变限积分函数及牛莱公式

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微积分牛顿莱布尼茨公式

微积分牛顿莱布尼茨公式牛顿－莱布尼茨公式是微积分中的基本定理之一，也称为微积分基本定理或者牛莱公式。

该公式是微积分的重要工具，用于求解定积分和微分方程等问题。

下面我将为您详细介绍和解释这一公式。

牛顿－莱布尼茨公式可以用以下方式表述：设函数f(x)在区间[a,b]上连续且可导（即f'(x)存在），则该函数在[a,b]上的定积分可以被表示为：∫[a to b] f'(x) dx = f(b) - f(a)其中，∫ 符号表示积分，[a to b] 表示积分的区间，f'(x) 表示函数 f(x) 的导数。

该公式的物理含义是：函数曲线下方的面积等于函数在区间[a,b]上的两个端点所对应的函数值之差。

让我们来看一个具体的例子来理解牛顿－莱布尼茨公式的应用。

假设有一个函数 f(x) = 2x，在区间 [1, 3] 上。

我们可以求这个函数在该区间上的定积分，即∫[1 to 3] f'(x) dx。

首先，我们需要求出函数f'(x)，即函数f(x)的导数。

对于f(x)=2x，它的导数f'(x)=2接下来，我们将导数 f'(x) 代入定积分公式，得到∫[1 to 3] 2 dx。

将上限 3 和下限 1 代入函数 f(x) = 2x，得到 f(3) = 2 * 3 = 6和 f(1) = 2 * 1 = 2然后，我们将 f(3) - f(1) 代入定积分公式，得到∫[1 to 3] 2dx = 6 - 2 = 4所以，函数f(x)=2x在区间[1,3]上的定积分是4这个例子展示了牛顿－莱布尼茨公式的应用。

通过求解函数的导数，并将导数代入定积分公式，可以得到函数在给定区间上的定积分值。

当对复杂函数进行定积分时，牛顿－莱布尼茨公式可以极大地简化计算。

我们可以通过求函数的导数来得到原函数，然后将原函数代入定积分公式来求解定积分。

这种方法比直接计算定积分更加方便且高效。

需要注意的是，牛顿－莱布尼茨公式只适用于连续可导的函数。

高等数学牛顿—莱布尼茨公式

3
22
例4. 计算例5. 计算
例6. 计算正弦曲线的面积 .
y y sin x
o
x
例见书
内容小结
1. 微积分基本公式
设 f (x) C[a,b], 且 F(x) f (x), 则有
b
a f (x) d x f ( )(b a) F( )(b a) F(b) F(a)
积分中值定理
6.3 牛顿——莱布尼茨公式
1 . 变上限的定积分 2. 牛顿——莱布尼茨公式公式
1. 变上限的定积分
x
f (t )dt
如果 x 是区间 [a, b]上任意一点，定积分 a
x
a f (t )dt
表示曲线 y = f (x) 在部分区间 [a, x] 上曲边梯形AaxC 的面积，
如图中阴影部当分x 在所区示间 [a的, b]面上变积化时. ,
a
a
“Newton—Leibniz公式”
例 3 计算下列定积分.
(1)
1 0
1
1 x
2
dx;
(2) 3 sin x dx. 0
解
(1)
1 0
1
1
1 0
arctan1 arctan0 ; 4
(2) 3 sin x dx cos x 3
0
0
cos ( cos 0) 1 1 1
F(x) 是 f (x) 在区间 [a, b] 上任一原函数，
那么
b
a f ( x)dx F (b) F (a).
为了今后使用该公式方便起见，把上式右端的
F (b) F (a) 记作 F ( x) b , 这样上面公式就写成如下形式： a

牛顿布莱尼茨公式是什么推导过程有哪些

⽜顿布莱尼茨公式是什么推导过程有哪些⽜顿布莱尼茨公式通常也被称为微积分基本定理，揭⽰了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。

