.古典概型；3.平面向量的线性运算.【名师点睛】本题主要考查古典概型概率的计算.解答本题，关键在于能准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用概率的计算公式求解.本题能较好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力、数形结合思想等. 二、选择题（5×4=20）15.设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 【答案】A【解析】试题分析：2211,111a a a a a >⇒>>⇒><-或，所以是充分非必要条件，选A.考点：充要条件【名师点睛】充要条件的判定问题，是高考常考题目之一，其综合性较强，易于和任何知识点结合.本题涉及不等关系，突出体现了高考试题的基础性，能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、逻辑推理能力等.16.下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（ ）（A ）θρcos 56+= （B ）θρin s 56+= （C ）θρcos 56-= （D ）θρin s 56-=考点：极坐标系【名师点睛】本题是极坐标系问题中的基本问题，从解法上看，一是可通过记忆比对，作出判断，二是利用特殊值代入检验的方法.本题突出体现了高考试题的基础性，能较好的考查考生基本运算能力、数形结合思想等.17.已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞→lim .下列条件中，使得()*∈<N n S S n 2恒成立的是（ ）（A ）7.06.0,01<<>q a （B ）6.07.0,01-<<-<q a （C ）8.07.0,01<<>q a （D ）7.08.0,01-<<-<q a 【答案】B【解析】试题分析：由题意得：11112,(0|q |1)11n q a a q q -<<<--对一切正整数恒成立，当10a >时12n q >不恒成立，舍去；当10a <时21122n q q <⇒<，因此选B. 考点：1.数列的极限；2.等比数列的求和.【名师点睛】本题解答中确定不等关系是基础，准确分类讨论是关键，易错点是在建立不等关系之后，不知所措或不能恰当地分类讨论.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力分类讨论思想等.18、设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（ ）A 、①和②均为真命题B 、①和②均为假命题C 、①为真命题，②为假命题D 、①为假命题，②为真命题 学优高考网【解析】试题分析：①不成立，可举反例2,1)1(3,x x f x x x ≤-+>⎧=⎨⎩, 03,023,21()1,x x x x x x g x ≤-+<+⎧≥=<⎪⎨⎪⎩, 0(0)2,,x h x x x x -=≤>⎧⎨⎩②()()()()f x g x f x T g x T +=+++ ()()()()f x h x f x T h x T +=+++ ()()()()g x h x g x T h x T +=+++前两式作差，可得()()()()g x h x g x T h x T -=+-+ 结合第三式，可得()()g x g x T =+, ()()h x h x T =+ 也有()()f x f x T =+ ∴②正确 故选D.考点：1.抽象函数；2.函数的单调性；3.函数的周期性.【名师点睛】本题主要考查抽象函数下函数的单调性与周期性，是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于灵活选择方法，如结合选项应用“排除法”，通过举反例应用“排除法”等.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等. 三、解答题（74分）19. 将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕的1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为2π，11A B 长为π，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧。

2016年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试上海 数学试卷（理工农医类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为______________________2、设iiZ 23+=，期中i 为虚数单位，则Im z =______________________ 3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米）5、已知点(3,9)在函数xa x f +=1)(的图像上，则________)()(1=-x fx f 的反函数6、如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为32arctan ，则该正四棱柱的高等于____________7、方程3sin 1cos2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________ 学.科.网8、在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________9、已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________10、设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则b a +的取值范围是____________11.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为.12.在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则BA BP ⋅的取值范围是.13.设[)π2,0,,∈∈c R b a ，若对任意实数x 都有()c bx a x +=⎪⎭⎫⎝⎛-sin 33sin 2π，则满足条件的有序实数组()c b a ,,的组数为.14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A Λ的中心，()0,11A .任取不同的两点j i A A ,，点P 满足0=++j i OA OA OP ，则点P落在第一象限的概率是. 二、选择题（5×4=20）15.设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 16.下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（ ） （A ）θρcos 56+= （B ）θρin s 56+= （C ）θρcos 56-= （D ）θρin s 56-=17.已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞→lim .下列条件中，使得()*∈<Nn S S n 2恒成立的是（ ）（A ）7.06.0,01<<>q a （B ）6.07.0,01-<<-<q a （C ）8.07.0,01<<>q a （D ）7.08.0,01-<<-<q a18、设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（ ）A 、①和②均为真命题B 、①和②均为假命题C 、①为真命题，②为假命题D 、①为假命题，②为真命题 学科.网三、解答题（74分）19.将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕的1OO 旋转一周形成圆柱，如图，»AC 长为23π，¼11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧。

