近五年中考数学拔高题资料讲解

中考数学二轮复习拔高训练卷专题7 四边形一、单选题（共15题；共45分）1.一个凸多边形的内角和比它的外角和的3 倍还多180°，则这个多边形是（）A. 九边形B. 八边形C. 七边形D. 六边形2.下列命题中，真命题是（）A. 对角线相等的四边形是矩形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 对角线互相平分的四边形不一定是平行四边形D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是正方形3.如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，已知△DEF的面积为S，则四边形ABCE的面积为( )A. 11SB. 10SC. 9SD. 8S4.如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，下列各式中不正确的是（）A. B. C. D.5.如图,在平行四边形ABCD和平行四边形BEFG中,AB=AD,BG=BE,点A，B，E在同一直线上,P是线段DF的中点,连接PG、PC，若∠ABC=∠BEF=60°,则=( )A. B. C. D.6.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG ，则四边形EFGH的周长是（）A. B. 13 C. D.7.如图，四边形ABCD中，AC=BD，顺次连结四边形各边中点得到的图形是（）A. 菱形B. 矩形C. 正方形D. 以上都不对8.边长为5的菱形ABCD按如图所示放置在数轴上，其中A点表示数﹣2，C点表示数6，则BD=（）A. 4B. 6C. 8D. 109.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC=130°，则∠AOE的大小为（）A. 75°B. 65°C. 55°D. 50°10.如图，菱形ABCD的周长为40cm，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AB，垂足为E，DE：AB=4：5，则下列结论：①DE=8cm；②BE=4cm；③BD= cm；④AC= cm；⑤S菱形ABCD=80cm，正确的有（）A. ①②④⑤B. ①②③④C. ①③④⑤D. ①②③⑤11.如图，四边形ABCD是正方形，直线L1、L2、L3，若L1与L2的距离为5，L2与L3的距离7，则正方形ABCD的面积等于（）A. 70B. 74C. 144D. 14812.如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交CD于点F，交AD的延长线于点E，若AB＝4，BM＝2，则△DEF的面积为（）A. 9B. 8C. 15D. 14.513.如图，大正方形与小正方形的面积之差是60，则阴影部分的面积是（）A. 30B. 20C. 60D. 4014.如图，在正方形ABCD中，点E是BC延长线上的一点，且AC＝EC，连接AE，交CD于点F，若AB＝1，则线段DF的长是（）A. B. C. 2﹣ D. ﹣115.如图,已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF交于点O.下列结论：①∠DOC=90°, ②OC=OE，③tan∠OCD = ，④中，正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（共5题；共15分）16.小明在用计算器计算一个多边形的内角和时，得出的结果为2005°，小芳立即判断他的结果是错误的，小明仔细地复算了一遍，果然发现自己把一个角的度数输入了两遍．你认为正确的内角和应该是________°.17.□ABCD中对角线AC和BD交于点O，AC=12，BD=10，AB=m，则m取值范围是________.18.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=8,将矩形ABCD折叠使点D和点B重合,折痕为EF,则DE=________.19.如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ＋PQ的最小值是________.20.如图，10个边长为1的正方形摆放在平面直角坐标系中，经过A(1，0)点的一条直线，将这10个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的解析式为________。

2020年中考数学《几何综合》培优拔高专项复习讲义及解析1．如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC边上的点，且AD＝CE，连接BD，AE相交于点F．（1）∠BFE的度数是；（2）如果＝，那么＝；（3）如果＝时，请用含n的式子表示AF，BF的数量关系，并证明．2．如图，∠BAD＝90°，AB＝AD，CB＝CD，一个以点C为顶点的45°角绕点C旋转，角的两边与BA，DA交于点M，N，与BA，DA的延长线交于点E，F，连接AC．（1）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA＝∠ECA时，如图1，求证：AE＝AF；（2）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA≠∠ECA时，如图2，如果∠B＝30°，CB＝2，用等式表示线段AE，AF之间的数量关系，并证明．3．已知：如图，矩形ABCD中，AB＞AD．（1）以点A为圆心，AB为半径作弧，交DC于点E，且AE＝AB，联结AE，BE，请补全图形，并判断∠AEB 与∠CEB的数量关系；（2）在（1）的条件下，设a＝，b＝，试用等式表示a与b间的数量关系并加以证明．4．已知：△ABD和△CBD关于直线BD对称（点A的对称点是点C），点E，F分别是线段BC和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，连接AF，AE，AE交BD于点G．（1）如图1，求证：∠EAF＝∠ABD；（2）如图2，当AB＝AD时，M是线段AG上一点，连接BM，ED，MF，MF的延长线交ED于点N，∠MBF＝∠BAF，AF＝AD，试探究FM和FN之间的数量关系，并证明你的结论．5．以AB为直径作半圆O，AB＝10，点C是该半圆上一动点，连接AC、BC，并延长BC至点D，使DC＝BC，过点D作DE⊥AB于点E、交AC于点F，连接OF．（1）如图①，当点E与点O重合时，求∠BAC的度数；（2）如图②，当DE＝8时，求线段EF的长；（3）在点C运动过程中，若点E始终在线段AB上，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请直接写出此时线段OE的长；若不存在，请说明理由．6．如图①，P为△ABC内一点，连接P A、PB、PC，在△P AB、△PBC和△P AC中，如果存在一个三角形与△ABC 相似，那么就称P为△ABC的自相似点．（1）如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE丄CD，垂足为E．试说明E是△ABC的自相似点；（2）在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，点E为AC边上一点，连接BE交CD于点F，过点E作EG⊥BE交AB于点G，（1）如图1，当点E为AC中点时，线段EF与EG的数量关系是；（2）如图2，当，探究线段EF与EG的数量关系并且证明；（3）如图3，当，线段EF与EG的数量关系是．8．如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP，垂足是B．请在射线BF上找一点M，使以点B、M、C为顶点的三角形与△ABP相似．（请注意：全等图形是相似图形的特例）参考答案与试题解析1．如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC边上的点，且AD＝CE，连接BD，AE相交于点F．（1）∠BFE的度数是60°；（2）如果＝，那么＝1；（3）如果＝时，请用含n的式子表示AF，BF的数量关系，并证明．【分析】（1）易证△ABD≌△ACE，可得∠DAF＝∠ABF，根据外角等于不相邻两个内角的和即可解题．（2）如图1中，当＝时，由题意可知：AD＝CD，BE＝CE．利用等腰三角形的性质即可解决问题；（3）设AF＝x，BF＝y，AB＝BC＝AC＝n．AD＝CE＝1，由△ABD≌△CAE，推出BD＝AE，设BD＝AE＝m，利用相似三角形的性质，列出关系式即可解决问题；【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAD＝∠C＝60°，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴∠DAF＝∠ABD，∴∠BFE＝∠ABD+∠BAF＝∠DAF+∠BAF＝∠BAD＝60°，故答案为：60°．（2）如图1中，当＝时，由题意可知：AD＝CD，BE＝CE．∵△ABC是等边三角形，BE＝EC，AD＝CD，∴∠BAE＝∠BAC＝×60°＝30°，∠ABD＝∠ABC＝30°，∴∠F AB＝∠FBA，∴F A＝FB，∴＝1．故答案为1．（3）设AF＝x，BF＝y，AB＝BC＝AC＝n．AD＝CE＝1，∵△ABD≌△CAE，∴BD＝AE，∠DAF＝∠ABD，设BD＝AE＝m，∵∠ADF＝∠BDA，∴△ADF∽△BDA，∴＝，∴＝①，∵∠FBE＝∠CBD，∠BFE＝∠C＝60°，∴△BFE∽△BCD，∴＝，∴＝②，①÷②得到：＝，∴＝．【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质的等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．2．如图，∠BAD＝90°，AB＝AD，CB＝CD，一个以点C为顶点的45°角绕点C旋转，角的两边与BA，DA交于点M，N，与BA，DA的延长线交于点E，F，连接AC．（1）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA＝∠ECA时，如图1，求证：AE＝AF；（2）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA≠∠ECA时，如图2，如果∠B＝30°，CB＝2，用等式表示线段AE，AF之间的数量关系，并证明．