2019届高考数学总复习第九单元解析几何第61讲求轨迹方程的基本方法检测

2019年201X高考数学轨迹方程的求解知识点-优秀word范文
本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！
== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==
201X高考数学轨迹方程的求解知识点
轨迹方程的求解知识点是高考考察的重点难点，一般都在解答题进行考察，重要性不言而喻。

符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹.
轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性).
【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。

一、求动点的轨迹方程的基本步骤
⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;
⒉写出点M的集合;
⒊列出方程=0;
⒋化简方程为最简形式;
⒌检验。

二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。

⒈直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。

⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。

⒊相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P 的坐标(x0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。

高中数学：求轨迹方程的几种常用方法
由已知条件求动点轨迹方程是解析几何的基本问题之一，也是解析几何的重点。

轨迹方程的常用方法可归纳为以下四种。

一、普通法
例1. 求与两定点距离的比为1：2的点的轨迹方程。

分析：设动点为P，由题意，则依照点P在运动中所遵循的条件，可列出等量关系式。

解：设是所求轨迹上一点，依题意得
由两点间距离公式得：
化简得：
二、定义法
例2. 点M到点F（4，0）的距离比它到直线的距离小1，求点M的轨迹方程。

分析：点M到点F（4，0）的距离比它到直线的距离小1，意味着点M到点F（4，0）的距离与它到直线
的距离相等。

由抛物线标准方程可写出点M的轨迹方程。

解：依题意，点M到点F（4，0）的距离与它到直线的距离相等。

则点M的轨迹是以F（4，0）为焦点、为准线的抛物线。

故所求轨迹方程为。

三、坐标代换法
例3. 抛物线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于A、B两点，动点C在抛物线上，求△ABC重心P的轨迹方程。

分析：抛物线的焦点为。

设△ABC重心P的坐标为，点C的坐标为。

解：因点是重心，则由分点坐标公式得：
即
由点在抛物线上，得：
将代入并化简，得：
四、参数法
例4. 当参数m随意变化时，求抛物线的顶点的轨迹方程。

分析：把所求轨迹上的动点坐标x，y分别用已有的参数m
来表示，然后消去参数m，便可得到动点的轨迹方程。

解：抛物线方程可化为
它的顶点坐标为
消去参数m得：
故所求动点的轨迹方程为。

▍
▍ ▍
▍。

名师讲解高考数学一轮复习轨迹方程的求解轨迹方程就是与几何轨迹对应的代数描述，下面是轨迹方程的求解，请考生学习掌握。

符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹. 轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性).【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。

一、求动点的轨迹方程的基本步骤⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;⒉写出点M的集合;⒊列出方程=0;⒋化简方程为最简形式;⒌检验。

二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。

⒈直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。

⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。

⒊相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标(x0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。

⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。

⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。

*直译法：求动点轨迹方程的一般步骤①建系建立适当的坐标系;②设点设轨迹上的任一点P(x，y);③列式列出动点p所满足的关系式;④代换依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，并化简;⑤证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。

轨迹方程的求解总结轨迹方程的求解是高中数学中一个重难点，下面查字典高中数学网为大家总结了轨迹方程的求解知识点，希望对大家所有帮助。

符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹.轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性).【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。

一、求动点的轨迹方程的基本步骤⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;⒉写出点M的集合;⒊列出方程=0;⒋化简方程为最简形式;⒌检验。

二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。

⒈直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。

⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。

⒊相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标(x0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。

⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。

⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。

*直译法：求动点轨迹方程的一般步骤①建系——建立适当的坐标系;②设点——设轨迹上的任一点P(x，y);③列式——列出动点p所满足的关系式;④代换——依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，并化简;⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。

第九章解析几何一、2019年新课标考试说明(1) 直线与方程①在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素．②理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．④掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系．⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．(2) 圆与方程①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．②能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．④初步了解用代数方法处理几何问题的思想．(3) 空间直角坐标系①了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．②会推导空间两点间的距离公式．圆锥曲线与方程(1) 圆锥曲线①了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．②掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质．③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．④了解圆锥曲线的简单应用．⑤理解数形结合的思想．(1) 曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．二、新课标真题汇编1.【2016课标1理5】已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A．（﹣1，3） B．（﹣1，） C．（0，3） D．（0，）2.【2016课标1理10】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4 C．6 D．83.【2016课标Ⅰ理20】设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．4.【2016课标2理4】圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）A．﹣B．﹣C．D．25.【2016课标2理11】已知F1，F2是双曲线E：﹣=1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为（）A．B．C．D．26.【2016课标2理20】已知椭圆E：+ =1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．（Ⅰ）当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；（Ⅱ）当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围．7.【2016课标3理11】已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．8.【2016课标3理20】已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．9.【2015课标1理5】已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C 的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C．D．10.【2015课标1理14】一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为．11.【2015课标1理20】在直角坐标系xOy中，曲线C：y= 与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N两点．（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由）12.【2015课标2理11】已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A． B．2 C． D．13.【2015课标2理20】已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．14.【2014课标1理10】已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．B．3 C．D．215.【2014课标1理20】已知点A（0，﹣2），椭圆E：+ =1（a＞b＞0）的离心率为F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．16.【2014课标2理10】设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C 于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A．B．C．D．17.【2014课标2理20】设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．18.【2013课标1理4】已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y= C．y=±x D．y=19.【2013课标1理10】已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C． D．20.【2013课标1理20】已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．21.【2013课标2理11】设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（）A．y2=4x或y2=8x B．y2=2x或y2=8x C．y2=4x或y2=16x D．y2=2x或y2=16x22.【2013课标2理20】平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（a＞b＞0）右焦点的直线x+y﹣=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为．（Ⅰ）求M的方程（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．23.【2012课标2理4】设F1、F2是椭圆的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．24.【2012课标2理8】等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．B．C．4 D．825.【2012课标2理20】设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．三、名师团队详解品评1.【答案】A【考点】双曲线的标准方程．【解析】因为双曲线两焦点间的距离为4，所以c=2，可得：4=（m 2+n ）+（3m 2﹣n ），解得：m 2=1，因为方程﹣=1表示双曲线，所以（m 2+n ）（3m 2﹣n ）＞0，可得：（n+1）（3﹣n ）＞0，解得：﹣1＜n ＜3，即n 的取值范围是：（﹣1，3）．故选：A ．【试题分析与点评】：本题主要考查了双曲线的定义和方程，利用双曲线方程中222b a c +=建立方程，尤其在不明确焦点位置时，结合双曲线方程的特征，建立不等式（m 2+n ）（3m 2﹣n ）＞0即可求解。

