高一数学第一学期期末考试试题及答案

高一数学第一学期期末试卷及答案5套完卷时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题意要求的） 1、若角终边经过点，则（ ）A.B.C. D.2、函数的一条对称轴是（ ） A.B.C.D.3、已知集合}1{>=x x A ，11{|()}24xB x =>，则A B ⋂=（ ） A ．R B ．),1(+∞C ．)2,(-∞D ．)2,1( 4、( ) A.B.C.D.5、已知⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤=0,1)1(0,2cos )(x x f x x x f π，则=)2(f （ ） A ． 1- B ．1 C ． 3- D ． 36、已知，则()()3sin 2cos 2sin sin 2πθπθπθπθ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎛⎫--- ⎪⎝⎭等于（ ）A. 23—B. C. D. 7、若向量，，则在方向上的投影为（ ） A. -2 B. 2 C.D.8、若()f x 对于任意实数x 都有12()()21f x f x x-=+，则(2)f =（ ）A.0B.1C.83D.49、若向量，i 为互相垂直的单位向量，—j 2=j m +=且与的夹角为锐角，则实数m 的取值范围是 ( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞B ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞D ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1210、已知函数2(43)3,0,()log (1)1,0,a x a x a x f x x x ⎧+-+<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A. 13[,]34B.1334⎛⎤ ⎥⎝⎦，C. 103⎛⎤ ⎥⎝⎦，D.30,4⎛⎫⎪⎝⎭11、已知，函数在（，）上单调递减，则的取值范围是（ ）A. （0，]B. （0，2]C. [，]D. [，]12、将函数()⎪⎭⎫⎝⎛=x 2cos 4x f π和直线()1x x g —=的所有交点从左到右依次记为，若P 点坐标为()30，=++A P 2....（ ）A. 0B. 2C. 6D. 10二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置上） 13、已知角θ的终边经过点(39,2)a a -+，且θsin >0，θcos <0则a 的取值范围是 14、已知函数3()2,(0,1)x f x a a a -=+>≠且，那么其图象经过的定点坐标是15、已知2cos ,63πα⎛⎫-=⎪⎝⎭则2sin 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________. 16、已知关于的方程0a cos 3sin =+θθ—在区间()π，0上有两个不相等的实数根，则=+2cosβα__________.三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答写出文字说明，写明过程或演算步骤) 17、（本题满分10 分）已知四点A （-3，1），B （-1，-2），C （2，0），D （）（1）求证：；(2) ，求实数m 的值.18、（本题满分12 分） 已知是的三个内角，向量，，且.(1) 求角； (2)若，求．19、（本题满分12 分）已知函数()log (2)log (3),a a f x x x =++-其中01a <<. (1)求函数()f x 的定义域；(2)若函数()f x 的最小值为4-，求a 的值20、（本题满分12 分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，其中0,0,0A ωϕπ>><<，函数()f x 图像上相邻的两个对称中心之间的距离为4π，且在3x π=处取到最小值2-. (1)求函数()f x 的解析式；(2)若将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将向左平移6π个单位，得到函数()g x 图象，求函数()g x 的单调递增区间。

一、单选题1．已知全集，集合，则（ ）1234{}U =，，，{}{2,12}3A B ==，，()U A B ðA ． B ． C ． D ．{134}，，{3}4，{}3{}4【答案】D 【分析】先求的并集再求补集即可.,A B 【详解】易知，则，{1,2,3}A B È={}()4U A B ⋃=ð故选：D.2．不等式的解集为（ ）2230x x +-<A ．B ． {}31x x x -或{}31x x -<<C ．D ．{}13x x x -或{}13x x -<<【答案】B【分析】利用一元二次不等式的解法求解.【详解】不等式可化为： 2230x x +-<，()()310x x +-<解得，31x -<<所以不等式的解集为，{}31x x -<<故选：B3．已知，，那么角的终边在（ ） 3sin 5α=-3tan 4α=αA ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】由已知条件得到角的终边所在象限 α【详解】由则角的终边在第三象限或者第四象限； 35sin α=-α由则角的终边在第一象限或者第三象限； 34tan α=α综上角的终边在第三象限，故选αC 【点睛】本题考查了由三角函数值判断角的范围，根据三角函数值符号特征求出结果，较为简单，也可以记忆“一正二正弦，三切四余弦”4．已知角α的终边经过点，那么的值为P （3,-4）sin αA ．B ．C ．D ． 43-45-34-35【答案】B【分析】由三角函数的定义直接可求得sin a.【详解】∵知角a 的终边经过点P ，3,4-（）∴sin a ， 45-==故选B ．【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．5．已知函数，则（ ） ,0()1,0x e x f x x x ⎧≤=⎨->⎩()()1f f =A ．0B ．1C ．eD ． 1e -【答案】B【解析】运用代入法进行求解即可.【详解】，0((1))(0)1f f f e ===故选：B6．若，且为第四象限角，则的值为（ ） 12cos 13α=αtan αA ． B ． C ． D ． 125125-512512-【答案】D【分析】结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案.【详解】由于，且为第四象限角， 12cos 13α=α所以， 5sin 13α==-. sin 5tan cos 12ααα==-故选：D7．已知函数，则在下列区间上，函数必有零点的是2()x f x e x =-A ．B ．C ．D ． (2,1)--(1,0)-(0,1)(1,2)【答案】B【详解】f(－2)＝－4＜0，f(－1)＝－1＜0，f(0)＝e 0＝1＞0，f(1)＝e －1＞0，f(2)＝e 2－4＞0. 21e 1e由零点存在性定理,∵f(－1)·f(0)＜0，∴f(x)在(－1,0)上必有零点,故选B.点睛:本题考查零点存在性定理的应用,属于基础题.如果函数在区间[a,b]上的图象是连续不()y f x =断的一条曲线,并且有,那么函数在区间[a,b]内有零点,即存在,使得()()0f a f b <A ()y f x =(),c a b ∈,这个c 也就是方程的实数根.但是反之不一定成立.()0f c =()0f x =8．若=log20.5，b=20.5，c=0.52，则，b ，c 三个数的大小关系是（ ）a a A ．＜b ＜cB ．b ＜c ＜C ．＜c ＜bD ．c ＜＜ba a a a 【答案】C【详解】a=log 20.5＜0，b=20.5＞1，0＜c=0.52＜1，则a ＜c ＜b ，故选C ．二、多选题9．（多选题）下列命题中的真命题是（ ）A ．B ． 1R,20x x -∀∈>()2N ,10x x *∀∈->C ．D ． 00R,lg 1x x ∃∈<00R,tan 2x x ∃∈=【答案】ACD【分析】根据对应函数的性质，判断命题的真假.【详解】指数函数值域为，所以，A 选项正确；()0,∞+1R,20x x -∀∈>当时，，所以是假命题，B 选项错误；1x =()210x -=()2N ,10x x *∀∈->当时，，所以，C 选项正确；01x =0lg 01x =<00R,lg 1x x ∃∈<函数值域为R ，所以，D 选项正确.tan y x =00R,tan 2x x ∃∈=故选：ACD.10．下列结论中，正确的是（ ）A ．函数是指数函数12x y -=B ．函数的值域是21(1)y ax a =+>[1,)+∞C ．若，则(0,1)m n a a a a >>≠m n >D ．函数的图像必过定点2()3(0,1)x f x a a a -=->≠(2,2)-【答案】BD【解析】对每一个选项进行逐一判断其真假，得出答案.【详解】选项A. 根据指数函数的定义，可得不是指数函数，故A 不正确.12x y -=选项B. 当时，，故B 正确.1a >211y ax =+≥选项C. 当时，函数单调递减，由，则，故C 不正确.01a <<x y a =m n a a >m n <选项D. 由，可得的图象恒过点，故D 正确.22(2)32f a -=-=-()f x (2,2)-故选：BD【点睛】本题考查命题真假的判断，考查指数函数的定义、单调性以及图象过定点的应用，属于基础题.11．我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质.下列函数中，在上()0,∞+单调递增且图象关于轴对称的是（ ）y A ． B ．()3f x x =()2f x x =C ．D ．