【分析】（1）首先证明△ABC≌△ADC（SSS），推出∠BAC＝∠DAC＝45°，推出∠F AC＝∠EAC＝135°，再证明△ACF≌△ACE（ASA）即可解决问题；（2）由△ACF∽△AEC，推出＝，可得AC2＝AE•AF，求出AC即可解决问题；【解答】（1）证明：∵AB＝AD，CB＝CD，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC＝∠DAC＝45°，∴∠F AC＝∠EAC＝135°，∵∠FCA＝∠ECA，∴△ACF≌△ACE（ASA），∴AE＝AF．（2）证明：作CG⊥AB于G．∵BC＝2，∠B＝30°，∴CG＝BC＝1，∵AG＝AC＝1，∴AC＝，∵∠F AC＝∠EAC＝135°，∴∠ACF+∠F＝45°，∵∠ACF+∠ACE＝45°，∴∠F＝∠ACE，∴△ACF∽△AEC，∴＝，∴AC2＝AE•AF，∴AE•AF＝2．【点评】本题考查旋转变换、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．3．已知：如图，矩形ABCD中，AB＞AD．（1）以点A为圆心，AB为半径作弧，交DC于点E，且AE＝AB，联结AE，BE，请补全图形，并判断∠AEB 与∠CEB的数量关系；（2）在（1）的条件下，设a＝，b＝，试用等式表示a与b间的数量关系并加以证明．【分析】（1）根据题意画出图形，根据等腰三角形的性质即可得出结论；（2）作过点A作AF⊥BE于点F，根据AB＝AE可知BF＝BE，由∠AFB＝∠C＝90°，∠ABE＝∠CEB，得出△ABF∽△BEC，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠CEB．（2）a＝b．证明：如图2，作过点A作AF⊥BE于点F，∵AB＝AE，∴BF＝BE，∵∠AFB＝∠C＝90°，∠ABE＝∠CEB，∴△ABF∽△BEC∴＝，∴＝，即a＝b．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意画出图形，利用等腰三角形的性质求解是解答此题的关键．4．已知：△ABD和△CBD关于直线BD对称（点A的对称点是点C），点E，F分别是线段BC和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，连接AF，AE，AE交BD于点G．（1）如图1，求证：∠EAF＝∠ABD；（2）如图2，当AB＝AD时，M是线段AG上一点，连接BM，ED，MF，MF的延长线交ED于点N，∠MBF＝∠BAF，AF＝AD，试探究FM和FN之间的数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）如图1，连接FE、FC，构建全等三角形△ABF≌△CBF（SAS），则易证∠BAF＝∠2，F A＝FC；根据垂直平分线的性质、等量代换可知FE＝F A，∠1＝∠BAF，则∠5＝∠6．然后由四边形内角和是360°、三角形内角和定理求得∠5+∠6＝∠3+∠4，则∠5＝∠4，即∠EAF＝∠ABD；（2）FM＝FN．理由如下：由△AFG∽△BF A，易得∠AGF＝∠BAF，所以结合已知条件和图形得到∠MBG＝∠BMG．易证△AGF∽△DGA，则对应边成比例：＝＝．即＝＝．设GF＝2a（a＞0），AG＝3a，则GD＝a，FD＝a；利用平行线（BE∥AD）截线段成比例易得＝，则＝＝．设EG＝2k（k＞0），所以BG＝MG＝3k．如图2，过点F作FQ∥ED交AE于点Q．则＝＝＝，又由FQ∥ED，易证得＝＝，所以FM＝FN．【解答】（1）证明：如图1，连接FE、FC．∵点F在线段EC的垂直平分线上，∴FE＝FC，∴∠1＝∠2．∵△ABD和△CBD关于直线BD对称（点A的对称点是点C），∴AB＝CB，∠4＝∠3，∵在△ABF与△CBF中，，∴△ABF≌△CBF（SAS），∴∠BAF＝∠2，F A＝FC，∴FE＝F A，∠1＝∠BAF，∴∠5＝∠6．∵∠1+∠BEF＝180°，∴∠BAF+∠BEF＝180°∵∠BAF+∠BEF+∠AFE+∠ABE＝360°，∴∠AFE+∠ABE＝180°．又∵∠AFE+∠5+∠6＝180°，∴∠5+∠6＝∠3+∠4，∴∠5＝∠4，即∠EAF＝∠ABD；（2）FM＝FN．理由如下：如图2，由（1）知，∠EAF＝∠ABD．又∵∠AFB＝∠GF A，∴△AFG∽△BF A，∴∠AGF＝∠BAF．又∵∠MBF＝∠BAF，∴∠MBF＝∠AGF．∵∠AGF＝∠MBG+∠BMG，∴∠MBG＝∠BMG，∴BG＝MG．∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD＝∠EAF．又∵∠FGA＝∠AGD，∴△AGF∽△DGA，∴＝＝．∵AF＝AD，∴＝＝．设GF＝2a（a＞0），AG＝3a，∴GD＝a，∴FD＝a∵∠CBD＝∠ABD，∠ABD＝∠ADB，∴∠CBD＝∠ADB，∴BE∥AD，∴＝，∴＝＝．设EG＝2k（k＞0），∴BG＝MG＝3k．如图2，过点F作FQ∥ED交AE于点Q．则＝＝＝，∴GQ＝QE，∴GQ＝EG＝k，MQ＝3k+k＝k．∵FQ∥ED，∴＝＝，∴FM＝FN．【点评】本题综合考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，三角形内角和定理以及四边形内角和是360度等知识点．难度较大，综合性较强．5．以AB为直径作半圆O，AB＝10，点C是该半圆上一动点，连接AC、BC，并延长BC至点D，使DC＝BC，过点D作DE⊥AB于点E、交AC于点F，连接OF．（1）如图①，当点E与点O重合时，求∠BAC的度数；（2）如图②，当DE＝8时，求线段EF的长；（3）在点C运动过程中，若点E始终在线段AB上，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请直接写出此时线段OE的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）连接OC．根据直角三角形的性质和圆的性质可得△OBC是等边三角形，再根据等边三角形的性质和直角三角形两锐角互余即可得到∠BAC的度数；（2）连接DA．根据垂直平分线的性质可得AB＝AD＝10，根据勾股定理和线段的和差关系可得AE和BE的长，通过AA证明△AEF∽△DEB，根据相似三角形的性质即可得到EF的长；（3）分两种情况：①当交点E在O、A之间时；②当交点E在O、B之间时；讨论即可求得线段OE的长．【解答】解：（1）连接OC．∵C为DB中点，∴OC＝BC＝OB，∴△OBC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝30°；（2）连接DA．∵AC垂直平分BD，∴AB＝AD＝10，∵DE＝8，DE⊥AB，∴AE＝6，∴BE＝4，∵∠F AE+∠AFE＝90°，∠CFD+∠CDF＝90°，∴∠CDF＝∠EAF，∵∠AEF＝∠DEB＝90°，∴△AEF∽△DEB，∴＝，∴EF＝3；（3）①当交点E在O、A之间时，若∠EOF＝∠BAC，此时，∵，∴，∴OE＝AE，则OE＝；若∠EOF＝∠ABC，此时，∴，则OE＝；②当交点E在O、B之间时，OE＝．综上所述，OE＝或或．【点评】考查了圆的综合题，涉及的知识点有直角三角形的性质和圆的性质，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．6．如图①，P为△ABC内一点，连接P A、PB、PC，在△P AB、△PBC和△P AC中，如果存在一个三角形与△ABC 相似，那么就称P为△ABC的自相似点．（1）如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE丄CD，垂足为E．试说明E是△ABC的自相似点；（2）在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．【分析】（1）根据已知条件得出∠BEC＝∠ACB，以及∠BCE＝∠ABC，得出△BCE∽△ABC，即可得出结论；（2）①根据作一角等于已知角即可得出△ABC的自相似点；②根据∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC＝∠2∠PBC＝2∠A，∠ACB＝2∠BCP＝4∠A，即可得出各内角的度数．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的中线，∴CD＝AB，∴CD＝BD，∴∠BCE＝∠ABC，∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，∴∠BEC＝∠ACB，∴△BCE∽△ABC，∴E是△ABC的自相似点；（2）①如图所示，作法：①在∠ABC内，作∠CBD＝∠A，②在∠ACB内，作∠BCE＝∠ABC，BD交CE于点P，则P为△ABC的自相似点；②∵P是△ABC的内心，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∵△ABC的内心P是该三角形的自相似点，∴∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC＝2∠PBC＝2∠A，∠ACB＝2∠BCP＝4∠A，∴∠A+2∠A+4∠A＝180°，∴∠A＝，∴该三角形三个内角度数为：，，．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定以及三角形的内心作法和作一角等于已知角，此题综合性较强，注意从已知分析获取正确的信息是解决问题的关键．7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，点E为AC边上一点，连接BE交CD于点F，过点E作EG⊥BE交AB于点G，（1）如图1，当点E为AC中点时，线段EF与EG的数量关系是EF＝EG；（2）如图2，当，探究线段EF与EG的数量关系并且证明；（3）如图3，当，线段EF与EG的数量关系是．【分析】（1）根据全等三角形的证明方法利用ASA得出△EFM≌△EGN，即可得出EF＝EG；（2）根据已知首先求出∠ENG＝∠FEM，再得出∠ENG＝∠EMF，即可得出△EFM∽△EGN，再利用相似三角形的性质得出答案即可．