贵州省六盘水市2023-2024学年高一下学期期末学业质量监测数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知集合,则( )A. B. C. D.2．下列图形中,可以表示函数的是( )A.B.C. D.3．已知( )4．已知函数且,则下列选项正确的是( )A.函数的值域为RB.若,,则C.函数的图象恒过定点D.若,,则5．已知长方体的长､宽､高分别为2,1,1,则这个长方体外接球的表面积与体积之比为( )6．在中,D 是边上靠近点C 的三等分点,E 是的中点,若,则( ){}240A xx =-=∣{}2,2A -⊆{}2,2A -∈2A ∉2A-⊆()y f x =()1i z =-()(0x f x a a =>1)a ≠()f x 1a >m n >m na a <()f x ()0,101a <<0x >()1f x >ABC △BC AD AE AB AC λμ=+ λμ+=7．已知函数是定义域为R 的奇函数,.当时,,则( )A.-2B.-1C.0D.28．已知,,则的值为( )二、多项选择题9．如图在正方体中,M ,N ,P 分别是,,的中点,则下列选项正确的是( )A.平面B.平面C.M,N,B ,四点共面D.与10．下列选项正确的是( )B.C.11．已知向量,的数量积（又称向量的点积或内积）：,的夹角;定义向量,的向量积（又称向量的叉积或外积）：表示向量,的夹角,则下列说法正确的是( )A.()f x ()()20f x f x ++=01x ≤≤()2f x x =()211f =()cos αβ+=()αβ-=π0,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭tan tan αβ+1111ABCD A B C D -11C D 1C C 1A A //MN 1AD C1B D ⊥MNP 1A MN AC 2y x +>12(0)x x x+≥>13(1x x x +≥>-)*,,x y x y <∈≠N a b cos ,a b a b a ⋅= ,a b a b sin ,a b a b a b ⨯= ,b a b ABC △AC⨯B.若,D.已知点,三、填空题12．已知,,,则_____________.13．已知函数,则__________.14．已知a,b,c 分别为三个内角A,B,C 的对边,且,则面积的最大值是__________.四、解答题15．已知二次函数的图象经过点且对称轴为.（1）求的解析式;（2）求不等式的解集.16．已知函数,（1）求函数的最小正周期;（2）将函数个单位长度,得到函数的图象.当时,求函数的最值.17．如图,直三棱柱中,D ,E 分别是,.（1）证明：平面;（2）求直线与平面所成角的正弦值.a b b a b =⋅ π,4b = b b =⋅= )A (1,1B OB ⨯= ()1,1A -()2,0B -()0,1C AB AC += ()()2log 1,04,0x x x f x x ⎧-<=⎨≥⎩()()47log 3f f -+=ABC △a =cos 2A A -=ABC △()2f x x bx c =++()0,1A 1x =()f x ()1f x <()22cos 2sin cos sin f x x x x x =--()f x (f x ()h x π2π,63x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()h x 111ABC A B C -AB BB 1AA AC CB AB ===1//BC 1A CD AC 1A CD18．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号.作为普通市民,既是文明城市的最大受益者,又是文明城市的主要创造者.六盘水市为提高市民对文明城市创建的认识,举办了“创建文明城市”知识竞赛（满分100分）,从所有答卷的成绩中抽取了容量为100的样本,将样本（成绩均为不低于50分的整数）分成五段：,,,得到如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中a 的值和估计样本的下四分位数;（2）按照分层抽样的方法,从样本中抽取20份成绩,应从中抽取多少份;（3）已知落在的平均成绩是53,方差是4;落在的平均成绩为65,方差是7,求成绩落在.差为,则）19．对于定义域为D 的函数,如果存在区间,同时满足：①在上是单调函数;②当时,,则称是该函数的“优美区间”.（1）求证：是函数的一个“优美区间”;（2）求证：函数（3）已知函数有“优美区间”,当取得最大值时求a 的值.[)50,60[)60,70 []90,100[]80,100[)50,60[)60,70[50,7022s {}22222121()()s m s x n s y m n ωω⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦+()y f x =[],m n D ⊆()f x [],m n [],x m n ∈()[],f x m n ∈[],m n []0,3()319f x x =()1g x =-()()()221,0a a xh x a a a x +-=∈≠R [],m n n m -参考答案1．答案：A 解析：2．答案：B 解析：3．答案：B 解析：4．答案：C 解析：5．答案：D设外接球的半径为R ,则,外接球的体积为,故选：D.6．答案：C 解析：由题意故答案是：C.7．答案：A 解析：8．答案：B=2R =24π6πR ==3344ππ33v R ==⨯==11112()22223AE AD AB BD AB BC ==+=+⨯ 1111()2363AB AC AB AB AC =+-=+ 16λμ∴==12λμ∴+=解析：①+②的,9．答案：ABC 解析：10．答案：BCD解析：11．答案：BC解析：A ：B ：若,为非零向量,,选项B 正确;C.,”,选项C 正确;D ：已知点,,O 为坐标原点,则选项D 错误.()1cos cos cos sin sin 5αβαβαβ+=⇒-=()2cos cos cos sin sin 5αβαβαβ-=⇒+=3cos cos 10αβ=()cos αβ+= π0,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()sin αβ∴+===()sin sin sin tan tan 3cos cos cos cos 10αβαβαβαβαβ++=+===11sin ,22ABC S AB AC AB AC AB ==⨯V a b ||||||sin ,||||cos ,a b a b a b a b a b a b ⨯=⋅⇔〈〉=〈〉 π,4b = ||||||sin ,||||cos ,a b b a b a b a b a b ⨯=⋅=⇒〈〉=〈〉=⇒ tan ,a b 〈〉= 1a b ⋅= ||||2a b = 2b =≥ )A ()1,1B sin ,OA OB OA OB OA OB ⨯===12．答案：解析：由,,,所以,,所以故答案为：.13．答案：6解析：因为,所以,,因此.故答案为：6.,,,,15．答案：（1）（2）解析：（1）二次函数图象经过点和对称轴为.