河南省近五年中考数学试题分析及2020年命题预测试卷扫描版含解析

2020年河南省普通高中招生考试试卷数学（满分120分，考试时间100分钟）一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．1．2的相反数是（）A．﹣2 B．﹣C．D．22．如图摆放的几何体中，主视图与左视图有可能不同的是（）A．B．C．D．3．要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（）A．中央电视台《开学第一课》的收视率B．某城市居民6月份人均网上购物的次数C．即将发射的气象卫星的零部件质量D．某品牌新能源汽车的最大续航里程4．如图，l1∥l2，l3∥l4，若∠1＝70°，则∠2的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°5．电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中1GB＝210MB，1MB＝210KB，1KB＝210B．某视频文件的大小约为1GB，1GB等于（）A．230B B．830B C．8×1010B D．2×1030B6．若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y3＞y1C．y1＞y3＞y2D．y3＞y2＞y17．定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7．则方程1☆x＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根8．国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．500（1+2x）＝7500 B．5000×2（1+x）＝7500C．5000（1+x）2＝7500 D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝75009．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（﹣2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为（）A．（，2）B．（2，2）C．（，2）D．（4，2）10．如图，在△ABC中，AB＝BC＝，∠BAC＝30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则四边形ABCD的面积为（）A．6B．9 C．6 D．3二、填空题（每小题3分，共15分）11．请写出一个大于1且小于2的无理数．12．已知关于x的不等式组其中a，b在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为．13．如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色．固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，忽略不计）的颜色，则两次颜色相同的概率是．14．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为．15．如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝+1．17．（9分）为发展乡村经济，某村根据本地特色，创办了山药粉加工厂．该厂需购置一台分装机，计划从商家推荐试用的甲、乙两台不同品牌的分装机中选择．试用时，设定分装的标准质量为每袋500g，与之相差大于10g为不合格．为检验分装效果，工厂对这两台机器分装的成品进行了抽样和分析，过程如下：[收集数据]从甲、乙两台机器分装的成品中各随机抽取20袋，测得实际质量（单位：g）如下：甲：501 497 498 502 513 489 506 490 505 486502 503 498 497 491 500 505 502 504 505 乙：505 499 502 491 487 506 493 505 499 498502 503 501 490 501 502 511 499 499 501 [整理数据]整理以上数据，得到每袋质量x（g）的频数分布表．质量485≤x＜490 490≤x＜495 495≤x＜500 500≤x＜505 505≤x＜510 510≤x＜515 频数机器甲 2 2 4 7 4 1乙 1 3 5 7 3 1 [分析数据]根据以上数据，得到以下统计量．统计量平均数中位数方差不合格率机器甲499.7 501.5 42.01 b乙499.7 a 31.81 10% 根据以上信息，回答下列问题：（1）表格中的a＝，b＝；（2）综合上表中的统计量，判断工厂应选购哪一台分装机，并说明理由．18．（9分）位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为45°．测角仪的高度为1.6m．（1）求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）；（2）“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．19．（9分）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x．其函数图象如图所示．（1）求k1和b的值，并说明它们的实际意义；（2）求打折前的每次健身费用和k2的值；（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．20．（9分）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具﹣﹣三分角器．图1是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB 的长度与半圆的半径相等；DB与AC垂直于点B，DB足够长．使用方法如图2所示，若要把∠MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过∠MEN的顶点E，点A落在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，切点为F，则EB，EO就把∠MEN 三等分了．为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B，．求证：．21．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OA＝OB，点G为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及点G的坐标；（2）点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，求点Q的纵坐标y Q的取值范围．22．（10分）小亮在学习中遇到这样一个问题：如图，点D是上一动点，线段BC＝8cm，点A是线段BC的中点，过点C作CF∥BD，交DA的延长线于点F．当△DCF为等腰三角形时，求线段BD的长度．小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题．请将下面的探究过程补充完整：（1）根据点D在上的不同位置，画出相应的图形，测量线段BD，CD，FD的长度，得到下表的几组对应值．BD/cm 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 CD/cm 8.0 7.7 7.2 6.6 5.9 a 3.9 2.4 0FD/cm 8.0 7.4 6.9 6.5 6.1 6.0 6.2 6.7 8.0 操作中发现：①“当点D为的中点时，BD＝5.0cm”．则上表中a的值是；②“线段CF的长度无需测量即可得到”．请简要说明理由．（2）将线段BD的长度作为自变量x，CD和FD的长度都是x的函数，分别记为y CD和y FD，并在平面直角坐标系xOy中画出了函数y FD的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数y CD的图象；（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△DCF为等腰三角形时，线段BD长度的近似值（结果保留一位小数）．23．（11分）将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为α，连接BB′，过点D作DE垂直于直线BB′，垂足为点E，连接DB′，CE．（1）如图1，当α＝60°时，△DEB′的形状为，连接BD，可求出的值为；（2）当0°＜α＜360°且α≠90°时，①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；②当以点B′，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值．答案与解析一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．1．2的相反数是（）A．﹣2 B．﹣C．D．2【知识考点】相反数．【思路分析】利用相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案．【解题过程】解：2的相反数是﹣2．故选：A．【总结归纳】此题主要考查了相反数的概念，正确把握定义是解题关键．2．如图摆放的几何体中，主视图与左视图有可能不同的是（）A．B．C．D．【知识考点】简单几何体的三视图．【思路分析】分别确定每个几何体的主视图和左视图即可作出判断．【解题过程】解：A、主视图和左视图是长方形，一定相同，故本选项不合题意；B、主视图和左视图都是等腰三角形，一定相同，故选项不符合题意；C、主视图和左视图都是圆，一定相同，故选项不符合题意；D、主视图是长方形，左视图是可能是正方形，也可能是长方形，故本选项符合题意；故选：D．【总结归纳】本题考查了简单几何体的三视图，确定三视图是关键．3．要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（）A．中央电视台《开学第一课》的收视率B．某城市居民6月份人均网上购物的次数C．即将发射的气象卫星的零部件质量D．某品牌新能源汽车的最大续航里程【知识考点】全面调查与抽样调查．【思路分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．【解题过程】解：A、调查中央电视台《开学第一课》的收视率，适合抽查，故本选项不合题意；B、调查某城市居民6月份人均网上购物的次数，适合抽查，故本选项不合题意；C、调查即将发射的气象卫星的零部件质量，适合采用全面调查（普查），故本选项符合题意；D、调查某品牌新能源汽车的最大续航里程，适合抽查，故本选项不合题意．故选：C．【总结归纳】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．4．如图，l1∥l2，l3∥l4，若∠1＝70°，则∠2的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°【知识考点】平行线的性质．【思路分析】根据平行线的性质即可得到结论．【解题过程】解：∵l1∥l2，∠1＝70°，∴∠3＝∠1＝70°，∵l3∥l4，∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣70°＝110°，故选：B．【总结归纳】此题考查了平行线的性质，解题的关键是：熟记两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补．5．电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中1GB＝210MB，1MB＝210KB，1KB＝210B．某视频文件的大小约为1GB，1GB等于（）A．230B B．830B C．8×1010B D．2×1030B【知识考点】同底数幂的乘法．【思路分析】列出算式，进行计算即可．【解题过程】解：由题意得：210×210×210B＝210+10+10＝230B，故选：A．【总结归纳】本题考查同底数幂的乘法，底数不变，指数相加是计算法则．6．若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y3＞y1C．y1＞y3＞y2D．y3＞y2＞y1【知识考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【思路分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．【解题过程】解：∵点A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，∴y1＝﹣＝6，y2＝﹣＝﹣3，y3＝﹣＝﹣2，又∵﹣3＜﹣2＜6，∴y1＞y3＞y2．故选：C．【总结归纳】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值是解题的关键．7．定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7．则方程1☆x＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根【知识考点】实数的运算；根的判别式．【思路分析】根据新定义运算法则以及即可求出答案．【解题过程】解：由题意可知：1☆x＝x2﹣x﹣1＝0，∴△＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，故选：A．【总结归纳】本题考查根的判别式，解题的关键是正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型．8．国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．500（1+2x）＝7500 B．5000×2（1+x）＝7500C．5000（1+x）2＝7500 D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500【知识考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【思路分析】根据题意可得等量关系：2017年的快递业务量×（1+增长率）2＝2019年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．【解题过程】解：设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，由题意得：5000（1+x）2＝7500，故选：C．【总结归纳】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（﹣2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为（）A．（，2）B．（2，2）C．（，2）D．（4，2）【知识考点】正方形的性质；坐标与图形变化﹣平移．【思路分析】根据已知条件得到AC＝6，OC＝2，OB＝7，求得BC＝9，根据正方形的性质得到DE＝OC＝OE＝2，求得O′E′＝O′C′＝2，根据相似三角形的性质得到BO′＝3，于是得到结论．【解题过程】解：如图，设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形，∵顶点A，B的坐标分别为（﹣2，6）和（7，0），∴AC＝6，OC＝2，OB＝7，∴BC＝9，∵四边形OCDE是正方形，∴DE＝OC＝OE＝2，∴O′E′＝O′C′＝2，∵E′O′⊥BC，∴∠BO′E′＝∠BCA＝90°，∴E′O′∥AC，∴△BO′E′∽△BCA，∴＝，∴＝，∴BO′＝3，∴OC′＝7﹣2﹣3＝2，∴当点E落在AB边上时，点D的坐标为（2，2），故选：B．【总结归纳】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．10．如图，在△ABC中，AB＝BC＝，∠BAC＝30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则四边形ABCD的面积为（）A．6B．9 C．6 D．3【知识考点】等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．【思路分析】连接BD交AC于O，根据已知条件得到BD垂直平分AC，求得BD⊥AC，AO＝CO，根据等腰三角形的性质得到∠ACB＝∠BAC＝30°，根据等边三角形的性质得到∠DAC＝∠DCA＝60°，求得AD＝CD＝AB＝3，于是得到结论．【解题过程】解：连接BD交AC于O，∵AD＝CD，AB＝BC，∴BD垂直平分AC，∴BD⊥AC，AO＝CO，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝30°，∵AC＝AD＝CD，∴△ACD是等边三角形，∴∠DAC＝∠DCA＝60°，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADB＝∠CDB＝30°，∵AB＝BC＝，∴AD＝CD＝AB＝3，∴四边形ABCD的面积＝2×＝3，故选：D．【总结归纳】本题考查了含30°角的直角三角形，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共15分）11．请写出一个大于1且小于2的无理数．【知识考点】估算无理数的大小．【思路分析】由于所求无理数大于1且小于2，则该数的平方大于1小于4，所以可选其中的任意一个数开平方即可．【解题过程】解：大于1且小于2的无理数是，答案不唯一．故答案为：．【总结归纳】此题主要考查了无理数的估算，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．12．已知关于x的不等式组其中a，b在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为．【知识考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．【思路分析】根据关于x的不等式组的解集表示在数轴上表示方法求出x的取值范围即可．【解题过程】解：∵b＜0＜a，∴关于x的不等式组的解集为：x＞a，故答案为：x＞a．【总结归纳】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，先根据题意得出不等式组的解集是解答此题的关键．13．如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色．固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，忽略不计）的颜色，则两次颜色相同的概率是．【知识考点】列表法与树状图法．【思路分析】用树状图或列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率．【解题过程】解：自由转动转盘两次，指针所指区域所有可能出现的情况如下：共有16种可能出现的结果，其中两次颜色相同的有4种，∴P（两次颜色相同）＝＝，故答案为：．【总结归纳】考查树状图或列表法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果是解决问题的关键．14．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为．【知识考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；射影定理．【思路分析】方法一：连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据正方形的性质得到∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，根据相似三角形的性质得到PD＝CF＝，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．方法二：设DF，CE交于O，根据正方形的性质得到∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，根据线段中点的定义得到BE＝CF，根据全等三角形的性质得到CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，求得DF⊥CE，根据勾股定理得到CE＝DF＝＝，点G，H分别是EC，FD的中点，根据射影定理即可得到结论．【解题过程】解：方法一：连接CH并延长交AD于P，连接PE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，∵E，F分别是边AB，BC的中点，∴AE＝CF＝×2＝，∵AD∥BC，∴△PDH∽△CFH，∴，∵H是FD的中点，∴DH＝FH，∴PD＝CF＝，∴AP＝AD﹣PD＝，∴PE＝＝＝2，∵点G，H分别是EC，FD的中点，∴GH＝EP＝1；方法二：设DF，CE交于O，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，∵点E，F分别是边AB，BC的中点，∴BE＝CF，∴△CBE≌△DCF（SAS），∴CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，∵∠CDF+∠CFD＝90°，∴∠BCE+∠CFD＝90°，∴DF⊥CE，∴CE＝DF＝＝，∵点G，H分别是EC，FD的中点，∴CG＝FH＝，∵∠DCF＝90°，CO⊥DF，∴CF2＝OF•DF，∴OF＝＝＝，∴OH＝，OD＝，∵OC2＝OF•OD，∴OC＝＝，∴OG＝CG﹣OC＝﹣＝，∴HG＝＝＝1，故答案为：1．【总结归纳】本题考查了射影定理，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．15．如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为．【知识考点】弧长的计算；轴对称﹣最短路线问题．【思路分析】利用轴对称的性质，得出当点E移动到点E′时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧CD的长与CD′的长度和，分别进行计算即可．【解题过程】解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D＝CD′，由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，∴CD′＝＝＝2，的长l＝＝，∴阴影部分周长的最小值为2+＝．故答案为：．【总结归纳】本题考查与圆有关的计算，掌握轴对称的性质，弧长的计算方法是正确计算的前提，理解轴对称解决路程最短问题是关键．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝+1．【知识考点】分式的化简求值．【思路分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．【解题过程】解：＝＝a﹣1，把a＝+1代入a﹣1＝+1﹣1＝．【总结归纳】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．17．（9分）为发展乡村经济，某村根据本地特色，创办了山药粉加工厂．该厂需购置一台分装机，计划从商家推荐试用的甲、乙两台不同品牌的分装机中选择．试用时，设定分装的标准质量为每袋500g，与之相差大于10g为不合格．为检验分装效果，工厂对这两台机器分装的成品进行了抽样和分析，过程如下：[收集数据]从甲、乙两台机器分装的成品中各随机抽取20袋，测得实际质量（单位：g）如下：甲：501 497 498 502 513 489 506 490 505 486502 503 498 497 491 500 505 502 504 505乙：505 499 502 491 487 506 493 505 499 498502 503 501 490 501 502 511 499 499 501 [整理数据]整理以上数据，得到每袋质量x（g）的频数分布表．质量频数485≤x＜490 490≤x＜495 495≤x＜500 500≤x＜505 505≤x＜510 510≤x＜515 机器甲 2 2 4 7 4 1乙 1 3 5 7 3 1 [分析数据]根据以上数据，得到以下统计量．统计量平均数中位数方差不合格率机器甲499.7 501.5 42.01 b乙499.7 a 31.81 10% 根据以上信息，回答下列问题：（1）表格中的a＝，b＝；（2）综合上表中的统计量，判断工厂应选购哪一台分装机，并说明理由．【知识考点】频数（率）分布表；中位数；方差．【思路分析】（1）根据中位数的计算方法，求出乙机器分装实际质量的中位数；乙机器的不合格的有1个，调查总数为20，可求出不合格率，从而确定a、b的值；（2）根据合格率进行判断．【解题过程】解：（1）将乙的成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是501，因此中位数是501，b＝3÷20＝15%，故答案为：501，15%；（2）选择乙机器，理由：乙的不合格率较小，【总结归纳】本题考查中位数、众数、平均数的意义和计算方法，理解中位数、众数、平均数的意义是正确解答的关键．18．（9分）位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为45°．测角仪的高度为1.6m．（1）求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）；（2）“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．【知识考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【思路分析】（1）过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E，则四边形BMNC，四边形BMDE 是矩形，于是得到BC＝MN＝16m，DE＝CN＝BM＝1.6m，求得CE＝AE，设AE＝CE＝x，得到BE＝16+x，解直角三角形即可得到结论；（2）建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法．