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2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：4-3平面向量的数量积与平面向量应用举例 Word版含解析

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[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．已知|a |＝6，|b |＝3，a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( ) A ．－4 B ．4 C ．－2 D ．2 解析：∵ a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝18cos 〈a ，b 〉＝－12， ∴cos 〈a ，b 〉＝－23.∴a 在b 方向上的投影是|a |cos 〈a ，b 〉＝－4. 答案：A2．(2018届河南八市重点高中质检)已知平面向量a ，b 的夹角为2π3，且a ·(a －b )＝8，|a |＝2，则|b |等于( )A. 3 B ．2 3 C ．3D ．4解析：因为a ·(a －b )＝8，所以a ·a －a ·b ＝8，即|a |2－ |a ||b |cos 〈a ，b 〉＝8，所以4＋2|b |×12＝8，解得|b |＝4. 答案：D3．已知平面向量a ，b ，|a |＝1，|b|＝3，且|2a ＋b |＝7，则向量a 与向量a ＋b 的夹角为( )A.π2B.π3C.π6D ．π解析：由题意，得|2a ＋b |2＝4＋4a ·b ＋3＝7，所以a ·b ＝0，所以a ·(a ＋b )＝1，且|a ＋b |＝(a ＋b )2＝2，故cos 〈a ，a ＋b 〉＝a ·(a ＋b )|a |·|a ＋b |＝12，所以〈a ，a ＋b 〉＝π3，故选B.答案：B4．(2018届辽宁抚顺一中月考)在△ABC 中，C ＝90°，且CA ＝CB ＝3，点M 满足BM →＝2MA →，则CM →·CB→＝( )A ．2B ．3C ．－3D ．6解析：∵BM→＝2MA →，∴BM →＝23BA →＝23(CA →－CB →)，∴CM →·CB →＝(CB →＋BM →)·CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13CB →＋23CA →·CB →＝13CB 2→＋23CB →·CA →＝3.故选B. 答案：B5．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，向量m ＝(2cos C －1，－2)，n ＝(cos C ，cos C ＋1)，若m ⊥n ，且a ＋b ＝10，则△ABC 周长的最小值为( )A ．10－5 3B ．10＋5 3C ．10－2 3D ．10＋2 3解析：∵m ⊥n ，∴m ·n ＝0，即2cos 2C －cos C －2cos C －2＝0.整理得2cos 2C －3cos C －2＝0，解得cos C ＝－12或cos C ＝2(舍去)．又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab (1＋cos C )＝102－2ab ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12≥100－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝100－25＝75，∴c ≥53，则△ABC 的周长为a ＋b ＋c ≥10＋5 3.故选B.答案：B6．已知|a |＝1，|b |＝3，a ＋b ＝(3，1)，则a ＋b 与a －b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析：由a ＋b ＝(3，1)得|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝4，又|a |＝1，|b |＝3，所以|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝1＋2a ·b ＋3＝4，解得2a ·b ＝0，所以|a －b |＝|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝2，设a ＋b 与a －b 的夹角为θ，则由夹角公式可得cos θ＝(a ＋b )·(a －b )|a ＋b ||a －b |＝|a |2－|b |22×2＝－12，且θ∈[0，π]，所以θ＝23π，即a ＋b 与a －b 的夹角为23π答案：C7．(2017届山东师大附中模拟)如图，在圆O 中，若弦AB ＝3，弦AC ＝5，则AO →·BC →的值等于( )A ．－8B ．－1C ．1D ．8解析：取BC →的中点D ，连接OD ，AD ，则OD →·BC →＝0且AO →＋OD →＝AD →，即AO →＝AD →－OD →.而 AD →＝12(AB →＋AC →)，所以AO →·BC →＝AD →·BC →－OD →·BC →＝AD →·BC→＝12(AB →＋AC →)·(AC→－AB →)＝12(AC 2→－AB 2→)＝12(52－32)＝8，故选D.答案：D8．(2018届衡水调研)若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为________．解析：∵(2a ＋b )·b ＝0，∴2|a ||b |cos θ＋b 2＝0. 由|a |＝|b |，可得cos θ＝－12，∴θ＝120°. 答案：120°9．已知正方形ABCD 的边长为1点，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC→的最大值为________． 解析：以D 为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示，则D (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)．设E (1，a )(0≤a ≤1)，所以DE →·CB →＝(1，a )·(1,0)＝1，DE →·DC →＝(1，a )·(0,1)＝a ≤1.故 DE →·DC→的最大值为1.答案：1 110．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |和|a －b |；(3)若AB→＝a ，AC →＝b ，作△ABC ，求△ABC 的面积． 