【解答】解：（1）证明：如图1，过E作EM⊥AB于M，EN⊥CD于N，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝45°，∴AD＝CD，∵点E为AC的中点，CD⊥AB，EN⊥DC，∴EN＝AD，∴EM＝CD，∴EN＝EM，∵∠GEB＝90°，∠MEN＝90°，∴∠NEF＝∠GEM，∴，∴△EGM≌△EFN，（ASA）∴EG＝EF（2）证明如图（2）：过点E作EM⊥CD于点M，作EN⊥AB于点N，∴∠ENA＝∠CME＝∠EMF＝90°．∵CD⊥AB于点D，∴∠CDA＝90°．∴EM∥AD．∠A＝∠CEM．∴△EMC∽△ANE．∴∵EM∥AD，∴∠NEM＝90．即∠1+∠2＝90°．∵EG⊥BE，∴∠3+∠2＝90°，∴∠MEF＝∠GEN．∴△EFM∽△EGN．∴．∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∴AN＝EN．∴，∴∵，∴．（3）∴证明如图（3）：过点E作EM⊥CD于点M，作EN⊥AB于点N，∴∠ENA＝∠CME＝∠EMF＝90°．∵CD⊥AB于点D，∴∠CDA＝90°．∴EM∥AD．∠A＝∠CEM．∴△EMC∽△ANE．∴∵EM∥AD，∴∠NEM＝90．即∠2+∠3＝90°．∵EG⊥BE，∴∠3+∠2＝90°，∴∠MEF＝∠GEN．∴△EFM∽△EGN．∴．∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∴AN＝EN．∴，∴∵∴，故答案为：（1）EF＝EG，（3）【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰直角三角形的性质的运用．8．如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP，垂足是B．请在射线BF上找一点M，使以点B、M、C为顶点的三角形与△ABP相似．（请注意：全等图形是相似图形的特例）【分析】此题有两种情况，（1）当△CBM≌△ABP时，全等图形是相似图形的特例，此时BP和BM为一组对应边且相等，BM＝BP＝3；（2）当△MBC∽△ABP时，有MB：AB＝BC：BP，从而求出BM的值．【解答】解：在射线BF上截取线段，连接M1C，⇒，⇒∠ABP＝∠CBM1，∴△M1BC∽△ABP．在射线BF上截取线段BM2＝BP＝3，连接M2C，⇒△CBM2≌△ABP．（全等必相似）∴在射线BF上取或BM2＝3时，M1，M2都为符合条件的M．（说明：其他解法请参照给分）【点评】此题主要是考查三角形相似的判定，属中等难度．。

中考数学冲刺拔高专题训练目录专题提升（一）数形结合与实数的运算. (1)专题提升（二）代数式的化简与求值 (5)专题提升（三）数式规律型问题 (9)专题提升（四）整式方程（组）的应用 (15)专题提升（五）一次函数的图象与性质的应用. (22)专题提升（六）一次函数与反比例函数的综合. (31)专题提升（七）二次函数的图象和性质的综合运用. (41)专题提升（八）二次函数在实际生活中的应用. (48)专题提升（九）以全等为背景的计算与证明. (54)专题提升（十）以等腰或直角三角形为背景的计算与证明. (60)专题提升（十一）以平行四边形为背景的计算与证明. (69)专题提升（十二）与圆的切线有关的计算与证明. (77)专题提升（十三）以圆为背景的相似三角形的计算与. (83)专题提升（十四）利用解直角三角形测量物体高度或宽度. (92)专题提升（十五）巧用旋转进行证明与计算. (99)专题提升（十六）统计与概率的综合运用. (106)专题提升（一）数形结合与实数的运算类型之一数轴与实数【经典母题】如图Z1- 1,通过画边长为1的正方形的边长，就能准确地把.2和—2表示在数轴上.图Z1 — 1【思想方法】（1）在实数范围内，每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都可以表示一个实数.我们说实数和数轴上的点 --- 对应；（2）数形结合是重要的数学思想，利用它可以比较直观地解决问题.利用数轴进行实数的大小比较，求数轴上的点表示的实数，是中考的热点考题.【中考变形】1. [2017北市区一模]如图Z1 —2,矩形ABCD的边AD长为2, AB长为1,点A在数轴上对应的数是一1,以A点为圆心，对角线AC长为半径画弧，交数轴于点E，则这个点E表示的实数是（C ）图Z1—2A. 5+ 1B. 5C. 5—1 D . 1—5【解析】：AD长为2, CD长为1,二AC= . 22+ 12= 5,v A点表示—1 ,二E 点表示的数为,5— 1.2. [2016娄底]已知点M , N, P, Q在数轴上的位置如图Z1—3,则其中对应的数的绝对值最大的点是（D ）图Z1—3A. MB. NC. PD. Q3. [2016天津]实数a, b在数轴上的对应点的位置如图Z1 —4所示，把一a,—b, 0按照从小到大的顺序排列，正确的是（C ）图Z1—4A . —a v 0v—b B. 0v —a v —b【解析】•••从数轴可知a v O v b,A—b v0,—a>0,二—b v O v — a.4. [2017余姚模拟]如图Z1 —5,数轴上的点A, B, C, D, E表示连续的五个整数，若点A, E表示的数分别为x, y,且x+ y = 2，则点C表示的数为（B ）图Z1—5A. 0B. 1C. 2D. 3【解析】根据题意，知y—x=4,即y= x+ 4,将y=x+ 4代入x+ y= 2,得x+x + 4= 2,解得x=—1,则点A表示的数为一1,则点C表示的数为一1 + 2= 1.5. 如图Z1 —6,在平面直角坐标系中，点P的坐标为（一2, 3）,以点0为圆心，以0P为半径画弧，交x轴的负半轴于点A,则点A的横坐标介于（A ）图Z1—6A . —4和一3之间B. 3和4之间C.—5和一4之间 D . 4和5之间【解析】•••点P的坐标为（一2, 3）,••• OP= 22+ 32= 13.•••点A, P均在以点0为圆心，以0P为半径的圆上，二OA= OP=%13,•/ 9v 13v 16,二3v 13v 4.•••点A在x轴的负半轴上，•••点A的横坐标介于一4和一3之间.故选A.6. [2017成都改编]如图Z1 —7,数轴上点A表示的实数是 -V2 .图Z1—7【中考预测】如图Z1 —8,数轴上的点A, B分别对应实数a, b,下列结论中正确的是（C ）图Z1—8A . a> b B. |a|> |b|C. —a v bD. a+ b v 0【解析】由图知，a v0v b且|a|v|b|,；a+ b>0,即一a v b,故选C.类型之二实数的混合运算【经典母题】计算：2X (3+ ,5) + 4-2X 5.解：2X (3 + 5)+ 4- 2X 5 = 2X 3 + 2X 5 + 4-2X 5 = 6+ 4+ 2X 5-2X 5=10.【中考变形】1. [2016 台州]计算：4- - 2 + 2「I.1 1 解:原式=2—2+ ~1= 2.1 — 12. [2017 临沂]计算：|1—慣| + 2cos45—<8+ 2 .1 —1 2解：|1—2| + 2cos45°—8+ 2 = 2- 1+ 2X/-2 2+ 2= 2- 1+ 2-2 2+ 2= 1.3. [2017 泸州]计算：(一3)2+ 2 0170- . 18X sin45° .解：(一3)2+ 2 0170- .18X si n45°= 9+ 1-3.2X~2=10-3= 7.【中考预测】1 —1计算：P12 —3tan30 + ( n—4)°— 2 .I —1 ^[3解：.12—3tan30°+ ( — 4)0—= 2 3—3X& + 1—2= 3—1.专题提升(二)代数式的化简与求值类型之一整式的化简与求值【经典母题】已知x+y= 3, xy= 1,你能求出x2+ y2的值吗？(x—y)2呢？解：x2+ y2= (x + y)2—2xy= 32—2X 1 = 7;(x—y)2= (x+ y)2—4xy= 32—4X 1 = 5.【思想方法】利用完全平方公式求两数平方和或两数积等问题，在化简求值、一元二次方程根与系数的关系中有广泛应用，体现了整体思想、对称思想，是中考热点考题.完全平方公式的一些主要变形有：(a+ b)2+ (a—b)2= 2(a2+ b2), (a + b)2—(a —b)2 =4ab, a2+ b2= (a + b)2—2ab= (a—b)2+ 2ab,在四个量a+ b, a—b, ab 和a2+ b2 中，知道其中任意的两个量，能求出(整体代换)其余的两个量.【中考变形】1•已知(m—n)2= 8, (m+ n)2= 2,贝U m2+ n2的值为(C )A . 10 B. 6 C. 5 D. 31 o 12. 已知实数a满足a—-= 3,则a2+y的值为11 .a a1 1 1【解析】将a—舌二3两边平方，可得a2—2+孑=9, 即卩a2+孑=11.3. [2017 重庆B 卷]计算：(x+ y)2—x(2y —x).解:原式=x2+ 2xy+ y2—2xy+ x2= 2x2+ y2.4. [2016漳州]先化简(a+ 1)(a—1)+ a(1 —a) —a,再根据化简结果，你发现该代数式的值与a的取值有什么关系(不必说明理由)?解：原式=a2—1 + a —a2—a=—1.故该代数式的值与a的取值没有关系.【中考预测】1先化简，再求值：(a —b)2+ a(2b—a)，其中a= —q,b = 3.解：原式=a2—2ab+ b2+ 2ab—a2= b2.1当a= —2， b = 3 时，原式=32= 9.类型之二分式的化简与求值 【经典母题】a 2+b 2 ； ab ； x 2 — 4 x-b 2 a 2+ b 2 -2b 2 _ 2b ； ab — ab —【思想方法】 (1)进行分式混合运算时，一定要注意运算顺序，并结合题目的具 体情况及时化简，以简化运算过程；(2) 注意适当地利用运算律，寻求更合理的运算途径；(3) 分子分母能因式分解的应进行分解，并注意符号的处理，以便寻求组建公分母 而约分化简；(4) 要注意分式的通分与解分式方程去分母的区别. 【中考变形】解：原式_ 3a 2— 4 (a — 1) 2 a + 2 a +2a +2(a + 1) (a — 1) a + 2 a +1_ a + 2 • (a — 1) 2_a — 1x 2— 1 卄 x + 1 x 2+ x ，其中 x = 2.x — 1 X (x + 1) _ X x + 1 (x + 1)( x — 1) _x + 1. 