【解题过程】解：（1）过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E，则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，∴BC＝MN＝16m，DE＝CN＝BM＝1.6m，∵∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴CE＝AE，设AE＝CE＝x，∴BE＝16+x，∵∠ABE＝22°，∴tan22°＝＝＝0.40，∴x≈10.7（m），∴AD＝10.7+1.6＝12.3（m），答：观星台最高点A距离地面的高度约为12.3m；（2）∵“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m，∴本次测量结果的误差为12.6﹣12.3＝0.3m，减小误差的合理化建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法．【总结归纳】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．19．（9分）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x．其函数图象如图所示．（1）求k1和b的值，并说明它们的实际意义；（2）求打折前的每次健身费用和k2的值；（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．【知识考点】一次函数的应用．【思路分析】（1）把点（0，30），（10，180）代入y1＝k1x+b，得到关于k1和b的二元一次方程组，求解即可；（2）根据方案一每次健身费用按六折优惠，可得打折前的每次健身费用，再根据方案二每次健身费用按八折优惠，求出k2的值；（3）将x＝8分别代入y1、y2关于x的函数解析式，比较即可．【解题过程】解：（1）∵y1＝k1x+b过点（0，30），（10，180），∴，解得，k1＝15表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元，b＝30表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为30元；（2）由题意可得，打折前的每次健身费用为15÷0.6＝25（元），则k2＝25×0.8＝20；（3）选择方案一所需费用更少．理由如下：由题意可知，y1＝15x+30，y2＝20x．当健身8次时，选择方案一所需费用：y1＝15×8+30＝150（元），选择方案二所需费用：y2＝20×8＝160（元），∵150＜160，∴选择方案一所需费用更少．【总结归纳】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解两种优惠活动方案，求出y1、y2关于x的函数解析式．20．（9分）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具﹣﹣三分角器．图1是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB 的长度与半圆的半径相等；DB与AC垂直于点B，DB足够长．使用方法如图2所示，若要把∠MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过∠MEN的顶点E，点A落在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，切点为F，则EB，EO就把∠MEN 三等分了．为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B，．求证：．【知识考点】数学常识；垂径定理；圆周角定理；切线的性质．【思路分析】根据垂直的定义得到∠ABE＝∠OBE＝90°，根据全等三角形的性质得到∠1＝∠2，根据切线的性质得到∠2＝∠3，于是得到结论．【解题过程】解：已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B，AB＝OB，EN切半圆O于F．求证：EB，EO就把∠MEN三等分，证明：∵EB⊥AC，∴∠ABE＝∠OBE＝90°，∵AB＝OB，BE＝BE，∴△ABE≌△OBE（SAS），∴∠1＝∠2，∵BE⊥OB，∴BE是⊙O的切线，∵EN切半圆O于F，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2＝∠3，∴EB，EO就把∠MEN三等分．故答案为：AB＝OB，EN切半圆O于F；EB，EO就把∠MEN三等分．【总结归纳】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．21．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OA＝OB，点G为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及点G的坐标；（2）点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度。

2020年河南省普通高中招生考试试卷数学（含答案解析）2020.07.23编辑整理考生须知：1．本试卷满分120分，考试时间为120分钟．2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内．3．请按照题号顺序在答题卡各题目的区域内作答，超出答题区域的答案无效；在草稿纸上、试题纸上答案无效．4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．一、选择题(每小题3分，共30分)下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．1. 2的相反数是（）A.12- B.12C. 2D. 2-2.如下摆放的几何体中，主视图与左视图有可能不同的是（）A. B.C. D.3.要调查下列问题，适合采用全面调查(普查)的是（）A. 中央电视台《开学第--课》的收视率B. 某城市居民6月份人均网上购物的次数C. 即将发射的气象卫星的零部件质量D. 某品牌新能源汽车的最大续航里程4.如图，1234//,//l l l l ，若170∠=︒，则2∠的度数为（ ）A. 100︒B. 110︒C. 120︒D. 130︒5.电子文件的大小常用, ,,B KB MB GB 等作为单位，其中10101012,12,12GB MB MB KB KB B ===，某视频文件的大小约为1,1GB GB 等于( )A. 302BB. 308BC. 10810B ⨯D. 30210B ⨯ 6.若点()()()1131,,2,,3,A y B y C y -在反比例函数6y x =-的图像上，则123,,y y y 的大小关系为（ ） A. 123y y y >> B. 231y y y >> C. 132y y y >>D. 321y y y >> 7.定义运算：21m n mn mn =--☆．例如2:42424217=⨯-⨯-=☆．则方程10x =☆的根的情况为（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D. 只有一个实数根8.国家统计局统计数据 显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x ．则可列方程为( )A. ()5000127500x +=B. ()5000217500x ⨯+=C. ()2500017500x +=D. ()()2 500050001500017500x x ++++=9.如图，在ABC ∆中， 90ACB ∠=︒．边BC 在x 轴上，顶点,A B 的坐标分别为()2,6-和()7,0．将正方形OCDE 沿x 轴向右平移当点E 落在AB 边上时，点D 的坐标为（ ）A. 3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()2,2C. 11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭D. ()4,210.如图，在ABC ∆中， 3 ,30AB BC BAC ==∠=︒ ，分别以点,A C 为圆心，AC 的长为半径作弧，两弧交于点D ，连接,,DA DC 则四边形ABCD 的面积为（ ）A. 63B. 9C. 6D. 33二、填空题：（每题3分，共15分）11.请写出一个大于1且小于2的无理数： ．12.已知关于x 的不等式组x a x b>⎧⎨>⎩，其中,a b 在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为__________．13.如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色．固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域(指针指向区域分界线时，忽略不计)的颜色，则两次颜色相同的概率是__________．14.如图，在边长为22的正方形ABCD 中，点,E F 分别是边,AB BC 的中点，连接,,EC FD 点,G H 分别是,EC FD 的中点，连接GH ，则GH 的长度为__________．15.如图，在扇形BOC 中，60,BOC OD ∠=︒平分BOC ∠交狐BC 于点D ．点E 为半径OB 上一动点若2OB =，则阴影部分周长的最小值为__________．三、解答题(本大题共8个小题，满分75分)16.先化简，再求值：21111a a a ⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭，其中51a = 17.为发展乡村经济，某村根据本地特色，创办了山药粉加工厂．该厂需购置一台分装机，计划从商家推荐试用的甲、乙两台不同品牌的分装机中选择．试用时，设定分装的标准质量为每袋500g ，与之相差大于10g 为不合格．为检验分装效果，工厂对这两台机器分装的成品进行了抽样和分析，过程如下：[收集数据]从甲、乙两台机器分装的成品中各随机抽取20袋，测得实际质量(单位：g )如下：甲： 501 497 498 502 513 489 506 490 505 486502 503 498 497 491 500 505 502 504 505乙：505 499 502 491 487 506 493 505 499 498 502 503 501 490 501 502 512 499 499 501[整理数据]整理以上数据，得到每袋质量()x g的频数分布表．[分析数据]根据以上数据，得到以下统计量．根据以上信息，回答下列问题：()1表格中的a=b=()2综合上表中的统计量，判断工厂应选购哪一台分装机，并说明理由．18.位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22︒，然后沿MP方向前进16m到达点N 处，测得点A的仰角为45︒．测角仪的高度为1.6m，()1求观星台最高点A距离地面的高度(结果精确到0.1m．参考数据：220.37,220. 93 ,222 1.41sin cos tan︒≈︒≈︒≈≈)；()2“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．19.暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠；设某学生暑期健身x (次)，按照方案一所需费用为1y ，(元)，且11y k x b =+；按照方案二所需费用为2y (元) ，且22.y k x =其函数图象如图所示．()1求1k 和b 的值，并说明它们的实际意义；()2求打折前的每次健身费用和2k 的值；()3八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少?说明理由．20.我们学习过利用用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的人们根据实际需爱，发明了一种简易操作工具--------三分角器．图1是它的示意图，其中AB 与半圆O 的直径BC 在同一直线 上，且AB 的长度与半圆的半径相等；DB 与AC 重直F 点 ,B DB 足够长．使用方法如图2所示，若要把MEN ∠三等分，只需适当放置三分角器，使DB 经过MEN ∠的顶点E ，点A 落在边EM 上，半圆O 与另一边EN 恰好相切，切点为F ，则,EB EO 就把MEN ∠三等分了．为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．已知：如图2，点在,,,A B O C 同一直线上，,EB AC ⊥垂足为点B ， 求证：21.如图，抛物线22y xx c =-++与x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于点,A B ，且,OA OB =点G 为抛物线的顶点． ()1求抛物线的解析式及点G 的坐标；()2点,M N 为抛物线上两点(点M 在点N 的左侧) ，且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q 为抛物线上点,M N 之间(含点,M N )的一个动点，求点Q 的纵坐标Q y 的取值范围．22.小亮在学习中遇到这样一个问题：如图，点D 是弧BC 上一动点，线段8,BC cm =点A 是线段BC 的中点，过点C 作//CF BD ，交DA 的延长线于点F ．当DCF ∆为等腰三角形时，求线段BD 的长度．小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：()1根据点D 在弧BC 上的不同位置，画出相应的图形，测量线段,,BD CD FD 的长度，得到下表的几组对应值．操作中发现：①"当点D 为弧BC 的中点时， 5.0BD cm ="．则上中a 的值是②"线段CF 的长度无需测量即可得到"．请简要说明理由；()2将线段BD 的长度作为自变量x CD ,和FD 的长度都是x 的函数，分别记为CD y 和FD y ，并在平面直角坐标系xOy 中画出了函数FD y 的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数CD y 的图象； ()3继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当DCF ∆为等腰三角形时，线段BD 长度的近似值．(结果保留一位小数)．23.将正方形ABCD 的边AB 绕点A 逆时针旋转至AB ' ，记旋转角为α．连接BB '，过点D 作DE 垂直于直线BB '，垂足为点E ，连接,DB CE '，()1如图1，当60α=︒时，DEB '∆的形状为 ，连接BD ，可求出BB CE'的值为 ；()2当0360α︒<<︒且90α≠︒时，①()1中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由； ②当以点,,,B E C D '为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出'BE B E的值．答案解析一、选择题(每小题3分，共30分)下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．1. 2的相反数是（）A.12- B.12C. 2D. 2-【答案】D【解析】根据相反数的概念解答即可．【详解】2的相反数是-2，故选D．2.如下摆放的几何体中，主视图与左视图有可能不同的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分别确定每个几何体的主视图和左视图即可作出判断．【详解】A．圆柱的主视图和左视图都是长方形，故此选项不符合题意；B．圆锥的主视图和左视图都是三角形，故此选项不符合题意；C．球的主视图和左视图都是圆，故此选项不符合题意；D．长方体的主视图是长方形，左视图可能是正方形，故此选项符合题意，故选：D．【点评】本题考查了简单几何体的三视图，熟练掌握确定三视图的方法是解答的关键．3.要调查下列问题，适合采用全面调查(普查)的是（）A. 中央电视台《开学第--课》的收视率B. 某城市居民6月份人均网上购物的次数C. 即将发射的气象卫星的零部件质量D. 某品牌新能源汽车的最大续航里程【答案】C【解析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答即可．【详解】A 、中央电视台《开学第--课》 的收视率适合采用抽样调查方式，故不符合题意；B 、某城市居民6月份人均网上购物的次数适合采用抽样调查方式，故不符合题意；C 、即将发射的气象卫星的零部件质量适合采用全面调查方式，故符合题意；D 、某品牌新能源汽车的最大续航里程适合采用抽样调查方式，故不符合题意，故选：C ．【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．4.如图，1234//,//l l l l ，若170∠=︒，则2∠的度数为（ ）A. 100︒B. 110︒C. 120︒D. 130︒【答案】B【解析】利用平行线的性质即可求解．【详解】如图，∵34//l l ，∴∠1+∠3=180º，∵∠1=70º，∴∴∠3=180º-70º=110º，∵12l l //，∴∠2=∠3=110º，故选：B ．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．5.电子文件的大小常用, ,,B KB MB GB 等作为单位，其中10101012,12,12GB MB MB KB KB B ===，某视频文件的大小约为1,1GB GB 等于( )A. 302BB. 308BC. 10810B ⨯D. 30210B ⨯ 【答案】A【解析】根据题意及幂的运算法则即可求解．【详解】依题意得1010101010101222222GB MB KB B ==⨯=⨯⨯=302B故选A ．【点评】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知同底数幂的运算法则．6.若点()()()1131,,2,,3,A y B y C y -在反比例函数6y x =-的图像上，则123,,y y y 的大小关系为（ ） A. 123y y y >>B. 231y y y >>C. 132y y y >>D. 321y y y >> 【答案】C【解析】根据点()()()1131,,2,,3,A y B y C y -在反比例函数6y x =-的图象上，可以求得123,,y y y 的值，从而可以比较出123,,y y y 的大小关系．【详解】解：∵点()()()1131,,2,,3,A y B y C y -在反比例函数6y x =-的图象上， ∴1661y =-=-，2632y =-=-，3623y =-=-， ∵326--＜＜，∴132y y y >>，故选：C ．【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．7.定义运算：21m n mn mn =--☆．例如2:42424217=⨯-⨯-=☆．则方程10x =☆的根的情况为（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D. 只有一个实数根【答案】A【解析】先根据新定义得出方程，再根据一元二次方程的根的判别式可得答案．【详解】解：根据定义得：2110,x x x =--=☆ 1,1,1,a b c ==-=-()()22414115b ac ∴∆=-=--⨯⨯-=＞0,∴ 原方程有两个不相等的实数根，故选.A【点评】本题考查了新定义，考查学生的学习与理解能力，同时考查了一元二次方程的根的判别式，掌握以上知识是解题的关键．8.国家统计局统计数据 显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x ．则可列方程为( )A. ()5000127500x +=B. ()5000217500x ⨯+=C. ()2500017500x +=D. ()()2 500050001500017500x x ++++=【答案】D【解析】设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x ，根据增长率的定义即可列出一元二次方程．【详解】设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x ，∵2017年至2019年我国快递业务收入由500亿元增加到7500亿元∴可列方程：()()2 500050001500017500x x ++++=，故选D ．【点评】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系得到方程．9.如图，在ABC ∆中， 90ACB ∠=︒．边BC 在x 轴上，顶点,A B 的坐标分别为()2,6-和()7,0．将正方形OCDE 沿x 轴向右平移当点E 落在AB 边上时，点D 的坐标为（ ）A. 3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()2,2C. 11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭D. ()4,2【答案】B【解析】先画出E 落在AB 上的示意图，如图，根据锐角三角函数求解O B '的长度，结合正方形的性质，从而可得答案．【详解】解：由题意知：()2,0,C -四边形COED 为正方形，,CO CD OE ∴== 90,DCO ∠=︒()()2,2,0,2,D E ∴-如图，当E 落在AB 上时，()()2,6,7,0,A B -6,9,AC BC ∴== 由tan ,AC EO ABC BC O B'∠==' 62,9O B∴=' 3,O B '∴=734,2,OO OC ''∴=-==()2,2.D ∴故选.B【点评】本题考查的是平移的性质的应用，同时考查了正方形的性质，图形与坐标，锐角三角函数，掌握以上知识是解题的关键．10.如图，在ABC ∆中， 3 ,30AB BC BAC ==∠=︒ ，分别以点,A C 为圆心，AC 的长为半径作弧，两弧交于点D ，连接,,DA DC 则四边形ABCD 的面积为（ ）A. 63B. 9C. 6D. 33【答案】D 【解析】连接BD 交AC 于O ，由已知得△ACD 为等边三角形且BD 是AC 的垂直平分线，然后解直角三角形解得AC 、BO 、BD 的值，进而代入三角形面积公式即可求解．【详解】连接BD 交AC 于O ，由作图过程知，AD=AC=CD ，∴△ACD 为等边三角形，∴∠DAC=60º，∵AB=BC,AD=CD ，∴BD 垂直平分AC 即：BD ⊥AC ，AO=OC ，在Rt △AOB 中，3,30AB BAC =∠=︒∴BO=AB ·sin30º=32，AO=AB ·cos30º=32，AC=2AO=3， 在Rt △AOD 中，AD=AC=3,∠DAC=60º，∴DO=AD ·sin60º=332， ∴ABC ADC ABCD S S S ∆∆=+四边形=1313333332222⨯⨯+⨯⨯=， 故选：D ．【点评】本题考查了作图-基本作图、等边三角形的判定与性质、垂直平分线、解直角三角形、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知道解决问题，属于中考常考题型．二、填空题：（每题3分，共15分）11.请写出一个大于1且小于2的无理数： ．【答案】2（答案不唯一）．【解析】由于所求无理数大于1且小于2，两数平方得大于2小于4，所以可选其中的任意一个数开平方即可．【详解】大于1且小于2的无理数可以是2,?3,?2π-等，故答案为：2（答案不唯一）．考点：1.开放型；2.估算无理数的大小．12.已知关于x 的不等式组x a x b>⎧⎨>⎩，其中,a b 在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为__________．【答案】x ＞a ．【解析】先根据数轴确定a，b的大小，再根据确定不等式组的解集原则：大大取大，小小取小，大小小大中间找，小小大大找不了（无解）确定解集即可．【详解】∵由数轴可知，a＞b，∴关于x的不等式组x ax b>⎧⎨>⎩的解集为x＞a，故答案为：x＞a．【点评】本题考查的是由数轴确定不等式组的解集，根据“大大取大，小小取小，大小小大中间找，小小大大找不了（无解）”得出不等式组的解集是解答此题的关键．13.如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色．固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域(指针指向区域分界线时，忽略不计)的颜色，则两次颜色相同的概率是__________．【答案】1 4【解析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次颜色相同的情况数，再利用概率公式求解即可求得答案．【详解】画树状图得：∵共有16种等可能的结果，两次颜色相同的有4种情况，∴两个数字都是正数的概率是41 164=,故答案为：14．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件，解题时注意：概率＝所求情况数与总情况数之比．14.如图，在边长为22的正方形ABCD 中，点,E F 分别是边,AB BC 的中点，连接,,EC FD 点,G H 分别是,EC FD 的中点，连接GH ，则GH 的长度为__________．【答案】1【解析】过E 作EP DC ⊥，过G 作GQ DC ⊥，过H 作HR BC ⊥，HR 与GQ 相交于I ，分别求出HI 和GI 的长，利用勾股定理即可求解．【详解】过E 作EP DC ⊥，过G 作GQ DC ⊥，过H 作HR BC ⊥，垂足分别为P ，R ，R ，HR 与GQ 相交于I ，如图，∵四边形ABCD 是正方形， ∴22AB AD DC BC ====90A ADC ∴∠=∠=︒，∴四边形AEPD 是矩形，∴22EP AD ==∵点E ，F 分别是AB ，BC 边的中点，∴12PC DC ==12FC BC == EP DC ⊥，GQ DC ⊥，GQ EP ∴//∵点G 是EC 的中点，GQ ∴是EPC ∆的中位线，12GQ EP ∴==，同理可求：HR =，由作图可知四边形HIQP 是矩形，又HP=12FC ，HI=12HR=12PC ， 而FC=PC ，∴ HI HP =，∴四边形HIQP 是正方形，∴2IQ HP ==，∴22GI GQ IQ HI =-=== HIG ∴∆是等腰直角三角形，1GH ∴==故答案为：1．【点评】此题主要考查了正方形的判定与性质，三角形的中位线与勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答此题的关键．