分类加法计数原理和分步乘法计数原理练习题

人教A 版，高中数学，选修2-31.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理课本第6页，练习1．填空：（1）一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是 。

（2）从A 村去B 村的道路有3条，从B 村去C 村的道路有2条，从A 村经B 村去C 村，不同路线的条数是 。

【解析】（1）分类加法计数原理要完成的“一件事情”是“选出1人完成工作”，不同的选法种数是5＋4＝9；（2）分步乘法计数原理要完成的“一件事情”是“从A 村经B 村到C 村去”，不同路线条数是3×2＝6。

2．现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名，问：（1）从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？（2）从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？【解析】（1）分类加法计数原理要完成的“一件事情”是“选出1人参加活动”，不同的选法种数是3＋5＋4＝12；（2）分步乘法计数原理要完成的“一件事情”是“从3个年级的学生中各选1人参加活动”，不同选法种数是3×5×4＝60。

3．在例1中，如果数学也是A 大学的强项专业，则A 大学共有6个专业可以选择，B 大学共有4个专业可以选择，那么用分类加法计数原理，得到这名同学可能的专业选择种数为6410+=。

这种算法有什么问题？【解析】因为要确定的是这名同学的专业选择，并不要考虑学校的差异，所以应当是6＋4－1=9（种）可能的专业选择。

课本第10页，练习1．乘积12312312345()()()a a a b b b c c c c c ++++++++展开后共有多少项？【解析】分步乘法计数原理要完成的“一件事情”是“得到展开式的一项”。

由于每一项都是i j k a b c 的形式，所以可以分三步完成：第一步，取i a ，有3种方法；第二步，取j b ，有3种方法；第三步，取k c ，有5种方法。

课后训练一、选择题1．王刚同学衣服上左、右各有一个口袋，左边口袋装有30张英语单词卡片，右边口袋装有20张英语单词卡片,这些英语单词卡片都互不相同，问从两个口袋里任取一张英语单词卡片,则不同的取法有（）A．50种B．30种C．20种D．600种2．高二(1）班有学生56人，其中男生38人，从中选取1名男生和1名女生作代表，参加学校组织的社会调查团，则选取代表的方法有( )A．38种B．18种C．684种D．864种3．某小组有8名男生，4名女生，要从中选出一名当组长,不同的选法有( )A．32种B．9种C．12种D．20种4．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果1条长裤与1件上衣配成一套,则不同的配法种数为( ）A．7 B．12C．64 D．815．有不同的红球8个,不同的白球7个，不同的黄球6个,现从中任取两个不同颜色的球，不同的取法有( )A．336种B．21种C．104种D．146种6．将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入图中的五个区域内,要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则不同的涂色方法有（）A．48种B．72种C．24种D．27种二、填空题7．用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有__________个．(用数字作答)8．由数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为__________．三、解答题9．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人,AB型血的共有3人．（1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？(2)从四种血型的人中各选1人去献血,有多少种不同的选法？10．从0，1,2，3中选择三个数字组成无重复数字的三位偶数，满足条件的数字有多少个？参考答案1答案：A 解析：从口袋中任取一张英语单词卡片的方法有两类：第一类，从左边口袋取一张英语单词卡片有30种不同的取法；第二类,从右边口袋取一张英语单词卡片有20种不同的取法．上述的其中任何一种取法都能独立完成“取一张英语单词卡片”这件事，应用分类加法计数原理，所以从中任取一张英语单词卡片有30＋20＝50种不同的取法．2答案:C 解析：男生为38人，女生为18人，根据本题题意要完成一件事情需分2个步骤：第一步，从男生38人中任选1人，有38种不同的选法；第二步,从女生18人中任选1人，有18种不同的选法．