2y x -=()f x x =【答案】BD 【解析】根据函数解析式，逐项判断函数的单调性与奇偶性，即可得出结果.【详解】A 选项，定义域为，在上显然单调递增，但，即()3f x x =R ()0,∞+()()3f x x f x -=-≠不是偶函数，其图象不关于轴对称，A 排除；()3f x x =y B 选项，定义域为，在上显然单调递增，且， ()2f x x =R ()0,∞+()()()22f x x x f x -=-==所以是偶函数，图象关于轴对称，即B 正确；()2f x x =y C 选项，定义域为，在上显然单调递减，C 排除；2y x -=()(),00,-∞⋃+∞()0,∞+D 选项，的定义域为，在上显然单调递增，且，所以()f x x =R ()0,∞+()()f x x x f x -=-==是偶函数，图象关于轴对称，即D 正确.()f x x =y 故选：BD.12．已知函数，若函数（m ∈R ）恰有两个零点，则m ()()()[)21,,12,1,x x x f x x ∞∞⎧+∈-⎪=⎨∈+⎪⎩()()g x f x m =-的取值范围可以为（ ）A ．m ≤2B ．m ≥4C ．0<m ＜2D ．m >3【答案】BC 【分析】在同一坐标系中作出函数的图象，根据因为函数（m ∈R ）(),y f x y m ==()()g x f x m =-恰有两个零点，利用数形结合法求解.【详解】令，得，()()0g x f x m =-=()f x m =在同一坐标系中作出函数的图象，如图所示：(),y f x y m ==因为函数（m ∈R ）恰有两个零点，()()g x f x m =-由图象知：m ≥4或0<m ＜2，故选：BC三、填空题13．函数的定义域是______．lg(2)y x =-【答案】(,2)-∞【详解】由题设有，解得，故函数的定义域为，填．20x ->2x <(),2∞-(),2∞-14．已知扇形的半径为1cm ，圆心角为2rad ，则该扇形的面积为_____cm 2．【答案】1【详解】试题分析：直接求出扇形的弧长，然后求出扇形的面积即可．扇形的圆心角为2，半径为1，扇形的弧长为：2，所以扇形的面积为：=1．故答案为1．15．设，，则________.ln 3a =7l n b =e a b +=【答案】21【分析】由对数运算性质可得答案.【详解】.372121l n l n l n e e e a b ++===故答案为：.2116．已知，则的解集为________．()1423x x f x +=--()0f x <【答案】{}2log 3x x <【分析】由一元二次不等式与指数不等式的解法求解即可【详解】即，也即，()0f x <14230x x +--<()222230x x -⋅-<所以， ()()23210x x -⋅+<解得，解得.023x <<2log 3x <所以的解集为，()0f x <{}2log 3x x <故答案为：{}2log 3x x <四、解答题17．计算下列各式的值：(1)； ()22230327389.682--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2).07log 2(9.8)log lg 25lg 47+-+++【答案】(1)3； (2)132 【分析】（1）根据指数幂的运算，即可得到结果；（2）根据对数的运算性质，代入计算即可得到结果.【详解】（1）原式 2323334122⎛⎫⨯-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3=（2）原式()323log 3lg 25421=+⨯++ 3232=++ 132=18．已知二次函数，.223y x ax =++[4,6]x ∈-（1）若，写出函数的单调增区间和减区间；1a =-（2）若，求函数的最大值和最小值；2a =-（3）若函数在上是单调函数，求实数的取值范围.[4,6]-a 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为.（2）当时，，当[1,6][4,1]-2x =min 1y =-4x =-时，.（3）或.max 35y =4a ≥6a ≤-【详解】（1）当时，，， 1a =-()222312y x x x =-+=-+[]4,6x ∈-又因为抛物线开口向上，所以它的单调递增区间为，单调递减区间为.[]1,6[]4,1-（2）当时，，， 2a =-()224321y x x x =-+=--[]4,6x ∈-图像开口向上，所以当时，，当时，. 2x =min 1y =-4x =-()2max 42136135y =---=-=（3）若函数在上是单调函数，则由得知它的对称轴为[]4,6-()222233y x ax x a a =++=++-x a =-，若它在上单调，则或，∴或.[]4,6-4a -≤-6a -≥4a ≥6a ≤-19．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1．(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集．【答案】(1)(－1，1)；(2)奇函数，证明见解析；(3)(0，1)．【分析】（1）结合真数大于零得到关于的不等式组即可求得函数的定义域；x（2）结合（1）的结果和函数的解析式即可确定函数的奇偶性；（3）结合函数的单调性得到关于的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果．x 【详解】（1）要使函数有意义，则， 1010x x +>⎧⎨->⎩解得，即函数的定义域为；11x -<<()f x (1,1)-（2）函数的定义域关于坐标原点对称，()log (1)log (1)[log (1)log (1)]()a a a a f x x x x x f x -=-+-+=-+--=- 是奇函数．()f x ∴（3）若时，由得，1a >()0f x >log (1)log (1)a a x x +>-则，求解关于实数的不等式可得， 1111x x x -<<⎧⎨+>-⎩x 01x <<故不等式的解集为．(0,1)20．已知 3tan 4α=-(1)求，的值；sin αcos α(2)求的值. πcos()2cos(π)2()sin(π)2cos()f ααααα+-+=-+-【答案】(1)，或； 3sin 5α=4cos 5α=-34sin ,cos 55αα=-=(2)115【分析】（1）根据条件结合同角三角函数的平方关系，即可得到结果； （2）先由诱导公式将化简，然后由同角三角函数的关系，代入计算即可得到结果. ()f α【详解】（1）根据题意可得，，解得或 22sin 3tan cos 4sin cos 1ααααα⎧==-⎪⎨⎪+=⎩3sin 54cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩3sin 54cos 5αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（2） π3cos()2cos(π)2sin 2cos tan 21124()3sin(π)2cos()sin 2cos tan 2524f ααααααααααα+-++-+-+=====-+-++-+21．设函数()230f x ax bx a =++¹，（1）若不等式的解集为，求的值()0f x >()1,3-,a b（2）若，，，求的最小值. ()14f =0a >0b >14a b +【答案】（1）；（2）9. 12a b =-⎧⎨=⎩【分析】（1）由不等式的解集为，得到是方程的两根，由根与系数的()0f x >()1,3-1,3-()0f x =关系可求a ，b 值；（2）由，得到，将所求变形为展开，整理为基本不等式的形式求最()14f =1a b +=()14a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭小值．【详解】（1）的解集是知是方程的两根.()0f x >()1,3-1,3-()0f x =由根与系数的关系可得，解得. 31313a b a ⎧-⨯=⎪⎪⎨⎪-+=-⎪⎩12a b =-⎧⎨=⎩（2）得，()14f =1a b +=∵，， 0a >0b >∴ ()141445b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭， 59≥+=当且仅当时取得等号，2b a =∴的最小值是. 14a b+9【点睛】关键点点睛：该主要考查基本不等式，在用基本不等式求最值时，关键要明确应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.22．已知定义域为R 的函数是奇函数. 12()22x x b f x +-+=+（1）求b 的值；（2）判断函数的单调性；()f x （3）若对任意的，不等式恒成立，求k 的取值范围.t R ∈()()22220f t t f t k -+-<【答案】（1）1；（2）减函数；（3）. 13k <-【分析】（1）由是R 上的奇函数，可得，可求出的值；()f x ()00=f b （2）由（1）可知的表达式，任取R ，且，比较与0的大小关系，()f x 12,x x ∈12x x <()()12f x f x -可得出函数的单调性；（3）由是奇函数，可将不等式转化为，再结合函数是R 上的减函数，()f x ()()2222f t t f k t -<-可知对一切，恒成立，令即可求出答案.t R ∈2320t t k -->∆<0【详解】（1）因为是奇函数，所以，()f x (0)0f =即，∴ 10122b b -=⇒=+112()22xx f x +-=+（2）由（1）知， 11211()22221x x x f x +-==-+++设则 12x x <()()()()21121212112221212121x x x x x x f x f x --=-=++++因为函数在R 上是增函数且，∴2x y =12x x <21220x x ->又，∴即 ()()1221210x x ++>()()120f x f x ->()()12f x f x >∴在上为减函数.()f x (,)∞∞-+（3）因是奇函数，从而不等式：()f x ()()22220f t t f t k -+-<等价于，因为减函数，由上式推得：.即对一()()()222222f t t f t k f k t -<--=-()f x 2222t t k t ->-切有：，t R ∈2320t t k -->从而判别式. 141203k k ∆=+<⇒<-【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的应用，考查不等式恒成立问题，考查学生的计算求解能力，属于中档题.。

