2020高考数学 专题复习 轨迹方程

专题13 坐标系与参数方程【知识要点】1．极坐标系的概念，极坐标系中点的表示．在平面内取一个定点O ，O 点出发的一条射线Ox ，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系．O 称为极点，Ox 称为极轴．设M 是平面内任意一点，极点O 与点M 的距离｜OM |叫做点M 的极径，记作ρ ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记作θ ，有序数对(ρ ，θ )叫做点M 的极坐标．一般情况下，约定ρ ≥0．2．极坐标系与直角坐标系的互化．直角坐标化极坐标：x ＝ρ cos θ ，y ＝ρ sin θ ； 极坐标化直角坐标：， 3．参数方程的概念设在平面上取定一个直角坐标系xOy ，把坐标x ，y 表示为第三个变量t 的函数……①，如果对于t 的每一个值(a ≤t ≤b )，①式所确定的点M (x ，y )都在一条曲线上；而这条曲线上任意一点M (x ，y )，都可由t 的某个值通过①式得到，则称①式为该曲线的参数方程，其中t 称为参数．4．参数方程与普通方程的互化把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消元法；加减消参法；平方和(差)消参法；乘法消参法等．把曲线C 的普通方程F (x ，y )＝0化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．要注意方程中的参数的变化范围． 5．直线、圆、椭圆的参数方程．(1)经过一定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α 的直线l 的参数方程为(t 为参数)；(2)直线参数方程的一般形式为(t 为参数)；222y x +=ρ).0(tan =/=x xyθ⎩⎨⎧==)()(t g y t f x b t a ≤≤⎩⎨⎧+=+=ααsin ,cos 00t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00,(3)圆的参数方程为(θ 为参数)；(4)椭圆的参数方程为(θ 为参数)．【复习要求】1．理解坐标系的作用．2．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．3．了解参数方程．4．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程，并会简单的应用． 【例题分析】例1 (1)判断点是否在曲线上． (2)点P 的直角坐标为，则点P 的极坐标为______．(限定0＜θ ≤2π)(3)点P 的极坐标为，则点P 的直角坐标为______．解：(1)因为，所以点是在曲线上． (2)根据ρ 2＝x 2＋y 2，， 得ρ ＝2，，又点P 在第四象限，，所以，所以点P 的极坐标为 (3)根据x ＝ρ cos θ ，y ＝ρ sin θ ，得， 所以点P 的直角坐标为 例2 (1)圆ρ ＝2(cos θ ＋sin θ )的半径为______．⎩⎨⎧+=+=θθsin ,cos 00r y y r x x )0(12222>>=+b a b y a x ⎩⎨⎧==θθsin ,cos b y a x )35π,23(-2cos θρ=)3,1(-)4π,3(-2365πcos2cos-==θ)35π,23(-2cos θρ=)0(tan =/=x xy θ3tan -=θ2π23π≤<θ35π=θ).3π5,2(223,223-==y x ).223,223(-(2)直线与圆ρ ＝2sin θ 交与A ，B 两点，则|AB |＝______． 解：(1)由ρ ＝2(cos θ ＋sin θ )，得ρ 2＝2ρ (cos θ ＋sin θ )， 所以，x 2＋y 2＝2x ＋2y ，即(x －1)2＋(y －1)2＝2， 所以圆ρ ＝2(cos θ ＋sin θ )的半径为． (2)将直线与圆ρ ＝2sin θ 化为直角坐标方程，得 由得，即， 由ρ ＝2sin θ ，变形为ρ 2＝2ρ sin θ ，得x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1， 因为圆的半径为1，圆心到直线的距离为， 所以评述：(1)应熟练运用直角坐标与极坐标互化的方法解决有关极坐标的问题；(2)由直角坐标化极坐标时要注意点位于哪一个象限才能确定θ 的大小，如例1(2)，否则，极坐标不唯一； (3)例2也可以用极坐标有关知识直接解决．这需要知道一些直线与圆的极坐标方程的知识．如： ①过极点，倾斜角为α 的直线：θ ＝α (ρ ∈R )或写成θ ＝α 及θ ＝α ＋π． ②过A (a ，α)垂直于极轴的直线：ρ cos θ ＝a cos α ． ③以极点O 为圆心，a 为半径的圆(a ＞0)：ρ ＝a ．④若O (0，0)，A (2a ，0)，以OA 为直径的圆：ρ ＝2a cos θ ． ⑤若O (0，0)，A (2a ，)，以OA 为直径的圆：ρ ＝2a sin θ ． 对于例2(2)，可以利用结论①⑤，作出直线与圆，通过解三角形的方法求|AB ｜，当然也可以用极坐标方程直接解ρ ，根据ρ 的几何意义求｜AB ｜．例3 圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ ＝4cos θ ，ρ ＝－4sin θ ． (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过圆O 1和圆O 2交点的直线的直角坐标方程．)(3πR ∈=ρθ2)(3πR ∈=ρθ3π=θxy=3πtan x y 3=21311=+=d .3)21(12||2=-=AB 2π解：(1)由ρ ＝4cos θ 得ρ 2＝4ρ cos θ ，根据x ＝ρ cos θ ，y ＝ρ sin θ ，所以x 2＋y 2＝4x ． 即x 2＋y 2－4x ＝0为圆O 1的直角坐标方程，同理x 2＋y 2＋4y ＝0为圆O 2的直角坐标方程．(2)由解得 即圆O 1和圆O 2交于点(0，0)和(2，－2)．过交点的直线的直角坐标方程为y ＝－x ．例4(1)曲线的参数方程是(t 为参数，t ≠0)，它的普通方程是________． (2)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为 (参数t ∈R )，圆C 的参数方程为(参数θ ∈[0，2π])，则圆C 的圆心坐标为______，圆心到直线l 的距离为______． 解：(1)由得，带入y ＝1－t 2，得 注意到，所以已知参数的普通方程为 (2)直线l 的普通方程为x ＋y －6＝0，圆C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4， 所以圆心坐标为(0，2)，圆心到直线l 的距离评述：(1)应熟练运用将参数方程化为普通方程的方法解决有关参数方程的问题；(2)在将参数方程化为普通方程的过程中应注意消参带来的范围变化问题．如例4(1)，若参数方程为(t 为参数，t ＞0)，则其普通方程为 例5 求椭圆的内接矩形的最大面积．解：设内接矩形在第一象限内的顶点为P (a cos θ ，b sin θ )，P 点在两轴上的投影分别为A 、B ，则有S 内接矩形＝4S 矩形OAPB ＝4·a cos θ ·b sin θ ＝2ab sin2θ ． 因为，所以2θ ∈(0，π)，S 内接矩形的最大值为2ab ． ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+,04,042222y y x x y x ⎩⎨⎧==;0,011y x ⎩⎨⎧-==.2,222y x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=21,11t y t x ⎩⎨⎧-=+=t y t x 3,3⎩⎨⎧+==2sin 2,cos 2θθy x t x 11-=x t -=11,)1()2()11(122--=--=x x x x y 111=/-=t x ⋅--=2)1()2(x x x y .222|620|=-+=d ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=21,11t y t x ).1()1()2(2<--=x x x x y 12222=+by a x )2π,0(∈θ评述：圆锥曲线参数方程主要应用于利用参数方程设圆锥曲线上的点，从而讨论最值等有关问题．椭圆的参数方程为 (θ 为参数)．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为.例6 圆M 的参数方程为x 2＋y 2－4Rx cos α －4Ry sin α ＋3R 2＝0(R ＞0)． (1)求该圆的圆心坐标以及圆M 的半径；(2)当R 固定，α 变化时，求圆心M 的轨迹，并证明此时不论α 取什么值，所有的圆M 都外切于一个定圆． 解：(1)依题意得圆M 的方程为(x －2R cos α )2＋(y －2R sin α )2＝R 2， 故圆心的坐标为M (2R cos α ，2R sin α )，半径为R ．(2)当α 变化时，圆心M 的轨迹方程为 (α 为参数)，两式平方相加得x 2＋y 2＝4R 2，所以圆心M 的轨迹是圆心在原点，半径为2R 的圆．由于所以所有的圆M 都和定圆x 2＋y 2＝R 2外切，和定圆x 2＋y 2＝9R 2内切．例7 过P (5，－3)，倾斜角为α ，且的直线交圆x 2＋y 2＝25于P 1、P 2两点．(1)求|PP 1|·|PP 2｜的值；(2)求弦P 1P 2的中点M 的坐标．解：(1)由已知得所以已知直线的参数方程为…………………①(t 为参数)代入圆的方程化简，得…………………② ②的两个解t 1、t 2就是P 1、P 2对应的参数，由参数的几何意义及韦达定理知)0,0(12222>>=+b a b y a x ⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x ⎩⎨⎧==pty ptx 222⎩⎨⎧==,sin 2,cos 2ααR y R x ,32)sin 2()cos 2(22R R R R R -==+αα,2)sin 2()cos 2(22R R R R R +==+αα53cos -=α53cos -=α,54sin =α⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=,543,535t y t x .095542=+-t t｜PP 1|·｜PP 2|＝|t 1|·|t 2|＝9．(2)设M (x ，y )为P 1P 2的中点，则点M 对应的参数，代入参数方程， 得 所以 评述：根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论： ①直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t 1，t 2，则弦长l ＝|t 1－t 2｜； ②定点M 0是弦M 1M 2的中点t 1＋t 2＝0；③设弦M 1M 2的中点为M ，则点M 对应的参数值，(由此可求得|M 2M |及中点坐标)． 习题13一、选择题 1．极坐标的直角坐标为 (A)(1，)(B)(－，－1)(C)(－1，－)(D)(－1，)2．椭圆(θ 为参数)的焦距等于( )(A) (B)2 (C) (D)3．已知某条曲线的参数方程为(0≤t ≤5)，则该曲线是( )(A)线段 (B)圆弧 (C)双曲线的一支 (D)射线4．若是极坐标系中的一点，则四点中与P 重合的点有( )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个527221=+=t t t ,2533,2544==y x M PP PP ,9||||21=⋅).2533,2544(⇒221t t t M +=)34π(2,3333⎩⎨⎧==θθsin 5,cos 2y x 212129292⎪⎩⎪⎨⎧-=+=1,2322t y t x )3π,2(--P 、、、)3π5,2()3π8,2()3π2,2(-M R Q )3π5π2,2(-k N )(Z ∈k5．在极坐标系中，若等边△ABC 的两个顶点是，那么顶点C 的坐标可能是( ) (A) (B) (C)(D)(3，π)二、选择题6．过极点，倾斜角是的直线的极坐标方程为____________． 7．点M 的直角坐标(3，－3)化为极坐标是____________． 8．直线(t 为参数)过定点____________．9．曲线(t 为参数)与y 轴的交点坐标是____________．10．参数方程(θ 为参数)表示的曲线的普通方程是____________．三、解答题11．求过点，并且和极轴垂直的直线的极坐标方程．12．在椭圆上求一点，使点M 到直线的距离最小，并求出最小距离．13．设圆C 是以C (4，0)为圆心，半径等于4的圆．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)从极点O 作圆C 的弦ON ，求ON 的中点M 的轨迹方程．)4π5,2()4π,2(B A 、)4π3,4()43π,32()π,32(6π⎩⎨⎧+-=+=t y at x 41,3⎩⎨⎧=+-=t y t x ,12⎩⎨⎧+==θθθcos sin ,2sin y x )4π,3(14922=+y x 021032=-+y x14．已知点M (2，1)和双曲线，求以M 为中点的双曲线右支的弦AB 所在直线l 的方程．专题13 坐标系与参数方程参考答案习题13一、选择题1．C 2．B 3．A 4．C 5．B 二、填空题 6．； 7．； 8．(3，－1)； 9．(0，1)，(0，－1)； 三、解答题 11． 12．解：由题设知椭圆参数方程为(θ 为参数)．设M 的坐标(3cos θ ，2sin θ )由点到直线距离 即d 的最小值为，此时．所以M 的坐标为13．解：(1)设P (ρ ，θ )为圆C 上任意一点，圆C 交极轴于另一点A ．由已知|OA |＝8，在Rt △ABC 中，|OP |＝|OA ｜cos θ ，即ρ ＝8cos θ ，这就是圆C 的方程．1222=-y x )(6πR ∈=ρθ)47π,23(⋅=223cos θρ⎩⎨⎧==θθsin 2,cos 3y x ,13|210)4πsin(26|13|210sin 6cos 6|-+=-+=θθθd 261344π=θ).2,223((2)连结CM ，因为M 是ON 的中点，所以CM ⊥ON ，故M 在以OC 为直径的圆上． 由r ＝|OC |＝4，得动点M 的轨迹方程是ρ ＝4cos θ ．14．解：设AB 的方程为(t 为参数)，代入双曲线方程，得(2cos 2α －sin 2α )t 2＋(8cos α －2sin α )t ＋5＝0，由于M 为AB 的中点，则t 1＋t 2＝0，则tan α ＝4，从而AB 的方程为：4x －y －7＝0．⎩⎨⎧+=+=ααsin 1,cos 2t y t x。

