中心对称3

第三章中心对称图形（一）§3.1图形的旋转知识点：1、旋转基本内涵。

将一个图形绕一个定点沿某一个方向转动一定的角度，这样的图形运动称为旋转。

这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角。

2、旋转与平移的区别和共同点：变换要素性质共性平移平移的方向和距离对应点的连线段的长度等于平移的距离，对应点的连线段平行（或在同一条直线上）；对应线段平行（或同一条直线上）且相等变换前后的两个图形的形状与大小不变（全等）轴对称对称轴对称点的连线被对称轴垂直平分旋转旋转的中心、方向和旋转角对应点与旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角考点：主要围绕旋转的定义、性质来作图以及解决一些简单数学问题和实际应用问题。

典型例题：例1、（2008 盐城）如图，△ABC是等腰三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，且PA=3，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP’重合，那么线段PP’的长等于---------。

例2、画出△ABC绕点A逆时针90°后的图形。

例3、（2008 南京）如图，菱形ABCD与菱形EFGH的形状、大小完全相同，请从下列序号中选择正确选项的序号填在横线上。

①点E、F、G、H；②点G、F、E、H；③点E、H、G、F；④点G、H、E、F。

D HA C E GB F图1 图2（1）如果图1 经过一次旋转后得到图2，那么点A、B、Ｃ、Ｄ对应点分别是＿＿＿。

P’AB CPAB C（2）如果图1经过一次轴对称后得到图2 ，那么点A ，B ，C ，D 对应点分别是＿＿＿。

（3）如果图1经过一次平移后得到图2 ，那么点A ，B ，C ，D 对应点分别是＿＿＿。

§3.2中心对称与中心对称图形 知识点：1、中心对称与中心对称图形联系和区别：中心对称是指两个图形之间的关系：一个图形绕着一点旋转180°，与另一个图形完全重合，那么着这两个图形叫做中心对称；中心对称图形是一个图形而言，一个图形绕着一点旋转180°，它与自身重合，那么这个图形叫中心对称图形。

中心对称图形复习（3）主备人:杨云奎审核:曹家祝时间:2009年11月26日一、基础知识：1.连接三角形的叫三角形的中位线。

2.连接梯形的叫梯形的中位线。

3.三角形的中位线，并且的一半。

4．梯形的中位线，并且的一半。

二、基础练习：1．梯形的上底长为3cm，中位线长为5cm，底边上的高为5cm，则梯形面积为______ cm2,下底长为__________cm．2. 顺次连接矩形四边中点，所得的四边形是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形3. 在以下的图形中：①线段；②角；③等边三角形；④平行四边形；⑤矩形；⑥菱形；⑦正方形；⑧等腰梯形。

是轴对称图形的有：（只填序号）；是中心对称图形的有：（只填序号）；4.如果等腰梯形的周长为22厘米，其腰长为5厘米，那么梯形的中位线长为。

5. 如果三角形的3条中位线长分别为24，32，40，求这个三角形的面积和周长。

MCBA OGF EDBA三、例题选讲：1．一个梯形的中位线将梯形分成面积为1∶2的两部分，求梯形的上底、中位线、 下底之比。

2．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD 和∠ADC 的平分线恰好相交于BC 的中点M ，试说明AB+CD=AD 。

3. 如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ， E 、F 、G 分别是OA 、OB 、CD 的中点，且∠ADB=60°，判断△EFG 的形状，并说明理由。

HFGEDCBANMGEDCBA四、课后练习：1．如图，四边形ABCD 中，AB=CD ，E 、F 、G 、H 分别是BC 、AD 、BD 、AC 的中点，猜想四边形EHFG 的形状，并说明理由。

2．如图，在等腰梯形ABCD 中，对角线AC 、BD 互相垂直，该梯形的高DE 与中位线MN 有怎样的大小关系,为什么?（提示：过梯形的上底顶点D ，作对角线AC 的平行线交BC 的延长线于点G 。

）。

中心对称与中心对称图形教材教法（三）教材分析：
通过具体实例认识中心对称，探索它的基本性质，理解“连结对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分”这一基本性质，并理解中心对称图形是旋转角度为180°的旋转对称图形。

