数学中的灵敏度分析

Maxz=2x1+3X2+4x3x1+2X2+x i+x4=3S.t2x l-x2+3x3-x5=4x1,∙∙∙,x5≥0基变量xl=2,x2=3；非基变量x3=x4=x5=O;由约束条件得基变量用非基变量表示为p=⅛-5⅞-⅛^4÷y⅞[j⅛=f+∣Λ⅛-⅜X4-⅜X5目标函数中基变量用非基变量代入后Z=14-fx3-fx4-fx5o（1）当目标函数中系数Ci变化时（只要考虑最优性条件）：设目标函数变为MaX z,=cx l+3X2+4x3目标函数中基变量用非基变量代入2=⅛c+f-（yC-^）x3-（y+fc）x4-（⅜-jc）%5所以如果“-等，∣+⅛C,∣-⅜C≥0,则符合最优解判别条件，所以目标函数最优性不变z=∙⅛c+/由“一等，f+⅛c,£一"之0解得最优性不变的C的范围。

否则，即如果超出该范围，则重新用单纯形法求解。

（2）当约束条件右边常数2变化时（先考虑可行性条件看最优基是否变化，再考虑）：x1+2X2+x3+x4=b设约束条件变为2X1-X2+3X3-X5=4X I,∙∙∙,Λ5≥0先假设基没有变，所以令非基变量x3=x4=x5=0代入约束条件解得为4,JX2=2^-4根据可行性条件，必须和％≥o,解得匕的范围，即在此范围内最优基不变（最优解可能变化，要另外去求）。

否则，即如果超出该范围，则重新用单纯形法求解。

（3）当约束条件中价值系数传变化时（先看可行性条件看最优基是否变化,再考虑最优值）：a ll x l+Ix1+x3+X4=3设约束条件变为，2X1-X2+3X3-X5=4x1,∙∙∙,x5≥0Ir=5先假设基没有变，所以令非基变量x3=x4=x5=0代入约束条件解得解得为｛,^v_2q∣-36(x21Il根据可行性条件，必须%,马≥0,解得。