解：(1)由(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， 得4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61.∵|a |＝4，|b |＝3，代入上式求得a ·b ＝－6. ∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－64×3＝－12. 又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°. (2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝ 42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a ＋b |＝13.同理，|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝37. (3)由(1)知∠BAC ＝θ＝120°， |AB→|＝|a |＝4，|AC →|＝|b |＝3，∴S △ABC ＝12|AC →|·|AB →|·sin ∠BAC ＝12×3×4×sin120°＝3 3. 11．已知a ，b 满足|a |＝2，|b |＝3，|a ＋b |＝4，求|a －b |. 解：由已知，|a ＋b |＝4，∴|a ＋b |2＝42， ∴a 2＋2a ·b ＋b 2＝16.①∵|a |＝2，|b |＝3，∴a 2＝|a |2＝4，b 2＝|b |2＝9， 代入①式得4＋2a ·b ＋9＝16，即2a ·b ＝3，又∵(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝4－3＋9＝10，∴|a －b |＝10.12．在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，且△ABC 为直角三角形，求实数k 的值．解：当A ＝90°时，AB →·AC →＝0，∴2×1＋3×k ＝0，∴k ＝－23； 当B ＝90°时，AB →·BC→＝0， BC→＝AC →－AB →＝(1－2，k －3)＝(－1，k －3)． ∴2×(－1)＋3×(k －3)＝0，∴k ＝113； 当C ＝90°时，AC →·BC →＝0，∴－1＋k (k －3)＝0，∴k ＝3±132.综上所述，k ＝－23或113或3±132.[能 力 提 升]1．(2018届辽阳质检)设O 是△ABC 的外心(三角形外接圆的圆心)．若AO →＝13AB →＋13AC →，则∠BAC 的度数等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：取BC 的中点D ，连接AD ，则AB →＋AC →＝2AD →， 又AO→＝13AB →＋13AC →，即得3AO →＝2AD →， ∴AD 为BC 的中线且O 为重心，又O 为外心， ∴△ABC 为等边三角形，∴∠BAC ＝60°，故选C. 答案：C2．(2017届湖南十校联考)在△ABC 中，点M 是BC 的中点，若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－12，则|AM →|的最小值是( )A. 2B.22C.32D.12解析：由已知得AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A ，所以－12＝|AB →|·|AC →|·cos120°，则|AB →|·|AC →|＝1. 因为M 为BC 的中点，所以AM→＝12(AB →＋AC →)， |AM→|＝12|AB →＋AC →|＝12 (AB→＋AC →)2＝ 12|AB →|2＋2AB →·AC→＋|AC →|2.因为|AB →|2＋|AC →|2≥2|AB →|·|AC →|＝2，所以|AM →|≥ 122＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12，所以|AM →|min＝12 答案：D3．若平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值是________． 解析：由|2a －b |≤3可知，4a 2＋b 2－4a ·b ≤9，所以4a 2＋b 2≤9＋4a ·b .而4a 2＋b 2＝|2a |2＋|b |2≥2|2a |·|b |≥－4a ·b ，所以a ·b ≥－98，当且仅当2a ＝－b 时取等号．答案：－984．已知a ＝(1,1)，向量a 与b 的夹角为3π4，且a ·b ＝－1. (1)求向量b ；(2)若向量b 与向量p ＝(1,0)的夹角为π2，向量q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A ，2cos 2C 2，其中A ，C 为△ABC 的内角，且A ＋C ＝2π3，求|b ＋q |的最小值．解：(1)设b ＝(x ，y )，由a ·b ＝－1得，x ＋y ＝－1，① ∵a 与b 的夹角为3π4，∴a ·b ＝|a ||b |cos 3π4＝－1， 即2·x 2＋y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－1，∴x 2＋y 2＝1.② 由①②解得⎩⎨⎧ x ＝－1，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝－1.∴b ＝(－1,0)或b ＝(0，－1)．(2)由b ⊥p 得b ＝(0，－1)，由A ＋C ＝2π3得0<A <2π3.又b ＝(0，－1)，∴b ＋q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A ，2cos 2C2－1＝(cos A ，cos C )．∴|b ＋q |2＝cos 2A ＋cos 2C ＝1＋cos2A 2＋1＋cos2C2＝1＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos2A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3－2A＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos2A －32sin2A＝1＋12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3，∵0<A <2π3，∴π3<2A ＋π3<5π3.∴当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1时，|b ＋q |取得最小值． ∴|b ＋q |2min ＝12，∴|b ＋q |min ＝22.。

