最新人教版高中数学选修2-2第一章《导数》课堂探究

课堂探究求实际问题中的最值的主要步骤(1)列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )；(2)求函数的导数f ′(x )，解方程________；(3)比较函数在区间______和使f ′(x )＝0的点的取值大小，最大(小)者为最大(小)值．(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考虑，不符合实际意义的理论值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f ′(x )＝0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值；(3)在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中自变量的定义区间．【做一做1－1】内接于半径为R 的半圆的周长最大的矩形的边长为( )． A ．R 2和32R B ．55R 和455R C ．45R 和75R D ．以上都不对 【做一做1－2】面积为S 的所有矩形中，其周长最小的是________．如何求解实际应用题？剖析：解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问题抽象成数学问题．就是从实际问题出发，抽象概括，利用数学知识建立相应的数学模型；再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，得到数学结论；然后再把数学结论返回到实际问题中进行检验，其思路如下：(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系；(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型；(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；(4)对结果进行验证评估，定性、定量分析，作出正确的判断，确定其答案．值得注意的是：在实际问题中，有时会遇到函数在定义区间内只有一个点使f ′(x )＝0的情形，如果函数在这个点有极大(小)值，那么不与端点值比较也可以知道这就是最大(小)值．这里所说的也适用于开区间或无穷区间．答案：基础知识·梳理(2)f ′(x )＝0 (3)端点【做一做1－1】B 设矩形的一边长为x ，则另一边长为2R 2－x 2，周长l ＝2x ＋4R 2－x 2(0＜x ＜R )，∴l ′＝2－4x R 2－x 2，令l ′＝0，得x 1＝55R ，x 2＝－55R (舍去)，当0＜x ＜55R 时，l ′＞0；当55R ＜x ＜R 时，l ′＜0，所以当x ＝55R 时，l 取最大值，即矩形周长最大时边长为55R 和455R . 【做一做1－2】以S 为边长的正方形 设矩形的一边长为x ，则另一边长为S x，周长f (x )＝2⎝⎛⎭⎫x ＋S x ，f ′(x )＝2⎝⎛⎭⎫1－S x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝S ，易知当x ＝S 时，f (x )有极小值，也就是最小值．。

庖丁巧解牛知识·巧学一、函数的单调性与导数1.利用导数的符号判断函数的增减性一般地,设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内可导,如果f′(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果f′(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.要点提示若在某个区间上有有限个f′(x)=0,在其余点恒有f′(x)>0,则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似).那就说在区间内f′(x)>0是f(x)在此区间上为增函数的充分而不必要条件.2.利用导数判断数单调性的步骤(1)确定f(x)的定义域.(2)求导数f′(x).(3)由f′(x)>0(或f′(x)<0)解出相应的x的范围.当f′(x)>0时,f(x)在相应区间上是增函数;当f′(x)<0时,f(x)在相应区间上是减函数.深化升华①在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,只有在定义域内,通过讨论导数的符号,才能判断函数的单调区间.②在对函数划分单调区间时,除了必须确定使导数等于零的点外,还要注意在定义域内不连续的点和不可导的点.③如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,这些单调区间不能用“∪”连接,而只能用“逗号”或“和”字分开.二、函数的极值与导数1.函数的极值已知函数f(x),设x0是定义域内任一点,如果对x0附近的所有点x,都有f(x)<f(x0),则称函数f(x)在点x0处取极大值,记作y极大=f(x0),并把x0称为函数f(x)的一个极大值点;如果在x0附近都有f(x)>f(x0),则称函数f(x)在点x0处取极小值,记作y极小=f(x0),并把x0称为函数f(x)的一个极小值点.疑点突破极值是一个新的概念,是研究函数在某一个很小区域上的性质时给出的一个概念,在理解极值时要注意以下几点:①极值点x0是区间［a,b］内部的点,不会是端点a、b.②若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内绝对不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值.③根据函数的极值可知函数的极大值f(x0)比在点x0附近的点的函数值都大,在函数的图象上表现为极大值对应的点是局部的“高峰”;函数的极小值f(x0)比在点x0附近的点的函数值都小,在函数的图象上表现为极小值对应的点是局部的“低谷”.一个函数在其定义域内可以有许多极小值和极大值,在某一点处的极小值也可能大于另一个点处的极大值,极大值与极小值没有必然的联系,即极小值不一定比极大值小,极大值不一定比极小值大.④函数f(x)在［a,b］上有极值的话,它的极值点的分布是有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.一般地,当函数f(x)在［a,b］上连续且有有限个极值点时,函数f(x)在［a,b］内的极大值、极小值点是交替出现的.⑤可导函数的极值点必须为导数是0的点,但导数为0的点不一定是极值点;不可导的点可能是极值点,也可能不是极值点.例如:导数为0的点是极值点:y=x2,y′(0)=0,x=0是极值点;导数为0的点不是极值点:y=x3,y′(0)=0,x=0不是极值点;不可导点是极值点:y=|sinx|,x=0点处y不可导,是极小值点;不可导点不是极值点:y=31x ,x=0点处y 不可导,不是极值点.2.函数极值的判定设函数f(x)在x 0处连续,判别f(x 0)是极大(小)值的方法如下:(1)如果在x 0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x 0)是极大值; (2)如果在x 0附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x )>0,那么f(x 0)是极小值; (3)如果在x 0的两侧f′(x)的符号相同,则x 0不是极值点. 3.求可导函数极值的步骤 (1)求导数f′(x).(2)求方程f′(x)=0的所有实数根.(3)考察在每个根x 0附近,从左到右,导函数f′(x)的符号如何变化.如果f′(x)的符号由正变负,则f(x 0)是极大值;如果由负变正,则f(x 0)是极小值.误区警示 ①可导函数的极值点是导数为零的点,但是导数为零的点不一定是极值点,即点x 0是可导函数f(x)的极值是f′(x 0)=0的充分但不必要条件,如f(x)=x 3,有f′(0)=0,但x=0不是极值点.