八年级数学人教版上册【能力培优】14.2乘法公式(含答案).doc
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八年级数学14.2乘法公式练习卷一、选择题:1、平方差公式(a+b )(a -b )= a 2-b 2中字母a ,b 表示( )A .只能是数B .只能是单项式C .只能是多项式D .以上都可以 2、下列多项式的乘法中,可以用平方差公式计算的是( ) A .(a+b )(b+a ) B .(-a+b )(a -b ) C .(13a+b )(b -13a ) D .(a 2-b )(b 2+a ) 3、下列计算中,错误的有( )①(3a+4)(3a -4)=9a 2-4;①(2a 2-b )(2a 2+b )=4a 2-b 2;①(3-x )(x+3)=x 2-9;①(-x+y )·(x+y )=-(x -y )(x+y )=-x 2-y 2. A .1个 B .2个 C .3个 D .4个4、若x 2-y 2=30,且x -y=-5,则x+y 的值是( )A .5B .6C .-6D .-55、下列运算正确的是( ) A .a 3+a 3=3a 6 B .()()=-⋅-53a a -a 8C .(-2a 2b )·4a=-24a 6b 3D .(-13a -4b )(13a -4b )=16b 2-19a 26、若x 2-x -m=(x -m)(x+1)且x≠0,则m 等于( ) A.-1 B.0 C.1D.27、(x +q )与(x +51)的积不含x 的一次项,猜测q 应是( ) A.5B.51C.-51 D.-5 8、设(x m -1y n +2)·(x 5m y -2)=x 5y 3,则m n 的值为( ) A.1B.-1C.3D.-39、计算[(a 2-b 2)(a 2+b 2)]2等于( )A.a 4-2a 2b 2+b 4B.a 6+2a 4b 4+b 6C.a 6-2a 4b 4+b 6D.a 8-2a 4b 4+b 810、已知(a+b)2=11,ab=2,则(a -b)2的值是( )A.11B.3C.5D.1911、若x 2-7xy+M 是一个完全平方式,那么M 是( ) A.27y 2B.249y 2C.449y 2D.49y 212、若x,y 互为不等于0的相反数,n 为正整数,你认为正确的是( )A.x n 、y n 一定是互为相反数B.(x 1)n 、(y1)n 一定是互为相反数C.x 2n 、y 2n 一定是互为相反数D.x 2n -1、-y 2n -1一定相等二、填空题:13、(-2x+y )(-2x -y )=_________. 14、(-3x 2+2y 2)(_________)=9x 4-4y 4. 15、19×21×(202+1)=________.16、两个正方形的边长之和为5,边长之差为2,那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积,差是_________.17、计算:(a+1)(a -1)=_________.18、若a 2+b 2-2a+2b+2=0,则a 2010+b 2011=_________.19、一个长方形的长为(2a+3b),宽为(2a -3b),则长方形的面积为________. 20、5-(a -b)2的最大值是________。
初中数学试卷桑水出品14.2 乘法公式一.选择题(共15小题)1.(2015•酒泉)下列运算正确的是()A. x2+x2=x4 B.(a﹣b)2=a2﹣b2 C.(﹣a2)3=﹣a6 D. 3a2•2a3=6a62.(2015•常德)下列等式恒成立的是()A.(a+b)2=a2+b2 B.(ab)2=a2b2 C. a4+a2=a6 D. a2+a2=a43.(2015•日照)观察下列各式及其展开式:(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5…请你猜想(a+b)10的展开式第三项的系数是()A. 36 B. 45 C. 55 D. 664.(2015•邵阳)已知a+b=3,ab=2,则a2+b2的值为()A. 3 B. 4 C. 5 D. 65.(2015•遵义)下列运算正确的是()A. 4a﹣a=3 B. 2(2a﹣b)=4a﹣b C.(a+b)2=a2+b2 D.(a+2)(a﹣2)=a2﹣4 6.(2015•广安)下列运算正确的是()A. 5a2+3a2=8a4 B. a3•a4=a12 C.(a+2b)2=a2+4b2 D.﹣=﹣47.(2015•成都)下列计算正确的是()A. a2+a2=a4 B. a2•a3=a6 C.