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2019版高考数学文科一轮复习：5.2 平面向量的数量积及平面向量的应用

2019版高考数学文科一轮复习：5.2 平面向量的数量积及平面向量的应用


10
10.(2016山东,13,5分)已知向量a=(1,-1),b=(6,-4).若a⊥(ta+b),则实数t的值为
.
答案 -5
解析 因为a⊥(ta+b),所以a·(ta+b)=0,即ta2+a·b=0,又因为a=(1,-1),b=(6,-4),所以|a|= 2 ,a·b=1×6 +(-1)×(-4)=10,因此可得2t+10=0,解得t=-5.
1.故选C.
3.(2015广东,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形, AB =(1,-2), AD =

(2,1),则 AD

· AC
=
(
)
A.5 B.4 C.3 D.2
答案 A ∵四边形ABCD是平行四边形,∴ AC = AB + AD =(3,-1),∴ AD · AC =2×3+1×(-1)=5. 选A.
2019/9/13
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身体健康， 学业有成，金榜题名！
9
8.(2014湖南,10,5分)在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0, 3 ),C(3,0),动点D满足| CD |=1,
则| OA

+ OB

+ OD
|的取值范围是
(
)
A.[4,6] B.[ 19 -1, 19 +1]

,在梯形ABCD中, BC


= BA+ AD

+ DC

=- AB

+ AD
+ 1 AB
=- 1 AB
+
2019版高考数学一轮复习第4章平面向量43平面向量的数量积及其应用课后作业理.doc

2019版高考数学一轮复习第4章平面向量43平面向量的数量积及其应用课后作业理.doc

4. 3平面向量的数量积及其应用E课后作业孕谀［基础送分提速狂刷练］一、选择题1.a,〃为平面向量,已知2=(4, 3), 2a+b= (3, 18),则6夹角的余弦值等于( )8 8 16 16A，65 _65 C'65 °，_65答案C解析由题可知，设b=lx, y),则2a+b= (8 + ^ 6 + y) = (3, 18),所以可以解得x=a ■ b］ 6—5, r=12,故b= ( — 5, 12).由cos〈日，方〉=—=乔•故选C.\a\ b 659 o—A2.已知向量a= (/n, 2), b= (2, —1),且2丄氏则---------- T7—等于( )a • a~rb5 5A. --B. 1C. 2D.~答案B解析T Q丄b,：・2HL2=0,m= 1,贝I」2a~b= (0, 5), a+b=(3, 1), .•・2・(a+A)2a—b 5= 1X3 + 2X1=5, |2Q—方|=5, :.—―=-=l.故选B.—► —► —►―►―►3.已知△〃处'的外接圆的圆心为0,半径R=4,如杲OD+DE~\~DF=0,且= |加，则向量济在用?方向上的投影为（）A. 6B. -6C. 2羽0. -2^3答案B—►—►—►—►—►—►解析由〃+化+〃尸=0得，D0=DE+DF.・・・加经过莎的中点，:.D01EF.连接 OF, 9：\0F\ = \0D\ = \DF\=A,・・・△〃〃为等边三角形，・・・Z0〃F=6O° . :.乙DFE=3Q° ,且歼4Xsin60° X2=4^3.—► —►—►—► —►・••向虽Z7在用防向上的投影为丨胡・cos〈防，FD) =4^/3cosl50o=一6,故选B.(一一、 --—►—►—►4. ----------------------------------------------------------------------------- 已知非零向量個与畀6满足-・BC=0且------------------------------------------------ =|,则△血为( )肋| \AC\) \AB\ \AC\A.三边均不相等的三角形C.等腰非等边三角形 答案D十… 1 加 /4C 1 十」 兀 所以 AB=AC.又 cos ZBAC=— ------- 所以 ZBAC=—\AB\ \AC'\所以△/!力为等边三角形.故选D.—► —► —► —► —► —► —► —►5. 在中，|AB+AC\=y^\AB-AC\f |/1^| = |/ld=3,则Q?・ G 的值为（）9 9A. 3B. —3C. ——D.—答案D―► ―► ―►―► ―► ―► ―► —► ―►―►解析 由\AB+AC\ =y/i\AB-AC\两边平方可得，AB" + A （^ + 2AB ・〃C=3（力仔+力严一—► —► ―► —A —► —► ―► —► —► —► —► —► —►92AB ・A0 ,即外用+/1个=4加・化，又|加| = |化|=3,所以AB ・AC=q,又因为CB=AB~AQ—► —► ―► ―► ―► —► ―► ―►9 9 所以個・CA= {AB-AC ）・•血=9一㊁=空，故选D.—► —► —► ―► —► ―►6. （2017 •龙岩一模）己知向量创与力的夹角为60° ,且|创|=3, |加=2,若OC=niOA —► —► —►+ nOB, HOC LAB,则实数岂的值为（）n解析 04・加 =3X2Xcos60° =3, V OC=niOA+nOB,且％丄/矽，—► —► —► —► —► —► —►―►―► ―► —►・・・hnOA+nOH ）・AB= （/〃。