只有上述两步都完成后,才能完成从男生中和女生中各选1名这件事,根据分步乘法计数原理共有38×18＝684种选取代表的方法．3答案：C 解析：由分类加法计数原理知,不同的选法有8＋4＝12种．4答案:B 解析：完成长裤与上衣配成一套，分两步：第一步,选上衣，从4件中任选1件,有4种不同的选法；第二步，选长裤，从3条长裤中任选1条,有3种不同的选法，故共有4×3＝12种选配方法．5答案：D 解析:分三类：一红一白时，有8×7种；一红一黄时,有8×6种；一白一黄时，有7×6种．由分类加法计数原理知有N＝8×7＋8×6＋7×6＝146种．6答案：B 解析：给区域标记号为A，B,C，D，E，如图所示．当B与D同色时，有4×3×2×1×2=48种．当B与D不同色时，有4×3×2×1×1=24种．故共有48+24=72种不同的涂色方法．7答案:14 解析：可用排除法，这个四位数每一位上的数字只能是2或3,则共有24个，而这其中要求数字2或3至少出现一次，所以全是2和全是3不满足，即满足要求的四位数有24－2＝14个．8答案：48 解析：分两个步骤：第1步，从2,4中取一个数作为个位数字，有2种取法;再从其余四个数中取出三个数排在前三位,有4×3×2＝24种排法,由分步乘法计数原理知,这样的四位偶数共有2×24＝48个．9答案：解:从O型血的人中选1人有28种不同的选法;从A型血的人中选1人有7种不同的选法；从B型血的人中选1人有9种不同的选法;从AB型血的人中选1人有3种不同的选法．任选1人去献血,即无论选哪种血型的哪一个人，“任选1人去献血”这件事情都可以完成，所以用分类加法计数原理，有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．答案：要从四种血型的人中各选1人，即从每种血型的人中各选出1人后，“各选1人去献血”这件事情才完成，所以用分步乘法计数原理，有28×7×9×3＝5 292种不同的选法．10答案:解：第1类：末位为0第1步，排末位，有1种方法；第2步，排首位,从1，2，3中选1个，有3种方法；第3步，排十位，有2种方法．所以，此类方法中有1×3×2＝6个数字．第2类：末位为2第1步，排末位,有1种方法；第2步，排首位,从1，3中选1个，有2种方法;第3步，排十位，有2种方法．所以，此类方法中有1×2×2＝4个数字．所以一共有6＋4＝10个满足条件的不同数字．。

分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合练习一．选择题1．有2位同学报名参加5个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A．10种B．20种C．25种D．32种2．完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（）A．5种B．4种C．9种D．20种3．小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有( )A．7种 B．8种 C．6种 D．9种4．有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有A．21种 B．315种 C．153种 D．143种5．高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有（）A．16种B．18种C．37种D．48种6．某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5位同学只会用综合法证明，有3位同学只会用分析法证明，现任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数有（）种．A．8 B．15 C．18 D．307．现有A B C D E、、、、五位同学分别报名参加航模、机器人、网页制作三个兴趣小组竞赛，每人限报一组，那么不同的报名方法种数有( )A．120种B．5种C．35种D．53种8．从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为（）A．6 B．5 C．3 D．2 9．已知{1,2,3},{4,5,6,7}a b∈∈，则方程22()()4x a y b-+-=可表示不同的圆的个数为（）A．7 B．9 C．12 D．1610．用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A．243 B．252 C．261 D．279二．填空题11．要把四封信投入3个信箱，共有___________种不同的投法（用数值作答）12．5名工人分别要在3天中选择一天休息，不同方法的种数是____________．13．从甲地到乙地有三种方式可以到达.每天有8班汽车、2班火车和2班飞机.一天一人从甲地去乙地，共有________种不同的方法.14．从3名男生和4名女生中选出2人分别担任2项不同的社区活动服务者，要求男、女生各1人，那么不同的安排有________种(用数字做答)；15．