②可导函数f(x)在点x 0处取得极值的充要条件是f′(x 0)=0,且在x 0左侧和右侧,f′(x)的符号不同. 二、函数的最大(小)值与导数 1.函数的最大值与最小值函数f(x)在闭区间［a,b ］上的图象是一条连续不间断的曲线,则该函数在［a,b ］上一定能够取得最大值与最小值,函数的最值必在极值点或区间端点处取得.辨析比较 ①函数的极值表示函数在某一点附近的情况,是在局部上对函数值的比较;函数的最值是表示函数在整个定义区间上的情况,是对整个区间上的函数值的比较.②函数f(x)在一个闭区间上的最大值或最小值只能各有一个;而极大值或极小值可能多于一个,也可能没有,如常数函数无极大值,也无极小值. 2.求函数y=f(x)在［a,b ］上的最值的步骤 ①求f(x)在开区间(a,b)内所有使f′(x)=0的点;②计算函数f(x)在区间内使f′(x)=0的所有点和端点处的函数值,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.要点提示 ①求函数的最值与求函数的极值不同的是,在求可导函数的最值时,不需对各导数为0的点讨论其是极大值还是极小值,只需将导数为零的点和端点的函数值进行比较即可.②可利用函数的单调性求f(x)在区间上的最值:若f(x)在区间［a,b ］上单调递增,则f(x)的最大值为f(b),最小值为f(a);若f(x)在区间［a,b ］上单调递减,则f(x)的最大值为f(a),最小值为f(b). 问题·探究问题1 若y=f(x)在(a,b)内对任何x,都有f′(x)>0,则f(x)在(a,b)内为增函数,对吗?反之如何? 思路:按照导数的符号与函数的单调性的关系便可求解.探究:当f′(x)>0,则f(x)在(a,b)内为增函数是正确的;反之不一定是正确的,例如y=x 3在x ∈R 上恒为增函数,但f′(x)=3x 2≥0.问题2 若函数f(x)在x 0处取得极值,则f(x)在x 0处一定可导吗? 思路:按照函数的导数与函数的极值的关系分析易知.探究:不一定,例如f(x)=|x|在x=0处取得极小值,但f(x)=|x|在x=0处不可导. 问题3 函数的极值与最值是同一个概念吗?为什么?思路:函数f(x)在一个闭区间上的最大值或最小值只能各有一个,而极大值或极小值可能多于一个,也可能没有.探究:函数的最值与极值不是同一个概念:若函数在闭区间［a,b ］内有多个极值时,则最值由极值与端点处的函数值比较得到;若在闭区间内为单值函数,则极值点就是最值点. 典题·热题例1求函数f(x)=x 4-2x 2+3的单调递增区间. 思路分析:先求f′(x),若f′(x)>0,则f(x)单调递增. 解:f′(x)=4x 3-4x,令f′(x)>0,∴4x 3-4x>0.解之,得-1<x<0或x>1. ∴f(x)的单调递增区间是(-1,0)和(1,+∞).误区警示 单调区间(-1,0)与(1,+∞)只能用和、或连接,不能使用并集符号. 例2证明f(x)=x1在(0,+∞)上是减函数. 思路分析:可采用定义法和求导法两种方法来解题,体会求导法在解决函数单调性问题上的优越性.证明:法一:任取两个数x 1,x 2∈(0,+∞),设x 1<x 2,则 f(x 1)-f(x 2)=11x -21x =2112x x x x -,∵x 1>0,x 2>0且x 1<x 2,∴f(x 1)-f(x 2)>0.∴f(x 1)>f(x 2).∴f(x)在(0,+∞)上是减函数. 法二:f′(x)=21x -, ∵x>0,∴f′(x)<0.∴f(x)在(0,+∞)上是减函数.辨析比较 比较一下两种方法,用求导证明更简捷一些.如果是更复杂的函数,用导数的符号判断函数的单调性更能显示出它的优越性.例3(2005湖北高考)已知向量a =(x 2,x+1),b =(1-x,t).若函数f(x)=a ·b 在区间(-1,1)上是增函数,求t 的取值范围.思路分析:本题体现了高考重视对新增内容的考查以及常在知识交汇处设计问题的思想.利用向量的数量积运算求出f(x),利用导数与函数单调性的关系,将问题转化为不等式恒成立的问题,然后用函数的思想方法求解.解:法一:由题意得f(x)=x 2(1-x)+t(x+1)=-x 3+x 2+tx+t, 则f′(x)=-3x 2+2x+t.若f(x)在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上可设f′(x)≥0. ∴f′(x)≥0⇔t≥3x 2-2x 在区间(-1,1)上恒成立. 考虑函数g(x)=3x 2-2x,由于g(x)的图象是对称轴为x=31,开口向上的抛物线,故t≥3x 2-2x 在区间(-1,1)上恒成立⇔t≥g(-1),即t≥5.而t≥5时,f′(x)在(-1,1)上满足f′(x)>0,即f(x)在(-1,1)上是增函数. ∴t 的取值范围是t≥5.法二:由题意得f(x)=x 2(1-x)+t(x+1)=-x 3+x 2+tx+t, 则f′(x)=-3x 2+2x+t.若f(x)在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上可设f′(x)≥0. ∵f′(x)的图象是开口向下的抛物线,∴当且仅当f′(1)=t+1≥0,且f′(1)=t -5≥0时,f′(x)在(-1,1)上满足f′(x)>0,即f(x)在(-1,1)上是增函数.∴t 的取值范围是t≥5.深化升华 本题主要考查平面向量数量积的计算方法,利用导数研究函数的单调性等知识,要学会恒成立问题的解法.例4判断函数y=|ax-b|(a>0)在其定义域内是否存在极值. 思路分析:易知y=|ax-b|≥0,在x=ab处不可导,因此可用极值的定义判断. 解:在x=a b 附近有f(x)>f(ab ), ∴由极值的定义,知f(x)在x=a b 处取得极小值f(ab)=0.误区警示 ①解答此题时常有如下错误:当x>a b 时,y′=a;当x<ab时,y′=-a,即函数f(x)在x=ab处不可导,因此无极值. ②函数在某一点处不可导,不能直接断定函数在该点处没有极值.此时应考查函数的具体特征,利用极值的定义来判断函数是否存在极值. 例5如果函数f(x)=ax 5-bx 3+c(a≠0)在x=±1时有极值,极大值为4,极小值为0,试求a,b,c 的值. 思路分析:可通过求导确定可疑点,注意利用已知极值点x=±1所确定的相关等式,在判断y′的符号时,必须对a 进行分类讨论.解:y′=5ax 4-3bx 2,令y′=0,即5ax 4-3bx 2=0,x 2(5ax 2-3b)=0, ∵x=±1是极值点, ∴5a(±1)2-3b=0.又x 2>0,∴可疑点为x=0,±1. 若a>0,y′=5ax 2(x 2-1).当x 变化时,y′与y 的变化情况如下表:X (-∞,1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞) y′ + 0 - 0 - 0 + Y ↗ 极大值 ↘ 无极值 ↘ 极小值 ↗ ∴当x=-1时,f(x)有极大值; 当x=1时,f(x)有极小值.∴⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+-=++-,2,5,335213504c b a ab a bc b a c b a c b a 若a<0,同理可得a=-3,b=-5,c=2.方法归纳 从逆向思维出发,运用待定系数法,实现由已知向未知的转化,转化过程中通过列表形象直观地解决待定系数问题.例6确定函数y=31x 32)1(x -的单调区间,并求出它们的极值.思路分析:先由f′(x)=0找到极值点,极值点把定义域分成几个区间;再根据f′(x)的正负去判断各区间上函数的单调性.解:y′=31·3132313231313232)1(331])1(2)1[(31)1(132)1(1x x x x x x x x x x x --=---=-∙--(x≠0,x≠1).显然x=0或x=1时,导函数不存在,再由y′=0得x=31,故有可疑点:x=0,x=31,x=1,列表如下: x (-∞,0) 0 (0,31) 31 (31,1) 1 (1,+∞) f′(x) + 不存在 + 0- 不存在 + f(x)↗↗343↘↗故函数的单调增区间为(-∞,31］与(1,+∞);单调递减区间为［31,1］. 