2019年高考数学一轮复习第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入第3节平面向量的数量积及其应

2019年高考数学一轮复习第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入第3节平面向量的数量积及其应

第三节平面向量的数量积及其应用［考纲传真］1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义 2 了解平面向量的数量积与向量投影的关系3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题6会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.双基自主测评I基础知识环能力全面巩固■(对应学生用书第61页)［基础知识填充］1. 向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，如图4-3-1 ,作0A= a, 0B= b，则/ AOB=0 (0 °w 0 < 180° )叫作a与b的夹角.0 b B图4-3-1(2)当0 = 0°时，a与b共线同向.当0 = 180°时，a与b共线反向.当0 =90°时，a与b互相垂直. '—2•平面向量的数量积(1) 定义：已知两个非零向量a和b,它们的夹角为0，则数量| a|| b| • cos 0叫做a与b的数量积(或内积).规定：零向量与任一向量的数量积为0.(2) 几何意义：数量积a • b等于a的长度| a|与b在a的方向上的投影| b|cos 0的乘积Jk 曜或b的长度| b|与a在b方向上射影| a|cos 0的乘积.3. 平面向量数量积的运算律(1) 交换律：a • b= b • a；(2) 数乘结合律：(入a) • b=入(a • b) = a •(入b)；(3) 分配律：a •( b+ c) = a • b+ a • C.4. 平面向量数量积的性质及其坐标表示122结论几何表示坐标表小2| a || b |cos 0夹角a - bcos 0 — . [[ i .|a || b |X 1X 2+ y 1y 2cos 0 — . y, ------------------------------- .,,V X 2 + y2^/X 2 + y 2a 丄ba -b — 0X 1X 2+ y 1y 2— 0|a • b | 与 | a || b | 的关系|a - b | w| a || b || X 1X 2+ y 1y 2| w 寸X 1 + y 2 •寸 X 2+ y ；［知识拓展］1两个向量a , b 的夹角为锐角？ a •b >0且a , b 不共线;两个向量a ，b 的夹角为钝角？ a •b <0且a , b 不共线. 2 •平面向量数量积运算的常用公式 (1)( (2)( (3)(2 2a +b ) •( a -b ) = a — b .2 2 2a +b ) = a + 2a • b + b .a -b )2= a 2-2a • b + b 2.3.当a 与b 同向时，a •b = | a||b1.当a 与b 反向时，a ・b = — |a||b |.［基本能力自测］(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“V”，错误的打“X” (1) 两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量.由 a - b = 0,可得 a = 0 或 b = 0.()由a - b = a - c 及a ^0不能推出b = C.()2. 在四边形 ABCDh AB- DC &AC- BD= 0,则四边形 ABCD 为矩形•( [答案](1) V (2) X (3) V(2016 -全国卷川)已知向量BA=A . 30° ,1，则/ ABC=(3.C. 60°D. 120°A [因为BA=2, -2 , BC > 三3, 1，所以 E3A- £=¥+石3=_23.又因为 B A- B <> I B AII 航cos / ABC= 1X 1X cos / ABC 所以 cos / 又 0°<Z ABCc 180°,所以/ABC= 30° .故选 A .](2015 •全国卷 n )向量 a = (1 , - 1), b = ( — 1,2)，则(2a + b ) - a =()A . - 1 B. 0 C. 1D. 22C [法: T a = (1 , — 1) , b = ( — 1,2) ,.•. a = 2, a • b =— 3, 从而(2a + b ) • a = 2a 2 + a • b = 4 — 3= 1. 法二：T a = (1 , — 1) , b = ( — 1,2), .2a + b = (2 , — 2) + ( — 1,2) = (1,0),从而(2a + b ) • a = (1,0) • (1 , — 1) = 1，故选 C.]4. ______________ (教材改编)已知|a | = 5, | b | = 4, a 与b 的夹角0 = 120° ,则向量b 在向量a 方向上的 投影为 __ .—2 [由数量积的定义知， b 在a 方向上的投影为| b |cos 0 = 4x cos 120 ° =— 2.]5. (2017 •全国卷I)已知向量 a = ( — 1,2) , b = (m,1).