(﹣a2)2=a4 D.(a+1)2=a2+18.(2015•杭州)下列各式的变形中,正确的是()A.(﹣x﹣y)(﹣x+y)=x2﹣y2 B.﹣x=C. x2﹣4x+3=(x﹣2)2+1 D.x÷(x2+x)=+19.(2015•永州)下列运算正确的是()A. a2•a3=a6 B.(﹣a+b)(a+b)=b2﹣a2C.(a3)4=a7 D. a3+a5=a810.(2014•南充)下列运算正确的是()A. a3•a2=a5 B.(a2)3=a5 C. a3+a3=a6 D.(a+b)2=a2+b211.(2014•鄂州)下列运算正确的是()A.(﹣2x2)3=﹣6x6 B.(3a﹣b)2=9a2﹣b2 C. x2•x3=x5 D. x2+x3=x512.(2014•邵阳)下列计算正确的是()A. 2x﹣x=x B. a3•a2=a6 C.(a﹣b)2=a2﹣b2 D.(a+b)(a﹣b)=a2+b213.(2014•呼伦贝尔)下列各式计算正确的是()A. x5﹣x3=x2 B.(mn3)3=mn6 C.(a+b)2=a2+b2 D. p6÷p2=p4(p≠0)14.(2014•昆明)下列运算正确的是()A.(a2)3=a5 B.(a﹣b)2=a2﹣b2 C.﹣=3 D.=﹣3 15.(2014•河南)下列各式计算正确的是()A. a+2a=3a2 B.(﹣a3)2=a6 C. a3•a2=a6 D.(a+b)2=a2+b2二.填空题(共13小题)16.(2015•铜仁市)请看杨辉三角(1),并观察下列等式(2):根据前面各式的规律,则(a+b)6= .17.(2015•珠海)填空:x2+10x+ =(x+ )2.18.(2015•衡阳)已知a+b=3,a﹣b=﹣1,则a2﹣b2的值为.19.(2015•金华)已知a+b=3,a﹣b=5,则代数式a2﹣b2的值是.20.(2015•莱芜)已知m+n=3,m﹣n=2,则m2﹣n2= .21.(2014•孝感)若a﹣b=1,则代数式a2﹣b2﹣2b的值为.22.(2014•达州)己知实数a、b满足a+b=5,ab=3,则a﹣b= .23.(2014•包头)计算:(x+1)2﹣(x+2)(x﹣2)= .24.(2014•葫芦岛)若m+n=2,mn=1,则m2+n2= .25.(2014•日照)已知a>b,如果+=,ab=2,那么a﹣b的值为.26.(2014•梅州)已知a+b=4,a﹣b=3,则a2﹣b2= .27.(2014•镇江)化简:(x+1)(x﹣1)+1= .28.(2014•宁波)一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放,则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是(用a、b的代数式表示).三.解答题(共2小题)29.(2015•内江)(1)填空:(a﹣b)(a+b)= ;(a﹣b)(a2+ab+b2)= ;(a﹣b)(a3+a2b+ab2+b3)= .(2)猜想:(a﹣b)(a n﹣1+a n﹣2b+…+ab n﹣2+b n﹣1)= (其中n为正整数,且n≥2).(3)利用(2)猜想的结论计算:29﹣28+27﹣…+23﹣22+2.30.(2014•宜昌)化简:(a+b)(a﹣b)+2b2.14.2 乘法公式 3年参考答案与试题解析一.选择题(共15小题)1.(2015•酒泉)下列运算正确的是()A. x2+x2=x4 B.(a﹣b)2=a2﹣b2 C.(﹣a2)3=﹣a6 D. 3a2•2a3=6a6考点:完全平方公式;合并同类项;幂的乘方与积的乘方;单项式乘单项式.分析:根据同类项、完全平方公式、幂的乘方和单项式的乘法计算即可.解答:解:A、x2+x2=2x2,错误;B、(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2,错误;C、(﹣a2)3=﹣a6,正确;D、3a2•2a3=6a5,错误;故选C.点评:此题考查同类项、完全平方公式、幂的乘方和单项式的乘法,关键是根据法则进行计算.2.(2015•常德)下列等式恒成立的是()A.(a+b)2=a2+b2 B.(ab)2=a2b2 C. a4+a2=a6 D. a2+a2=a4考点:完全平方公式;合并同类项;幂的乘方与积的乘方.专题:计算题.分析:原式各项计算得到结果,即可做出判断.解答:解:A、原式=a2+b2+2ab,错误;B、原式=a2b2,正确;C、原式不能合并,错误;D、原式=2a2,错误,故选B.点评:此题考查了完全平方公式,合并同类项,以及幂的乘方与积的乘方,熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键.3.