15.如图，在扇形BOC 中，60,BOC OD ∠=︒平分BOC ∠交狐BC 于点D ．点E 为半径OB 上一动点若2OB =，则阴影部分周长的最小值为__________．【答案】22.3π【解析】如图，先作扇形OCB 关于OB 对称的扇形,OAB 连接AD 交OB 于E ，再分别求解,AD CD 的长即可得到答案．【详解】解：C 阴影＝,CE DE CD ++∴ C 阴影最短，则CE DE +最短，如图，作扇形OCB 关于OB 对称的扇形,OAB 连接AD 交OB 于E ，则,CE AE =,CE DE AE DE AD ∴+=+=此时E 点满足CE DE +最短，60,COB AOB OD ∠=∠=︒平分,CB30,90,DOB DOA ∴∠=︒∠=︒2,OB OA OD ===222222,AD ∴=+=而CD 的长为：302,1803ππ⨯= ∴ C 阴影最短为22.3π 故答案为：22.3π【点评】本题考查的是利用轴对称求最短周长，同时考查了圆的基本性质，扇形弧长的计算，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．三、解答题(本大题共8个小题，满分75分)16.先化简，再求值：21111a a a ⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭，其中51a = 【答案】1a -5【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a 值代入计算即可．【详解】原式=(1)(1)1a a a a a +-+=1a -， 当51a =时，原式5115-=【点评】本题考查的是分式的化简求值，解答的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则，注意运算结果要化成最简分式或整式．17.为发展乡村经济，某村根据本地特色，创办了山药粉加工厂．该厂需购置一台分装机，计划从商家推荐试用的甲、乙两台不同品牌的分装机中选择．试用时，设定分装的标准质量为每袋500g ，与之相差大于10g 为不合格．为检验分装效果，工厂对这两台机器分装的成品进行了抽样和分析，过程如下：[收集数据]从甲、乙两台机器分装的成品中各随机抽取20袋，测得实际质量(单位：g )如下：甲： 501 497 498 502 513 489 506 490 505 486502 503 498 497 491 500 505 502 504 505乙：505 499 502 491 487 506 493 505 499 498502 503 501 490 501 502 512 499 499 501[整理数据]整理以上数据，得到每袋质量()x g 的频数分布表．[分析数据]根据以上数据，得到以下统计量．根据以上信息，回答下列问题：()1表格中的a = b =()2综合上表中的统计量，判断工厂应选购哪一台分装机，并说明理由．【答案】（1）501a =，=15%b ．（2）选择乙分装机，理由见解析；【解析】（1）把乙的数据从小到大进行排序，选出10、11两项，求出他们的平均数即为乙组数据的中位数；由题可得合格产品的范围是490510x ≤≤，根据这个范围，选出不合格的产品，除以样本总量就可得到结果；（2）根据方差的意义判断即可；【详解】（1）把乙组数据从下到大排序为： 487 490 491 493 498 499 499 499 499 501 501 501 502 502 502 503 505 505 506 512，可得中位数=501+501=5012； 根据已知条件可得出产品合格的范围是490510x ≤≤，甲生产的产品有3袋不合格，故不合格率为3100%=15%20⨯． 故501a =，=15%b ．（2）选择乙分装机；根据方差的意义可知：方差越小，数据越稳定，由于22甲乙=42.01＞=31.81S S ，所以乙分装机．【点评】本题主要考查了根据图标数据进行中位数的求解，准确理解表中各项数据是解题的关键． 18.位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22︒，然后沿MP方向前进16m到达点N 处，测得点A的仰角为45︒．测角仪的高度为1.6m，()1求观星台最高点A距离地面的高度(结果精确到0.1m．参考数据：︒≈︒≈︒≈≈)；220.37,220. 93 ,220.40,2 1.41sin cos tan()2“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．【答案】（1）12.3m；（2）0.3m，多次测量，求平均值【解析】（1）过点A作AE⊥MN交MN的延长线于点E，交BC的延长线于点D，根据条件证出四边形BMNC 为矩形、四边形CNED为矩形、三角形ACD与三角形ABD均为直角三角形，设AD的长为xm，则CD=AD=xm，BD=BC+CD=（16+x）m，在Rt△ABD中，解直角三角形求得AD的长度，再加上DE的长度即可；（2）根据（1）中算的数据和实际高度计算误差，建议是多次测量求平均值．【详解】解：（1）如图，过点A作AE⊥MN交MN的延长线于点E，交BC的延长线于点D，设AD的长为xm，∵AE⊥ME，BC∥MN，∴AD⊥BD，∠ADC=90°，∵∠ACD=45°，∴CD=AD=xm，BD=BC+CD=（16+x）m，由题易得，四边形BMNC 为矩形，∵AE ⊥ME ，∴四边形CNED 为矩形，∴DE=CN=BM=1.6m ，在Rt △ABD 中，tan ABD=0.4016AD x BD x==+∠， 解得：10.7x ≈，即AD=10.7m ，AE=AD+DE=10.7+1.6=12.3m ，答：观星台最高点A 距离地面的高度为12.3m ．（2）本次测量结果的误差为：12.6-12.3=0.3m ，减小误差的合理化建议：多次测量，求平均值．【点评】本题考查解直角三角形的实际应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 19.暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠；设某学生暑期健身x (次)，按照方案一所需费用为1y ，(元)，且11y k x b =+；按照方案二所需费用为2y (元) ，且22.y k x =其函数图象如图所示． ()1求1k 和b 的值，并说明它们的实际意义；()2求打折前的每次健身费用和2k 的值；()3八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少?说明理由．【答案】（1）k 1=15，b=30；k 1=15表示的是每次健身费用按六折优惠是15元，b=30表示购买一张学生暑期专享卡的费用是30元；（2）打折前的每次健身费用为25元，k 2=20；（3）方案一所需费用更少，理由见解析．【解析】（1）用待定系数法代入（0，30）和（10，180）两点计算即可求得1k 和b 的值，再根据函数表示的实际意义说明即可；（2）设打折前的每次健身费用为a 元，根据（1）中算出的1k 为打六折之后的费用可算得打折前的每次健身费用，再算出打八折之后的费用，即可得到2k 的值；（3）写出两个函数关系式，分别代入x=8计算，并比较大小即可求解．【详解】解：（1）由图象可得：11y k x b =+经过（0，30）和（10，180）两点，代入函数关系式可得：13018010b k b =⎧⎨=+⎩， 解得：13015b k =⎧⎨=⎩， 即k 1=15，b=30，k 1=15表示的是每次健身费用按六折优惠是15元，b=30表示购买一张学生暑期专享卡的费用是30元； （2）设打折前的每次健身费用为a 元，由题意得：0.6a=15，解得：a=25，即打折前的每次健身费用为25元，k 2表示每次健身按八折优惠的费用，故k 2=25×0.8=20；（3）由（1）（2）得：11530y x =+，220y x =，当小华健身8次即x=8时，115830150y =⨯+=，2208160y =⨯=，∵150<160，∴方案一所需费用更少，答：方案一所需费用更少．【点评】本题考查一次函数的实际应用，用待定系数法求解函数关系式并结合题意计算出原价是解题的关键．20.我们学习过利用用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的人们根据实际需爱，发明了一种简易操作工具--------三分角器．图1是它的示意图，其中AB 与半圆O 的直径BC 在同一直线 上，且AB 的长度与半圆的半径相等；DB 与AC 重直F 点 ,B DB 足够长．使用方法如图2所示，若要把MEN ∠三等分，只需适当放置三分角器，使DB 经过MEN ∠的顶点E ，点A 落在边EM 上，半圆O 与另一边EN 恰好相切，切点为F ，则,EB EO 就把MEN ∠三等分了．为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．已知：如图2，点在,,,A B O C 同一直线上，,EB AC ⊥垂足为点B ， 求证：【答案】E 在BD 上，ME 过点A ，,AB OB OC == EN 为半圆O 的切线，切点为F ；EB ，EO 为∠MEN 的三等分线．证明见解析．【解析】如图，连接OF ．则∠OFE=90°，只要证明EAB EOB ≌，OBE OFE ≌，即可解决问题； 【详解】已知：如图2，点在,,,A B O C 同一直线上，,EB AC ⊥垂足为点B ， E 在BD 上，ME 过点A ，,AB OB OC ==EN 为半圆O 的切线，切点为F ．求证： EB ，EO 为∠MEN 的三等分线．．证明：如图，连接OF ．则∠OFE=90°，∵EB ⊥AC ，EB 与半圆相切于点B ，∴∠ABE=∠OBE=90°，∵BA=BO ．EB=EB ，EAB EOB ∴≌∴∠AEB=∠BEO ，∵EO=EO ．OB=OF ，∠OBE=∠OFE 90=︒，∴OBE OFE ≌，∴∠OEB=∠OEF ，∴∠AEB=∠BEO=∠OEF ，∴EB ，EO 为∠MEN 的三等分线．故答案为：E 在BD 上，ME 过点A ，,AB OB OC ==EN 为半圆O 的切线，切点为F ．EB ，EO 为∠MEN 的三等分线．【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、切线的性质等知识，解题的关键学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．21.如图，抛物线22y xx c =-++与x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于点,A B ，且,OA OB =点G 为抛物线的顶点． ()1求抛物线的解析式及点G 的坐标；()2点,M N 为抛物线上两点(点M 在点N 的左侧) ，且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q 为抛物线上点,M N 之间(含点,M N )的一个动点，求点Q 的纵坐标Q y 的取值范围．。

2020年河南省中考数学试卷（解析版）考试时间：100分钟满分：120分{题型:选择题}一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，合计30分．{题目}1．（2020·河南）2的相反数是（）A.-2B.12C.12D. 2{答案}A{解析}本题考查了相反数的概念，解答的关键是理解相反数的意义.解：方法一：2的相反数是-2；方法二：2对应的点在原点的右边且到原点的距离为2个单位长度，所以它的相反数对应的点在原点的左边，到原点的距离也是2个单位长度，即这个数是-2.因此本题选A．{分值}3{章节:[1-1-2-3]相反数}{考点:相反数的定义}{类别:20中考题}{难度:1-最简单}{题目}2．（2020·河南）如下摆放的几何体中，主视图与左视图有可能不同的是( ){答案}D{解析}本题考查了三视图的识别，解题的关键是理解三视图的概念.【解题思路】从正面看，得到的是几何体的主视图，主视图反映的是物体的“长”与“高”；从左面看，得到的是几何体的左视图，左视图反映的是物体的“宽”与“高”.解：A的主、左视图都是长方形；B的主、左视图是三角形；C的主、左视图都是圆；D的主视图是长方形，左视图也是长方形，但这两个长方形的长可能不一样，因此本题选D．{分值}3{章节:[1-29-2]三视图}{考点:简单几何体的三视图}{类别:20中考题}{难度:1-最简单}{题目}3．（2020·河南）要调查下列问题，适合采用全面调查(普查)的是( )A.中央电视台《开学第一课》的收视率B.某城市居民6月份人均网上购物的次数C.即将发射的气象卫星的零部件质量D.某品牌新能源汽车的最大续航里程{答案}C{解析}本题考查了普查与抽样调查，解题的关键是掌握普查与抽样调查的概念，明确哪些情况不适合普查．解：选项A中，了解中央电视台《开学第一课》的收视率的调查涉及范围广，不适合普查；选项B中，城市居民6月份人均网上购物数量多，分布广，不适合普查；选项C中，由于气象卫星即将发射，每一个零部件都不能有任何的疏忽懈怠，必须一个一个检查，要采用普查方式；选项D 中调查的对象的数量多，分布广，不适合普查，因此本题选C．{分值}3{章节: ××}{考点:全面调查}{类别:20中考题} {难度:2-简单}{题目}4．（2020·河南）如图， 1l ∥2l ，3l ∥4l ，若∠1=70°，则∠2的度数为( )A.100° B.110° C.120° D.130° {答案}B{解析}本题考查了平行线的性质，解题的关键是灵活运用平行线的性质． 解：∵直线l 1∥l 2，∴∠3＝∠1＝70°，∵3l ∥4l ，∴∠3＋∠2＝180°，∴ ∠2＝110°，因此本题选B ． {分值}3{章节:[1-5-3]平行线的性质}{考点:平行线}{考点:同位角相等两直线平行}{考点:同旁内角互补两直线平行} {类别:20中考题}{难度:2-简单}{题目}5．（2020·河南）电子文件的大小常用B ，KB ，MB ，GB 等作为单位，其中1012GB MB ，1012MB KB ，1012KB B .某视频文件的大小约为1GB ，1GB 等于( )A. 302BB. 308BC. 10810BD. 30210B {答案}A{解析}本题考查了同底数幂的乘法及单位换算，1012GB MB ，101010202=222MB KB KB ，202010302222KB B B ，因此本题选A ． {分值}3{章节:[1-14-1]整式的乘法}{考点:整式}{考点:同底数幂的乘法} {类别:20中考题} {难度:2-简单}{题目}6．（2020·河南）若点A(-1，1y )，B(2， 2y )，C(3， 3y )在反比例函数6y x的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是( )A.1y ＞2y ＞3y B.2y ＞3y ＞1y C.1y ＞3y ＞2yD.3y ＞2y ＞1y{答案}C{解析}本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握掌握反比例函数的性质，反比例函数中k ＜0，可知图象在二、四象限，∴1y ＞0，2y ＜0，3y ＜0；在第四象限，y 随x 的增大而增大，∵3＞2，∴3y ＞2y ，故1y ＞3y ＞2y ，因此本题选C ．{分值}3{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质} {考点:反比例函数的性质} {类别:20中考题} {难度:3-中等难度}{题目}7．（2020·河南）定义运算:m ☆n =21mn mn .例如: 4☆2=2424217.则1☆x =0方程的根的情况为( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.只有一个实数根 {答案}A{解析}本题考查了本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握根的情况的判别方法．由定义新运算可得210x x ，∴214111450，所以方程有两个不相等的实数根，因此本题选A ． {分值}3{章节:[1-21-2-2]公式法}{考点:新定义}{考点:根的判别式} {类别:20中考题} {难度:3-中等难度}{题目}8．（2020·河南）国家统计局统计数据显示，我国快递业务逐年增加，2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元.设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x ，则可列方程为( )A. 5000(12)7500xB. 50002(1)7500xC. 25000(1)7500x D. 250005000(1)5000(1)7500x x {答案}C{解析}本题考查了本题考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是掌握增长率问题中的数量关系，由于2019年的快递业务收入可用5000(1+x)2表示，又2019年的快递业务收入是7500亿元，可列方程是25000(1)7500x ，因此本题选C ． {分值}3{章节:[1-21-4]实际问题与一元二次方程}{考点:实际问题中的一元二次方程}{考点:一元二次方程的应用—增长率问题} {类别:20中考题} {难度:3-中等难度}{题目}9．（2020·河南）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，边BC 在x 轴上，顶点A ，B 的坐标分别为(-2，6)和(7，0).将正方形OCDE 沿x 轴向右平移，当点E 落在AB 边上时，点D 的坐标为( )A. (32，2) B. (2，2) C. (114，2) D. (4，2){答案}B{解析}本题考查了平移的性质、平面直角坐标系点的坐标、相似三角形的判定及性质等知识． ∵点A ，B 的坐标分别为(-2，6)和(7，0)， ∴OC=2，AC=6，OB=7，∴BC=9，正方形的边长为2．将正方形OCDE 沿x 轴向右平移，当点E 落在AB 边上时，设正方形与x 轴的两个交点分别为G 、F ， ∴EF ⊥x 轴，EF=GF=DG=2，∴EF ∥AC ，D 点的纵坐标为2， ∴EF BF AC BC ，即269BF，∴BF=3，∴OG=OB-BF-GF=7-3-2=2，∴ D点的横坐标为2，∴点D的坐标为 (2，2)．{分值}3{章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质}{考点:点的坐标}{考点:点的坐标的应用} {考点:正方形的性质} {考点:平行线分线段成比例} {考点:平移的性质}{类别:20中考题}{难度:4-较高难度}{题目}10．（2020·河南）如图，在△ABC中，AB=BC，∠BAC=30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则四边形ABCD的面积为( )A.{答案}D{解析}本题考查了中垂线的判定和性质、解直角三角形，四边形的面积计算等知识．连接BD，设BD与AC交于点E．∵分别以点A、C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，∴AD=AC=CD，∴△ACD是等边三角形，∠DAC=60°，∵AB=BC，AD=CD，∴BD垂直平分AC，∴∠AEB=90°，∵∠BAC=30°， AB=∴，AE=32，∴AC=3．在Rt ADE中，∵∠DAC=60°，∠AED=90°，AE=32，∴∴323，∴四边形ABCD的面积为：1233332，因此本题选D．{分值}3{章节:[1-28-1-2]解直角三角形}{考点:等边三角形的判定与性质}{考点:特殊角的三角函数值}{考点:解直角三角形} {考点:垂直平分线的判定} {考点:三角形的面积}{类别:20中考题}{难度:4-较高难度}{题型:填空题}二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，合计15分．{题目}11．（2020·河南）请写出一个大于1且小于2的无理数 .{答案答案不唯一){解析}本题考查了无理数的概念，解题的关键是掌握无理数的定义及初中阶段无理数的类型．如果写成开不尽方形式的无理数，只需被开方数大于1小于4即可.{分值}3{章节:[1-6-3]实数}{考点:无理数}{类别:20中考题}{难度:1-最简单}{题目}12．（2020·河南）已知关于x的不等式组x ax b，其中a，b在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为 .{答案}x a{解析}本题考查了不等式组的解法并在数轴上表示不等式组的解集，解题的关键是会寻找两个不等式解集的公共部分．由数轴可知：a b，故不等式组x ax b的解集为x a.{分值}3{章节:[1-9-3]一元一次不等式组} {考点:解一元一次不等式组}{类别:20中考题}{难度:2-简单}{题目}13．（2020·河南）如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色.固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，忽略不计）的颜色，则两次颜色相同的概率是 .{答案}1 4{解析}本题考查了概率在生活中的应用，解题的关键是根据题意画出树状图或者列表．红、黄、蓝、绿四种颜色分别编号：红为1，黄为2，蓝为3，绿为4．则可画树状图如下：由树状图可知，自由转动转盘两次，共有16种等可能的结果，两次颜色相同的结果有4种，∴P（两次颜色相同）=41= 164.{分值}3{章节:[1-25-2]用列举法求概率}{考点:概率的意义}{考点:两步事件放回}{类别:20中考题}{难度:3-中等难度}{题目}14．（2020·河南）如图，在边长为ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为 .{答案}1{解析}本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，勾股定理、三角形中位线的判定和性质．解：连结CH，并延长CH交AD边于点M，连结EM．∵四边形ABCD为正方形，∴AD∥BC，∴∠MDH=∠CFH，∠DMH=∠FCH，∵H是DF的中点，∴DH=FH，∴△DMH≌△FCH，∴DM=CF，MH=CH，∵F是BC的中点，E为AB的中点，AB=CB=∴，∴，∴22222 ME，∵G是EC的中点，H为CM的中点，∴12GH ME=1．{分值}3{章节:[1-17-1]勾股定理}{考点:全等图形}{考点:全等三角形的性质}{考点:全等三角形的判定ASA,AAS}{考点:与中点有关的辅助线} {考点:勾股定理}{考点:正方形的性质} {考点:三角形中位线}{类别:20中考题}{难度:4-较高难度}{题目}15．（2020·河南）如图，在扇形BOC中，∠BOC=60°，OD平分∠BOC交弧BC于点D，点E为半径OB上一动点.若OB=2，则阴影部分周长的最小值为 .{答案}1 3{解析}本题考查了弧长公式、轴对称的性质、勾股定理等知识．∵∠BOC=60°，OD平分∠BOC交弧BC于点D，∴∠DOC=30°，∵OB=2，∴弧长CD=302 1801803n r，∴欲使阴影部分的周长最小，只需CE+DE的长度最小即可．作D点关于OB的对称点D′，连结CD′交OB于点E，则有CE+DE=CE+D′E=CD′，此时CE+DE的长度最小．由作图可知，点D′必在以O为圆心，以OB为半径的圆上，且弧BD=弧BD′=30°，∴弧CD′=90°，∴∠COD′=90°，又∵OC=OD′=2，∴CD′=即CE+DE=∴阴影部分周长的最小值为13．{分值}3{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积}{考点:勾股定理}{考点:圆心角、弧、弦的关系}{考点:弧长的计算}{考点:最短路线问题}{考点:最值问题} {类别:20中考题} {难度:5-高难度}{题型:解答题}三、解答题：本大题共8小题，合计75分．{题目}16．（2020·河南）先化简，再求值：21111aa a ，其中51a .{解析}本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的运算法则．{答案}解：21111aa a =111111a a a a a a=111a a aa a =1a当51a时，原式=1a 115{分值}8{章节:[1-15-2-2]分式的加减}{考点:多个分式的乘除} {考点:两个分式的加减}{考点:分式的混合运算} {难度:3-中等难度} {类别:20中考题}{题目}17．（2020·河南）为发展乡村经济，某村根据本地特色，创办了山药粉加工厂.该厂需购置一台分装机，计划从商家推荐试用的甲、乙两台不同品牌的分装机中选择.试用时，设定分装的标准质量为每袋500g ，与之相差大于10g 为不合格.为检验分装效果，工厂对这两台机器分装的成品进行了抽样和分析，过程如下：收集数据：从甲、乙两台机器分装的成品中各随机抽取20袋，测得实际质量（单位：g ）如下： 甲：501 497 498 502 513 489 506 490 505 486 502 503 498 497 491 500 505 502 504 505乙：505 499 502 491 487 506 493 505 499 498 502 503 501 490 501 502 511 499 499 501整理数据：整理以上数据，得到每袋质量x g 的频数分布表.分析数据：根据以上数据，得到以下统计量.根据以上信息，回答下列问题：（1）表格中的a= ，b= ；（2）综合上表中的统计量，判断工厂应选购哪一台分装机，并说明理由.{解析}本题考查了频数分布表及频数分布表以及方差、中位数、平均数的概念，解题的关键是读懂统计表，从统计表中得到必要的信息．{答案}解：(1)将乙组数据按从小到大顺序排列:487，490，491，493，498，499，499，499，499，501，501，501，502，502，502，503，505，505，506，511，∵第10个数据为501，第11个数据也为501，∴5015015012a g；∵设定分装的标准质量为每袋500g，与之相差大于10g为不合格，∴当一个数据小于490g或大小于510g时，该产品为不合格，∵小于490g的数据有2个，大于510g的数据有1个，∴甲组数据中产品的不合格率为:b=3÷20=15%；(2)工厂选择乙分装机，理由是:比较甲，乙两台分装机器的统计量可知，甲与乙的平均数相同，中位数相差不大，乙的方差较小，且不合格率更低.以上分析说明，乙机器的分装合格率更高，且稳定性更好.所以，乙机器的分装效果更好，工厂应选购乙机器.