那么，⽜顿布莱尼茨公式是什么呢？下⾯⼩编整理了⼀些相关信息，供⼤家参考！⽜顿布莱尼茨公式⽜顿-莱布尼兹公式,⼜称为微积分基本定理,其内容是：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且存在原函数F(x),则f(x)在[a,b]上可积,且从a到b的定积分（积分号下限为a上限为b）：∫f(x)dx=F(b)-F(a)其意义就在于把不定积分与定积分联系了起来,也让定积分的运算有了⼀个完善、令⼈满意的⽅法.⽜顿布莱尼茨公式证明过程证明：设：F(x)在区间(a,b)上可导,将区间n等分,分点依次是x1,x2,…xi…x(n-1),记a=x0,b=xn,每个⼩区间的长度为Δx=(b-a)/n,则F(x)在区间[x(i-1),xi]上的变化为F(xi)-F(x(i-1))(i=1,2,3…)当Δx很⼩时,F(x1)-F(x0)=F’(x1)*ΔxF(x2)-F(x1)=F’(x2)*Δx……F(xn)-F(x(n-1))=F’(xn)*Δx所以,F(b)-F(a)=F’(x1)*Δx+ F’(x2)*Δx+…+ F’(xn)*Δx当n→+∞时,∫(a,b)F’(x)dx=F(b)-F(a)⽜顿布莱尼茨公式意义⽜顿-莱布尼茨公式的发现，使⼈们找到了解决曲线的长度，曲线围成的⾯积和曲⾯围成的体积这些问题的⼀般⽅法。

它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或⼀定精度的近似值。

⽜顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之⼀。

它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为⼀门真正的学科。

⽜顿-莱布尼茨公式是积分学理论的主⼲，利⽤⽜顿⼀莱布尼茨公式可以证明定积分换元公式，积分第⼀中值定理和积分型余项的泰勒公式。

牛莱公式

原式 = − lime
解: 原式 =
∴b = 0.
c ≠0 , 故 a =1. 又由
～
, 得 c = 1. 2
说明目录上页下页返回结束
例7.
证明只要证
在证:
内为单调递增函数 .
F′(x) > 0
x 0
x f (x)∫ f (t) dt− f (x)∫ t f (t) dt
0
x
( ∫0 f (t) dt )
d x, 因此
所以其中
In = In−1
机动
目录
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结束
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
机动
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结束
二、积分上限的函数及其导数
定理1. 定理若则变上限函数 y = f (x) y x Φ(x) = ∫ f (t) dt
a
Φ(x)
x ξ b x 证: ∀x, x + h∈[a, b] , 则有 x+ h x Φ(x + h) − Φ(x) 1 x+h = [∫ f (t) dt − ∫ f (t) dt ] a h h a 1 x+h = ∫ f (t) dt = f (ξ) (x <ξ < x + h) h x
∫
x2
−x
e dt = ∫ 3
t
1
−x
e dt + ∫ e dt = ∫ et dt − ∫ 3
t t 1
x2
x2
− x3
1
1
et dt
d x2 t d x2 t d − x3 t ⇒ ∫−x3 e dt = dx ∫1 e dt − dx ∫1 e dt dx

3-2变上限积分NL公式-文档资料

b
证 x f ( x ) x F x C F ( x ) f ( x )
令 x a 得 C F a
x
f ( t ) dt F ( x ) F ( a ), a
故 f t dt F b F a Newton—Leibniz公式
a
b
F( x)a f ( x ) dx F ( b ) F ( a ) a
b

b
b
注意当 a b f ( x ) dx F ( b ) F ( a ) 时，仍成立 . a 例3
一、问题的提出
在变速直线运动中, 已知位移函数 s ( t ) 与速度函数 v ( t ) 之间有关系:
s ( t ) v ( t )
物体在时间间隔 [T 内经过的路程为 1, T 2]
v ( t ) d t s ( T ) s ( T ) 2 1 T
1
T 2
这里 s ( t)称为 v ( t) 的原函数 .
t f (t )dt F (x ) 0
x
x
0 , )内为严格单调递增函数 . 在(
x
0
x
f (t ) d t
只要证 F ( x ) 0
) tf( t) d t xf(x ) f( t) d tf(x 0 0 证: F (x ) x 2 f (t)dt
0

f( x ) t ) d t (xt) f(
a
x
f ( t )dt 在[a , b]上具有导数，且它的导数是
(a x b)
x x
( x x ) ( x ) 证

高数D5_2变限积分导数、牛莱公式、定积分换元分布(1)

