专题10：数列的极限与函数的导数

导数在数列极限中的应用数列极限是数学中一种重要的概念，它可以帮助我们理解数学关系的本质，以及不同类型的数量间的联系。

导数在数列极限中也扮演着重要的角色。

其主要作用是描述数列中变化量的大小，从而使我们能够更好地分析数列的特征。

一般而言，导数可以是正数、负数或零。

当导数为正数时，数列的变化量是增大的，而当导数为负数时，数列的变化量是减小的。

此外，当导数为零时，数列的变化量是不变的。

这就是导数在数列极限中的应用函数的变化率可以用它来表示。

在数学分析中，导数还可以用来分析数列的特征。

例如，给定一个数列，当其第一项的导数大于零时，该数列一定是单调递增的；反之，当其第一项的导数小于等于零时，该数列一定是单调递减的。

此外，当一个数列的第二项的导数大于零时，该数列的变化量会越来越快，而当其第二项的导数小于零时，该数列的变化量会越来越慢。

这种性质很重要，因为它可以帮助我们更好地理解数列特征，从而使我们能够对特定数列进行更有效的分析。

此外，在研究极限和连续函数时，导数也可以发挥重要作用。

我们知道，连续函数在极限中是无穷小量，如果我们知道连续函数的导数值，那么就可以算出该函数的递增量，从而更好地理解其变化特征。

另外，导数在应用极限的概念时也有重要的作用。

在某些情况下，我们可以用导数来计算一个函数的极限。

这一点非常重要，因为极限有助于我们确定数列的构成以及数量的变化趋势。

总之，导数在数列极限中发挥着重要的作用。

它不仅可以帮助我们了解数列的特性，还可以用来计算连续函数的极限。

对于数学家而言，导数就像一个分析数学关系的桥梁，使我们能够理解更多的数学知识。

综上所述，导数是一种重要的数学概念，它在数列极限中的应用十分广泛。

要想更好地了解数列特征，必须熟练掌握导数的概念和计算方法，以及对导数的运用等方面的知识。

高中数学中的极限与函数的导数的关系在高中数学中，极限和函数的导数是两个非常重要且关联紧密的概念。

本文将探讨极限和函数的导数之间的关系，帮助读者更好地理解和应用这两个概念。

一、极限的定义及基本性质极限是数学中描述函数逐渐趋近于某一值的概念。

具体而言，设函数f(x)在x=a的某个去心邻域内有定义。

如果存在常数L，对于任意给定的正数ε，都存在对应的正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)-L|<ε成立，则称函数f(x)在x=a处的极限为L。

我们用lim┬(x→a)⁡〖f(x)=L〗或f(x)→L(x→a)来表示极限的存在。

极限具有一些基本的性质，包括唯一性、局部性、有界性等。

其中，唯一性表示函数在某一点的极限是唯一确定的；局部性表示函数在某一点的极限存在，则函数在该点的某个邻域内也存在；有界性表示如果函数在某一点存在极限，则函数在该点附近是有界的。

二、导数的定义及基本性质函数的导数描述了函数在某一点附近的变化率，是微积分中的重要概念之一。

设函数f(x)在x=a的某个去心邻域内有定义。

若极限lim┬{h→0}⁡〖(f(a+h)-f(a))/h=A 〗存在，其中A为常数，则称函数f(x)在x=a处可导，并将此极限值A称为函数f(x)在x=a处的导数。