”的范围，即在此范围内最优基不变(最优解可能变化，要另外去求)。

否则，即如果超出该范围，则重新用单纯形法求解。

灵敏度分析与全局敏感度分析比较研究论文素材在数学建模、系统分析、风险评估等领域中，灵敏度分析和全局敏感度分析是两个常用的方法。

本文将对这两种分析方法进行比较研究，探讨其优缺点及适用场景，为相关领域的研究者提供参考。

一、灵敏度分析灵敏度分析是一种用来评估模型中参数对输出结果的影响程度的方法。

它通过改变模型中的一个或多个参数，并观察模型输出结果的变化，来衡量参数对结果的敏感程度。

灵敏度分析可分为局部敏感度分析和全局敏感度分析两种方法，下面将重点介绍局部敏感度分析。

1. 局部敏感度分析局部敏感度分析是在给定某一特定点上，对各个参数的灵敏度进行分析。

它的核心思想是通过改变参数的值，并观察输出结果的变化，来判断参数对结果的影响程度。

常用的方法包括参数敏感度指标、敏感度曲线等。

2. 局部敏感度分析的优点和适用场景局部敏感度分析的优点是计算简单、易于理解，并且适用于大多数情况下。

它可以帮助研究者了解模型中各个参数对结果的影响程度，进行参数的优化和调整。

适用场景包括模型初步建立阶段、局部问题分析以及参数敏感度分析等。

二、全局敏感度分析全局敏感度分析是在整个参数空间范围内，对各个参数的灵敏度进行分析。

与局部敏感度分析不同的是，全局敏感度分析考虑了参数之间的相互作用和不确定性，能够更全面地评估参数对模型输出结果的影响。

1. 全局敏感度分析方法全局敏感度分析方法包括元胞自动机方法、Monte Carlo方法、Sobol分析等。

其中，Sobol分析是一种较为常用的方法，可用于评估参数对输出的主效应和交互效应。

2. 全局敏感度分析的优点和适用场景全局敏感度分析的优点是能够综合考虑参数之间的相互作用，更全面地评估参数对输出结果的影响。

它可以帮助研究者了解参数之间的关联性，提高模型的可信度。

适用于参数空间较大、参数之间相互关联较强的情况下。

三、灵敏度分析与全局敏感度分析的比较灵敏度分析和全局敏感度分析都可以评估参数对输出结果的影响程度，但在方法、计算复杂度和适用场景上存在差异。

灵敏度分析1. 简介灵敏度分析（Sensitivity Analysis），又称为参数分析，是指在数学模型或系统模型中，通过改变各种输入参数，分析其对模型输出结果的影响程度的一种方法。

灵敏度分析可以帮助我们了解模型的稳定性、可靠性以及输入因素对输出的影响程度，从而帮助我们做出科学合理的决策。

在实际应用中，很多决策问题都涉及到多个不确定的参数，这些参数对于决策结果的影响程度可能不同。

灵敏度分析能够帮助我们确定哪些参数对决策结果更为敏感，哪些参数对决策结果影响较小，从而帮助我们确定关键参数，并为决策提供支持。

2. 灵敏度分析方法2.1 单参数灵敏度分析单参数灵敏度分析是指在数学模型中，依次改变一个输入参数，而其他参数保持恒定，观察模型输出结果的变化情况。

通过改变一个参数的值，我们可以分析该参数对模型输出结果的影响程度。

常用的单参数灵敏度分析方法有：•参数敏感度指标（Parameter Sensitivity Index，PSI）：PSI用于衡量输入参数的变化对输出结果的影响程度。