若向量 a + b 与a 垂直，则 m=7 [ T a = ( — 1,2) , b = (m,1), ••• a + b = ( — 1 + m,2 + 1) = ( m- 1,3). 又 a + b 与 a 垂直，二(a + b ) • a = 0, 即(m-1) x ( — 1) + 3X 2= 0, 解得m= 7.]题型分类突破I 高琴题型烦律方法逐-突砸■(对应学生用书第62页)心 ......平面向量数量积的运算■■■I (1)(2016 •天津高考)已知△ ABC 是边长为1的等边三角形，点D, E 分别是边AB,BC 的中点，连接 DE 并延长到点F ,使得DE= 2EF,则AF- BC 勺值为()A . 11D -S'已知正方形 ABCD 勺边长为1,点E 是AB 边上的动点，则DE- CB 勺值为C.;DE ・DC的最大值为 【导学号: 00090135】AF = AM DF又D, E 分别为AB BC 的中点,(1) B (2) 1 1 [(1)如图所示,f 1 f f 1 ・_且DE=2EF所以AD= 1A B DF=2AC+；AC=4AC1f2当E 运动到B 点时，DE^DC 方向上的投影最大，即为 DC = 1, 所以(DE' Dg =| DC - 1= 1.］［规律方法］1.求两个向量的数量积有三种方法： 利用定义；利用向量的坐标运算； 利用数量积的几何意义.~T 1 -T 3 ~T 所以 AF = 2AB+ 4AC又 BC= AC- AB3T-4AC-又 | AB =|AQ = 1,z BAO 60°,故AF- E3C = 4-2 — 4X 1X 1X 2= 1.故选 B.4 2 4 2 8⑵ 法一：以射线AB AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0,0),巳1,0),C (1,1) ,D (0,1)，设E (t, 0) , t € [0,1]，则DE = (t , - 1),(t , -1) - (0，- 1) = 1.因为 DC = (1,0)，所以 DE- DC = (t ，- 1) - (1,0) = t w 1, 故D E- DC 的最大值为1.法二：由图知，无论E 点在哪个位置，DE 在CB^向上的投影都是 CB= 1,所以DE- CB= | CB则 AF- BC= -(AC-AB 3 T T2. (1)要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量. (2)注意向量夹角的大小，以及夹角0 = 0°, 90°, 180°三种特殊情形.2[变式训练1] ⑴ 已知AB= (2,1)，点C ( — 1,0) , D (4,5)，则向量AB 在 C [方向上的投影为(1) C (2)C [(1)因为点 C ( —1,0) , Q4,5)，所以 C* (5,5)，又AB= (2,1)，所以向量 AB 在CD?向上的投影为|AB |cos 〈 AB C D =磊=芈I CD%2⑵ 由 AB- AF = 3 得AB ・(AM DF = AB- DF= 3,所以 |DF = 1, |CF = 2,BE • BC= — 6 + 2 = — 4.](1)(2017 •合肥二次质检)已知不共线的两个向量a ,b 满足|a — b | = 2且a 丄(a—2b )，则 | b | =( )A . 2 C. 2 2⑵(2018 •西安模拟)已知平面向量a , b 的夹角为 卡，且|a | = .3, | b | = 2,在厶ABC 中,AB= 2a + 2b , AC= 2a — 6b , D 为 BC 的中点，贝U |AQ = ______ .(1)B (2)2[(1)由 a 丄(a — 2b )得 a - (a — 2b ) = | a | — 2a - b = 0.又•/ | a — b | = 2,「. | a(2)(2018 •榆林模拟)已知在矩形ABCD 中 AB= 3, BC = 3, BE = 2EC 点 F 在边 CD 上.若AB- AF = 3,则 A E- 'BF 的值为()【导学号：00090136】A . 0B 育C.— 4D. 42B.- 3 5 D. 3 5C. 所以 AE - BF = ( AB+ BE ) •( BC+ CF ) =AB- BC+ AB- CF + BE- BC + BE- CF = AB- CF +ISfifl... ......... . ............................ j平面向量数量积的性质角度1平面向量的模MBB. 2 D. 4—b| 2= | a|2—2a - b+ | b|2= 4,则| b|2= 4, | b| = 2，故选B.■ ■ ~9 1 ~> (2)因为 A[> 2(AB+ AC 1=2(2a + 2b + 2a — 6b ) =2a — 2b ,所以 |AD 2= 4(a — b )2= 4(a 2— 2b •a + b 2)—e 2的夹角为B ,贝U cos 3 =⑵ 若向量a = (k, 3) , b = (1,4) , c = (2,1)，已知2a — 3b 与c 的夹角为钝角，贝U k 的取2=I — 2X 3X 2X1 X cos a + 4= I ,所以|a | = 3,i i222因为 b = (3e 1 — e 2) = I — 2X 3X 1 XI X cos a + 1 = 8, 所以 | b | = 2 2,a •b = (3 e 1 — 2e 2)- (3 e 1 — e ?)2 21 =9e 1 — 9e 1 • e2 + 2e 2= I — I X 1 X 1 X + 2 = 8,3 所以cos 3= rOi 占=3^=弩.