最新高中数学人教B版必修4 2.1.4数乘向量 学案 Word版(精品)

课题： §2.2.3 向量的数乘（1） 总第____课时 班级_______________姓名_______________ 【学习目标】（1）理解向量数乘的定义；（2）掌握实数与向量的积的运算律，并进行有关的计算。

【学习重点难点】重点：实数与向量的积的定义及其运算律，难点：应用数乘进行运算。

【学习过程】一、自主学习与交流反馈：质点从点O 出发做匀速直线运动,若经过1s 的位移对应的向量用表示,那么在同方向上经过3s 的位移所对应的向量可用a 3来表示.学生活动问题：这里, a 3是何种运算的结果？3是数量还是向量？如何确定它的大小、方向？二、知识建构与应用：1．定义：实数与向量的积的定义：一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作a λ，它的长度与方向规定如下：（1）||||||a a λλ=；（2）当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ= 时，0a λ=．2．实数与向量的积的运算律：（1）()()a a λμλμ= （结合律）；（2）()a a a λμλμ+=+ （第一分配律）；（3）a a b λλλ+（+b ）= （第二分配律）． 结论：向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算；向量的线性运算的结果仍是一个向量.三、例题例1 已知向量和向量,求作向量-2.5和2-3.ba例2 计算:(1) 3(a -)-2(a +2)(2) 2(2+6-3)-3(-3+4-2)例3 在∆ABC 中，设−→−AB =1e ，−→−AC =2e ，若D 、E 是BC 的三等分点，用1e ，2e 表示−→−AD ，−→−AE .思考：如图，在平行四边形ABCD 中，点M ，N 分别是BC CD ,的中点，已知c AM =，=，试用，表示AB 和AD 。

D M C四、巩固练习1．如图，已知向量,求作向量2,3.a a - a2．计算：（1）3(45)a b -+；（2）6(24)(32)a b a b ---.3．化简：31)(31)(31+-++=__________.4．已知向量122a e e =+，1235b e e =-，求43a b -（用12,e e 表示）.5．若=+,则3(+2)-2(+3)-2(+)=__________.五、回顾反思六、作业批改情况记录及分析。

