线性代数浦江B卷

浙江省金华市浦江县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ A．B．C．D．A．B．C．D．已知：,AB BE DE BE ⊥⊥，且,BF CE AB DE ==．求证：ABC DEF ≌△△证明：,AB BE DE BE ⊥⊥Q90B E ∠=∠=∴°又,BF CE AB DE ==Q ，∴BC EF =ABC DEF ∴≅V V （◎）二、填空题三、解答题(2)2125313x x x -+>⎧⎨-<-⎩． 19．如图，在平面直角坐标系中，以,,A B C 为顶点的ABC V 三点坐标分别为()()()0,31,43,0--、、．(1)如图，连接OB ，得到ABO V ．将ABO V 沿着x 轴翻折后连接,A C B C ''求ABC V 的面积与A B C ''△的面积的差．(2)在ABC V 上有一点(),D m n ．若对ABC V 作平移运动，且平移后点C 的对应点坐标为()2,5-，画出平移后的三角形，平移后点D 的坐标是______．(3)将ABC V 沿着y 轴折叠，点B 的对应点是D ．若在x 轴上存在一点E ，使DE BE +最小，求点E 的坐标．20．有一段关于古代藏宝图的记载（如图）：“从赤石向一棵杉树笔直走去，恰好在其连线中点处向右转90︒前进，到达唐伽山山脚的一个洞穴，宝物就在其中．”记赤石为点A ，杉树为点B ，洞穴为点C ．(1)根据这段记载，请使用数学知识对点C 与线段AB 之间的关系进行描述．(2)若在藏宝图上建立适当的坐标系，点A B 、的坐标分别为()()4,24,10、，点C 到线段AB的距离为5个单位长度，求出洞穴到赤石的距离．21．浦江“包子计划”开展的如火如荼，众多居民希望通过卖包子增加收益．根据提供的材料解决问题．材料一“沁园包子”店铺开张，经营早餐销售，有菜包、肉包、豆浆等类型早餐，客户可自行搭配．菜包2元/个，豆浆2元/碗，肉包的总金额y（单位：元）随购买个数x（单位：个）之间的关系如图所示，坐标()3,12，()5,15均经过该分段函数．材料二经过试销，“沁园包子”店铺推出套餐A和套餐B，如下：套餐A：2菜包+1肉包+1豆浆，6元套餐B：1菜包+1肉包+2豆浆，7元现在某顾客有资金30元，想购买任意种类包子6个，豆浆2碗．。

南 京 林 业 大 学 试 卷(A 卷)课程 线性代数B 2019~2020学年第 1 学期一、 填空题（每题3分，共15分）1. 若三阶行列式111221223030=3061a a a a ，则11122122aa a a = 1 . 2. 设A 为3阶可逆阵，且其伴随矩阵*=A 10012202321⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 则-1=A 100220321⎛⎫ ⎪± ⎪ ⎪⎝⎭．3. 设A 为三阶矩阵，满足20,0,230,A E A E A E +=-=-=则行列式=A 3-．4. 设齐次线性方程组0AX =中的系数矩阵A 为86⨯矩阵，且A 的秩()4R A =，则其基础解系中所含解向量的个数为 2 .5. 若矩阵20022311A x -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与矩阵10002000y -⎛⎫⎪Λ= ⎪⎪⎝⎭的特征多项式相同,则x =0.二. 选择题（每题3分，共15分）1. 设A 为三阶方阵，A *为A 的伴随矩阵，且22A =，则1(4)3A A --=*( D )。

（A ）1627 （B ）1627- （C ）12 （D ）12- 2. 设n 阶方阵,A B 和C ,则下列说法正确的是( B )。

（A ）AB AC =，则B C = （B ）0AB =，则0A =或0B = （C ）()111AB A B ---= （D ）()2222A B A AB B +=++3. 向量组123(1,0,),(5,,),(3,1,)TTTt t t t ααα→→→===的秩为3，则（ D ）。