{分值}9{章节:[1-20-2-1]方差}{考点:调查收集数据的过程与方法}{考点:频数（率）分布表}{考点:统计表}{考点:统计的应用问题}{考点:中位数}{考点:方差}{考点:方差的实际应用}{考点:统计量的选择}{考点:数据分析综合题}{难度:3-中等难度}{类别:20中考题}{题目}18．（2020·河南）位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一.某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度.如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为45°.测角仪的高度为1.6m.(1)求观星台最高点A距离地面的高度(结果精确到0.1m.参考数据: sin220.37，s220.93co，tan220.40 1.41)；(2)“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m.请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议.{答案}{解析}本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是能将实际问题转化为解直角三角形问题． {答案}解：(1)过A 点作AE ⊥BC ，交BC 延长线于点E ，交MP 于点F ，设AE=x m . 在Rt ACE 中，∠ACE= 45°，∴AE=CE=x m ， ∵BC=16m ，∴BE=x +16；在Rt ABE 中，∠ABE= 22°，∴tan 22AEBE， 0.416xx ，解得:10.67x ， 由题意，易知四边形BEFM 为矩形，∴EF=BM=1.6m ， ∴AF=10.67+1.6=12.27≈12.3(m ).(2)本次测量的误差为:12.6－12.3=0.3(m )，宜多测量几次，取这几次计算结果的平均数，可以尽可能地减小误差.{分值}9{章节:[1-28-2-2]非特殊角}{考点:解直角三角形}{考点:解直角三角形的应用—测高测距离}{考点:解直角三角形的应用－仰角}{难度:3-中等难度} {类别:20中考题}{题目}19．（2020·河南）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下. 方案一:购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠； 方案二:不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠.设某学生暑期健身x (次)，按照方案一所需费用为1y (元)，且11y k x b ；按照方案二所需费用为2y (元)，且22y k x .其函数图象如图所示.(1)求1k 和b 的值，并说明它们的实际意义； (2)求打折前的每次健身费用和2k 的值；(3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少?说明理由.{解析}本题考查了一次函数的性质及其实际应用，解题的关键是能根据实际问题概括出一次函数模型．值得一提的是本题涉及到两条直线，要一一求解，需要一定的耐心． {答案}解:(1)直线11y k x b 经过(0，30)和(10，180)两点， ∴13010180b k b ，解得:11530k b ，1k 表示每次健身费用按六折优惠后的费用为15元， b 表示暑期专享卡每张30元；(2)∵每次健身费用按六折优惠后的费用为15元， ∴打折前的每次健身费用为:15÷0.6=25(元)，∵不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠， ∴2k =25×0.8=20(元)；(3)当x =8时，1153015830150y x (元) ，220208160y x (元)，∵150＜160，∴选择方案一所需费用更少. {分值}9{章节:[1-19-2-2]一次函数}{考点:待定系数法求一次函数的解析式}{考点:两直线相交或平行问题}{考点:方案比较}{考点:其他一次函数的综合题} {难度:3-中等难度} {类别:20中考题}{题目}20．（2020·河南）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的.人们根据实际需要，发现了一种简易操作工具——三分角器.图1是它的示意图，其中AB 与半圆O 的直径BC 在同一直线上，且AB 的长度与半圆的半径相等；DB 与AC 垂直于点B ，DB 足够长.使用方法如图2所示，若要把∠MEN 三等分，只需适当放置三分角器，使DB 经过∠MEN 的顶点E ，点A 落在边EM 上，半圆O 与另一边EN 恰好相切，切点为F ，则EB ，EO 就把∠MEN 三等分了.为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明.如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程.已知:如图2，点A ，B ，O ，C 在同一直线上，EB ⊥AC ，垂足为为B ， . 求证: .{解析}本题考查了三角形全等的判定，解题的关键是熟悉判定三角形全等的各种判定方法．{答案}已知:如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为为B， AB=OB，EN切半圆O于点F.求证: ∠1=∠2=∠3 .证明：连接OF.∵EB⊥AC，∴∠ABE=∠OBE=90°，又∵AB=OB，EB=EB，∴△ABE≌△OBE，∴∠1=∠2.∵EN切半圆O于点F，∴OF⊥EF，又∵OB⊥EB且OF=OB，∴EO平分∠BEF，∴∠3=∠2，∴∠1=∠2=∠3.{分值}10{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系}{考点:全等三角形的性质}{考点:全等三角形的判定SAS}{考点:与全等有关的作图问题}{考点:三角形的角平分线}{考点:角平分线的判定}{考点:切线的性质}{考点:数学文化}{难度:3-中等难度}{类别:20中考题}y x x c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点{题目}21．（2020·河南）如图，抛物线22A，B，且OA=OB，点G为抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式及点G的坐标；(2)点M，N为抛物线上两点(点M在点N的左侧)，且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长y的取值范围.度，点Q为抛物线上点M，N之间(含点M，N)的一个动点，求点Q的纵坐标Q{解析}本题考查了二次函数图象与几何图形的综合问题，解题的关键是灵活运用数形结合思想，发现各图象、图形之间的关系．{答案}解：∵抛物线22yx x c 与y 轴正半轴交于点B ， ∴B 点的坐标为(0，c )， 0c .∵OA=OB ，且A 点在x 轴正半轴上， ∴A 点的坐标为(c ，0)，∵抛物线22yx x c 经过点A ， ∴202c c c ，解得10c (舍去)， 23c .∴抛物线的解析式为223yx x .∵222314yx x x ，∴抛物线顶点G 的坐标为(1，4).(2) 抛物线223yx x 的对称轴为直线x =1. ∵点M ，N 到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度， ∴点M 的横坐标为-2或4，点N 的横坐标为-4或6， ∴点M 的纵坐标为-5，点N 的纵坐标为-21. 又∵点M 在点N 的左侧，∴当点M 的坐标为(-2，-5)时，点N 的坐标为(6，-21)，所以214Qy ； 当点M 的坐标为(4，-5)时，点N 的坐标为(6，-21)，所以215Qy .{分值}10{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质}{考点:求二次函数的函数值}{考点:二次函数y ＝ax2+bx+c 的性质}{考点:最值问题} {难度:3-中等难度} {类别:20中考题}{题目}22．（2020·河南）小亮在学习中遇到这样一个问题:如图，点D 是弧BC 上一动点，线段BC=8cm ，点A 是线段BC 的中点，过点C 作CF ∥BD ，交DA 的延长线于点F ，当△DCF 为等腰三角形时，求线段BD 的长度.小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题.请将下面的探究过程补充完整:(1)根据点D 在弧BC 上的不同位置，画出相应的图形，测量线段BD ，CD ，FD 的长度，得到下表的几组的值是 ；②“线段CF 的长度无需测量即可得到”.请简要说明理由.(2)将线段BD 的长度作为自变量x ，CD 和FD 的长度都是x 的函数，分别记为CD y 和FD y ，并在平面直角坐标系xOy 中画出了函数FD y 的图象，如图所示.请在同一坐标系中画出函数CD y 的图象； (3)继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出:当△DCF 为等腰三角形时，线段BD 长度的近似值(结果保留一位小数).{解析}本题考查了函数图象的综合运用，主要是通过已知点的数据，确定未知点数据，再绘出图象，从图象查看相关数据，正确画出函数图象是解题关键．{答案}解：(1)①5.0；② 由题意可得，△ACF ≌△ABD ，∴CF=BD ； (2) CD y 的图象如图所示.(3) CF y 的图象如图所示.△DCF为等腰三角形时，线段BD的长度约为3.5cm或5.0cm或6.3cm.(答案不唯一){分值}10{章节:[1-19-1-2] 函数的图象}{考点:函数的图象}{考点:正比例函数的图象}{考点:阅读理解}{考点:动态问题}{考点:数学思想}{难度:5-高难度}{类别:20中考题}{题目}23．（2020·河南）将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为.连接BB′，过点D作DE垂直于直线BB′，垂足为点E，连接DB′，CE.(1)如图1，当=60°时，△DEB′的形状为，连接BD，可求出BBCE′的值为；(2)当0°＜＜360°且≠90°时，①(1)中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；②当以点B′、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出BEB E′的值.{解析}本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．{答案}解： (1)(2)①两个结论仍成立.证明:连接BD.∵AB=AB′，∠BAB′=，∴∠AB′B=902，∵∠B′AD=90，AD=AB′，∴∠AB ′D=1352，∴∠EB ′D=∠AB ′D-∠AB ′B=45°. ∵DE ⊥BB ′，∴∠EDB ′=∠EB ′D=45°， ∴△DEB ′是等腰直角三角形，∴DB DE′. ∵四边形ABCD 为正方形，∴BDCDBDC=45°. ∴DB DE ′=BD CD， ∵∠EDB ′=∠BDC ，∴∠EDB ′+∠EDB=∠BDC+∠EDB ， 即∠BDB ′=∠CDE. ∴△B ′DB ∽△EDC ，∴2BB BD CE CD′；②3或1.思路提示：分两种情况.情形一，如图，当点B ′在BE 上时，由BB CE′，设BB ′=2m ，.∵CE ∥B ′D ，CE=B ′D ，∴B ′，在等腰直角三角形DEB ′中，斜边B ′， ∴B ′E=DE=m 。

B ．2020 年河南省中招命题专家原创预测卷数学试卷一．选择题（共 10 小题）1．下列各数中最小的是（ ）A ．πB ． 3C ．D ．2．丹江口水库是亚洲第一大人工淡水湖，国家南水北调工程水源地，总库容达到290.5 亿立方米，将 290.5亿用科学记数法表示为 2.905×10a ，则 a 的值为（ ）A ．8B ．9C ． 10D ． 11折叠成正方体后与 “建”字所在面相对的面的字是 （书中， 记载了这样一道数学题： “八万三千短竹竿，将来要把笔头安，管三套五为期定，问都多少能完成？”用现代的话说就是：有 83000 根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管 3 个或笔套 5 个，怎样安排笔管和笔套的短竹的数 量，使制成的 1 个笔管与 1个笔套正好配套？设用于制作笔管的短竹数为 x 根，用于制 作笔套的短竹数为 y 根，则可列方程为（C ．强D ．市4．下列计算正确的是（ ）22A ．2a 2﹣ a 2＝13 4 12C ． a × a ＝aB ．（﹣ 3a 2b ）2＝6a 4b 2D ．a4÷a 2+a 2＝2a 25．本学期开展了“恰同学少年，品诗词美韵”中华传统诗词大赛活动．小江统计了班级50名同学四月份的诗词背诵数量， 量的众数和中位数分别是（ 诗词数量 4 5（首） 人数56 A ． 9， 7.5B ． 9，具体数据如表所示： ）6786 8 107C ． 8，8那么这 50 名同学四月份诗词背诵数 9 10 11942D ．8，7.53．如图是一个正方体的平面展开图， 6．明代大数学家程大位著 《算法统宗》B ．教8．在一个口袋中有 5 个完全相同的小球，把它们分别标号为 个小球不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出小球的标号之和能被 （）A ．B ．C ．D ．9．如图，在已知的△ ABC 中，按以下步骤作图： ① 分别以 B ， C 为圆心，以大于 BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点 M ，N ；② 作直线 MN 交 AB 于点 D ，连接 CD ．若 AD ＝AC ，∠ A ＝ 80°，则∠ ACB 的度数为（C ． C ．7．下列一元二次方程中，无实数根的方程是（)22C ． x+2x+2＝ 0D ． 4x +x ﹣1＝01，2，3，4，5，随机摸出3 整除的概率是B ．70°C ．75°D ．80°10．如图，在边长为 2 一个内角为 60°的菱形 ABCD 中， 点 P 以每秒 1cm 的速度从点 A 出 发，沿 AD →DC 的路径运动，到点 C 停止， 过点 P 作 PQ ⊥ BD ，PQ 与边 AD （或边 C D )2）与点 P 的运动时间 x （秒）的函数图象大致是（A ． 65 °A ．14．如图， AC 的半圆 O 的一条弦，点 D 是弧 AC 的中点，将弧 AC 沿弦 AC 为折线将弧 AC折叠后过圆心 O ， ⊙O 的半径为 2，则图中阴影部分的面积为．211．计算：﹣ 32+|﹣ 6|＝12．不等式组的所有整数解的积是次函数 y 2＝ mx+ b （ m ≠ 0）的交点为 A （﹣ 1，4.5），B （ 3，﹣1.5），当 y 1≥ y 2时，写出自变量 x 的取值范围13．如图，反比例函数 y 1＝15．如图，△ ABC 为直角三角形，∠ ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D，E 分别为AC，BC 的中点，点M 是边AB（不包括点A，B）上一动点，连接DE，MD ，ME ，作△ MDE 关于直线DE 的对称三角形，得到△ M′ DE，连接CM′，当△ CEM′为等腰三角形时，DM′2三．解答题（共8 小题）16．先化简，再求值：，其中x＝2cos60°﹣3．17．某中学为培养学生的阅读习惯，开展了“读书周”活动，并随机调查了该校部分学生这一周的课外阅读时间，将结果绘制成了如下尚不完整的统计图表学生课外阅读时间统计表阅读时间/h 频数334m5 306 1273请你根据以上信息回答下列问题（1）填空：m＝，本次调查的人数为；（2）本次调查中，学生阅读时间的中位数为h；（3）扇形统计图中，课外阅读6h 所对应的圆心角的度数是；（4）根据调查数据，发现这一周的人均阅读时间比活动前增加了25%，求活动前的人均阅读时间．18．有这样一个问题：探究函数 y ＝1﹣ 的图形与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：1）函数 y ＝ 1﹣ 的自变量 x 的取值范围是 ； 2）如下表是 y 与 x 的几组对应值．写出 m ＝ ， n ＝x ⋯ ﹣4 ﹣ 3 ﹣2 ﹣﹣﹣﹣0123y ⋯ 2 m35﹣ 3 ﹣ 1﹣﹣n3）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以表中各对对应值为坐标的点．根据描出（4）结合函数的图象，请完成： ①y ＝2 时，则 x ＝ ；②写出该函数的一条性质 ；③ 若方程 1﹣＝t 无解，则 t 的值为 ．19．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，点 C 为⊙ O 上一点， CD 为不过圆心且垂直于 AB 的弦， CD 交 AB 于点 E ，连接 CO 并延长交 ⊙O 于点 F ，连接 CB 和 DF 并延长交于点 G ．（ 1）求证： CF ＝ GF ；（ 2）填空： ① 若 AB ＝4，则△ COE 面积的最大值是 ； ② 当∠ BGF 时，四边形 BODF 为菱形．20．如今，不少人购买家具时追求简约大气的风格，图（1）是一款非常畅销的简约落地收纳镜，其支架的形状固定不变，镜面可随意选择，图（2）为其侧面示意图，其中OD 为镜面，EF为放置物品的收纳架，AB，AC为等长的支架，BC为水平地面，且OA＝44cm，OD＝120cm，BD＝40cm，∠ ABC＝75°，如图（3）将镜面顺时针旋转15°，求此时收纳镜顶部端点O 到地面BC 的距离．（结果精确到1cm，参考数据：sin75°≈0.97，cos75° ≈0.26，tan75 °≈3.73，≈1.41，≈1.73）21．某环卫公司承包了市区两个片区道路的清扫任务，需要购买某厂家A，B 两种型号的马路清扫车，购买5辆A型马路清扫车和6辆B型马路清扫车共需171万元；购买3辆 A 型马路清扫车和12 辆B型马路清扫车共需237 万元．（1）求这两种马路清扫车的单价；（2）恰逢该厂举行30 周年庆，决定对这两种马路清扫车开展促销活动，具体方案如下：购买A型马路清扫车按原价的八折销售，购买B型马上清扫车不超过10辆时按原价销售，超过10 辆的部分按原价的七折销售．设购买x 辆 A 种马路清扫车需要y1 元，购买x（x >0）个 B 型马路清扫车需要y2元，分别求出y1，y2关于x的函数关系式；（3）若该公司承包的道路清扫面积为118000m2，每辆 A 型马路清扫车每天清扫5000m2，每辆 B 型马路清扫车每天清扫6000m2，公司准备购买20 辆马路清扫车，且 B 型马路清扫车的数量大于10．请你帮该公司设计出最省钱的购买方案．请说明理由．22．（1）【发现证明】如图1，在正方形ABCD 中，点E，F 分别是BC，CD 边上的动点，且∠ EAF ＝45°，求证：EF＝DF+BE．小明发现，当把△ ABE绕点A顺时针旋转90°至△ ADG ，使AB与AD 重合时能够证明，请你给出证明过程．（2）【类比引申】① 如图2，在正方形ABCD 中，如果点E，F 分别是CB，DC 延长线上的动点，且∠ EAF ＝45°，则（1）中的结论还成立吗？请写出证明过程．② 如图3，如果点E，F 分别是BC，CD 延长线上的动点，且∠ EAF＝45°，则EF ，BE，DF 之间的数量关系是（不要求证明）（3，0），点C的坐标为（0，3），直线1经过B，C 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，过线段CD 上方的抛物线上一动点E作EF⊥ CD 交线段BC 于点F，求四边形ECFD 的面积的最大值及此时点 E 的坐标；（3）点P是在直线l上方的抛物线上一动点，点M是坐标平面内一动点，是否存在动点P，M，使得以C，B，P，M 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直线写出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．．选择题（共 10 小题）1．下列各数中最小的是（）解答】 解：∵ π>3， >3， 3>∴各数中最小的是： 故选： D ．2．丹江口水库是亚洲第一大人工淡水湖，国家南水北调工程水源地，总库容达到 290.5 亿立方米，将 290.5亿用科学记数法表示为 2.905×10a ，则 a 的值为（）A ．8B ．9C ． 10D ． 11【分析】 科学记数法的表示形式为 a ×10n 的形式，其中 1≤|a|<10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相 同．当原数绝对值> 1时，n 是正数；当原数的绝对值< 1 时， n 是负数． 【解答】 解： 290.5 亿＝ 29050000000＝ 2.905× 1010， ∴ a ＝ 10． 故选： C ．折叠成正方体后与 “建”字所在面相对的面的字是 （分析】 正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 解答】 解：∵正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， 建”与“强”是相对面． 故选： C ．4．下列计算正确的是（）22A ． 2a2﹣ a 2＝ 1参考答案与试题解析B ．3C ．D ．分析】 根据估算无理数的大小的方法得出> 3，进而比较可得答案．B ．教C ．强D ．市3．如图是一个正方体的平面展开图， B ．（﹣ 3a 2b ）2＝6a 4b 2C ．a3×a 4＝a 12 D ．a 4÷a 2+a 2＝2a 2诗词数量 1011首） 人数10A ．9， 7.5B ．9，C ．8， D ． 8，7.5分析】 根据众数和中位数的定义解答可得．解答】 解：这组数据中 8 出现的次数最多，则其众数为 8 首；50 个数据的中位数为第 25、 26 个数据的平均数，则其中位数为7.5 首；故选： D ．6．明代大数学家程大位著 《算法统宗》 一书中， 记载了这样一道数学题：将来要把笔头安，管三套五为期定，问都多少能完成？”用现代的话说就是：83000根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管 3 个或笔套 5 个，怎样安排笔管和笔套的短竹的数 量，使制成的 1 个笔管与 1 个笔套正好配套？设用于制作笔管的短竹数为 作笔套的短竹数为 y 根，则可列方程为（ ）x 根，用于制A ．B ．C ．D ．【分析】 由用于生产笔管和笔套的短竹的数量结合生产的笔管总数＝笔套的总数，即可 得出关于 x ，y 的二元一次方程组，此题得解．分析】 直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则分 别化简得出答案．【解答】 解： A 、 2a 2﹣a 2＝a 2，故此选项错误； B 、（﹣ 3a 2b ）2＝9a 4b 2，故此选项错误； C 、a 3×a 4＝a 7，故此选项错误；D 、a4÷ a 2+a 2＝ 2a 2，正确．故选： D ．5．本学期开展了“恰同学少年，品诗词美韵”中华传统诗词大赛活动．小江统计了班级量的众数和中位数分别是（ 50名同学四月份的诗词背诵数量， 具体数据如表所示： 那么这 50 名同学四月份诗词背诵数【解答】 解：依题意，得： ． 故选： B ．7．下列一元二次方程中，无实数根的方程是（ ）2 2 2 2A ．x +2x+1＝0B ．2x ﹣3x+1＝0C ． x +2x+2＝0D ． 4x +x ﹣1＝0【分析】 分别计算出每个方程判别式的值，从而得出答案．【解答】 解： A ．方程 x 2+2x+1＝0 判别式△＝ 22﹣4×1×1＝ 0，有两个相等实数根，不 符合题意；B ．方程 2x 2﹣3x+1＝0 判别式△＝（﹣ 3）2﹣4×2×1＝1>0，有两个不相等实数根，不 符合题意；C ．方程 x 2+2x+2＝0 判别式△＝ 22﹣4×1×2＝﹣ 4<0，没有实数根，符合题意；D ．方程 4x 2+x ﹣1＝0 判别式△＝ 12﹣4×4×（﹣ 1）＝ 17> 0，有两个不相等实数根，不符合题意； 故选： C ．8．在一个口袋中有 5 个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3， 4，5，随机摸出个小球不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出小球的标号之和能被分析】 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的 小球标号之和能被 3 整除的情况，再利用概率公式即可求得答案． 解答】 解：根据题意，画树状图如下：共有 20 种等可能的结果数，其中两次摸出小球的标号之和能被3 整除的概率是A ．B ．C ．D ．3 整除的占 8 种，BC 的所有两次摸出小球的标号之和能被 3 整除的概率＝长为半径作弧，两弧相交于两点 M ，N ；② 作直线 MN 交 AB 于点 D ，连接 CD ．若 AD ＝AC ，∠ A ＝ 80°，则∠ ACB 的度数为（【分析】根据作图过程可得 DM 是BC 的垂直平分线， 所以 DC ＝DB ，所以∠B ＝∠DCB ， 再根据 AD ＝AC ，∠A ＝80°，可得∠ ADC ＝50°，进而求出∠ ACB 的度数． 【解答】 解：根据作图过程可知：DM 是 BC 的垂直平分线，∴DC ＝DB ， ∴∠ B ＝∠ DCB ，∴∠ ADC ＝∠ B+∠DCB ＝ 2∠ DCB ， ∵AD ＝ AC ，∠ A ＝80°， ∴∠ DCB ＝ ∠ADC ＝25°，∴∠ ACB ＝∠ DCB+∠ACD ＝25°+50°＝ 75°． ∴∠ACB 的度数为 75°． 故选： C ．10．如图，在边长为 2一个内角为 60°的菱形 ABCD 中，点 P 以每秒 1cm 的速度从点 A 出发，沿 AD →DC 的路径运动，到点 C 停止，过点 P 作PQ ⊥BD ，PQ 与边AD （或边 CD ） 交于点 Q ，△ ABQ 的面积 y （cm 2）与点 P 的运动时间 x （秒）的函数图象大致是（）B ．70°C ．75D ．80A ． 65 °∴∠ ADC ＝∠ACD﹣∠ A ）＝50【分析】根据动点P 的运动过程分两种情况说明：① PQ 与边CD 交于点Q 时，过点 D 作DE⊥AB 于点E，根据在边长为 2 一个内角为60°的菱形ABCD 中，即可求当0≤x≤ 2 时，y＝；② 当PQ 与边AD 交于点Q 时，过点Q 作QE⊥AB 于点E，即可求当 2 <x≤4时，y＝﹣x+4 ，进而可判断，△ ABQ 的面积y（cm2）与点P的运动时间x （秒）的函数图象．