【高考复习】高考数学知识点：轨迹方程的求解符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹．轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性（也叫做必要性）；凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性（也叫做充分性）．【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数叙述。

一、求动点的轨迹方程的基本步骤⒈创建适度的坐标系，设立增派点m的座标；⒉写出点m的集合；⒊列举方程=0；⒋化简方程为最简形式；⒌检验。

二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。

⒈意译法：轻易将条件翻译成等式，整理化简后即为得动点的轨迹方程，这种谋轨迹方程的方法通常叫作意译法。

⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。

⒊有关点法：用动点q的座标x，y则表示有关点p的座标x0、y0，然后代入点p的座标（x0，y0）所满足用户的曲线方程，整理化方便快捷获得动点q轨迹方程，这种谋轨迹方程的方法叫作有关点法。

⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。

⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数解出，获得不不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种谋轨迹方程的方法叫作交轨法。

*直译法：求动点轨迹方程的一般步骤①建系――创建适度的坐标系；②设点――设轨迹上的任一点p（x，y）；③列式――列于增派点p所满足用户的关系式；④代换――依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x，y的方程式，并化简；⑤证明――证明所求方程即为为符合条件的动点轨迹方程。

高考数学轨迹方程的求解知识点归纳整理|圆的轨迹方程例题符合一定条的动点所形成的图形，或者说，符合一定条的点的全体所组成的集合，叫做满足该条的点的轨迹.轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条，这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条，也就是符合给定条的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性).【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。

一、求动点的轨迹方程的基本步骤⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;⒉写出点M的集合;⒊列出方程=0;⒋化简方程为最简形式;⒌检验。

二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。

⒈直译法：直接将条翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。

⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。

⒊相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标(x0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。

⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。

⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。

*直译法：求动点轨迹方程的一般步骤①建系建立适当的坐标系;②设点设轨迹上的任一点P(x，y);③列式列出动点p所满足的关系式;④代换依条的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，并化简;⑤证明证明所求方程即为符合条的动点轨迹方程。

高考数学难点突破_难点22__轨迹方程的求法在高考数学中，轨迹方程的求法是一个比较常见但也较为复杂的难点。

在解决这类问题时，我们需要考虑几个关键因素，如何确定相关点、如何利用已知条件及使用适当的数学知识等。

一、确定相关点对于轨迹方程的求法，首先需要明确或确定一些与所求轨迹相关的点。

这些点可以从已知条件中得出，如一个点的坐标、两个点的距离、特定点到直线的距离等。

这些已知条件将成为我们解题的基础。

二、利用已知条件在确定了相关的点之后，我们需要利用已知条件来求解轨迹方程。

对于不同的条件，我们可以使用不同的数学知识和方法来解决问题。

下面是一些常见的已知条件及相应的解决思路：1.已知点的坐标：如果已知轨迹上的其中一点的坐标，我们可以将这个点的坐标代入轨迹方程中，得到一个等式，并根据这个等式求解出其他未知量，从而得到轨迹方程。

例如，已知轨迹上的点的坐标满足$x^2+y^2=1$，则这是一个以原点为中心、半径为1的圆的轨迹方程。

2.已知点到另一点的距离：如果已知轨迹上的其中一点到另一点的距离等于一定值，我们可以根据距离公式来求解轨迹方程。

例如，已知轨迹上的点到点$(2,1)$的距离等于2，则可以列出方程$\sqrt{(x-2)^2 + (y-1)^2} = 2$，进而求解出轨迹方程。

3.已知点到直线的距离：如果已知轨迹上的其中一点到直线的距离等于一定值，我们可以利用距离公式和直线方程来求解轨迹方程。

例如，已知轨迹上的点到直线$2x+ 3y = 6$的距离等于3，则可以列出方程$\frac{，2x + 3y -6，}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = 3$，进一步求解出轨迹方程。