深圳中学2023-2024学年度第一学期期末考试试题评分标准年级：高一 科目：数学命题人：贺险峰 审题人：邱才颙、黎建蒙单项选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 CB AB CC BA多项选择题：题号 9 10 11 12 答案 ABCACDBCAB二、填空题:13． 95 ． 14． 12 ． 15. 43 ． 16．1[4,]2−一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．【详解】依题意，“居民人数多”， “男、女使用手机扫码支付的情况差异不大”， “老、中、青三个年龄段的人员使用手机扫码支付的情况有较大差异”， 所以最合理的是按年龄段分层随机抽样. 故选：C2．【详解】因为7πrad 3154=，终边落在第四象限，且与45−角终边相同，故与7π4的终边相同的角的集合{}{}31536045360S k k αααα==+⋅==−+⋅ 即选项B 正确；选项AC 书写不规范，选项D 表示角终边在第三象限. 故选：B.3．【详解】根据三角函数定义可知3cos 5α=， 又22sin cos 1αα+=，则225cos 31sin cos ααα−===. 故选：A4．【详解】因为21cos 212sin 3αα=−=，所以3sin 3α=±，因为()0,πα∈，所以3sin 3α=. 故选：B .5．【详解】因为某人的血压满足函数式()11525sin(160π)P t t =+，又因为1sin(160π)1t −≤≤，所以11525()11525P t −≤≤+，即90()140P t ≤≤， 即此人的血压在血压计上的读数为140/90mmhg ，故①正确； 因为收缩压为140mmhg ，舒张压为90mmhg ，均超过健康范围， 即此人的血压不在健康范围内，故②错误，③正确； 对于函数()11525sin(160π)P t t =+，其最小正周期2π1160π80T ==（min ）， 则此人的心跳为180T=次/分，故④正确； 故选：C6．【详解】由题图可知：2023年母亲周末陪伴孩子日均时长超过8小时的占比为138.7%3>，A 说法正确；2023年父母周末陪伴孩子日均时长超过6小时的占比为131.5%24.2%55.7%2+=>，B 说法正确；2023年母亲周末陪伴孩子日均时长的5个时段占比的极差为38.7% 2.5%36.2%−=，C 说法错误；2023年父母周末陪伴孩子日均时长的10个时段占比的中位数为21.4%19.0%20.2%2+=，D 说法正确． 故选：C ．7．【详解】将函数()2sin f x x =图象上所有点的横坐标缩小为原来的12，得到2sin 2y x =的图象， 再向右平移π6个单位长度，得到()ππ2sin 22sin 263g x x x ⎛⎫⎛⎫=−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象．当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ2π2,333x ⎡⎤−∈−⎢⎥⎣⎦，令π23x t −=，π2π,33t ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦，则关于t 的方程2sin t a =在π2π,33−⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不等的实数根1t ，2t ，所以12πt t +=，即12ππ22π33x x −+−=，则125π6x x +=，所以()125π3tan tan 63x x +==−． 故选：B8．【详解】考虑三角函数的定义域，将选项代入验证可得最大“好整数”为1 故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．【详解】根据角度制和弧度制的定义可知，度与弧度是度量角的两种不同的度量单位，所以A 正确；由圆周角的定义知，1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12π，所以B 正确； 根据弧度的定义知，180︒一定等于π弧度，所以C 正确；无论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短无关，只与弧长与半径的比值有关，故D 不正确. 故选：ABC.10．【详解】ππc s cos sin os n 3i 3x x x x ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ1cos cos 332x x ⎛⎫=−−== ⎪⎝⎭，A 正确；tan10tan 35tan10tan 35︒+︒+︒︒()()tan 10351tan10tan 35tan10tan 35=︒+︒−︒︒+︒︒tan 451=︒=，B 不对；22tan 22.512tan 22.511tan 451tan 22.521tan 22.522︒︒==︒=−︒−︒，C 正确；()2311cos 403sin502cos 2012223sin 503sin503sin502−︒−︒−︒===−︒−︒−︒，D 正确. 故选：ACD11．【详解】因为由频率分布直方图无法得出这组数据的最大值与最小值， 所以这组数据的极差可能为70，也可能为小于70的值，所以A 错误；因为(0.00820.0120.01540.030)10700.651a a a a ++++++⨯=+=，解得0.005a =， 所以B 正确；该校竞赛成绩的平均分的估计值550.00510650.00810x =⨯⨯+⨯⨯+750.01210850.01510950.03010⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯10540.0051011520.0051090.7+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=分，所以C 正确．设这组数据的第30百分位数为m ，则(0.0050.0080.012)10(80)0.015100.3m ++⨯+−⨯⨯=，解得2413m =， 所以D 错误． 故选：BC ．12．【详解】因为ππ31sin ,cos ,3322⎛⎫⎛⎫−=− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以由三角函数的定义得1sin 2α=，3cos 2α=−，所以5π2π,6k k α∈=+Z ， 则()()cos sin 2sin cos 2sin 2f x x x x ααα=−=−5π5πsin 22πsin 2,66x k x k ∈⎛⎫⎛⎫=−−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Z ，A: 22111cos 22sin 222αα⎛⎫−==⨯= ⎪⎝⎭，故A 正确；B ：因为5π62π4ππsin sin 1332f ⎛⎫⎛⎫=−== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以2π3x =是()y f x =的图象的一条对称轴，故B 正确；C ：将函数()y f x =图象上的所有点向左平移5π6个单位长度， 所得到的函数解析式为5π5πsin 2sin 2665π6y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+−=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故C 错误；D ：令()0f x =，得5πsin 206x ⎛⎫−= ⎪⎝⎭，解得5π5ππ2π,,6122k x k k x k ∈∈−=⇒=+Z Z ， 仅0k =，1，即5π11π,1212x =符合题意， 即()y f x =在4π0,3⎛⎫⎪⎝⎭内恰有两个零点，故D 错误.故选：AB三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．【详解】设所求平均成绩为x ，由题意得5092309020x ⨯=⨯+⨯，∴95x =. 故答案为：9514．【详解】因为π02α<<且11cos c 2πos 73α=<=，则ππ32α<<， 又02βπ<<，所以π3παβ<+<，且()533sin 142αβ+=<， 所以π2π3αβ<+<，则()()211cos 1sin 14αβαβ+=−−+=−，243sin 1cos 7αα=−=， 所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+−=+++⎡⎤⎣⎦111534311471472=−⨯+⨯=. 故答案为：12 15．【详解】因为函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤≤ ⎪⎝⎭是R 上的奇函数，则()()f x f x −=−，即sin cos cos sin x x ϕωωϕ=−， 又因为0ω>，所以sin 0ϕ=，因为π02ϕ≤≤，所以0ϕ=；故()sin f x x ω=； 又因为图象关于点3π,04A ⎛⎫⎪⎝⎭对称，则3ππ4k ω=，Z k ∈，所以43k ω=，Z k ∈，因为函数在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则12ππ24ω⨯≥，得04ω<≤；所以43ω=， 故答案为：43.16．