教法建议：
1．教学过程中，要注意知识的延续和发展，同时，要结合具体的图形，通过观察、测量、分析等活动来探究中心对称的性质。

2．教学中，应注意让学生自己通过丰富的具体图形认识中心对称与中心对称图形，体会中心对称图形是旋转角度为 180°的较为特殊的旋转对称图形。

3．应引导学生在认识中心对称的基础上，熟练地画出已知图形关于某一点成中心对称的图形。

4．对一些学有余力的学生，可以让他们通过自己实践，体会两次翻折（对称轴互相垂直）与中心对称的关系。

第3课时中心对称与中心对称图形(2)预学目标1．回忆本学期第一章中轴对称与轴对称图形之间的联系和区别．2．类比轴对称图形，记忆并初步了解中心对称图形的概念．3．结合图形，理解中心对称图形如何体现中心对称性．4．寻找生活中在我们周围出现的中心对称图形．知识梳理1．中心对称图形的概念如图1，将四边形的点B绕点O旋转180°到_______点，将点A绕点O旋转180°到_______点，将点D绕点O旋转180°到_______点，将点C绕点O旋转180°到_______点，此时，整个图形即绕点_______旋转了_______，我们发现旋转后的图形与原图形_______，我们就把具有这种变换特征的图形称为__________________．绕着固定不动的那个点称为图形的_______．2．对比轴对称图形与中心对称图形例题精讲例1下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )提示：根据轴对称知识和中心对称知识，对选项逐一进行讨论．解答：观察选项可发现，A只是轴对称图形，B只是中心对称图形，D只是中心对称图形，只有C既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选C．点评：这类题型必须从既是轴对称图形又是中心对称图形考虑，这两个条件是同时存在的，即先判定该选项是否为轴对称图形，若是，则再考虑是否为中心对称图形．例2 如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AB上的一点，F是AC延长线上的一点，EF交BC于点D，DE＝DF，试说明BE＝CF成立的理由．提示：DE＝DF，∠EDG＝∠CDF，可以把△CFD绕点D旋转180°，此时点F落在点E处，点C落在BD上的点G处，△CFD与△GDE关于点D成中心对称，因而CF＝GE，故只要说明GE＝BE．解答：由于DE＝DF，∠EDG＝∠CDF，把△CFD绕点D旋转180°得到△GDE，故△CFD与△GDE关于点D成中心对称，根据中心对称的性质，可以得到CF＝GE，∠EGD＝∠FCD，所以∠EGB＝∠ACB．而已知AB＝AC，故∠ACD＝∠B＝∠EGB，即△EBG 为等腰三角形，所以EB＝GE＝CF．点评：利用中心对称可以巧妙地说明某些线段、角相等．本题将△CFD绕点D旋转180°，实际上就是画出△CFD关于点D成中心对称的图形，从而使问题得以解决．热身练习1．下列几个图形是国际通用的交通标志，其中，不是中心对称图形的是( )2．用一副扑克牌做实验，选黑桃5和方块4（如图），其中，是中心对称图形的是( )A．黑桃5 B．方块4C．黑桃5和方块4 D．以上都不对3．下列几何图形：①两条互相平分的线段；②两个互相交叉的圆；③两个有公共顶点的角；④有一个公共顶点的两个正方形．其中，一定是中心对称图形的有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个4．观察“一、羊、口、王、田、旦”这6个汉字，它们都是_______图形，其中，_______字可看成是中心对称图形．5．判断题．（正确的打“√”，错误的打“×”）(1)如果一个图形绕某个点旋转，能与另一个图形重合，那么这两个图形组合在一起就是一个中心对称图形．( )(2)中心对称图形一定是轴对称图形．( )6．下图是几种名车标志，其中是轴对称图形的有_______（填序号），是中心对称图形的有_______（填序号）．参考答案1．D 2．B 3．A4．轴对称一、口、王、田5．(1)×(2)×6．①②③①④⑤。

第三章中心对称图形（一）一、平移1、定义在平面内，将一个图形整体沿某方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。

2、性质平移前后两个图形是全等图形，对应点连线平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。

二、旋转1、定义在平面内，将一个图形绕某一定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角叫做旋转角。

2、性质旋转前后两个图形是全等图形，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角。

三、四边形的相关概念1、四边形在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形。

2、四边形具有不稳定性3、四边形的内角和定理及外角和定理四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°。

四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°。

推论：多边形的内角和定理：n边形的内角和等于∙-)2(n180°；多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。

6、设多边形的边数为n，则多边形的对角线共有2)3(-nn条。

从n边形的一个顶点出发能引（n-3）条对角线，将n边形分成（n-2）个三角形。

四．平行四边形1、平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2、平行四边形的性质（1）平行四边形的对边平行且相等。

（2）平行四边形相邻的角互补，对角相等（3）平行四边形的对角线互相平分。

（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。

常用点：（1）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。

（2）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。

3、平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4、两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。

初中数学教学案例分析课题：中心对称图形案例设计：一、教学目标：1．经历观察、发现、探究中心对称图形的有关概念和基本性质的过程，积累一定的审美体验。

2．了解中心对称图形及其基本性质，掌握平行四边形也是中心对称图形。

二、教学重、难点：理解中心对称图形的概念及其基本性质。

三、教学过程：（一）创设问题情境1、以魔术创设问题情境：教师通过扑克牌魔术的演示引出研究课题，激发学生探索“中心对称图形”的兴趣。

【魔术设计】：师取出若干张非中心对称的扑克牌和一张是中心对称的牌，按牌面的多数指向整理好（如上图），然后请一位同学上台任意抽出一张扑克，把这张牌旋转180度后再插入，再请这位同学洗几下，展开扑克牌，马上确定这位同学抽出的扑克。