（A ）02t t ==或 （B ）12t t ≠≠-且（C ）12t t ==-或 （D ）02t t ≠≠且4. 设A 是n m ⨯矩阵，0=AX 是非齐次线性方程组b AX =所对应的齐次线性方程组，则下列题号 一 二 三 四 五 总 分得分结论正确的是（ D ）（A ）. 若0=AX 仅有零解，则b AX =有唯一解 （B ）. 若0=AX 有非零解，则b AX =有无穷多个解 （C ）. 若b AX =有无穷多个解，则0=AX 仅有零解 （D ）. 若b AX =有无穷多个解，则0=AX 有非零解5. 设2是非奇异矩阵A 的一个特征值，则矩阵211()3A -有一个特征值等于（B ）（A ）43 （B ）34 （C ）12 （D ）14三、计算题（每小题9 分，共27分）1. 设行列式1121253222211474D -=------，记ij A 为D 中元素ij a 的代数余子式，计算2122232442A A A A -++。

一、填空题与选择题(每空3分，共24分,选择题为单选)1、行列式10110111中21a 的代数余子式21A = 1 .2、矩阵302101153049217C -⎛⎫⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭中的元素23c = 75 .3. 设A ，B ，C 均为n 阶矩阵(n>1)，下列命题正确的是 B .(A). ()TT T A A A A -=-(B). ,TAB B A =(C). ()()22A B A B A B -+=-(D).AB AC =且0A ≠则B C =4、设n 阶方阵A ,B ,C 满足等式 ABC E = (E 为单位矩阵)，则等式 A 成立.(A). BCA E = (B). BAC E =(C).ACB E =(D). CBA E = 5、设矩阵123123123a a a A b b b c c c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,123112233123333b b b B a c a c a c cc c ⎛⎫⎪=+++ ⎪ ⎪⎝⎭,1010100001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2100013001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则有 C(A). 21P AP B = (B). 12PAP B = (C). 21P PA B = (D). 12APP B =6、设3阶矩阵A 的伴随矩阵为*A , A =12，则1*(3)2A A --=1627-. 7、 已知方阵A 满足3A A E O --=, 则()1A E --=2A A +.8、设A 是()m n m n ⨯<.矩阵，C 是n 阶可逆矩阵，秩()R A r =，秩1()R AC r = , 则 C .(A).1n r r >>, (B ).1r r n >>, (C). 1r r =, (D). 1r n =二、(12分)行列式1357246813301111D =- 求211A +412A －213A +14A . 解: 211A +412A －213A +14A =24212468'13301111D -=-2421000024682468'01330133011111111D -===--三、（6分）已知A 为3阶方阵，P 为3阶可逆阵，且满足1100010001PAP -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭, 求100A .解: 由1100010001PAP -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭知10011003100010001PA P E -⎛⎫⎪=-= ⎪⎪⎝⎭,故100133A E E P P -==四、(6分)设矩阵012114210A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭， 求1A -.解:方法1:012100114010210001r B ⎛⎫⎪=−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭10021101042131001122⎛⎫⎪- ⎪- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭故121142131122A -⎛⎫⎪- ⎪=- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭方法2:2A =, *422842321A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭1*211142131122A A A -⎛⎫⎪- ⎪==- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭五、(12分)设331211223132222x x a x x x a x x x x a-+=⎧⎪-+=-=+⎨+⎪⎩，证明这个方程组有解的充分必要条件是310ii a==∑证: 方程组增广矩阵1121232110332000ra B a a a a a -⎛⎫⎪−−→-+ ⎪ ⎪++⎝⎭, 则()2R A =, \而()2R B =当且仅当1230a a a ++=, \ 因方程组有解当且仅当()()R A R B =,故这个方程组有解的充分必要条件是310ii a==∑六、(10分)设121212a a A b b c c ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 111222x y z B x y z ⎛⎫=⎪⎝⎭, (1). 求AB ; (2).求行列式AB . 解 (1).112211221122112211221122112211221122a x a x a y a y a z a z AB b x b x b y b y b z b z c x c x c y c y c z c z +++⎛⎫⎪=+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭(2). 由()min{(),()}()2R AB R A R B R A ≤≤≤. 故AB 不是满秩的, 故0AB =七、(本题15分)设n 阶方阵,A B 满足A B AB +=(1). 证明A E -可逆且其逆阵为B E -.(2). 若200030004B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 求A .(3). 等式AB BA =是否成立? 为什么?(1)证:由A B AB +=及()()A E B E AB A B E --=--+知()()A E B E E --=\故A E -可逆且其逆阵为B E -.(2). 由A B AB +=知()A B E B -=,而100020003B E ⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭可逆,故1()A B B E -=-1002002001303000002200414000033⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3). 等式AB BA =成立. 由()()()()A E B E A E B E E --=--=, 故AB A B E BA B A E --+=--+ 故AB BA =八、(15分)设线性方程组12321231232121x x x x x x x x x λλλ-+=-⎧⎪-++=-+⎨⎪++=⎩， 问当λ取何值时，(1). 此方程组有唯一解? (2). 此方程组无解?(3). 此方程组有无穷多解?解:()211211121,11B A b λλλ⎛⎫ ⎪== ---+ -⎪⎪⎝⎭()()112211111A λλλλ-=-=-++(1)当2λ≠- 且1λ≠-时,A 可逆, 此方程组有唯一解. (2)当2λ=-时,112111222111B --⎛⎫ ⎪=--- ⎪ ⎪-⎝⎭ 103001500001r ⎛⎫ ⎪−−→ ⎝-⎭-⎪⎪此时()2R A =,()3R B =,方程组无解 (3).当1λ=-时,112111111111B --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭ 110100100000r --⎛⎫ ⎪−−→ ⎪ ⎪⎝⎭此时()()23R A R B ==<, 方程组有无穷多解.。