函数在x=31处取得极大值343;在x=1处取得极小值0.方法归纳 在求极值中,为判断方程f′(x)=0的根的左右两边值的符号,可用列表的方法,用方程f′(x)=0的根,以及不可导点,顺次将函数的定义域分成若干个小开区间,并列成表格.本例进一步说明:函数导数不存在的点也可能是极值点. 例7(2005北京高考)已知函数f(x)=-x 3+3x 2+9x+a. (1)求f(x)的单调递减区间;(2)若f(x)在区间［-2,2］上的最大值是20,求它在该区间上的最小值. 思路分析:本题主要考查利用导数求函数的单调区间、最值的方法.对于(1)先求出f′(x),解不等式f′(x)<0即可.(2)由f(x)的最大值为20,求出a,进而求出最小值. 解:(1)f′(x)=-3x 2+6x+9.令f′(x)<0,解得x<-1或x>3. ∴函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞).(2)∵f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a, ∴f(2)>f(-2).∵在(-1,3)上f′(x)>0,∴f(x)在［-1,2］上单调递增. 又由于f(x)在［-2,-1］上单调递减,∴f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间［-2,2］上的最大值和最小值. 于是有22+a=20,解得a=-2. ∴f(x)=-x 3+3x 2+9x-2. ∴f(-1)=1+3-9-2=-7,即函数f(x)在区间［-2,2］上的最小值为-7.深化升华 本题考查多项式的导数公式及运用导数求函数的单调区间和函数最值的方法,做题时注意应先比较f(-2)和f(2)的大小,然后判定哪个是最大值从而求出a.例8(2005天津高考)已知m ∈R ,设命题P:x 1和x 2是方程x 2-ax-2=0的两个实根,不等式|m 2-5m-3|≥|x 1-x 2|对任意实数a ∈［-1,1］恒成立;命题Q:函数f(x)=x 3+mx 2+(m+34)x+6在(-∞,+∞)上有极值.求使P 正确且Q 正确的m 的取值范围.思路分析:P:本题主要考查集合的运算、绝对值不等式、应用导数研究函数的单调性及极值等基础知识.将方程的根与不等式联系起来,通过解绝对值不等式求出m 的范围,Q:利用导数、根的判别式,求出m 的取值范围,然后求P,Q 的交集.解:(1)由题设x 1和x 2是方程x 2-ax-2=0的两个实根,得x 1+x 2=a 且x 1x 2=-2,∴|x 1-x 2|=84)(221221+=-+a x x x x .当a ∈［-1,1］时,a 2+8的最大值为9,即|x 1-x 2|≤3.由题意,不等式|m 2-5m-3|≥|x 1-x 2|对任意实数a ∈［-1,1］恒成立的m 的解集等于不等式|m 2-5m-3|≥3的解集,由此不等式得m 2-5m-3≤-3①或m 2-5m-3≥3②. 不等式①的解集为0≤m≤5,不等式②的解集为m≤-1或m≥6.因此,当m≤-1或0≤m≤5或m≥6时,P 是正确的. (2)对函数f(x)=x 3+mx 2+(m+34)x+6求导,得f′(x)=3x 2+2mx+m+34. 令f′(x)=0,即3x 2+2mx+m+34=0. 此一元二次方程的判别式Δ=4m 2-12(m+34)=4m 2-12m-16. 若Δ=0,则f′(x)=0有两个相等的实根x 0,且f′(x)的符号如下:x (-∞,x 0) x 0 (x 0,+∞) f′(x) + 0 +因此,f(x 0)不是函数的极值.若Δ>0,则f′(x)=0有两个不相等的实根x 1和x 2(x 1<x 2),且f′(x)的符号如下:X (-∞,x 1) x 1 (x 1,x 2) x 2 (x 2,+∞) f′(x) + 0 - 0 + 因此,函数f(x)在x=x 1处取得极大值,在x=x 2处取得极小值. 综上所述,当且仅当Δ>0时,函数f(x)在(-∞,+∞)上有极值. 由Δ=4m 2-12m-16>0得m<-1或m>4, 因此,当m<-1或m>4时,Q 是正确的.综上,使P 正确且Q 正确的实数m 的取值范围为(-∞,-1)∪(4,5］∪［6,+∞).例9(2005山东高考)已知x=1是函数f(x)=mx 3-3(m+1)x 2+nx+1的一个极值点,其中m,n ∈R ,m≠0.(1)求m 与n 的关系表达式; (2)求f(x)的单调区间.思路分析:本题注重对导数的应用与数学思想的考查.(1)由f′(1)=0确定m 与n 的关系.(2)由f′(x)>0,f′(x)<0确定f(x)的单调区间. 解:(1)f′(x)=3mx 2-6(m+1)x+n,∵x=1是f(x)的一个极值点,∴f′(1)=0,即3m-6(m+1)+n=0. ∴n=3m+6.(2)由(1),知f′(x)=3mx 2-6(m+1)x+3m+6=3m(x-1)［x-(1+m2)］. ①当m<0时,有1>1+m 2,当x 变化时,f(x)与f′(x)的变化如下表: x (-∞,1+m 2) 1+m 2 (1+m2,1)1 (1,+∞) f′(x)<0>0<0f(x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减由上表知,当m<0时,f(x)在(-∞,1+m 2)上单调递减,在(1+m2,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.②当m>0时,有1<1+m2,当x 变化时,f(x)与f′(x)的变化如下表: x (-∞,1) 1(1,1+m2) 1+m2 (1+m2,+∞) f′(x) >0 0 <0 0 >0 f(x)单调递增 极大值单调递减极小值 单调递增由上表知,当m>0时,f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,1+m 2)上单调递减,在(1+m2,+∞)单调递增. 深化升华 解决本题关键在于准确地求出m 与n 的关系式,以及借助二次函数解决恒成立问题.。

课堂探究知能点一：判断函数的单调性指点迷津利用导数的符号判断或证明函数的单调性，这是导数的几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它体现了数形结合的思想，判断或证明函数在某区间上是增函数时，只需证明f′(x)在此区间内有f′(x)＞0(≥0)；判断或证明函数f(x)在某区间内是减函数时，只需判断或证明f′(x)在该区间内有f′(x)＜0(≤0)即可．要注意的是，若f(x)为增函数，则f′(x)≥0，反之不然．因为f′(x)≥0，即f′(x)＞0或f′(x)＝0.当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，f(x)为常数，函数不具有单调性．所以，f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件．【例1】求证：函数f(x)＝e x－x－1在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)内是减函数．思路分析求导数f′(x)→在(0，＋∞)和(－∞，0),上讨论f′(x)的符号→确定每种情况下的单调性证明：由f(x)＝e x－x－1，得f′(x)＝e x－1.当x∈(0，＋∞)时，e x－1＞0，即f′(x)＞0，∴f(x)在(0，＋∞)内为增函数．当x∈(－∞，0)时，e x－1＜0，即f′(x)＜0，∴f(x)在(－∞，0)内是减函数．判断函数单调性的方法有两种：(1)利用函数单调性的定义，在定义域内任取x1，x2，且x1＜x2，通过判断f(x1)－f(x2)的符号确定函数的单调性；(2)利用导数判断可导函数f(x)在(a，b)内的单调性，步骤是：①求f′(x)；②确定f′(x)在(a，b)内的符号；③得出结论．知一反三 1.下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是()．