(2) •/ 2a — 3b 与c 的夹角为钝角， ••• (2 a — 3b ) - c v 0, 即(2 k — 3, — 6) - (2,1) v 0,• 4k — 6— 6v 0, • k v 3.9又若(2a — 3b ) // c ,贝U 2k — 3 =— 12,即卩 k =—》 当 k =— I 时，2a — 3b = ( — 12,— 6) = — 6c ,=4X (3 — 2X 2X3 X cos n + 4) = 4,所以 | AD = 2.]角度2平面向量的夹角2-2 1(1)已知单位向量 e 1与e 2的夹角为 a ,且cos a = 3 向量 a = 3e i — 2e 2与 b = 3e i值范围是 (1)弩(2)[(1)因为 a 2= (3 e 1 — 2e 2)2△in 2 x — ¥cos x = 2,2 2即2a -3b 与c 反向. 综上，k 的取值范围为 一R, 角度3平面向量的垂直 (2016 •山东高考)已知向量a = (1 , - 1), b = (6 , - 4).若a 丄(ta + b )，则实 数t 的值为 _________ —5 [ - a = (1 , — 1), b = (6 , — 4)，…ta + b = (t + 6, — t — 4). 又 a 丄(ta + b )，则 a •( ta + b ) = 0，即 t + 6 +1 + 4= 0，解得 t =— 5.] a • b [规律方法]1.求两向量的夹角：cos 0 = ，要注意0 c [0 , n ]. 丨a l •丨b | 2.两向量垂直的应用： 两非零向量垂直的充要条件是： a 丄b ? a • b = 0? | a — b | = |a + b |. 3 •求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： (1) a 2= a • a = | a |2 或 | a | = a • a . (2) | a ± b | = a ± b 2= a ±2a • b + b . ⑶若 a = (x , y )，则 | a | = x 2 + y 2. |U3［ 平面向量与三角函数的综合 (2018 •佛山模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量m = ^2, — 2小=(sin cos x ) , x c (1)若 miL n ,求 tan x 的值; n ⑵若m 与n 的夹角为—，求x 的值. 【导学号：00090137】所以 sin x = cos x ,所以 tan x = 1. n 1⑵因为 | m = I n | = 1,所以 m-n = cos —=-,3 2x . 所以 m-n = 0, x , cos x ), n Ln . 即承n cos x(1)因为m = n = (sin所以sin 12因为 O v x v n ,所以—n_< x — n_<n n , 一 n n 5 n 所以x —才=6，即x =〒2. ［规律方法］平面向量与三角函数的综合问题的解题思路得到三角函数的关系式，然后求解. (2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题 sin x x= -------cos x •- tan 2 x = —=1 — tan x 53⑵•/ a = sin ^, , b = (cos x , — 1),3 2 2 2 2••• a •b = sin x cos x — ?, b = cos x + ( — 1) = cos x + 1,23 2 1 1 1• f (x ) = (a + b ) - b = a •b + b = sin x cos x — ~ + cos x + 1 = 2sin 2x + 尹 + cos 2x ) — ?⑴ 题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式, 运用向量共线或垂直或等式成立等, 思路是经过向量的运算，利用三角函数的定义域内的有界性，求得值域等. ［变式训练2］ (2018 •郴州模拟)已知向量a = sin x , | , b = (cos X , (1)当a //b 时，求tan 2 x 的值; (2)求函数f (x ) = (a + b ) - b 在|—-2 , 0上的值域. (1) ■/ a //b , a = sin x , | , b = (cos x , 3 x - ( — 1) — 2 • cos 即sin 3 X + 2C0S x = 0, 得sin 3 x = — 2C0S x , 二tan -32，匕2tan x 12 x = 0,1 n 1 sin 2x+ 才.I nT x€ |—— , 0••• sin 2x+4 € —1 ,n故函数 f (X ) = (a + b ) • b 在 | — , 0 • •• f(X)= 刍n -弓，2上的值域为•—， 2。