常见的PSI指标有：绝对敏感度、相对敏感度、弹性系数等。

•参数敏感度图（Parameter Sensitivity Plot）：通过绘制参数敏感度图，可以直观地看出输入参数对输出结果的影响程度。

常见的参数敏感度图有：Tornado图、散点图等。

•分析输出结果的极值情况：通过改变参数的值，观察模型输出结果的极值情况，可以分析参数对极值情况的敏感程度。

2.2 多参数灵敏度分析多参数灵敏度分析是指同时改变多个输入参数，观察模型输出结果的变化情况。

多参数灵敏度分析可以帮助我们分析多个参数之间的相互作用，以及各个参数对输出结果的综合影响。

常用的多参数灵敏度分析方法有：•流量排序法（Flow Sort）：通过将参数的取值按照大小进行排序，逐步改变参数取值的范围，观察输出结果的变化情况。

可以帮助我们确定哪些参数对输出结果的影响更大。

•剥离法（Perturbation）：通过逐个改变参数的取值，观察输出结果的变化情况。

数学建模万能模板7灵敏度分析1.引言在引言部分，首先简要介绍灵敏度分析的重要性，以及在各种数学建模场景中的应用。

可以列举一些实际例子来支持这一观点，同时阐述灵敏度分析对于决策制定、预测以及控制等领域的贡献。

2.灵敏度分析概述在这一部分，详细解释灵敏度的概念，以及如何利用灵敏度分析来研究模型输出如何随输入参数的变化而变化。

可以引入一些数学概念，如雅可比矩阵、灵敏度系数等，以便为后续的分析打下基础。

3.灵敏度分析方法在这一部分，介绍灵敏度分析的主要方法，如局部灵敏度分析、全局灵敏度分析、蒙特卡洛模拟等。

详细解释每种方法的原理、计算步骤以及适用范围。

此外，还可以讨论这些方法在数学建模中的应用。

4.数学建模灵敏度分析实例在这一部分，结合具体的数学模型，进行灵敏度分析的实例展示。

可以选择一个或多个具有代表性的模型，如预测模型、优化模型等。

详细介绍如何使用灵敏度分析方法来研究这些模型的灵敏度特征，以及如何根据分析结果来改进模型或调整模型参数。

5.灵敏度分析的决策应用在这一部分，讨论灵敏度分析在决策制定中的应用。

可以根据实际情况列举一些具体案例，如根据灵敏度分析结果来制定资源分配策略、调整生产计划或制定风险管理策略等。

此外，还可以讨论灵敏度分析如何与其他技术（如机器学习、仿真等）结合使用，以提高决策制定的科学性和准确性。

6.灵敏度分析的挑战与展望在这一部分，讨论灵敏度分析面临的挑战以及未来的发展方向。

例如，如何处理高维度模型、如何提高计算效率、如何将灵敏度分析与不确定性量化相结合等。

此外，还可以探讨灵敏度分析在其他领域的应用前景，如生物医学、环境科学等。

7.结论总结全文的主要内容，强调灵敏度分析在数学建模中的重要性以及在实际应用中的价值。

同时指出本文所介绍的灵敏度分析方法只是其中的一部分，鼓励读者在今后的学习和实践中进一步探索其他灵敏度分析方法，并将其应用于实际问题中。

8.参考文献列出本文中所引用的参考文献，格式按照所选的参考文献类型进行整理排版即可。

1、灵敏度分析：对系统或事物因周围条件变化显示出来的敏感程度分析；（线性规划中就是指）建立数学模型和求得最优解后，研究线性规划的一个或多个参数（系数）c j , a ij ,b j 变化时，对最优解产生的影响。

2、影子价格：当约束条件常数项增加一个单位时，最优目标函数值增加的数量。

3、约束条件常数项中增加一个单位而使得目标函数值得到改进的数量称之为这个约束条件的对偶价格。

4、图G的一个回路，若它恰通过G中每条边一次,则称该回路为欧拉(Euler)回路。

5、在引入了目标值和正、负偏差变量后，可以将原目标函数加上负偏差变量，减去正偏差变量，并其等于目标值，这样形成一个新的函数方程，把它作为一个新的约束条件，加入到原问题中去，称这种新的约束条件为目标约束。

6、实现值和目标值之间会有一定的差异，这种差异称为偏差变量(事先无法确定的未知量)。

7、在一个通信系统中,在收到某个消息之后,接收端所了解到的该消息发送的概率称为后验概率.8、在一个具有几个顶点的连通图G中，如果存在子图G'包含G中所有顶点和一部分边，且不形成回路，则称G'为图G的生成树，代价最小生成树则称为最小生成树。

9、当某个基被选定之后，如果计算出该基的基解≥0, 即其中每个基变量的值都是≥0, 则此基解被称为基本可行解。

10、各阶段开始时的客观条件或自然条件叫做状态，描述各阶段状态的变量称为状态变量11、样本信息指我们抽取的一个或多个样本的具体信息。

12、所谓的定量分析就是基于能够刻画问题的本质的数据和数量的关系，建立能描述问题的目标、约束及其关系的数学模型，通过一种或多种数量方法，找到最好的解决方案。

13、0－1整数规划：所有决策变量只能取 0 或 1 两个整数的整数线性规划；14、（1）分枝定界法是求解整数规划的一种常用的有效的方法，它既能解决纯整数规划的问题，又能解决混合整数规划的问题。

大多数求解整数规划的商用软件就是基于分枝定界法而编制成的。

因此，假设条件成为了建模过程中一个影响模型好坏的影响因素，灵敏度分析就是在模型建立后，对假设条件变化，检验模型的优劣性一般来说Lingo做出来的灵敏度分析能够达到一个比较理想的程度，不过还是要根据模型本身来研究，建议你在开始之前先学习一下《数值分析》，对建模的灵敏度分析很有用哈，再根据《数值分析》的方法，对M-C（蒙特卡罗）方法进行灵敏度分析，你会很快掌握~~~随着现代工业的迅速发展，对工业设备的精度提出了更高的要求。

但是，由于制造误差、轴承间隙、弹性变形等因素的影响，不可避免地会对设备的精度产生一定的影响。

因此我们就有必要建立起一个数学模型并且应用恰当的分析方法来研究上述的各种误差对精度的影响关系，找出影响最大的因素，作为我们在实际的制造和装配过程中进行误差分配，降低生产成本，提高传动精度的理论依据。