【详解】cos cos sin sin cos cos 1y αβαβαβ=−+−−(cos 1)cos (sin )sin (cos 1)βαβαβ=+−−+22(cos 1)sin sin()(cos 1)ββαϕβ=+++−+22cos sin()(cos 1)βαϕβ=++−+由sin()[1,1]αϕ+∈−，得22cos (cos 1)22cos (cos 1)y ββββ−+−+≤≤+−+， 令1cos t β=+，则[0,2]t ∈，则2222t t y t t ≤≤−−−， 所以22212()422y t t t ≥−−=−++≥−，当且仅当2t =，即cos 1β=时取等号，且222112()222y t t t ≤−=−−+≤，当且仅当22t =，即1cos 2β=−时取等号， 所以y 的取值范围为1[4,]2−.故答案为：1[4,]2−四、解答题：本题共6小题，共20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本题满分10分）已知()()()()3πsin πcos 2πcos 2.πcos sin π2f αααααα⎛⎫−−− ⎪⎝⎭=⎛⎫−−− ⎪⎝⎭(1)化简()f α；(2)若α是第三象限角，且()1sin π5α−=，求()f α的值.【详解】（1）()f α=()sin cos sin cos sin sin αααααα⋅⋅−==−⋅ --------------5分（2）由诱导公式可知()1sin πsin 5αα−=−=，即1sin 5α=−--------7分又α是第三象限角，所以22126cos 1sin 155αα⎛⎫=−−=−−=− ⎪⎝⎭------------9分 所以()26cos 5f αα=−=.-----------------------10分18（本题满分12分）据调查，某市政府为了鼓励居民节约用水，减少水资源的浪费，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水量标准x （单位：吨），月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了n 户居民某年的月均用水量（单位：吨），其中月均用水量在(]9,12内的居民人数为39人，并将数据制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求a 和n 的值；(2)若该市政府希望使80%的居民月用水量不超过标准x 吨，试估计x 的值；(3)在（2）的条件下，若实施阶梯水价，月用水量不超过x 吨时，按3元/吨计算，超出x 吨的部分，按5元/吨计算．现市政府考核指标要求所有居民的月用水费均不超过70元，则该市居民月用水量最多为多少吨？ 【详解】（1）()0.0150.0250.0500.0650.0850.0500.0200.0150.00531a +++++++++⨯=，1.300a ∴=--------------------2分 用水量在(]9,12的频率为0.06530.195⨯=，392000.195n ∴==（户）---------------4分 （2）()0.0150.0250.0500.0650.08530.720.8++++⨯=<，()0.0150.0250.0500.0650.0850.05030.870.8+++++⨯=>，0.800.7215316.60.870.72−∴+⨯=−（吨）-------------------------8分（3）设该市居民月用水量最多为m 吨，因为16.6349.870⨯=<，所以m 16.6>， 则()16.6316.6570w m =⨯+−⨯≤，解得20.64m ≤，答：该市居民月用水量最多为20.64吨．------------------------12分19（本题满分12分）已知函数()()223sin πcos 2cos f x x x x =−+．(1)若ππ,63x ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域；(2)若函数()()1g x f x =−在区间π,6m ⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，求m 的取值范围．【详解】（1）由题意得()()223sin πcos 2cos f x x x x=−+π3sin2cos 212sin 216x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，-----------------4分当ππ,63x ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦，则ππ5π2[,]666x +∈−，则1πsin 2126x ⎛⎫−≤+≤ ⎪⎝⎭，则π02sin 2136x ⎛⎫≤++≤ ⎪⎝⎭，即函数()f x 的值域为[]0,3；---------------------6分（2）由题()()π2sin 216g x x f x ⎛⎫+ ⎪⎝=−⎭=在区间π,6m ⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，--------7分当π,6x m ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦时，πππ2[,2]666u x m =+∈−+，原问题转化为sin y u =在ππ[,2]66m −+有且仅有2个零点，-----------------9分故π5π11ππ22π,61212 m m ≤+<≤<解得，即5π11π,1212m ⎡⎫⎪⎢⎣⎭的取值范围是.-------------12分20（本题满分12分）某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k ），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为224m ，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为236m ，凤眼莲的覆盖面积y （单位：2m ）与月份x （单位：月）的关系有两个函数模型()0,1xy ka k a =>>与()120,0y px k p k =+>>可供选择．(1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；(2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份． （参考数据：lg 20.3010,lg 30.4711≈≈）．【详解】（1）函数()0,1x y ka k a =>>与()120,0y px k p k =+>>在()0,∞+上都是增函数， 随着x 的增加，函数()0,1xy ka k a =>>的值增加的越来越快，而函数()120,0y px k p k =+>>的值增加的越来越慢，由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，因此选择模型()0,1xy ka k a =>>符合要求，------2分根据题意可知2x =时，24y =；3x =时，36y =，所以232436ka ka ⎧=⎨=⎩，解得32323a k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故该函数模型的解析式为*32323N 2,11,x y x x ⎛⎫=⋅ ⎪⎝≤≤∈⎭；---6分（2）当0x =时，323y =，元旦放入凤眼莲的覆盖面积是232m 3，---------8分 由3233210323x⎛⎫⋅>⨯ ⎪⎝⎭，得3102x⎛⎫> ⎪⎝⎭，-------------9分 所以32lg1011log 10 5.93lg3lg 20.47110.3010lg 2x >==≈≈−−，----------------11分 又*N x ∈，所以6x ≥，即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份．-----------12分21（本题满分12分）已知函数()()sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为π，且直线2x π=−是其图象的一条对称轴.(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作()y g x =，已知常数*R,N n λ∈∈，且函数()()()F x f x g x λ=+在()0,πn 内恰有2023个零点，求常数λ与n 的值.