2019届高考数学一轮复习课时跟踪检测(二十七)平面向量的数量积与平面向量应用举例理(普通高中)

2019届高考数学一轮复习课时跟踪检测(二十七)平面向量的数量积与平面向量应用举例理(普通高中)

A.— 2B F -1课时跟踪检测（二十七） 平面向量的数量积与平面向量应用举例（一）普通高中适用作业A 级一一基础小题练熟练快 1 . （2018 •洛阳第一次统一考试 ）已知平面向量 a , b 满足|a| = 2, |b| = 1, a 与b 的夹么亠2 n 角为"a- ，且（a +入b ）丄（2a — b ），则实数 入的值为（ ） A. B. - 3 C. D. 3 解析：选D 依题意得a • b = 2x 1x cos^ = — 1,由(a +入b)3 2-(2 a — b) = 0,得 2a2—入 b + (2 入一1)a • b = 0,即一3 入 + 9= 0，解得 入=3. 2.已知平面向量a , b 的夹角为nn ，且a -(a — b) = 2, 则|b|等于（A. 2B .C. 4 D. |a| = 2, 解析：选 D 因为 a •( a — b) = 2，所以 a 2— a • b = 2,即 |a| 2— |a||b cos =2,1所以 4— 2|b| x = 2,解得 |b| = 2.I3.已知向量 a = ( — 1,2) , b = (3,1) , c = (x, 4)，若(a — b)丄c ,贝U c ・(a + b)=( A. (2,12) B. ( — 2,12) D. 10C. 14解析：选 C 由题意可得，a — b = ( — 4,1)，由(a — b)丄c ,得(一4) x x + 1x 4= 0,即 —4x + 4= 0,解得 x = 1,所以 c = (1,4).又 a + b = (2,3)，所以 c •( a + b) = 1 x 2+ 4X3 =14. -旷 vU y4. (2018 •湘中名校联考)平面向量a 与b 的夹角为45°, a = (1,1) , |b| = 2，则|3a ) A. 13+ 6\2 C. ,30 + b|等于( B. 2 5D. 34解析：选 D 依题意得 |a| = 2,a • b = _2X 2X cos 45°= 2, /• |3a + b| = , :〕a + b = 9a 2+ 6a • b + b 2= 18+ 12+ 4 = , 34.n\135.若单位向量e 1, e 2的夹角为 ~,向量a = e 1+入e 2（入€ R ），且|a| = ~2，则入=（ ）1C.21 2 2 1 2 3解析：选A 由题意可得e i • e2= 2, |a| = (e 1+入e2)= 1 + 2入x - +入=4,化简得入1 1+入+ 4= o,解得入=一26. (2018 •西安八校联考)已知点A—1,1),耳1,2) , C( —2, —1) , D(3,4),则向量CD在BA方向上的投影是（）A. — 3，./5C. 3 5解析：选A 依题意得，BA = ( —2, —1) , CD= (5,5) , BA • CD= ( —2, —1) • (5,5) NJ >—> l —> —> B A • CD —15 厂=—15, | B A| = ■. 5，因此向量CD在BA方向上的投影是一 =^一 = — 3 5.| !BA| ' 57.已知平面向量a, b满足a・(a+ b) = 3，且|a| = 2, |b| = 1，则向量a与b的夹角的正弦值为___________________ .解析：T a •(a + b) = a2+ a - b = 22+ 2x 1 x cos〈a, b>= 4+ 2cos〈a, b > = 3,「. cos 1〈a, b> = ：—°,又〈a, b >€ [0 , n ], 2• sin.■ 2 3〈a, b> = 1 —cos 〈 a, b>= .2答案：A |亠32& (2018 •张掖一诊)已知平面向量a, b满足|a| = |b| = 1, a丄(a —2b)，则|a + b| =解析：••• a 丄(a —2b) , A a •( a —2b) = 0，解得2a • b= 1, ••• |a + b| = | a|2+ | b|2+ 2a • b= 3.答案：39. 