【解答】解：① PQ 与边CD 交于点Q 时，如图，过点D作DE⊥AB于点E，∴∠ DEA＝90°，在边长为 2 一个内角为60°的菱形ABCD 中，AD＝DC＝2，∠ DAB ＝60 °，∴ AE＝1，DE ＝＝，∴ S△ABQ＝AB?DE ＝2× ＝，即当0≤x≤2 时，y＝．该函数图象是平行于x 轴的一段线段；∴∠ QEA＝90°，∵PQ⊥ BD，∴∠ DFP＝∠ DFQ ＝90°，∵四边形ABCD 是菱形，∴BD 平分∠ ADC ，∴∠ CDB ＝∠ ADB，DF＝DF，∴△ DFP≌△ DFQ （ASA），∴DP＝DQ，∵AD＝DC＝2，∴AQ＝PC＝4﹣x，∴在Rt△ AQE中，∠ QAE＝60°，∴ QE＝AQ＝（4﹣x），∴ S△ABQ＝AB?QE＝2× （4﹣x）＝﹣x+4即当2<x≤4 时，y＝﹣x+4 ，该函数图象是y随x的增大而减小的一段线段．所以△ ABQ 的面积y（cm2）与点P 的运动时间x（秒）的函数图象大致是选项C．故选： C ．．填空题（共 5 小题）211．计算：﹣ 32+|﹣6|＝ ﹣ 3 ．【分析】 先计算乘方、绝对值，再计算加法即可得． 解答】 解：原式＝﹣ 9+6＝﹣ 3， 故答案为：﹣ 3．解答】 解：解不等式得∴ < a ≤ 3，∴不等式组的整数解为 2， 3， ∴所有整数解的积是 6， 故答案为 6．次函数 y 2＝ mx+ b （ m ≠ 0）的交点为 A （﹣ 1，4.5），B（ 3，【分析】 根据函数图象，当双曲线不在直线下方时， x 的取值范围便是所示答案． 【解答】 解：由函数图象可知，当双曲线在直线上方时，﹣ 1≤x <0或 x ≥3． 故答案为，﹣ 1≤ x <0 或 x ≥3．14．如图， AC 的半圆 O 的一条弦，点 D 是弧 AC 的中点，将弧 AC 沿弦 AC 为折线将弧 AC折叠后过圆心 O ， ⊙O 的半径为 2，则图中阴影部分的面积为 ．12．不等式组的所有整数解的积是 6分析】 分别解出每一个不等式得到，再求出不等数组的整数解为 2，3 即可．x 的取值范围 ﹣1≤x <0 或 x ≥3 ．13．如图，反比例函数 y 1＝分析】过点O 作OE⊥ AC，交AC 于F，连接OC，BC，证明弓形OC 的面积＝弓形BC 的面积，这样图中阴影部分的面积＝△ OBC 的面积．解答】解：过点O 作OE⊥ AC，交AC 于F，连接OC，BC，∴∠ A＝30°，∵ AB 是⊙O 的直径，∴∠ ACB＝90°，∴∠ B＝60°，∵OB＝OC＝2，∴△OBC 是等边三角形，∴OC＝BC，∴弓形OC 面积＝弓形BC 面积，∴阴影部分面积＝S△OBC＝× 2× ＝．故答案为：．15．如图，△ ABC 为直角三角形，∠ ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D，E 分别为AC，BC 的中点，点M 是边AB（不包括点A，B）上一动点，连接DE，MD ，ME ，作△ MDE 关于直线DE 的对称三角形，得到△ M′ DE，连接CM′，当△ CEM′为等腰三角形时，DM′ 2＝2﹣或2+ 或．【分析】 分点 M'在点 C 左侧或右侧两种情况讨论，由折叠的性质和等腰三角形的性质可 求解．∴ DE ∥ AB ，∠ CAB ＝∠ CBA ＝45°，CD ＝AD ＝1＝CE ，∴ CM '∥ AB ∥ DE ，∴CN ＝DN ＝∴ CM '＝ CE ＝ 1，则 M'N ＝1﹣ ， ∴DM '2＝M'N 2+DN 2＝2﹣ ；当点 M'在点 C 右侧，且 CE ＝CM'＝1 时， ∴NM '＝CN+CM '＝1+，∴DM '2＝DN 2+M'N 2＝2+ ；当点 M'在点 C 右侧，且 M 'E ＝CM'时， ∴∠ M 'CE ＝∠ CEM'＝45°， ∴EM'⊥CM'， ∴CM'＝M'E ＝故答案为： 2﹣ 或 2+ 或 三．解答题（共 8 小题）＝＝∴DM '2＝DN 2+M'N 2＝2+∵作△ MDE 关于直线 DE的对称三角形，得到△ M ′DE ， ∴∠ M'CD ＝∠ CAB ＝ 45° ，且 DN ⊥CM '，∵△ CEM ′为等腰三角形， 且∠ M 'CE > 90°，D 作 DN ⊥CM'于 N ，AC ，BC 的中点，分析】 先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再代入三角函数值求出 值，继而代入计算可得．＝+原式＝＝5．17．某中学为培养学生的阅读习惯，开展了“读书周”活动，并随机调查了该校部分学生这一周的课外阅读时间，将结果绘制成了如下尚不完整的统计图表 学生课外阅读时间统计表 阅读时间 /h 频数33 4m 5 30 6 1273请你根据以上信息回答下列问题（ 1）填空： m ＝ 12 ，本次调查的人数为 60 ； （ 2）本次调查中，学生阅读时间的中位数为 5 h ； （3）扇形统计图中，课外阅读 6h 所对应的圆心角的度数是72° ；（ 4）根据调查数据，发现这一周的人均阅读时间比活动前增加了 25%，求活动前的人均 阅读时间．，其中 x ＝ 2cos60°﹣ 3．x 的解答】 解：原式＝ 当 x ＝2cos60°﹣ 3＝2×﹣ 3 ＝ 1﹣ 3＝﹣ 2 时，16．先化简，再求值：＝1+＝【分析】（1）依据统计表与统计图中的数据，即可得到 m 的值以及本次调查的人数； （2）依据 m 的值，即可得到学生阅读时间的中位数；（3）依据课外阅读 6h 的人数，即可得到所对应的圆心角的度数；（ 4）设活动前的人均阅读时间为 xh ，依据这一周的人均阅读时间比活动前增加了 25%， 列方程求解即可．【解答】 解：（ 1）由图可得， 解得 m ＝ 12， 本次调查的人数为 ＝ 60（人），故答案为： 12，60；2）∵ 15<30<45，∴学生阅读时间的中位数为 5h ， 故答案为： 5；故答案为： 72（ 4）设活动前的人均阅读时间为 xh ，则x （1+25%）＝ （3× 3+4×12+5×30+6×12+7×3），解得 x ＝4，答：活动前的人均阅读时间为 4h ．18．有这样一个问题：探究函数 y ＝ 1﹣的图形与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（ 1）函数 y ＝1﹣ 的自变量 x 的取值范围是 x ≠﹣ 1 ； （ 2）如下表是 y 与 x 的几组对应值．写出 m ＝，n ＝ 0 ．x ⋯﹣4 ﹣ 3 ﹣2 ﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣1233）课外阅读 6h 所对应的圆心角的度数是可求 t ＝ 1．解答】 解：（1）∵ x+1≠0，∴ x ≠﹣ 1，故答案为 x ≠﹣ 1；当 x ＝0时， n ＝1﹣故答案为 ，0；3）如图：2 m3 5 ﹣3 ﹣1 ﹣ n3）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以表中各对对应值为坐标的点．根据描出4）结合函数的图象，请完成： ① y ＝2 时，则 x ＝ ﹣2 ；② 写出该函数的一条性质 当 x >﹣ 1 时， y 随 x 值的增大而增大 ；③ 若方程 1﹣＝t 无解，则 t 的值为 1分析】（ 1）由分式的性质可得 x+1≠ 0； 2）分别求当 x ＝ ﹣ 和 x ＝0 时求出函数值即为 m 与 n 的值；3）用描点法画出函数图象；4）① 当 y ＝2 时，1﹣ ＝2，求出 x 即可； ② 观察图象写一条性质即可； ③ 方程 1＝ t 无解，可以看做是函数 y ＝1﹣与 y ＝t 没有交点， 由于 y ＝1﹣ 中 y ≠ 1， 2）当 x ＝﹣的点，画出该函数的图象． 0，＝1+ ＝（4）① 当 y ＝2 时，1﹣＝2，∴ x ＝﹣ 2，故答案为 2； ②当 x >﹣1时，y 随 x 值的增大而增大；故答案为当 x >﹣ 1 时， y 随 x 值的增大而增大；③ 方程 1﹣＝t 无解，可以看做是函数 y ＝ 1﹣ 与 y ＝t 没有交点， ∵y ＝ 1﹣ 中 y ≠1，∴t ＝1时， 1﹣＝t 无解，19．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，点 C 为⊙ O 上一点， CD 为不过圆心且垂直于 CD 交 AB 于点 E ，连接 CO 并延长交 ⊙O 于点 F ，连接 CB 和 DF 并延长交于点 （ 1）求证： CF ＝ GF ；（ 2）填空： ① 若 AB ＝4，则△ COE 面积的最大值是 1；AB 的弦，G ． CG ，即可证明 CF ＝GF ；2）由（ 1）可知， OE 是三角形 CDF 中位线，所以 S △COE ＝ S △CDF ， 当点 H 与点 O故答案为 1．BODF 为菱形．BF 垂直平分线段S△ CDF 的最大值为4，则△ COE 面积的最大值是＝1．（3）由四边形BODF 为菱形得OD＝DF＝BF＝OB ＝OF ，所以△ BOF、△ DOF 为等边三角形，∠ OFD ＝∠ OFB＝60°，∠BFG＝60°，即求出∠ FBG＝∠FB∠BGF＝90﹣60° ＝30 °．【解答】解：（1）连接BF．∵ CF 为直径，∴∠ CBF＝90°，∠ CDF ＝90°，∵CD ⊥AB，AB 为直径，∴∠ CEB＝90°，CE＝DE，∴∠ CEB＝∠ CDF ，∴AB∥DF，∴CB＝BG，∴ BF 垂直平分线段CG，∴CF＝GF；（2）过点 D 作DH ⊥CF 于H ．由（1）可知，OE 是三角形CDF 中位线，当点H 与点O 重合时，高DH 最大，此时DHS△ CDF 的最大值为＝4，∴则△ COE 面积的最大值是＝ 1．∴OD ＝DF ＝BF ＝OB ＝ OF ， ∴△ BOF 、△ DOF 为等边三角形， ∴∠ OFD ＝∠ OFB ＝60°， ∴∠ BFG ＝ 60°，∵∠ FBG ＝∠ FBC ＝90°，∴∠ BGF ＝ 90﹣60°＝ 30°．故答案为 3020．如今，不少人购买家具时追求简约大气的风格，图（ 1）是一款非常畅销的简约落地收纳镜，其支架的形状固定不变，镜面可随意选择，图（ 2）为其侧面示意图，其中 OD 为 镜面， EF 为放置物品的收纳架， AB ，AC 为等长的支架， BC 为水平地面， 且OA ＝44cm ，OD ＝120cm ，BD ＝40cm ，∠ ABC ＝75°，如图（ 3）将镜面顺时针旋转 15°，求此时收 纳镜顶部端点 O 到地面 BC 的距离．（结果精确到 1cm ，参考数据： sin75°≈ 0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈ 3.73， ≈ 1.41， ≈1.73)DAE ＝15°，可得∠ OAC ＝ 135°，过点 A 作 AH ⊥OG 于点 H ，可得∠ HAI ＝90°，∠CAI 分析】 过点 A 作 AI ⊥ BC 于点 I ，过点 O 作 OG ⊥ BC 于点 G ，根据∠ B AC ＝30°，∠故答案为 1．＝15°，进而得∠ HAC ＝75 °，∠ OAH ＝60°，再根据三角函数分别求出长，进而可得端点 O 到地面 BC 的距离．【解答】 解：如图（ 3），过点 A 作 AI ⊥BC 于点 I ，过点 O 作 OG ⊥BC 于点 G ，∵∠ BAC ＝30°，∠ DAE ＝15°，∴∠ OAC ＝ 135°，过点 A 作 AH ⊥ OG 于点 H ，∴∠ HAI ＝90°，∠ CAI ＝15°，∴∠ HAC ＝ 75°，∴∠ OAH ＝ 60°，∴ OH ＝OA?sin60°＝ 44×＝22 ，HG ＝ AI ＝AB?sin75°， 如图（ 2）中∵ AD ＝OD ﹣OA ＝76cm ，∴ AB ＝ BD + AD ＝ 76+40＝ 116cm ，∴ HG ≈116× 0.97≈112.52，∵OG 表示端点 O 到地面 BC 的距离，∴ OG ＝OH + HG ≈22 +112.52≈ 221.73+112.52≈ 151 （ cm ）．答：端点 O 到地面 BC 的距离为 151cm ．21．某环卫公司承包了市区两个片区道路的清扫任务，需要购买某厂家A ， 路清扫车，购买 5辆A 型马路清扫车和 6辆B 型马路清扫车共需 171万元；购买 3辆 A OH 和 GH 的B 两种型号的马型马路清扫车和12 辆B型马路清扫车共需237 万元．（1）求这两种马路清扫车的单价；（2）恰逢该厂举行30 周年庆，决定对这两种马路清扫车开展促销活动，具体方案如下：购买A型马路清扫车按原价的八折销售，购买B型马上清扫车不超过10辆时按原价销售，超过10 辆的部分按原价的七折销售．设购买x 辆 A 种马路清扫车需要y1 元，购买x（x >0）个 B 型马路清扫车需要y2元，分别求出y1，y2关于x的函数关系式；（3）若该公司承包的道路清扫面积为118000m2，每辆 A 型马路清扫车每天清扫5000m2，每辆 B 型马路清扫车每天清扫6000m2，公司准备购买20 辆马路清扫车，且 B 型马路清扫车的数量大于10．请你帮该公司设计出最省钱的购买方案．请说明理由．【分析】（1）设A型马路清扫车的单价为 a 万元，B型马路清扫车的单价为 b 万元，根据“购买5辆A型马路清扫车和6辆B 型马路清扫车共需171万元；购买3辆A型马路清扫车和12辆B型马路清扫车共需237万元”即可得出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；（2）根据“ A型马路清扫车按原价的八折销售，购买B型马上清扫车不超过10 辆时按原价销售，超过10辆的部分按原价的七折销售” ，即可得出y1、y2关于x的函数关系式；（3）设该公司购买B型马路清扫车m辆，则购买 A 型马路清扫车（20﹣m）辆，根据题意求出m 的取值范围，即可解答．【解答】解：（1）设 A 型马路清扫车的单价为a万元，B型马路清扫车的单价为b万元，则由题意可知：，解得，答：A型马路清扫车的单价为15万元，B型马路清扫车的单价为16 万元；（2）由题意可知：y1＝0.8×15x，即y1＝12x，当0<x≤10 时，y2＝16x；当x>10时，y2＝16×10+16（x﹣10）×0.7，即y2＝11.2x+48．；∴ y2 ＝3）设该公司购买 B 型马路清扫车m辆，则购买 A 型马路清扫车（20﹣m）辆，根据题意得，解得m≥18，∵A 型马路清扫车的单价比 B 型马路清扫车的单价便宜，∴m ＝18 时，该公司最省钱，此时购买总费用为： 15×0.8×（20﹣18）+16×10+16×0.7 ×（ 18﹣10）＝ 273.6（万元）．即该公司购买 A 型马路清扫车 2 辆，购买 B 型马路清扫车 18 辆时最省钱，最低费用为 273.6 万元．22．（1）【发现证明】如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E ，F 分别是 BC ，CD 边上的动点，且∠ EAF ＝ 45°，求 证： EF ＝ DF+BE ．小明发现， 当把△ ABE 绕点 A 顺时针旋转 90°至△ ADG ，使 AB 与 AD 重合时能够证明， 请你给出证明过程．（ 2）【类比引申】 ① 如图 2，在正方形 ABCD 中，如果点 E ，F 分别是 CB ，DC 延长线 上的动点，且∠ EAF ＝ 45°，则（ 1）中的结论还成立吗？请写出证明过程．② 如图 3，如果点 E ，F 分别是 BC ，CD 延长线上的动点，且∠ EAF ＝ 45°，则 EF ，BE ，DF 之间的数量关系是 BE ＝ EF+DF （不要求证明）证明△ EAF ≌△ GAF ，可得出 EF ＝FG ，则结论得证；2）【类比引申】① 将△ABE 绕点 A 顺时针旋转 90°至△ ADM 根据 SAS 可证明△ EAF ≌△ MAF ，可得 EF ＝FM ，则结论得证；② 将△ ADF 绕点 A 逆时针旋转 90°至△ ABN ，证明△ AFE ≌△ ANE ，可得出 EF ＝EN ， 则结论得证；若正方形 ABCD 的边长为 6，AE ＝ 3 ，求 AF 的长．（3）【联想拓展】求出DG＝2，设DF＝x，则EF ＝DG＝x+3，CF ＝6﹣x，在Rt△EFC 中，得出关于x 的方程，解出x 则可得解．【解答】（1）【发现证明】证明：把△ ABE 绕点 A 顺时针旋转90°至△ ADG ，如图1，∵∠ EAF ＝45°，∴∠ BAE+∠ FAD＝45°，∴∠ DAG+∠ FAD＝45°，∴∠ EAF＝∠ FAG，∵AF＝AF，∴△ EAF ≌△ GAF （SAS），∴EF＝FG＝DF +DG，∴EF＝DF +BE；（2）【类比引申】① 不成立，结论：EF ＝DF﹣BE；证明：如图2，将△ ABE 绕点 A 顺时针旋转90°至△ ADM ，∵∠ EAF ＝45°，∴∠ NAE ＝ 45°，∴∠ NAE ＝∠ FAE ，∵AE ＝AE ，∴△ AFE ≌△ ANE （SAS ），∴EF ＝EN ，∴BE ＝BN+NE ＝DF +EF ．即 BE ＝ EF+DF ．故答案为： BE ＝EF+DF ． BE ＝ DM ， ∵AF ＝AF ，∴△ EAF ≌△ MAF （ SAS ），至△ ABN ， ∠ EAM＝∴∠ FAM ＝ 45°＝∠EAF ，∴EF ＝FM ＝DF ﹣DM ＝DF ﹣ BE ；（3）【联想拓展】解：由（1）可知AE＝AG＝ 3 ，∵正方形ABCD 的边长为6，∴DC＝BC＝AD＝6，∴ ＝＝3．∴BE＝DG＝3，∴ CE＝BC﹣BE＝6﹣3＝3，设DF ＝x，则EF＝DG＝x+3，CF＝6﹣x，2 2 2在Rt△EFC 中，∵ CF 2+CE2＝EF2，∴（6﹣x）2+32＝（x+3 ）2，解得：x＝2．∴DF＝2，∴AF＝＝＝ 2 ．223．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），直线1经过B，C 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，过线段CD 上方的抛物线上一动点E作EF⊥CD 交线段BC 于点F，求四边形ECFD 的面积的最大值及此时点 E 的坐标；（3）点P是在直线l上方的抛物线上一动点，点M是坐标平面内一动点，是否存在动点P，M，使得以C，B，P，M 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直线写出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．所以 S 四 ECFD ＝S △CDE +S △CDF ＝﹣ m 2+3m ，即可求面积的最大值； （3）设 P （n ，﹣ n 2+2n+3），①当 CP ⊥CB 时，n ＝﹣n 2+2n ，可求 ? ＝﹣ 1 ，可求 P 点横坐标为 解答】 解：（1）将点 B （3，0），点 C （0，3）代入 y ＝﹣ x 2+bx+c 中， 则有∴对称轴为 x ＝ 1，∵CD ∥x 轴，∴ D （ 2， 3），∴CD ＝2，∵点 B （3，0），点 C （ 0，3）， ∴BC 的直线解析式为 y ＝﹣ x+3，2设 E （m ，﹣ m +2m+3），∵ EF ⊥ CD 交线段 BC 于点 F ， ∴ F （ m ，﹣ m+3 ），y ＝﹣ x+3，设 E （m ，﹣ m 2+2m+3）， 2）求出 BC 的直线解析式为 则 F （m ，﹣ m+3）， +2x+3 ； ﹣ x 2+2x+3，∴S 四边形 ECFD ＝S △CDE +S △CDF ＝ 2× 2×（﹣ m 2+2m ） +× 2× m ＝﹣ m 2+3m ，P 点横坐标为 1； ② ． 当 CP ⊥ CB 时，当m＝时，四边形ECFD 的面积最大，最大值为；此时E（，）；（3）设P（n，﹣n2+2n+3），①当CP⊥CB时，∵∠ CBO＝45°，∴∠ PCD＝45°，2∴ n＝﹣n +2n，∴ n ＝1，∴P 点横坐标为1；②当CP⊥CB时，? ＝﹣1n﹣2）（n+1）＝﹣1，∴P 点横坐标为；综上所述：P点横坐标为或1．∴n＝或n＝舍），。

2020届河南中考数学押题密卷参考答案【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，正确表示出水果的销售总金额是解题关键．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。

答题：gbl210老师一、选择题（每小题3分，共30分）1.B2.C3.B4.D5.B6.A7.C8.A9.A 10.D二、填空题（每小题3分，共15分）11.2（a-1）² ; 12.m<1/5 ; 13.3π；14.﹣．15.2或5三、解答题（本题共8个小题，满分75分）16.（8分）解：（+）÷=[+]×x=（+）×x=2x﹣3--------5分∵x为满足﹣3＜x＜2的整数，∴x=﹣2，﹣1，0，1，∵x要使原分式有意义，∴x≠﹣2，0，1，∴x=﹣1，当x=﹣1时，原式=2×（﹣1）﹣3=﹣5--------8分17. （9分）解：（1）∵60≤x＜70小组的频数为8，占20%，∴8÷20%=40人，∴a=40﹣8﹣16﹣4=12，b=×100%=40%，故答案为：12，40；-------4分（2）∵70≤x＜80小组所占的百分比为30%，∴70≤x＜80对应扇形的圆心角的度数360°×30%=108°，故答案为：108°；--------6分（3）用A、B表示男生，用a、b表示女生，列表得：A B a b A AB Aa AbB BA Ba Bba aA aB abb bA bB ba∵共有12种等可能的结果，其中一男一女的有8种，∴P（一男一女）==．---------9分18．（9分）解：（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：连接OD，∵OD=OA，∴∠A=∠ODA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED，∴∠B=∠EDB，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ODA+∠EDB=90°，∴∠ODE=180°﹣90°=90°，∴直线DE与⊙O相切；--------5分（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8﹣x，∵∠C=∠ODE=90°，∴OC2+CE2=OE2=OD2+DE2，∴42+（8﹣x）2=22+x2，解得：x=4.75，则DE=4.75．--------------9分19.（9分）解：（1）∵反比例函数y=的图象经过点A，A点的坐标为（4，2），∴k=2×4=8，∴反比例函数的解析式为y=；--------4分（2）过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，由题意可知，CN=2AM=4，ON=2OM=8，∴点C的坐标为C（8，4），设OB=x，则BC=x，BN=8﹣x，在Rt△CNB中，x2﹣（8﹣x）2=42，解得：x=5，∴点B的坐标为B（5，0），设直线BC的函数表达式为y=ax+b，直线BC过点B（5，0），C（8，4），∴，解得：，∴直线BC的解析式为y=x+，根据题意得方程组，解此方程组得：或∵点F在第一象限，∴点F的坐标为F（6，）．-------9分20.（9分）解：如图，作FG⊥AB于G，DH⊥AB于H．设AG=x．在Rt△AFG中，FG===x，--------3分在Rt△ADH中，DH==，---------6分∵FG﹣DH=EB﹣CB=EC，∴x ﹣=10，解得x=20.8，∴AB=AG+BG=AG+EF=20.8+1.8=22.6米，答：灯塔AB 的高度为22.6米．------------9分21.（10分）解：（1）设该果农今年收获樱桃x千克，根据题意得：400-x≤7x，解得：x≥50，答：该果农今年收获樱桃至少50千克；------5分（2）由题意可得：100（1-m%）×30+200×（1+2m%）×20（1-m%）=100×30+200×20，令m%=y，原方程可化为：3000（1-y ）+4000（1+2y）（1-y）=7000，整理可得：8y2-y=0解得：y1=0，y 2=0.125∴m1=0（舍去），m2=12.5∴m2=12.5，答：m的值为12.5．-----10分22．（10分）（1）AF=CF（2）仍成立。