A．y＝sin2x B．y＝x e xC．y＝x3－x D．y＝－x＋ln(1＋x)答案：B解析：由y＝x e x，得y′＝e x＋x e x＝e x(1＋x)＞0，故选B.2．若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围是()．A．a≥1 B．a＝1C．a≤1 D．0＜a＜1答案：A解析：∵f′(x)＝3x2－2ax－1，又∵f (x )在(0,1)内单调递减，∴不等式3x 2－2ax －1＜0在(0,1)内恒成立，∴f ′(0)≤0，f ′(1)≤0，∴a ≥1. 知能点二：求函数单调区间指点迷津 利用函数的单调性与导数的关系求函数的单调区间，实质上是求不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0的解集．如果在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )是常函数；如果在某个区间内只有有限个点使f ′(x )＝0，其余点恒有f ′(x )＞0，则f (x )仍为增函数(减函数的情形完全类似)．利用导数求函数f (x )的单调区间的一般步骤为：(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求导数f ′(x )；(3)在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )＞0和f ′(x )＜0；(4)根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间．特别注意：单调区间若是两个或两个以上时，中间不能用“∪”来连接，应该用“，”或“和”．【例2】 求下列函数的单调区间：(1)f (x )＝x 2－ln x ；(2)f (x )＝e xx －2. 思路分析 解答本题可先确定函数的定义域，再对函数求导，然后求解不等式f ′(x )＞0，f ′(x )＜0，并与定义域求交集从而得到相应的单调区间．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝2x －1x ＝(2x －1)(2x ＋1)x. 因为x ＞0，所以2x ＋1x ＞0，由f ′(x )＞0得x ＞22， 所以函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫22，＋∞； 由f ′(x )＜0得x ＜22，又x ∈(0，＋∞)， 所以函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，22. (2)函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．f ′(x )＝e x (x －2)－e x (x －2)2＝e x (x －3)(x －2)2. 因为x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以e x ＞0，(x －2)2＞0.由f ′(x )＞0得x ＞3，所以函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)；由f ′(x )＜0得x ＜3，又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．解此类题最易忽略函数的定义域，要特别注意：函数的单调递增(减)区间是定义域的子集，因此，在求单调区间时，只能在定义域内判定导数的符号．知一反三 1.函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )．A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ． (2，＋∞)答案：D解析：f ′(x )＝e x ＋(x －3)e x ＝e x (x －2)，由f ′(x )＞0，得x ＞2.∴f (x )在(2，＋∞)上是增函数．2．函数y ＝ln(x 2－x －2)的递减区间为______．答案：(－∞，－1)解析：∵f ′(x )＝2x －1x 2－x －2，由f ′(x )＝2x －1x 2－x －2＜0， 得x ＜－1或12＜x ＜2，而函数的定义域为(－∞，－1)∪(2，＋∞)，故递减区间为(－∞，－1)． 知能点三：已知函数的单调性求参数的取值范围指点迷津 此类题目一般告诉我们函数在某个区间上递增或递减，求参数的范围，实际上还是相当于求出函数的单调区间，而题目中告诉的单调区间一定是所求出的单调区间的一个子集，从而利用集合的有关知识来解决，或者转化为恒成立问题来解决．要特别注意的是，若函数在某区间上是增函数，则f ′(x )≥0；若函数在某区间上是减函数，则f ′(x )≤0.切莫写成f ′(x )＞0或f ′(x )＜0.【例3】 已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x ，a ≠0. (1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围；(2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围．思路分析 解答本题首先确定h (x )的定义域为(0，＋∞)．(1)h (x )存在单调递减区间，则h ′(x )＜0在(0，＋∞)上有解．(2)h (x )在[1,4]上递减，即h ′(x )≤0在x ∈[1,4]上恒成立．解：(1)h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x－ax －2. 因为h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x ∈(0，＋∞)时，1x －ax －2＜0有解，即a ＞1x 2－2x有解． 设G (x )＝1x 2－2x，所以只要a ＞G (x )min 即可．而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1， 所以G (x )min ＝－1，所以a ＞－1.(2)因为h (x )在[1,4]上单调递减，所以x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x恒成立， 所以a ≥G (x )max .而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1.因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎡⎦⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)， 所以a ≥－716.当a ＝－716时， h ′(x )＝1x ＋716x －2＝16＋7x 2－32x 16x ＝(7x －4)(x －4)16x. 因为x ∈[1,4]，所以h ′(x )＝(7x －4)(x －4)16x≤0，并且只在x ＝4时等号成立，即h (x )在[1,4]上为减函数． 故实数a 的取值范围是a ≥－716.1.函数在区间[a ，b ]上单调递增(减)→f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)在区间[a ，b ]上恒成立→利用分离参数或函数性质求解恒成立问题→对等号单独验证2．解本题第(1)题时，易忽视定义域(0，＋∞)而导致结果错误．知一反三 1.若f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ＞0)为增函数，则( )．A ．b 2－4ac ＞0B ．b ＞0，c ＞0C ．b ＝0，c ＞0D ．b 2－3ac ≤0答案：D解析：∵f (x )为增函数，∴f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ≥0(a >0)．∴Δ＝4b 2－12ac ≤0.∴b 2－3ac ≤0.2．若函数f (x )＝ax 3－x 2＋2x ＋6在R 上为单调递增函数，则a 的取值范围是( )．A ．a ≥16B ．a ＞16C ．a ≤16D ．a ＜16答案：A解析：f ′(x )＝3ax 2－2x ＋2，∵f ′(x )在R 上单调递增，∴f ′(x )≥0在R 上恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ≤0.解得a ≥16.。