22当x _ 2时，原式_笫_ 3 【中考预测】计算：⑴b —b~3x x⑵ x —2—X T 2 2 解:⑴原式二-ab (2)原式=3x (x + 2) — x (x — 2) ~(x — 2)( x + 2)~x 2_ 4 2x 2+ 8x x — x 2 — 4x 2— 42x + 8.1. [2017重庆A 卷]计算:七+a —2 宁 a!^ a + 2 a + 2 2. [2017攀枝花]先化简，再求值:解：原式= x + 1 — 2 X (x + 1)(x + 1)( x — 1)1.解：原式=x 2— 4x + 3 1 x 2 —2x + 1 2x — 3 「3-x x 2一 3x + 2 x — 2，4x + 3 1 1(x — 1) 2 2 3x — 3 (x — 1) (x — 2)一 x — 2 先化简，再求值: 其中x = 4. (x — 2) 2 x 2— x x — 1 2x — 2 x — 2 x 一 3x — 3 x —2=x — 2.当 x =4 时，原式=x — 2 = 2.类型之三二次根式的化简与求值 【经典母题】 已知 a = 3+ 2, b = 3— 2,求 a 2 — ab + b 2 的值. 解：va = ,3+ 2,b = ,3— ,2,：a + b = 2,3, ab = 1, ••• a 2 — ab + b 2 = (a + b)2— 3ab = (2.3)2 — 3= 9. 【思想方法】 在进行二次根式化简求值时，常常用整体思想，把 a + b ，a — b ， ab 当作整体进行代入.整体思想是很重要的数学思想，利用其解题能够使复杂问 题变简单.整体思想在化简、解方程、解不等式中都有广泛的应用，是中考重点 考查的数学思想方法之一. 【中考变形】1 .已知m = 1 + 2, n = 1 — 2,则代数式.m 2+ n 2— 3mn 的值为C . 3 2. [2016仁寿二模]先化简，再求值: 2 a —2 1^2a —b —2ab + b 2 1 1 a —b ，其中 a = V 2+ 1, b=V 2—(a — b ) 2解：原式=丫 +b )( b )十吟=匕(a + b )( a — b ) ab a + bab = ab b — a a +b ，当a =@+ 1, b =迈一1时，原式=—才2 =X — yx y3. [2017绵阳]先化简，再求值：x — 2xy + y ? — x 2_2xy 宁X —"2y ，其中X = 2农，丫=卩 解:原式=F —A 一x(^yr 亠总x —y x — 2y ' x — 2y(x — 2y ) — ( x — y )(x —y )( x — 2y )【中考预测】ab + a (a + b ) + b 2(a + b ) 2=ab ( a + b ) = ab ， 解：原式=「a + b =^ + 些=5, ab =^x 些=1,y x — 2y =(x — y )( x — 2y )x — 2y = 1x —y当 x = 2 2, y = 2时, 原式=一 1不=—2= 1__ J22 .1先化简，再求值： 1 + _ +a +b + b +a (a +b )b ，其中5+ 1 5—1a= 2，b =2 a + bab (a + b )专题提升(三) 数式规律型问题经典母题】观察下列各式：52= 25;152 = 225;252= 625;352= 1 225;你能口算末位数是 5 的两位数的平方吗？请用完全平方公式说明理由．解：把末位数是5的自然数表示成10a+ 5的一般形式，其中a为自然数，则(10a + 5)2= 100a2+ 100a + 25= 100a(a+ 1) + 25,因此在计算末位数是 5 的自然数的平方时，只要把100a 与a+ 1 相乘，并在积的后面加上25即可得到结果．【思想方法】模型化思想和归纳推理的思想在中考中应用广泛，是热点考题之【中考变形】1．小明在做数学题时，发现下面有趣的结果：3－2= 1 ;8+ 7－6－5= 4;15+14+13－12－11－10=9; 24+23+22+21－20－19－18－17=16;根据以上规律可知第10 行左起第 1 个数是( C )A．100 B．121 C．120 D．82【解析】根据规律可知第10行等式的右边是1/= 100,等式左边有20个数加减.••• 这20 个数是120+ 119+ 118+...+ 111—110— 109- 108— (102)101,二左起第1 个数是120.2. [2016邵阳]如图Z3—1，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是(B )图 Z3— 1A . y = 2n + 1B . y = 2n + nC . y = 2n +1 + nD . y = 2n + n + 1【解析】•••观察可知：左边三角形的数字规律为 1, 2,…，n ,右边三角形的数 字规律为21, 22…，2n ,下边三角形的数字规律为1 + 2, 2 + 22,…，n + 2n ,「.最 后一个三角形中y 与n 之间的关系为y =2n + n.3. [2018中考预测]根据图Z3 — 2中箭头的指向规律，从2 017到2 018再到2 019, 箭头的方向是下列选项中的（D ）图 Z3 — 2【解析】 由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，2 017- 4= 504……1,••• 2 017是第505个循环组的第2个数， •••从2 017到2 018再到2 019,箭头的方向是故选D.4. 挑游戏棒是一种好玩的游戏，游戏规则：当一根棒 没有被其他棒条压着时，就可以把它往上拿走.如 Z3 —3中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒， 次应拿走⑤号棒，…则第6次应拿走（D ）A .②号棒B .⑦号棒C .⑧号棒D .⑩号棒 【解析】 仔细观察图形，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，第3次应拿走⑥号棒，第4次应拿走②号棒，第5次应拿走⑧号棒，第6次应拿走⑩号棒.5. [2017烟台]用棋子摆出下列一组图形（如图Z3 — 4）:图 Z3 — 4按照这种规律摆下去，第n 个图形用的棋子个数为A. 3nB . 6nC . 3n + 6D.3 n + 3 图 Z3— 3 条 图【解析】•••第1个图需棋子3+ 3 = 6;第2个图需棋子3X 2 + 3= 9;第3个图需棋子3X 3+ 3= 12;….••第n个图需棋子（3n+3）个.6•古希腊数学家把数1, 3, 6, 10, 15, 21,…叫做三角形数，其中1是第1个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…以此类推，那么第9个三角形数是__45__, 2 016是第__63—个三角形数.【解析】根据所给的数据发现：第n个三角形数是1 + 2+ 3+- + n,则第9个三角形数是1 + 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8+ 9= 45;由 1 + 2+ 3+ 4+ - + n =2 016,得门（罗"=2 016,解得n = 63（负数舍去）.7. 操场上站成一排的100名学生进行报数游戏，规则是：每位同学依次报自己的顺序1 1 1数的倒数加1.如：第1位同学报+ 1，第2位同学报1+ 1，第3位同学报+ 1，… 这样得到的100个数的积为_101_ .1 2 1 3【解析】•••第1位同学报的数为1+ 1= *第2位同学报的数为扌+ 1=号，第3位1 4同学报的数为3+1 = 4，…1 101•••第100位同学报的数为盘+ 1=気1，234 101•这样得到的100个数的积=2乂^X4X —X 100= 101.8. [2017潍坊]如图Z3-5,自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…按照此规律，第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为_9n + 3_ .图Z3 - 5【解析】•••第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成，•正方形和等边三角形的和=6+ 6= 12= 9+ 3; v第2个图由11个正方形和10个等边三角形组成，•正方形和等边三角形的和= 11+ 10= 21 = 9X 2 + 3; v第3个图由16个正方形和14个等边三角形组成，•正方形和等边三角形的和= 16+ 14= 30 =9X 3+ 3,….••第n个图中正方形和等边三角形的个数之和= 9n + 3.9. 观察下列等式：第一个等式：a1= — = .2- 1;1 + 7 2第二个等式：4 ,2+;3- 3 2；第三个等式：a3= ,31+ 2=3；第四个等式：1a4= 2+：5= 5 —2；按上述规律，回答以下问题：1 __________⑴用含n的代数式表示第n个等式：a n= 需十= n+ 1 -斤；(2)a i + a2 + a3+・・・+ a n= \/n+ 1 —1【解析】a i + a2+ a3 +…+ a n= ( .2—1)+ ( . 3—, 2) + (2 —. 3) + ( , 5—2) + …+ (n+ 1—n) = n+ 1 —1.10. [2016山西]如图Z3—6是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n个图案中有4n+ 1个涂有阴影的小正方形(用含有n的代数式表示).图Z3 — 6【解析】由图可知，涂有阴影的小正方形有5+ 4( n—1) = 4n+ 1(个).11. 如图Z3 —7是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…则第n个图案中有一5n+ 1__根小棒.图Z3 —7【解析】•••第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有6+ 5X 1= 11根小棒，第3个图案中有6+ 5X 2= 16根小棒，….••第n个图案中有6+ 5(n—1)= 5n+ 1根小棒.12. 《庄子天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”意思是：一根一尺的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完，如图Z3 —8所示.1 1 1 1 1由图易得2+22+艺+…+歹=_1—刁_.