2．1.1 向量的概念1.了解平面向量的实际背景．2.理解平面向量的概念，两个向量相等的含义． 3.掌握向量的几何表示．1．向量的定义及表示方法 (1)向量：具有大小和方向的量． (2)向量的表示方法2．与向量有关的概念(1)零向量：长度等于零的向量，记作0. (2)向量共线或平行基线：通过有向线段AB →的直线，叫做向量AB →的基线．如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行．共线向量的方向相同或相反．向量a 平行于b ，记作a ∥b ．(3)相等向量：两个向量a 和b 同向且等长，即a 和b 相等，记作a ＝b . (4)向量的长度(模)如果AB →＝a ，那么AB →的长度表示向量a 的大小，也叫做a 的长(或模)，记作|a |. 3．用向量表示点的位置任给一定点O 和向量a (如图)，过点O 作有向线段OA →＝a ，则点A 相对于点O 的位置被向量a 所唯一确定，这时向量OA →常叫做点A 相对于点O 的位置向量．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量的模是一个正实数．( ) (2)向量就是有向线段．( ) (3)向量AB →与向量BA →是相等向量．( )(4)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行．( ) (5)零向量是最小的向量．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× 2．已知向量a 如图所示，下列说法不正确的是( )A ．也可以用MN →表示 B ．方向是由M 指向N C ．起点是M D ．终点是M 答案：D3.如图，在⊙O 中，向量OB →、OC →、AO →是( )A ．有相同起点的向量B ．共线向量C ．模相等的向量D ．相等的向量 答案：C4．若A 地位于B 地正西方向5 km 处，C 地位于A 地正北方向5 km 处，则C 地相对于B 地的位移是________．解析：如图所示C 地相对于B 地的位移是西北方向5 2 km.答案：西北方向5 2 km向量的概念[学生用书P34]下列关于向量的说法正确的个数是( )①起点相同，方向相同的两个非零向量的终点相同；②起点相同，长度相等的两个非零向量的终点相同；③两个平行的非零向量的方向相同；④两个共线的非零向量的起点与终点一定共线．A ．3B ．2C ．1D ．0【解析】 起点相同，方向相同的两个非零向量若长度不相等，则终点不相同，故①不正确；起点相同，长度相等的两个非零向量的终点不一定相同，其终点在一个圆上，故②不正确；两个平行的非零向量的方向相同或相反，故③不正确；两个共线的非零向量的起点与终点不一定共线，所对应的直线可能平行，故④不正确．【答案】 D对于概念性题目，关键把握好概念的内涵与外延，正确理解向量共线、向量相等的概念，清楚它们的区别与联系．给出下列几种说法：①若非零向量a 与b 共线，则a ＝b ； ②若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ； ③若两向量有相同的基线，则两向量相等． 其中错误说法的序号是______．解析：①错误．共线向量是指向量的基线互相平行或重合，其方向相同或相反，所以共线向量未必相等．②错误．向量是既有大小，又有方向的量，不能比较大小．③错误．两向量有相同的基线表示两向量共线(或平行)，但两向量的大小和方向都不一定相同．答案：①②③向量的表示[学生用书P34]一辆汽车从A 点出发向西行驶了100千米到达B 点，然后又改变方向向北偏西40°走了200千米到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D 点．(1)作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求|AD →|.【解】 (1)如图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反， 故AB →与CD →共线， 即AB ∥CD . 又|AB →|＝|CD →|，所以四边形ABCD 为平行四边形． 所以|AD →|＝|BC →|＝200(千米)．用有向线段表示向量的步骤在如图所示的坐标纸中，每个小正方形的边长为1，画出下列向量．(1)|OA →|＝3，点A 在点O 正西方向；(2)|OB →|＝32，点B 在点O 北偏西45°方向； (3)|BC →|＝6，点C 在点B 正东方向． 解：(1)(2)(3)如图：相等向量与共线向量[学生用书P35]如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .(1)与a 的长度相等，方向相反的向量有哪些？ (2)与a 共线的向量有哪些？(3)请一一列出与a ，b ，c 相等的向量．【解】 (1)与a 的长度相等且方向相反的向量有OD →，BC →，AO →，FE →. (2)与a 共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →.(3)与a 相等的向量有EF →，DO →，CB →；与b 相等的向量有DC →，EO →，FA →；与c 相等的向量有FO →，ED →，AB →.相等向量与共线向量的判断(1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量． (2)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量．(3)非零向量共线具有传递性，即向量a ，b ，c 为非零向量，若a ∥b ，b ∥c ，则可推出a ∥c .[注意] 对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况．如图所示的▱ABCD ，OA →＝a ，OB →＝b .(1)与OA →的模相等的向量有多少个？ (2)与OA →的模相等且方向相反的向量有哪些？ (3)写出分别与OA →、AB →共线的向量．解：(1)与OA →的模相等的向量有OC →，AO →，CO →三个向量． (2)与OA →的模相等且方向相反的向量为OC →，AO →.(3)与OA →共线的向量有AO →，AC →，OC →，CO →，CA →；与AB →共线的向量有DC →，CD →，BA →.1．向量既有大小又有方向，但不能比较大小，向量的模是数量，可以比较大小．对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以任意平行移动的．2．平行(共线)概念不是平面几何中平行线概念的简单移植，这里的平行是指方向相同或相反的一对向量，它与长度无关，与是否在一条直线上无关．向量平行与直线平行的区别1．直线的平行具有传递性，即a ∥b ，b ∥c ⇒a ∥c .2．向量的平行不具有传递性，即若a ∥b ，b ∥c ，则未必有a ∥c ，因为若b ＝0，它与任意向量共线，故a ，c 两向量不一定共线．1．下列物理量：①速度；②位移；③力；④加速度；⑤路程；⑥密度．其中不是向量的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B.由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定，具备了向量的两个要素，所以是向量；而路程、密度只有大小没有方向，所以不是向量．故选B.2．下列关于零向量的说法不正确的是( ) A ．零向量是没有方向的向量 B ．零向量的方向是任意的 C ．零向量与任一向量平行 D ．零向量只能与零向量相等解析：选A.零向量的方向是任意的，是有方向的．3．