2016年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）（2016?上海）设x∈R，则不等式|x﹣3|＜1的解集为（2，4）．【分析】由含绝对值的性质得﹣1＜x﹣3＜1，由此能求出不等式|x﹣3|＜1的解集．【解答】解：∵x∈R，不等式|x﹣3|＜1，∴﹣1＜x﹣3＜1，解得2＜x＜4．∴不等式|x﹣3|＜1的解集为（2，4）．故答案为：（2，4）．2．（4分）（2016?上海）设z=，其中i为虚数单位，则Imz=﹣3．【分析】利用复数代数形式的乘除运算法则，先求出复数z的最简形式，由此能求出Imz．【解答】解：∵Z====2﹣3i，∴Imz=﹣3．故答案为：﹣3．3．（4分）（2016?上海）已知平行直线l：2x+y﹣1=0，l：2x+y+1=0，则l，l2211的距离．【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可．．=l，l的距离：1=0，1=0l：2x+y+，则+l【解答】解：平行直线：2xy ﹣2211．故答案为：，位同学的身高（单位：米）分别为1.72（2016?上海）某次体检，644．（分）1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是1.76（米）．【分析】先把这组数据按从小到大排列，求出位于中间的两个数值的平均数，得到这组数据的中位数．【解答】解：∵6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，从小到大排列为：1.69，1.72，1.75，1.77，1.78，1.80，位于中间的两个数值为1.75，1.77，∴这组数据的中位数是：=1.76（米）．故答案为：1.76．x的图象上，则f（x）（x）=1+a．（4分）（2016?上海）已知点（3，9）在函数f51﹣（x）=log（x﹣1的反函数f）（x＞1）．2x3，解得a=2．可得9=1+a（）在函数fx）=1+a可的图象上，【分析】由于点（3，9xx=y，解得x=log（y﹣1），（y＞1）．把x与得f（x）=1+2y，由1+2互换即可21﹣（x）x）的反函数f．得出f（x3，解得a=2．的图象上，∴9=1+f（x）=1+aa【解答】解：∵点（3，9）在函数xx=y，解得x=log（y﹣1），（y＞1∴f（x）=1+2，由1+2）．21﹣（x）=log（x﹣1）．f 把x与y互换可得：f（x）的反函数2故答案为：log（x﹣1），（x＞1）．26．（4分）（2016?上海）在正四棱柱ABCD﹣ABCD中，底面ABCD的边长为3，1111BD与底面所成角的大小为arctan，则该正四棱柱的高等于2．1【分析】根据正四棱柱ABCD﹣ABCD的侧棱DD⊥底面ABCD，判断∠DBD为111111直线BD与底面ABCD所成的角，即可求出正四棱柱的高．1【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣ABCD的侧棱DD⊥底面ABCD，11111∴∠DBD为直线BD与底面ABCD所成的角，11∴tan∠DBD=，1∵正四棱柱ABCD﹣ABCD中，底面ABCD的边长为3，1111∴BD=3，∴正四棱柱的高=3×=2，故答案为：2．．或]上的解为方程3sinx=1+cos2x在区间[0，2π7．（4分）（2016?上海）利用二倍角公式化简方程为正弦函数的形式，然后求解即可．【分析】2，x，可得3sinx=2﹣2sin【解答】解：方程3sinx=1+cos2x2]，2π∈[0，sinx=﹣2（舍去）sinx=，即2sinxx+3sinx﹣2=0．可得．x=或解得．故答案为：或n的二项式中，所有的二项式系数之和为）上海）在（﹣．（4分）（2016?8．，则常数项等于112256n．在展开式n=8，求得【分析】根据展开式中所有二项式系数的和等于2=256的值，即可求得展开式中的常数r0，求得的通项公式中，令x的幂指数等于项．n，256）解：∵在（的二项式中，所有的二项式系数之和为﹣【解答】n，，解得2∴n=8=2568，=∴（﹣）T中，=1r+2．=112）（﹣=时，常数项为，即∴当=0r=2T23．112故答案为：，则该三角形的外的三边长分别为上海）已知△（4．9（分）2016?ABC3，57，．接圆半径等于，由，a=3的三边分别为可设△【分析】ABCb=5，运用余弦定理可得c=7，cosC，再由正弦定理可得该三角形的外接圆半径为，同角的平方关系可得sinC代入计算即可得到所求值．【解答】解：可设△ABC的三边分别为a=3，b=5，c=7，由余弦定理可得，cosC===﹣，==可得sinC=，．=可得该三角形的外接圆半径为=．故答案为：10．（4分）（2016?上海）设a＞0，b＞0，若关于x，y的方程组无解，则a+b的取值范围为（2，+∞）．【分析】根据方程组无解，得到两直线平行，建立a，b的方程关系，利用转化法，利用基本不等式的性质进行求解即可．【解答】解：∵关于x，y的方程组无解，∴直线ax+y=1与x+by=1平行，∵a＞0，b＞0，≠∴，，，则b=1，且ab=1a≠1，b≠即由基本不等式有：，不满a≠1的范围为a＞+b=a+≥20且=2，当且仅当a=1时取等，而aa足取等条件，∴a+b＞2，故答案为：（2，+∞）．11．（4分）（2016?上海）无穷数列{a}由k个不同的数组成，S为{a}的前n项nnn*，S∈{2，3}，则k的最大值为4和，若对任意n∈N．n*，S∈{2，3}，列举出n=1，【分析】对任意n∈N2，3，4的情况，归纳可得n n＞4后都为0或1或﹣1，则k的最大个数为4．*，S∈{2，解：对任意n∈N3}，可得【解答】n当n=1时，a=S=2或3；11若n=2，由S，3；或0，3；或1，2；或0，2，可得数列的前两项为}3，2{∈2．﹣1；若n=3，由S∈{2，3}，可得数列的前三项为2，0，0；或2，0，1；3或2，1，0；或2，1，﹣1；或3，0，0；或3，0，﹣1；或3，1，0；或3，1，﹣1；若n=4，由S∈{2，3}，可得数列的前四项为2，0，0，0；或2，0，0，1；3或2，0，1，0；或2，0，1，﹣1；或2，1，0，0；或2，1，0，﹣1；或2，1，﹣1，0；或2，1，﹣1，1；或3，0，0，0；或3，0，0，﹣1；或3，0，﹣1，0；或3，0，﹣1，1；或3，﹣1，0，0；或3，﹣1，0，1；或3，﹣1，1，0；或3，﹣1，1，﹣1；…即有n＞4后一项都为0或1或﹣1，则k的最大个数为4，不同的四个数均为2，0，1，﹣1．故答案为：4．12．（4分）（2016?上海）在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，﹣1），．] ，1+上一个动点，则P是曲线y=?的取值范围是 [0，）sinα=（cosα，+1π0，]，则=（1，1），sinα【分析】设P（cosα，），α∈[的取值范围．?由此能求出，）0，﹣1，【解答】解：∵在平面直角坐标系中，A（10），B（上一个动点，P是曲线y=，π]∈cosα，sinα），α[0，P∴设（，1+）（cosα，sinα，∴=（1，1）=，1==cosα+sinα+．0[，1+]∴?的取值范围是．]0，1+故答案为：[2sinx都有，[02π），若对于任意实数cb2016?（13．4分）（上海）设a，∈R，∈．4的组数为cba则满足条件的有序实数组）+（）3x（﹣=asinbxc，（，，）根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同．