(2015•日照)观察下列各式及其展开式:(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5…请你猜想(a+b)10的展开式第三项的系数是()A. 36 B. 45 C. 55 D. 66考点:完全平方公式.专题:规律型.分析:归纳总结得到展开式中第三项系数即可.解答:解:解:(a+b)2=a22+2ab+b2;(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3;(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4;(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5;(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6;(a+b)7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7;第8个式子系数分别为:1,8,28,56,70,56,28,8,1;第9个式子系数分别为:1,9,36,84,126,126,84,36,9,1;第10个式子系数分别为:1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1,则(a+b)10的展开式第三项的系数为45.故选B.点评:此题考查了完全平方公式,熟练掌握公式是解本题的关键.4.(2015•邵阳)已知a+b=3,ab=2,则a2+b2的值为()A. 3 B. 4 C. 5 D. 6考点:完全平方公式.分析:根据完全平方公式得出a2+b2=(a+b)2﹣2ab,代入求出即可.解答:解:∵a+b=3,ab=2,∴a2+b2=(a+b)2﹣2ab=32﹣2×2=5,故选C点评:本题考查了完全平方公式的应用,注意:a2+b2=(a+b)2﹣2ab.5.(2015•遵义)下列运算正确的是()A. 4a﹣a=3 B. 2(2a﹣b)=4a﹣b C.(a+b)2=a2+b2 D.(a+2)(a﹣2)=a2﹣4考点:完全平方公式;合并同类项;去括号与添括号;平方差公式.分析:根据合并同类项,去括号与添括号的法则,完全平方公式公式,平方差公式,进行解答.解答:解:A、4a﹣a=3a,故本选项错误;B、应为2(2a﹣b)=4a﹣2b,故本选项错误;C、应为(a+b)2=a2+2ab+b2,故本选项错误;D、(a+2)(a﹣2)=a2﹣4,正确.故选:D.点评:本题考查合并同类项,去括号与添括号的法则,完全平方公式公式,平方差公式,熟记公式结构是解题的关键.6.(2015•广安)下列运算正确的是()A. 5a2+3a2=8a4 B. a3•a4=a12 C.(a+2b)2=a2+4b2 D.﹣=﹣4考点:完全平方公式;立方根;合并同类项;同底数幂的乘法.分析:根据同类项、同底数幂的乘法、立方根和完全平方公式计算即可.解答:解:A、5a2+3a2=8a2,错误;B、a3•a4=a7,错误;C、(a+2b)2=a2+4ab+4b2,错误;D、,正确;故选D.点评:此题考查同类项、同底数幂的乘法、立方根和完全平方公式,关键是根据法则计算.7.(2015•成都)下列计算正确的是()A. a2+a2=a4 B. a2•a3=a6 C.(﹣a2)2=a4 D.(a+1)2=a2+1考点:完全平方公式;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方.分析:根据同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方和完全平方公式计算即可.解答:解:A、a2+a2=2a2,错误;B、a2•a3=a5,错误;C、(﹣a2)2=a4,正确;D、(a+1)2=a2+2a+1,错误;故选C.点评:此题考查同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方和完全平方公式,关键是根据法则进行计算.8.(2015•杭州)下列各式的变形中,正确的是()A.(﹣x﹣y)(﹣x+y)=x2﹣y2 B.﹣x=C. x2﹣4x+3=(x﹣2)2+1 D.x÷(x2+x)=+1考点:平方差公式;整式的除法;因式分解-十字相乘法等;分式的加减法.分析:根据平方差公式和分式的加减以及整式的除法计算即可.