概率论中心极限定理

第二节 中心极限定理在客观实际中有许多随机变量，它们是由大量相互独立的偶然因素的综合影响所形成的，而每一个因素在总的影响中所起的作用是很小的，但总起来，却对总和有显著影响，这种随机变量往往近似地服从正态分布，这种现象就是中心极限定理的客观背景.概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布是正态分布的一系列定理称为中心极限定理（Central limit theorem)，现介绍几个常用的中心极限定理.定理5.5（独立同分布的中心极限定理） 设随机变量X 1，X 2，…，X n ，…相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差E （X k ）=μ,D (X k )=σ2≠0(k =1,2,…).则随机变量σμn n XX D X E X Y nk knk k n k k nk k n -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑∑∑====1111)(的分布函数F n （x ）对于任意x 满足⎰∑∞--=∞→∞→=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-=x t n k k n n n t x n n X P x F .21lim )(lim 212d e πσμ （5.7）从定理5.5的结论可知，当n 充分大时，近似地有Y n =21σμn n Xnk k-∑=~N (0,1).或者说，当n 充分大时，近似地有().,~21σμn n N Xnk k∑= (5.8)如果用X 1，X 2，…，X n 表示相互独立的各随机因素.假定它们都服从相同的分布（不论服从什么分布），且都有有限的期望与方差（每个因素的影响有一定限度）.则（5.8）式说明，作为总和∑=nk kX1这个随机变量，当n 充分大时，便近似地服从正态分布.例5.3 一个螺丝钉重量是一个随机变量，期望值是1两，标准差是0.1两.求一盒（100个）同型号螺丝钉的重量超过10.2斤的概率.解 设一盒重量为X ，盒中第i 个螺丝钉的重量为X i (i =1,2,…,100).X 1，X 2，…，X 100相互独立，E （X i ）=1，)(i X D =0.1，则有 X =∑=1001i iX，且E （X ）=100·E （X i ）=100（两），)(i X D =1（两）.根据定理5.5，有P {X >102}=}2100{111001021100≤--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-X P X P≈1-Φ(2)=1-0.977250=0.022750.例5.4 对敌人的防御地进行100次轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随机变量，其期望值是2，方差是1.69.求在100次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目标的概率. 解令第i 次轰炸命中目标的炸弹数为X i ，100次轰炸中命中目标炸弹数X =∑=1001i iX，应用定理5.5，X 渐近服从正态分布，期望值为200，方差为169，标准差为13.所以P {180≤X ≤220}=P {|X -200|≤20}=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-132013200X P ≈2Φ(1.54)-1=0.87644.定理5.6(李雅普诺夫（Liapunov ）定理) 设随机变量X 1，X 2，…相互独立，它们具有数学期望和方差：E （X k ）=μk , D (X k )=σk 2≠0 (k =1,2,…). 记∑==nk kn B 122σ，若存在正数δ，使得当n →∞时，{}∑=++→-nk kk nX E B 12201δδμ,则随机变量Z n =nn k knk knk k nk nk k kB X X D X E X∑∑∑∑∑=====-=-11111)()(μ的分布函数F n （x ）对于任意x ，满足⎰∑∑∞--==∞←∞→=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-=x t n nk k n k k n n n t x B X P x F d e π211221lim )(lim μ. (5.9)这个定理说明，随机变量Z n =nnk kn k kB X ∑∑==-11μ当n 很大时，近似地服从正态分布N （0，1）.