【分析】【解答】解：∵对于任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），∴必有|a|=2，若a=2，则方程等价为sin（3x﹣）=sin（bx+c），则函数的周期相同，若b=3，此时C=，若b=﹣3，则C=，若a=﹣2，则方程等价为sin（3x﹣）=﹣sin（bx+c）=sin（﹣bx﹣c），若b=﹣3，则C=，若b=3，则C=，综上满足条件的有序实数组（a，b，c）为（2，3，），（2，﹣3，），（﹣2，﹣3，），（﹣2，3，），共有4组，故答案为：4．14．（4分）（2016?上海）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形AA…A812，则点+=0）任取不同的两点A，A，点P满足+（的中心，A1，ji1．落在第一象限的概率是P的八个顶点中任取两个的事件A…A【分析】利用组合数公式求出从正八边形A821的终点+P落在第一象限，则需向量=总数，满足++，且点落在第三象限，列出事件数，再利用古典概型概率计算公式求得答案．．【解答】解：基本事件总数为A…A的八个顶点中任取两个，从正八边形A812，为：AA，落在第一象限，对应的=+满足+，且点P ji种取法．A，（）A，（）A，（）A，（A，A，A，AA，A（），）共57576658574．∴点P落在第一象限的概率是，故答案为：．二、选择题（5&#215;4=20分）2＞1”的（是“a）2016?上海）设a∈R，则“a＞1”15．（5分）（A．充分非必要条件B．必要非充分条件D．既非充分也非必要条件C．充要条件【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．2＞1得a＞1或【解答】解：由aa＜﹣1，2＞1”的充分不必要条件，1”是“a即“a＞故选：A．16．（5分）（2016?上海）下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是（）5sinθ﹣D．ρ=65sinθC．ρ=6﹣5cosθA．ρ=6+5cosθB．ρ=6+取得最大值，即可判断出结论．ρ时，【分析】由图形可知：取得最大值，ρ时，【解答】解：由图形可知：满足上述条件．D只有．D故选：（2016?上海）已知无穷等比数列a}17．nn*），且项和为S的公比为q，前n{（5分）N）恒成立的是（，下列条件中，使得2S＜S（n∈=S n0.7q＜0＞，0.6＜A．＜B．a＜0，﹣0.7q＜﹣0.6a110.8＜＜0.70.8＜D．a0，﹣＜q＜﹣，0.7qC．a＞011＞，由此利用排除法能求出结果．【分析】由已知推导出，1＜＜，﹣，【解答】解：∵S==1q2S＜S，n＞，∴＞，故A与，则C不可能成立；若a＞01n＜，qa＜0，则若1在B中，a＜0，﹣0.7＜q＜﹣0.6故B成立；12不成立．，D0.7，此时q＞＜0，﹣0.8＜q＜﹣在D中，a1故选：B．18．（5分）（2016?上海）设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：①f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均为增函数，则f（x）、g（x）、h（x）中至少有一个增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题D．①为真命题，②为假命题．①为假命题，②为真命题C，，，＜＜，h）=（x）（fx）=．g（x①不成立．【分析】可举反例：，＞，，=．，＞②由题意可得：f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T），h（x）+g（x）=h（x+T）+g（x+T），可得：g（x）=g（x+T），h（x）=h（x+T），f （x）=f（x+T），即可判断出真假．，，，＜＜，（x）=可举反例：（fx）=．g解：【解答】①不成立．，＞，，h（x）=．，＞②∵f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T），h（x）+g（x）=h（x+T）+g（x+T），前两式作差可得：g（x）﹣h（x）=g（x+T）﹣h（x+T），结合第三式可得：g（x）=g（x+T），h（x）=h（x+T），同理可得：f（x）=f（x+T），因此②正确．故选：D．三、解答题（74分）19．（12分）（2016?上海）将边长为1的正方形AAOO（及其内部）绕OO旋111OO 与C在平面AA长为，转一周形成圆柱，如图，其中B长为π，111的同侧．（1）求三棱锥C﹣OAB的体积；111（2）求异面直线BC与AA所成的角的大小．11，由此=为正三角形，从而AB1）连结OB，推导出△O【分析】（11111的体积．B﹣OA能求出三棱锥C111为直线C，∠BB，则，连结BBBB∥AA（2）设点B在下底面圆周的射影为B11111所成角大小．AAC与与AA所成角（或补角），由此能求出直线BBC1111，=∠AOB）连结1OB，则∠OAB=【解答】解：（11111111为正三角形，OAB∴△111，=∴．==，AA，则B，连结BBBB∥在下底面圆周的射影为2（）设点B1111，所成角（或补角）C与AABBB∴∠C为直线111，=AA=1BB11，、、连结BCBOOC ∠AOB=∠AOB=，，∴∠BOC=，111∴△BOC为正三角形，∴BC=BO=1，∴tan∠BBC=1，1∴直线BC与AA所成角大小为45°．11所在直线是一条小河，收获，EFGHEH分）（2016?上海）有一块正方形20．（14SS，其中F点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域S和的蔬菜可送到112的分界和SF点较近，而菜地内S中的蔬菜运到中的蔬菜运到河边较近，S212O现建立平面直角坐标系，其中原点上的点到河边与到F点的距离相等，线C，如图）1，0为EF的中点，点F的坐标为（的方程；C（1）求菜地内的分界线面积的经验SS面积的两倍，由此得到（2）菜农从蔬菜运量估计出S面积是112MEH 为一边，另一边过点C上纵坐标为1的点，请计算以值为．设M是经“并判断哪一个更接近于S面积的的面积，的矩形的面积，及五边形EOMGH1．”验值，根据条件建立方程关系进行求解）x1）设分界线上任意一点为（，y【分析】（即可．的面积，五边形，=1则）y，（设2（）Mx，y分别求出对应矩形面积，FOMGH000进行比较即可．得，）x，y，由题意得|x+1|=【解答】解：（1）设分界线上任意一点为（，）x≤1，（0≤y=2，=1，则y（x，y）（2）设M000，=x=∴0∴设所表述的矩形面积为S，则S=2×（+1）=2×=，33=，+×1﹣S+S=﹣×=S设五边形EMOGH的面积为S，则S MGNOMP443△△=，S﹣S=S=﹣=＜，S﹣1134∴五边形EMOGH的面积更接近S的面积．12，的左、右焦点分别为F，F上海）双曲线x﹣=1（b＞0）1421．（分）（2016?21两点．且与双曲线交于AB，直线l过F2是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；FAB）直线l的倾斜角为，△（11的斜率．l=0+，求b=（2）设，若l）?的斜率存在，且（，bAB，利用三角形是正三角形，求解【分析】（1）利用直线的倾斜角，求出即可得到双曲线方程．坐标，利用向量的数量积BA、（2）求出左焦点的坐标，设出直线方程，推出，即可求值直线的斜率．为02=1（b＞0）的左、右焦点分别为F，F﹣（【解答】解：1）双曲线x，a=1，2122，b+c=1两点，直线，且与双曲线交于AFl过B2是等边三角形，l直线ABF，△的倾斜角为12，，可得：可得：A（c，b）242，）+3bb=4（a42﹣4=0，﹣4b即3b2=2b．＞0，解得b2，x﹣=1所求双曲线方程为：．