2020年河南省中考数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．1．（3分）2的相反数是（）A．﹣2B．−12C．12D．22．（3分）如图摆放的几何体中，主视图与左视图有可能不同的是（）A．B．C．D．3．（3分）要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（）A．中央电视台《开学第一课》的收视率B．某城市居民6月份人均网上购物的次数C．即将发射的气象卫星的零部件质量D．某品牌新能源汽车的最大续航里程4．（3分）如图，l1∥l2，l3∥l4，若∠1＝70°，则∠2的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°5．（3分）电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中1GB＝210MB，1MB＝210KB，1KB＝210B．某视频文件的大小约为1GB，1GB等于（）A．230B B．830B C．8×1010B D．2×1030B6．（3分）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y=−6x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y3＞y1C．y1＞y3＞y2D．y3＞y2＞y1 7．（3分）定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7．则方程1☆x ＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．只有一个实数根8．（3分）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x ，则可列方程为（ ） A ．500（1+2x ）＝7500 B ．5000×2（1+x ）＝7500 C ．5000（1+x ）2＝7500D ．5000+5000（1+x ）+5000（1+x ）2＝75009．（3分）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，边BC 在x 轴上，顶点A ，B 的坐标分别为（﹣2，6）和（7，0）．将正方形OCDE 沿x 轴向右平移，当点E 落在AB 边上时，点D 的坐标为（ ）A ．（32，2）B ．（2，2）C ．（114，2） D ．（4，2）10．（3分）如图，在△ABC 中，AB ＝BC =√3，∠BAC ＝30°，分别以点A ，C 为圆心，AC 的长为半径作弧，两弧交于点D ，连接DA ，DC ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．6√3B ．9C ．6D ．3√3二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）请写出一个大于1且小于2的无理数 ． 12．（3分）已知关于x 的不等式组{x ＞a ，x ＞b ，其中a ，b 在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为 ．13．（3分）如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色．固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，忽略不计）的颜色，则两次颜色相同的概率是．14．（3分）如图，在边长为2√2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为．15．（3分）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交BĈ于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．（8分）先化简，再求值：（1−1a+1）÷aa2−1，其中a=√5+1．17．（9分）为发展乡村经济，某村根据本地特色，创办了山药粉加工厂．该厂需购置一台分装机，计划从商家推荐试用的甲、乙两台不同品牌的分装机中选择．试用时，设定分装的标准质量为每袋500g，与之相差大于10g为不合格．为检验分装效果，工厂对这两台机器分装的成品进行了抽样和分析，过程如下：[收集数据]从甲、乙两台机器分装的成品中各随机抽取20袋，测得实际质量（单位：g）如下：甲：501 497 498 502 513 489 506 490 505 486502 503 498 497 491 500 505 502 504 505乙：505 499 502 491 487 506 493 505 499 498502 503 501 490 501 502 511 499 499 501[整理数据]整理以上数据，得到每袋质量x（g）的频数分布表．质量频数机器485≤x＜490490≤x＜495495≤x＜500500≤x＜505505≤x＜510510≤x＜515甲224741乙135731 [分析数据]根据以上数据，得到以下统计量．统计量机器平均数中位数方差不合格率甲499.7501.542.01b乙499.7a31.8110%根据以上信息，回答下列问题：（1）表格中的a＝，b＝；（2）综合上表中的统计量，判断工厂应迭购哪一台分装机，并说明理由．18．（9分）位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为45°．测角仪的高度为1.6m．（1）求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，√2≈1.41）；（2）“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．19．（9分）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x．其函数图象如图所示．（1）求k1和b的值，并说明它们的实际意义；（2）求打折前的每次健身费用和k2的值；（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．20．（9分）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具﹣﹣三分角器．图1是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半圆的半径相等；DB与AC垂直于点B，DB足够长．使用方法如图2所示，若要把∠MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过∠MEN 的顶点E，点A落在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，切点为F，则EB，EO 就把∠MEN三等分了．为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B，．求证：．21．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OA＝OB，点G为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及点G的坐标；（2）点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，求点Q的纵坐标y Q的取值范围．22．（10分）小亮在学习中遇到这样一个问题：̂上一动点，线段BC＝8cm，点A是线段BC的中点，过点C作CF∥BD，如图，点D是BC交DA的延长线于点F．当△DCF为等腰三角形时，求线段BD的长度．小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题．请将下面的探究过程补充完整：̂上的不同位置，画出相应的图形，测量线段BD，CD，FD的长度，（1）根据点D在BC得到下表的几组对应值．BD/cm0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.07.08.0 CD/cm8.07.77.2 6.6 5.9a 3.9 2.40 FD/cm8.07.4 6.9 6.5 6.1 6.0 6.2 6.78.0操作中发现：①“当点D为BĈ的中点时，BD＝5.0cm”．则上表中a的值是；②“线段CF的长度无需测量即可得到”．请简要说明理由．（2）将线段BD的长度作为自变量x，CD和FD的长度都是x的函数，分别记为y CD和y FD，并在平面直角坐标系xOy中画出了函数y FD的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数y CD的图象；（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△DCF为等腰三角形时，线段BD长度的近似值（结果保留一位小数）．23．（11分）将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为α，连接BB′，过点D作DE垂直于直线BB′，垂足为点E，连接DB′，CE．（1）如图1，当α＝60°时，△DEB′的形状为，连接BD，可求出BB′CE的值为；（2）当0°＜α＜360°且α≠90°时，①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；②当以点B′，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出BEB′E的值．2020年河南省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．1．（3分）2的相反数是（）A．﹣2B．−12C．12D．2【解答】解：2的相反数是﹣2．故选：A．2．（3分）如图摆放的几何体中，主视图与左视图有可能不同的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、主视图和左视图是长方形，一定相同，故本选项不合题意题意；B、主视图和左视图都是等腰三角形，一定相同，故选项不符合题意；C、主视图和左视图都是圆，一定相同，故选项不符合题意；D、主视图是长方形，左视图是正方形，故本选项符合题意；故选：D．3．（3分）要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（）A．中央电视台《开学第一课》的收视率B．某城市居民6月份人均网上购物的次数C．即将发射的气象卫星的零部件质量D．某品牌新能源汽车的最大续航里程【解答】解：A、调查中央电视台《开学第一课》的收视率，适合抽查，故本选项不合题意；B、调查某城市居民6月份人均网上购物的次数，适合抽查，故本选项不合题意；C、调查即将发射的气象卫星的零部件质量，适合采用全面调查（普查），故本选项符合题意；D、调查某品牌新能源汽车的最大续航里程，适合抽查，故本选项不合题意．故选：C．4．（3分）如图，l1∥l2，l3∥l4，若∠1＝70°，则∠2的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°【解答】解：∵l1∥l2，∠1＝70°，∴∠3＝∠1＝70°，∵l3∥l4，∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣70°＝110°，故选：B．5．（3分）电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中1GB＝210MB，1MB＝210KB，1KB＝210B．某视频文件的大小约为1GB，1GB等于（）A．230B B．830B C．8×1010B D．2×1030B【解答】解：由题意得：210×210×210B＝210+10+10＝230B，故选：A．6．（3分）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y=−6x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y3＞y1C．y1＞y3＞y2D．y3＞y2＞y1【解答】解：∵点A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（3，y3）在反比例函数y=−6x的图象上，∴y1=−6−1=6，y2=−62=−3，y3=−63=−2，又∵﹣3＜﹣2＜6，∴y1＞y3＞y2．故选：C．7．（3分）定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7．则方程1☆x＝0的根的情况为（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．无实数根D ．只有一个实数根【解答】解：由题意可知：1☆x ＝x 2﹣x ﹣1＝0， ∴△＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0， 故选：A ．8．（3分）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x ，则可列方程为（ ） A ．500（1+2x ）＝7500 B ．5000×2（1+x ）＝7500 C ．5000（1+x ）2＝7500D ．5000+5000（1+x ）+5000（1+x ）2＝7500【解答】解：设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x ， 由题意得：5000（1+x ）2＝7500， 故选：C ．9．（3分）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，边BC 在x 轴上，顶点A ，B 的坐标分别为（﹣2，6）和（7，0）．将正方形OCDE 沿x 轴向右平移，当点E 落在AB 边上时，点D 的坐标为（ ）A ．（32，2）B ．（2，2）C ．（114，2） D ．（4，2）【解答】解：如图，设正方形D ′C ′O ′E ′是正方形OCDE 沿x 轴向右平移后的正方形，∵顶点A ，B 的坐标分别为（﹣2，6）和（7，0）， ∴AC ＝6，OC ＝2，OB ＝7， ∴BC ＝9，∵四边形OCDE 是正方形， ∴DE ＝OC ＝OE ＝2， ∴O ′E ′＝O ′C ′＝2， ∵E ′O ′⊥BC ，∴∠BO ′E ′＝∠BCA ＝90°， ∴E ′O ′∥AC ， ∴△BO ′E ′∽△BCA ， ∴E′O′AC =BO′BC，∴26=BO′9，∴BO ′＝3，∴OC ′＝7﹣2﹣3＝2，∴当点E 落在AB 边上时，点D 的坐标为（2，2）， 故选：B ．10．（3分）如图，在△ABC 中，AB ＝BC =√3，∠BAC ＝30°，分别以点A ，C 为圆心，AC 的长为半径作弧，两弧交于点D ，连接DA ，DC ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．6√3B ．9C ．6D ．3√3【解答】解：连接BD 交AC 于O ， ∵AD ＝CD ，AB ＝BC ， ∴BD 垂直平分AC ， ∴BD ⊥AC ，AO ＝CO ，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝30°，∵AC＝AD＝CD，∴△ACD是等边三角形，∴∠DAC＝∠DCA＝60°，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADB＝∠CDB＝30°，∵AB＝BC=√3，∴AD＝CD=√3AB＝3，∴四边形ABCD的面积＝2×12×3×√3=3√3，故选：D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）请写出一个大于1且小于2的无理数√3．【解答】解：大于1且小于2的无理数是√3，答案不唯一．故答案为：√3．12．（3分）已知关于x的不等式组{x＞a，x＞b，其中a，b在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为x＞a．【解答】解：∵b＜0＜a，∴关于x的不等式组{x＞a，x＞b，的解集为：x＞a，故答案为：x＞a．13．（3分）如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色．固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，忽略不计）的颜色，则两次颜色相同的概率是14．【解答】解：自由转动转盘两次，指针所指区域所有可能出现的情况如下：共有16种可能出现的结果，其中两次颜色相同的有4种， ∴P （两次颜色相同）=416=14， 故答案为：14．14．（3分）如图，在边长为2√2的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，连接EC ，FD ，点G ，H 分别是EC ，FD 的中点，连接GH ，则GH 的长度为 1 ．【解答】解：设DF ，CE 交于O ， ∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B ＝∠DCF ＝90°，BC ＝CD ＝AB ， ∵点E ，F 分别是边AB ，BC 的中点， ∴BE ＝CF ，∴△CBE ≌△DCF （SAS ）， ∴CE ＝DF ，∠BCE ＝∠CDF ， ∵∠CDF +∠CFD ＝90°， ∴∠BCE +∠CFD ＝90°， ∴∠COF ＝90°，∴DF⊥CE，∴CE＝DF=√(2√2)2+(√2)2=√10，∵点G，H分别是EC，FD的中点，∴CG＝FH=√10 2，∵∠DCF＝90°，CO⊥DF，∴CF2＝OF•DF，∴OF=CF2DF=√2)210=√105，∴OH=3√1010，OD=4√105，∵OC2＝OF•OD，∴OC=√105×4105=2√105，∴OG＝CG﹣OC=√102−2√105=√1010，∴HG=√OG2+OH2=√110+910=1，故答案为：1．15．（3分）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交BĈ于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为6√2+π3．【解答】解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，此时E′C+E′C最小，即：E′C+E′C＝CD′，由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，∴∠COD′＝90°，∴CD′=√OC2+OD′2=√22+22=2√2，CD̂的长l =30π×2180=π3， ∴阴影部分周长的最小值为2√2+π3=6√2+π3． 故答案为：6√2+π3．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16．（8分）先化简，再求值：（1−1a+1）÷aa 2−1，其中a =√5+1． 【解答】解：(1−1a+1)÷aa 2−1=a+1−1a+1×(a−1)(a+1)a＝a ﹣1，把a =√5+1代入a ﹣1=√5+1﹣1=√5．17．（9分）为发展乡村经济，某村根据本地特色，创办了山药粉加工厂．该厂需购置一台分装机，计划从商家推荐试用的甲、乙两台不同品牌的分装机中选择．试用时，设定分装的标准质量为每袋500g ，与之相差大于10g 为不合格．为检验分装效果，工厂对这两台机器分装的成品进行了抽样和分析，过程如下：[收集数据]从甲、乙两台机器分装的成品中各随机抽取20袋，测得实际质量（单位：g ）如下：甲：501 497 498 502 513 489 506 490 505 486 502 503 498 497 491 500 505 502 504 505 乙：505 499 502 491 487 506 493 505 499 498 502 503 501 490 501 502 511 499 499 501 [整理数据]整理以上数据，得到每袋质量x （g ）的频数分布表．质量485≤x ＜490≤x ＜495≤x ＜500≤x ＜505≤x ＜510≤x ＜频数 机器 490 495 500 505 510 515甲 2 2 4 7 4 1 乙135731[分析数据]根据以上数据，得到以下统计量． 统计量 机器 平均数中位数方差不合格率甲 499.7 501.5 42.01 b 乙499.7a31.8110%根据以上信息，回答下列问题：（1）表格中的a ＝ 501 ，b ＝ 15% ；（2）综合上表中的统计量，判断工厂应迭购哪一台分装机，并说明理由．【解答】解：（1）将乙的成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是501，因此中位数是501， b ＝3➗20＝15%， 故答案为：501，15%；（2）选择乙机器，理由：乙的不合格率较小，18．（9分）位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP 上架设测角仪，先在点M 处测得观星台最高点A 的仰角为22°，然后沿MP 方向前进16m 到达点N 处，测得点A 的仰角为45°．测角仪的高度为1.6m ． （1）求观星台最高点A 距离地面的高度（结果精确到0.1m ．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，√2≈1.41）；（2）“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．【解答】解：（1）过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E，则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，∴BC＝MN＝16m，DE＝CN＝BM＝1.6m，∵∠AED＝90°，∠ACE＝45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴CE＝AE，设AE＝CE＝x，∴BE＝16+x，∵∠ABE＝22°，∴tan22°=AEBE=x16+x=0.40，∴x≈10.7（m），∴AD＝10.7+1.6＝12.3（m），答：观星台最高点A距离地面的高度约为12.3m；（2）∵“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m，∴本次测量结果的误差为12.6﹣12.3＝0.3m，减小误差的合理化建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法．19．（9分）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x．其函数图象如图所示．（1）求k1和b的值，并说明它们的实际意义；（2）求打折前的每次健身费用和k2的值；（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．【解答】解：（1）∵y 1＝k 1x +b 过点（0，30），（10，180）， ∴{b =3010k 1+b =180，解得{k 1=15b =30， k 1＝15表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元， b ＝30表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为30元；（2）由题意可得，打折前的每次健身费用为15÷0.6＝25（元）， 则k 2＝25×0.8＝20；（3）选择方案一所需费用更少．理由如下： 由题意可知，y 1＝15x +30，y 2＝20x ． 当健身8次时，选择方案一所需费用：y 1＝15×8+30＝150（元）， 选择方案二所需费用：y 2＝20×8＝160（元）， ∵150＜160，∴选择方案一所需费用更少．20．（9分）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具﹣﹣三分角器．图1是它的示意图，其中AB 与半圆O 的直径BC 在同一直线上，且AB 的长度与半圆的半径相等；DB 与AC 垂直于点B ，DB 足够长．使用方法如图2所示，若要把∠MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过∠MEN 的顶点E，点A落在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，切点为F，则EB，EO 就把∠MEN三等分了．为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B，AB＝OB，EN 切半圆O于F．求证：EB，EO就把∠MEN三等分．【解答】解：已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B，AB ＝OB，EN切半圆O于F．求证：EB，EO就把∠MEN三等分，证明：∵EB⊥AC，∴∠ABE＝∠OBE＝90°，∵AB＝OB，BE＝BE，∴△ABE≌△OBE（SAS），∴∠1＝∠2，∵BE⊥OB，∴BE是⊙E的切线，∵EN切半圆O于F，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2＝∠3，∴EB，EO就把∠MEN三等分．故答案为：AB＝OB，EN切半圆O于F；EB，EO就把∠MEN三等分．21．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OA＝OB，点G为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及点G的坐标；（2）点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，求点Q的纵坐标y Q的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+2x+c与y轴正半轴分别交于点B，∴点B（0，c），∵OA＝OB＝c，∴点A（c，0），∴0＝﹣c2+2c+c，∴c＝3或0（舍去），∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点G为（1，4）；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴对称轴为直线x＝1，∵点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，∴点M的横坐标为﹣2或4，点N的横坐标为6，∴点M坐标为（﹣2，﹣5）或（4，﹣5），点N坐标（6，﹣21），∵点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，∴﹣21≤y Q≤4或﹣21≤y Q≤﹣5．22．（10分）小亮在学习中遇到这样一个问题：̂上一动点，线段BC＝8cm，点A是线段BC的中点，过点C作CF∥BD，如图，点D是BC交DA的延长线于点F．当△DCF为等腰三角形时，求线段BD的长度．小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题．请将下面的探究过程补充完整：̂上的不同位置，画出相应的图形，测量线段BD，CD，FD的长度，（1）根据点D在BC得到下表的几组对应值．BD/cm0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.07.08.0 CD/cm8.07.77.2 6.6 5.9a 3.9 2.40FD/cm8.07.4 6.9 6.5 6.1 6.0 6.2 6.78.0操作中发现：①“当点D为BĈ的中点时，BD＝5.0cm”．则上表中a的值是5；②“线段CF的长度无需测量即可得到”．请简要说明理由．（2）将线段BD的长度作为自变量x，CD和FD的长度都是x的函数，分别记为y CD和y FD，并在平面直角坐标系xOy中画出了函数y FD的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数y CD的图象；（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△DCF为等腰三角形时，线段BD长度的近似值（结果保留一位小数）．̂的中点，【解答】解：（1）∵点D为BĈ=CD̂，∴BD∴BD＝CD＝a＝5cm，故答案为：5；（2）∵点A是线段BC的中点，∴AB＝AC，∵CF∥BD，∴∠F＝∠BDA，又∵∠BAD＝∠CAF，∴△BAD≌△CAF（AAS），∴BD＝CF，∴线段CF的长度无需测量即可得到；（3）由题意可得：（4）由题意画出函数y CF的图象；由图象可得：BD＝3.8cm或5cm或6.2cm时，△DCF为等腰三角形．23．（11分）将正方形ABCD 的边AB 绕点A 逆时针旋转至AB ′，记旋转角为α，连接BB ′，过点D 作DE 垂直于直线BB ′，垂足为点E ，连接DB ′，CE ．（1）如图1，当α＝60°时，△DEB ′的形状为 等腰直角三角形 ，连接BD ，可求出BB′CE的值为 √2 ；（2）当0°＜α＜360°且α≠90°时，①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；②当以点B ′，E ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出BE B′E的值．【解答】解：（1）∵AB 绕点A 逆时针旋转至AB ′， ∴AB ＝AB '，∠BAB '＝60°， ∴△ABB '是等边三角形， ∴∠BB 'A ＝60°，∴∠DAB '＝∠BAD ﹣∠BAB '＝90°﹣60°＝30°， ∵AB '＝AB ＝AD ， ∴∠AB 'D ＝∠ADB '， ∴∠AB 'D =180°−30°2=75°， ∴∠DB 'E ＝180°﹣60°﹣75°＝45°， ∵DE ⊥B 'E ，∴∠B 'DE ＝90°﹣45°＝45°， ∴△DEB '是等腰直角三角形． ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BDC ＝45°， ∴BD DC=√2，同理B′D DE=√2，∴BD DC=B′D DE，∵∠BDB '+∠B 'DC ＝45°，∠EDC +∠B 'DC ＝45°， ∴BDB '＝∠EDC ， ∴△BDB '∽△CDE ， ∴BB′CE=BD DC=√2．故答案为：等腰直角三角形，BB′CE=√2．（2）①两结论仍然成立． 证明：连接BD ，∵AB ＝AB '，∠BAB '＝α， ∴∠AB 'B ＝90°−α2，∵∠B 'AD ＝α﹣90°，AD ＝AB '， ∴∠AB 'D ＝135°−α2，∴∠EB 'D ＝∠AB 'D ﹣∠AB 'B ＝135°−α2−(90°−α2)=45°， ∵DE ⊥BB '，∴∠EDB '＝∠EB 'D ＝45°， ∴△DEB '是等腰直角三角形， ∴DB′DE=√2，∵四边形ABCD 是正方形， ∴BD CD =√2，∠BDC ＝45°，∴BD CD=DB′DE，∵∠EDB '＝∠BDC ，∴∠EDB '+∠EDB ＝∠BDC +∠EDB ， 即∠B 'DB ＝∠EDC ， ∴△B 'DB ∽△EDC ， ∴BB′CE =BD CD=√2．②BE B′E=3或1．若CD 为平行四边形的对角线，点B '在以A 为圆心，AB 为半径的圆上，取CD 的中点．连接BO 交⊙A 于点B '， 过点D 作DE ⊥BB '交BB '的延长线于点E ，由（1）可知△B 'ED 是等腰直角三角形， ∴B 'D =√2B 'E ，由（2）①可知△BDB '∽△CDE ，且BB '=√2CE ． ∴BE B′E=B′B+B′E B′E=BB′B′E+1=√2CEB′E+1=√2B′DB′E+1=√2×√2+1＝3．若CD 为平行四边形的一边，如图3，点E与点A重合，∴BEB′E=1．综合以上可得BEB′E =3或1．。