【详解】（1）由三角函数的周期公式可得2π2πω==，()()sin 2f x x ϕ∴=+，--------2分 令()π2πZ 2x k k ϕ+=+∈，得()ππZ 422k x k ϕ=−+∈， 由于直线2x π=−为函数()y f x =的一条对称轴，所以，()πππZ 2422k k ϕ−=−+∈， 得()3ππZ 2k k ϕ=+∈，由于0πϕ<<，1k ∴=−，则2ϕπ=， 因此，()πsin 2cos 22f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭；-------------------4分（2）将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位，得到函数ππcos 2cos 2sin 242y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=−=−= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数为()sin g x x =，-----------------6分()()()2cos 2sin 2sin sin 1F x f x g x x x x x λλλ=+=+=−++，令()0F x =，可得22sin sin 10x x λ−−=，令[]sin 1,1t x =∈−，得2210t t λ−−=，280λ∆=+>，则关于t 的二次方程2210t t λ−−=必有两不等实根1t 、2t ，则1212t t =−，则1t 、2t 异号，（i ）当101t <<且201t <<时，则方程1sin x t =和2sin x t =在区间()()0,πN n n *∈均有偶数个根，从而方程22sin sin 10x x λ−−=在()()0,πN n n *∈也有偶数个根，不合乎题意；-----------8分（ii ）当11t =−时，则2102t <<，当()0,2πx ∈时，1sin x t =只有一根，2sin x t =有两根， 所以，关于x 的方程22sin sin 10x x λ−−=在()0,2π上有三个根，由于202336741=⨯+，则方程22sin sin 10x x λ−−=在()0,1348π上有36742022⨯=个根， 由于方程1sin x t =在区间()1348π,1349π上无实数根，方程2sin x t =在区间()1348π,1349π上有两个实数解， 因此，关于x 的方程22sin sin 10x x λ−−=在区间()0,1349π上有2024个根，不合乎题意，-------------------10分 （iii ）当11t =，则2102t −<<，当()0,2πx ∈时，1sin x t =只有一根，2sin x t =有两根，所以，关于x 的方程22sin sin 10x x λ−−=在()0,2π上有三个根，由于202336741=⨯+，则方程22sin sin 10x x λ−−=在()0,1348π上有36742022⨯=个根， 由于方程1sin x t =在区间()1348π,1349π上只有一个根，方程2sin x t =在区间()1348π,1349π上无实数解，因此，关于x 的方程22sin sin 10x x λ−−=在区间()0,1349π上有2023个根，合乎题意； 此时，2211110λλ⨯−⨯−=−=，得1λ=，综上所述：1λ=，1349n =.---------------------------12分22（本题满分12分）已知二次函数()f x 满足：()2132f x x x +=++．()24log 231xg x ⎛⎫=+ ⎪−⎝⎭(1)求()f x 的解析式；(2)求()g x 的单调性与值域（不必证明）； (3)设()2cos cos 2h x x m x =+（,2ππ2x ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦），若()()f h x g h x ≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，求实数m 的值． 【详解】（1）由题意()2132f x x x +=++，令1t x =+，则1x t =−，有()22(1)3(1)2f t t t t t =−+−+=+，故()2f x x x =+ ------------2分（2）函数()24log 231x g x ⎛⎫=+ ⎪−⎝⎭，由420031x x +>⇒>−，即定义域为()0,+∞， 且4231xu =+−在()0,+∞上单调递减及2log y u =单调递增 所以()24log 231xg x ⎛⎫=+⎪−⎝⎭在()0,+∞上单调递减.---------------4分 且()g x 的值域是()1,+∞------------------6分（3）结合（2）结论知()24log 231xg x ⎛⎫=+⎪−⎝⎭在()0,+∞上单调递减且()12g =， 又()2f x x x =+在()0,+∞上单调递增且()12f =故当1x ≥时，()()2,01f x g x x ≥≥<<时，()()2f x g x <<， 由()()()1f h x g h x h x ≥⇒≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦恒成立，-----------------8分 即()22cos 2cos 11x m x +−≥在,22x ππ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦上恒成立，设[]cos 0,1x t =∈， 则不等式()22210mt t m +−+≥在[]0,1t ∈上恒成立，-----------9分 ①当0m =时，不等式化为210t −≥，显然不满足恒成立； ②当0m >时，将0t =代入得()10m −+≥，与0m >矛盾； ③当0m <时，只需()()10,1,12210,1,m m m m m m −+≥⎧≤−⎧⎪⇒⇒=−⎨⎨+−+≥≥−⎪⎩⎩，综上，实数m 的值为1−．---------------------12分。

通州区2023—2024学年第一学期高一年级期末质量检测数学试卷（答案在最后）2024年1月本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知全集U =R ，{}21A x x =-<≤，则U A =ð（）A.{}1x x ≤ B.{}1x x ≥C.{2x x ≤-或}1x > D.{2x x <-或}1x ≥2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（）A.y =B.2(1)y x =- C.2xy -= D.()ln f x x=-3.若,,a b c ∈R 且a b >，则（）A.22ac bc> B.1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.33a b > D.||||a b >4.下列函数中，其定义域和值域分别与函数()ln e xf x =的定义域和值域相同的是（）A.y x= B.ln e xy = C.y = D.y=5.已知0.32=a ，0.3log 2b =，0.30.5c =，则（）A.c a b>> B.c b a>> C.a b c >> D.a c b>>6.已知函数2()log 23f x x x =+-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（）A.(1,0)- B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)7.若函数()cos(2)f x x ϕ=+是奇函数，则ϕ可取一个值为（）A.π- B.2π-C.4π D.2π8.设x ∈R ，则“cos 0x =”是“sin 1x =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件9.国家标准对数视力表是由我国第一个眼科光学研究室的创办者缪天荣发明设计的，如图是5米测距下的标准对数视力表的一部分.图中左边一列数据为标准对数记录法记录的近似值L ：4.0，4.1，4.2…对应右边一列数据为小数记录法记录的近似值V ：0.1，0.12，0.15….已知标准对数记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足lg L K V =+（K 为常数）.某同学测得视力的小数记录法数据为0.6，则其标准对数记录法的数据约为（参考数据：lg 20.30≈，lg 30.48≈）（）标准对数视力表A.4.8B.4.9C.5.0D.5.110.设函数()2x f x =，2()g x x =，()log (1)a m x x a =>，()(0)n x kx k =>，则下列结论正确的是（）A.函数()f x 和()g x 的图象有且只有两个公共点B.0x ∃∈R ，当0x x >时，使得()()f x g x <恒成立C.0(0,)x ∃∈+∞，使得()()00f x m x <成立D.当1ak ≤时，方程()()m x n x =有解第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数()ln(2)f x x =-的定义域是__________.12.计算：124(lg 2lg5)-+=__________．13.函数()2()1ln f x x x =-的零点个数为__________.14.在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点ππcos 2,sin 266P t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当0=t 时，则tan α=__________；当t 由0变化到π6时，线段OP 扫过的面积是__________.15.设函数(),22,2x a x f x a x ≥=-<⎪⎩（0a >且1a ≠）.给出下列四个结论：①当2a =时，方程()f x a =有唯一解；②当(0,1)a ∈时，方程()f x a =有三个解；③对任意实数a （0a >且1a ≠），()f x 的值域为[0,)+∞；④存在实数a ，使得()f x 在区间()0,∞+上单调递增；其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角α和钝角β的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点14,5P y ⎛⎫⎪⎝⎭，2,5M y ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求sin α，sin β的值；（2）求cos POM ∠的值.17.某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2ϕπ<）在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π22πxπ35π64π3sin()A x ωϕ+022-0（1）求函数()y f x =的解析式；（2）将函数()y f x =图象上所有点向右平行移动π3个单位长度，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的单调递增区间.18.