图Z3 —813. [2016安徽](1)观察图Z3 —9中的图形与等式的关系，并填空：图Z3 —9【解析】1 + 3+ 5+ 7= 16= 42,观察，发现规律：1 + 3= 22, 1 + 3+ 5= 32, 1 + 3 + 5+ 7= 42,…二 1 + 3+ 5 + …+ (2n—1)= n2.⑵观察图Z3 —10,根据⑴中结论，计算图中黑球的个数，用含有n的代数式填空：图Z3 —101 + 3+ 5+-+ (2n- 1)+ 2n+ 1__+ (2n- 1)+…+ 5+ 3+ 1= 2n2+2n+ 1__.【解析】观察图形发现：图中黑球可分为三部分，1到n行，第n+ 1行，n + 2行到2n+ 1 行，即 1 + 3+ 5+ - + (2n—1)+ [2(n+ 1)—1] + (2n—1)+…+ 5+ 3+ 1 =1 + 3+ 5+ ••• + (2n—1)+ (2n+ 1)+ (2n—1)+ …+ 5+ 3+ 1 = n2+ 2n+ 1+ n2= 2n2 + 2n+ 1.【中考预测】一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图Z3—11方式进行拼接.(1) 若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？(2) 若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？图Z3 —11解：(1)把4张餐桌拼起来能坐4X 4+ 2= 18(人);把8张餐桌拼起来能坐4X 8+ 2= 34(人);⑵设这样的餐桌需要x张，由题意，得4x+ 2= 90,解得x = 22.答：这样的餐桌需要22张.专题提升（四）整式方程（组）的应用类型之一一元一次方程的应用【经典母题】汽车队运送一批货物•若每辆车装 4 t,还剩下8 t未装；若每辆车装4.5 t,恰好装完•这个车队有多少辆车？解：设这个车队有x辆车，依题意，得4x+ 8= 4.5x，解得x= 16.答：这个车队有16辆车.【思想方法】利用一元一次方程解决实际问题是学习二元一次方程组、分式方程、一元二次方程、一元一次不等式（组）等的基础，是课标要求，也是热门考点. 【中考变形】1 •学校机房今年和去年共购置了100台计算机，已知今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的3倍，今年购置计算机的数量是（C ）A. 25 台B. 50 台C. 75 台 D . 100 台【解析】设今年购置计算机的数量是x台，去年购置计算机的数量是（100—x）台, 根据题意可得x= 3（100—x），解得x= 75.2. [2016盐城校级期中]小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤.妈妈说: “今天买这两样菜共花了45元，上月买同重量的这两种菜只要36元”.爸爸说: “报纸上说了萝卜的单价上涨50%，排骨单价上涨20%”.小明说：爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少?请你通过列一元一次方程求解这天萝卜、排骨的单价（单位：元/斤）.解：设上月萝卜的单价是x元/斤，则排骨的单价节产元/斤，根据题意，得3（136 —3x+ 50%)x + 2(1 + 20%) 一2 = 45，…-“36—3x 36—3X 2 .一解得x = 2，贝U 2 = 2 = 15.•••这天萝卜的单价是(1 + 50%)X 2= 3(元/斤)，这天排骨的单价是（1+ 20%）X 15= 18（元/斤）.答：这天萝卜的单价是3元/斤，排骨的单价是18元/斤.【中考预测】[2016株洲模拟]根据如图Z4—1的对话，分别求小红所买的笔和笔记本的价格.图Z4－1解：设笔的价格为x 元/支，则笔记本的价格为3x 元/本，由题意，得10x+ 5X 3x= 30, 解得x= 1.2,—3x= 3.6.答：笔的价格为 1.2元/支，笔记本的价格为 3.6元/本．类型之二二元一次方程组的应用【经典母题】用如图Z4 —2①中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图②的竖式和横式两种无盖纸盒．现在仓库里有 1 000张正方形纸板和 2 000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？图Z4—2解：设做竖式纸盒x个，横式纸盒y个，可恰好将库存的纸板用完.4x+ 3y = 2 000, x = 200，根据题意，得解得x+ 2y= 1 000, y = 400.答：竖式纸盒做200个，横式纸盒做400个，恰好将库存的纸板用完.【思想方法】利用方程（组）解决几何计算问题，是较好的方法，体现了数形结合思想. 【中考变形】1. 小华写信给老家的爷爷，问候“八一”建军节.折叠长方形信纸，装入标准信封时发现：若将信纸按图Z4 —3①连续两次对折后，沿着信封口边线装入时宽绰 3.8cm；若将信纸按图②三等分折叠后，同样方法装入时宽绰 1.4 cm.试求出信纸的纸长与信封的口宽.①②图Z4—3解：设信纸的纸长为x cm，信封口的宽为y cm.答：信纸的纸长为28.8 cm,信圭寸的口宽为11 cm.2•某中学新建了一栋四层的教学楼，每层楼有 10间教室，进出这栋教学楼共有4个门，其中两个正门大小相同，两个侧门大小也相同•安全检查中，对 4个门进行了测试，当同时开启一个正门和两个侧门时， 2 min 内可以通过560名学生；当同时开启一个正门和一个侧门时，4 min 内可以通过800名学生.⑴求平均每分钟一个正门和一个侧门各可以通过多少名学生？⑵检查中发现，出现紧急情况时，因学生拥挤，出门的效率将降低 20%，安全检 查规定：在紧急情况下全楼的学生应在 5 min 内通过这4个门安全撤离，假设这栋 教学大楼每间教室最多有45名学生，问：该教学楼建造的这4个门是否符合安全 规定？请说明理由.解：(1)设一个正门平均每分钟通过x 名学生，一个侧门平均每分钟通过 y 名学生, 由题意，得2x + 4y = 560,4x + 4y = 800, 答：一个正门平均每分钟通过120名学生，一个侧门平均每分钟通过 80名学生;(2) 由题意得共有学生45X 10X 4= 1 800(人),45学生通过的时间为 1 800 -[(120 + 80) X 0.8X 2] = (min). 8I 5v 等，：该教学楼建造的这4个门不符合安全规定.【中考预测】随着“互联网+ ”时代的到来，一种新型的手机打车方式受到大众欢迎，该打车 方式的总费用由里程费和耗时费组成， 其中里程费按p 元/km 计算，耗时费按q 元/min 计算(总费用不足9元按9元计价).小明、小刚两人用该打车方式出行，按上 述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与车速如下表：由题意，得X c c y = 4+ 38,y = 3+1.4,解得 x= 28.8, y= 11.解得 x = 120,(1)求p , q 的值；⑵如果小华也用该打车方式，车速 55 km/h ，行驶了 11 km ,那么小华的打车总费 用为多少？解:(1)小明的里程数是8 km ，时间为8 min ;小刚的里程数为10 km,时间为12 min.⑵小华的里程数是11 km ,时间为12 min. 则总费用是11p + 12q = 17(元). 由题意得 8p + 8q = 12, 10p + 12q = 16, 解得P = 1,1q = 2；类型之三一元二次方程的应用【经典母题】某租赁公司拥有汽车100辆，据统计，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租 出，每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将会增加1辆.租出的车每辆每月 需要维护费为150元，未租出的车每辆每月只需要维护费 50元.⑴当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益(租金收入扣除维护费)可达到 306 600 元？答：当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出88辆.⑵设每辆车的月租金定为(3 000+ x)元，贝UX x100— 50 [(3 000 + x)— 150] — 50 X 50= 306 600， 解得 X 1 = 900, X 2= 1 200， ••• 3 000+ 900= 3 900(元)，3 000+ 1 200= 4 200(元).答：当每辆车的月租金为 3 900元或4 200元时，月收益可达到306 600元.【思想方法】利润=收入一支出，即利润=租出去车辆的租金一租出去车辆的维护费一未租出去车辆的维护费.【中考变形】1. [2017眉山]东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为 6个档次，第一档次(即最低档次)的 产品每天生产76件，每件利润10元.调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品， 该产品每件利润增加2元.(1) 若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；(2) 由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少 4件.若生产的某档次产品一天的总利润为1 080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？解：(1)设此批次蛋糕属第a 档次产品，则10 + 2(a —1)= 14,解得a = 3. 答：此批次蛋糕属第3档次产品.(2)设该烘焙店生产的是第x 档次的产品，根据题意，得[10 + 2(x — 1)][76 — 4(x — 1)] = 1 080,解得 X 1 = 5, X 2= 11(舍去).解：(1)100— 3 600— 3 000 50答：该烘焙店生产的是第5档次的产品.2. [2017重庆B卷]某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产.