已知某种新产品的编号由1个英文字母和1个数字组成，且英文字母在前，数字在后.已知英文字母是A，B，C，D，E这5个字母中的1个，数字是1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中的一个，则共有__________个不同的编号（用数字作答）.16．某县总工会利用业余时间开设太极、书法、绘画三个培训班，甲、乙、丙、丁四人报名参加，每人只报名参加一项，且甲乙不参加同一项，则不同的报名方法种数为_____________.17．联合国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资，每种物资既可以全部给一个国家，也可以由其中两个或三个国家均分，若每个国家都要有物资援助，则不同的援助方案有__________种．三．解答题18．某体育彩票规定：从01至36个号中抽出7个号为一注，每注2元，某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，此人想把这种特殊要求的号买全，需要花多少钱?19．设集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)是坐标平面上的点,a,b∈M.求:(1)P可以表示多少个平面上的不同的点? (2)P可以表示多少个第二象限的点?(3)P可以表示多少个不在直线y=x上的点?20．集合A1，A2满足A1∪A2=A，则称（A1，A2）为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分拆，则集合A={a，b，c}的不同分拆种数为多少？21．用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的（1）四位密码？（2）四位数？（3）四位奇数？22．用n种不同的颜色为下列两块广告牌着色，（如图甲、乙），要求在A，B，C，D四个区域中相邻（有公共边界）的区域不用同一颜色.（1）若n=6,则为甲图着色时共有多少种不同的方法；（2）若为乙图着色时共有120种不同方法，求n.分类加法计数原理与分步乘法计数原理一．选择题1．（2019·湖南高二月考）有2位同学报名参加5个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A．10种B．20种C．25种D．32种【答案】C【解析】每位同学有5种选择，则不同的报名方法共有：5525⨯=种选法故选：C2．（2019·陕西高二期末（理））完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（）A．5种B．4种C．9种D．20种【答案】C【解析】会用第一种方法的有5个人，选1个人完成这项工作有5种选择；会用第二种方法的有4个人，选1个人完成这项工作有4种选择；两者相加一共有9种选择,故选C.3．（2019·重庆高二月考（理））小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有( )A．7种 B．8种C．6种 D．9种【答案】A【解析】要完成的一件事是“至少买一张IC电话卡”，分三类完成：买1张IC卡，买2张IC 卡，买3张IC卡．而每一类都能独立完成“至少买一张IC电话卡”这件事．买1张IC卡有2种方法，即买一张20元面值的或买一张30元面值的；买2张IC卡有3种方法，即买两张20元面值的或买两张30元面值的或20元面值的和30元面值的各买一张，买3张IC卡有2种方法，即买两张20元面值的和一张30元面值的或3张20元面值的，故共有2＋3＋2＝7(种)不同的买法．4．（2019·吉林省实验高二期末（理））有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有A．21种 B．315种 C．153种 D．143种【答案】D【解析】由题意，选一本语文书一本数学书有9×7=63种，选一本数学书一本英语书有5×7=35种，选一本语文书一本英语书有9×5=45种，∴共有63+45+35=143种选法.故选D.5．（2019·辽宁实验中学高三月考（理））高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有（）A．16种B．18种C．37种D．48种【答案】C【解析】根据题意，若不考虑限制条件，每个班级都有4种选择，共有种情况，其中工厂甲没有班级去，即每个班都选择了其他三个工厂，此时每个班级都有3种选择，共有种方案；则符合条件的有种，故选：C．6．（2019·陕西高二期末（理））某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5位同学只会用综合法证明，有3位同学只会用分析法证明，现任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数有（）种．A．8 B．15 C．18 D．