第61讲 圆的方程1．圆(x －1)2＋y 2＝2关于直线x －y ＋1＝0对称的圆的方程是(C) A ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝12 B ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝12C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝2 D ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝2圆心(1,0)关于直线x －y ＋1＝0的对称点是(－1,2)，所以圆的方程是(x ＋1)2＋(y －2)2＝2.2．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(A) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1设圆上任一点为A (x 1，y 1)，则x 21＋y 21＝4，PA 连线中点的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝x 1＋4，2y ＝y 1－2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －4，y 1＝2y ＋2，代入x 21＋y 21＝4，得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.3．(2017·湖南长沙二模)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是(A)A ．1＋ 2B ．2C ．1＋22D ．2＋2 2将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心为(1,1)，半径为1. 则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2的最大值为d ＋1＝2＋1.4．(2016·洛阳模拟)在平面直角坐标系内，若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a 的取值范围为(A)A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞) D．(2，＋∞)圆C 的标准方程为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，所以圆心为(－a,2a )，半径r ＝2.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，|－a |>2，|2a |>2，解得a <－2.5．已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为 (x －2)2＋y 2＝10 .由题意，线段AB 的中点M (3,2)，k AB ＝－12，所以线段AB 的中垂线的方程为y －2＝2(x －3)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝x －，y ＝0，得圆心(2,0)，则圆C 的半径r ＝－2＋－2＝10，故圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.6．若直线ax ＋2by －2＝0(a >0，b >0)始终平分圆： x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a＋2b的最小值为 3＋2 2 .由条件知直线过圆心(2,1)， 所以2a ＋2b －2＝0，即a ＋b ＝1.所以1a ＋2b ＝(1a ＋2b )·(a ＋b )＝3＋b a ＋2ab≥3＋2 2.当且仅当b a ＝2ab，即a ＝2－1，b ＝2－2时，等号成立． 所以1a ＋2b的最小值为3＋2 2.7．已知⊙C 经过点(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上． (1)求⊙C 的方程；(2)设P (x ，y )是⊙C 上任意一点，求x ＋y 的取值范围．(1)设⊙C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝r 2，a －2＋b －2＝r 2，2a ＋3b ＋1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－3，r 2＝25.故⊙C 的方程为(x －4)2＋(y ＋3)2＝25. (2)设x ＋y ＝m ，即y ＝－x ＋m ，因为P (x ，y )是圆上任意一点，所以⊙C 与直线x ＋y －m ＝0有公共点． 所以|4－3－m |2≤5，解得1－52≤m ≤1＋5 2.故x ＋y 的取值范围为[1－52，1＋52]．8．如果实数x ，y 满足方程(x －3)2＋(y －3)2＝6，则yx的最大值与最小值分别为 3＋2 2和 3－2 2 .设P (x ，y )，则P 点的轨迹就是圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝6. 而y x 的几何意义就是直线OP 的斜率， 设y x＝k ，则直线OP 的方程是y ＝kx . 当直线OP 与圆相切时，斜率取最值．所以|3k －3|k 2＋1＝6，即k ＝3±22时，直线OP 与圆相切．所以y x的最大值与最小值分别为3＋22和3－2 2.9．(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5，0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D.若AB →·CD →＝0，则点A 的横坐标为__3__．设A (a ，2a )，则a >0.又B (5，0)，故以AB 为直径的圆的方程为(x －5)(x －a)＋y (y －2a )＝0. 由题意知C (a ＋52，a )．由⎩⎪⎨⎪⎧（x －5）（x －a ）＋y （y －2a ）＝0，y ＝2x ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝2a .所以D (1，2)．又AB →·CD →＝0，AB →＝(5－a ，－2a )，CD →＝(1－a ＋52，2－a )，所以(5－a ，－2a )·(1－a ＋52，2－a )＝52a 2－5a －152＝0， 解得a ＝3或a ＝－1. 又a >0，所以a ＝3.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得的线段长为22，在y 轴上截得的线段长为2 3 .(1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程．(1)设P (x ，y )，圆P 的半径长为r ，由题设知y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而y 2＋2＝x 2＋3， 故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P (x 0，y 0)，由已知得|x 0－y 0|2＝22， 又点P 在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|y 0－x 0|＝1，y 20－x 20＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1.此时，圆P 的半径r ＝ 3.故圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3或x 2＋(y －1)2＝3.。