2024学年第一学期高一年级10月四校联考数学学科试题卷命题人：浦江中学校对人：浦江中学考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场､座位号及准考证号（填涂）；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合1,2,3,4,5,9,ABxxA∣，则AABð（）

A.2,3,5B.3,4,9C.1,4,9D.1,2,3

2.如图，已知全集UR，集合1,2,3,4,5,12ABxx∣，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（）

A.3B.4C.7D.83.已知,xyR，则“0xy”是“220xy”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知0,0aba，那么,,,abab的大小关系是（）A.babaB.ababC.baabD.abab

5.命题“230,xxx”的否定是（）A.230,xxxB.230,xxx

C.230,xxxD.230,xxx

6.若命题“21,3,20xxxa”为真命题，则实数a可取的最小整数值是（）

A.1B.0C.1D.37.已知关于x不等式20xaxbxc的解集为,21,2，则（）

A.2cB.点,ab在第二象限C.22yaxbxa的最大值为3aD.关于x的不等式20axaxb的解集为

2,1

8.若数集1212,,,1,2

nnAaaaaaan

具有性质P：对任意的,(1),

ijijijnaa

与

ji

a

a中至少有一个属于A，则称集合A为“权集”，则（）

南京工业大学浦江学院 高等数学B 试题（A ）卷（闭）2012―2013学年第一学期 使用班级 浦江学院12级 班级 学号 姓名一、填空（每小题3分，共15分）1、函数y =的定义域是2、函数sin ,0()1,0xx f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩的连续区间为3、函数1y x x=+（0x ≠）的单调减递减区间为 4、若0()f x '存在，则000()()lim h f x mh fx h→+-＝5、设常数,0>k 函数k exx x f +-=ln )(在()+∞,0内零点个数为______________二、单项选择题(每小题3分，共15分)1、下列各对函数中，为相同函数的一对是 （ ） (A )()()f x g x ==(B )(),()arcsin(sin )f x x g x x == ；(C )2()ln ,()2ln f x x g x x == ； (D )2()1cos 2,()2sin f x x g x x =-= 2、当0x x →时，(),()x x αβ均为无穷小量，下列变量中，当0x x →时，可能不是无穷小量的是 ( ) (A )()()x x αβ+； (B )()()x x αβ-； (C )()()x x αβ⋅； (D )()(()0)()x x x αββ≠. 3、函数y =x 2+12x +1在定义域内( )(A )单调增加 (B )单调减少 (C )图形上凹 (D )图形上凸4、对于两个不同的正数x ,y ,当n >1时,( )式成立.(A ) 22n n n x y x y ++⎛⎫> ⎪⎝⎭ (B ) 22nn n x y x y ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭　(C ) 22n n n x y x y ++⎛⎫< ⎪⎝⎭ (D ) 22nn n x y x y ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭5、反常积分2d ln xx x +∞⎰是（ ）(A ) 0； (B ) 1-； (C ) 1； (D ) 发散的三、计算(每小题7分，共49分)1、221sin(1)lim 2x x x x →-+- 2、00ln(1sin )d lim 1cos xx t t x→+-⎰3、已知2,0(),0⎧>=⎨≤⎩x e x f x x x ，求()f x '.4、设函数()y y x =由方程2ln 2+=y x y 确定，求 0d |d x yx= .5、设由lnarctanxy t⎧⎪=⎨=⎪⎩确定了函数()y f x=，求ddyx。