x其渐近线方程为y=±2=1，可得F（﹣2﹣x，0），F（2，0）（2）b=．，双曲线21设A （x，y），B（x，y），直线的斜率为：k=，2112，2）﹣l的方程为：y=k（x直线2222﹣3=04k+4k，可得：由题意可得：（3﹣kx）x﹣，消去y22≠0k，0且3△=36（1+k﹣）＞，=x可得+x21．）=﹣4+x﹣4）=k（+则yy=k（x2211，y）+=（x2，11，）=（x+2，y22可得：（x+x+）?=04，y+y）?（x ﹣x，y﹣y）=0，（+22211211可得x+x+4+（y+y）k=0，2211?k=0+得+42，k=可得：．k=±解得．l的斜率为：±22．（16分）（2016?上海）已知a∈R，函数f （x）=log（+a）．2（1）当a=5时，解不等式f（x）＞0；（2）若关于x的方程f（x）﹣log的解集中恰好有一个元=0]5﹣2a+x）4﹣a（[2．素，求a的取值范围．（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．【分析】（1）当a=5时，解导数不等式即可．（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论a的取值范围进行求解即可．（3）根据条件得到f（t）﹣f（t+1）≤1，恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可．，）（+5f（x）=log【解答】解：（1）当a=5时，2，）＞0；得log（+5由f（x）＞02，x＜﹣x＞0或，则1＞﹣4，则+4=＞0，即即+5＞．}x＞0或＜﹣即不等式的解集为{x|x2a+4）xa）﹣log[（a﹣（（a ﹣4）x+2a﹣5]=0得log+[（2）由f（x）﹣log222．=0﹣5]，5]4）x+2a﹣[即log（+a）=log（a﹣22，①0+2a﹣5＞即+a=（a﹣4）x2，5）x﹣a﹣4）x1=0+（a﹣则（，②，=01]x）[（a﹣4）﹣1即（x+，代入①，成立1x=﹣当a=4时，方程②的解为，代入①，成立﹣1a=3当时，方程②的解为x=，x=3时，方程②的解为﹣1或x=a当≠4且a≠若x=﹣1是方程①的解，则+a=a﹣1＞0，即a＞1，若x=是方程①的解，则+a=2a﹣4＞0，即a＞2，则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a≤2．综上，若方程f（x）﹣log[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，则a2的取值范围是1＜a≤2，或a=3或a=4．（3）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1，即log（+a）﹣log（+a）≤1，22即+a≤2（+a），即a≥﹣=设1﹣t=r，则0≤r≤，==，当r=0时，=0，当0＜r≤时，=，∵y=r+在（0，）上递减，=，+≥∴r，∴==．≥∴实数a的取值范围是a*），必有∈N（p，q（2016?上海）若无穷数列{a}满足：只要a=a23．（18分）qpn a=a，则称{a}具有性质P．n1qp1++（1）若{a}具有性质P，且a=1，a=2，a=3，a=2，a+a+a=21，求a；3164n2578（2）若无穷数列{b}是等差数列，无穷数列{c}是公比为正数的等比数列，nn b=c=1；b=c=81，a=b+c，判断{a}是否具有性质P，并说明理由；nn511n5n*），求证：“对任意a，{a+是无穷数列，已知a=bsina（n∈N}}（3）设{b nnnn1n1+都具有性质P”的充要条件为“{b}是常数列”．n【分析】（1）利用已知条件通过a=a=2，推出a=a，a=a，转化求解a即可．3423576（2）设无穷数列{b}的公差为：d，无穷数列{c}的公比为q，则q＞0，利用条nn件求出，d与q，求出b，c得到a的表达式，推出a≠a，说明{a}不具有nn2n6n性质P．（3）充分性：若{b}是常数列，设b=C，通过a=C+sina，证明a=a，得1nqpn1n1n+++到{a}具有性质P．n必要性：若对于任意a，{a}具有性质P，得到a=b+sina，设函数f（x）=x﹣11n21b，g（x）=sinx，说明b=b，即可说明{b}是常数列．nnn11+【解答】解：（1）∵a=a=2，∴a=a，6235a=a=3，∴a=a=2，a=21﹣a﹣a=16，∴a=16．35747868（2）设无穷数列{b}的公差为：d，无穷数列{c}的公比为q，则q＞0，nn b﹣b=4d=80，154 c=﹣19，=q=，∴q=，∴=20n∴d=20，∴b nn．=b+c=20n﹣19+∴a nnn∵a=a=82，51而a=21+27=48，a=101=．a=a，但是a≠a，{a}不具有性质P．n652216（3）充分性：若{b}是常数列，n设b=C，则a=C+sina，nn1n+若存在p，q使得a=a，则a=C+sina=C+sina=a，1qqqpp1p++故{a}具有性质P．n必要性：若对于任意a，{a}具有性质P，n1则a=b+sina，112设函数f（x）=x﹣b，g（x）=sinx，1由f（x），g（x）图象可得，对于任意的b，二者图象必有一个交点，1∴一定能找到一个a，使得a﹣b=sina，1111∴a=b+sina=a，∴a=a，11n121n+故b=a﹣sina=a﹣sina=b，n1nn121nnn++++∴{b}是常数列．n。

2016年上海高考理科试题及答案1、设x ∈R ，则不等式|x -3|<1的解集为 .解：由原不等式得-1<x-3<1,∴2<x<4，∴原不等式解集为(2,4).2、设z=(3+2i)/i ，其中i 为虚数单位，则Imz= .解：z=(3+2i)/i=-(3i-2)=2-3i ，则复数z 的虚部为-3，即Imz=-3.3、已知平行直线l 1：2x +y -1=0，l 2：2x +y +1=0，则l 1与l 2的距离是 . 解：d=|1-(-1) | /√(4+1)=2√5/5.4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77，则这组数据的中位数是 . 1.76解：六个数依次排列如下：1.69<1.72< 1.75<1.77<1.78<1.80, 位于中间的两个数的平均数，即(1.75+1.77)/2=1.76，就是中位数.5、已知点(3,9)在函数f (x )=1+a ^x 的图像上，则f (x )的反函数 f -1(x )= .log 2(x-1) 解：由点(3,9)在函数f(x)=1+a^x 的图像上知a=2，那么函数y=1+2^x 的反函数是y=log2(x-1).6、如图，在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 的边长3，BD 1与底面所成的角的大小为arctan 32，则该正四棱柱的高等于 . 解：∠DBD1是BD1与底面所成的角，设DD1=x ，则BD1=√(18+x^2)，由√(18+x^2)/3√2=2/3，解得x=2√2.7、方程3sinx =1+cos2x 在区间[0,2π]上的解为 . π/6, 5π/6解：3sinx =1+1-2(sinx ) ^2, 得sinx =1/2,或sinx =-2(舍), 故原方程1在区间[0,2π]上的解为π/6, 5π/6.8、在n xx )2(3-的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于 . 解：由二项式系数之和为256知n=8，对T(r+1)通项分析得r=2,从而T3=112.9、已知△ABC 的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于 .