课堂探究 知能点一：求曲线的切线方程指点迷津 函数y ＝f (x )在x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. 显然f ′(x 0)＞0，切线的倾斜角为锐角；f ′(x 0)＜0，切线的倾斜角为钝角；f ′(x 0)＝0，切线与x 轴平行或重合．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤：(1)求出函数f (x )在x 0处的导数f ′(x 0)；(2)写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．特别注意：若在点x 0处切线l 的倾斜角为π2，此时切线平行于y 轴，导数不存在，不能用上述方法求切线方程，应直接得切线方程x ＝x 0.【例1】 已知曲线C ：y ＝13x 3＋43. (1)求曲线C 上在横坐标为2的点处的切线方程．(2)第(1)小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？思路分析 (1)求切点坐标→求y ′|x ＝2→写出切线方程； (2)联立方程组→得交点坐标→得结论.解：(1)将x ＝2代入曲线C 的方程得y ＝4，∴切点P (2,4)．33220001414(2)213333'lim lim lim 42() 4.3x x x x x y y x x x x =→→∆→+∆+-⨯-∆⎡⎤===+∆+∆=⎢⎥∆⎣⎦V V V 201lim 423x x x →⎡⎤=++()⎢⎥⎣⎦V V V ＝4.∴k ＝y ′|x ＝2＝4. ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.(2)由⎪⎩⎪⎨⎧⋅+=-=34331,44x y x y 可得(x －2)(x 2＋2x －8)＝0，解得x 1＝2，x 2＝－4.从而求得公共点为P (2,4)或M (－4，－20)．即切线与曲线C 的公共点除了切点外，还有另外的公共点．1．解决这类问题，按求曲线在某点处的切线方程的步骤求解即可；2．导数的几何意义中所说的点应在曲线上，否则函数在该点处的导数不是斜率．知一反三 已知曲线y P (0,0)，根据切线的定义求曲线在点P (0,0)处的切线．解：如图，取P (0,0)的邻近点Q (Δx ，Δy )，按切线的定义，当Δx →0时，0000limlim x x y f x f x x →→∆(+)-()=∆V V V V0lim lim x x →→=V V 这时0lim x y x→V V V 不存在，依题可知曲线在点P (0,0)处有切线x ＝0. 知能点二：求切点坐标指点迷津 已知某曲线与某直线相切于一点，求该点坐标，这便是求切点坐标问题．通常利用导数的几何意义求出切线的斜率，再利用解析几何中的平行、垂直的条件建立方程．解此类题的步骤：(1)先设切点坐标(x 0，y 0)；(2)求导函数f ′(x )；(3)求切线的斜率f ′(x 0)；(4)由斜率间的关系列出关于x 0的方程，解方程求x 0；(5)由于点(x 0，y 0)在曲线y ＝f (x )上，将x 0代入求y 0得切点坐标．【例2】 抛物线y ＝x 2在点P 处的切线与直线4x －y ＋2＝0平行，求P 点的坐标及切线方程．思路分析 设切点坐标P (x 0，y 0)→求导函数y ′＝f ′(x )→由斜率k ＝4，求x 0→求P 点坐标(x 0，y 0)→求切线方程解：设P 点坐标为(x 0，y 0)， y ′＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx ＝li m Δx →02x ·Δx ＋(Δx )2Δx ＝ li m Δx →0(2x ＋Δx )＝2x .∴y ′|x ＝x 0＝2x 0. 又由切线与直线4x －y ＋2＝0平行，∴2x 0＝4，∴x 0＝2.∵P (2，y 0)在抛物线y ＝x 2上，∴y 0＝4.∴点P 的坐标为(2,4)．∴切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的重要信息，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求切点的横坐标．解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，两直线平行、垂直时斜率之间的关系等．知一反三 1.曲线y ＝x 2在点P 处的切线斜率为k ，当k ＝2时，点P 的坐标为( )．A ．(－2，－8)B ．(－1，－1)C ．(1,1) D.⎝⎛⎭⎫－12，－18 答案：C解析：设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0(x 0＋Δx )2－x 20Δx ＝lim Δx →0(Δx ＋2x 0)＝2x 0，即2x 0＝2. ∴x 0＝1，此时y 0＝x 20＝12＝1，∴P (1,1)．故选C.2．若曲线y ＝2x 2－4x ＋p 与直线y ＝1相切，则p ＝__________.答案：3解析：设切点为(x 0,1)，∵f ′(x 0)＝4x 0－4，由题意，知4x 0－4＝0，∴x 0＝1，即切点为(1,1)．∴1＝2－4＋p .∴p ＝3. 知能点三：导数几何意义的综合应用指点迷津 导数的几何意义是导数的重要内容之一，也是高考常考的一个知识点． 借助于导数的几何意义可求出切线方程，也可巧妙地求出切点的坐标，或以导数为工具，考查直线方程、抛物线及其准线等基础知识．求切线方程时，首先要判断所给的点是否在曲线上．【例3】 已知点M (0，－1)，F (0,1)，过点M 的直线l 与曲线y ＝13x 3－4x ＋4在x ＝2处的切线平行．(1)求直线l 的方程；(2)求以点F 为焦点，l 为准线的抛物线C 的方程．思路分析 (1)要求直线l 的方程，只需求其斜率即可，而直线l 与曲线在x ＝2处的切线平行，故只要求出f ′(2)即可．(2)设出抛物线方程，利用条件求出p 即可．解：(1)因为f ′(2)＝lim Δx →013(2＋Δx )3－4(2＋Δx )＋4－⎝⎛⎭⎫13×23－4×2＋4Δx ＝lim Δx →0⎣⎡⎦⎤2(Δx )＋13(Δx )2＝0， 所以直线l 的斜率为0.所以直线l 的方程为y ＝－1.(2)因为抛物线以点F (0,1)为焦点，y ＝－1为准线，设抛物线方程为x 2＝2py (p ＞0)，则p 2＝1，p ＝2. 故抛物线C 的方程为x 2＝4y.导数几何意义的综合应用，主要是根据函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数即曲线在该点处的切线的斜率去求切点坐标及切线方程，再结合相关知识进行求解．知一反三 1.已知曲线y ＝12x 2－2上一点P ⎝⎛⎭⎫1，－32，则过点P 的切线的倾斜角为( )． A ．30° B ．45°C ．135°D ．165°答案：B解析：∵y ＝12x 2－2， ∴y ′＝lim Δx →012(x ＋Δx )2－2－⎝⎛⎭⎫12x 2－2Δx ＝lim Δx →0 12(Δx )2＋x ·Δx Δx ＝lim Δx →0 ⎝⎛⎭⎫x ＋12Δx ＝x . ∴y ′|x ＝1＝1.∴点P ⎝⎛⎭⎫1，－32处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°.故选B.2.已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )．A ．f ′(x A )＞f ′(xB )B ．f ′(x A )＜f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定答案：B解析：由图象易知，点A 、B 处的切线斜率k A 、k B 满足k A ＜k B ＜0.由导数的几何意义，得f ′(x A )＜f ′(x B )．。