（试卷A ）一、 填空题（本题总计20分，每小题2分） 1. 排列7623451的逆序数是_______。

2. 若122211211=a a a a ，则=16030322211211a a a a 3. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =，其中E 为n 阶单位矩阵，则CAB =-1。

4. 若A 为n m ⨯矩阵，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是 _________5. 设A 为86⨯的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为__2___________。

6. 设A 为三阶可逆阵，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1230120011A ，则=*A7.若A 为n m ⨯矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是 8.已知五阶行列式1234532011111112140354321=D ，则=++++4544434241A A A A A9. 向量α=(2,1,0,2)T -的模（范数）______________。

10.若()Tk 11=α与()T121-=β正交，则=k二、选择题（本题总计10分，每小题2分） 1. 向量组r ααα,,,21线性相关且秩为s ，则(D)Ａ．s r = Ｂ．s r ≤ Ｃ．r s ≤ Ｄ．r s <2. 若A 为三阶方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A (A)Ａ．8 Ｂ．8-Ｃ．34 Ｄ．34- 3．设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( d )Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R < Ｃ．)()(A R B R = Ｄ．)()(A R B R ≥ 4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则()*kA 等于_____。

c)(A *kA)(B *A k n)(C*-A k n 1)(D *A5. 设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是_____。

线代练习册第五章B 卷1、一，填空题二次型f(1x ,2x ,3x )=222312132322448x x x x x x x x ++-+的矩阵A=022224242-⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭,经正交变换二次型的标准形是f=222123264y y y +-。

解：E A λ-=22224242λλλ------=22066242λλλλ-----=24060242λλλ---+=(2)(6)(4)λλλ--+令E A λ-=0，则12λ=，26λ=，34λ=-当12λ=时，2E-A=222204240-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭→ 120102000-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,R(2E-A)=2<3,∴同解方程组12132020x x x x -=⎧⎨+=⎩，令3x =1，则1α= 211-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；当2λ=6时，6E-A= 622240244-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ →100011000⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭,R(6E-A)=2<3,∴同解方程组12300x x x =⎧⎨-=⎩,令3x =1, 则2α=011⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭；-当3λ=-4时，-4E-A= 422264246--⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪--⎝⎭ → 110011000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,R(-4E-A)=2<3,∴同解方程组122300x x x x +=⎧⎨+=⎩,令2x =1, 则3α= 111-⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭将1α、2α、3α单位化，得Q= 0⎛ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝ 做正交替换得X=QY, f= 264T Y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭Y=222123264y y y +- 财务1201 包晓燕2.二次型222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =++-++的正、负惯性指数分别为p=2,q=0 解：222112132233221232322122222221132()()222322f x x x x x x x x x x x x x x y y =+++-+=+++-=+其中11231122y x x x =++ 223y x x =- 所以正惯性指数为2 负惯性指数为0财务1201 陈思怡3．二次型22212312323123(,,)(2)(23)(3)f x x x x ax x x x x x ax =+-+++++正定，则a 的取值为1a ≠解：22212313122313(,,)2(13)(26)(212)(24)f x x x x a x a x x a x x a x x =+++++++-2223231362613a a A a a a a a a +-⎛⎫ ⎪∴=+++ ⎪ ⎪-++⎝⎭计算其顺序主子式得12A =>0 2A 恒大于0 3A >0 则a ≠1 所以得到答案财务1201 蒋宇溪5、设矩阵111111111A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，矩阵B=A+kE 正定，则k 的取值为 k>0 。