(1) 该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400 kg，其中枇杷的产量不超过樱桃的产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？(2) 该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售•该果农去年樱桃的市场销售量为100 kg,销售均价为30元/kg，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同；该果农去年枇杷的市场销售量为200 kg,销售均价为20元/kg,今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%.该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值.【解析】(1)根据“枇杷的产量不超过樱桃的产量的7倍”即可列出不等式求得今年收获樱桃的质量；(2)抓住关键语句，仔细梳理，根据去年、今年樱桃销售量、销售均价，求出各自的销售额，可以用一张表格概括其中数量关系：然后根据“今年樱桃和枇杷的销售总金额与去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同”可列方程求解.解：(1)设该果农今年收获樱桃至少x kg，今年收获枇杷(400- x)kg，依题意，得400—x<7x，解得x>50.答：该果农今年收获樱桃至少50 kg.⑵由题意，得3 000X (1 —m %) + 4 000X (1 + 2m%) X (1 —m%) = 7 000,解得m1=0(不合题意，舍去)，m2= 12.5.答：m的值为12.5.中考预测】某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出400 kg.经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价 1 元，日销售量将减少20 kg.(1) 当每千克涨价多少元时，每天的盈利最多？最多是多少？(2) 若商场只要求保证每天的盈利为4 420元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价多少元？解：(1)设每千克涨价x元，总利润为y元.则y= (10+x)(400—20x)=—20x2+ 200x+ 4 000= —20(x—5)2+ 4 500.当x= 5时，y取得最大值，最大值为4 500元.答：当每千克涨价 5 元时，每天的盈利最多，最多为 4 500元；⑵设每千克应涨价a元，则(10+ a)(400 —20a) = 4 420.解得a= 3 或a= 7，为了使顾客得到实惠，••• a= 3.答：每千克应涨价 3 元.专题提升(五)一次函数的图象与性质的应用类型之一 一次函数的图象的应用 【经典母题】图 Z5 — 1【思想方法】 (1)每个二元一次方程组都对应着两个一次函数，于是也对应着两 条直线•从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值 相等，以及这个函数值是何值；从 “形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标；(2) 一次函数、一元一次方程、一元一次不等式有着独立的概念，但在本质上，后 者是前者的特殊情况，从而可以利用函数图象解决方程或方程组问题，体现出数 形结合的思想. 【中考变形】1 •高铁的开通，给衢州市民出行带来了极大的方便•五一期间，乐乐和颖颖相约到杭 州市某游乐园游玩，乐乐乘私家车从衢州出发1 h 后，颖颖乘坐高铁从衢州出发，先到杭州火车东站，然后转乘出租车去游乐园(换车时间忽略不计)，两人恰好同时 到达游乐园，他们离开衢州的距离y(km)与乘车时间t(h)的关系如图Z5 — 2所示•请 结合图象解决下列问题：图 Z5 — 2(1) 高铁的平均速度是每小时多少千米？(2) 当颖颖到达杭州火车东站时，乐乐距离游乐园还有多少千米？⑶若乐乐要提前18 min 到达游乐园，问私家车的速度必须达到多少？240解：(1)v = 2—1 = 240(km/h)， 答：高铁的平均速度为240 km/h ；⑵设乐乐离开衢州的距离y 与时间t 的函数关系为y = kt ,贝U 1.5k = 120，k = 80， 二函数表达式为y = 80t ，当 t = 2 时，y = 160，216— 160= 56(km). 答：乐乐距离游乐园还有56 km ；如图Z5- 1,由图象得5x — 2y + 4 = 0,3x + 2y + 12 = 0的解是x = — 2,⑶把 y = 216 代入 y = 80t ，得 t = 2.7,答：乐乐要提前18 min 到达游乐园，私家车的速度必须达到90 km/h.2. [2017宿迁]小强与小刚都住在安康小区，在同一所学校读书，某天早上，小强7：30从安康小区站乘坐校车去学校，途中需停靠两个站点才能到达学校站点，且每 个站点停留2 min ，校车行驶途中始终保持匀速，当天早上，小刚7: 39从安康小区站乘坐出租车沿相同路线出发，出租车匀速行驶，比小强乘坐的校车早 1 min 到学校站点，他们乘坐的车辆从安康小区站出发所行驶路程 y(km)与行驶时间x(min)之间的函数图象如图Z5 — 3所示.图 Z5 — 3(1) 求点A 的纵坐标m 的值；(2) 小刚乘坐出租车出发后经过多少分钟追到小强所乘坐的校车？并求此时他们距 学校站点的路程.解：⑴校车的速度为3詔=0.75(km/min)， 点A 的纵坐标m 的值为3+ 0.75X (8 — 6) = 4.5. 答：点A 的纵坐标m 的值为4.5;(2)校车到达学校站点所需时间为 9P.75+ 4= 16(min)， 出租车到达学校站点所需时间为16— 9— 1= 6(min)， 出租车的速度为9^6= 1.5(km/min)，两车相遇时出租车出发时间为 0.75X (9 — 4)十1.5 — 0.75) = 5(min)， 相遇地点离学校站点的路程为 9— 1.5X 5= 1.5(km).答：小刚乘坐出租车出发后经过 5 min 追到小强所乘坐的校车，此时他们距学校站 点的路程为1.5 km. 3.方成同学看到一则材料：甲开汽车，乙骑自行车从M 地出发沿一条公路匀速前往N 地.设乙行驶的时间为t(h)，甲乙两人之间的距离为y(km)，y 与t 的函数关系如 图Z5 — 4①所示.方成思考后发现了图①的部分信息：乙先出发 1 h ;甲出发0.5 h与乙相遇…请你帮助方成同学解决以下问题：(1)分别求出线段BC , CD 所在直线的函数表达式；18沪2伽，21624=90(km/h).⑵当20v y v 30时，求t 的取值范围；⑶分别求出甲，乙行驶的路程s 甲, s 乙与时间t 的函数表达式，并在图②所给的直 角坐标系中分别画出它们的图象；4(4)丙骑摩托车与乙同时出发，从 N 地沿同一公路匀速前往 M 地，若丙经过3 h 与 乙相遇，问丙出发后多少时间与甲相遇？图 Z5 — 4解：(1)设直线BC 的函数表达式为y = kt + b ，k = 40， 解得b = — 60， •••直线BC 的表达式为y =40t —60. 设直线CD 的函数表达式为y 1 = k 1t + b 1，100 7..把3，呼，(4，0)分别代入，得33 1 + 10 = 4k 1+ b 1，k 1 = — 20， 解得 二直线CD 的函数表达式为y 1 = — 20t + 80;b 1 = 80，⑵设甲的速度为a km/h ，乙的速度为b km/h ，根据题意，得0.5a = 1.5b ， 7 彳 7 100 a 3—1= 3b + 2，•••甲的速度为60 km/h ，乙的速度为20 km/h ， •••OA 的函数表达式为y = 20t(0<t < 1)，•••点A 的纵坐标为20, OA 段，AB 段没有符合条件的t 值；9 5当 20v y v 30 时，即 20v 40t — 60v 30或 20v — 20t + 80v 30,解得 2v t v 4或2<t3 7 100把3，0， 7，一亍分别代入，得30 = 2k + b ， 100 73 = 3k + b，解得a = 60,b = 20,v 3;⑶根据题意，得s甲=60t—60 1< t< 7 ,s乙=20t(0< t< 4),所画图象如答图所示；中考变形3答图⑷当t = 3时，s乙= 80,此时丙距M地的路程s丙与时间t的函数表达式为s丙二一40t+ 80(0< t< 2),当—40t + 80= 60t-60 时，解得t= 5,答：丙出发5 h与甲相遇.【中考预测】[2017义乌模拟]甲、乙两组同时加工某种零件，乙组工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍•两组各自加工零件的数量y(件)与时间x(h)的函数图象如图Z5 —5所示.图Z5 — 5(1) 直接写出甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数关系式y = 60x(0vx w 6)__;⑵求乙组加工零件总量a的值；(3) 甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每满300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱？解：(1)：图象经过原点及(6, 360)，二设表达式为y= kx,—6k= 360,解得k= 60,••• y= 60x(0 v x< 6);(2) 乙2 h加工100件，•••乙的加工速度是每小时50件，•更换设备后，乙组的工作速度是每小时加工100件，a= 100+ 100X (4.8—2.8)= 300;(3) 乙组更换设备后，乙组加工的零件的个数y与时间x的函数关系式为y= 100+。