1.1.3 导数的几何意义1．了解导函数的概念；理解导数的几何意义． 2．会求导函数．3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．1．导数的几何意义(1)切线：如图，当点P n (x n ，f (x n ))(n ＝1,2,3,4…)沿着曲线f (x )趋近于点P (x 0，f (x 0))时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为点P 处的切线．显然割线PP n 的斜率是k n ＝f (x n )－f (x 0)x n －x 0.当点P n 无限趋近于点P 时，k n 无限趋近于切线PT 的斜率．(2)几何意义：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的____，也就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线斜率k ＝____＝______，相应地，切线方程为______________．如图，函数f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率的几何意义是割线PQ 的斜率，当点Q 沿曲线y ＝f (x )趋近于点P 时(即Δx 趋近于0)，割线PQ 绕点P 转动，它的最终位置为曲线在点P 处的切线位置——直线PT .即f ′(x 0)＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.因此，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，就是曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率，即k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.【做一做1－1】 设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴斜交 【做一做1－2】 如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( )A ．f ′(x 0)＞0B ．f ′(x 0)＜0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在 2．导函数从求函数f (x )在x ＝x 0处导数的过程可以看到，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个____的数．这样，当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为f (x )的导函数(简称____)．y ＝f (x )的导函数有时也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝____.过曲线y ＝f (x )上的某一点作曲线的切线有且只有一条吗？ 【做一做2－1】 函数在某一点的导数是( ) A ．在该点的函数的改变量与自变量的改变量的比 B ．一个函数C ．一个常数，不是变数D ．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率【做一做2－2】 设f (x )在定义域内的每一点处都存在导数，且满足lim Δx →0f (1)－f (1－Δx )Δx ＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为__________．答案：1．(2)斜率 0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δxf ′(x 0) y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)【做一做1－1】 B 由导数的几何意义知，曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率为0，故选B.【做一做1－2】 B 根据导数的几何意义，f (x )在x 0处的导数就是f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率，故f ′(x 0)＝－12＜0，故选B.2．确定 导数 0lim x ∆→f (x ＋Δx )－f (x )Δx思考讨论提示：不一定．可能不存在，如y ＝|x |，在点(0,0)处无切线；也可能有多条，如图所示的曲线中，过点A 可作两条切线．【做一做2－1】 C 根据函数在一点处的导数的定义，可知选C. 【做一做2－2】 －1 由题意得lim x ∆→f [1＋(－Δx )]－f (1)－Δx＝f ′(1)＝－1，则曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线的斜率为f ′(1)＝－1.1．如何利用导数的几何意义求过某点的切线方程？剖析：(1)若已知点(x 0，y 0)在已知曲线上，则利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤：①求出函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)；②根据直线的点斜式方程，得切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)．注意：若在点(x 0，f (x 0))处切线的倾斜角为π2，此时切线平行于y 轴，导数不存在，不能用上述方法求切线的方程，可根据切线的定义直接得出切线方程为x ＝x 0.(2)若题中所给的点(x 0，y 0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．注意：若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的导数f ′(x 0)不存在，就是切线与y 轴平行或是y 轴；若f ′(x 0)＞0，切线与x 轴正方向夹角是锐角；若f ′(x 0)＜0，则切线与x 轴正方向夹角为钝角；f ′(x 0)＝0，切线与x 轴平行或是x 轴．2．“用割线的极限位置来定义切线”和“与曲线只有一个公共点的直线是切线”的区别是什么？剖析：在初中我们学习过圆的切线：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点，圆是一种特殊的曲线，如果将圆的切线推广为一般曲线的切线：直线和曲线有唯一公共点时，直线叫做曲线过该点的切线，显然这种推广是不妥当的．观察图中的曲线C ，直线l 1虽然与曲线C 有唯一的公共点M ，但我们不能说直线l 1与曲线C 相切；而直线l 2尽管与曲线C 有不止一个公共点，我们还是说直线l 2是曲线C 在点N 处的切线．因此，对于一般的曲线，必须重新寻求曲线切线的定义．一般地，过曲线y ＝f (x )上一点P (x 0，y 0)作曲线的割线PQ ，当点Q 沿着曲线无限趋近于点P 时，若割线PQ 趋近于某一确定的位置，则称这一确定位置的直线为曲线y ＝f (x )在点P 处的切线．在这里，要注意曲线y ＝f (x )在点P 处的切线：①与点P 的位置有关．②要依据割线PQ 是否存在极限位置来判定与求解．若有极限，则在此点有切线，且切线是唯一的；若极限不存在，则在此点处无切线．3．如何区分f ′(x 0)与f ′(x )?剖析：对于一个确定的函数y ＝f (x )＝x 2，同学们可以求出y ＝f (x )在x ＝0，x ＝1，x ＝3，x ＝4处的导数即f ′(0)，f ′(1)，f ′(3)，f ′(4)．