三、使用适当的数学知识在解决轨迹方程的问题中，我们可能需要应用到一些特定的数学知识，如圆的性质、直线的性质、二次曲线方程等。

我们需要结合问题的具体情况，合理地选择和应用这些知识来解决问题。

总结起来，要解决轨迹方程的问题，我们需要明确相关点、利用已知条件和适当应用数学知识。

高考数学中求轨迹方程的常见方法一、直接法当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法.例1 已知点)0,2(-A 、).0,3(B 动点),(y x P 满足2x PB PA =⋅，则点P 的轨迹为（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线解：),3(),,2(y x y x --=---= ，2)3)(2(y x x +---=⋅∴226y x x +--=. 由条件，2226x y x x =+--，整理得62+=x y ，此即点P 的轨迹方程，所以P 的轨迹为抛物线，选D.二、定义法定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.例2 已知ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若b c a ,,依次构成等差数列，且b c a >>，2=AB ，求顶点C 的轨迹方程.解：如右图，以直线AB 为x 轴，线段AB 的中点为原 点建立直角坐标系. 由题意，b c a ,,构成等差数列，∴b a c +=2， 即4||2||||==+AB CB CA ，又CA CB >，∴C 的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中，1,2='='c a ，3='b ，故C 的轨迹方程为)2,0(13422-≠<=+x x y x . 三、代入法当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点P 的坐标y x ,来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点P 的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法.例3 如图，从双曲线1:22=-y x C 上一点Q 引直线2:=+y x l 的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程.解：设),(),(11y x ，Q y x P ，则)2,2(11y y x x N --.ΘN 在直线上，.22211=-+-∴y y x x ① 又l PN ⊥得,111=--x x y y 即011=-+-x y y x .②联解①②得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=22322311x y y y x x .又点Q 在双曲线C 上，1)223()223(22=-+--+∴x y y x ，化简整理得：01222222=-+--y x y x ，此即动点P 的轨迹方程.四、几何法几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质，发现动点的运动规律和要满足的条件，从而得到动点的轨迹方程.例4 已知点)2,3(-A 、)4,1(-B ，过A 、B 作两条互相垂直的直线1l 和2l ，求1l 和2l 的交点M 的轨迹方程.解：由平面几何知识可知，当ABM ∆为直角三角形时，点M 的轨迹是以AB 为直径的圆.此圆的圆心即为AB 的中点)1,1(--，半径为25221=AB ，方程为13)1()1(22=+++y x . 故M 的轨迹方程为13)1()1(22=+++y x .五、参数法参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标y x ,间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到y x ,间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.例5 过抛物线px y 22=（0>p ）的顶点O 作两条互相垂直的弦OA 、OB ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程.解：设),(y x M ，直线OA 的斜率为)0(≠kk ，则直线OB 的斜率为k1-.直线OA 的方程为kx y =，由⎩⎨⎧==px y kx y 22解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==kp y k px 222，即)2,2(2k p k p A ，同理可得)2,2(2pk pk B -. 由中点坐标公式，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=pk kpy pk k px 22，消去k ，得)2(2p x p y -=，此即点M 的轨迹方程. 六、交轨法求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法.例6 如右图，垂直于x 轴的直线交双曲线12222=-by a x 于M 、N 两点，21,A A 为双曲线的左、右顶点，求直线M A 1与N A 2的交点P 的轨迹方程，并指出轨迹的形状.解：设),(y x P 及),(),,(1111y x N y x M -，又)0,(),0,(21a A a A -，可得直线M A 1的方程为)(11a x a x y y ++=①；直线N A 2的方程为)(11a x ax y y -+-=②. ①×②得)(22221212a x ax y y ---=③. 又,1221221=-b y a x Θ)(2122221x a a b y -=-∴，代入③得)(22222a x ab y --=，化简得12222=+by a x ，此即点P 的轨迹方程. 当b a =时，点P 的轨迹是以原点为圆心、a 为半径的圆；当b a ≠时，点P 的轨迹是椭圆.高考动点轨迹问题专题讲解（一）选择、填空题1．（ ）已知1F 、2F 是定点，12||8F F =，动点M 满足12||||8MF MF +=，则动点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段2．（ ）设(0,5)M ，(0,5)N -，MNP ∆的周长为36，则MNP ∆的顶点P 的轨迹方程是（A ）22125169x y +=（0x ≠） （B ）221144169x y +=（0x ≠） （C ）22116925x y +=（0y ≠） （D ）221169144x y +=（0y ≠） 3．与圆2240x y x +-=外切，又与y 轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ；4．P 在以1F 、2F 为焦点的双曲线221169x y -=上运动，则12F F P ∆的重心G 的轨迹方程是 ； 5．已知圆C：22(16x y ++=内一点()A ，圆C 上一动点Q ， AQ 的垂直平分线交CQ 于P 点，则P 点的轨迹方程为 ．2214x y += 6．△ABC 的顶点为(5, 0)A -、(5, 0)B ，△ABC 的内切圆圆心在直线3x =上，则顶点C 的轨迹方程是 ；221916x y -=（3x >） 变式：若点P 为双曲线221916x y -=的右支上一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，则△12PF F 的内切圆圆心的轨迹方程是 ；推广：若点P 为椭圆221259x y +=上任一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，圆M 与线段1F P 的延长线、线段2PF 及x 轴分别相切，则圆心M 的轨迹是 ；7．已知动点M 到定点(3,0)A 的距离比到直线40x +=的距离少1，则点M 的轨迹方程是 ．212y x =8．抛物线22y x =的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是 ．4kx =（28k y >） 9．过抛物线24y x =的焦点F 作直线与抛物线交于P 、Q 两点，当此直线绕焦点F 旋转时， 弦PQ 中点的轨迹方程为 ． 