解：先由余弦定理计算三角形某角的余弦，化为正弦，然后用正弦定理得到外接圆半径为7√3/3.10、设a >0,b >0，若关于x ,y 的方程组⎩⎨⎧=+=+11by x y ax 无解，则a +b 的取值范围是 .(2,+ ∞) 解：由方程组无解知ab=1且a ≠b ，所以a +b >2√ab=2，即a +b 的取值范围是(2,+ ∞) .11、无穷数列{a n }由k 个不同的数组成，S n 为前n 项和，若对任意n ∈N*，S n ∈{2,3}，则k 的最大值为 . 4解：依题目要求，构造无穷数列{a n }如下：2,1,-1,0,0,…，它由4个不同的数组成.再也不可能用更多数组成符合要求的数列了，所以k 的最大值为4.12、在平面直角坐标系中，已知A(1,0)，B(0,-1)，P 是曲线21x y -=上一个动点，则向量的数量积BP·BA 的取值范围是 . [0,1+2]解：曲线是圆心在原点、半径为1的半圆，半圆的范围是-1≤x≤1,0≤y≤1.设P(cosθ,sinθ).则向量的数量积BP ·BA= cosθ+sinθ+1，由-1≤x≤1,0≤y≤1知0≤θ≤π，于是-1≤cosθ+sinθ=√2sin(θ+π/4)≤√2,因此所求取值范围是[0,1+√2] C BA D D 1 A 1B 1C 113、设a ,b ∈R ，c ∈[0, 2π)，若对任意实数x 都有)sin()33sin(2c bx a x +=-π，则满足条件的有序实数组(a ,b ,c )的组数为 . 414、如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形A 1,A 2,…,A 8的中心，A(1,0)，任取不同的两点A i ,A j ，点P 满足向量0=++j i OA OA OP ，则点P 落在第一象限的概率是 . 5/2815、a ∈R ，则“a >1”是“a 2>1”的( )条件.AA 充分不必要B 必要不充分C 充要D 既不充分又不必要16、下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是( ).DA ρ=6+5cos θB ρ=6+5sin θC ρ=6-5cos θD ρ=6-5sin θ17已知无穷等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，且S S n n =∞→l i m ，下列条件中，使得S S n <2恒成文的是( ). BA a 1>0，0.6<q <0.7B a 1<0，-0.7<q <-0.6C a 1>0，0.7<q <0.8D a 1<0，-0.8<q <-0.7 18设f (x ), g (x ), h (x )是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若f (x )+ g (x ), f (x )+h (x ), g (x )+ h (x )均为增函数，则f (x ), g (x ), h (x )中至少有一个增函数；②若f (x )+ g (x ), f (x )+h (x ), g (x )+ h (x )均是以T 为周期的函数，则f (x ), g (x ), h (x )均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是( ).DA ①和②均为真命题B ①和①均为假命题C ①为真命题，②为假命题D ①为假命题，②为真命题19、将边长为1的正方形AA 1O 1O （及其内部）绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图，AC ︵长为32π，A 1B 1⌒长为3π，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧， ⑴求三棱锥C-O 1A 1B 1的体积；√3/12 ⑵求异面直线B 1C 与AA 1所成的角的大小.π/4 20、有一块正方形菜地EFGH ， EH 所在直线是一条小河。

2016年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试上海 数学试卷（理工农医类）考生注意：1、 本试卷共4页，23道试题，满分150分，考试时间120分钟。

2、本考试分设试卷和答题纸，试卷包括试题与答题要求，作答必涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分。

3、答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名。

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为______________________2、设ii Z 23+=，期中i 为虚数单位，则Im z =______________________ 3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则12l l 与的距离是_______________4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米）5、已知点(3,9)在函数x a x f +=1)(的图像上，则________)()(1=-x f x f 的反函数 6、如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为32arctan ，则该正四棱柱的高等于____________7、方程3sin 1cos 2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________ 学.科.网 8、在n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________ 9、已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________10、设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则b a +的取值范围是____________11.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为___________.12.在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则BA BP ⋅的取值范围是___________.13.设[)π2,0,,∈∈c R b a ，若对任意实数x 都有()c bx a x +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-sin 33sin 2π，则满足条件的有序实数组()c b a ,,的组数为___________. 14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A 的中心，()0,11A .任取不同的两点j i A A ,，点P 满足0=++j i OA OA OP ，则点P 落在第一象限的概率是___________.二、选择题（5×4=20）15.设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件16.下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（ ）（A ）θρcos 56+= （B ）θρin s 56+=（C ）θρcos 56-= （D ）θρin s 56-= 17.已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞→l i m .下列条件中，使得()*∈<N n S S n 2恒成立的是（ ）（A ）7.06.0,01<<>q a （B ）6.07.0,01-<<-<q a（C ）8.07.0,01<<>q a （D ）7.08.0,01-<<-<q a18、设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（ ） A 、①和②均为真命题B 、①和②均为假命题C 、①为真命题，②为假命题D 、①为假命题，②为真命题 学科.网三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19.（本题满分12分）将边长为1的正方形11AAOO （及其内部）绕的1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为23π，11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AAOO 的同侧。