如：∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )2－x 20＝(Δx )2＋2x 0·Δx ，Δy Δx ＝(Δx )2＋2Δx ·x 0Δx＝Δx ＋2x 0，∴f ′(0)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0(Δx ＋2×0)＝0. 同理可证：f ′(1)＝2，f ′(3)＝6，f ′(4)＝8，f ′(x 0)＝2x 0.我们会发现对于一个确定的自变量值x 0，f ′(x 0)也是确定的值，f ′(x 0)＝2x 0.因此，我们可以得到对于函数y ＝f (x )，当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，称f ′(x )为f (x )的导函数(简称导数)，有时也记为y ′.需注意f ′(x 0)与f ′(x )意义不同，f ′(x )为f (x )的导函数，而f ′(x 0)为f (x )在x ＝x 处的导函数值．题型一求曲线的切线方程【例题1】已知曲线C：y＝13x3＋43.(1)求曲线C上的横坐标为2的点处的切线方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？分析：解答第(1)小题，可先求出切点坐标及斜率，然后利用直线方程的点斜式求切线方程；解答第(2)小题，可把(1) 中求得的直线方程与已知的曲线方程组成方程组，求方程组的解．反思：(1)解决这类题，先求出函数y＝f(x)在x0处的导数即曲线在该点处切线的斜率，再由直线方程的点斜式便可求出切线方程．(2)导数的几何意义中所说的点应在曲线上，否则函数在该点处的导数不是斜率．题型二求切点坐标【例题2】已知抛物线y＝f(x)＝2x2＋1，求：(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°？(2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(3)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?分析：设点的坐标→求出在该点处的导数→利用条件建立方程→求出点的坐标反思：解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标．具体的解题步骤为：①先设切点坐标(x0，y0)；②求导函数f′(x)；③求切线的斜率f′(x0)；④由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；⑤点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0得切点坐标．题型三导数几何意义的综合应用【例题3】设曲线f(x)＝x2＋1和g(x)＝x3＋x在其交点处两切线的夹角为θ，求cos θ.分析：本题考查了导数几何意义的综合应用，解决本题的关键是求出两切线的方向向量，要求cos θ的值，必须先求出两曲线的交点，再利用导数分别求出在交点处两曲线切线的斜率，通过向量的数量积可求得cos θ.反思：导数的几何意义的综合应用，主要是根据函数y＝f(x)在x＝x0处的导数即曲线在该点处的切线的斜率去求切点坐标及切线方程，再利用题中所提供的诸如斜率的线性关系、斜率的最值、斜率的范围、直线的方向向量等关系求解相关问题．题型四易错辨析【例题4】求过曲线y＝f(x)＝x3上的点(1,1)的切线方程．错解：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3－1＝(Δx)3＋3(Δx)2＋3Δx，∴Δy＝(Δx)3＋3(Δx)2＋3Δx＝(Δx )2＋3Δx ＋3. ∴lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0[(Δx )2＋3Δx ＋3]＝3， 即f ′(1)＝3.所以所求切线的方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0. 错因分析：求切线方程时，一定要注意是求过某一点的切线方程还是求在某点处的切线方程．前者可能会有多个结果，而后者通常只有一个结果．例如，如图所示的图象，l 1，l 2，l 3都是过点P 的切线，其中l 3是在点P 处的切线．过曲线上一点的切线和在某一点处的切线是两个不同的概念．反思：(1)求某点处的切线，该点就是切点，因此可直接求出该点处导数的值(切线斜率)，写出切线方程．(2)求过某点的切线，要注意该点不一定是切点．因此，在解题时先设出切点，再求出该点处的导数值(切线斜率)，根据切点与斜率写出切线方程，最后再将该点坐标代入．在解题过程中不必考虑该点是否为切点．答案：【例题1】 解：(1)将x ＝2代入曲线C 的方程，得y ＝4，∴切点的坐标为(2,4)．∴y ′|x ＝2＝0lim x ∆→ΔyΔx＝0lim x ∆→ 13(2＋Δx )3＋43－13×23－43Δx＝0lim x ∆→ ⎣⎡⎦⎤4＋2·Δx ＋13(Δx )2＝4. ∴k ＝y ′|x ＝2＝4.∴曲线C 在点(2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －4，y ＝13x 3＋43，得(x －2)(x 2＋2x －8)＝0， 解得x 1＝2，x 2＝－4. 从而求得公共点为 (2,4)或 (－4，－20)．即切线与曲线C 的公共点除了切点外， 还有另外的公共点．【例题2】 解：设所求点的坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2. ∴ΔyΔx＝4x 0＋2Δx .当Δx 无限趋近于零时，ΔyΔx 无限趋近于4x 0，即f ′(x 0)＝4x 0.(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°， ∴斜率为tan 45°＝1， 即f ′(x 0)＝4x 0＝1，得x 0＝14.∴该点的坐标为⎝⎛⎭⎫14，98.(2)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0， ∴切线的斜率为4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1.∴该点的坐标为(1,3)． (3)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直， ∴切线的斜率为8，即f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2. ∴该点的坐标为(2,9)．【例题3】 解：由f (x )＝g (x )，得x 3－x 2＋x －1＝0， 即(x －1)(x 2＋1)＝0，∴x ＝1.∴交点为(1,2)． ∵f ′(1)＝lim Δx →f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0(1＋Δx )2＋1－(12＋1)Δx＝2，∴曲线f (x )在交点处的切线l 1的方程为 y －2＝2(x －1)，即y ＝2x . 又∵g ′(1)＝lim Δx →g (1＋Δx )－g (1)Δx＝lim Δx →0 (1＋Δx )3＋(1＋Δx )－(13＋1)Δx ＝4，∴曲线g (x )在交点处的切线l 2的方程为y －2＝4(x －1)，即y ＝4x －2.取切线l 1的方向向量为a ＝(1,2)，切线l 2的方向向量为b ＝(1,4)，则cos θ＝a·b|a||b|＝95×17＝98585.【例题4】 正解：设切线与曲线的切点为(x 0，x 30)．则Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝(Δx )3＋3(Δx )2·x 0＋3Δx ·x 20Δx＝(Δx )2＋3x 0Δx ＋3x 20.∴0lim x ∆→Δy Δx＝3x 20，即f ′(x 0)＝3x 20. 