我们用f'(a)或 df(x)/dx|_(x=a)来表示函数f(x)在x=a处的导数。

导数具有一些基本的性质，包括可导的函数必定连续、导函数具有局部性、可加性和乘法常数性等。

这些性质使得导数成为了研究函数变化的有力工具。

三、极限与导数的关系极限和导数之间存在着紧密的联系，在某些情况下两者可以互相推导。

1. 极限与函数连续性的关系根据导数的定义，可知如果函数在某一点可导，则在该点必然连续。

而连续函数的定义也可以用极限来表达。

因此，对于某个区间上的函数，如果它的导数在该区间上存在，则该函数在该区间上一定连续。

2. 导数与函数的极值点的关系函数在某一点处的导数为零，被称为该点的导数为零点。

专题十 数列极限与函数极限一、选择题1．（2008年高考·湖北卷）已知m ∈N *, a 、b ∈R ，若0n lim →b xa x)(1m =++，则a ·b=（ ） A ．-m B ．m C ．-1 D ．1 2．∞→n lim )2n8641864164141(+++++++++++ 的值为（ ） A ．1 B ．411 C ．1811 D ．2411 3．若函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+-=1)(x 13x 15a 1)(x a 2x x f(x)23在点x=1处连续，则实数a=（ ） A ．4 B ．-41 C ．4或-41 D ．41或-4 4．下列命题：①发果f(x)=x1，那么∞→x lim f(x)=0；②如果f(x)=1x -，那么f(x)=0；③如果f(x)=2x 2x x 2++，那么2x lim -→f(x)不存在；④如果⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=0x 1,x 0x ,x f(x)，那么0lim →x f(x)=0，其中真命题是（ ）A ．①②B ．①②③C ．③④D ．①②④5．设abc ≠0，∞→x lim 31b ax a cx =++，∞→x lim 43c bx bx ax 22=-+，则∞→x lim acx bx c bx cx 233+--+的值等于（ ） A ．4 B ．94 C ．41 D ．49 6．设正数a, b 满足2x lim →(x 2+ax-b)=4，则n1n 1n 1n n 2b a ab a lim ++--+∞→等于（ ） A ．0 B ．41 C ．21 D ．17．把1+(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n 展开成关于x 的多项式，其各项系数和为a n ，则1a 12a lim nn n +-∞→等于（ ） A ．41 B ．21 C ．1 D ．2二、填空题 8．已知数列的通项a n =-5n+2，其前n 项和为S n ，则2n n n S lim∞→=________． 9．2x lim →)2x 14x 4(2---=________．10．（2008年高考·安徽卷）在数列{a n }中，a n =4n-25, a 1+a 2+…+a n =an 2+bn, n ∈N *，其中a, b 为常数，则nn nn n b a b a lim +-∞→的值为__________． 11．关于函数⎩⎨⎧>≤-=-0)(x 2ax,0)(x 1,e f(x)x (a 是常数且a>0)．下列表述正确的是_________．（将你认为正确的答案的序号都填上）①它的最小值是0②它在每一点处都连续③它在每一点处都可导④它在R 上是增函数⑤它具有反函数12．如图所示，如果一个凸多面体是n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有_______条．这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)=_______; f(n)=_______．（答案用数字或n 的解析式表示）三、解答题13．已知⎪⎩⎪⎨⎧≥+<--=0).bx(x a 0),(x x x 11f(x)（1）求f(-x)； （2）求常数a 的值，使f(x)在区间(-∞, +∞)内处处连续．14．已知{a n }, {b n }都是公差不为0的等差数列，且2b a lim nn n =∞→，求2n n 21n nb a a a lim +++∞→ 的值． 15．已知数列{a n }中a 1=2, a n+1=(2-1)(a n +2), n=1, 2, 3, …．（1）求{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }中b 1=2, b n+1=32b 43b n n ++, n=1, 2, 3, …．证明：2<b n ≤a 4n-3, n=1, 2, 3，…．。