解法分析：解法1 当直线PQ 的斜率存在时， 设PQ 所在直线方程为(1)y k x =-与抛物线方程联立，2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩ 消去y 得 2222(24)0k x k x k -++=． 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，PQ 中点为(,)M x y ，则有21222,22(1).x x k x k y k x k ⎧++==⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩消k 得22(1)y x =-． 当直线PQ 的斜率不存在时，易得弦PQ 的中点为(1,0)F ，也满足所求方程．故所求轨迹方程为22(1)y x =-． 解法2 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由2112224,4.y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得121212()()4()y y y y x x -+=-，设PQ 中点为(,)M x y ，当12x x ≠时，有121224y y y x x -⋅=-，又1PQ MF yk k x ==-，所以，21yy x ⋅=-，即22(1)y x =-． 当12x x =时，易得弦PQ 的中点为(1,0)F ，也满足所求方程． 故所求轨迹方程为22(1)y x =-．10．过定点(1, 4)P 作直线交抛物线:C 22y x =于A 、B 两点, 过A 、B 分别作抛物线C 的切线交于点M, 则点M 的轨迹方程为_________．44yx =-（二）解答题1．一动圆过点(0, 3)P ，且与圆22(3)100x y ++=相内切，求该动圆圆心C 的轨迹方程． （定义法）2．过椭圆221369x y +=的左顶点1A 作任意弦1A E 并延长到F ，使1||||EF A E =，2A 为椭圆另一顶点，连结OF 交2A E 于点P ， 求动点P 的轨迹方程．3．已知1A 、2A 是椭圆22221x y a b+=的长轴端点，P 、Q 是椭圆上关于长轴12A A 对称的两点，求直线1PA 和2QA 的交点M 的轨迹．（交轨法）4．已知点G 是△ABC 的重心，(0,1), (0,1)A B -，在x 轴上有一点M ，满足||||MA MC =u u u r u u u u r ， GM AB R λλ=(∈)u u u u r u u u r．（1）求点C 的轨迹方程；（2）若斜率为k 的直线l 与点C 的轨迹交于不同两点P 、Q ，且满足||||AP AQ =u u u r u u u r，试求k 的取值范围．解：（1）设(,)C x y ，则由重心坐标公式可得(,)33x y G ． ∵ GM AB λ=u u u u r u u u r ，点M 在x 轴上，∴ (,0)3xM ．∵ ||||MA MC =u u u r u u u u r，(0,1)A -，∴= 2213x y +=． 故点C 的轨迹方程为2213x y +=（1y ≠±）．（直接法） （2）设直线l 的方程为y kx b =+（1b ≠±），11(,)P x y 、22(,)Q x y ，PQ 的中点为N ．由22,3 3.y kx b x y =+⎧⎨+=⎩消y ，得222(13)63(1)0k x kbx b +++-=．∴ 22223612(13)(1)0k b k b ∆=-+->，即22130k b +->． ①又122613kbx x k+=-+，∴212122262()221313k b b y y k x x b b k k -+=++=+=++， ∴223(,)1313kb bN k k-++． ∵ ||||AP AQ =u u u r u u u r，∴ AN PQ ⊥，∴ 1ANk k =-，即 221113313bk kb k k ++=--+， ∴2132k b +=，又由①式可得 220b b ->，∴ 02b <<且1b ≠．∴ 20134k <+<且2132k +≠，解得11k -<<且k ≠． 故k 的取值范围是11k -<<且3k ≠±． 5．已知平面上两定点(0,2)M -、(0,2)N ，P 为一动点，满足MP MN PN MN ⋅=⋅u u u r u u u u r u u u r u u u u r．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（直接法）（Ⅱ）若A 、B 是轨迹C 上的两动点，且AN NB λ=u u u r u u u r．过A 、B 两点分别作轨迹C 的切线，设其交点为Q ，证明NQ AB ⋅u u u r u u u r为定值．解：(Ⅰ)设(,)P x y ．由已知(,2)MP x y =+u u u r ，(0,4)MN =u u u u r ，(,2)PN x y =--u u u r, 48MP MN y ⋅=+u u u r u u u u r．PN MN ⋅=u u u r u u u u r……………………………………………3分∵MP MN PN MN ⋅=⋅u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，∴48y+= 整理，得 28x y =．即动点P 的轨迹C 为抛物线，其方程为28x y =．6．已知O 为坐标原点，点(1,0)E -、(1,0)F ，动点A 、M 、N 满足||||AE m EF =u u u r u u u r（1m >），0MN AF =⋅u u u u r u u u r ，1()2ON OA OF =+u u u r u u u r u u u r，//AM ME u u u u r u u u r ．求点M 的轨迹W 的方程．解：∵0MN AF ⋅=u u u u r u u u r ，1()2ON OA OF =+u u u r u u u r u u u r，∴ MN 垂直平分AF ．又//AM ME u u u u r u u u r，∴ 点M 在AE 上，∴ ||||||||2AM ME AE m EF m +===u u u u r u u u r u u u r u u u r ，||||MA MF =u u u r u u u r ，∴ ||||2||ME MF m EF +=>u u u r u u u r u u u r ，∴ 点M 的轨迹W 是以E 、F 为焦点的椭圆，且半长轴a m =，半焦距1c =， ∴ 22221b a c m =-=-．∴ 点M 的轨迹W 的方程为222211x y m m +=-（1m >）． 7．设,x y R ∈，,i j 为直角坐标系内,x y 轴正方向上的单位向量，若向量(2)a xi y j =++r，(2)b xi y j =+-r ， 且||||8a b +=r r．（1）求点(,)M x y 的轨迹C 的方程；（定义法）（2）过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，试说明理由．解：（1）2211216x y +=； （2）因为l 过y 轴上的点(0,3)．若直线l 是y 轴，则,A B 两点是椭圆的顶点．Q 0OP OA OB =+=u u u r u u u r u u u r，所以P 与O 重合，与四边形OAPB 是矩形矛盾．故直线l 的斜率存在，设l 方程为3y kx =+，1122(,),(,)A x y B x y ．由223,1,1216y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y 得22(43)18210,k x kx ++-=此时22(18)4(43)(21)k k ∆=-+-＞0恒成立，且1221843k x x k +=-+，1222143x x k=-+， Q OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r，所以四边形OAPB 是平行四边形．若存在直线l ，使得四边形OAPB 是矩形，则OA OB ⊥，即0OA OB ⋅=u u u r u u u r．1122(,),(,)OA x y OB x y ==u u u r u u u rQ ， ∴ 12120OA OB x x y y ⋅=+=u u u r u u u r．即21212(1)3()90k x x k x x ++++=．2222118(1)()3()4343k k k k k +⋅-+⋅-++ 90+=．2516k =，得5k =． 故存在直线l ：53y x =+，使得四边形OAPB 是矩形． 8．