()4,3-(1,1)A -(2,0)B -(0,1)C (3,1)AB =- (1,2)AC =- (31,12)(4,3)AB AC +=--+=- (4,3)-2log (1),0()4,0x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩2(7)log (17)3f -=+=()4log 34log 343f ==()4(7)log 36f f -+=1cos 12A A -=πsin 16A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()0,πA ∈ π6A ∴-=2π3A =2222π42cos233b c bc bc bc bc ∴=+-≥+=bc ∴≤12πsin 23ABC S bc ≤=V ()221f x x x =-+{02}xx <<∣ ()2f x x bx c =++()0,1A 1x =212001b bc ⎧-=⎪∴⎨⎪+⨯+=⎩21b c =-⎧∴⎨=⎩（2）不等式的解集.16．答案：（1）（2）无最大值解析：（1）函数的最小正周期（2）由（1）知图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得当时,单调递减当时,单调递增当当当时,()221f x x x ∴=-+()1f x < 2211x x ∴-+<220x x ∴-<02x ∴<<∴()1f x <{02}x x <<∣2π2ππ2T ω===()h x ()22cos 2sin cos sin f x x x x x =-- ()cos2sin2f x x x∴=-()π24f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭∴()f x 2π2ππ2T ω===()()π2,4f x x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()1π4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()πππ442x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()h x π2π,23x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()h x ∴x =ππ22⎛⎫== ⎪⎝⎭∴x =ππ66⎛⎫== ⎪⎝⎭2π3x =2π2π33h ⎛⎫== ⎪⎝⎭当无最大值.17．答案：（1）见解析解析：（1）连接,连结交于点F ,则F 为中点又D 是中点,连结,则是的中位线.（2）方法一：由题意设,记点A 到平面距离为h ,在中,,D 是的中点,平面π2π,63x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦∴x =min ()x =()h x 1BC 1AC 1AC 1AC AB DF DF 1ABC △111111DF BC DF A CD BC A CD BC A CD ∴⎫⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎭平面平面平面∥∥14AA =1A CD ABC △AC CB =AB 11111,CD AB CD AA CD AA D AB AA A AB AA AA D ⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬=⎪⎪⊂⎭平面平面1A D ⊂ 1AA D1CD A D∴⊥11A ADC A A DCV V --= 三棱锥三棱锥111133ADC A DC S AA S h ⋅=⋅ △△记直线与平面所成角为方法二：过A 作的垂线,垂足为F ,连接.在中,,D 是的中点,平面平面则直线与面所成角为在,由题意设,知则18．答案：（1）（2）38解析：（1）由已知可得由已知可得样本成绩在60分以下的答卷所占的比例为1111113232AD DC AA A D DC h ∴⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯1111143232h ⨯⨯=⨯h =AC 1A CD ,sin h AC θθ==1A D FC ABC △AC CB =AB 11111,CD AB CD AA CD AA D AB AA A AB AA AA D ⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⎭平面平面AF ⊂ 1A AD CD AF∴⊥1111,AF A D AF CD AF A D CD D A D CD A DC ⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⎭平面1A DC AC 1A CD FCA ∠1A AD △1112AF A D AD AA ⋅=⋅14AA =1A D ==AF =sin AF FCA CF ∠==67.5()100.0100.0200.0250.0101a ⨯++++=0.035a ∴=0.01010100%10%⨯⨯=样本成绩在70分以下的答卷所占的比例为因此样本成绩的下四分位数一定位于内,由有人,则从样本成绩中抽取人（3）落在的人数为人.落在的人数为人.两组成绩的总方差19．答案：（1）见解析（2）见解析（3）3解析：（1）证明：在区间上单调递增,又,当时根据“优美区间”的定义,是的一个“优美区间”（2）证明：,设,可设或,则函数上单调递增.若是的“优美区间”,则m ,n 是方程的两个同号且不等()0.0100.02010100%30%+⨯⨯=[)60,700.250.10601067.50.300.10-+⨯=-=[]80,100()0.0350.010*******+⨯⨯=[]80,10014595⨯=[)50,600.010*******⨯⨯=[)60,700.020*******⨯⨯=102053656110201020=⨯+⨯=++{}2221104(5361)20[7(6561)}3830s ⎡⎤=⨯⨯+-+⨯+-=⎣⎦()319f x x = []0,3()00f =()33f =∴[]0,3x ∈()[]310,39f x x =∈∴[]0,3()319f x x =()()110g x x x=-≠[]{},0m n x x ⊆≠∣[](),,0m n ⊆-∞[](),0,m n ⊆+∞()1g x =-],m n [],m n ()g x 11,11m m n n⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩210x x -+=的实数根.方程无解.函数（3）,设.有“优美区间”或上单调递增.若是函数的“优美区间”,则,即（*）的两个同号且不等的实数根.或由（*）式得或当时,取得最大值.210x x -+= ∴()1g x =-()()(){}221,00a a x h x a a xx a x +-=∈≠≠R ∣[]{},0m n x x ⊆≠∣()h x [],m n [](),,0m n ∞∴⊆-[](),0,m n ⊆+∞()1a h x a +∴=-],m n [],m n ()h x ()()h m m h n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩,m n ∴21x a x -=()22210a x a a x -++=()()()2222Δ4310a a a a a a ∴=+-=+->1a ∴>3a <-2211,a a m n mn a a ++==+=n m ∴-===1a > 3a <-∴3a =n m -3a ∴=。