这里就可以采用灵敏度分析的方法。

它主要包括局部灵敏度分析方法和全局灵敏度分析方法。

一、局部灵敏度分析方法局部法主要分析因素对模型的局部影响（如某点）。

局部法可以得到参数对输出的梯度，这一数值是许多领域研究中所需要的重要数据。

局部法主要应用于数学表达式比较简单，灵敏度微分方程较易推出，不确定因素较少的系统模型中。

主要包括直接求导法、有限差分法、格林函数法。

1．直接求导法对于输入因素个数少、结构不复杂、灵敏度微分方程较易推导的系统或模型，直接法是一种简单快速的灵敏度分析方法。

时变（非静止）系统可以用微分或微分-代数方程进行描述。

假设要考虑的初值问题是，（1）同样，代表n维输出变量，代表m维输入因素。

代表初值数组。

式（1）对输入因素微分得到下述的灵敏度微分方程（2）或以矩阵形式表示为（3）式中，是系统代数-微分方程右边对系统输出变量的导数（可称为雅可比矩阵），是对输入因素的导数，也可称为参数雅可比。

微分方程（2）的初始条件为零向量。

上述的直接法建立在微分方程（2）的基础上，要得到其灵敏度矩阵S的解，需要先求得矩阵J和F的值。

灵敏度分析在数学建模中的应用灵敏度分析是指通过对模型的参数或变量进行微小的变化，分析其对模型结果的影响程度，从而判断模型的稳定性和可靠性。

在数学建模中，灵敏度分析是一个非常重要的工具，可以帮助研究者对模型进行优化和改进，提高模型的精度和可靠性，进而为实际问题的解决提供更加可行的方案。

一、灵敏度分析的基本思想灵敏度分析是指在一组偏离参考值不大的参数或变量的变化下，研究模型结果随之变化的过程。

通过描述这种变化，可以评估模型在参数或变量变化时的稳定性和可靠性，进而帮助研究者确定哪些参数或变量对模型结果影响最大，从而针对性地进行调整和改进。

二、灵敏度分析的应用场景灵敏度分析广泛应用于各种实际问题的数学建模中，例如：1、工程建模：在工程建模中，灵敏度分析可以帮助研究者实现设计的优化，降低成本和风险。

例如，可以对比不同变量或参数组合下的模型结果，分析为什么某种组合会使模型结果更优秀，从而对设计方案进行优化。

2、金融建模：在金融建模中，灵敏度分析可以帮助研究者确定价格和市场变化对模型结果的影响，从而更好地预测未来市场的发展趋势，优化金融风险管理方案。

3、医学建模：在医学建模中，灵敏度分析可以帮助研究者评估药物或疗法对疾病的疗效和副作用的影响，从而更好地指导医疗决策和治疗方案选择。

三、灵敏度分析的方法和步骤进行灵敏度分析的方法和步骤通常包括以下几个方面：1、选择模型：选择合适的数学模型是进行灵敏度分析的第一步。

模型必须能够描述研究对象的特征和关系，同时易于进行参数或变量的微小变化。

2、确定变化范围：确定模型中参数或变量的变化范围，一般是基于实际问题的特点和实验数据的分析得出的。

3、计算偏导数：通过计算模型对参数或变量的偏导数，可以得到模型结果对它们的敏感程度。

4、分析结果：分析结果可以帮助研究者确定哪些参数或变量的变化会对模型结果产生重要的影响，并评估模型在给定参数或变量变化范围内的稳定性和可靠性。

四、灵敏度分析的优缺点灵敏度分析是一种非常有用的数学建模工具，具有以下优点：1、能够确定模型结果对参数或变量的敏感程度，为模型优化提供了指导。

灵敏度分析的数学原理灵敏度分析是管理科学中常用的一种分析方法，用来评估模型输出结果对模型输入参数变化的敏感程度。

其数学原理基于模型的导数和偏导数，下面我们从数学角度来解释灵敏度分析的原理。

在开始解释灵敏度分析的数学原理之前，我们先来回顾一下导数和偏导数的概念。