30【答案】A【解析】由题意知本题是一个分类计数问题，解决问题分成两个种类，一是可以用综合法证明，有5种方法， 一是可以用分析法来证明，有3种方法， 根据分类计数原理知共有3+5＝8种结果， 故选A ．7．（2019·湖北高二期末（理））现有A B C D E 、、、、五位同学分别报名参加航模、机器人、网页制作三个兴趣小组竞赛，每人限报一组，那么不同的报名方法种数有( ) A ．120种 B ．5种C ．35种D ．53种【答案】D 【解析】A 同学可以参加航模、机器人、网页制作三个兴趣小组,共有3种选择. 同理BCDE 四位同学也各有3种选择,乘法原理得到5333333⨯⨯⨯⨯= 答案为D8．（2020·全国高三专题练习）从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为（ ） A ．6 B ．5C ．3D ．2【答案】B 【解析】选女同学有3种选法，选男同学有2种选法，所以共有5种选法. 故选：B.9．（2020·全国高三专题练习）已知{1,2,3},{4,5,6,7}a b ∈∈，则方程22()()4x a y b -+-=可表示不同的圆的个数为（ ） A ．7 B ．9C ．12D ．16【答案】C【解析】得到圆的方程分两步：第一步：确定a 有3种选法；第二步：确定b 有4种选法，由分步乘法计数原理知，共有3×4＝12（个）. 故选：C.10．（2020·全国高三专题练习）用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A ．243B ．252C ．261D ．279 【答案】B 【解析】由分步乘法原理知:用0，1，…，9十个数字组成的三位数(含有重复数字的)共有9×10×10=900，组成无重复数字的三位数共有9×9×8=648，因此组成有重复数字的三位数共有900－648=252． 二．填空题11．（2018·上海市第二工业大学附属龚路中学高三月考）要把四封信投入3个信箱，共有___________种不同的投法（用数值作答） 【答案】81 【解析】把四封信投入3个信箱,每封信都有3种选择,根据分步计数原理共有43=81种不同的投法. 故答案为：8112．（2018·吉林高二期中（理））5名工人分别要在3天中选择一天休息，不同方法的种数是____________． 【答案】243【解析】每个人都有3种选择方法，根据分步计算原理可知方法有53243=种.13．（2020·全国高三专题练习）从甲地到乙地有三种方式可以到达.每天有8班汽车、2班火车和2班飞机.一天一人从甲地去乙地，共有________种不同的方法.【答案】12 【解析】（1）分三类：一类是乘汽车有8种方法；一类是乘火车有2种方法；一类是乘飞机有2种方法，由分类加法计数原理知，共有8＋2＋2＝12（种）方法. 故答案为：12.14．（2020·北京高二期末）从3名男生和4名女生中选出2人分别担任2项不同的社区活动服务者，要求男、女生各1人，那么不同的安排有________种(用数字做答)； 【答案】24 【解析】先选一名男生，有3种方法；再选一名女生，有4种方法，根据分步计数原理求得选取男、女生各1名，不同的安排方案种数为 4×3×2＝24， 故答案为： 24．15．（2019·江苏高二期末（理））已知某种新产品的编号由1个英文字母和1个数字组成，且英文字母在前，数字在后.已知英文字母是A ，B ，C ，D ，E 这5个字母中的1个，数字是1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中的一个，则共有__________个不同的编号（用数字作答）. 【答案】45 【解析】对于英文字母来说，共有5种可能，对于数字来说，共有9种可能，按照分步乘法原理，即可知道共有5945⨯=个不同的编号.16．（2019·河北高二期中（理））某县总工会利用业余时间开设太极、书法、绘画三个培训班，甲、乙、丙、丁四人报名参加，每人只报名参加一项，且甲乙不参加同一项，则不同的报名方法种数为_____________. 【答案】54 【解析】甲有三个培训可选，甲乙不参加同一项，所以乙有二个培训可选，丙、丁各有三个培训可选，根据乘法计数原理，不同的报名方法种数为3233=54⨯⨯⨯.17．（2018·浙江高考模拟）联合国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资，每种物资既可以全部给一个国家，也可以由其中两个或三个国家均分，若每个国家都要有物资援助，则不同的援助方案有__________种． 【答案】25.【解析】分析：按照每个国家都要有物资援助，分类型，求解即可． 详解：联合国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资， 每种物资既可以全部给一个国家，也可以由其中两个或三个国家均分，若每个国家都要有物资援助， 需要分为：粮食和药品都有，方法1种； 一个国家粮食，两个国家药品，有3种方法； 一个国家药品，两个国家粮食，有3种方法； 两个国家粮食，三个国家药品，有3种方法； 两个国家药品，三个国家粮食，有3种方法；一个国家粮食和药品，另两个国家各一种，有3×（2+2）=12种方法； 方法总数是：25． 