若函数()2cos (sin cos )1(04)f x x x x ωωωω=+-<<.从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在.（1）求()f x 的解析式与最小正周期；（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值.条件①：π8f ⎛⎫=⎪⎝⎭条件②：R x ∀∈，()8πf x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭恒成立；条件③：函数()f x 的图象关于点π,08⎛⎫-⎪⎝⎭对称.注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.19.函数()e e 4x x f x m -=+-，m ∈R .（1）若()f x 为偶函数，求m 的值及函数()f x 的最小值；（2）当[1,1]x ∈-时，函数()f x 的图象恒在x 轴上方，求实数m 的取值范围.20.某城市2024年1月1日的空气质量指数（简称AQI ）与时间x （单位：小时）的关系()y f x =满足如图连续曲线，并测得当天AQI 的取大值为106.当[0,12]x ∈时，曲线是二次函数图象的一部分；当(12,24]x ∈时，曲线是函数log (10)103a y x =--+图象的一部分.根据规定，空气质量指数AQI 的值大于或等于101时，空气就属于污染状态.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）该城市2024年1月1日这一天哪个时间段的空气属于污染状态？并说明理由.21.已知有m 个连续正整数元素的有限集合{}1,2,3,,1,m S m m =- （N m +∈，2m ≥），记有序数对()12,,,m A a a a = ，若对任意i ，{}()1,2,,j m i j ∈≠ ，i a ，j m a S ∈且i j a a ≠，A 同时满足下列条件，则称A 为m 元完备数对.条件①：12231m m a a a a a a --≤-≤≤- ；条件②：122312m m a a a a a a m --+-++-=+ .（1）试判断是否存在3元完备数对和4元完备数对，并说明理由；（2）试证明不存在8元完备数对.通州区2023—2024学年第一学期高一年级期末质量检测数学试卷2024年1月本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知全集U =R ，{}21A x x =-<≤，则U A =ð（）A.{}1x x ≤B.{}1x x ≥C.{2x x ≤-或}1x > D.{2x x <-或}1x ≥【答案】C 【解析】【分析】根据补集的定义即可求解.【详解】因为全集U =R ，{}21A x x =-<≤，所以{}U |21A x x x =≤->或ð.故选：C2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（）A.y =B.2(1)y x =- C.2xy -= D.()ln f x x=-【答案】A 【解析】【分析】根据初等基本函数的单调性，判断各个选项中函数的单调性，从而得出结论.【详解】对于A ：因为函数y =(1,)-+∞上是增函数，所以满足条件，故A 正确；对于B ：因为函数2(1)y x =-在(0,1)上是减函数，所以不满足条件，故B 错误；对于C ：因为函数2xy -=在R 上为减函数，所以不满足条件，故C 错误；对于D ：因为函数()ln f x x =-在(0,)+∞上为减函数，所以不满足条件，故D 错误.3.若,,a b c ∈R 且a b >，则（）A.22ac bc >B.1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.33a b > D.||||a b >【答案】C 【解析】【分析】依据不等式的性质及函数的单调性对选项逐一判断即可．【详解】因为,,a b c ∈R 且a b >，对于A 选项：当0c =时不成立；对于B 选项：1()2xy =单调递减，所以不成立；对于C 选项：3y x =在(,)-∞+∞单调递增，成立；对于D 选项：举反例1,2a b =-=-，不成立．故选：C ．4.下列函数中，其定义域和值域分别与函数()ln e xf x =的定义域和值域相同的是（）A.y x =B.ln e xy = C.y = D.y=【答案】D 【解析】【分析】利用幂函数、指数函数、对数函数的定义域、值域一一判定选项即可.【详解】易知()ln exf x x ==，且0x >，ln e 0x >，故其定义域与值域均为()0,∞+.显然A 选项定义域与值域均为R ，故A 错误；因为ln e x y x ==，且e 0x >恒成立，即其定义域与值域均为R ，故B 错误；0y x ==≥，即其定义域为R ，值域为[)0,∞+，故C 错误；0y=>，且0x >，故其定义域与值域均为()0,∞+，即D 正确.故选：D5.已知0.32=a ，0.3log 2b =，0.30.5c =，则（）A.c a b>> B.c b a>> C.a b c>> D.a c b>>【分析】先判断出a b c 、、的范围，再比较大小即可.【详解】因为0.30221a =>=，所以1a >；0.30.3log 2log 10b =<=，0b <；0.3000.50.51c <=<=，01c <<；所以a c b >>.故选：D6.已知函数2()log 23f x x x =+-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（）A.(1,0)- B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)【答案】C 【解析】【分析】利用零点存在定理可判断零点所在的区间.【详解】因为2log y x =在()0,∞+上单调递增，23y x =-在R 上单调递增，所以2()log 23f x x x =+-在()0,∞+上单调递增，因为()110f =-<，()22log 222320f =+⨯-=>，故函数()f x 零点的区间是(1,2).故选：C7.若函数()cos(2)f x x ϕ=+是奇函数，则ϕ可取一个值为（）A.π-B.2π-C.4π D.2π【答案】B 【解析】【分析】根据诱导公式及正弦函数的性质求出ϕ的取值，从而解得.【详解】解：根据诱导公式及正弦函数的性质可知()π212k ϕ=-⋅，Z k ∈，令0k =，可得ϕ的一个值为π2-.故选：B8.设x ∈R ，则“cos 0x =”是“sin 1x =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【分析】分别解出cos 0x =、sin 1x =，结合充分、必要条件的定义即可求解.【详解】由cos 0x =，得ππ,Z 2x k k =+∈，由sin 1x =，得π2π,Z 2x k k =+∈，又ππ2π,Z π,Z 22x x k k x x k k ⎧⎫⎧⎫=+∈⊆=+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，所以“cos 0x =”是“sin 1x =”的必要不充分条件.故选：B.9.国家标准对数视力表是由我国第一个眼科光学研究室的创办者缪天荣发明设计的，如图是5米测距下的标准对数视力表的一部分.图中左边一列数据为标准对数记录法记录的近似值L ：4.0，4.1，4.2…对应右边一列数据为小数记录法记录的近似值V ：0.1，0.12，0.15….已知标准对数记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足lg L K V =+（K 为常数）.某同学测得视力的小数记录法数据为0.6，则其标准对数记录法的数据约为（参考数据：lg 20.30≈，lg 30.48≈）（）标准对数视力表A.4.8B.4.9C.5.0D.5.1【答案】A 【解析】【分析】利用公式结合对数运算法则计算函数关系式即可.【详解】由题意可知4.0lg 0.14lg 0.15K K =+⇒=-=，所以5lg L V =+，故()5lg 0.65lg3lg55lg31lg 2 4.78 4.8+=+-=+--≈≈，故A 正确.故选：A10.设函数()2x f x =，2()g x x =，()log (1)a m x x a =>，()(0)n x kx k =>，则下列结论正确的是（）A.函数()f x 和()g x 的图象有且只有两个公共点B.0x ∃∈R ，当0x x >时，使得()()f x g x <恒成立C.0(0,)x ∃∈+∞，使得()()00f x m x <成立D.当1ak ≤时，方程()()m x n x =有解【答案】D 【解析】【分析】作出函数()f x 和()g x 的图象，结合函数图象即可判断A B ；根据指数函数和对数函数的图象即可判断C ；根据当1k a =时，函数()log (1)a m x x a =>和1()n x kx x a==的图象都过过点(),1a ，即可判断D.【详解】对于A ，如图所示，作出函数()f x 和()g x 的图象，由图可知，函数()f x 和()g x 的图象有三个公共点，故A 错误；对于B ，由A 选项可知，当>4x 时，()()f x g x >，所以不存在0x ∈R ，当0x x >时，使得()()f x g x <恒成立，故B 错误；对于C ，如图，作出函数()2x f x =，()log (1)a m x x a =>的图象，由图可知，函数()2x f x =的图象在y x =的图象的上方，函数()log (1)a m x x a =>的图象在y x =的图象的下方，所以()0,x ∞∀∈+，()()f x m x >，所以不存在0(0,)x ∈+∞，使得()()00f x m x <成立，故C 错误；对于D ，因为1,0a k >>，1ak ≤，当1k a=时，函数()log (1)a m x x a =>的图象过点(),1a ，函数1()n x kx x a==的图象过点(),1a ，即直线与函数图象有交点，当1k a<时，直线斜率更小，直线与函数图象有交点，所以当1ak ≤时，方程()()m x n x =有解，故D 正确.