如图，小正方形的边长为1，则|AB →|＝________；|CD →|＝________；|EF →|＝________．解析：根据勾股定理可得|AB →|＝32，|CD →|＝26， |EF →|＝2 2. 答案：3 226 2 24．在四边形ABCD 中，若AB →∥CD →，且|AB →|≠|CD →|，四边形ABCD 为________． 解析：由题意可知，对边AB 与CD 平行且不相等，故四边形ABCD 为梯形．答案：梯形, [学生用书P103(单独成册)])[A 基础达标]1．下列命题中，正确命题的个数是( ) ①单位向量都共线； ②长度相等的向量都相等； ③共线的单位向量必相等； ④与非零向量a 共线的单位向量是a |a|. A ．3 B ．2 C ．1D ．0解析：选D.根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的，对于④，与非零向量a 共线的单位向量是a |a|或－a|a|，故④也是错误的． 2．若a 为任一非零向量，b 的模为1，给出下列各式： ①|a |>|b |；②a ∥b ；③|a |>0；④|b |＝±1. 其中正确的是( ) A ．①④ B ．③ C ．①②③D ．②③解析：选B.①中，|a |的大小不能确定，故①错误；②中，两个非零向量的方向不确定，故②错误；④中，向量的模是一个非负实数，故④错误；③正确．选B.3．下列说法正确的是( )A ．若a 与b 平行，b 与c 平行，则a 与c 一定平行B ．终点相同的两个向量不共线C ．若|a|>|b|，则a>bD ．单位向量的长度为1解析：选D.A 中，因为零向量与任意向量平行，若b ＝0，则a 与c 不一定平行．B 中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则两向量共线．C 中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小．4．若|AB →|＝|AD →|且BA →＝CD →，则四边形ABCD 的形状为( ) A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．等腰梯形解析：选C.由BA →＝CD →，知AB ＝CD 且AB ∥CD ， 即四边形ABCD 为平行四边形． 又因为|AB →|＝|AD →|， 所以四边形ABCD 为菱形．5．如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心，则下列判断错误的是( )A ．AB →＝OC → B ．AB →∥DE → C ．|AD →|＝|BE →|D ．AD →＝FC →解析：选D.由题图可知，|AD →|＝|FC →|，但AD →、FC →不共线，故AD →≠FC →，故选D. 6．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝________．解析：因为正方形的对角线长为22， 所以|OA →|＝ 2. 答案： 27．给出下列三个条件：①|a |＝|b |；②a 与b 方向相反；③|a |＝0或|b |＝0，其中能使a ∥b 成立的条件是________．解析：由于|a |＝|b |并没有确定a 与b 的方向， 即①不能够使a ∥b 成立； 因为a 与b 方向相反时，a ∥b ， 即②能够使a ∥b 成立； 因为零向量与任意向量共线， 所以|a |＝0或|b |＝0时，a ∥b 能够成立．故使a ∥b 成立的条件是②③. 答案：②③8．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →是共线向量，则m ＝________．解析：因为A ，B ，C 不共线， 所以AB →与BC →不共线． 又m 与AB →，BC →都共线， 所以m ＝0. 答案：09．在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量a .(1)试以B 为起点画一个向量b ，使b ＝a ；(2)画一个以C 为起点的向量c ，使|c |＝2，并说出c 的终点的轨迹是什么． 解：(1)根据相等向量的定义，所作向量b 应与a 同向，且长度相等，如图所示．(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c ，所有这样的向量c 的终点的轨迹是以点C 为圆心，2为半径的圆，如图所示．10．如图所示，在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N 、M 分别是AD 、BC 上的点，且CN →＝MA →.求证：DN →＝MB →.证明：因为AB →＝DC →， 所以|AB →|＝|DC →|且AB ∥CD ， 所以四边形ABCD 是平行四边形， 所以|DA →|＝|CB →|且DA ∥CB .同理可得，四边形CNAM 是平行四边形， 所以CM →＝NA →. 所以|CM →|＝|NA →|， 所以|MB →|＝|DN →|， 又DN →与MB →的方向相同， 所以DN →＝MB →.[B 能力提升]11．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝120°，则以下说法错误的是( ) A ．与AB →相等的向量只有一个(不含AB →) B ．与AB →的模相等的向量有9个(不含AB →) C ．BD →的模恰为DA →模的3倍 D ．CB →与DA →不共线解析：选D.两向量相等要求长度(模)相等，方向相同．两向量共线只要求方向相同或相反．D 中CB →，DA →所在直线平行，向量方向相同，故共线．12．如图所示，已知四边形ABCD 是矩形，O 为对角线AC 与BD 的交点，设点集M ＝{O ，A ，B ，C ，D }，向量的集合T ＝{PQ →|P ，Q ∈M ，且P ，Q 不重合}，则集合T 有________个元素．解析：以矩形ABCD 的四个顶点及它的对角线交点O 五点中的任一点为起点，其余四点中的一个点为终点的向量共有20个．但这20个向量中有8对向量是相等的，其余12个向量各不相等，即为AO →(OC →)、OA →(CO →)，DO →(OB →)，BO →(OD →)，AD →(BC →)，DA →(CB →)，AB →(DC →)，BA →(CD →)，AC →，CA →，BD →，DB →，由元素的互异性知T 中有12个元素．答案：1213．某人从A 点出发向东走了5米到达B 点，然后改变方向沿东北方向走了102米到达C 点，到达C 点后又改变方向向西走了10米到达D 点．(1)作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求向量AD →的模．解：(1)作出向量AB →，BC →，CD →，如图所示：(2)由题意得，△BCD 是直角三角形，其中∠BDC ＝90°，BC ＝102米，CD ＝10米，所以BD ＝10米．△ABD 是直角三角形，其中∠ABD ＝90°，AB ＝5米，BD ＝10米，所以AD ＝52＋102＝55(米)．所以|AD →|＝55米．14．(选做题)如图所示方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A ，B ，点C 为小正方形的顶点，且|AC →|＝ 5.(1)画出所有的向量AC →；(2)求|BC →|的最大值与最小值．解：(1)画出所有的向量AC →，如图所示．(2)由第一问所画的图知，①当点C 位于点C 1和C 2时，|BC →|取得最小值12＋22＝5；②当点C 位于点C 5和C 6时，|BC →|取得最大值42＋52＝41.所以|BC →|的最大值为41，最小值为 5.。

