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立体几何中的组合体问题专题(有答案)

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-1 立体几何中的组合体问题专题(有答案)

例1.正方体与球问题:正方体的棱长为1.求球的半径:

⑴若正方体的八个顶点都在球面上,

⑵若球内切于正方体;

⑶12条棱组成一个正方体,一充气球在正方体内,求球的最大半径.

例2.正四面体与球问题:正四面体的棱长为1.求球的半径:

⑴若正四面体的四个顶点都在球面上,

⑵若球内切于正四面体;

⑶6条棱组成一个正四面体,一充气球在正四面体内,求球的最大半径.

例3.四球问题:四个球的半径都为1.

⑴桌面放两两相切的3个球,这3个球上面放一个球,求这个球的最高点离桌面的距离;

⑵求与上述4个球都相切的小球的半径.

例4.圆锥、圆柱与球

⑴底面半径为1cm高为10cm的圆柱内,可以放几个半径为0.5cm的小球?

⑵圆锥底面半径为3,高为4,一个球内切于圆锥,求球的半径;

⑶圆锥底面半径为3,高为4,两个半径相同的球两两相切,放在圆锥底面上,且内切于圆锥,求这两个球的半径;

⑷圆锥底面半径为3,高为4,三个半径相同的球两两相切,放在圆锥底面上,且内切于圆锥,求这两个球的半径;

⑸圆锥底面半径为3,内接于一个半径为4的球,求圆锥的高.

例5.圆锥与正四棱柱

⑴圆锥底面半径为3,高为4,正四棱柱的高为3,且内接于圆锥,求正四棱柱的底面边长;

⑵圆锥底面半径为3,高为4,正四棱柱的高为x,且内接于圆锥,求正四棱柱的体积.

-2 练习

一、补（补成长方体或正方体）

1. 一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为

A、3π

B、4π

C、33π

D、6π 2. 在正三棱锥ABCS中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AMMN，若侧棱32SA，则正三棱锥ABCS外接球的表面积是（ ）

A．12 B．32 C．36 D．48

3. 点P在直径为6的球面上，过P作两两互相垂直的三条弦（两端点均在球面上的线段），若其中一条弦长是另一条弦长的2倍，则这三条弦长之和的最大值是

A．6 B．435 C．2215 D．21055

4. 一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（ ）

A．8 B．6 C．4 D．

5. 设正方体的棱长为233，则它的外接球的表面积为（ ）

A．38 B．2π C．4π D．34

6. 已知三棱锥SABC的三条侧棱两两垂直，且2,4SASBSC，则该三棱锥的外接球的半径为

A．3 B．6 C．36 D．9

7. 已知长方体1111ABCDABCD的外接球的表面积为16，则该长方体的表面积的最大值为

A．32 B．36 C．48 D．64

8. 长方体1111ABCDABCD的各个顶点都在表面积为16的球O的球面上，其中1::2:1:3ABADAA，则四棱锥OABCD的体积为

A. 263 B. 63 C.23 D.3

9.【山东省潍坊一中2013届高三12月月考测试数学文】四棱锥PABCD的三视图如右图所示，四棱锥PABCD的五个顶点都在一个球面上，E、F分别是棱AB、CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为22，则该球表面积为

A.12 B.24 C.36 D.48

10. (河南省豫东、豫北十所名校2013届高三阶段性测试四)已知四面体ABCD中，AB=AD=6,AC =4,CD =213，AB丄平面ACD,则四面体 ABCD外接球的表面积为

A. 36 B. 88 C. 92 D. 128

11. 正方体1111ABCDABCD的棱长为6，一个球与正方体的棱长都相切，则这个球的半径是 -3 ____________.

12. 三棱锥A-BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，ΔABC，ΔACD, ΔADB的面积分别为236,,222，则三棱锥A-BCD的外接球的体积为. ______

13. 四面体ABCD中，共顶点A的三条棱两两相互垂直，且其长分别为361、、，若四面体的四个顶点同在一个球面上，则这个球的表面积为 。

14. 正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折成直二面角BADC，则三棱锥BADC的外接球的表面积为 。

15. 已知正三棱锥PABC，点P，A，B，C都在半径为3的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为________。

16.【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （文）】在正三棱锥S-ABC中，侧面SAB、侧面SAC、侧面SBC两两垂直，且侧棱23SA，则正三棱锥SABC外接球的表面积为____________.