因此，当n 很大时,∑∑==+=nk k n n nk kZ B X11μ近似地服从正态分布⎪⎭⎫⎝⎛∑=21,n n k k B N μ.这表明无论随机变量X k （k =1，2，…）具有怎样的分布，只要满足定理条件，则它们的和∑=nk kX1当n 很大时，就近似地服从正态分布.而在许多实际问题中，所考虑的随机变量往往可以表示为多个独立的随机变量之和，因而它们常常近似服从正态分布.这就是为什么正态随机变量在概率论与数理统计中占有重要地位的主要原因.在数理统计中我们将看到，中心极限定理是大样本统计推断的理论基础. 下面介绍另一个中心极限定理.定理5.7 设随机变量X 服从参数为n ，p （0＜p ＜1）的二项分布，则 （1） （拉普拉斯(Laplace)定理） 局部极限定理：当n →∞时P {X =k }≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--npq np k npq npqnpqnp k ϕ1212)(2e π， (5.10) 其中p +q =1,k =0,1,2,…,n ，2221)(x x -=e πϕ.(2) （德莫佛-拉普拉斯(De Moivre Laplace)定理） 积分极限定理：对于任意的x ，恒有⎰∞--∞→=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--x tn t x p np np X P d e π2221)1(lim . （5.11）这个定理表明，二项分布以正态分布为极限.当n 充分大时，我们可以利用上两式来计算二项分布的概率.例5.5 10部机器独立工作，每部停机的概率为0.2，求3部机器同时停机的概率.解 10部机器中同时停机的数目X 服从二项分布，n =10,p =0.2,np =2,npq ≈1.265. (1) 直接计算：P {X =3}=310C ×0.23×0.87≈0.2013; (2) 若用局部极限定理近似计算：P {X =3}=)79.0(265.11265.123265.111ϕϕϕ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-npq np k npq =0.2308. (2)的计算结果与（1）相差较大，这是由于n 不够大.例5.6 应用定理5.7计算§5.1中例5.2的概率. 解 np =7000,npq ≈45.83.P {6800<X <7200}=P {|X -7000|<200}=1)36.4(236.483.457000-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-ΦX P=0.99999.例5.7 产品为废品的概率为p =0.005，求10000件产品中废品数不大于70的概率. 解 10000件产品中的废品数X 服从二项分布，n =10000,p =0.005,np =50,npq ≈7.053.P {X ≤70}=)84.2(053.75070ΦΦ=⎪⎭⎫⎝⎛- =0.9977.正态分布和泊松分布虽然都是二项分布的极限分布，但后者以n →∞，同时p →0，np→λ为条件，而前者则只要求n →∞这一条件.一般说来，对于n 很大，p (或q )很小的二项分布（n p ≤5）用正态分布来近似计算不如用泊松分布计算精确.例5.8 每颗炮弹命中飞机的概率为0.01，求500发炮弹中命中5发的概率.解 500发炮弹中命中飞机的炮弹数目X 服从二项分布，n =500,p =0.01,np =5,npq ≈2.2.下面用三种方法计算并加以比较： （1） 用二项分布公式计算：P {X =5}=5500C ×0.015×0.99495=0.17635.(2) 用泊松公式计算，直接查表可得：np =λ=5,k =5,P 5(5)≈0.175467.(3) 用拉普拉斯局部极限定理计算：P {X =5}=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-npq np npq 51ϕ≈0.1793. 可见后者不如前者精确.。