2016年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学理一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 设x∈R，则不等式|x-3|＜1的解集为 .解析：∵x∈R，不等式|x-3|＜1，∴-1＜x-3＜1，解得2＜x＜4.∴不等式|x-3|＜1的解集为(2，4).答案：(2，4).2. 设z=32ii+，其中i为虚数单位，则Imz= .解析：∵Z=22323232231i i i iii i++-===--，∴Imz=-3．答案：-3．3. 已知平行直线l1：2x+y-1=0，l2：2x+y+1=0，则l1，l2的距离 .解析：平行直线l1：2x+y-1=0，l2：2x+y+1=0，则l1，l25 =.答案：5.4. 某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是（米）．解析：∵6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，从小到大排列为：1.69，1.72，1.75，1.77，1.78，1.80，位于中间的两个数值为1.75，1.77，∴这组数据的中位数是：1.75+1.772=1.76（米）．答案：1.76．5. 已知点(3，9)在函数f(x)=1+a x 的图象上，则f(x)的反函数f -1(x)= . 解析：∵点(3，9)在函数f(x)=1+a x 的图象上，∴9=1+a 3，解得a=2.∴f(x)=1+2x ，由1+2x =y ，解得x=log 2(y-1)，(y ＞1).把x 与y 互换可得：f(x)的反函数f -1(x)=log 2(x-1).答案：log 2(x-1)，(x ＞1).6. 在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 的边长为3，BD 1与底面所成角的大小为arctan 23，则该正四棱柱的高等于 . 解析：∵正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧棱D 1D ⊥底面ABCD ，∴∠D 1BD 为直线BD 1与底面ABCD 所成的角，∴tan ∠D 1BD=23， ∵正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 的边长为3，∴BD=∴正四棱柱的高=23答案：7. 方程3sinx=1+cos2x 在区间[0，2π]上的解为 .解析：方程3sinx=1+cos2x ，可得3sinx=2-2sin 2x ，即2sin 2x+3sinx-2=0.可得sinx=-2，(舍去)sinx=12，x ∈[0，2π] 解得x=6π或56π. 答案：6π或56π.8.在2n x ⎫⎪⎭的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于 .解析：∵在2nx ⎫⎪⎭的二项式中，所有的二项式系数之和为256， ∴2n =256，解得n=8，∴82x ⎫⎪⎭中，()8483188(22)r r r r r r r T C C x x --+=-=-， ∴当8403r -=，即r=2时，常数项为()22382112T C =-=. 答案：112.9. 已知△ABC 的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于 . 解析：可设△ABC 的三边分别为a=3，b=5，c=7，由余弦定理可得，cosC=22292549122352a b c ab +-+-==-⨯⨯， 可得==可得该三角形的外接圆半径为232c sinC ==..10. 设a＞0，b＞0，若关于x，y的方程组11ax yx by+⎧⎨+⎩＝＝无解，则a+b的取值范围为 .解析：∵关于x，y的方程组11ax yx by+⎧⎨+⎩＝＝无解，∴直线ax+y=1与x+by=1平行，∵a＞0，b＞0，∴11 11 ab≠＝，即a≠1，b≠1，且ab=1，则1ba =，则a+b=a+1a，则设f（a）=a+1a，（a＞0且a≠1），则函数的导数222111af aa a-'=-=（），当0＜a＜1时，f′（a）=221aa-＜0，此时函数为减函数，此时f（a）＞f（1）=2，当a＞1时，f′（a）=221aa-＞0，此时函数为增函数，f（a）＞f（1）=2，综上f（a）＞2，即a+b的取值范围是（2，+∞），答案：（2，+∞）．11. 无穷数列{a n}由k个不同的数组成，S n为{a n}的前n项和，若对任意n∈N*，S n∈{2，3}，则k的最大值为 .解析：对任意n∈N*，Sn∈{2，3}，可得当n=1时，a1=S1=2或3；若n=2，由S2∈{2，3}，可得数列的前两项为2，0；或2，1；或3，0；或3，-1；若n=3，由S3∈{2，3}，可得数列的前三项为2，0，0；或2，0，1；或2，1，0；或2，1，-1；或3，0，0；或3，0，-1；或3，1，0；或3，1，-1； 若n=4，由S 3∈{2，3}，可得数列的前四项为2，0，0，0；或2，0，0，1； 或2，0，1，0；或2，0，1，-1；或2，1，0，0；或2，1，0，-1；或2，1，-1，0；或2，1，-1，1；或3，0，0，0；或3，0，0，-1；或3，0，-1，0；或3，0，-1，1；或3，-1，0，0；或3，-1，0，1；或3，-1，1，0；或3，-1，1，-1；…即有n ＞4后一项都为0或1或-1，则k 的最大个数为4，不同的四个数均为2，0，1，-1，或3，0，1，-1.答案：4.12. 在平面直角坐标系中，已知A （1，0），B （0，-1），P 是曲线y =点，则BP BA ⋅u u u r u u u r 的取值范围是 .解析：∵在平面直角坐标系中，A （1，0），B （0，-1），P 是曲线y =∴设P （cos α，sin α），α∈[0，π]，∴BA u u u r =（1，1），BP u u u r =（cos α，sin α+1），11)4(BP BA cos sin πααα⋅=++=++u u u r u u u r ，∴BP BA ⋅u u u r u u u r 的取值范围是[0，．答案：[0，]．13. 设a ，b ∈R ，c ∈[0，2π），若对于任意实数x 都有2sin （3x-3π）=asin （bx+c ），则满足条件的有序实数组（a ，b ，c ）的组数为 .解析：∵对于任意实数x 都有2sin （3x-3π）=asin （bx+c ）， ∴必有|a|=2，若a=2，则方程等价为sin （3x-3）=sin （bx+c ）， 则函数的周期相同，若b=3，此时C=53π， 若b=-3，则C=43π， 若a=-2，则方程等价为sin （3x-3π）=-sin （bx+c ）=sin （-bx-c ）， 若b=-3，则C=3π，若b=3，则C=23π， 综上满足条件的有序实数组（a ，b ，c ）为（2，3，53π），（2，-3，43π），（-2，-3，3π），（-2，3，23π）， 共有4组，答案：4．