第十一章 极限、导数和复数高考能力要求1．了解数列极限和函数极限的概念. 2．掌握极限的四则运算法则，会求某些数列和函数的极限.3．了解函数连续的意义；理解闭区间上连续函数有最大值和最小值.4．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念.5. 熟记八个基本导数公式(c ,mx (m 为有理数)，x x a e x x a x x log ,ln ,,,cos ,sin 的导数)；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.6．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值．7．了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义．8．掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算．9．了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想.高考热点分析1．求数列的极限或已知极限求参数，主要考查数列的有关知识和极限的四则运算法则.2．求函数的极限或利用函数的极限判断函数在给定点处的连续性，主要考查分段函数的左、右极限及连续的概念，以选择题、填空题为主.3．利用导数研究函数的单调性，求函数的极大（小）值，求函数在连续区间上的最大、最小值，或利用求导法解决一些实际应用问题.高考复习建议1．从数列或函数的变化趋势来理解极限，复习时应给予足够的重视.2．在数列或函数极限存在的前提下，求极限时，要注意用好四则运算法则.3．极限本身便是一种很重要的数学思想方法，应注意体会.4．导数的应用价值极高，主要涉及函数单调性、极大（小）值，以及最大（小）值等，遇到有关问题要能自觉地运用导数.5．重视复数的概念和运算，注意复数问题实数化..11．1 数列的极限知识要点1．数列}{n a 的极限是A ，粗略地说，就是当数列的项数n 无限_______时，数列a n 的项_________于A ，这就是数列极限的描述性定义．2．极限的四则运算 如果∞→n lim a n ＝A ，∞→n lim b n ＝B ，那么∞→n lim (a n ±b n )＝ ．∞→n lim (a n ·b n)＝ ． ∞→n lim (nn ba )＝ (B ≠0) ∞→n lim(c ·a n )＝ ．3．三个基本极限 (1) ∞→n lim C ＝(2) ∞→n lim n 1＝(3) ∞→n lim q n＝ (｜q ｜< )例题讲练【例1】 求下列极限 (1) 222435limnn n n n +--+∞→(2) )]1([lim n n n n -+∞→【例2】 已知0)(lim 112=--++∞→b an n n n ，求实数a 、b 的值．【例3】 设首项为1，公比为q （q >0）的等比数列{n a }的前n 项之和为n S ，又设,1+=n n S S n T 求n n T →∞lim ．【例4】 已知31)1(331lim =++∞→+nn na n ，求a 的取值范围．小结归纳 1．求数列极限的基本思路是：进行恒等变形后运用极限的运算法则与常用三个极限进行.2．变形的方法有：(1) 同除以分子分母中的最高次幂；(2) 利用有理化因式变形；(3) 对于无穷项的和与积的极限，必须先求出前n 项的和或积，再求极限.3．已知极限值求参数：把参数当做已知的实数先求极限，从而得到方程(或不等式)解方程(或解不等式).4．求数列的极限应注意：(1) 参加运算的每个数列的极限必须存在；(2) 分式数列的各项及其极限中的分母均不能为零； (3) 只有有限个数列的四则运算才能进行.基础训练题 一、选择题1． 下列命题正确的是（ ）A ．若22lim ,lim a a a a nn n n ==→∞→∞则 B ．若a a a a n n nn ==∞→∞→lim ,lim 2则 C ．若bab a b b a a n n n n n n n ===∞→∞→∞→lim,lim ,lim 则D.若0)(lim ,0lim ,lim ==∞=∞→∞→∞→n n n n n n n b a b a 则2． (2006陕西卷))11(21lim22--+∞→n n n n 等于 ( )A ．1B ．12C ．14D ．03． 已知b a ,是互不相等的正数，则nn n n ba b a n +-→∞lim等于（ ）A ．1B ．－1或 1C ．0D ．－1或04． )12112131211(lim +-+-+-+++-+∞→n n n n n n n n ＝ （ ）A ．–1B ．0C ．21D ．15． 2123limn nn →∞++++= （ ）A ．2B ．1C ．12D ．06．（2006湖南理）若数列}{n a 满足：311=a ，且对任意正整数m ，n 都有n m n m a a a ⋅=+，则++∞→21(lim a a n=+)n a（ ）A ．21B ．32C ．23D ．2二、填空题7． 3213223lim 23n n n n n +→∞-+＝ .8． =----∞→)]11()411)(311)(211[(lim 2222n n ．9．=++++++++∞→)(lim11413122242322n n n C C C C n C C C C .10．如图P 1是一块半径为1的半圆形纸板，在P 1的左下端剪去一个半径为21的半圆后得到图形P 2，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P 3、P 4、，P n ，，记纸板P n 的面积为S n ，则=∞→n n S lim .三、解答题11．求)0(22lim11>+++-∞→a a a n n n n n12．有一系列椭圆，满足条件（1）中心在原点；（2）以x＝1为准线；（3）离心率n n e )(21=，n ＝1，2，3，…，求所有这些椭圆的长轴长之和.13．设正整数列{a n }为一等比数列，且a 2＝4，a 4＝16,求2221lg lg lg lim na a a nn n n +++++∞→ .提高训练题14．在数列{a n }中，a 1＝23，且恒有a n ＋1－2a n ＋1＝0，S n 是数列{ a n }的前n 项和． （1）求数列{ a n }的通项a n ；（2）计算nn n a nS -→∞lim .P 1 P 2 P 3 P 415．