中心极限定理作用
中心极限定理是概率论中一项非常重要的定理，它描述了大数样
本的抽样分布趋近于正态分布的现象。

该定理的应用广泛，特别是在
统计学和数据分析领域中，起到了非常关键的作用。

中心极限定理的作用主要有以下几个方面：
第一，中心极限定理可以用于验证数据是否满足正态分布。

如果
在进行样本统计时，得到的数据符合正态分布的条件，则可以使用相
关的统计方法进行分析。

而如果数据不符合正态分布的条件，就需要
采用其他的统计方法进行分析。

第二，中心极限定理可以用于求解总体的均值和方差等参数。

通
过对样本进行一些简单的统计分析，就可以根据中心极限定理的推导，得到总体的均值和方差等参数的近似值。

第三，中心极限定理还可以用于构造置信区间。

当对总体参数进
行估计时，可以使用中心极限定理的知识，构造置信区间进行区间估计，从而提高估计的可靠性。

总之，中心极限定理作为一种非常有用的统计学知识，在现代数
据分析和统计学研究中发挥着非常重要的作用。

中心极限定理几个
中心极限定理是概率论中非常重要的一个定理，它可以帮助我们
理解随机现象背后的规律性。

该定理表明，随机变量的和或均值在一
定条件下，随着随机变量个数的增多，其分布趋近于正态分布，从而
更容易进行概率推断。

其中，最为著名的包括以下几个中心极限定理：
1. 切比雪夫定理：当一个随机变量的期望和方差都存在时，任何
一个k倍于标准差的差异的概率都不会超过1/k^2。

这个定理可以帮助我们衡量随机变量的离散程度，从而更好地理解样本总体的性质。

2. 中心极限定理：对于任意独立随机变量的序列，它们的和在一
定条件下服从正态分布。

这个定理是概率论中最著名的定理之一，它
告诉我们，大多数随机现象都可以用正态分布来近似，这对于实际问
题的解决有着重要意义。

3. 林德伯格-列维定理：对于一组独立同分布的随机变量，均值
的标准化值（即均值与总体均值的差除以标准误差）在一定条件下会
趋向于标准正态分布。

这个定理可以帮助我们通过样本均值来推断总
体的性质，进而做出概率性的决策。

总之，中心极限定理是概率论中最为重要的一个定理之一，从中
我们可以看到随机现象的规律性，这对科学研究和决策的制定都有着
非常重要的意义。

列维林德伯格中心极限定律公式列维-林德伯格中心极限定理是概率论中一个非常重要的定理，它给出了随机变量和平均值之间的关系。

这个定理在统计学和大数据分析中有着广泛的应用，能够帮助我们更好地理解和解释数据。

中心极限定理的核心思想是，当独立随机变量的个数足够大时，这些随机变量的平均值的分布将呈现出一种稳定的形态，称为正态分布。

正态分布也被称为高斯分布，具有均值和标准差来刻画其特征。

为了更好地说明中心极限定理，让我们举一个例子。

假设我们有一组骰子投掷的数据，每次投掷结果是一个1到6的整数。

我们重复投掷骰子1000次，并记录每次投掷的结果。

然后我们计算这1000次投掷中的平均值。

根据中心极限定理，当我们在足够多的次数内重复进行该实验时，这1000个平均值将呈现出一个正态分布的特征。

这意味着，这些平均值将围绕着骰子的期望值（3.5）上下波动，波动范围与实验的次数和骰子的标准差有关。

中心极限定理的一大优点是，它适用于大多数随机变量，不论其分布形态如何。

例如，我们可以将其应用于人口普查数据、股票市场收益率等各种不同的数据类型中。

通过计算这些数据的平均值，我们可以获得更准确、更稳定的结果，并且可以更好地理解和分析数据。

在实际应用中，中心极限定理也为我们提供了一种估计总体参数的方法。

通过计算样本数据的平均值和标准差，我们可以利用中心极限定理来推断总体的平均值和标准差。

这为我们在实际问题中的决策提供了指导，例如在质量控制中确定产品的合格范围、在市场调研中估计总体的偏好等。

总之，列维-林德伯格中心极限定理是概率论中的一项重要成果，它揭示了随机变量和平均值之间的关系。

通过该定理，我们可以更好地理解和分析数据，并且可以利用它在实际问题中进行估计和决策。

无论是在统计学领域还是大数据分析中，中心极限定理都有着广泛的应用，为我们的研究和实践提供了重要的指导意义。

中心极限定理二项分布
在概率论和统计学中，二项分布是指n个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p。

中心极限定理（central limit theorem，CLT）表明，在自然界与生产中，一些现象受到许多相互独立的随机因素的影响，如果每个因素所产生的影响都很微小时，总的影响可以看作是服从正态分布的。

定理表明，在适当的条件下，大量相互独立随机变量的均值经适当标准化后依分布收敛于标准正态分布。

根据中心极限定理，当实现次数n足够大时，二项分布可以用正态分布近似，即可以使用正态分布来处理二项分布。

假设二项分布的随机变量$X\sim B(n,p)$，那么它的均值为$np$，方差为$np(1-p)$，令$1-p=q$，方差就是$npq$。

二项分布应用广泛，如计算机算法中的EM算法、网络安全的检验、医学上药物的检验、生物学中植被分布的检验等。

二项分布的中心极限定理中心极限定理（Central Limit Theorem，CLT）是概率论中一项重要而强大的定理，它深刻地阐述了二项分布在特定条件下的极限行为。

本文以生动的方式解释中心极限定理的含义和应用，并为读者提供一些指导意义。

二项分布是离散概率分布的一种形式，它描述了在n次独立重复试验中成功的次数。

例如，在投硬币的实验中，假设我们连续投掷n 次，每次的成功定义为正面朝上，失败定义为反面朝上。

如果硬币是公平的，我们可以用二项分布来描述在n次投掷中正面朝上的次数。

具体而言，二项分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示在n次试验中成功k次的概率，C(n,k)是组合数，p是每次试验成功的概率，(1-p)则是失败的概率。