故切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)．而该切线经过点(1,1)，所以1－x 30＝3x 20(1－x 0)，解得x 0＝1或x 0＝－12.所以切线方程为y －1＝3(x －1)或y ＋18＝34⎝⎛⎭⎫x ＋12. 即3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0.1已知曲线y ＝2122x -上一点31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则点P 处的切线的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．135° D ．165°2曲线y ＝f (x )＝x 2在点P 处的切线斜率为k ，当k ＝2时，点P 的坐标为( ) A ．(－2，－8) B ．(－1，－1) C ．(1,1)D ．11,28⎛⎫-- ⎪⎝⎭3若曲线y ＝f (x )＝2x 2－4x ＋p 与直线y ＝1相切，则p ＝__________. 4求曲线y ＝f (x )＝x 2在x ＝1处的切线方程． 5求证：函数y ＝f (x )＝1x x+图象上的各点处切线的斜率小于1.答案：1．B ∵y ＝2122x -， ∴y ′＝22011()2222limx x x x x∆→⎛⎫+∆--- ⎪⎝⎭∆＝201()2lim x x x xx∆→∆+⋅∆∆ ＝01lim 2x x x x ∆→⎛⎫+∆= ⎪⎝⎭. ∴y ′|x ＝1＝1. ∴点31 2P ⎛⎫⎪⎝⎭,-处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°.故选B. 2．C 设点P 的坐标为(x 0，y 0)， 则k ＝f ′(x 0)＝000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆＝220000()lim lim x x x x x x∆→∆→+∆-=∆(Δx ＋2·x 0)＝2x 0，即2x 0＝2.∴x 0＝1，此时y 0＝x 02＝12＝1，∴点P 的坐标为(1,1)．故选C.3．3 设切点为(x 0,1)，∵f ′(x 0)＝4x 0－4，由题意，知4x 0－4＝0， ∴x 0＝1，即切点为(1,1)． ∴1＝2－4＋p .∴p ＝3.4．分析：先求曲线y ＝f (x )＝x 2在x ＝1处的导数，即切线的斜率，再求切线方程． 解：由y ＝x 2，得Δy ＝(x ＋Δx )2－x 2＝2x ·Δx ＋Δx 2，则yx∆∆＝2x ＋Δx . 当Δx 无限趋近于零时，yx∆∆无限趋近于2x ， 即f ′(x )＝2x ，所以f ′(1)＝2×1＝2.所以曲线y ＝f (x )＝x 2在x ＝1处切线的斜率为2. 又x ＝1时，y ＝x 2＝1，所以切线方程为y －1＝2(x －1)， 即2x －y －1＝0.5．分析：即证明在函数的定义域内，恒有y ′＜1. 证明：∵y ′＝0()()limx f x x f x x∆→+∆-∆＝011lim x x x x x x x x∆→⎛⎫⎛⎫+∆+-+ ⎪ ⎪+∆⎝⎭⎝⎭∆＝1－21x ＜1， ∴y ＝f (x )＝x ＋1x图象上的各点处切线的斜率小于1.。

§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学目标：1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。

教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则教学难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 教学过程： 一．创设情景四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式及应用二．新课讲授（一）基本初等函数的导数公式表)（2）推论：[]''()()cf x cf x =（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）三．典例分析例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？ 解：根据基本初等函数导数公式表，有'() 1.05ln1.05t p t =所以'10(10) 1.05ln1.050.08p =≈（元/年） 因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨． 例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）323y x x =-+（2）y ＝xx --+1111； （3）y ＝x · sin x · ln x ；（4）y ＝xx 4； （5）y ＝xxln 1ln 1+-．（6）y ＝（2 x 2－5 x ＋1）e x（7） y ＝xx x xx x sin cos cos sin +-【点评】① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．例3日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为5284()(80100)100c x x x=<<-求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98% 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．''''252845284(100)5284(100)()()100(100)x x c x x x ⨯--⨯-==-- 20(100)5284(1)(100)x x ⨯--⨯-=-25284(100)x =- （1）因为'25284(90)52.84(10090)c ==-，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨．（2）因为'25284(98)1321(10090)c ==-，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨．函数()f x 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，''(98)25(90)c c =．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．四．课堂练习 1．课本P 92练习2．已知曲线C ：y ＝3 x 4－2 x 3－9 x 2＋4，求曲线C 上横坐标为1的点的切线方程；（y ＝－12 x ＋8）五．回顾总结（1）基本初等函数的导数公式表 （2）导数的运算法则六．布置作业§1.1.2 导数的概念学习目标1.掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义；2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度． 一、预习与反馈（预习教材P 4~ P 6，找出疑惑之处）探究任务一：瞬时速度问题1：在高台跳水运动中，运动员有不同时刻的速度是 新知：1． 瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.探究任务二：导数问题2： 瞬时速度是平均速度ts∆∆当t ∆趋近于0时的 导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()lim limx x f x x f x fx x∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或 即000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆注意：(1)。