2023年中考九年级数学高频考点拔高训练-- 切线的证明一、综合题1．如图，AB为半圆的直径，点C是弧AD的中点，过点C作BD延长线的垂线交于点E．（1）求证：CE是半圆的切线；（2）若OB=5，BC=8，求CE的长．2．如图，在⊙ O中，AB是直径，BC是弦，BC=BD，连接CD交⊙ O于点E，⊙BCD=⊙DBE.（1）求证：BD是⊙ O的切线.（2）过点E作EF⊙AB于F，交BC于G，已知DE= 2√10，EG=3，求BG的长.3．如图，⊙E的圆心E（3，0），半径为5，⊙E与y轴相交于A，B两点（点A在点B的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y= 34x+4，与x轴相交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由；（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时，求出点P的坐标及最小距离．4．如图①，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB．（1）求证：BC 为⊙O 的切线；（2）连接AE 并延长与BC 的延长线交于点G （如图②所示）．若AB= 4√5 ，CD=9，求线段BC 和EG 的长．5．设C 为线段AB 的中点，四边形BCDE 是以BC 为一边的正方形．以B 为圆心，BD 长为半径的⊙B 与AB 相交于F 点，延长EB 交⊙B 于G 点，连接DG 交于AB 于Q 点，连接AD ．求证：（1）AD 是⊙B 的切线； （2）AD=AQ ； （3）BC 2=CF•EG ．6．如图，D 是以AB 为直径的⊙O 上一点，过点D 的切线DE 交AB 的延长线于点E ，过点B 作BC⊙DE 交AD 的延长线于点C ，垂足为点F.（1）求证：AB=CB ；（2）若AB=18，sinA=13，求EF 的长.7．如图，已知⊙C 过菱形ABCD 的三个顶点B ，A ，D ，连结BD ，过点A 作AE⊙BD 交射线CB 于点E.（1）求证：AE是⊙C的切线.⌢围成的部分的面积.（2）若半径为2，求图中线段AE、线段BE和AB（3）在（2）的条件下，在⊙C上取点F，连结AF，使⊙DAF＝15°，求点F到直线AD的距离. 8．如图，以⊙ABC的边AB为直径的⊙O与边AC相交于点D，BC是⊙O的切线，E为BC的中点，连接AE、DE.（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）设⊙CDE的面积为S1，四边形ABED的面积为S2.若S2＝5S1，求tan⊙BAC的值；（3）在（2）的条件下，若AE＝3 √2，求⊙O的半径长.9．如图，已知△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于E，过点E作EG⊥AC于G，交BC的延长线于点F.（1）求证：FE是⊙O的切线；（2）若∠F=30°，求证：4FG2=FC⋅FB；（3）当BC=6，EF=4时，求AG的长.10．如图，⊙ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，将⊙ABC沿直线AB折叠得到⊙ABD，交⊙O于点D．连接CD交AB于点E，延长BD和CA相交于点P，过点A作AG⊙CD交BP于点G．（1）求证：直线GA是⊙O的切线．（2）求证：AG•AD＝GD•AB．（3）若tan⊙AGB＝√2，PG＝6，求sinP的值．11．如图，AB是⊙O的直径，点D、E在⊙O上，连接AE、ED、DA，连接BD并延长至点C，使得∠DAC=∠AED.（1）求证：AC是⊙O的切线；⌢中点，AE与BC交于点F，（2）若点E是的BD①求证：CA=CF；②若⊙O的半径为3，BF=2，求AC的长.12．在RtΔABC中，∠ACB=90°，以直角边BC为直径作⊙O，交AB于点D，E为AC 的中点，连接OD、DE.（1）求证：DE为⊙O切线.（2）若BC=4，填空：①当DE=时，四边形DOCE为正方形；②当DE=时，ΔBOD为等边三角形.⌢的长为π，点P是BC上一动13．如图，A为⊙O外一点，AO⊙BC，直径BC＝12，AO＝10，BD点，⊙DPM ＝90°，点M 在⊙O 上，且⊙DPM 在DP 的下方．（1）当sinA ＝35时，求证：AM 是⊙O 的切线；（2）求AM 的最大长度．14．如图，AB 是⊙O 的直径，弦AC 与BD 交于点E ，且AC ＝BD ，连接AD ，BC.（1）求证：⊙ADB⊙⊙BCA ；（2）若OD⊙AC ，AB ＝4，求弦AC 的长；（3）在（2）的条件下，延长AB 至点P ，使BP ＝2，连接PC.求证：PC 是⊙O 的切线.15．如图，在⊙ABC 中，⊙C ＝90°，⊙ABC 的平分线交AC 于点E ，过点E 作BE 的垂线交AB 于点F ，⊙O 是⊙BEF 的外接圆．（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）过点E 作EH⊙AB ，垂足为H ，求证：CD ＝HF ； （3）若CD ＝1，EH ＝3，求BF 及AF 长．16．如图，AB 是⊙O 的直径，点P 是⊙O 外一点，PA 切⊙O 于点A ，连接OP ，过点B 作BC // OP 交⊙O 于点C ，点E 是 AB⌢ 的中点.（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若AB=10，BC=6，求CE的长.答案解析部分1．【答案】（1）证明：如图，连接AD、OC，OC交AD于F．∵= ，∴OC⊙AD，∴AF=FD，∵OA=OB，∴OF⊙BD，即OC⊙BE，∵EC⊙EB，∴EC⊙OC，∴EC是⊙O的切线．（2）解：连接AC，作OH⊙AC于H．∵AB是直径，∴⊙ACB=90°，∴AC= = =6，∵OH⊙AC，∴AH=CH=3，OH= =4，∵S⊙AOC= •AC•OH= •CO•AF，∴AF= = ，∴DF=AF= ，∵⊙E=⊙ECF=⊙CFD=90°，∴四边形ECFD是矩形，∴EC=DF= ．2．【答案】（1）证明：如图，连接AE，则⊙BAE=⊙BCE，∵AB是直径，∴⊙AEB=90°，∴⊙BAE+⊙ABE=90°，∴⊙ABE+⊙BCE=90°，∵⊙BCE=⊙DBE，∴⊙ABE+⊙DBE=90°，即⊙ABD=90°，∴BD是⊙O的切线.（2）解：如图，延长EF交⊙O于H，∵EF⊙AB，AB是直径，∴BE⌢=BH⌢，∴⊙ECB=⊙BEH，∵⊙EBC=⊙GBE，∴⊙EBC⊙⊙GBE，∴BEBG=BCBE，∵BC=BD，∴⊙D=⊙BCE，∵⊙BCE=⊙DBE，∴⊙D=⊙DBE，∴BE=DE= 2√10，∵⊙AFE=⊙ABD=90°，∴BD⊙EF，∴⊙D=⊙CEF，∴⊙BCE=⊙CEF，∴CG=GE=3，∴BC=BG+CG=BG+3，∴2√10BG=BG+32√10，∴BG=-8（舍）或BG=5，即BG的长为5.3．【答案】（1）解：如图1，连接AE，由已知得：AE=CE=5，OE=3，在Rt⊙AOE中，由勾股定理得：OA= √AE2−OE2= √52−32=4，∵OC⊙AB，∴由垂径定理得：OB=OA=4，OC=OE+CE=3+5=8，∴A（0，4），B（0，﹣4），C（8，0），∵抛物线的顶点为C，∴设抛物线的解析式为：y=a（x﹣8）2，将点B的坐标代入得：64a=﹣4，a=﹣116，∴y=﹣116（x﹣8）2，∴抛物线的解析式为：y=﹣116x2+x﹣4；（2）解：直线l与⊙E相切；理由是：在直线l的解析式y= 34x+4中，当y=0时，即34x+4=0，x=﹣163，∴D（﹣163，0），当x=0时，y=4，∴点A在直线l上，在Rt⊙AOE和Rt⊙DOA中，∵OEOA=34，OAOD=34，∴OEOA=OAOD，∵⊙AOE=⊙DOA=90°，∴⊙AOE⊙⊙DOA，∴⊙AEO=⊙DAO，∵⊙AEO+⊙EAO=90°，∴⊙DAO+⊙EAO=90°，即⊙DAE=90°，∴直线l与⊙E相切；（3）解：如图2，过点P作直线l的垂线PQ，过点P作直线PM⊙x轴，交直线l于点M，设M（m，34m+4），P（m，﹣116m2+m﹣4），则PM= 34m+4﹣（﹣116m2+m﹣4）= 116m2﹣14m+8=116(m−2)2+ 314，当m=2时，PM取最小值是31 4，此时，P（2，﹣9 4），对于⊙PQM，∵PM⊙x轴，∴⊙QMP=⊙DAO=⊙AEO，又⊙PQM=90°，∴⊙PQM的三个内角固定不变，∴在动点P运动过程中，⊙PQM的三边的比例关系不变，∴当PM取得最小值时，PQ也取得最小值，PQ最小=PM最小•sin⊙QMP=PM最小•sin⊙AEO= 314×45= 315，∴当抛物线上的动点P（2，﹣94）时，点P到直线l的距离最小，其最小距离为315．4．【答案】（1）证明：如图1，连接OE，OC；∵CB=CE，OB=OE，OC=OC∴⊙OEC⊙⊙OBC（SSS）∴⊙OBC=⊙OEC又∵DE与⊙O相切于点E∴⊙OEC=90°∴⊙OBC=90°∴BC为⊙O的切线．（2）解：解：如图2，过点D作DF⊙BC于点F，则四边形ABFD是矩形，∵AD，DC，BG分别切⊙O于点A，E，B∴DA=DE，CE=CB，在Rt⊙DFC中，CF= √92−(4√5)2=1，设AD=DE=BF=x，则x+x+1=9，x=4，∵AD⊙BG，∴⊙DAE=⊙EGC，∵DA=DE，∴⊙DAE=⊙AED；∵⊙AED=⊙CEG，∴⊙EGC=⊙CEG，∴CG=CE=CB=5，∴BG=10，在Rt⊙ABG中，AG= √AB2+BG2=6 √5，∵AD⊙CG，∴⊙CEG⊙⊙DEA,∴ADCG=AEEG=45，∴EG= 59×6 √5= 10√53．5．【答案】（1）证明：连接BD，∵四边形BCDE是正方形，∴⊙DBA=45°，⊙DCB=90°，即DC⊙AB，∵C为AB的中点，∴CD是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴⊙DAB=⊙DBA=45°，∴⊙ADB=90°，即BD⊙AD，∵BD为半径，∴AD是⊙B的切线（2）证明：∵BD=BG，∴⊙BDG=⊙G，∵CD⊙BE，∴⊙CDG=⊙G，∴⊙G=⊙CDG=⊙BDG= 12⊙BCD=22.5°，∴⊙ADQ=90°﹣⊙BDG=67.5°，⊙AQB=⊙BQG=90°﹣⊙G=67.5°，∴⊙ADQ=⊙AQD，∴AD=AQ（3）证明：连接DF，在⊙BDF中，BD=BF，∴⊙BFD=⊙BDF，又∵⊙DBF=45°，∴⊙BFD=⊙BDF=67.5°，∵⊙GDB=22.5°，在Rt⊙DEF与Rt⊙GCD中，∵⊙GDE=⊙GDB+⊙BDE=67.5°=⊙DFE ，⊙DCF=⊙E=90°， ∴Rt⊙DCF⊙Rt⊙GED ， ∴CF ED =CD EG ， 又∵CD=DE=BC ， ∴BC 2=CF•EG ．6．【答案】（1）证明：连接OD ，如图1，∵DE 是⊙O 的切线， ∴OD⊙DE. ∵BC⊙DE ， ∴OD⊙BC. ∴⊙ODA=⊙C. ∵OA=OD ， ∴⊙ODA=⊙A. ∴⊙A=⊙C. ∴AB=BC ；（2）解：连接BD ，则⊙ADB=90°，如图2，在Rt⊙ABD 中， ∵sinA=BD AB =13，AB=18，∴BD=6.