～
1. c ,得 2
例3.
证明
只要证
在证:
内为单调递增函数 .
F ( x) 0
x 0
x f ( x) f (t ) d t f ( x) t f (t ) d t
0
x

f ( x) ( x t ) f (t ) d t
x
0 f (t ) d t
2
x
2
0 f (t ) d t
而
I0
0

2
dx

, 2
I1 2 sin x dx 1
0

故所证结论成立 .
内容小结
1. 微积分基本公式
设 f ( x) C [a, b] , 且 F ( x) f ( x) , 则有
a f ( x) d x f ( )(b a) F ( )(b a) F (b) F (a)
0
I n (n 1) 2 sin n 2 x cos 2 x dx
0

(n 1) 2 sin n 2 x (1 sin 2 x) dx

(n 1) I n 2
1 I 由此得递推公式 I n nn n2
0
于是
m 1 I 2 m 3 I 3 1 I I 2 m 22 2 m 2 4 2 0 m 2 m 2 2 m4 m 2 m2 42 I I 2 m1 22 I I 2 m 3 m 1 m 1 22 m 1 5 3 1
d x , 因此
所以
其中
I n I n 1
备用题
3. 证明是以为周期的函数.

5-2微积分基本公式

∴在时间间隔[T1 , T2 ]内物体所走过的路程为：
s(T2 ) − s(T1 )，即：s = ∫ v( t )dt = s(T2 ) − s(T1 )
T1
T2
那么这个结论是否具有普遍性？
2
即若f ( x )在[ a, b]上连续，则:∫ f ( x )dx = F (b) − F ( a )
10
例、已知F ( x) = ∫
x2 x
dF e dt , 求 : dx
−t 2
lijuan
2 x d 4 2 dF −t 2 − x − x ( ∫ e dt ) = e 2 x − e 1 解： = dx dx x 2 2 4 2 − x − x −x −x = e (2 xe − 1) = 2 xe − e
x
2
⇒b=0
1+ t lim x →0 sin x − ax
⎧−2 =⎨ ⎩0
15
∫
x
t
2 2
b
dt
洛
x2
2 2 1 + x x = lim = lim x →0 cos x − a x → 0 cos x − a
a =1 a ≠1
∴ 解得： (a = 1, b = 0, c = −2), (a ≠ 1, b = 0, c = 0)
a x
则解决了第四章中若f ( x )连续，则可积这个问题。
定理2、若f ( x)在[ a, b]上连续，则Φ ( x) = ∫ f (t ) dt
a
x
为f ( x)在[ a, b]上的一个原函数。
（∫ f ( x )dx , ∫ f (t )dt , ∫ f ( x )dx的区别）
a a x b

高等数学牛莱公式

积分中值定理
微分中值定理
牛顿 – 莱布尼兹公式
2. 变限积分求导公式
备用题
1. 设
求
解：定积分为常数 , 故应用积分法定此常数 .
设
1
0 f (x)d x a ,
2
0
f
(x)
d
x
b
,
则
2. 求
的递推公式(n为正整数) .
解：由于 In1
2 sin 2(n 1)x d x , 因此 0 sin x
定理1. 若
则变上限函数
x
y
(x) a f (t) d t
y f (x)
(x)
证: x, x h [a, b] , 则有
o a x b x
(x
h) h
(x)
1
h
xh
a
f
(t) d t
x
a
f
(t) d t
xh
1 xh f (t) d t f ( )
hx
(x x h)
(x) lim (x h) (x) lim f ( ) f (x)
(ms ) 10( ms
)
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为
当汽车停住时,
即
得
故在这段时间内汽车所走的距离为
s
2
0 v(t) d t
2
0 (10 5t) d t
10t
5 2
t
2
2 0
10 (m)
内容小结
1. 微积分基本公式
设 f (x) C[a,b], 且 F(x) f (x), 则有
b
a f (x) d x f ( )(b a) F( )(b a) F(b) F(a)

第五章 2牛莱公式课件

§5.2 微积分的基本公式
一、引例二、积分上限的函数及其导数三、牛顿 – 莱布尼兹公式
机动目录上页下页返回结束
一、引例
在变速直线运动中, 已知位置函数与速度函数
之间有关系:
s(t) v(t)
物体在时间间隔
内经过的路程为
T2 T1
v(t) d t

s(T2 )

s(T1)
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
即
得
故在这段时间内汽车所走的距离为
s