二、利用球的定义确定球心的位置

1. 从P点出发三条射线PA，PB，PC两两成60°，且分别与球O相切于A，B，C三点，若球的体积为4π3，则OP的距离为（ ）

A．2 B．3 C．32 D．2

2. 一个正方体的四个顶点在半球的底面上，另四个顶点在该半球面上，则这个半球体积与正方体的体积之比为 ( )

A.5π∶6 B.6π∶2 C.π∶2 D.5π∶12

3. 已知一个四面体的一条边长为6，其余边长均为2，则此四面体的外接球半径为

A．53 B.5 C.153 D.155

4. 若棱长均为2的正三棱柱内接于一个球，则该球的半径为

A．33 B．332 C．321 D．7

5. （天津市新华中学2013届高三第三次月考理科数学）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC 为球O的直径，且2SC，则此棱锥的体积为（ ）

A．26 B．36 C．23 D．22

6. 已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=3，∠ASC=∠BSC=300，则棱锥S—ABC的体积为

A. 33 B. 23 C. 3 D. 1 -4 7. 已知,,,SABC是球O表面上的点，SAABC平面，ABBC，1SAAB，2BC，则球O的表面积等于

A. 4 B. 3 C. 2 D. 

8 .已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB＝3，BC＝2，则棱锥O－ABCD的体积为

A. 51 B. 351 C.

251 D. 516

9. 已知矩形ABCD的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D—ABC的外接球的表面积等于( )

A．4π B．8π

C．16π D．24π

10.（2013年高考辽宁数学（理）试题）已知三棱柱111ABCABC的6个顶点都在球O的球面上,若34ABAC，,ABAC,112AA,则球O的半径为（ ）

A．3172 B．210 C．132 D．310

11.【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考文】四面体BCDA中，,5,4BDADACBCCDAB则四面体外接球的表面积为（ ）

A． 33

B． 43 C． 36

D． 18

12. 【2014高考大纲卷文第10题】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积是（ ）

A. 814 B. 16 C. 9 D. 274

13. （河南省郑州外国语学校2014届高三11月月考）平面四边形ABCD中，1CDADAB，CDBDBD,2，将其沿对角线BD折成四面体BCDA'，使平面BDA'平面BCD，若四面体BCDA'顶点在同一个球面上，则该球的体积为( )

A. 23 B. 3 C. 32 D. 2

14. (河南省六市2013年高中毕业班第一次联考文)球O的球面上有四点S、A、B、C，其中O、A、B、C四点共面，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S－ABC的体积的最大值为

A．1 B．13 C．3 D．33

15. (东北育才双语学校2013届高三第五次模拟理)若三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB=2，SA=SB=SC=2，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）

A. 83 B.433 C. 43 D. 163

16.（湖北省武汉市2013届高三5月模拟考试数学（理）试题）已知球O是棱长为1的正方体1111ABCDABCD的内切球,则以1B为顶点,以平面1ACD被截得的圆为底面的圆锥的全面积为_____________________. -5 17. 在三棱柱ABC—A′B′C′中，已知AA′⊥平面ABC，AA′=2，BC=23，∠BAC=2，且此三棱柱的各个顶点都在一个球面上，则球的体积为

。

18. 已知三棱锥ABCD中，2,10ABAD，5,3CDBC，90BAD，则此三棱锥的外接球的表面积为 ．

三、割（利用体积相等）

1. 正三棱锥P—ABC的三条侧棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为

A．1:3 B．)33(:1 C．3:)13( D．3:)13(

2. 已知四面体PABC的外接球的球心O在AB上，且PO平面ABC，23ACAB,若四面体PABC的体积为32，则该球的体积为( )

A．3 B．2 C．22 D．43

3. （湖北省天门市2013届高三模拟测试（一）数学理试题 ）点P是底边长为23,高为2的正三棱柱表面上的动点,MN是该棱柱内切球的一条直径,则PMPN 取值范围是

A．[0,2] B．[0,3] C．[0,4] D．[—2,2]

4. 一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是332，那么这个三棱柱的体积是 .

5. 三棱锥A-BCD 的两条棱AB=CD=6 ，其余各棱长均为5．则三棱锥的内切球的半径为 ．

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高中数学立体几何中动态问题及探索问题组卷(有详细答案)

高中数学立体几何中动态问题及探索问题组卷(有详细答案)

立体几何动态问题及探索问题

一．选择题（共11小题）

1．（2011•辽宁）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（ ）

A． AC⊥SB

B． AB∥平面SCD

C． SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角

D． AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

2．（2009•中山模拟）如图，设平面α∩β=EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足．分别为B，D，若增加一个条件，就能推出BD⊥EF．现有①AC⊥β；②AC与α，β所成的角相等；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF．那么上述几个条件中能成为增加条件的个数是（ ）