如图，平面内的定点F 到定直线l 的距离为2，定点E 满足：||EF uuu r =2，且EF l ⊥于G ，点Q 是直线l 上一动点，点M 满足：FM MQ =u u u u r u u u u r ，点P 满足：//PQ EF u u u r u u u r ，0PM FQ ⋅=u u u u r u u u r．（I ）建立适当的直角坐标系，求动点P 的轨迹方程；（II ）若经过点E 的直线1l 与点P 的轨迹交于相异两点A 、B ，令AFB θ∠=， 当34πθπ≤<时，求直线1l 的斜率k 的取值范围． 解：（1）以FG 的中点O 为原点，以EF 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系xoy ，设点(,)P x y ，则(0, 1)F ，(0, 3)E ，:1l y=-．∵ FM MQ =u u u u r u u u u r ，//PQ EF u u u r u u u r ，∴(,1)Q x -，(, 0)2xM ．∵0PM FQ ⋅=u u u u r u u u r ，∴ ()()(2)02xx y -⨯+-⨯-=，即所求点P 的轨迹方程为24x y =． （2）设点))(,(),,(212211x x y x B y x A ≠设AF 的斜率为1k ，BF 的斜率为2k ，直线1l 的方程为3+=kx y由⎩⎨⎧=+=yx kx y 432…………6分 01242=--kx x 得1242121-==+∴x x k x x …………7分 9)4(44221222121==⋅=∴xx x x y y646)(22121+=++=+k x x k y y …………8分4216484||||cos 2222++-=+--=⋅=∴k k k k FB FA θ…………10分由于πθπ<≤43 2242122cos 122-≤++-<--≤<-∴k k 即θ…………11分 222242222≥∴≥++∴k k k解得4488-≤≥k k 或…………13分∴直线1l 斜率k 的取值范围是}8,8|{44-≥≥k k k 或9．如图所示，已知定点(1, 0)F ，动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且0PM PF ⋅=u u u u r u u u r ，||||PM PN =u u u u r u u u r．（1）求动点N 的轨迹方程；（2）直线l 与动点N 的轨迹交于A 、B 两点，若4OAOB ⋅=-u u u r u u u r，且||AB ≤l的斜率k 的取值范围．解：（1）设(,)N x y ，由||||PM PN =u u u u r u u u r得(,0)M x -，(0, )2y P ，(,)2y PM x =--u u u u r ，(1,)2yPF =-u u u r ，又0PM PF ⋅=u u u u r u u u r ，∴204yx -+=，即动点N 的轨迹方程为24y x =． 10．已知点(0, 1)F ，点M 在x 轴上，点N 在y 轴上，P 为动点，满足0MN MF ⋅=u u u，0MN MP +=u u u u r u u u r r ．（1）求P 点轨迹E 的方程； （2）将（1）中轨迹E 按向量(0, 1)a=r平移后得曲线E '，设Q 是E '上任一点，过Q 作圆22(1)1x y ++=的两条切线，分别交x 轴与A 、B 两点，求||AB 的取值范围． 解：（1）设(, 0)M a 、(0, )N b 、(,)P x y ，则(,)MN a b =-u u u u r 、(, 1)MF a =-u u u r、(, )MP x a y =-u u u r．由题意得(, )(, 1)0,(, )(,)(0, 0).a b a a b x a y -⋅-=⎧⎨-+-=⎩ ∴ 20,, ,2a b xa b y ⎧+=⎪⎨==-⎪⎩ ∴ 214y x =， 故动点P 的轨迹方程为214y x =． 11．如图()A m 和(,)B n 两点分别在射线OS 、OT 上移动，且12OA OB ⋅=-u u u r u u u r ，O 为坐标原点，动点P 满足OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r．（1）求m n ⋅的值； （2）求P 点的轨迹C 的方程，并说明它表示怎样的曲线？（3）若直线l 过点(2, 0)E 交（2）中曲线C 于M 、N 两点，且3ME EN =u u u r u u u r，求l 的方程． 解：（1）由已知得1()(,)22OA OB m n mn ⋅=⋅=-=-u u u r u u u r， ∴14mn =．（2）设P 点坐标为(,)x y （0x >），由OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r得(,)()(,)x y m n =+())m n m n =+-，∴,)x m n y m n =+⎧⎪⎨=-⎪⎩ 消去m ，n 可得2243y x mn -=，又因14mn =，∴ P 点的轨迹方程为221(0)3y x x -=>．它表示以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线2213y x -=的右支．（3）设直线l 的方程为2x ty =+，将其代入C 的方程得 223(2)3ty y +-= 即 22(31)1290t y ty -++=，易知2(31)0t -≠（否则，直线l的斜率为 又22214436(31)36(1)0t t t ∆=--=+>， 设1122(,),(,)M x y N x y ，则121222129,3131t y y y y t t -+==-- ∵ l 与C 的两个交点,M N 在y 轴的右侧212121212(2)(2)2()4x x ty ty t y y t y y =++=+++2222291234240313131t t t t t t t -+=⋅+⋅+=->---，∴ 2310t -<，即2103t <<，又由120x x +>同理可得 2103t <<，由3ME EN =u u u r u u u r 得 1122(2,)3(2,)x y x y --=-， ∴ 121223(2)3x x y y -=-⎧⎨-=⎩由122222123231t y y y y y t +=-+=-=--得22631t y t =-， 由21222229(3)331y y y y y t =-=-=-得222331y t =--， 消去2y 得2222363(31)31t t t =--- 解之得：2115t = ，满足2103t <<． 故所求直线l0y --=0y +-=．12．设A ，B分别是直线y x =和y x =上的两个动点，并且||AB =u u u r P 满足OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r．记动点P 的轨迹为C ．（I ） 求轨迹C 的方程；（II ）若点D 的坐标为（0，16），M 、N 是曲线C 上的两个动点，且DM DN λ=u u u u r u u u r，求实数λ的取值范围．解：（I ）设(,)P x y ，因为A 、B分别为直线y x =和y x =上的点，故可设11(,)5A x x，22(,)5B x x -． ∵OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，∴1212,)x x x y x x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩．∴1212,x x x x x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩．又AB =u u u r ∴2212124()()205x x x x -++=．∴22542045y x +=． 即曲线C 的方程为2212516x y +=． （II ） 设N （s ，t ），M （x ，y ），则由λ=，可得（x ，y-16）=λ (s ，t-16)．故x s λ=，16(16)y t λ=+-．∵ M 、N 在曲线C 上， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=+ 1.16)1616t (25s 1,16t 25s 22222λλλ消去s 得116)1616t (16)t 16(222=+-+-λλλ．由题意知0≠λ，且1≠λ，解得 17152t λλ-=． 又4t ≤， ∴421517≤-λλ． 解得 3553≤≤λ（1≠λ）．故实数λ的取值范围是3553≤≤λ（1≠λ）． 13．