2
0 v(t) d t

2
0 (10

5t
)
d
t

10t

5 2
t
2
2
0
10 (m)
机动目录上页下页返回结束

xh
1 xh f (t) d t f ( )
hx
(x x h)
(x) lim (x h) (x) lim f ( ) f (x)
h0
h
h0
机动目录上页下页返回结束
说明: 1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 同时为通过原函数计算定积分开辟了道路 .
x
0
机动目录上页下页返回结束
例6. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 , 到某处需要减
速停车, 设汽车以等加速度
刹车, 问从开始刹
车到停车走了多少距离?
解: 设开始刹车时刻为
则此时刻汽车速度

361000 3600
(ms ) 10( ms
)
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为

微积分基本公式牛顿—莱布尼茨公式

;
x x e 2t 2 dt 0
1
x2 (1 cos t 2 )dt
2、 lim 0
.
x0
5
x2
五、设 f ( x) 为连续函数，证明:
x
f (t )( x t )dt
xt
( f (u)du)dt
.
0
00
六、求函数 f ( x)
x 0
t
3t 2
1 t
dt 1
在区间
0
,
1
上的最
大值与最小值 .
原式
1
2xdx
2
5dx 6.
0
1
o 12x
例6 求 2 max{x, x2 }dx. 2
y
解由图形可知
y x2
f ( x) max{x, x2 }
y x
x2 2 x 0
2
o 1 2x
x
0 x1 ,
x
2
1 x2
原式
0 x2dx
1
xdx
2 x2dx 11.
2
0
x
( x) a f (t)dt
2.积分上限函数的导数 ( x) f ( x)
3.微积分基本公式
b
a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a)
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系．
思考题
设
f
(
x
)
在[a
,
b]上连续，则 x a
f
(t )dt 与
b
x
f
(u)du是 x的函数还是t
与u
的函数？它们