一动点由坐标平面的原点出发，向右移动1个单位到A 1(1, 0)，然后向上移动21个单位到A 2 (1, 21)，…，以后按左、下、右、上方向移动，每次移动的长度为前一次移动长度的一半，求动点的极限位置与原点的距离．11．2 函数的极限与函数的连续性知识要点一、x →∞时，函数)(x f 的极限(1) 当自变量x 取 值并且 增大时，如果函数)(x f 无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于正无穷大时，函数)(x f 的极限是a ，记作 ，也可记作当x a x f →+∞→)(,.(2) 当自变量x 取 值并且 增大时，如果函数)(x f 无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数)(x f 的极限是a ，记作 ，也可记作)(,x f x -∞→a →.(3) 如果 且 ，那么就说当x 趋向于无穷大时，函数f (x )的极限是a ，记作 .(4) 对于常函数)(x f ＝C ，（x ∈R ），也有)(lim x f x ∞→＝ ．二、当0x x →时，函数)(x f 的极限1．当自变量x 常数)(00x x x ≠时，如果函数)(x f 一个常数a ，就说当x 趋近于0x 时，函数)(x f 的极限是a ，记作 .也可记作当0x x →时，()f x a →；0lim ()x x f x →也叫做函数)(x f 在点 处的极限.2．函数的左、右极限(1) 如果当x 从点0x x =左侧(即0x x <)无限趋于0x 时，函数)(x f 无限趋近于常数a ，就说a 是函数)(x f 在点0x 处的 ，记作 .(2) 如果当x 从点0x x =右侧（即0x x >）无限趋于0x 时，函数)(x f 无限趋于常数a ，就说a 是函数)(x f 在点0x 处的 ，记作 .3． 0l i m ()x x f x →⇔＝a4．函数极限的四则运算与 四则运算法则一样. 5．若函数)(x f 在某个区间内连续，且0x 是这个区间内的一个值，则0lim ()x x f x →＝ .1．如果函数)(x f 在点0x x =处及其附近有定义，而且 ，就说函数)(x f 点0x 处连续.2．连续必须满足三个条件：(1) 函数y ＝f (x )在点0x x =处有 ； (2) )(lim 0x f x x → ；(3) )(lim 0x f x x →＝ .3．连续和不连续点：如果函数y ＝f (x )在点0x x =对连续的三个条件中有 个不具备，那么函数f (x )在点0x x =处不连续，点0x x =称为此函数的 点. 4．开区间上的连续：若)(x f 在(a ，b )内 都连续，则称)(x f 在开区间(a , b )内连续.5．闭区间上的连续：对于闭区间[a , b ]上的函数f (x ),如果f (x )在开区间(a , b )内 ，且在a 点右连续，在b 点左连续，则称)(x f 在闭区间[ a ,b ]上连续.6．最大值、最小值定理如果函数)(x f 在闭区间[a , b ]上是连续函数，那么)(x f 在闭区间[a , b ]上有 和 .例题讲练【例1】 求下列极限 (1) 1342232lim+--+∞→x x x x x(2) )11(lim 22--+∞→x x x(3) 121122lim---→x x x x(4) )1311(lim 31+-+-→x x x【例2】 已知函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<<=)21(1)1(21)10()(x x x x x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<<=)21(1)1(21)10()(x x x x x f（1） 求)(x f 在点x ＝1处的左、右极限，函数)(x f 在点x ＝1处是否有极限？（2） 函数)(x f 在点x ＝1处是否连续？（3） 写出函数)(x f 的连续区间.【例3】 已知2222lim x mx x x n +++→-=，求m 、n 的值．【例4】 已知函数)(x f 在1=x 处连续，且21)(lim1=-→x x f x ，求)1(f 的值. 小结归纳1．函数极限的求法与数列极限的求法类似. 2．求极限)(lim 0x f x x →的方法， 将0x x =代入)(x f 中，若分母不为零，则)()(lim 00x f x f x x =→；若分母为零，则分子分母同时约去因式)(0x x -后再求函数的极限．3．函数)(x f 在0x x =处连续的充要条件是0x x =处左、右连续． 基础训练题 一、选择题 1． 给出下列命题：⑴ 若f (x )在0x 处无定义，则0lim ()x x f x →一定不存在⑵ )(lim 0x f x x →是否存在与f (x )在0x 处是否有定义无关⑶ )(lim 0x f x x +→与)(lim 0x f x x -→都存在，则)(lim 0x f x x →存在⑷ 若)(lim 0x f x x →不存在，则2)]([lim 0x f x x →必定不存在.正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 2．函数0||)(==x x x f 在处（ ） A ．无定义 B ．不存在极限 C ．不连续 D ．连续 3． =-+→x x 110lim（ ）A ．1B ．21C ．0D ．－14． 函数)(x f 在x ＝0x 处连续，是)(x f 在0x x =处有极限的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件5． （2006四川理）已知⎩⎨⎧=≠+=1,21,32)(x x x x f ⎩⎨⎧=≠+=1,21,32)(x x x x f ，下面结论正确的是 （ ） A ．f (x )在x ＝1处连续 B ．f (1)＝5C ．2)(lim 1=→x f xD ．5)(lim 1=→x f x6． 若322 (2)()24 (2)x x f x x x ax +⎧->⎪=--⎨⎪≤⎩ 2322 (2)()24 (2)x x f x x x a x +⎧->⎪=--⎨⎪≤⎩在点x ＝2 处连续，则a ＝（ ） A ．31B ．41C ．41-D ．21-二、填空题7． 若⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=)0()0()(2x x a x e x f x 为R 上的连续函数，则实数a ＝ .8． _______lim9332=--→x x x9． 