《数乘向量》教学反思鞍钢高中孙晓楠《数乘向量》人教B版必修4第二章第1.4节内容。

本节内容包含数乘向量的定义，数乘向量的运算律及其应用。

学习数乘向量可以解决直线上如何表示点的问题，为研究共线向量奠定基础。

在高考中，向量的加减法运算、数乘运算是一个热点，数乘向量在研究图形的放大和缩小中有重要的地位。

学生在上节课中学习了向量的加法、减法运算，由数的加减法类比得出向量的加减法，已经有了类比的基础，本节课类比数的乘法，得到一个实数与向量相乘的相关知识，学生感到并不突然，很容易接受。

从高一新生开始注意培养学生自主合作探究的学习习惯，渗透数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等核心素养。

学生思维活跃，课堂参与意识较浓，且学生具有一定理解、分析、推理的能力。

本节课的教学目标是掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；掌握实数与向量积的运算律. 能熟练地运用数乘运算的定义、运算律进行有关运算；通过引入生活中的现象引入问题，提高学生的学习兴趣，激发求知欲；通过向量数乘运算的学习和探究，培养学生的观察、分析、归纳、抽象思维能力.引用学生熟悉的位移，直观地给出向量的关系；从数量与数量关系，抽象出数学概念。

一、课程导入设计：1、生活情境引入：播放雷雨天气的视频，让学生直观感受生活中的现象，引出光速与声速之间是否有某种关系。

有生活情境引入，抽象出数学概念，让学生感受数学来源于生活，服务于生活，也想激发学生的求知欲望。

教学后思考：感觉视频的播放有点突然，如果之前能跟学生交代一下播放视频的目的会更好。

2、物理中的位移引入：引用学生比较熟悉的“位移”，直观给出向量关系，从量与量的关系中，抽象出数学概念，向学生渗透数学抽象、直观想象的核心素养。

教学后思考：小兔子吃胡萝卜的例子引入效果挺好，由学生熟悉的位移入手，更容易掌握向量间的关系。

要是能让学生读题，可能会让学生更轻松地进入课堂。

本节课是向量的有一个运算，实数乘向量，课前应该复习之前学习过的向量的加法和向量的减法，自然的由向量的加法运算过渡到向量的数乘运算。

6.1.4 数乘向量-人教B版高中数学必修第二册（2019版）教案一、教学目标1.了解数乘向量的定义及其性质；2.能够进行数乘向量的计算；3.能够运用数乘向量解决实际问题。