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15
因此 ( u ) 在[ a , b ] 上是单调非减的，从而有
0 (0 ) (u ) (b )bf2 (x )d x 0 a
于是 ( u ) 在[ a , b ] 上恒为常数，其导数必为零，即
'(u)f2(u)0 , aub .
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16
二、牛顿(Newton)-莱布尼茨(Leibniz) 公式
e 例1 .
x et2 dt
'
2
x2
例2 . 3cos2 tdt ' xcos2tdt ' cos2x
x
3
例3 . d
x2 sint dt
dx 1 t
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11
变限积分求导公式
d x
dx a
f (t) d t
f (x)
d dx
b
x
f
(t)
dt
f(x)
d (x)
dx a
f
(t)dt
f[(x) ](x)
d
dx
(x)
f (t)dt
(x)
d d x a(x)f(t)dta (x)f(t)dt
f [( x ) ( ] x ) f [( x ) ( ] x )
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12
解：令 (u) u sintdt 则 '(u) sin u ,
1t
,
x [0,1) x [1,2]
在x=1处, (1)
2
(10)
6
1 3
,
(10) 1 ,
3
所以, ( x )在(0,2)内连续.
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21
问题： ( x ) 在 x 1 是否可导？
'(1 ) lx i m 0 (1 xx )(1 ) lx i m 01 3(1 x x)31 31
[a, b]上定义了一个函数。
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8
积分上限函数的性质
定理１如果 f ( x) 在[a,b]上连续，则积分上限的函数
( x)
x
a
f
(t )dt
在 [a,b]
上
具
有
导
数
，
且
它
的
导
数
是
(
x)
d dx
x
a
f (t )dt
f (x)
(a x b)
y
证
x x
(x x)a f(t)dt
2 sin4x2
lim 3 x0
x2
83lx im0 si4nx42x2
8 3
例6. 设
f (x)
在区间 [ a , b ]
上连续，且
b f 2(x)dx 0, a
则
f (x)
在 [ a , b ] 上恒等于零。
证明：令 (u)uf2(x)dx, aub, 则 a
'(u)f2(u)0
2020/5/9
u
dx2sintd td (x2) '(x2)(x2)'
d x1 t d x
sinx2
sinx2
2x2
x2
x
例4 .
x2 x3
etdt
'
0 exdx
x3
x2
'
exdx
0
2020/5/9
x3exd x ' x2exd x 3 x2 ex32 xex2 0 0
13
一般地如果
当 n时，或者说当每一个 xi 0 时，
f(i)f(i),
= 上面的“ ” 化为
2020/5/9
5
于是我们就得到了
b
af(x)dx lixm 0SnF(b)F(a)
即
b
a f(x)dxF(b)F(a)
这就是著名的牛顿(Newton)-莱布尼茨(Leibniz) 公式
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6
Isaac Newton ，1671年写了《流数法和无穷级数》，与
x xxb x
f (),
x
lim lim f()
x 0x x 0
x 0, x (x )f(x ).
2020/5/9
10
定理 2： (原函数存在定理 )如果函数 f(x)在 [a,b]上连续，
则函数 (x)
x
f(t)dt
a
就是 f(x)在区间 [a,b]上的一个原函数
'(1 ) lx i m 0 (1 x x )(1 ) lx i m 0 1 2(1 x )x 21 61 3 1
' (1) ' (1)
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22
例12. 设
f(x)x2
a
f(x)dx,且a
1,
求
a
f (x)dx
0
0
解：方程两边积分，得
af(x )d xax 2 d xa
2
a x 0 x 1 L x n 1 x n b
f x0
f x1
f x2
f x3
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x0 a x 1
x2
x 3 x4 b
3
若已知 F'(x)f(x) 则 F (x i 1 ) F (x i)f(i) x i
n1
Sn f i xi i0
f i
n1
F(xi1)F(xi) i0
( x x ) ( x )
x x
x
f(t)d t f(t)dt
a
a
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(x)
o a x xxb x
9
x
x x
x
af( t) d t x f( t) d a tf( t) dt
xx
y
f(t)dt, x
由积分中值定理得
(x)
oa
f() x [x ,x x ],
a(x)
f(t)d,t
0
0
F ( x ) f b ( x ) b ( x ) f a ( x ) a ( x )
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14
例5 .
lim
x0
0 sin t 2dt
2x
x3
0sin t2dt'
lim x0
2x
(x3)'
lx i0msin23(xx)22(2x)'
0
33
例8.
1 2
2x 1
0
dx 2
1 2
x
1
dx 2
0 1 x2
0 1 x2
0
1 dx 1 x2
1
(2 1x2 ) 2
0
1
arcsinx 2 0
2 3
6
2
1
2
例9 . |1 x | dx (1x)dx (x1)dx
0
0
1
(x 1 x2) 1 (1 x2 x) 2
2 02
F
(x)
b
a
a
F
(
x) b a
核心思想：如果能够找到被积函数的一个原函数，则可以轻易地求出定积分的值，即原函数在积分区间上的增量。
注意
当a
b时， b a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a)
仍成立.
2020/5/9
19
例7. 1 dx ln x 1 ln 1ln 2ln2
2 x
2
1 x2dx x 3 1 1
2020/5/9
17
令 xa F ( a ) ( a ) C ,
a
(a)af(t)d t0 F (a)C ,
x
F (x)af(t)d tC ,
x
af(t)d tF (x )F (a ),
b
令 xbaf(x )d x F (b )F (a ).
2020/5/9
18
b f(x)dxF(b)F(a)
f (t) 连续，a( x ) 、b( x)可导，则
F(x)
b(x)
f(t)dt
的导数 F(x) 为
a(x)
F(x)ddxab((xx))f(t)dt f b ( x ) b ( x ) f a ( x ) a ( x )
证
F(x) 0
b(x)
f(t)dt
a(x) 0
b(x) f(t)dt
Gottfriend Wilhelm Leibniz 同时独立创建微积分
2020/5/9
7
一、积分上限函数及其导数
设函数 f ( x)在区间[a, b]上连续，并且设 x为[a,b]
上的一点，考察定积分
x
(x) a f (t)dt
如果上限 x在区间[a,b]上任意变动，则对于每
一个取定的 x值，定积分有一个对应值，所以它在
强调：在利用Newton—Leibniz定理的时候，验证定理条件是否满足是必要的！
2020/5/9
24
小结
1.积分上限函数的性质，其导数的计算；
2.牛顿(Newton)-莱布尼茨(Leibniz) 公式的证明及应用
2020/5/9
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定理 3（微积分基本公式）
如果 F ( x) 是连续函数 f ( x) 在区间[a,b] 上的一个原
函数，则
b
a
f
( x)dx
F (b)
F (a)
.
证已知 F ( x) 是 f ( x)的一个原函数，
又
( x)
x