函数23122)(+--=x x x x f 的不连续点是 .10．（2006北京理）22132lim 1x x x x →-++-的值等于_____________.三、解答题11．求下列函数的极限(1) 357243lim 2323+++-∞→x x x x x (2) 357243lim 23232+++-→x x x x x12．已知函数1 (1)()1log () (2x xf x x x ⎧≤⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩ 2(1)1)>(1) 求f (x )定义域；(2) 作出f (x )的图象；(3) 求f (x )的连续区间，并求极限52lim x →)(x f 的值．13．函数0(0)(01)()42(13)4(3)x x x f x x x x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨-+-≤<⎪⎪-≥⎩ 20(0)(01)()42(13)4(3)x x x f x x x x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨-+-≤<⎪⎪-≥⎩⑴ 画出函数的图象；⑵ 在x ＝0，x ＝3处函数()f x 是否连续？ ⑶ 求函数()f x 的连续区间.提高训练题14．已知函数()2 3 (15).x f x x x =+--≤≤ (1) 求函数f (x )的最大值和最小值； (2) 解方程f (x )＝0.15．（2006福建卷） 如图，连结△ABC 的各边中点得到一个新的△A 1B 1C 1，又连结的△A 1B 1C 1各边中点得到△A 2B 2C 2，如此无限继续下去，得到一系列三角形：△ABC ，△A 1B 1C 1，△A 2B 2C 2，…，这一系列三角形趋向于一个点M ，已知A(0,0) ,B(3,0),C(2,2)，则点M 的坐标是 .11．3 导数的概念及性质(理科)知识要点1．导数的概念：函数y ＝)(x f 的导数)(x f '，就是当Δx →0时，函数的增量Δy 与自变量的增量Δx 的比xy∆∆的 ，即)(x f '＝ ＝ ． 数都存在，就说)(x f 在区间( a , b )内 ，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做)(x f 的 ，记作)(x f '或x y '，函数)(x f 的导函数)(x f '在0x x =时的函数值 ，就是)(x f 在0x 处的导数.3．导数的几何意义：设函数y ＝)(x f 在点0x 处可导，),(00y x M 处的 .4．求导数的方法(1) 八个基本求导公式)('C ＝ ； )('n x ＝ ；(n ∈Q) )(sin 'x ＝ ， )(cos 'x ＝)('x e ＝ ， )('x a ＝)(ln 'x ＝ ， )(log 'x a ＝ (2) 导数的四则运算)('±v u ＝ ])(['x Cf ＝ )('uv ＝ ，)('vu ＝ )0(≠v(3) 复合函数的导数设)(x u θ=在点x 处可导，)(u f y =在点)(x u θ=处可导，则复合函数)]([x f θ在点x 处可导， 且)(x f '＝，即x u x u y y '⋅'='.例题讲练【例1】 若)(a f '＝－3，试求0()(3)limk f a k f a k k→+--的值.【例2】 求下列函数的导数：(1) 2122+-=x x y (2) ax e x y 2=【例3】 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧++=11)(2x x x f ⎪⎩⎪⎨⎧++=11)(2x x x f )0()0(>≤x x 在x ＝0处的可导性．【例4】 已知a >0，函数,1)(xaxx f -=),0(+∞∈x ，设120,x a<< 记曲线y ＝f (x )在点M ))(,(11x f x 处的切线为l .(1) 求l 的方程；(2) 设l 与x 轴的交点为),0,(2x 证明：① a x 102≤<； ② .1,1211ax x a x <<<则若小结归纳 1．对例1的解决关键是紧扣定义，把分母凑成对应的)3()(k a k a --+或将分子替代为定义的样子.2．函数的导数实质是一个极限问题，不应理解为平均变化率，而是平均变化率的极限.3．要熟记求导公式，对于复合函数的导数要层层求导. 4．搞清导数的几何意义，为解决实际问题，如切线、加速度等问题打下理论基础. 基础训练题 一、选择题1． 一质点的运动方程是S ＝5－32t ，则在一段时间[1，1＋Δt]内的平均速度为 （ ） A ．3Δt ＋6 B ．－3Δt ＋6 C ．3Δt －6 D ．－3Δt －6 2． 函数)(x f 在0x x =可导，则h x f h x f h )()(000lim-+→（ ）A ．与0x 、h 都有关B ．仅与0x 有关与h 无关C ．仅与h 有关与0x 无关D ．与0x 、h 均无关3．（2006安徽卷）若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++=4． 23)(23++=x ax x f ,若4)1(=-'f ，则a 的值为( )A ．319B ．310C ．313D ．3165．下列四个等式：① x x e e 22)(=' ② x x x 2)3(8])3[(7282⋅+='+③ xx 2)(ln 2=' ④ x x a a 222)(='其中正确的有 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 6．（2006江西卷）对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足(1)'()0x f x -≥，则必有 （ ）A ．(0)(2)2(1)f f f +<C. (0)(2)2(1)f f f +≥D. (0)(2)2(1)f f f +>二、填空题7． 如果曲线23032y x y x x x =+=-=与在处的切线互相垂直，则x 0的值为 . 8．（2006湖北卷）半径为r 的圆的面积S(r)＝πr 2，周长C(r )＝2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)'＝2πr ①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。