解答:解:A、(﹣x﹣y)(﹣x+y)=x2﹣y2,正确;B、,错误;C、x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,错误;D、x÷(x2+x)=,错误;故选A.点评:此题考查平方差公式和分式的加减以及整式的除法,关键是根据法则计算.9.(2015•永州)下列运算正确的是()A. a2•a3=a6 B.(﹣a+b)(a+b)=b2﹣a2C.(a3)4=a7 D. a3+a5=a8考点:平方差公式;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方.分析: A:根据同底数幂的乘法法则判断即可.B:平方差公式:(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2,据此判断即可.C:根据幂的乘方的计算方法判断即可.D:根据合并同类项的方法判断即可.解答:解:∵a2•a3=a5,∴选项A不正确;∵(﹣a+b)(a+b)=b2﹣a2,∴选项B正确;∵(a3)4=a12,∴选项C不正确;∵a3+a5≠a8∴选项D不正确.故选:B.点评:(1)此题主要考查了平方差公式,要熟练掌握,应用平方差公式计算时,应注意以下几个问题:①左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数;②右边是相同项的平方减去相反项的平方;③公式中的a和b可以是具体数,也可以是单项式或多项式;④对形如两数和与这两数差相乘的算式,都可以运用这个公式计算,且会比用多项式乘以多项式法则简便.(2)此题还考查了同底数幂的乘法法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①底数必须相同;②按照运算性质,只有相乘时才是底数不变,指数相加.(3)此题还考查了幂的乘方和积的乘方,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①(a m)n=a mn(m,n 是正整数);②(ab)n=a n b n(n是正整数).(4)此题还考查了合并同类项的方法,要熟练掌握.10.(2014•南充)下列运算正确的是()A. a3•a2=a5 B.(a2)3=a5 C. a3+a3=a6 D.(a+b)2=a2+b2考点:完全平方公式;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方.分析:根据同底数幂的乘法,可判断A;根据幂的乘方,可判断B;根据合并同类项,可判断C;根据完全平方公式,可判断D.解答:解:A、底数不变指数相加,故A正确;B、底数不变指数相乘,原式=a6,故B错误;C、系数相加字母部分不变,原式=2a3,故C错误;D、和的平方等于平方和加积的二倍,原式=a2+b2+2ab,故D错误;故选:A.点评:本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项和完全平方公式,熟记和的平方等于平方和加积的二倍.11.(2014•鄂州)下列运算正确的是()A.(﹣2x2)3=﹣6x6 B.(3a﹣b)2=9a2﹣b2 C. x2•x3=x5 D. x2+x3=x5考点:完全平方公式;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方.专题:计算题.分析: A、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果,即可做出判断;B、原式利用完全平方公式展开得到结果,即可做出判断;C、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果,即可做出判断;D、原式不能合并,错误.解答:解:A、原式=﹣8x6,故A错误;B、原式=9a2﹣6ab+b2,故B错误;C、原式=x5,故C正确;D、原式不能合并,故D错误,故选:C点评:此题考查了完全平方公式,合并同类项,同底数幂的乘法,以及幂的乘方与积的乘方,熟练掌握运算法则是解本题的关键.12.(2014•邵阳)下列计算正确的是()A. 2x﹣x=x B. a3•a2=a6 C.(a﹣b)2=a2﹣b2 D.(a+b)(a﹣b)=a2+b2考点:完全平方公式;合并同类项;同底数幂的乘法;平方差公式.专题:计算题.分析: A、原式合并同类项得到结果,即可作出判断;B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果,即可作出判断;C、原式利用完全平方公式展开得到结果,即可作出判断;D、原式利用平方差公式计算得到结果,即可作出判断.