故答案为：25． 三．解答题18．（2016·全国高二课时练习（理））18．（2016·全国高二课时练习（理））某体育彩票规定：从01至36个号中抽出7个号为一注，每注2元，某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，此人想把这种特殊要求的号买全，需要花多少钱? 【答案】8640元【解析】第一步：从01至10中选3个连续的号码有01,02,03；02,03,04；…；08,09,10，共8种不同的选法；第二步：同理，从11至20中选2个连续的自然数有9种不同的选法；第三步：从21至30中选一个号码有10种不同的选法；第四步：从31至36中选一个号码有6种不同的选法.共可组成8×9×10×6=4320注，所以需要花费2×4320=8640元钱.19．（2018·海林市朝鲜族中学高二单元测试）设集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)是坐标平面上的点,a,b∈M.求:(1)P可以表示多少个平面上的不同的点?(2)P可以表示多少个第二象限的点?(3)P可以表示多少个不在直线y=x上的点?【答案】（1）36；（2）6；（3）30【解析】(1)分两步，第一步确定a，有6种方法，第二步确定b也有6种方法，根据分步乘法计数原理共有6×6＝36(个)不同的点．(2)分两步，第一步确定a，有3种方法，第2步确定b，有2种方法，根据分步乘法计数原理，第二象限的点共有3×2＝6(个)．(3)分两步，第一步确定a，有6种方法，第二步确定b，有5种方法，根据分步乘法计数原理不在直线y＝x上的点共有6×5＝30(个)．20．（2018·上海市第二工业大学附属龚路中学高三月考）集合A1，A2满足A1∪A2=A，则称（A1，A2）为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分拆，则集合A={a，b，c}的不同分拆种数为多少？【答案】27种【解析】当A1=φ时，A2=A，此时只有1种分拆；当A1为单元素集时，A2=∁A A1或A，此时A1有三种情况，故拆法为6种；当A1为双元素集时，如A1={a，b}，A2={c}、{a，c}、{b，c}、{a，b，c}，此时A1有三种情况，故拆法为12种；当A1为A时，A2可取A的任何子集，此时A2有8种情况，故拆法为8种；综上，共27种拆法．21．（2017·湖北省松滋市第一中学高二课时练习）用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的（1）四位密码？（2）四位数？（3）四位奇数？【答案】（1）120（个）；（2）96个；（3）36（个）.【解析】（1）可组成N=5×4×3×2=120（个）.（2）依次确定千、百、十、个位，有N=4×4×3×2=96（个）.（3）依次确定个位、首位、百位、十位，有N=2×3×3×2=36（个）22．（2017·湖北省松滋市第一中学高二课时练习）用n种不同的颜色为下列两块广告牌着色，（如图甲、乙），要求在A，B，C，D四个区域中相邻（有公共边界）的区域不用同一颜色.（1）若n=6,则为甲图着色时共有多少种不同的方法；（2）若为乙图着色时共有120种不同方法，求n.【答案】（1）480（种）；（2）n=5.【解析】（1）对区域A,B,C,D按顺序着色，共有6×5×4×4=480（种）(2) 对区域A,B,C,D按顺序着色，依次有n种、n-1种、n-2种和n-3种，由分布乘法计数原理，不同的着色方法共有n(n-1)(n-2(n-3)=120,整理得(n2-3n)(n2-3n+2)=120，(n2-3n)2+2(n2-3n)-120=0n2-3n-10=0或n2-3n+12=0（舍去），解得n=5.。

2012-13高二数学选修2-3一导学案002 编制人:郑淑芬 审核人:杨洪波 班级: 姓名: _____组 层次: 教师评价得分:_______批阅日期________月________日1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理检测题1．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a ，b 组成复数a ＋b i ，其中虚数有( )A ．30个B ．42个C ．36个D ．35个2．在“庆国庆、展才艺”国庆庆祝活动中，甲、乙、丙三位同学欲报名“朗诵比赛”、“歌唱比赛”，但学校规定每位同学限报其中的一个，且乙知道自已唱歌不如甲，若甲报唱歌，则乙就报朗诵，则他们三人不同的报名方法有( )A ．3种B ．6种C ．7种D ．8种3．记4名同学报名参加学校三个不同体育队，每人限报一队的不同报法种数为A ；记3个班分别从5个风景点中选择一处游览的不同选法种数为B ，则A ，B 分别是( )A ．43,53B ．34,35C ．34,53D ．43,354．