共 6 页 第 1 页 浙江农林大学天目学院2011- 2012学年第一学期考试卷（B卷） 课程名称： 线性代数 课程类别 必修 考试方式：闭卷 注意事项：1、本试卷满分100分. 2、考试时间 120分钟，本试卷共七大题，共六页. 题号 一 二 三 四 五 六 七 总分

分数 评 卷 人

一、填空题(本大题共11个空格，每空2分，共22分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1、排列4537621的逆序数为 2、设A为三阶方阵，B为四阶方阵，且,2,2BA则：BA2=

3、在3阶行列式152413231中，元素423a的余子式为 ；元素133a的代数余子式为

４、101020011A,且BAEAB2,则B= 5、设矩阵BA,满足BAAB，其中E为单位矩阵，则1)(EA 6、22))((BABABA的充要条件是

7、设矩阵200023035A,则1A= 8、向量组T)3,2,1(1，T)2,1,1(2，T)5,2,1(3，则向量组 （填“线性相关”或“线性无关”）

9、设nm矩阵A的秩为r，则0AX的基础解系一定由 个线性无关的解向量构成

10、设三阶方阵A的特征值为1，-1，-1，且2BA，则B为_______

系部：

专业班级： 姓名： 学号： 装 订 线 内 不 要 答 题

得分 共 6 页 第 2 页 二、单项选择题(本大题共11小题，每小题2分，共22分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1、若行列式023211012x, 则x=( ) A. –2 B. 2 C. -1 D. 1 2、下列各项中（ ）为某四阶行列式中带有负号的项

A．21344223aaaa B ．23113241aaaa C．44132231aaaa D．41322314aaaa

华东师范大学期末试卷样卷（2）课程名称：线性代数学生姓名：________ 学 号：___________ 专 业：________ 年级/班级：_________ 课程性质：必修…………………………………………………………………………………………1．（15分）设A 为四阶矩阵，且2A =，1234(,,,)A γγγγ=,其中1234,,,γγγγ均为4维列向量。

则2143,,,________γγγγ----=2．（15分）已知100130225012A ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，求1_________A -=*1()____________A -= 3．（15分）已知：4元非齐次线性方程组的系数矩阵秩为3，123,,ααα是它的三个解向量，121102αα⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，231013αα⎛⎫⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 试求该非齐次线性方程组的通解。

4. （15分）设()11,0,0T α=，()21,1,0T α=，()31,1,1T α=与()11,0,0T β=，()20,1,0Tβ=，()30,0,1Tβ=为两个向量组1） 证明：123,,ααα构成3R 的一组基 2） 求由123,,ααα到123,,βββ的过度矩阵 3） 求()1,2,1Tα=在基123,,ααα下的坐标i5．（15分）（1）设α，β，γ是三个n 维列向量，且α、β线性无关，α、γ线性无关，γ、β 也线性无关.问：α，β，γ是否一定线性无关。

(2) 设12,,...,r ηηη是非齐次线性方程组Ax b =的解向量，设12,,...,r k k k 是一组数，且12...1r k k k +++=。

问1122...r r k k k ηηη+++是否也是该方程的解。

（1）．（2）都说明理由。

6．（15分）把向量组123100110,,. 011001ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭化成标准正交基7．（10分）设()ij A a =为3阶非零矩阵，且ij ij a =A ，其中ij A 为矩阵A 中第i 行第j 列元素对应的代数余子式. 证明：||1A =.线性代数模拟试卷(2)答案第1题第2题用初等行变换法求得由关 系式可 知由于从而第3题可知齐次方程组的解空间维数是1. 由条件,就是齐次方程组的解,从而也是基础解系. 于是所求通解就是第4题(1)由于;2;3是1;2;3的一组基.从而1(2)利用行初等变换求解方程组解出这就是所求过渡矩阵.(3)求解可得第5题(1) 未必. 例:两两线性无关, 但它们线性相关. 例:两两线性无关, 它们也线性无关.(2) 是.第6题按标准的格莱姆{施密特正交化方法,就得到第7题由条件, 成立或代入关系式得到两边取行列式得到于是或假设那么成立由于已知A是非零矩阵,假设考虑的第m个对角元矛盾.所以必有。