2020年河南中招考试说明解密预测试卷（数学）本卷须知：1．本试卷共8页，三大题，总分值120分，考试时刻100分钟．请用钢笔或圆珠笔直截了当答在试卷上．一、选择题〔每题3分，共18分〕 以下各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入题后括号内．1. 运算以下式子,结果是-2的是 【 】〔A 〕-(-2) 〔B 〕1)2(-- 〔C 〕0)2(- 〔D 〕2--2.在圆锥、长方体、棱柱、正方体这四个几何体中，正视图、左视图和俯视图完全相同的几何体是 【 】〔A 〕圆锥 〔B 〕长方体 〔C 〕棱柱 〔D 〕正方体3. 假设一次函数b kx y +=的图象通过第二、三、四象限，那么反比例函数xkby =的图象在【 】〔A 〕一、三象限 〔B 〕二、四象限〔C 〕一、二象限 〔D 〕三、四象限4. 在平面上有一个角是60°的菱形绕它的中心旋转，使它与原先的菱形重合，那么旋转的角度至少是【 】〔A 〕90° 〔B 〕180° 〔C 〕270° 〔D 〕360° 5. 一组数据-2，1，0，-1，2的极差和方差分不是【 】〔A 〕4和2 〔B 〕4和1〔C 〕3和2 〔D 〕2和16.现有一圆心角为90°，半径为12cm 的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面〔接缝忽略不计〕，那么该圆锥的高为【 】〔A 〕15cm〔B 〕215cm 〔C 〕315cm 〔D 〕615二、填空题〔每题3分，共27分〕7. -125的立方根与64的算术平方根的和等于 .AD CB8. 函数xx y -+=21中，自变量x 的取值范畴是 . 9. 关于x 的不等式2x -3-≥a 的解集如下图，那么a 的值为 . 〔 第9题〕10.某超市在节日期间开展优待活动，凡一次性消费不超过200元的一律九折优待，超过200元的，其中200元按九折算，超过200元的部分按八折算，王老师第一次购物付款72元，第二次又去购物享受了八折优待，他查看了所买物品的发票，发觉两次共节约了34元.那么王老师第二次购物实际付款 元.11.试写出一个开口方向向下，对称轴为直线x =2，且与y 轴的交点坐标为〔0，5〕的 抛物线的函数关系式 .12.△ABC 中，AC =3,BC =4,AB =5,而△EFG 是由△ABC 平移得到的，那么△EFG 的形状是 三角形.13. 阅读材料：设一元二次方程02=++c bx ax 的两根为21,x x ，那么两根与方程系数之间有如下关系式a cx x a b x x =•-=+2121,，依照该材料填空，21,x x 是方程0132=++x x 的两实数根，那么1221x x x x +的值为 . 14. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，M 为AC 边上一点.要使△ABC ∽△BCM ，还需要添加一个条件，那个条件能够是 .〔只需填写一个你认为适当的条件即可〕.15.如图,四边形ABCD 是梯形,AB ∥CD ,AB =BC =DA =1,CD =2,按图中所示的规律,用2018个如此的梯形镶嵌而成的四边形的周长是 .三、解答题〔本大题共8个小题，总分值75分〕〔第15题〕CMAB 〔第14题〕-21-12316.〔此题总分值8分〕 先化简，再求值：2222)11(yxy x yy x y x +-÷+--，其中 21,21-=+=y x .17. 〔此题总分值9分〕：如图，一圆弧形的拱桥,所在圆的半径是10m,通过桥拱的水面宽度AB 为16m,某日有一小帆船浮出水面的高度是3.5m,咨询小船能否从桥拱下通过?18. 〔此题总分值9分〕王辉和李敏两同学做游戏：有五张扑克牌，分不是1，2，3，4，5，洗匀后扣下，每人同时任取一张，假设这两张牌的数字和为奇数，王辉赢；假设这两张牌的数字和为偶数，李敏赢.请你画出树状图并分析那个游戏的公平性.19. 〔此题总分值9分〕：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CN ⊥AD 于E 交AB 于N ，F 是AC 的中点，FE 的延长线交BC 于M .试判定BM =MC 的正确性.假如正确，请给出证明过程；假设不正确，请讲明理由.20. 〔此题总分值9分〕实验中学为了了解今年参加中招考试九年级300名学生的体育成绩，特对学生参加课外锤炼的情形进行了摸底，随机对九年级30名学生一周内平均每天参加课外锤炼的时刻进行了调查，结果如下：〔单位：分钟〕38 21 35 24 40 39 23 53 35 62 36 29 51 45 40 41 39 32 43 37 37 53 38 40 39 32 43 41 50 45 〔1〕补全频数分布表和频数分布直方图〔图①〕. 频数分布表 体育锤炼频数分布直方图 14.5 22.5 30.5 38.5 46.5 54.5 62.5 时刻〔分〕图①〔2〕填空：在那个咨询题中，总体是 ， 样本是 .由统计分析得，这组数据的平均数是39.37〔分〕，众数是 ，中位数是 . 〔3〕假如描述该校300名学生一周内平均每天参加课外锤炼时刻的总体情形，你认为用平均数、众数、中位数中的哪一个量比较合适？〔4〕估量实验中学九年级有多少名学生，平均每天参加课外锤炼的时刻多于30分钟.21. 〔10分〕京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标， 接到了甲、乙两个工程队的投标书.从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的32；假设由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成.〔1〕求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？〔2〕甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为5.6万元.工程预算的施工费用为500万元.为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？假设不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判定并讲明理由.22. 〔10分〕〔1〕如图，在正方形ABCD 中，M 是AB 的中点，E是AB 延长线上一点，MN ⊥DM 且交∠CBE 的平分线于N .试判定线段MD 与MN 的大小关系；〔2〕假设将上述条件中的〝M 是AB 的中点〞改为〝M 是AB 上或AB 延长线上任意一点〞，其余条件不变.试咨询〔1〕中的结论还成立吗？假如成立，请证明；假如不成立，请讲明理由.得分评卷人得分评卷人BADCMNE23. 〔11分〕在平面直角坐标系中〔单位长度：1cm〕，A、B两点的坐标分不A〔-2，0〕、B〔4，0〕，点C从A点开始以1cm/s的速度沿折线AO y运动，同时点D从B点开始以2cm/s的速度沿折线BOy运动.〔1〕在运动开始后的同一时刻，运动时刻取何值时一定存在以A、O、C为顶点的三角形和以B、O、D为顶点的三角形？现在，以A、O、C为顶点的三角形和以B、O、D为顶点的三角形相似吗？运动时刻取何值时，以A、O、C为顶点的三角形和以B、O、D为顶点的三角形会同时成为等腰直角三角形？请分不讲明理由.〔2〕请你求出当运动时刻是4秒时通过三点A、B、C的抛物线的关系式，并指出其顶点坐标.数学试题参考答案及评分标准一、选择题〔每题3分，总分值18分〕 1. D 2.D 3.A 4. B 5. A 6. C二、填空题〔每题3分，总分值27分〕7. 3 8. 1-≥x 且x ≠2 9. 1 10.204 11. 9)2(2+--=x y 等12. 直角 13.-7 14. BM =BC 或∠ABC =∠BMC 或∠A =∠MBC 或BC 2=AC ·CM 15. 6029三、解答题〔本大题共8个小题，总分值75分〕16.解：原式=(x y)(x y)(x y)(x y)(x y)2y2+---•+-=2y (x y)x y(x y)(x y)2y x y2--•=+-+………6分把21,21-=+=y x 代入，得 原式=2222)21()21()21()21(==-++--+. ……………………………………8分17. 解：设弧AB所在圆的圆心为O,作OD⊥AB于D,交弧AB于C,那么CD为弓形ACB的高,连接OA. ………………………2分那么AD=BD=8. ……………………………………4分OD6=(m). …………………………6分∴CD=OC-OD=10-6=4(m).∴小船能够从桥拱下通过. ………………………………9分18. 解：树状图如下：一次游戏，两人随机取扑克牌的所有可能的结果如下表：……………………………………6分从上面的表中能够看出,一次游戏可能显现的结果共有20种,而且每种结果显现的可能性相同.P 〔两数和为奇数〕=532012=，P 〔两数和为偶数〕=52208=. ∵5253≠，因此那个游戏不公平. …………………………………9分19. 解：结论BM =MC 正确. ………………………………1分证明过程如下：∵AD 平分∠BAC ，∴∠NAE =∠CAE . ∵CE ⊥AD ，∴∠ANE =∠AEC = 90°.∵AE =AE ，∴△ANE ≌△ACE . ………………………………5分 ∴NE =CE . ∵F 为AC 的中点，∴AF =CF .∴EF ∥AB . ………………………………7分 ∵AF =CF ，∴BM =MC . ……………………………………9分20. 解：〔1〕0.1，0.4； 体育锤炼频数分布直方图14.5 22.5 30.5 38.5 46.5 54.5 62.5 时刻〔分〕………………………………3分〔2〕总体是实验中学九年级300名学生平均每天参加课外锤炼的时刻，样本是九年级30名学生平均每天参加课外锤炼的时刻；众数是39，40；中位数是39； …………6分〔3〕用平均数、众数、中位数描述实验中学300名学生平均每天参加课外锤炼时刻的总体情形都比较合适，因为在这一咨询题中这三个量专门接近. ………………7分〔4〕因为随机调查的30名学生平均每天参加课外锤炼的时刻多于30分钟的有26人，因此能够估量实验中学平均每天参加课外锤炼时刻多于30分钟的学生有2603003026=⨯人. ……………………………………9分 21.解：〔1〕设乙队单独完成这项工程需要x 天，那么甲队单独完成这项工程需要32x 天.依照题意，得11321303210=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x . ……………………………………3分 解得x =90.经检验，x =90是原方程的根. ∴32x =32×90=60. 答：甲、乙两队单独完成这项工程各需60天和90天. …………………………5分 〔2〕设甲、乙两队合作完成这项工程需要y 天，那么有1)901601(=+y . 解得y =36. ……………………………………8分 需要施工费用：36×〔8.4+5.6〕=504〔万元〕.∵504＞500.∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算4万元. ………………10分22. 证明：〔1〕取AD 的中点H ，连接HM .在△DHM 和△MBN 中，∵四边形ABCD 是正方形，M 为AB 的中点，∴BM =HD . ………………2分又∵∠DHM =135°,BN 是∠CBE 的平分线。

2020年河南省中考数学试卷一、选择题1．2的相反数是（）A．﹣2B．﹣C．D．22．如图摆放的几何体中，主视图与左视图有可能不同的是（）A．B．C．D．3．要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（）A．中央电视台《开学第一课》的收视率B．某城市居民6月份人均网上购物的次数C．即将发射的气象卫星的零部件质量D．某品牌新能源汽车的最大续航里程4．如图，l1∥l2，l3∥l4，若∠1＝70°，则∠2的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°5．电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中1GB＝210MB，1MB＝210KB，1KB＝210B．某视频文件的大小约为1GB，1GB等于（）A．230B B．830B C．8×1010B D．2×1030B6．若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y3＞y1C．y1＞y3＞y2D．y3＞y2＞y17．定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7．则方程1☆x＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根8．国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．500（1+2x）＝7500B．5000×2（1+x）＝7500C．5000（1+x）2＝7500D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝75009．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（﹣2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为（）A．（，2）B．（2，2）C．（，2）D．（4，2）10．如图，在△ABC中，AB＝BC＝，∠BAC＝30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则四边形ABCD的面积为（）A．6B．9C．6D．3二、填空题（每小题3分，共15分）11．请写出一个大于1且小于2的无理数．12．已知关于x的不等式组其中a，b在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为．13．如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色．固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，忽略不计）的颜色，则两次颜色相同的概率是．14．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为．15．如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于点D，点E为半径OB 上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝+1．17．为发展乡村经济，某村根据本地特色，创办了山药粉加工厂．该厂需购置一台分装机，计划从商家推荐试用的甲、乙两台不同品牌的分装机中选择．试用时，设定分装的标准质量为每袋500g，与之相差大于10g为不合格．为检验分装效果，工厂对这两台机器分装的成品进行了抽样和分析，过程如下：[收集数据]从甲、乙两台机器分装的成品中各随机抽取20袋，测得实际质量（单位：g）如下：甲：501 497 498 502 513 489 506 490 505 486502 503 498 497 491 500 505 502 504 505乙：505 499 502 491 487 506 493 505 499 498502 503 501 490 501 502 511 499 499 501[整理数据]整理以上数据，得到每袋质量x（g）的频数分布表．质量频数机器485≤x＜490490≤x＜495495≤x＜500500≤x＜505505≤x＜510510≤x＜515甲224741乙135731 [分析数据]根据以上数据，得到以下统计量．统计量机器平均数中位数方差不合格率甲499.7501.542.01b乙499.7a31.8110%根据以上信息，回答下列问题：（1）表格中的a＝，b＝；（2）综合上表中的统计量，判断工厂应迭购哪一台分装机，并说明理由．18．位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为45°．测角仪的高度为1.6m．（1）求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）；（2）“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．19．暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x．其函数图象如图所示．（1）求k1和b的值，并说明它们的实际意义；（2）求打折前的每次健身费用和k2的值；（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．20．我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具﹣﹣三分角器．图1是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半圆的半径相等；DB与AC垂直于点B，DB足够长．使用方法如图2所示，若要把∠MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过∠MEN的顶点E，点A落在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，切点为F，则EB，EO就把∠MEN三等分了．为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B，．求证：．21．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OA＝OB，点G为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及点G的坐标；（2）点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，求点Q的纵坐标y Q的取值范围．22．小亮在学习中遇到这样一个问题：如图，点D是上一动点，线段BC＝8cm，点A是线段BC的中点，过点C作CF∥BD，交DA的延长线于点F．当△DCF为等腰三角形时，求线段BD的长度．小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题．请将下面的探究过程补充完整：（1）根据点D在上的不同位置，画出相应的图形，测量线段BD，CD，FD的长度，得到下表的几组对应值．BD/cm0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.07.08.0 CD/cm8.07.77.2 6.6 5.9a 3.9 2.40 FD/cm8.07.4 6.9 6.5 6.1 6.0 6.2 6.78.0操作中发现：①“当点D为的中点时，BD＝5.0cm”．则上表中a的值是；②“线段CF的长度无需测量即可得到”．请简要说明理由．（2）将线段BD的长度作为自变量x，CD和FD的长度都是x的函数，分别记为y CD 和y FD，并在平面直角坐标系xOy中画出了函数y FD的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数y CD的图象；（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△DCF为等腰三角形时，线段BD长度的近似值（结果保留一位小数）．23．将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为α，连接BB′，过点D作DE垂直于直线BB′，垂足为点E，连接DB′，CE．（1）如图1，当α＝60°时，△DEB′的形状为，连接BD，可求出的值为；（2）当0°＜α＜360°且α≠90°时，①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；②当以点B′，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值．参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．1．2的相反数是（）A．﹣2B．﹣C．D．2【分析】利用相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案．解：2的相反数是﹣2．故选：A．2．如图摆放的几何体中，主视图与左视图有可能不同的是（）A．B．C．D．【分析】分别确定每个几何体的主视图和左视图即可作出判断．解：A、主视图和左视图是长方形，一定相同，故本选项不合题意题意；B、主视图和左视图都是等腰三角形，一定相同，故选项不符合题意；C、主视图和左视图都是圆，一定相同，故选项不符合题意；D、主视图是长方形，左视图是正方形，故本选项符合题意；故选：D．3．要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（）A．中央电视台《开学第一课》的收视率B．某城市居民6月份人均网上购物的次数C．即将发射的气象卫星的零部件质量D．某品牌新能源汽车的最大续航里程【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．解：A、调查中央电视台《开学第一课》的收视率，适合抽查，故本选项不合题意；B、调查某城市居民6月份人均网上购物的次数，适合抽查，故本选项不合题意；C、调查即将发射的气象卫星的零部件质量，适合采用全面调查（普查），故本选项符合题意；D、调查某品牌新能源汽车的最大续航里程，适合抽查，故本选项不合题意．故选：C．4．如图，l1∥l2，l3∥l4，若∠1＝70°，则∠2的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°【分析】根据平行线的性质即可得到结论．解：∵l1∥l2，∠1＝70°，∴∠3＝∠1＝70°，∵l3∥l4，∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣70°＝110°，故选：B．5．电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中1GB＝210MB，1MB＝210KB，1KB＝210B．某视频文件的大小约为1GB，1GB等于（）A．230B B．830B C．8×1010B D．2×1030B【分析】列出算式，进行计算即可．解：由题意得：210×210×210B＝210+10+10＝230B，故选：A．6．若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y3＞y1C．y1＞y3＞y2D．y3＞y2＞y1【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．解：∵点A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，∴y1＝﹣＝6，y2＝﹣＝﹣3，y3＝﹣＝﹣2，又∵﹣3＜﹣2＜6，∴y1＞y3＞y2．故选：C．7．定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7．则方程1☆x＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根【分析】根据新定义运算法则以及即可求出答案．解：由题意可知：1☆x＝x2﹣x﹣1＝0，∴△＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，故选：A．8．国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．500（1+2x）＝7500B．5000×2（1+x）＝7500C．5000（1+x）2＝7500D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500【分析】根据题意可得等量关系：2017年的快递业务量×（1+增长率）2＝2019年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．解：设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，由题意得：5000（1+x）2＝7500，故选：C．