第一章 函数与极限
一、要求：
函数定义域，奇偶性判定，反函数，复合函数分解，渐近线，求极限，
间断点类型判定，分段函数分段点连续性判定及求未知参数，零点定理应用.
二、练习：
1.函数 2112
++-=x x y 的定义域 ；答：2x ≥-且1x ≠±；
2.函数y =是由： 复合而成的；答：2ln ,,sin y u v v w w x ====；
3. 设 ,1122x
x x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛
+ 则()f x = ；答：22x -；
4.已知)10f x x x ⎛⎫=+≠ ⎪⎝⎭
，则()f x = ；
答： ()11f x x x x
==+()0x ≠；
5.11lim 1n x x x →--= ，答：n ； !lim 1
n n n →∞+= ；答： 0； 6. 当a = 时,函数(),0,0
x e x f x a x x ⎧<=⎨+≥⎩在(,)-∞+∞上连续；答：1a =； 7.设(3)(3)f x x x +=+，则(3)f x -=( B )；
A.(3)x x -，
B.()6(3)x x --，
C.()6(3)x x +-，
D.(3)(3)x x -+； 8. 1lim sin
n n n
→∞=（ B ）； A.0 ，B.1， C.+∞，D.-∞； 9.1x =是函数221()32
x f x x x -=-+的（A ）； A.可去间断点，B.跳跃间断点， C.第二类间断点， D.连续点；
10. |sin |()cos x f x x xe -=是（ A ）；
A.奇函数，
B.周期函数，
C.有界函数，
D.单调函数；
11.下列正确的是( A ) A.1lim
sin 0x x x →∞=，B.1lim sin 0x x x →∞=， C.01lim sin 1x x x →=， D.11lim sin 1x x x
→∞=； 12. 1x =是函数()1,13,1x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩的（ D ）
A 、连续点
B 、可去间断点
C 、第二类间断点
D 、跳跃间断点
13. 函数221
x
x y =+的反函数为（ A ） A.()()2log 0,11x y x x =∈-，B. 2log 1y x y =-,C. 2log 1x y x =-,D. ln 1x y x
=- 14. 计算()221lim 1x x x x →∞⎛⎫ ⎪-⎝⎭
；()2lim 1x x x x →∞⎛⎫ ⎪-⎝⎭；（3）30tan sin lim sin 2x x x x →-； （4）21/30(1)1lim cos 1x x x →+--；（5）()231lim 3cos x x x x x →∞+++；（6
）4x →； (7) ()()20ln ln 2ln lim x a x a x a x →++--；
(8)1x x ；
(9) 01lim ln x x →
(10) 1x x . 解：()22121111lim lim lim 11111111x x x x x x x x x e e x x x -→∞→∞→∞⎛⎫==== ⎪-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
； ()12lim lim 11x x x x x e x x -→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=⎢⎥ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
； （3）()23330001tan 1cos tan sin 12lim lim lim sin 28816
x x x x x x x x x x x x →→→⋅--====； （4）221/3002
1(1)123lim lim 1cos 132
x x x x x x →→+-==---； （5）()223311lim 0,23cos 4,
lim 3cos 0x x x x x x x
x x x
→∞→∞++
=≤+≤∴+
=++； （6
）(
)4442423x x x x →→→-===；
(7) ()()2222222222
000ln 1ln ln 2ln 11lim lim limln 1a x x x x x a x a x a a x x x a a a -→→→⎛⎫- ⎪++--⎛⎫⎝⎭==--=- ⎪⎝⎭；
或 原式222
0ln 1lim x x a x →⎛⎫- ⎪⎝⎭=222201lim x x a x a →-==-
(8) 111sin lim sin 200x x x x x x x x x
→∞===⋅=； 或
原式＝11arctan x x x x x
→∞=＝0
(9) ()()()()110001111lim lim ln 1ln 1lim ln 1ln 1122x x x x x x x x x x x -→→→⎡⎤=+--=++-=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦
； 或
0000011111112112112lim ln lim ln lim ln 1lim lim 1111222
21111x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→⎛⎫+ ⎪==+=== ⎪- ⎪---⎝
⎭
(10)110x x x x x ===. 15.已知21lim 31
x x ax b x →++=-，求,a b 的值； 解：设()()21x ax b x x c ++=-+，则()()11lim 13,21x x x c c c x →-+=+==-， 所以11,2a c b c =-==-=-.
16. 已知232lim 43
x x x k x →-+=-，求k 的值. 解：()2332lim 4,lim 303
x x x x k x x →→-+=-=-，()23lim 230,3x x x k k k →∴-+=+==-. 17.证明方程3
320x x ++=在区间()1,1-内至少有一个根. 证明 设()3
32f x x x =++，则()f x 在闭区间[]1,1-上连续，又()()113220,113260,f f -=--+=-<=++=>
由零点定理，至少存在一点()1,1,ξ∈-使()0f
ξ=；即()3320f ξξξ=++=， 即方程3320x x ++=在区间()1,1-内至少有一个根.