∵OB=OD ， ∴⊙ODB=⊙OBD.∵⊙OBD+⊙A=⊙FDB+⊙ODB=90°， ∴⊙A=⊙FDB. ∴sin⊙A=sin⊙FDB. 在Rt⊙BDF 中， ∵sin⊙BDF=BF BD =13，∴BF=2.由（1）知：OD⊙BF ， ∴⊙EBF⊙⊙EOD. ∴BE OE =BF OD.即：BE BE+9=29. 解得：BE=187. ∴EF=√BE 2−BF 2=8√27.7．【答案】（1）证明：如图1中，连结AC ，∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC⊙BD ， 又∵BD⊙AE ， ∴AC⊙AE ， ∴AE 是⊙O 的切线.（2）解：如图1中，∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝BC ， 又∵AC ＝BC ，∴⊙ABC 是等边三角形，∴⊙ACB＝60°，∵AC＝2，∴AE＝AC•tan60°＝2 √3，∴S阴＝S⊙AEC﹣S扇形ACB＝12×2×2 √3﹣60⋅π⋅22360＝2 √3﹣23π.（3）解：①如图2中，当点F在AD⌢上时，∵⊙DAF＝15°，∴⊙DCF＝30°，∵⊙ACD＝60°，∴⊙ACF＝⊙FCD，∴点F是弧AD的中点，∴CF⊙AD，∴点F到直线AD的距离＝CF﹣CA•cos30°＝2﹣√3.②如图3中，当点F在优弧BD⌢上时，∵⊙DAF＝15°，∴⊙DCF＝30°，过点C作CG⊙AD于D，过点F作FH⊙CG于H，可得⊙AFH＝15°，⊙HFC＝30°，∴CH＝1，∴点F到直线AD的距离＝CG﹣CH＝AC•cos30°﹣CH＝√3﹣1.综上所述，满足条件的点F到直线AD的距离为2﹣√3或√3﹣1. 8．【答案】（1）证明：连接OD，∴OD＝OB∴⊙ODB＝⊙OBD.∵AB是直径，∴⊙ADB＝90°，∴⊙CDB＝90°.∵E为BC的中点，∴DE＝BE，∴⊙EDB＝⊙EBD，∴⊙ODB+⊙EDB＝⊙OBD+⊙EBD，即⊙EDO＝⊙EBO.∵BC是以AB为直径的⊙O的切线，∴AB⊙BC，∴⊙EBO＝90°，∴⊙ODE＝90°，∴DE是⊙O的切线（2）解：∵S2＝5 S1∴S⊙ADB＝2S⊙CDB∴AD DC=21∵⊙BDC⊙⊙ADB∴⋅ADDB=DBDC∴DB2＝AD•DC∴DB AD =√22∴tan⊙BAC ＝＝ √22（3）解：∵tan⊙BAC ＝ DB AD =√22∴BC AB =√22 ，得BC ＝ √22AB ∵E 为BC 的中点∴BE ＝ √24AB∵AE ＝3 √2 ，∴在Rt⊙AEB 中，由勾股定理得 (3√2)2=(√24AB)2+AB 2 ，解得AB ＝4 故⊙O 的半径R ＝ 12AB ＝2.9．【答案】（1）证明：连接 EC ， OE ，∵BC 为 ⊙O 的直径， ∴∠BEC =90° ， ∴CE ⊥AB ， 又∵AC =BC ， ∴E 为 AB 中点， 又∵O 为 BC 中点， ∴OE⊙AC ， 又∵EG ⊥AC ， ∴OE ⊥EG ，又 OE 为 ⊙O 的半径， ∴FE 是 ⊙O 的切线. （2）证明：∵OE =OC ，∴∠OEC=∠OCE，∵EF为圆的切线，∴∠FEC+∠OEC=90°，∵∠BEC=90°∴∠B+∠BCE=90°，∴∠FEC=∠B，又∵∠F=∠F，∴△FEC∽△FBE，∴FEFB=FCFE，∴FE2=FC⋅FB，当∠F=30°时，∠FOE=60°，又OE=OC，∴△OEC为等边三角形，∴∠OEC=60°，∴∠FEC=30°=∠F，∴CE=CF，又CG⊥FE，∴FE=2FG，∴(2FG)2=FC⋅FB，即4FG2=FC⋅FB（3）解：由（2）得FE2=FC⋅FB，又BC=6，FE=4，FB=BC+FC=6+FC，∴42=FC⋅(FC+6)，因式分解得（FC+8）（FC-2）=0，解得FC=2或FC=-8舍去，∵BC=6，∴OE=OC=12BC=3，AC=BC=6，∴FO=FC+CO=2+3=5，∵CG⊙OE，∴⊙GCF=⊙EOF，⊙FGC=⊙FEO，∴△FCG∽△FOE，∴FCFO=CGOE，即25=CG3，∴CG=6 5，∴AG=AC−CG=6−65=24510．【答案】（1）证明：∵将⊙ABC沿直线AB折叠得到⊙ABD，∴BC＝BD．∴点B在CD的垂直平分线上．同理得：点A在CD的垂直平分线上．∴AB⊙CD即OA⊙CD，∵AG∥CD．∴OA⊙GA．∵OA是⊙O的半径，∴直线GA是⊙O的切线；（2）证明：∵AB为⊙O的直径，∴⊙ACB＝⊙ADB＝90°．∴⊙ABD+⊙BAD＝90°．∵⊙GAB＝90°，∴⊙GAD+⊙BAD＝90°．∴⊙ABD＝⊙GAD．∵⊙ADB＝⊙ADG＝90°，∴⊙BAD⊙⊙AGD．∴ABAG=ADGD．∴AG•AD＝GD•AB；（3）解：∵tan⊙AGB＝√2，⊙ADG＝90°，∴ADGD=√2．∴AD=√2GD．由（2）知，⊙BAD⊙⊙AGD，∴ADGD=BDAD，∴AD 2＝GD•BD ，∴BD ＝2GD ．∵AD⌢＝AD ⌢， ∴⊙GAD ＝⊙GBA ＝⊙PCD ．∵AG ∥CD ，∴⊙PAG ＝⊙PCD ．∴⊙PAG ＝⊙PBA ．∵⊙P ＝⊙P ，∴⊙PAG⊙⊙PBA ．∴PA 2＝PG•PB∵PG ＝6，BD ＝2GD ，∴PA 2＝6（6+3GD ）．∵⊙ADP ＝90°，∴PA 2＝AD 2+PD 2．∴6（6+3GD ）＝（√2GD ）2+（6+GD ）2．解得：GD ＝2或GD ＝0（舍去）．∴AD ＝2√2，AP ＝6√2，∴sinP ＝AD AP ＝2√26√2=13． 11．【答案】（1）证明：∵AB 是 ⊙O 的直径，∴⊙ADB=90°，∴⊙DBA+⊙DAB=90°，∵⊙DEA=⊙DBA ，⊙DAC=⊙DEA ，∴⊙DBA=⊙DAC ，∴⊙BAC=⊙DAC+⊙DAB=90°，∵AB 是 ⊙O 的直径，⊙BAC=90°，∴AC 是 ⊙O 的切线；（2）解：①∵点E 是 BD⌢ 的中点， ∴⊙BAE=⊙DAE ，∵⊙CFA=⊙DBA+⊙BAE ，⊙CAF=⊙DAC+⊙DAE ，⊙DBA=⊙DAC ，∴⊙CFA=⊙CAF ，∴CA=CF；②设CA=CF=x，则BC=CF+BF=x+2，∵⊙O的半径为3，∴AB=6，在Rt⊙ABC中，CA2+AB2=BC2，即：x2+62=(x+2)2，解得：x=8，∴AC=8.12．【答案】（1）证明：如图，连接CD，OE.∵BC为⊙O直径∴∠BDC=∠CDA=90°∵DE为Rt△ADC斜边AC的中线∴DE=CE∵OD=OC，OE=OE∴△COE≌△DOE(SSS)∴∠OCE=∠ODE=90°∴DE为⊙O的切线.（2）2；DE=2√313．【答案】（1）证明：如图①，过点O作OE⊙AM于点E，∵在Rt⊙AOE中，当sinA＝35，OA＝10，∴OE＝6∵直径BC＝12，∴OM＝6＝OE，∴点E与点M重合，OM⊙AM，∴AM是⊙O的切线．（2）解：如图②，当点P与点B重合时，AM取得最大值．AM的最大长度可以通过勾股定理求得．延长AO交⊙O于点F，作MG⊙AF于点G，连接OD、OM，DM，∵BD的长为π，∴π＝∠BOD⋅π⋅6180，∴⊙BOD＝30°，∵⊙DBM＝90°，∴DM是⊙O的直径，即DM过点O，∴⊙COM＝30°，∵AO⊙BC，∴⊙MOG＝60°，在Rt⊙GOM中，⊙MOG＝60°，OM＝6，∴OG＝3，GM＝3√3，在Rt⊙GAM中，AM＝√AG2+GM2＝14，∴AM的最大长度：14．14．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴⊙ACB＝⊙ADB＝90°，∵AB＝AB，∴⊙ADB⊙⊙BCA（HL）（2）解：如图，连接DC，∵OD⊙AC，⌢=DC⌢，∴AD∴AD＝DC，∵⊙ADB⊙⊙BCA，∴AD＝BC，∴AD＝DC＝BC，∴⊙AOD＝⊙ABC＝60°，∵AB＝4，∴AC=AB⋅sin60°=4×√32=2√3（3）证明：如图，连接OC，由(1)和(2)可知BC= √AB2−AC2=2∵BP＝2∴BC＝BP＝2∴⊙BCP＝⊙P，∵⊙ABC＝60°，∴⊙BCP＝30°，∵OC＝OB，⊙ABC＝60°，∴⊙OBC是等边三角形，∴⊙OCB＝60°，∴⊙OCP＝⊙OCB+⊙BCP＝60°+30°＝90°，∴OC⊙PC，∴PC是⊙O的切线.15．【答案】（1）证明：如图，连接OE．∵BE平分⊙ABC，∴⊙CBE=⊙OBE，∵OB=OE，∴⊙OBE=⊙OEB，∴⊙OEB=⊙CBE，∴OE⊙BC，∴⊙AEO=⊙C=90°，∴AC是⊙O的切线；（2）证明：如图，连结DE．∵⊙CBE=⊙OBE，EC⊙BC于C，EH⊙AB于H，∴EC=EH．∵⊙CDE+⊙BDE=180°，⊙HFE+⊙BDE=180°，∴⊙CDE=⊙HFE．在⊙CDE与⊙HFE中，{∠CDE=∠HFE∠C=∠EHF=900EC=EH，∴⊙CDE⊙⊙HFE（AAS），∴CD=HF．（3）解：由（2）得，CD=HF．又CD=1 ∴HF＝1在Rt⊙HFE中，EF= √32+12＝√10∵EF⊙BE∴⊙BEF=90°∴⊙EHF=⊙BEF=90°∵⊙EFH=⊙BFE∴⊙EHF⊙⊙BEF∴EFBF=HFEF，即√10BF=1√10∴BF=10∴OE=12BF=5, OH=5−1=4,∴在Rt⊙OHE中，cos∠EOA=4 5 ,∴在Rt⊙EOA中，cos∠EOA=OEOA=45,∴5OA=45∴OA=25 4∴AF=254−5=54.16．【答案】（1）证明：如图，连接OC ，∵PA切⊙O于A∴∠PAO=90∘∵OP⊙BC∴⊙AOP=⊙OBC，⊙COP=⊙OCB∵OC=OB∴⊙OBC=⊙OCB∴⊙AOP=⊙COP又∵OA=OC，OP=OP∴⊙PAO⊙⊙PCO∴⊙PAO=⊙PCO=90 º又∵OC是⊙O的半径∴PC是⊙O的切线（2）解：连接AE，BE，AC过点B作BM⊙CE于点M∴⊙CMB=⊙EMB=⊙AEB=90º∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵AB=10，BC=6∴AC=√AB2−BC2=8，∴cos∠CAB=ACAB=810=45又∵点E是AB⌢的中点∴⊙ECB=⊙CBM=⊙ABE=45º，∴BE=AB ×cos45 °=5√2CM=BC×cos45°=6×√22=3√2∵CB⌢=CB⌢∴∠CAB=∠CEB∴cos∠CEB=cos∠CAB=4 5∴EM= BE×cos∠CEB=5√2×45=4√2∴CE=CM+EM= 3√2+4√2=7√2∴CE的长为7√2.。