A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

3．（2007•东城区二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为（ ）

A．

B．

C．

D．

4．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面四边形ABCD是矩形，且AD=3AB，点E是底面的边BC上的动点，设，则满足PE⊥DE的λ值有（ ）

A． 0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个 5．△ABC所在平面外一点P，分别连接PA、PB、PC，则这四个三角形中直角三角形最多有（ ）

A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个

6．如图：已知矩形ABCD中，AB=2，BC=a，若PA⊥面AC，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是（ ）

A． a＞4 B． a≥4 C． 0＜a＜4 D． 0＜a≤4

7．棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别在线段AB1，BC1上，且AM=BN，给出以下结论：其中正确的结论的个数为（ ）

高考复习28-组合体的“切”“接”综合问题高考试题解读与变式

高考复习28-组合体的“切”“接”综合问题高考试题解读与变式

高考复习28 ：组合体的“切”“接”综合问题

知识储备汇总

1.知识储备汇总:

1.1球的性质 球被平面截得的图形是圆，球心与截面圆圆心的连线与截面圆垂直，球的半径R，截面圆的半径r，球心到截面圆的距离为d，则222drR.

1.2长方体性质：长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.

1.3几个与球有关的切、接常用结论

(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，

①正方体的外接球，则23Ra；

②正方体的内切球，则2Ra；

③球与正方体的各棱相切，则22Ra.

(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为,,abc，外接球的半径为R，则2222Rabc.

(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.

1.4与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图.

1.5.解决与球有关的切、接问题的方法：

(1)一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面将空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各素之间的关系．

(2)若球面上四点,,,PABC中,,PAPBPC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．

1.6.求解球与多面体的组合问题时，其关键是确定球心的位置，可以根据空间几何体的对称性判断球心的位置，然后通过作出辅助线或辅助平面确定球的半径和多面体中各个几何元素的关系，达到求解解题需要的几何量的目的．

题型与相关高考题解读

1.棱柱的外接球问题

1.1考题展示与解读

例1 长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为 ________．

新高考数学重难点培优专题讲义——立体几何小题专练(含详细答案解析)

新高考数学重难点培优专题讲义——立体几何小题专练(含详细答案解析)

数学是打开科学大门的钥匙

-培根

立体几何小题培优讲义

高考规律 立体几何是高考的热点内容，属于高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，高考对该部分的考

查，小题主要体现在三个方面：一是有关空间线面位置关系的判断；二是空间几何体的体积和表面积的计

算，难度较易；三是常见的一些经典常考压轴小题，涉及到空间角、空间距离与轨迹问题等，难度中等或

偏上．

知识梳理

【知识点1 空间几何体表面积与体积的常见求法】

1.求几何体体积的常用方法

(1)公式法：直接代入公式求解.

(2)等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可.

(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等.

(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.

2.求组合体的表面积与体积的一般方法

求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该

怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单

几何体的体积，再相加或相减.

【知识点2 几何体与球的切、接问题的解题策略】

1.常见的几何体与球的切、接问题的解决方案： 常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球.

常见的几何体与球的切、接问题的解决方案：

2.空间几何体外接球问题的求解方法： 数学是打开科学大门的钥匙

-培根

空间几何体外接球问题的处理关键是确定球心的位置，常见的求解方法有如下几种：

(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，

把空间问题转化为平面问题求解.

(2)若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段PA,PB,PC两两垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，一般把有关元

素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2=a2+b2+c2求解.

(3)利用平面几何体知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心

高中数学必修2立体几何常考题型：圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征与简单组合体的结构特征

高中数学必修2立体几何常考题型：圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征与简单组合体的结构特征

圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征与简单组合体的结构特征

【知识梳理】

1．旋转体

旋转体 结构特征 图形

表示

圆柱 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线 我们用表示圆柱轴的字母表示圆柱，左图可表示为圆柱OO′

圆锥 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 我们用表示圆锥轴的字母表示圆锥，左图可表示为圆锥SO

圆台 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 我们用表示圆台轴的字母表示圆台，左图可表示为圆台OO′

球 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周所形成的旋转体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径 球常用球心字母进行表示，左图可表示为球O

2．简单组合体的概念

由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．

3．简单组合体的构成形式 有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成的；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的．

【常考题型】

题型一、旋转体的结构特征

【例1】 给出下列说法：(1)以直角三角形的一条边所在直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；(2)以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；(3)经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；(4)圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆直径，其中正确说法的序号是________．

[解析] (1)不正确，因为当直角三角形绕斜边所在直线旋转得到的旋转体就不是圆锥，而是两个同底圆锥的组合体；

(2)正确，以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；