设A ，B 是两个非空集合，定义A *B ＝{(a ，b )|a ∈A ，b ∈B }，若P ＝{0,1,2}，Q ＝{1,2,3,4}，则P *Q 中元素的个数是( )A ．4B ．7C ．12D ．165．如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A ，B ，C ，D 中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有( )A ．72种B ．48种C ．24种D ．12种6．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有( )A ．6种B ．12种C ．24种D ．30种7. 若自然数n 使得作竖式加法n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)均不产生进位现象，则称n 为“良数”．例如：32是“良数”，因为32＋33＋34不产生进位现象；23不是“良数”，因为23＋24＋25产生进位现象．那么小于1000的“良数”的个数为( )A ．27B ．36C ．39D ．488．如果一个三位数的十位数字既大于百位数字也大于个位数字,则这样的三位数共有( )A.240个B.285个C.231个D.243个9．已知集合A ={x | －2≤x ≤10，x ∈Z}，m, n ∈A ，方程221x y m n+=表示长轴在x 轴上的椭圆，则这样的椭圆共有 （A ）45个 （B ）55个 （C ）78个 （D ）91个10．如图，某城市中，M 、N 两地有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中各个矩形的边前进，则从M 到N 不同的走法共有（ ）（A ）25 （B ）15 （C ）13 （D ）1011.设ABCDEF 为六边形，一只青蛙开始在A 处，它每次可随意跳到相邻两顶点之一．若在5次内（包括5次）跳到D 处，则停止跳动．那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法的种数是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．1012.如图所示，用四种不同颜色给图中的A 、B 、C 、D 、E 、F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有( )A ．288种B ．264种C ．240种D ．168种13.某体育彩票规定:从01至36共36个号中抽出7个号为一注,每注2元,某人想从01至10中选3个连续的号,从11至20中选2个连续的号,从21至30中选1个号,从31至36中选1个号组成一注,则这个人把这种特殊要求的号买全,至少要( )A.3 360元B.6 720元C.4 320元D.8 640元答题卡题号 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案14___________________15___________________ 16___________________17___________________18___________________19___________________ 20___________________21___________________A B C DMN22__________ ___________ _____________23___________________14．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有________种行车路线．15．将1,2,3，…，9这9个数字填在如图所示的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法数有________种.16．学校安排4名教师在六天里值班，每天只安排一名教师，每人至少安排一天，至多安排两天，且这两天要相连，那么不同的安排方法有________种(用数字作答)．17．用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1,2，…，9的9个小正方形，使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1、5、9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________种.18．72的正约数(包括1和72)共有___________个.19.计划展出6幅不同的画,其中1幅水彩画,2幅油画,3幅国画,排成一行陈列,要求同一品种的画必须连在一起,并且水彩画不放在两端,那么不同的陈列法有___________种.20..