然而，当我们试图从一个很大的二项分布中计算和理解结果时，面临的计算和解释难题可能会变得非常困难。

这时，中心极限定理的出现就提供了一个非常有用的近似方法。

中心极限定理指出，当n足够大时，二项分布可以近似地由正态分布来描述。

简单地说，中心极限定理表明，当我们进行大量独立试验时，这些试验的和或平均值将呈现出近似正态分布的特性。

这一定理适用于满足一定条件的任何概率分布，不仅仅适用于二项分布。

这个定理的实际含义是什么呢？以一个例子解释可能更容易理解。

假设我们有一个非常大的人群，每个人都独立地做一个有二项分布的任务，而每个任务成功的概率相同。

例如，我们可能在一个足球场上观察所有观众的掌声情况。

如果我们测量来自每个观众的掌声次数，并将这些次数相加，根据中心极限定理，这个总和将近似为一个正态分布。

通过使用正态分布来近似二项分布，我们可以更好地理解和分析问题。

正态分布具有许多有用的性质，例如，我们可以用均值和标准差来描述它，从而更好地理解数据的变异性和趋势。

此外，通过计算正态分布的概率密度函数或使用标准正态分布表，我们可以计算和解释我们感兴趣的事件概率。

汽车分期解除抵押申请书尊敬的XXX车管所：您好！我是XXX，车牌号为XXX的车主，现因汽车分期贷款已还清，特此申请解除车辆抵押登记。

首先，我要感谢贵所在我办理车辆抵押登记过程中提供的便利和高效服务。

当时，我因资金需求，选择了汽车分期贷款方式购买车辆，并将车辆进行了抵押登记。

在贷款期间，我严格按照合同约定，按时还款，确保了贷款的顺利进行。

如今，我已经按照合同约定，提前还清了全部贷款，因此，我现向贵所申请解除车辆的抵押登记。

根据《中华人民共和国道路交通安全法》和《机动车登记规定》的相关规定，我提供了以下申请材料：1. 机动车登记证书：这是证明我车辆所有权的重要文件，也是解除抵押登记的关键材料。

2. 银行出具的结清证明：这是银行对我贷款账户的证明，证明我已经还清了全部贷款。

3. 身份证明：这是我个人的有效身份证件，用于证明我的身份信息。

4. 抵押登记申请表：这是我填写的解除抵押登记的申请表，详细记录了我的贷款情况和解除抵押的需求。

5. 其他相关材料：包括车辆保险单和行驶证等，以证明我的车辆符合解除抵押的条件。

我相信，在提交了以上材料后，贵所会尽快为我办理解除抵押登记手续。

我也将积极配合贵所的工作，提供必要的帮助和支持。

解除车辆抵押登记对我具有重要意义。

首先，这是我信用良好的体现，证明我能够按照合同约定，按时还款，履行承诺。

这将有助于我在今后的经济活动中，获得更多的信任和机会。

其次，解除车辆抵押登记将使我车辆的所有权得到充分保障。

在抵押登记期间，车辆的所有权受到限制，不能自由处置。

一旦解除抵押登记，我将拥有车辆的完全所有权，可以自由处置车辆，提高车辆的使用价值。

最后，解除车辆抵押登记还将有助于我提高车辆的融资能力。

在抵押登记期间，车辆的融资能力受到限制，解除抵押登记后，我可以利用车辆作为抵押物，申请更多的贷款，满足我的资金需求。

再次感谢贵所对我申请的关注和支持，期待您的回复。

此致敬礼！申请人：XXX联系电话：XXX申请日期：XXXX年XX月XX日。

函数中心极限定理
函数中心极限定理，是概率论中的重要定理之一。

它指出在一定条件下，若将许多相同分布的随机变量作加和，那么这些随机变量的均值
趋向于正态分布。

函数中心极限定理有三个基本条件：独立、同分布、有限一阶矩。

独
立是指这些随机变量彼此之间没有任何关联；同分布是指这些随机变
量服从相同的分布；有限一阶矩是指这些随机变量的期望存在且有限。

函数中心极限定理的表述如下：令X1，X2，...，Xn为n个独立同分
布的随机变量，它们的期望为μ，方差为σ2，那么这n个随机变量的和Sn的分布，对于任何实数x，都可以表示为
P{Sn≤x}≈Φ (z)
其中z = (x - nμ) / (σ√n)，Φ (z)是标准正态分布的分布函数值。

函数中心极限定理的重要性在于，它将一些随机变量的和，转变成了
均值服从正态分布。

这对于统计学和数据分析非常有用。

例如，如果
我们想估计一个总体的均值，但是由于种种原因只能获得一小部分样本，而且不知道总体的分布形态，这时我们就可以使用函数中心极限
定理来近似估计总体的均值，而不需要知道样本的具体分布。

另外，
函数中心极限定理也可以用于假设检验、构造置信区间等问题的解决。

总之，函数中心极限定理是概率论中非常重要的定理之一，它将随机
变量的和转变成了均值服从正态分布，成为了统计学和数据分析中不
可缺少的工具之一。

然而，在具体应用时还需要注意参数的选择和条
件的满足，在此基础上进行进一步的推断和分析。