已知向量m=（入+1,1）, n=（入+ 2,2），若（m+ n）丄（m- n），则向量m n的夹角的余弦值为_________解析：因为m+ n= (2 入 + 3,3) , m—n= ( —1, —1),所以由(n+ n)丄(m—n)，得(m+ n) •( m—n) = 0,即(2 入 + 3) x ( —1) + 3X ( —1) = 0，解得入=—3,则 m ^ ( — 2,1) , n = ( — 1,2),1答案：—2B 级一一中档题目练通抓牢-- > ---- > ---- > --- >1. （2018 •惠州三调）若0为厶ABC 所在平面内任一点，且满足（OB — OC ） •（ OB + OC-- >—2 0A ） = 0,则厶ABC 的形状为（）A.等腰三角形B.直角三角形C.正三角形D.等腰直角三角形解析：选 A 由("0B — "OC ) -("0l B +"OC — 2"0A ) = 0,--- 1 ------ 1 ----- 1得 cB •( A B + A C ) = 0,-- 1 ----- 1 -------- 1 ----- 1 ---------------- 1 -------- 1••• ( AB — AC ) •( AB + AC ) = 0,即 | AB | = | AC | , •••△ ABC 是等腰三角形.2. (2017 •全国卷n )已知△ ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则-- 1 ------ 1 ------ 1PA •( PB + PC )的最小值是()3 A. — 2B.—-24 c.—3D —1解析：选B 如图，以等边三角形 ABC 的底边 以所以 cos 〈 m n > m-n 4| m i n |—5・4 答案：45 10. 如图所示，在等腰直角三角形AOB 中，OA= OB= 1 ,- > ----- > --- > O C •（ O B — oA ）= .解析：由已知得i 鼻B | =Q 2, i ^Ac i =41,则-5・（忌-帚=（+辰）•怎=心・怎+辰-能=7^^+*AB — -C ="CBBC 所在直线为x 轴,BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则0）, C（1,0），设Rx, y）,则-A = ( — x,护一y ), "PB = ( — 1 -x ,— y ) , "PC = (1 — x , - y ),所以"A •( "3 + "C ) = ( — x , 3 — y ) • ( — 2x , — 2y ) = 2x 2 + 2 y —2— -- > ----- > --- > ---- > ----- > O C ) = O B • C A =| O B | ・| cA |cos zAOB O ,I 1 <1 2,同理得，丨2>13 ,作AGL BD 于G,又AB= AD • O^BG= GBOD 而 OAAF = FOOC•••I "OA | •I OB |<| "OC | •I OD | , 而 cos Z AOE = cos Z CO <0 ,"OB >"OC • "O D ,即 11>l 3 ,二 I 3<l 1<I 2. 法二：如图，建立平面直角坐标系，则 B (0,0) , A (0,2) , C (2 , 0).设 D (m n ),由 AD= 2 和 CD= 3,m + n-?2= 4 ,m —2 2+ n 2= 9 ,5—>,PA •( PB3. (2017 •浙江高考)如图，已知平面四边形 ABCDAB 丄BC , AB= BC= AD =2 , Ct = 3 , AC 与 BD 交于点 O 记 l 1= "OA • "OB , I 2="O B • "OC , 13=A. B. C. D .I 1<| 2<| 3 I 1<l 3<l 2 I 3<l 1 <l 2I 2<l 1 <l 3 解析：选C 角线的交点，易得 法一：如图所示，四与/ BOC 为锐角. 根据题意，I 1—i 2="A ・ "O B —"OB • "OC ="B •( "A — ——>••• OA •fl从而有n—m= 4>0,「. n>m从而Z DBC45。