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§3 变限积分函数的性质及其应用
由于定积分概念是利用极限工具给出的，所以利用定积分的定义计算定积分是十分困难的，有时甚至是不可能的。为了让定积分概念能得到实际应用，必须寻找简便有效的计算定积分的方法，那么我们必须探求定积分更加深刻的性质。本节将介绍两个重要的定理，通过沟通定积分与不定积分的关系，给出了一个解决定积分计算问题的有效途径。 3.1 变限积分
定积分有一个十分特殊而重要的性质，它对进一步考察微分和积分的关系起十分关键的作用。但需要先介绍一个概念：
注 由于
⎰⎰
-=x
b
b
x
dt t f dt t f )()(，因此，只要讨论变上限函数即可。
证 利用连续函数的定义及定积分的性质即可证得。 对[a ，b ]上的任一点x ，只要[],x x a b +∆∈，按照Φ的定义有 ()()x x x
a
a
x x x fdt f dt +∆∆Φ=Φ+∆-Φ=-⎰
⎰。
又函数)(x f 在[a ， b ]上可积，则)(x f 在[a ， b ]上有界，即存在正数M ，对一切[],x a b ∈有()f x M ≤。又当0x ∆≥时有
x x
x x
x x
x
x
x
f dt f dt Mdt M x +∆+∆+∆∆Φ=
≤≤=∆⎰
⎰
⎰
。
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又不难验证，当0x ∆<时，上述不等式M x ∆Φ≤∆仍然成立。从而有
lim 0x ∆→∆Φ=。这就证得Φ在[],a b 上的连续性。
3.2 微积分学基本定理
1 变限积分的可微性 ——微积分学基本定理
当函数得可积性问题获得解决后，接着是要找到一种计算定积分得有效方法。下面将通过揭示定积分与不定积分之间的内在联系来完成这一任务。下面的两个定理，由于所起的重要作用而被称为微积分学基本原理。
证 ],[b a x ∈∀，任取0≠∆x ，且],[b a x x ∈∆+，则
⎰⎰
-=Φ-∆+Φ=∆Φ∆+x
a
x
x a
t d t f t d t f x x x )()()()(
⎰
⎰⎰
⎰
∆+∆+=-+=
x
x x
x
a
x
x x
x
a
t d t f t d t f t d t f t d t f )()()()(，
由积分中值定理知，存在ξ 介于x 与x +∆x 之间，使得
x f ∆=∆Φ)(ξ，
由于x x →⇒→∆ξ0，再由导数定义及)(x f 的连续性知
)()(lim )(lim lim )(00x f f f x x x
x x ===∆∆Φ=Φ'→→∆→∆
ξξξ。 注 (1) 当],[b a C f ∈时， ⎰=Φx
a
dt t f x )()(可导且在点∈x ] , [b a 的导数
恰为被积函数在上限的值。 亦即 )(x Φ是)(x f 的一个原函数。即连续函数必有原函数，因此定理1又称原函数存在定理。
(2) 变上限函数与分段函数有点类似，是一个难点，从而也是一个考试的热点，它常与极限、求导、最值等知识结合出现形成综合性的题目，应与重视。我们将这里拓宽一下。
若)(x ϕ可导，则)(x ϕ与变上限函数)(x Φ构成了复合函数⎰)
()(x a t d t f ϕ，由复
合函数求导法则知
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)()]([)()(x x f t d t f dx d x a
ϕϕϕ'=⎰。 (3.2) 例3.1 设⎰+=2sin 21)(x t dt x f ，求)6
(πf '。 解 ⎰+-=x
t
dt x f sin 221)(，221cos )(sin 11)(t x x t x f +-='+-='，35
2)6(-='πf 。
注 一般地有公式：
)()(])([)(x x f dt t f a
x ϕϕ'-='⎰； (3.3)
)]()([)(])([)
()(x x x f dt t f x x φϕϕφ'-'='⎰。 (3.4)
例3.2 设)(x f 在[0，+∞]内连续，且)(x f > 0，求证函数⎰⎰=x x
dt t f dt
t f t x F 0
0)()()(在
[0，+∞]内为单调增加函数。
证 ∀x >0，由)(x f >0，得0)(0>⎰x
dt t f ，所以)(x F 在(0，+∞)内有定义，且 2
002
00])([)()()(]
)([)()()()()(⎰⎰-=
⎰⎰-⎰=
'x
x
x
x
x
dt t f dt t f t x x f dt t f dt
t f t x f dt t f x xf x F 。
因)(x f >0， ⇒ 在),0(x 内 0))((>-t x t f ，又))((t x t f -连续， ⇒
⎰
>-x
dt t x t f 0
0))((，⇒在区间) , 0 (∞+内0)(>'x F ⇒ )(x F 在区间) , 0 (∞+内
严格递增。
2 Newton — Leibniz 公式
证 已知函数)(x F 是连续函数)(x f 的一个原函数，又根据定理3.2知道，变上限函数⎰=Φx a t d t f x )()(也是)(x f 的一个原函数。于是这两个原函数之差为某个常数，即