高中数学中的数列极限与函数极限数列极限和函数极限是高中数学中的重要概念，在数学分析中有着广泛的应用。

本文将介绍数列极限和函数极限的定义和性质，并通过示例和推导来加深理解。

一、数列极限的定义与性质数列是按照一定规律排列的数的序列，而数列极限则是指数列随着索引（通常是正整数）趋于无穷大时的极限值。

我们用符号来表示数列极限，记为lim⁡(aa)=a，其中aa表示数列的第a项。

在数列极限的定义中，有两个重要的要素：趋于无穷大和极限值。

当数列的值越来越接近于某个常数a时，我们说数列的极限为a。

具体而言，对于任意给定的正实数a（ε），存在正整数a（N）使得当a>N 时，aa与a之间的差值小于a，即|aa−a|<a。

这种形式的定义表明数列极限的存在性和唯一性。

对于数列极限的性质，我们有以下结论：1. 常数数列的极限等于该常数本身：lim⁡(a)=a，其中a为任意常数。

2. 收敛数列（即存在极限的数列）的极限唯一。

3. 若数列收敛，则数列必有界，即存在一个正数a（M），使得对于任意的a，都有|aa|≤a。

这个结论可以通过使用极限的定义及三角不等式来证明。

二、函数极限的定义与性质与数列极限类似，函数极限描述的是函数随着自变量趋于某个值时，函数值的变化趋势。

我们用lim⁡(a→a)a(a)=a来表示函数极限，其中a(a)表示函数的表达式，a为自变量趋向的值，a为极限值。

函数极限的定义可以类比于数列极限的定义。

对于任意给定的正实数a（ε），存在正实数a（δ）使得当0＜|a−a|<a时，有|a(a)−a|<a。

这个定义表明函数极限的存在性。

与数列极限类似，函数极限也具有唯一性、局部有界性等性质。

此外，我们还有以下性质：1. 若lim⁡(a→a)a(a)=a_1，lim⁡(a→a)a(a)=a_2，则lim⁡(a→a)(a(a)±a(a))=a_1±a_2。