导数是用来描述函数在某一点上的变化率，它的定义为函数的微分与自变量的微分之比。

比如，对于函数y=f(x)，它在某一点x0处的导数就是f'(x0)。

而偏导数是用来描述多元函数在某一点上的变化率，它的定义为函数的偏微分与自变量的偏微分之比。

比如，对于函数z=f(x,y)，它在某一点(x0,y0)处的偏导数就是f/∂x(x0,y0)和f/∂y(x0,y0)。

在进行灵敏度分析时，我们需要计算模型输出结果对输入参数的导数或偏导数，从而确定模型对于参数变化的敏感程度。

具体来说，我们可以通过以下两种方法进行灵敏度分析：一阶灵敏度分析和二阶灵敏度分析。

一阶灵敏度分析是指计算模型输出结果对输入参数的一阶导数或偏导数。

这种方法适用于线性模型或在小范围内进行参数变化的非线性模型。

在计算一阶灵敏度时，我们可以使用求导规则和链式法则。

比如，对于函数y=f(x)，我们可以通过计算dy/dx来得到模型输出结果y对输入参数x的灵敏度。

而对于函数z=f(x,y)，我们可以通过计算∂z/∂x和∂z/∂y来得到模型输出结果z对输入参数x和y的灵敏度。

二阶灵敏度分析是指计算模型输出结果对输入参数的二阶导数或偏导数。

这种方法适用于非线性模型或在大范围内进行参数变化的模型。

在计算二阶灵敏度时，我们需要使用二阶偏导数和混合偏导数。

比如，对于函数z=f(x,y)，我们可以通过计算∂²z/∂x²、∂²z/∂y²和∂²z/∂x∂y来得到模型输出结果z对输入参数x和y 的二阶灵敏度。

通过计算一阶灵敏度或二阶灵敏度，我们可以得到模型输出结果对输入参数的灵敏度矩阵。

数学建模灵敏度分析例题讲解篇一《超市购物的价格灵敏度分析》嘿，朋友们！今天咱就来讲讲数学建模里的灵敏度分析，咱就拿大家都熟悉的超市购物这事打个比方哈。

就说前几天，我像往常一样兴致勃勃地去超市大采购。

我这人吧，对零食那是没啥抵抗力的，一进超市就直奔零食区。

我眼睛一下子就瞄上了我最爱的巧克力。

平时啊，这种巧克力都是10块钱一包，我每次去都毫不犹豫地拿上好几包。

那天我到货架前一看，好家伙，价格变成12块钱一包了。

我当时心里就咯噔一下，下意识地就开始琢磨：这价格涨了两块钱，我要不要还像以前一样买那么多呢？我就站在那犹豫了好一会儿。

以往我每次去超市买这种巧克力都是当作日常小零食，路上吃，在家休息的时候也吃，反正就是吃着开心。

可现在这价格一涨，我就开始细细盘算啦。

如果我还买原来那么多包，那这次买巧克力的花销可就比平时多不少。

我得考虑下我这个月的零食预算会不会超支啊，其他喜欢的零食是不是就没钱买啦？想到这，我决定少买两包。

这就是一个典型的灵敏度分析的例子啊。

在这里，巧克力的价格就是一个变量。

价格变化后，我的购买决策也就跟着变了。

价格的上升使得我对购买量变得“敏感”起来，进而调整了购买的数量。

就像在数学建模里的灵敏度分析一样，一个因素发生改变了，会引起其他相关因素的变动。

比如说在一个更复杂的商业模型里，产品价格变动可能会影响到销售量、利润等等一系列的东西。

像我买巧克力，价格上升导致购买量下降，那在商场的整体数据中，可能这个牌子巧克力的销售额就会受到影响喽。

咱通过我这次超市购物的小经历，是不是对灵敏度分析就有点感觉啦？反正啊，数学建模里的灵敏度分析就是这么个实实在在、和咱生活息息相关的玩意儿。

篇二《旅游酒店定价的灵敏度分析》咱接着唠这灵敏度分析哈，这回咱拿旅游住酒店这事说说。

去年啊，我和几个朋友计划了一趟自驾游，目的地是一个热门的旅游城市。

到了地方之后，我们就开始找酒店住。

按照我们原来的预算啊，想找那种每晚300块钱左右的酒店，环境好点，干净舒服就行。