14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形A 1A 2…A 8的中心，A 1（1，0）任取不同的两点A i ，A j ，点P 满足0i j OP OA OA ++=u u u r u u u r u u u u r ，则点P 落在第一象限的概率是 .解析：从正八边形A 1A 2…A 8的八个顶点中任取两个，基本事件总数为2828C ＝．满足0i j OP OA OA ++=u u u r u u u r u u u u r ，且点P 落在第一象限，对应的A i ，A j ，为：（A 4，A 7），（A 5，A 8），（A 5，A 6），（A 6，A 7），（A 5，A 7）共5种取法．∴点P 落在第一象限的概率是28P ＝， 答案：528．二、选择题（5×4=20分）15. 设a ∈R ，则“a ＞1”是“a 2＞1”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件解析：由a 2＞1得a ＞1或a ＜-1，即“a ＞1”是“a 2＞1”的充分不必要条件.答案：A.16. 下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是（）A.ρ=6+5cos θB.ρ=6+5sin θC.ρ=6-5cos θD.ρ=6-5sin θ解析：由图形可知：θ＝-2时，ρ取得最大值，只有D 满足上述条件．答案：D ．17. 已知无穷等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，且n n lim S S →∞=，下列条件中，使得2S n ＜S （n ∈N*）恒成立的是（ ）A ．a 1＞0，0.6＜q ＜0.7B ．a 1＜0，-0.7＜q ＜-0.6C ．a 1＞0，0.7＜q ＜0.8D ．a 1＜0，-0.8＜q ＜-0.7解析：∵()11111n n n n a q a S S lim S q q →∞-==--＝，，-1＜q ＜1， 2S n ＜S ，∴a 1(2q n -1)＞0，若a 1＞0，则12n q ＞，故A 与C 不可能成立； 若a 1＜0，则12n q ＜，故B 成立，D 不成立． 答案：B ．18. 设f （x ）、g （x ）、h （x ）是定义域为R 的三个函数，对于命题：①f （x ）+g （x ）、f （x ）+h （x ）、g （x ）+h （x ）均为增函数，则f （x ）、g （x ）、h （x ）中至少有一个增函数；②若f （x ）+g （x ）、f （x ）+h （x ）、g （x ）+h （x ）均是以T 为周期的函数，则f （x ）、g （x ）、h （x ）均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（ ）A ．①和②均为真命题B ．①和②均为假命题C ．①为真命题，②为假命题D ．①为假命题，②为真命题解析：①不成立．可举反例：230210.301312021x x x x x x f x g x x x h x x x x x x x +≤⎧≤-≤⎧⎧⎪==-+=⎨⎨⎨-+⎩⎩⎪≥⎩，，，（）（），＜＜，（），＞，＞，． ②∵f （x ）+g （x ）=f （x+T ）+g （x+T ），f （x ）+h （x ）=f （x+T ）+h （x+T ），h （x ）+g （x ）=h （x+T ）+g （x+T ），前两式作差可得：g （x ）-h （x ）=g （x+T ）-h （x+T ），结合第三式可得：g （x ）=g （x+T ），h （x ）=h （x+T ），同理可得：f （x ）=f （x+T ），因此②正确．答案：D ．三、解答题（74分）19. 将边长为1的正方形AA 1O 1O （及其内部）绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为23π，A 1B 1长为3π，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧．（1）求三棱锥C-O 1A 1B 1的体积；（2）求异面直线B 1C 与AA 1所成的角的大小．解析：（1）连结O 1B 1，推导出△O 1A 1B 1为正三角形，从而S △O1A1B1=4，由此能求出三棱锥C-O 1A 1B 1的体积．（2）设点B 1在下底面圆周的射影为B ，连结BB 1，则BB 1∥AA 1，∠BB 1C 为直线B 1C 与AA 1所成角（或补角），由此能求出直线B 1C 与AA 1所成角大小．答案：（1）连结O 1B 1，则∠O 1A 1B 1=∠A 1O 1B 1=3π，∴△O 1A 1B 1为正三角形，∴S △O 1A 1B 1=4，11111111312C O A B O A B V OO S -=⨯⨯∆=． （2）设点B 1在下底面圆周的射影为B ，连结BB 1，则BB 1∥AA 1，∴∠BB 1C 为直线B 1C 与AA 1所成角（或补角），BB 1=AA 1=1，连结BC 、BO 、OC ，1112333AOB A O B AOC BOC πππ∠=∠=∠∴∠=，＝，， ∴△BOC 为正三角形，∴BC=BO=1，∴tan ∠BB 1C=45°，∴直线B 1C 与AA 1所成角大小为45°．20. 有一块正方形EFGH ，EH 所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F 点或河边运走.于是，菜地分别为两个区域S 1和S 2，其中S 1中的蔬菜运到河边较近，S 2中的蔬菜运到F 点较近，而菜地内S 1和S 2的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点，点F 的坐标为(1，0)，如图(1)求菜地内的分界线C 的方程；(2)菜农从蔬菜运量估计出S 1面积是S 2面积的两倍，由此得到S 1面积的经验值为83.设M 是C 上纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边，另一边过点M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于S 1面积的“经验值”.解析：(1)设分界线上任意一点为(x ，y)，根据条件建立方程关系进行求解即可.(2)设M(x 0，y 0)，则y 0=1，分别求出对应矩形面积，五边形FOMGH 的面积，进行比较即可.答案：(1)设分界线上任意一点为(x ，y)，由题意得，得(0≤x ≤1)，(2)设M(x 0，y 0)，则y 0=1， ∴200144y x ==， ∴设所表述的矩形面积为S 3，则S 3=2×(14+1)=2×5542=， 设五边形EMOGH 的面积为S 4，则S 4=S 3-S △OMP +S △MGN =511131*********-⨯⨯+⨯⨯=， S 1-S 3=851326-=，S 4-S 1=1181143126-=＜， ∴五边形EMOGH 的面积更接近S 1的面积.21. 双曲线2221y x b -=(b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，直线l 过F 2且与双曲线交于A 、B 两点.(1) 直线l 的倾斜角为2π，△F 1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；(2)设l 的斜率存在，且11·0F A F B AB +=u u u r u u u r u u u r （），求l 的斜率. 解析：（1）利用直线的倾斜角，求出AB ，利用三角形是正三角形，求解b ，即可得到双曲线方程．（2）求出左焦点的坐标，设出直线方程，推出A 、B 坐标，利用向量的数量积为0，即可求值直线的斜率．