2. 若lim⁡(a→a)a(a)=a，则lim⁡(a→a)aa(a)=aa，其中a为任意常数。

函数极限与导数基础1. 数学归纳法：（1） 由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法. 归纳法包含不完全归纳法和完全归纳法.① 不完全归纳法:根据事物的部分（而不是全部）特殊事例得出一般结论的推理方法. ② 完全归纳法：根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法数学归纳法常与不完全归纳法结合起來使用,用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明结论. （2） 数学归纳法步骤：① 验证当n 取第一个时结论P （/20）成立；② 由假设当n = k （圧“北鼻州）时，结论P 伙）成立，证明当n = k +1吋，结论P 伙+ 1）成立；根据①②对一切自然数n时，P （町都成立.2. 数列的极限⑴数列的极限定义:如果当项数〃无限增大时，无穷数列仏讣的项色无限地趋近于某个常数d （即 \a>-d\无限地接近于）,那么就说数列｛a fi ｝以a 为极限，或者说a 是数列｛©｝的极限.记为 lim a n - a 或当刃 T 时，a tl —> a.HT8（2）数列极限的运算法则：如果｛色｝、｛b tl ｝的极限存在，且\ma n =a.\mb H =b,L J L J"T8 〃T8那么 \m （a tl ±b tl ） = a±b^ \m （a n -b ti ） = a b; lim 殂=纟"0）/r->oo b b 特别地,如果C 是常数，那么lim （C • d ”）= lim C • lim a n = Ca •"―>8 "T8 "T8⑶儿个常用极限：①limC = C （C 为常数）②i im A = 0 （G,怡均为常数H/feG〃T8“T8 /（|1（9=1） ③= i 0@|< 1）|不存在0= ■ 1或切a 1）④ 首项为q,公比为q （同<1）的无穷等比数列的各项和为i imSn =^." \-q注：⑴并不是每一个无穷数列都有极限.⑵四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况.极限的四则运算知识网数学归纳法、数列的极限与运算导数的应用应用举例求简单函数的导数例1.某个命题与正整数有关，若当n = k伙wNj时该命题成立，那么可推得当n=k^\时该命题也成立，现己知当n = 5时该命题不成立，那么可推得（）数学归纳法擞列的极限与运算（A）当n = 6时，该命题不成立（B）当n = 6时，该命题成立（C）当几=4时，该命题成立（D）当= 4时，该命题不成立例2.用数学归纳法证明：“1+° + /+... +严=1-C严（g]）”在验证,2 = 1吋，左端\-ci计算所得的项为（）（A）l （B）l + d （C）l + d + / （D）1+ Q + Q2+/例3. 1血2宀1 等于（）0）2 （B）—2 （C）—1 （D）专“TR / + 2 2 2例4.等差数列屮，若LimS n存在，则这样的数列（）n—»8（A）有且仅有一个（B）有无数多个（C）有一个或无穷多个（D）不存在例5. limV^（J〃 + l-V^）等于（）（A）丄（B）0 （C）—（D）不存在“T8 3 2例6.若（2+x）"=片+<牡+4彳------- qX", A” =务 + ----- c i!t,则jj m_（）i 8 + 3A/tW-l （B）丄（C）丄（D）_ 丄3 114 8例7.在二项式（1 + 3兀）”和（2兀+ 5）"的展开式中，各项系数之和记为色，亿曲是正整数，贝Ulim勺一％ ="8 3a n - 4b n例&已知无穷等比数列仏｝的首项听N ,公比为q,且丄* S»+（/+••• + □，5 n 1 2 nQH- lim S»= 3 ‘ 则+ a、= •"T8例9.已知数列｛色｝前/7项和S = ba +1 1,其中b是与n无关的常数，且0”“（1 + 方）"</?<1,若lim S… =存在，则lim S… = .例10.若数列｛色｝的通项a n = In 1,设数列｛—｝的通项◎=]+ 1 ,又记7；是数列｛$｝的前n项的积.（I）求T“ 7；的值；（II）试比较7；与血打的大小，并证明你的结论.例l.D 2.C例3.A 例4.A例5. C 将分子局部有理化，原式二叶乔_冋 1 _】例6. A 例7.丄例&色例9.1 例10（见后面）”-8厶 + 厶 + ] * h+ 1 2 2 3V n1•函数的极限（1）函数的六种极限定义：①lim /（x） = a的意义是当自变量x取正值并且无限増大时,/（兀）无限趋进丁•一个常数°;XT+8②lim f（x） = a的意义是当自变量X取负值并且绝对值无限增大时,/（兀）无限趋进于一个常数a； .丫一>-8函数的极限及函数的连续性③lim f(x) = Q o lim /(x), lim f(x)都存在，且等于a;XT8 XT+8 XT-8④lim f(x) = a的意义是当自变量x从x = x0右侧(即x>x0)无限趋近于常数兀。