设双曲线22213y x a -=的两个焦点分别为1F 、2F ，离心率为2． （1）求此双曲线的渐近线1l 、2l的方程；（y x =）（2）若A 、B 分别为1l 、2l 上的动点，且122||5||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明是什么曲线．（22317525xy +=） 提示：||1010AB =⇒=，又11y x =，22y x =， 则1221)yy x x +=-，2112)y y x x -=+． 又 122x x x =+，122y y y =+代入距离公式即可．（3）过点(1, 0)N 是否存在直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且0OP OQ ⋅=u u u r u u u r，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．（不存在）14．已知点(1, 0)F ，直线:2l x =，设动点P 到直线l 的距离为d ，已知||PF =，且2332d ≤≤． （1）求动点P 的轨迹方程；15．如图，直线:1l ykx =+与椭圆22:2C ax y +=（1a >）交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB （O 为坐标原点）． （1）若1k=，且四边形OAPB 为矩形，求a 的值；（3a =）（2）若2a =，当k 变化时（k R ∈），求点P 的轨迹方程．（22220x y y +-=（0y ≠））16．双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率为2，其中(0,)A b -，(, 0)B a ，且22224||||||||3OA OB OA OB +=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ．（1）求双曲线C 的方程；（2）若双曲线C 上存在关于直线l ：4y kx =+对称的点，求实数k 的取值范围．解：（I ）依题意有：2222222c 2,a 4a b a b ,3a b c .⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩解得：.2,3,1===c b a所求双曲线的方程为.1322=-y x ………………………………………6分 （Ⅱ）当k=0时，显然不存在．………………………………………7分当k≠0时，设双曲线上两点M 、N 关于直线l 对称．由l ⊥MN ，直线MN 的方程为1y x b k=-+．则M 、N 两点的坐标满足方程组由221y x b,k3x y 3.⎧=-+⎪⎨⎪-=⎩消去y 得2222(3k 1)x 2kbx (b 3)k 0-+-+=．…………………9分 显然23k10-≠，∴2222(2kb)4(3k 1)(b 3)k 0∆⎡⎤=---+>⎣⎦．即222k b 3k 10+->． ①设线段MN 中点D （00x ,y ）则02202kb x ,3k 13k b y .3k 1-⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩∵D （00x ,y ）在直线l 上，∴22223k b k b 43k 13k 1-=+--．即22k b=3k 1- ② 把②带入①中得 222k b +bk 0>，解得b 0>或b 1<-．∴223k 10k ->或223k 1<-1k -．即k >或1k 2<，且k≠0． ∴k的取值范围是11(,(,0)(0,))22-∞-+∞U U U ．…………………14分 17．已知向量OA u u u r=(2，0)，OC u u u r =AB =(0，1)，动点M 到定直线y =1的距离等于d ，并且满足OM u u u u r ·AM u u u u r =K(CM u u u u r ·BM u u u u r -d 2)，其中O 为坐标原点，K 为参数.（Ⅰ）求动点M 的轨迹方程，并判断曲线类型；（Ⅱ）如果动点M 的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e 满足33≤e ≤22，求实数K 的取值范围. 18．过抛物线24y x =的焦点作两条弦AB 、CD ，若0AB CD ⋅=u u u r u u u r ，1()2OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r ，1()2ON OC OD =+u u u r u u u r u u u r ．（1）求证：直线MN 过定点；（2）记（1）中的定点为Q ，求证AQB ∠为钝角；（3）分别以AB 、CD 为直径作圆，两圆公共弦的中点为H ，求H 的轨迹方程，并指出轨迹是什么曲线．19．（05年江西）如图，M 是抛物线上2y x =上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA MB =．（1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值；xyOA BEF M（2）若M 为动点，且90EMF∠=o ，求△EMF 的重心G 的轨迹．思路分析：（1）由直线MF （或ME ）方程与抛物线方程组成的方程组解出点F 和点E 的坐标，利用斜率公式来证明；（2）用M 点的坐标将E 、F 点的坐标表示出来，进而表示出G 点坐标，消去0y 即得到G 的轨迹方程（参数法）.解：（1）法一：设200(,)M y y ，直线ME 的斜率为k （0k >），则直线MF 的斜率为k -，方程为200()y y k x y -=-．∴由2002()y y k x y y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，消x 得200(1)0ky y y ky -+-=，解得01F ky y k-=，∴ 202(1)F ky x k -=， ∴0022000022211214(1)(1)2E F EFE F ky ky y y k k k k ky ky ky x x y k k k -+---====---+--(定值)．所以直线EF 的斜率为定值． 法二：设定点00(,)M x y ，11(,)E x y 、22(,)F x y ，由200211,y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得 010101()()y y y y x x -+=-，即011ME k y y =+；同理 021MF k y y =+．∵MA MB =，∴ ME MF k k =-，即010211y y y y =-++，∴ 1202y y y +=-．所以，1212221212120112EF y y y y k x x y y y y y --====---+（定值）． 第一问的变式：过点M 作倾斜角互补的直线ME 、MF ，则直线EF 的斜率为定值；根据不同的倾斜角，可得出一组平行弦．（2）90,45,1,EMF MAB k ∠=∠==o o当时所以直线ME 的方程为200()y y k x y -=-由2002y y x y y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩得200((1),1)E y y --同理可得200((1),(1)).F y y +-+设重心G （x , y ），则有222200000000(1)(1)23333(1)(1)333M E F M E F y y y y x x x x y y y y x x x y ⎧+-+++++===⎪⎪⎨+--+++⎪===-⎪⎩消去参数0y 得2122()9273y x x =->． 20．如图，ABCD 是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l 为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B 都落在边AD 上，记为B '，折痕l 与AB 交于点E ，点M 满足关系式EM EB EB '=+u u u u r u u u r u u u r．（1）建立适当的直角坐标系，求点M 的轨迹方程； （2）若曲线C 是由点M 的轨迹及其关于边AB 对称的曲线组成的，F 是AB 边上的一点，4BA BF =u u u r u u u r，过点F 的直线交曲线C 于P 、Q 两点，且PF FQ λ=u u u r u u u r ，求实数λ的取值范围．。