分析：课堂反应发现学生非常安静，目不转睛地盯着老师做动作。

每完成一个动作之后，学生就进入沉思状态，接着就是小声议论。

师重复以上活动2次后提问：（1）你们知道这是什么原因吗？老师手中的扑克牌图案有什么特点?（2）你能说明为什么老师要把抽出的这张牌旋转180O 吗？（小组讨论）分析：创设问题情境主要在于下面几点理由：（1）采取从学生最熟悉的实际问题情境入手的方式，贴近学生的生活实际，让学生认识到数学来源于生活，又服务于生活，进一步感悟到把实际问题抽象成数学问题的训练，从而激发学生的求知欲。

（2）所有新知识的学习都以对相关具体问题情境的探索作为开始,它们是学生了解与学习这些新知识的有效方法，同时也活跃了课堂气氛，激发学生的学习兴趣。

（3）通过扑克魔术创设问题情境，学生获得的答案将是丰富的。

在最后交流归纳时，他们感觉到，自己在活动中“研究”的成果，对最终形成规范、正确的结论是有贡献的，从而激发他们更加注意学习方式和“研究”方式。

这也是对他们从事科学研究的情感态度的培养。

学生勤于动手、乐于探究，发展学生实践应用能力和创新精神成为可行。

2、教师揭示谜底。

利用多媒体课件游戏演示牌面，请学生找一找哪张牌旋转180度后和原来牌面一样。

3．3中心对称1．理解并掌握中心对称及中心对称图形的概念及性质；(重点)2．能够根据中心对称及中心对称图形的性质进行作图．一、情境导入剪纸，又叫刻纸，是中国汉族最古老的民间艺术之一，它的历史可追溯到公元6世纪．如图剪纸中两个金鱼之间有什么关系呢？二、合作探究探究点一：中心对称和中心对称图形的概念【类型一】中心对称的识别如下图所示的四组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的有()A．1组B．2组C．3组D．4组解析：将选项中左边图形沿着某一点旋转180°能与右边图形重合的是(1)(2)(3)，所以(1)(2)(3)中左边图形与右边图形成中心对称．共3组，故选C.【类型二】中心对称图形的识别下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()解析：根据轴对称和中心对称的概念和性质逐一进行判断，选项A是中心对称图形，不是轴对称图形；选项B既是中心对称图形，又是轴对称图形；选项C是轴对称图形，不是中心对称图形；选项D既不是中心对称图形，也不是轴对称图形．故选B.方法总结：识别中心对称图形的方法是根据概念，将这个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与自身重合，那么这个图形就是中心对称图形．探究点二：中心对称和中心对称图形的性质【类型一】确定对称中心如图，已知△ABC和△A′B′C′成中心对称，画出它们的对称中心．解析：由于△ABC和△A′B′C′成中心对称，即从整体上看，此图是一幅中心对称图案，所以本题有两种解法．解法一：根据观察，B 、B ′及C 、C ′应是两组对应点，连接BB ′、CC ′，BB ′、CC ′相交于点O ，则O 为对称中心．如图．解法二：B 、B ′是一对对应点，连接BB ′，找出BB ′的中点O ，则点O 即为对称中心．如图．方法总结：利用中心对称的特征，找正确对应点．当两个图形成中心对称时，通过直接观察的方法找对应点；如果直观体现不明显，可采用测量方法找对应点． 【类型二】 利用中心对称图形的性质求面积如图，矩形ABCD 的对角线AC和BD 相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 和BC 于点E 、F ，AB ＝2，BC ＝3，试求图中阴影部分的面积．解析：由于矩形是中心对称图形，所以依题意可知△BOF 与△DOE 关于点O 成中心对称，此图中阴影部分的三个三角形可以转化到直角△ADC 中，于是此面积即可求得．解：因为矩形ABCD 是中心对称图形，所以△BOF 与△DOE 关于点O 成中心对称，所以图中阴影部分的三个三角形就可以转化到直角△ADC 中．又因为AB ＝2，BC ＝3，所以Rt △ADC 的面积为12×3×2＝3，即图中阴影部分的面积为3.方法总结：利用中心对称的性质将阴影部分转化到一个直角三角形中来解决更简单．探究点三：作中心对称图形如图，网格中有一个四边形和两个三角形．(1)请你画出三个图形关于点O 的中心对称图形；(2)将(1)中画出的图形与原图形看成一个整体图形，请写出这个整体图形对称轴的条数；这个整体图形至少旋转多少度能与自身重合？解：(1)如图所示；(2)这个整体图形的对称轴有4条；此图形最少旋转90°能与自身重合．三、板书设计 1．中心对称如果把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称．2．中心对称图形把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，结合图形，多观察，多归纳，体会识别中心对称图形的方法，理解中心对称图形的特征.。