故选：D .【点睛】方法点睛：判定函数()f x 的零点个数的常用方法：（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；（2）数形结合法：先令()0f x =，将函数()f x 的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数()ln(2)f x x =-的定义域是__________.【答案】(,2)-∞【解析】【分析】利用对数的限制条件可得答案.【详解】由题意得，20x ->得2x <，所以定义域是(,2)-∞.故答案为：(,2)-∞12.计算：124(lg 2lg5)-+=__________．【答案】1【解析】【分析】利用分数指数幂运算和对数运算性质求解即可【详解】124(lg2lg5)2lg10211-+=-=-=.故答案为：113.函数()2()1ln f x x x =-的零点个数为__________.【答案】1【解析】【分析】令()0f x =，直接求解，结合函数定义域，即可得出函数零点，确定结果.【详解】()2()1ln f x x x =-的定义域为()0,∞+，令()2()1ln 0f x x x =-=，则210x -=或ln 0x =，解得1x =或=1x -（舍）.故答案为：114.在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点ππcos 2,sin 266P t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当0=t 时，则tan α=__________；当t 由0变化到π6时，线段OP 扫过的面积是__________.【答案】①.3-②.π6【解析】【分析】当0=t 时，求出点P 对应的1P 坐标，即可求得tan α的值，当π6t =时，求出点P 对应的2P 坐标，即可确定扇形12O P P 的圆心角，从而可以求得线段OP 扫过的面积.【详解】当0=t 时，ππ3cos cos 662⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππ1sin sin 662⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时点P位于点11,22P ⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭，所以132tan 332α-==-，此时，1π6xOP ∠=-，当π6t =时，πππcos 2cos 6662⎛⎫⎛⎫⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，πππ1sin 2sin 6662⎛⎫⎛⎫⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时点P位于点21,22P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，此时，2π6xOP ∠=，所以12πππ663POP ⎛⎫∠=--= ⎪⎝⎭，且1OP =，所以 12ππ133PP =⨯=，所以当t 由0变化到π6时，线段OP 扫过的面积就是扇形12O P P 的面积，即121ππ1236OP P S =⨯⨯=扇形，故答案为：33-，π6.15.设函数(),22,2x a x f x a x ≥=-<⎪⎩（0a >且1a ≠）.给出下列四个结论：①当2a =时，方程()f x a =有唯一解；②当(0,1)a ∈时，方程()f x a =有三个解；③对任意实数a （0a >且1a ≠），()f x 的值域为[0,)+∞；④存在实数a ，使得()f x 在区间()0,∞+上单调递增；其中所有正确结论的序号是__________.【答案】①②【解析】【分析】直接解方程可判定①，分类讨论解方程可判定②，利用幂函数与指数函数的单调性可判定③，利用分段函数的性质可判定④.【详解】当2a =时，()2,222,2x x f x x ≥=-<⎪⎩，则方程()2f x =，若2,222x x ≥∴=⇒=，若2,222242xxx x <∴=-⇒=⇒=，与前提矛盾，舍去，所以当2a =时，方程()f x a =有唯一解2x =，故①正确；当(0,1)a ∈时，若2,2x a a x ≥∴=⇒=，若2,2xx a a <∴=-，易知2x y a =-在(),2∞-上单调递减，则当log 2a x ≤时,20x y a =-≥，且2x y a =-在(),2∞-上单调递减，当log 22a x <<时，20x y a =-<，则2(2)2x f x a a =-<-，此时()()()222222102a aaa a a a a --=+-=-+<⇒<-，作出函数()f x 与y a =的草图如下，可知当(0,1)a ∈时，方程()f x a =有三个解，故②正确；因为0a >且1a ≠，可知0y a =+>恒成立，若()0,1a ∈，由上可知2x y a =-在(),2∞-上单调递减，且()log 2log 20a a x =<时，20x y a =-=，此时20xy a =-≥；若1a >，易知2x y a =-在(),2∞-上单调递增，即222x y a a =-<-，（i 1a ≥>时，20x y a =-<，则20xa ->，（ii ）当a >()log 2log 22a a x =<时，20xy a =-=，此时20x y a =-≥；1a ≥>时，()f x 取不到最小值0，故③错误；由上可知()0,1a ∈和)∞+时，()f x 在(),log 2a ∞-上单调递减，1a ≥>时，()f x 在(),2∞-上单调递减，故④错误.故答案为：①②【点睛】难点点睛：难点在第二个结论和第三个结论，需要利用指数函数的单调性与零点分类讨论参数的范围，讨论容易遗漏.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角α和钝角β的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点14,5P y ⎛⎫⎪⎝⎭，2,5M y ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求sin α，sin β的值；（2）求cos POM ∠的值.【答案】（1）3sin 5α=，5sin 5β=.（2）5-【解析】【分析】（1）利用三角函数的定义计算即可；（2）利用余弦的差角公式计算即可.【小问1详解】根据题意可知：1sin 0y α=>，4cos 5α=，则3sin 5α==，同理2sin 0y β=>，cos 5β=-，则sin 5β==；【小问2详解】易知POM βα∠=-，所以()cos cos cos cos sin sin POM βαβαβα∠=-=+4355555=-⨯+⨯=-.17.某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2ϕπ<）在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π22πxπ35π64π3sin()A x ωϕ+022-0（1）求函数()y f x =的解析式；（2）将函数()y f x =图象上所有点向右平行移动π3个单位长度，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的单调递增区间.【答案】（1）π()2sin 6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）π2π2π,2π33k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.【解析】【分析】（1）由五点法，可求周期，从而求出ω，代点求出ϕ，从而求出()y f x =的解析式.（2）根据函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的单调性，即可得出.【小问1详解】由表格知，2A =且4πππ233T =-=，即2πT =，故2π1T ω==，由ππ32+=ωϕ，则ππ32ϕ+=，故π6ϕ=，则π()2sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【小问2详解】由题意知ππ()2sin 36⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g x f x x ，由πππ2π2π262k x k -+≤-≤+，Z k ∈，所以π2π2π2π33k x k -+≤≤+，Z k ∈，即函数()y g x =的单调增区间为π2π2π,2π33k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.18.若函数()2cos (sin cos )1(04)f x x x x ωωωω=+-<<.从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在.（1）求()f x 的解析式与最小正周期；（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值.条件①：π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭条件②：R x ∀∈，()8πf x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭恒成立；条件③：函数()f x 的图象关于点π,08⎛⎫-⎪⎝⎭对称.