圆锥曲线之轨迹方程的求法（一）【复习目标】□1. 了解曲线与方程的对应关系，掌握求曲线方程的一般步骤；□2. 会用直接法、定义法、相关点法（坐标代换法）求方程。

【基础练习】1．到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是( )A ．y x =B ．||y x =C ．22y x =D ．220x y +=2．已知点(,)P x y 4，则动点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．两条射线D ．以上都不对3．设定点1(0,3)F -、2(0,3)F ，动点P 满足条件129(0)PF PF a a a+=+>，则点P 的轨迹( ) A ．椭圆 B ．线段 C. 不存在 D ．椭圆或线段4．动点P 与定点(1,0)A -、(1,0)B 的连线的斜率之积为1-，则P 点的轨迹方程为______________.【例题精选】一、直接法求曲线方程根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简。

即把这种关系“翻译”成含x ,y 的等式就得到曲线的轨迹方程了。

例1．已知ABC ∆中，2,AB BC m AC==，试求A 点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.练习：已知两点M （-1，0）、N （1，0），且点P 使MP MN ，PM PN ，NM NP 成公差小于零的等差数列。

点P 的轨迹是什么曲线？二定义法若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程。

例1．⊙C ：22(16x y +=内部一点0)A 与圆周上动点Q 连线AQ 的中垂线交CQ 于BQ R A P o yx P ，求点P 的轨迹方程.例2．设动点(,)(0)P x y x ≥到定点1(,0)2F 的距离比它到y 轴的距离大12。

记点P 的轨迹为曲线C 求点P 的轨迹方程；练习．若动圆与圆1)2(:221=++y x C 相外切，且与直线1=x 相切，则动圆圆心轨迹方程是 .三代入法有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的。

高考数学知识点：动点的轨迹方程_知识点总结高考数学知识点：动点的轨迹方程动点的轨迹方程：在直角坐标系中，动点所经过的轨迹用一个二元方程f(x,y)=0表示出来。

求动点的轨迹方程的基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法等。

1、直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x，y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；用直接法求动点轨迹一般有建系，设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。

求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。

2、定义法：利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程,高考生物，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件。

定义法的关键是条件的转化??转化成某一基本轨迹的定义条件；3、相关点法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P（x，y）却随另一动点Q（x′，y′）的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x′，y′表示为x，y 的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。

一般地：定比分点问题，对称问题或能转化为这两类的轨迹问题，都可用相关点法。

4、参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x，y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。

用什么变量为参数，要看动点随什么量的变化而变化，常见的参数有：斜率、截距、定比、角、点的坐标等。

要特别注意消参前后保持范围的等价性。

多参问题中，根据方程的观点，引入n 个参数，需建立n+1个方程，才能消参（特殊情况下，能整体处理时，方程个数可减少）。

5、交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。