电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次竟猜中成绩优秀的观众来信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封,现由主持人抽奖确定幸运观众,若先确定一名幸运之星,再从两信箱中确定一名幸运伙伴,有_____________种不同的结果.21.从{-3,-2,-1,0,1,2,3,4}中任选三个不同元素作为二次函数y＝ax2+bx+c的系数,问能组成__________条图象为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线22．有六名同学报名参加三个智力竞赛项目(1)每人恰好参加一项，每项人数不限,有________种不同的报名方法(2)每项限报一人，且每人至多参加一项,有________种不同的报名方法(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限,有________种不同的报名方法23．某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有________种不同的安排方法3412 3 45 6 789课时作业(五十七)【基础热身】1．C 解析b有6种取法，a也有6种取法，由分步乘法计数原理共可以组成6×6＝36个虚数．2．B 解析从甲着手分析，分两类：若甲报唱歌，乙则报朗诵，丙可任选，有2种报名方法；若甲报朗诵，则乙、丙均可任选，有2×2＝4(种)报名方法．所以共有2＋4＝6(种)不同的报名方法．3．C 解析 4名学生参加3个运动队，每人限报一个，可以报同一运动队，应该是人选运动队，所以不同的报法种数是34，故A＝34；3个班分别从5个风景点中选择一处游览，应该是班选风景点，故不同的选法种数是53，故B＝53.4．C 解析由分步乘法计数原理知有3×4＝12个．【能力提升】5．A 解析先分两类：一是四种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，共有4×3×2×1＝24种涂法；二是用三种颜色，这时A，B，C的涂法有4×3×2＝24种，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法．故不同的涂法共有24＋24×2＝72种．6．C 解析方法1：两人各选修2门的种数为C24C24＝36，再求出两人所选两门都相同和都不同的种数均为C24＝6，故恰好有1门相同的选法有24种．方法2：恰有1门相同，先从4门选1门，选法C14，然后甲从剩下的3门选1门，乙再从甲选后剩下的2门中选1门，根据乘法原理共有选法4×3×2＝24种．7．D 解析一位良数有0,1,2，共3个；两位数的良数十位数可以是1,2,3，两位数的良数有10,11,12,20,21,22,30,31,32，共9个；三位数的良数有百位为1,2,3，十位数为0的，个位可以是0,1,2，共3×3＝9个，百位为1,2,3，十位不是零时，十位个位可以是两位良数，共有3×9＝27个．根据分类加法计数原理，共有48个小于1000的良数．8．如果一个三位数的十位数字既大于百位数字也大于个位数字,则这样的三位数共有( )A.240个B.285个C.231个D.243个解析:当十位数字是9时,百位数字有8种取法,个位数字有9种取法,此时取法种数为8×9;当十位数字是8时,百位数字有7种取法,个位数字有8种取法,此时取法种数为7×8,依此类推,直到当十位数字是2时,百位数字有1种取法,个位数字有2种取法,此时取法种数为1×2,所以总的个数为1×2+2×3+3×4+…+8×9＝240.9．已知集合A={x| －2≤x≤10，x∈Z}，m, n∈A，方程221x ym n+=表示长轴在x轴上的椭圆，则这样的椭圆共有（A）45个（B）55个（C）78个（D）91个10．如图，某城市中，M、N两地有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进，则从M到N不同的走法共有（）（A）25 （B）15 （C）13 （D）10解：∵只能向东或向北两个方向沿图中的矩形的边前进，向北方向走的路线有3条，向东方向走的路线有5条，走路时向北方向有3种结果向东方向有5种结果，∴根据分步计数原理知共有3×5=15种结果，故选B．解：从A到D可能的情况是：①只跳三次：ABCD、AFED两种；②正好跳五次：ABCDED、AFEDCD、ABCDCD、AFEDED、AFABCD、ABBAFED、ABCBCD、AFEFED共8中，故可能出现的不同跳法的种数是：2+8=10种．故选D．12.分三类：①B、D、E、F用四种颜色，则有A44×1×1＝24种方法；②B、D、E、F用三种颜色，则有A34×2×2＋A34×2×1×2＝192种方法；③B、D、E、F用两种颜色，则有A24×2×2＝48，所以共有不同的涂色方法24＋192＋48＝264种．13．解析:从01至10的三个连号的个数有8种;从11至20的两个连号的个数有9种;从21至30的单选号的个数有10种,从31至36的单选号的个数有6种,故总的选法有8×9×10×6＝4 320种,可得需要钱数为8 640元.