注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）π()24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，πT =（2；最小值1-【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简()f x ，若选条件①可推得函数()f x 不存在，选择条件②③，可求得函数的解析式，进而得到最小正周期；（2）由π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得ππ5π2,444x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，借助正弦函数性质可求出最值.【小问1详解】因为2()2sin cos 2cos 1f x x x x ωωω=+-，04ω<<，所以π()sin 2cos 224f x x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，若选条件①：因为π()24f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最小值为.所以π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x 存在.若选条件②：因为x ∀∈R ，()8πf x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭.故()f x 在π8x =处取最大值，即πππ2π442k ω+=+，k ∈Z ，所以18k ω=+，因为04ω<<，故1ω=，所以π()24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最小正周期为：πT =.若选条件③：因为函数()f x 的图象关于点π,08⎛⎫-⎪⎝⎭对称.ππ044ω⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以πππ44k ω-+=，k ∈Z ，即14k ω=-，k ∈Z ，因为04ω<<，故1ω=.所以π()24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最小正周期为：πT =.【小问2详解】因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ5π2,444x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，故当ππ242x +=，即π8x =时，()f x ；故当π5π244x +=，即π2x =时，()f x 取最小值1-.19.函数()e e 4x x f x m -=+-，m ∈R .（1）若()f x 为偶函数，求m 的值及函数()f x 的最小值；（2）当[1,1]x ∈-时，函数()f x 的图象恒在x 轴上方，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1m =，2-（2）(4,)m ∈+∞【解析】【分析】（1）利用偶函数定义，带入函数()e e 4x x f x m -=+-计算m ，利用换元法e 0x u =>，结合基本不等式进行最小值的求解即可.（2）由于函数()f x 图像恒在x 轴上方，所以函数()0f x >，进行参数分离，得到24e e ,[1,1]x x m x >-∈-恒成立，结合换元法进行讨论即可.【小问1详解】因为函数()e e 4x x f x m -=+-为偶函数.所以()()f x f x -=恒成立，即e e 4e e 4x x x x m m --+-=+-恒成立.即()(1)ee 0xx m ---=恒成立，解得1m =，所以1()e e 4e 4exxx x f x -=+-=+-，令e 0x u =>，1442y u u =+-≥-=-，当且仅当1u =，即0x =时，等号成立.所以函数()f x 的最小值为2-.【小问2详解】当[1,1]x ∈-时，函数()f x 的图象恒在x 轴上方，故当[1,1]x ∈-时()e e 40x x f x m -=+->恒成立.即24e e ,[1,1]x x m x >-∈-恒成立.令2()4e e x x h x =-，令e x t =，1,e e t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.因为24y t t =-，对称轴为2t =，故当2t =即ln 2x =时，()h x 取最大值4，故(4,)m ∈+∞.20.某城市2024年1月1日的空气质量指数（简称AQI ）与时间x （单位：小时）的关系()y f x =满足如图连续曲线，并测得当天AQI 的取大值为106.当[0,12]x ∈时，曲线是二次函数图象的一部分；当(12,24]x ∈时，曲线是函数log (10)103a y x =--+图象的一部分.根据规定，空气质量指数AQI 的值大于或等于101时，空气就属于污染状态.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）该城市2024年1月1日这一天哪个时间段的空气属于污染状态？并说明理由.【答案】20.()()[]()(]2210106,0,12log 10103,12,24x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨--+∈⎪⎩ 21.这一天在1014x -≤≤这个时间段的空气，空气属于污染状态，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据图象结合二次函数运算求解；（2）由（1）可得()f x 的解析式，分类讨论解不等式()101f x ≥即可得结果.【小问1详解】当[0,12]x ∈时，由图像可得：二次函数开口向下，顶点坐标为(10,106)，且过()8,102，()12,102，可设2()(10)106f x b x =-+，0b <，代入点(8,102)可得2(810)106102b -+=，解得1b =-，故当[0,12]x ∈时，2()(10)106f x x =--+；点(12,102)代入log (10)103a y x =--+，解得2a =，故当(12,24]x ∈时，2()log (10)103f x x =--+；()()[]()(]2210106,0,12log 10103,12,24x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨--+∈⎪⎩ .【小问2详解】当[0,12]x ∈时，令2()(10)106101f x x =--+≥，解得1012x ≤≤，当(12,24]x ∈时，令2()log (10)103101f x x =--+≥，解得1214x <≤，所以1014x -≤≤，综上所述：这一天在1014x ≤≤这个时间段的空气，空气属于污染状态.21.已知有m 个连续正整数元素的有限集合{}1,2,3,,1,m S m m =- （N m +∈，2m ≥），记有序数对()12,,,m A a a a = ，若对任意i ，{}()1,2,,j m i j ∈≠ ，i a ，j m a S ∈且i j a a ≠，A 同时满足下列条件，则称A 为m 元完备数对.条件①：12231m m a a a a a a --≤-≤≤- ；条件②：122312m m a a a a a a m --+-++-=+ .（1）试判断是否存在3元完备数对和4元完备数对，并说明理由；（2）试证明不存在8元完备数对.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用m 元完备数对的定义推理判断即得.（2）令1(1,2,,7)k k k b a a k +=-= ，根据m 元完备数对的定义确定k b 的所有可能情况，再导出矛盾即可.【小问1详解】当3m =时，由12(1,2)+-≤=i i a a i ，得12235-+-<a a a a ，不符合题意，所以不存在3元完备数对；当4m =时，当13a =，22a =，34a =，41a =时，满足122331a a a a a a -≤-≤-且1223346-+-+-=a a a a a a ，符合题意，所以(3,2,4,1)A =为4元完备数对.【小问2详解】假设存在8元完备数对，当8m =时，令1(1,2,,7)k k k b a a k +=-= ，则1211b b b ≤≤≤≤ ，且12710b b b +++= ，则k b 有以下三种可能：①()()1,1,2,,64,7k k b k ⎧=⎪=⎨=⎪⎩ ；②()()()1,1,2,,52,63,7k k b k k ⎧=⎪==⎨⎪=⎩；③()()1,1,2,,42,5,6,7k k b k ⎧=⎪=⎨=⎪⎩当()()1,1,2,,64,7k k b k ⎧=⎪=⎨=⎪⎩ 时，于是126b b b === ，即1223671a a a a a a -=-==-= ，由112|(1,2,,7)|||k k k k a a a a k +++--== ，得112k k k k a a a a +++-=-或121k k k k a a a a +++--=，而,{1,2,3,4,5,6,7,8},,i j i j i j a a ∈≠≠，则有112k k k k a a a a +++-=-，因此1a ，2a ，…，7a ，8a 分别为1，2，…，7，8或2，3，…，8，1或7，6，…，1，8或8，7，…，2，1，由74b =得874a a =+或874a a =-，与已知矛盾，则当()()1,1,2,,64,7k k b k ⎧=⎪=⎨=⎪⎩ 时，不存在8元完备数对；当()()()1,1,2,,52,63,7k k b k k ⎧=⎪==⎨⎪=⎩或()()1,1,2,,42,5,6,7k k b k ⎧=⎪=⎨=⎪⎩ 时，同理不存在8元完备数对，所以不存在8元完备数对.【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决.。