二、教学重难点1.数乘向量的定义及其性质；2.数乘向量的计算方法；3.数乘向量在实际问题中的应用。

三、教学过程1. 概念解释数乘向量是指一个数（标量）k和一个向量a的乘积，记作ka。

其中k称为数乘，a称为向量。

2. 性质1.数乘向量的数量乘法满足分配律，即k（a+b）=ka+kb，其中a、b为向量。

2.数乘向量的数量乘法满足结合律，即(kl)a=k(la)，其中a为向量，k、l为数。

3.数乘向量的数量乘法满足交换律，即k（la）=l（ka），其中a为向量，k、l为数。

3. 计算方法数乘向量的计算方法很简单。

只需要将向量的各个分量与数相乘即可。

例如，在二维向量（1，2）前乘以2，得到的结果是（2，4）。

4. 应用数乘向量在实际问题中的应用非常广泛，一个常见的例子是力的合成问题。

当一个对象受到多个力的作用时，这些力可以合成为一个合力。

如果我们知道每个力的大小和方向，那么我们就可以将其表示为一个向量。

此时，如果我们想知道合力的大小和方向，就可以利用数乘向量进行计算。

举个例子，假设一个物体受到两个力的作用，分别是45N和60N，方向分别是30度和60度。

我们可以将这两个力表示为向量，45N的向量表示为（39.58，22.5），60N的向量表示为（30，51.96）。

此时，我们只需要将这两个向量相加，得到的结果就是合力的向量。

根据勾股定理，我们可以计算出合力的大小和方向。

四、教学方法本节课采用讲解和演示相结合的方式进行教学。

首先，老师可以通过解释和演示，让学生理解数乘向量的定义和性质。

然后，老师可以通过实际问题的演示，让学生了解数乘向量在实际问题中的应用。

接着，老师可以让学生进行练习，巩固所学内容。

五、教学评价本节课的教学评价包括两个方面：知识掌握和实质应用。

【自学指导】平面向量数量积的运算律已知向量a ， b c 以及实数λ则 1．交换律：a ⋅ b =2．数乘结合律：(λa )⋅b= = 3．分配律：(a + b )⋅c=思考：1、(ａ·ｂ)с=ａ（ｂ·с）2、ａ·с＝ｂ·с，с≠0⇒ａ＝ｂ【自学检测】1.下列叙述不正确的是（ ） A. B .C.D.a ·b 是一个实数2.已知|a |=6,|b |=4,a 与b 的夹角为６０°，则(a +2b )·(a -3b )等于（ ） A.72 B .-72 C.36D.-363.|a |=3,|b |=4,向量a +43b 与a -43b 的位置关系为（ ） A.平行 B .C.夹角为3πD.不平行也不垂直4.已知|a |=3,|b |=4,且a 与b 的夹角为150°，则(a +b )２＝ . 5.已知|a |=2,|b |=5,a ·b =-3,则|a +b |=______,|a -b |= . 6.设|a |=3,|b |=5,且a +λb 与a －λb 垂直，则λ＝ . ：1、(ａ·ｂ)с=ａ（ｂ·с）2、ａ·с＝ｂ·с，с≠0⇒ａ＝六、课后作业1.已知|a |=1,|b |=2,且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ） A.60°B .30° C.135° D.４５°2.已知|a |=2,|b |=1,a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m =a -4b 的模为（ ） A.2B .23C.6D.123.已知a 、b 是非零向量，则|a |=|b |是(a +b )与(a -b )垂直的（ ） A.充分但不必要条件 B . C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知向量a 、b 的夹角为3π，|a |=2,|b |=1,则|a +b |·|a -b |= . 5.已知a +b =2i -8j ,a -b =-8i +16j ,其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ·b = .6.已知a ⊥b 、c 与a 、b 的夹角均为60°，且|a |=1,|b |=2,|c |=3,则(a +2b -c )２＝______. 7.已知|a |=1,|b |=2,(1)若a ∥b ,求a ·b ;(2)若a 、b 的夹角为６０°，求|a +b |(3)若a -b与a 垂直，求a 与b 的夹角.8.设m 、n 是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a =2m +n 与b =2n -3m 的夹角.9.对于两个非零向量a 、b ，求使|a +t b |最小时的t 值，并求此时b 与a +t b 的夹角.点到线的距离课后作业1、点P=（-1，2）到直线 3x=2的距离为____ __2.两平行线341006870x y x y +-=+-=和的距离是____________ 3、点P （2，m ）到直线L ：5x-12y+6=0的距离为4，求m 的值4已知点P 在3450x x y +-=轴上与直线的距离等于5，求点P 的坐标5. 若直线垂直于3x ＋4y-7=0且与原点的距离为6，求该直线方程6.求与两条平行直线12:2380,:23180l x y l x y +-=++=的距离相等的直线方程。