9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（﹣2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为（）A．（，2）B．（2，2）C．（，2）D．（4，2）【分析】根据已知条件得到AC＝6，OC＝2，OB＝7，求得BC＝9，根据正方形的性质得到DE＝OC＝OE＝2，求得O′E′＝O′C′＝2，根据相似三角形的性质得到BO′＝3，于是得到结论．解：如图，设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形，∵顶点A，B的坐标分别为（﹣2，6）和（7，0），∴AC＝6，OC＝2，OB＝7，∴BC＝9，∵四边形OCDE是正方形，∴DE＝OC＝OE＝2，∴O′E′＝O′C′＝2，∵E′O′⊥BC，∴∠BO′E′＝∠BCA＝90°，∴E′O′∥AC，∴△BO′E′∽△BCA，∴＝，∴＝，∴BO′＝3，∴OC′＝7﹣2﹣3＝2，∴当点E落在AB边上时，点D的坐标为（2，2），故选：B．10．如图，在△ABC中，AB＝BC＝，∠BAC＝30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则四边形ABCD的面积为（）A．6B．9C．6D．3【分析】连接BD交AC于O，根据已知条件得到BD垂直平分AC，求得BD⊥AC，AO ＝CO，根据等腰三角形的性质得到∠ACB＝∠BAC＝30°，根据等边三角形的性质得到∠DAC＝∠DCA＝60°，求得AD＝CD＝AB＝3，于是得到结论．解：连接BD交AC于O，∵AD＝CD，AB＝BC，∴BD垂直平分AC，∴BD⊥AC，AO＝CO，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝30°，∵AC＝AD＝CD，∴△ACD是等边三角形，∴∠DAC＝∠DCA＝60°，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADB＝∠CDB＝30°，∵AB＝BC＝，∴AD＝CD＝AB＝3，∴四边形ABCD的面积＝2×＝3，故选：D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．请写出一个大于1且小于2的无理数．【分析】由于所求无理数大于1且小于2，两数平方得大于2小于4，所以可选其中的任意一个数开平方即可．解：大于1且小于2的无理数是，答案不唯一．故答案为：．12．已知关于x的不等式组其中a，b在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为x＞a．【分析】根据关于x的不等式组的解集表示在数轴上表示方法求出x的取值范围即可．解：∵b＜0＜a，∴关于x的不等式组的解集为：x＞a，故答案为：x＞a．13．如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色．固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，忽略不计）的颜色，则两次颜色相同的概率是．【分析】用树状图或列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率．解：自由转动转盘两次，指针所指区域所有可能出现的情况如下：共有16种可能出现的结果，其中两次颜色相同的有4种，∴P（两次颜色相同）＝＝，故答案为：．14．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为1．【分析】设DF，CE交于O，根据正方形的性质得到∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，根据线段中点的定义得到BE＝CF，根据全等三角形的性质得到CE＝DF，∠BCE ＝∠CDF，求得DF⊥CE，根据勾股定理得到CE＝DF＝＝，点G，H分别是EC，FD的中点，根据射影定理即可得到结论．解：设DF，CE交于O，∵四边形ABCDA是正方形，∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，∵点E，F分别是边AB，BC的中点，∴BE＝CF，∴△CBE≌△DCF（SAS），∴CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，∵∠CDF+∠CFD＝90°，∴∠BCE+∠CFD＝90°，∴∠COF＝90°，∴DF⊥CE，∴CE＝DF＝＝，∵点G，H分别是EC，FD的中点，∴CG＝FH＝，∵∠DCF＝90°，CO⊥DF，∴CF2＝OF•DF，∴OF＝＝＝，∴OH＝，OD＝，∵OC2＝OF•OD，∴OC＝＝，∴OG＝CG﹣OC＝﹣＝，∴HG＝＝＝1，故答案为：1．15．如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于点D，点E为半径OB 上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为．【分析】利用轴对称的性质，得出当点E移动到点E′时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧CD的长与CD′的长度和，分别进行计算即可．解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，此时E′C+E′C最小，即：E′C+E′C＝CD′，由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，∴∠COD′＝90°，∴CD′＝＝＝2，的长l＝＝，∴阴影部分周长的最小值为2+＝．故答案为：．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝+1．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．解：＝＝a﹣1，把a＝+1代入a﹣1＝+1﹣1＝．17．为发展乡村经济，某村根据本地特色，创办了山药粉加工厂．该厂需购置一台分装机，计划从商家推荐试用的甲、乙两台不同品牌的分装机中选择．试用时，设定分装的标准质量为每袋500g，与之相差大于10g为不合格．为检验分装效果，工厂对这两台机器分装的成品进行了抽样和分析，过程如下：[收集数据]从甲、乙两台机器分装的成品中各随机抽取20袋，测得实际质量（单位：g）如下：甲：501 497 498 502 513 489 506 490 505 486502 503 498 497 491 500 505 502 504 505乙：505 499 502 491 487 506 493 505 499 498502 503 501 490 501 502 511 499 499 501 [整理数据]整理以上数据，得到每袋质量x（g）的频数分布表．质量频数机器485≤x＜490490≤x＜495495≤x＜500500≤x＜505505≤x＜510510≤x＜515甲224741乙135731 [分析数据]根据以上数据，得到以下统计量．统计量机器平均数中位数方差不合格率甲499.7501.542.01b乙499.7a31.8110%根据以上信息，回答下列问题：（1）表格中的a＝501，b＝5%；（2）综合上表中的统计量，判断工厂应迭购哪一台分装机，并说明理由．【分析】（1）根据中位数的计算方法，求出乙机器分装实际质量的中位数；乙机器的不合格的有1个，调查总数为20，可求出不合格率，从而确定a、b的值；（2）根据合格率进行判断．解：（1）将乙的成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是501，因此中位数是501，b＝1÷20＝0.05＝5%，故答案为：501，5%；（2）选择甲机器，理由：甲的不合格率较小，18．位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为45°．测角仪的高度为1.6m．（1）求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）；（2）“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．【分析】（1）过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E，则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，于是得到BC＝MN＝16m，DE＝CN＝BM＝1.6m，求得CE＝AE，设AE＝CE＝x，得到BE＝16+x，解直角三角形即可得到结论；（2）建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法．解：（1）过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E，则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，∴BC＝MN＝16m，DE＝CN＝BM＝1.6m，∵∠AED＝90°，∠ACE＝45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴CE＝AE，设AE＝CE＝x，∴BE＝16+x，∵∠ABE＝22°，∴tan22°＝＝＝0.40，∴x≈10.7（m），∴AD＝10.7+1.6＝12.3（m），答：观星台最高点A距离地面的高度约为12.3m；（2）∵“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m，∴本次测量结果的误差为12.6﹣12.3＝0.3m，减小误差的合理化建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法．19．暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x．其函数图象如图所示．（1）求k1和b的值，并说明它们的实际意义；（2）求打折前的每次健身费用和k2的值；（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．【分析】（1）把点（0，30），（10，180）代入y1＝k1x+b，得到关于k1和b的二元一次方程组，求解即可；（2）根据方案一每次健身费用按六折优惠，可得打折前的每次健身费用，再根据方案二每次健身费用按八折优惠，求出k2的值；（3）将x＝8分别代入y1、y2关于x的函数解析式，比较即可．解：（1）∵y1＝k1x+b过点（0，30），（10，180），∴，解得，k1＝15表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元，b＝30表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为30元；（2）由题意可得，打折前的每次健身费用为15÷0.6＝25（元），则k2＝25×0.8＝20；（3）选择方案一所需费用更少．理由如下：由题意可知，y1＝15x+30，y2＝20x．当健身8次时，选择方案一所需费用：y1＝15×8+30＝150（元），选择方案二所需费用：y2＝20×8＝160（元），∵150＜160，∴选择方案一所需费用更少．20．我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具﹣﹣三分角器．图1是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半圆的半径相等；DB与AC垂直于点B，DB足够长．使用方法如图2所示，若要把∠MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过∠MEN的顶点E，点A落在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，切点为F，则EB，EO就把∠MEN三等分了．为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B，AB＝OB，EN 切半圆O于F．求证：EB，EO就把∠MEN三等分．【分析】根据垂直的定义得到∠ABE＝∠OBE＝90°，根据全等三角形的性质得到∠1＝∠2，根据切线的性质得到∠2＝∠3，于是得到结论．解：已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B，AB＝OB，EN切半圆O于F．求证：EB，EO就把∠MEN三等分，证明：∵EB⊥AC，∴∠ABE＝∠OBE＝90°，∵AB＝OB，BE＝BE，∴△ABE≌△OBE（SAS），∴∠1＝∠2，∵BE⊥OB，∴BE是⊙E的切线，∵EN切半圆O于F，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2＝∠3，∴EB，EO就把∠MEN三等分．故答案为：AB＝OB，EN切半圆O于F；EB，EO就把∠MEN三等分．21．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OA＝OB，点G为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及点G的坐标；（2）点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，求点Q的纵坐标y Q的取值范围．【分析】（1）先求出点B，点A坐标，代入解析式可求c的值，即可求解；（2）先求出点M，点N坐标，即可求解．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+2x+c与y轴正半轴分别交于点B，∴点B（0，c），∵OA＝OB＝c，∴点A（c，0），∴0＝﹣c2+2c+c，∴c＝3或0（舍去），∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点G为（1，4）；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴对称轴为直线x＝1，∵点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，∴点M的横坐标为﹣2或4，点N的横坐标为6，∴点M坐标为（﹣2，﹣5）或（4，﹣5），点N坐标（6，﹣21），∵点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，∴﹣21≤y Q≤4．22．小亮在学习中遇到这样一个问题：如图，点D是上一动点，线段BC＝8cm，点A是线段BC的中点，过点C作CF∥BD，交DA的延长线于点F．当△DCF为等腰三角形时，求线段BD的长度．小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题．请将下面的探究过程补充完整：（1）根据点D在上的不同位置，画出相应的图形，测量线段BD，CD，FD的长度，得到下表的几组对应值．BD/cm0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.07.08.0 CD/cm8.07.77.2 6.6 5.9a 3.9 2.40 FD/cm8.07.4 6.9 6.5 6.1 6.0 6.2 6.78.0操作中发现：①“当点D为的中点时，BD＝5.0cm”．则上表中a的值是5；②“线段CF的长度无需测量即可得到”．请简要说明理由．（2）将线段BD的长度作为自变量x，CD和FD的长度都是x的函数，分别记为y CD 和y FD，并在平面直角坐标系xOy中画出了函数y FD的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数y CD的图象；（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△DCF为等腰三角形时，线段BD长度的近似值（结果保留一位小数）．【分析】（1）①由＝可求BD＝CD＝a＝5cm；②由“AAS”可证△BAD≌△CAF，可得BD＝CF，即可求解；（2）由题意可画出函数图象；（3）结合图象可求解．解：（1）∵点D为的中点，∴＝，∴BD＝CD＝a＝5cm，故答案为：5；（2）∵点A是线段BC的中点，∴AB＝AC，∵CF∥BD，∴∠F＝∠BDA，又∵∠BAD＝∠CAF，∴△BAD≌△CAF（AAS），∴BD＝CF，∴线段CF的长度无需测量即可得到；（3）由题意可得：（4）由题意画出函数y CF的图象；由图象可得：BD＝3.8cm或5cm或6.2cm时，△DCF为等腰三角形．23．将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为α，连接BB′，过点D作DE垂直于直线BB′，垂足为点E，连接DB′，CE．（1）如图1，当α＝60°时，△DEB′的形状为等腰直角三角形，连接BD，可求出的值为；（2）当0°＜α＜360°且α≠90°时，①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；②当以点B′，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值．【分析】（1）由旋转的性质得出AB＝AB'，∠BAB'＝60°，证得△ABB'是等边三角形，可得出△DEB'是等腰直角三角形．证明△BDB'∽△CDE，得出．（2）①得出∠EDB'＝∠EB'D＝45°，则△DEB'是等腰直角三角形，得出，证明△B'DB∽△EDC，由相似三角形的性质可得出．②分两种情况画出图形，由平行四边形的性质可得出答案．解：（1）∵AB绕点A逆时针旋转至AB′，∴AB＝AB'，∠BAB'＝60°，∴△ABB'是等边三角形，∴∠BB'A＝60°，∴∠DAB'＝∠BAD﹣∠BAB'＝90°﹣60°＝30°，∵AB'＝AB＝AD，∴∠AB'D＝∠ADB'，∴∠AB'D＝＝75°，∴∠DB'E＝180°﹣60°﹣75°＝45°，∵DE⊥B'E，∴∠B'DE＝90°﹣45°＝45°，∴△DEB'是等腰直角三角形．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BDC＝45°，∴，同理，∴，∵∠BDB'+∠B'DC＝45°，∠EDC+∠B'DC＝45°，∴BDB'＝∠EDC，∴△BDB'∽△CDE，∴．故答案为：等腰直角三角形，．（2）①两结论仍然成立．证明：连接BD，∵AB＝AB'，∠BAB'＝α，∴∠AB'B＝90°﹣，∵∠B'AD＝α﹣90°，AD＝AB'，∴∠AB'D＝135°﹣，∴∠EB'D＝∠AB'D﹣∠AB'B＝135°﹣＝45°，∵DE⊥BB'，∴∠EDB'＝∠EB'D＝45°，∴△DEB'是等腰直角三角形，∴，∵四边形ABCD是正方形，∴，∠BDC＝45°，∴，∵∠EDB'＝∠BDC，∴∠EDB'+∠EDB＝∠BDC+∠EDB，即∠B'DB＝∠EDC，∴△B'DB∽△EDC，∴．②＝3或1．若CD为平行四边形的对角线，点B'在以A为圆心，AB为半径的圆上，取CD的中点．连接BO交⊙A于点B'，过点D作DE⊥BB'交BB'的延长线于点E，由（1）可知△B'ED是等腰直角三角形，∴B'D＝B'E，由（2）①可知△BDB'∽△CDE，且BB'＝CE．∴＝+1＝+1＝+1＝+1＝3．若CD为平行四边形的一边，如图3，点E与点A重合，∴＝1．综合以上可得＝3或1．。

2020年河南省中考数学试卷题及答案解析一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。

1．（3分）﹣的绝对值是（）A．﹣B．C．2 D．﹣2【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数进行解答即可．【解答】解：|﹣|＝，故选：B．【点评】本题考查的是绝对值的性质，掌握一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0是解题的关键．2．（3分）成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克．数据“0.0000046”用科学记数法表示为（）A．46×10﹣7B．4.6×10﹣7C．4.6×10﹣6D．0.46×10﹣5【分析】本题用科学记数法的知识即可解答．【解答】解：0.0000046＝4.6×10﹣6．故选：C．【点评】本题用科学记数法的知识点，关键是很小的数用科学记数法表示时负指数与0的个数的关系要掌握好．3．（3分）如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D的度数为（）A．45°B．48°C．50°D．58°【分析】根据平行线的性质解答即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠B＝∠1，∵∠1＝∠D+∠E，∴∠D＝∠B﹣∠E＝75°﹣27°＝48°，故选：B．【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．4．（3分）下列计算正确的是（）A．2a+3a＝6a B．（﹣3a）2＝6a2C．（x﹣y）2＝x2﹣y2D．3﹣＝2【分析】根据合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方的运算法则进行运算即可；【解答】解：2a+3a＝5a，A错误；（﹣3a）2＝9a2，B错误；（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，C错误；＝2，D正确；故选：D．【点评】本题考查整式的运算；熟练掌握合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方的运算法则是解题的关键．5．（3分）如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图②．关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是（）A．主视图相同B．左视图相同C．俯视图相同D．三种视图都不相同【分析】根据三视图解答即可．【解答】解：图①的三视图为：图②的三视图为：故选：A．【点评】本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是学生的观察能力和对几何体三种视图的空间想象能力．6．（3分）一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【分析】先化成一般式后，在求根的判别式．【解答】解：原方程可化为：x2﹣2x﹣4＝0，∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝20＞0，∴方程由两个不相等的实数根．故选：A．【点评】本题运用了根的判别式的知识点，把方程转化为一般式是解决问题的关键．7．（3分）某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3元、2元、1元．某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（）A．1.95元B．2.15元C．2.25元D．2.75元【分析】根据加权平均数的定义列式计算可得．【解答】解：这天销售的矿泉水的平均单价是5×10%+3×15%+2×55%+1×20%＝2.25（元），故选：C．【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．8．（3分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则n的值为（）A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4【分析】根据（﹣2，n）和（4，n）可以确定函数的对称轴x＝1，再由对称轴的x＝即可求解；【解答】解：抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，可知函数的对称轴x＝1，∴＝1，∴b＝2；∴y＝﹣x2+2x+4，将点（﹣2，n）代入函数解析式，可得n＝﹣4；故选：B．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键．9．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3．分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为（）A．2B．4 C．3 D．【分析】连接FC，根据基本作图，可得OE垂直平分AC，由垂直平分线的性质得出AF＝FC．再根据ASA证明△FOA≌△BOC，那么AF＝BC＝3，等量代换得到FC＝AF＝3，利用线段的和差关系求出FD＝AD﹣AF＝1．然后在直角△FDC中利用勾股定理求出CD的长．【解答】解：如图，连接FC，则AF＝FC．∵AD∥BC，∴∠F AO＝∠BCO．在△FOA与△BOC中，，∴△FOA≌△BOC（ASA），∴AF＝BC＝3，∴FC＝AF＝3，FD＝AD﹣AF＝4﹣3＝1．在△FDC中，∵∠D＝90°，∴CD2+DF2＝FC2，∴CD2+12＝32，∴CD＝2．故选：A．【点评】本题考查了作图﹣基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度适中．求出CF与DF是解题的关键．10．（3分）如图，在△OAB中，顶点O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（）A．（10，3） B．（﹣3，10）C．（10，﹣3）D．（3，﹣10）【分析】先求出AB＝6，再利用正方形的性质确定D（﹣3，10），由于70＝4×17+2，所以第70次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°，此时旋转前后的点D关于原点对称，于是利用关于原点对称的点的坐标特征可出旋转后的点D 的坐标．【解答】解：∵A（﹣3，4），B（3，4），∴AB＝3+3＝6，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB＝6，∴D（﹣3，10），∵70＝4×17+2，∴每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于△OAB 与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°，∴点D的坐标为（3，﹣10）．故选：D．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．二、填空题（每小题3分，共15分。