答案:D14. 解析由分步乘法计数原理有4×3＝12.15．6 解析左上方只能填1，右下方只能填9，此时4的上方只能填2.右上方填5时，其下方填6,7,8；右上方填6时，其下方填7,8；右上方填7时，其下方只能填8，此时左下方的两个格填法随之确定．故只能有3＋2＋1＝6种填法．解：∵由题意知，要求每一行从左到右依次增大，每一列从上到下依次增大，∴3的左边只可以填1和2，有两种选择，3的左边可以填写5，6，7，当这两个位置的数字确定以后，整个表格是确定的形式，∴填写表格的办法有2×3=6种结果，故答案为：6．16．144 解析有两名教师要值班两天，把六天分为四份，两个两天连排的是(1,2)，(3,4)；(1,2)，(4,5)；(1,2)，(5,6)；(2,3)，(4,5)；(2,3)，(5,6)；(3,4)，(5,6)，共六种情况，把四名教师进行全排列，有A44＝24种情况，根据分步乘法计数原理，共有不同的排法6×24＝144种．17．108 解析分步求解．只要在涂好1,5,9后，涂2,3,6即可，若3与1,5,9同色，则2,6的涂法为2×2，若3与1,5,9不同色，则3有两种涂法，2,6只有一种涂法，同理涂4,7,8，即涂法总数是C13(2×2＋C12×1)×(2×2＋C12×1)＝3×6×6＝108.18.72的正约数(包括1和72)共有___________个.解析:72＝23×32.∴2m ·3n (0≤m≤3,0≤n≤2,m 、n ∈N )都是72的正约数.m的取法有4种,n 的取法有3种,由分步计数原理共3×4(个). 答案:1219.计划展出6幅不同的画,其中1幅水彩画,2幅油画,3幅国画,排成一行陈列,要求同一品种的画必须连在一起,并且水彩画不放在两端,那么不同的陈列法有___________种. 解析:先把每种品种的画看成一个整体,而水彩画只能放在中间,又油画与国画放在两端有2种放法,再考虑2幅油画本身排放有2种方法,3幅国画本身排放有3×2＝6(种)方法,故不同的陈列法有2×2×6＝24(种). 答案:2420..电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次竟猜中成绩优秀的观众来信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封,现由主持人抽奖确定幸运观众,若先确定一名幸运之星,再从两信箱中确定一名幸运伙伴,有_____________种不同的结果. 解析:分两类:(1)幸运之星在甲箱中抽,先定幸运之星,再在两箱中各定一名幸运伙伴有30×29×20＝17 400种结果;(2)幸运之星在乙箱中抽,同理有20×19×30＝11 400(种)结果,因此共有不同结果17 400+11 400＝28 800(种).答案:28 80021.从{-3,-2,-1,0,1,2,3,4}中任选三个不同元素作为二次函数y ＝ax 2+bx+c 的系数,问能组成多少条图象为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线? 解:抛物线经过原点,得c ＝0,当顶点在第一象限时,a ＜0,02>-ab, 即⎩⎨⎧><,0,0b a 则有3×4＝12(种); 当顶点在第三象限时,a ＞0,02<-ab, 即a ＞0,b ＞0,则有4×3＝12(种); 共计有12+12＝24(种).14．解答 (1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同选法，由分步计数原理知共有方法36＝729种．(2)每项限报一人，且每人至多限报一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步计数原理得共有报名方法6×5×4＝120种．(3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步乘法计数原理得共有不同的报名方法63＝216种．15．解答 首先分类的标准要正确，可以选择“只会排版”、“只会印刷”、“既会排版又会印刷”中的一个作为分类的标准．下面选择“既会排版又会印刷”作为分类的标准，按照被选出的人数，可将问题分为三类： 第一类：2人全不被选出，即从只会排版的3人中选2人，有3种选法；只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有3×1＝3种选法．第二类：2人中被选出一人，有2种选法．若此人去排版，则再从会排版的3人中选1人，有3种选法，只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有2×3×1＝6种选法；若此人去印刷，则再从会印刷的2人中选1人，有2种选法，从会排版的3人中选2人，有3种选法，由分步计数原理知共有2×3×2＝12种选法．再由分类计数原理知共有6＋12＝18种选法．第三类：2人全被选出，同理共有16种选法． 所以共有3＋18＋16＝37种选法． 【难点突破】。