人教版九年级数学上册教学课件 24.1.2 垂直于弦的 直径 ——垂径定理及其推论

24．1．2 垂直于弦的直径

教学目标

1、知识目标：

（1）充分认识圆的轴对称性。

（2）利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质，掌握垂径定理。

（3）运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图。

2、能力目标：

让学生经历“实验—观察—猜想—验证—归纳”的研究过程，培养学生动

手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力。

让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力。

3、情感目标：

通过实验操作探索数学规律，激发学生的好奇心和求知欲，同时

培养学生勇于探索的精神。

教学重点

垂直于弦的直径的性质及其应用。

教学难点

1、垂径定理的证明。

2、垂径定理的题设与结论的区分。

教学辅助

多媒体、可折叠的圆形纸板。

教学方法

本节课采用的教学方法是“主体探究式”。整堂课充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，注重学生探究能力的培养，鼓励学生认真观察、大胆猜想、小心求证。令学生参与到“实验--观察--猜想--验证--归纳”的活动中，与教师共同探究新知识最后得出定理。学生不再是知识的接受者，而是知识的发现者，是学习的主人。

教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计目的

情

景

创

设

情景创设

情景问题：赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？

把一些实际问题转化为数学问题

思考：若用直角三角形解决，那么E是否为AB中点？

从实际出发，充分发现问题的存在，再带着问题去思考它们之间的关系，有助于定理的得出。

回

顾

旧

识

回顾旧识

我们已经学习过对称的有关概念，下面复习两道问题

1）什么是轴对称图形？

2）我们学习过的轴对称图形有哪些？

（电脑上直观的动画演示，运用几何画板演示沿上述图形对称轴对折图形的动画） 学生观察一些图形：

垂径定理及其推论的教学设计

一、基本信息

授课课题 垂径定理及其推论 授课课型 复习课

授课教师

授课时间

从教时间

手机号码

二、教学设计

【内容分析】垂径定理及其推论是圆中的一个重要内容，它揭示了弦、直径及弦所对的弧之间的一种特殊的位置关系。解题时过圆心作已知弦的垂线是常用的辅助线，其目的是应用垂径定理的有关结论。

【学情分析】有效教学旨在以最优的效率促进学生在知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观“三个维度”上获得良好的发展。授课学校是学困生高度集中的学校，学生数学基础薄弱，突破掌握知识技能方面的瓶颈是难点。知识技能方面特点，决定了日积月累的“先天不足”，导致进入初中阶段“后天畸形”的尴尬，要加工、纠正和提升，难度大。

【教学目标】知识目标：

1、进一步熟悉垂径定理及其推论的应用。

2、能运用垂径定理及其推论解决有关数学问题。

3、会综合利用圆的有关性质解决有关数学问题。

能力目标：

1、 通过教学，提高学生分析基本图形、添加辅助线探索解题思路的能力。

2、 通过把实际问题转化成一个数学问题，了解数学建模的思想，培养学生分析问题、解决问题的能力。

3、 通过练习，总结常用解题方法，渗透分类、方程、构造直角三角形等数学思想。

情感目标：学会与同学交流合作，培养团队精神，体验学习过程中成功的快乐，

增强学习数学的信心与热情。

【教学重点】掌握垂径定理及其推论，能运用垂径定理及其推论解决有关数学问题。

【教学难点】在圆中解决有关弦的问题时，经常是过圆心作弦的垂线段，连结半径等辅助线，构造直角三角形。

【任务分析】

1、 通过课前限时练习，帮助学生回顾垂径定理及其推论的内容，形成良好的

知识结构。

2、 通过探究活动，帮助学生掌握应用垂径定理及其推论解决有关数学问题的

解题思路、规律与技巧。

3、 通过课后分层练习，帮助学生掌握重点知识，突破难点，提高学生灵活应

用垂径定理及其推论解决数学问题的能力。

1 / 9 24.1.2垂直于弦的直径教学设计

一、 教学目标：

1、知识与技能目标

(1) 通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；

(2) 掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题；

(3) 掌握辅助线的作法——连半径，作弦的垂线段。

2、过程与方法目标：通过定理探究、证明和应用的过程，发展学生的数学思维，

培养学生的观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力。

3、情感、态度与价值观

（1）通过探究垂径定理的活动，激发学生探究、发现数学问题的兴趣，培养学生大胆猜想、乐于探究的良好品质；

（2）培养学生观察能力，激发学生的好奇心和求知欲，从数学学习活动中获得成功的体验。

二、教学重点、难点：

重点：垂径定理及其应用

难点：区分垂径定理的题设与结论

三、教具准备：圆形纸片、三角板、圆规。

四、教学过程：

教学步骤 教学内容 设计意图

引例：你知道赵州桥吗?它是我国隋代建造的石拱桥, 距今有1400年的历从学生熟悉的历史事物中提出问2 / 9 A B C

D E O

一、创设情境，激疑引趣

史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，现在有个人想要知道它主桥拱的半径是多少？同学们，你能帮他求出来吗？学完了本节课的内容，我们一起来解决这个问题。

题、设置悬疑、激发学生的学习兴趣。让学生体会生活中数学随处可见，体验数学如何用来解决生活中的实际问题。

二、实验观察，得出猜想 探究活动1

实验观察：让学生拿出准备好的圆形纸片的圆心。

从而得到圆的一条基本性质

圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线）都是它的对称轴。

探究活动2

问题：问题：在圆形纸片上画一条直径CD，在直径CD上取一点E（点E与O不重合），过点E画一条弦AB，然后沿CD对折，观察线段AE是否等于BE？如何才能使得直径CD平分弦AB？你发现了什么结论？

ODCOABDCOABPAOBCD24.1.2 垂直于弦的直径——垂径定理（第一课时）

一、知识探究

1、圆既是 图形，又是 图形。对称轴是

，对称中心是 。

2、按要求作图

（1）作⊙O的任意一条弦AB；

（2）过圆心O，作垂直于弦AB的直径CD，交AB于点E。

观察并回答：

问题1：通过观察，在该图中有没有相等的线段：

问题2：通过观察，在该图中有没有相等的弧：

证明过程：已知：CD是⊙O的直径，且CD⊥AB。 求证：AE=BE

结论：垂径定理： 的直径 ，并且 。

几何语言的写法：∵

∴

强调：（1） ；（2） ；（3）

（4） ；（5）

二、例题解析

例1：在⊙O中，弦AB长8cm，圆心O到AB的距离为3cm，则⊙O半径为

例2：⊙O的半径为5，M是⊙O内一点，OM=3，则过M点的最短弦的长为

例3：如图：已知线段AB交⊙O于C、D两点，若AC=BD，求证：OA=OB。

三、课堂练习：