答案：（1）双曲线2221y x b -=（b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，a=1，c 2=1+b 2， 直线l 过F 2且与双曲线交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为2π，△F 1AB 是等边三角形， 可得：A （c ，b 2）222b c ⋅＝， 3b 4=4（a 2+b 2），即3b 4-4b 2-4=0，b ＞0，解得b 2=2． 所求双曲线方程为：2212y x -=， 其渐近线方程为y=．（2）2213y x -=，可得F 1（-2，0），F 2（2，0）． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线的斜率为：2121y y k x x -=-， 直线l 的方程为：y=k （x-2）， 由题意可得：22213y kx k y x -⎧⎪⎨-=⎪⎩＝，消去y 可得：（3-k 2）x 2+4k 2x-4k 2-3=0， △=36（1+k 2）＞0， 可得212243k x x k +=-， 则21212224124433k k y y k x x k k k +=+-=-=--（）（）． 1112F A x y =+u u u r （，）， 1222F B x y =+u u u r （，）， 11·0F A F B AB +=u u u r u u u r u u u r （）可得：（x 1+x 2+4，y 1+y 2）·（x 1-x 2，y 1-y 2）=0，可得x 1+x 2+4+（y 1+y 2）k=0， 得2224124033k k k k k --⋅++= 可得：235k =，解得k=．l ． 22. 已知a ∈R ，函数21f x log a x =+（）（）． （1）当a=5时，解不等式f （x ）＞0；（2）若关于x 的方程f （x ）-log 2[（a-4）x+2a-5]=0的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围．（3）设a ＞0，若对任意t ∈[12，1]，函数f （x ）在区间[t ，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．解析：（1）当a=5时，解导数不等式即可．（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论a 的取值范围进行求解即可．（3）根据条件得到f （t ）-f （t+1）≤1，恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可．答案：（1）当a=5时，215f x log x =+（）（）， 由f （x ）＞0；得215log x +（）＞0， 即1x +5＞1，则1x ＞-4，则14140x x x ++=＞，即x ＞0或x ＜-14，即不等式的解集为{x|x ＞0或x ＜-14}． （2）由f （x ）-log2[（a-4）x+2a-5]=0得log 2（1x +a ）-log 2[（a-4）x+2a-5]=0． 即log 2（1x+a ）=log 2[（a-4）x+2a-5]， 即1x+a=（a-4）x+2a-5＞0，① 则（a-4）x 2+（a-5）x-1=0，即（x+1）[（a-4）x-1]=0，②，当a=4时，方程②的解为x=-1，代入①，成立当a=3时，方程②的解为x=-1，代入①，成立当a ≠4且a ≠3时，方程②的解为x=-1或14x a =-， 若x=-1是方程①的解，则1x+a=a-1＞0，即a ＞1， 若14x a =-是方程①的解，则1x+a=2a-4＞0，即a ＞2， 则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a ≤2．综上，若方程f （x ）-log 2[（a-4）x+2a-5]=0的解集中恰好有一个元素，则a 的取值范围是1＜a ≤2，或a=3或a=4．（3）函数f （x ）在区间[t ，t+1]上单调递减，由题意得f （t ）-f （t+1）≤1， 即221111log a lo t g a t ++-+≤（）（）， 即1121t t a a +≤++（），即12111t t t t a t ≥-=-++（） 设1-t=r ，则0≤r ≤12，()()2132121r r r r r t t t r ==-++---（）， 当r=0时，232r r r -+=0， 当0＜r ≤12时，21=2323r r r r r-++-， ∵y=r+2r在（0）上递减， ∴219422r r +≥+=， ∴2112=29332332r r r r r ≤=-++--， ∴实数a 的取值范围是a ≥23．23. 若无穷数列{a n }满足：只要a p =a q （p ，q ∈N*），必有a p +1=a q +1，则称{a n }具有性质P ． （1）若{a n }具有性质P ，且a 1=1，a 2=2，a 4=3，a 5=2，a 6+a 7+a 8=21，求a 3；（2）若无穷数列{b n }是等差数列，无穷数列{c n }是公比为正数的等比数列，b 1=c 5=1；b 5=c 1=81，a n =b n +c n ，判断{a n }是否具有性质P ，并说明理由；（3）设{b n }是无穷数列，已知a n +1=b n +sina n （n ∈N*），求证：“对任意a 1，{a n }都具有性质P ”的充要条件为“{b n }是常数列”．解析：（1）利用已知条件通过a 2=a 5=2，推出a 3=a 6，a 4=a 7，转化求解a 3即可．（2）设无穷数列{b n }的公差为：d ，无穷数列{c n }的公比为q ，则q ＞0，利用条件求出，d 与q ，求出b n ，c n 得到a n 的表达式，推出a 2≠a 6，说明{a n }不具有性质P ．（3）充分性：若{b n }是常数列，设b n =C ，通过a n+1=C+sina n ，证明a p+1=a q+1，得到{a n }具有性质P ．必要性：若对于任意a 1，{a n }具有性质P ，得到a 2=b 1+sina 1，设函数f （x ）=x-b 1，g （x ）=sinx ，说明b n+1=b n ，即可说明{b n }是常数列．答案：（1）∵a 2=a 5=2，∴a 3=a 6，a 4=a 7=3，∴a 5=a 8=2，a 6=21-a 7-a 8=16，∴a 3=16．（2）设无穷数列{b n }的公差为：d ，无穷数列{c n }的公比为q ，则q ＞0，b 5-b 1=4d=80，∴d=20，∴b n =20n-19，451181c q c ==，∴q=13，∴513n n c -⎛⎫ ⎪⎝⎭= ∴5120193n n n n a b c n -=⎛⎫ ⎪⎝⎭+=-+． ∵a 1=a 5=82，而a 2=21+27=48，6130410133a =+=．a 1=a 5，但是a 2≠a 6，{a n }不具有性质P ． （3）充分性：若{b n }是常数列，设b n =C ，则a n +1=C+sina n ，若存在p ，q 使得a p =a q ，则a p +1=C+sina p =C+sina q =a q +1，故{a n }具有性质P ．必要性：若对于任意a 1，{a n }具有性质P ，则a 2=b 1+sina 1，设函数f （x ）=x-b 1，g （x ）=sinx ，由f （x ），g （x ）图象可得，对于任意的b 1，二者图象必有一个交点，∴一定能找到一个a 1，使得a 1-b 1=sina 1，∴a 2=b 1+sina 1=a 1，∴a n =a n+1，故b n+1=a n+2-sina n+1=a n+1-sina n =b n ，∴{b n }是常数列．考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。