解答:解:A、原式=x,正确;B、原式=x5,错误;C、原式=a2﹣2ab+b2,错误;D、原式=a2﹣b2,错误;故选:A点评:此题考查了完全平方公式,合并同类项,同底数幂的乘法,以及平方差公式,熟练掌握公式是解本题的关键.13.(2014•呼伦贝尔)下列各式计算正确的是()A. x5﹣x3=x2 B.(mn3)3=mn6 C.(a+b)2=a2+b2 D. p6÷p2=p4(p≠0)考点:完全平方公式;合并同类项;幂的乘方与积的乘方;同底数幂的除法.分析:根据合并同类项法则,积的乘方,完全平方公式,同底数幂的除法分别求出每个式子的值,再判断即可.解答:解:A、x5、﹣x3不能合并,故本选项错误;B、(mn3)3=m3n9,故本选项错误;C、(a+b)2=a2+2ab+b2,故本选项错误;D、p6÷p2=p4(p≠0),故本选项正确;故选D.点评:本题考查了合并同类项法则,积的乘方,完全平方公式,同底数幂的除法的应用,主要考查学生的计算能力和辨析能力.14.(2014•昆明)下列运算正确的是()A.(a2)3=a5 B.(a﹣b)2=a2﹣b2 C.﹣=3 D.=﹣3考点:完全平方公式;实数的运算;幂的乘方与积的乘方.专题:计算题.分析: A、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果,即可作出判断;B、原式利用完全平方公式展开得到结果,即可作出判断;C、原式不能合并,错误;D、原式利用立方根定义化简得到结果,即可做出判断.解答:解:A、原式=a6,错误;B、原式=a2﹣2ab+b2,错误;C、原式不能合并,错误;D、原式=﹣3,正确,故选:D点评:此题考查了完全平方公式,合并同类项,同底数幂的乘法,以及平方差公式,熟练掌握公式是解本题的关键.15.(2014•河南)下列各式计算正确的是()A. a+2a=3a2 B.(﹣a3)2=a6 C. a3•a2=a6 D.(a+b)2=a2+b2考点:完全平方公式;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方.分析:根据合并同类项法则,积的乘方,同底数幂的乘法,平方差公式分别求出每个式子的值,再判断即可.解答:解:A、a+2a=3a,故A选项错误;B、(﹣a3)2=a6,故B选项正确;C、a3•a2=a5,故C选项错误;D、(a+b)2=a2+b2+2ab,故D选项错误,故选:B.点评:本题考查了合并同类项法则,积的乘方,同底数幂的乘法,平方差公式的应用,主要考查学生的计算能力.二.填空题(共13小题)16.(2015•铜仁市)请看杨辉三角(1),并观察下列等式(2):根据前面各式的规律,则(a+b)6= a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6.考点:完全平方公式;规律型:数字的变化类.分析:通过观察可以看出(a+b)6的展开式为6次7项式,a的次数按降幂排列,b的次数按升幂排列,各项系数分别为1、6、15、20、15、6、1.解答:解:(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6故本题答案为:a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6点评:此题考查数字的规律,通过观察,分析、归纳并发现其中的规律,并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力.17.(2015•珠海)填空:x2+10x+ 25 =(x+ 5 )2.考点:完全平方式.分析:完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2,从公式上可知.解答:解:∵10x=2×5x,∴x2+10x+52=(x+5)2.故答案是:25;5.点评:本题考查了完全平方公式,两数的平方和,再加上或减去它们积的2倍,就构成了一个完全平方式.要求熟悉完全平方公式,并利用其特点解题.18.(2015•衡阳)已知a+b=3,a﹣b=﹣1,则a2﹣b2的值为﹣3 .考点:平方差公式.专题:计算题.分析:原式利用平方差公式化简,将已知等式代入计算即可求出值.解答:解:∵a+b=3,a﹣b=﹣1,∴原式=(a+b)(a﹣b)=﹣3,故答案为:﹣3.点评:此题考查了平方差公式,熟练掌握平方差公式是解本题的关键.19.(2015•金华)已知a+b=3,a﹣b=5,则代数式a2﹣b2的值是15 .考点:平方差公式.专题:计算题.分析:原式利用平方差公式化简,将已知等式代入计算即可求出值.解答:解:∵a+b=3,a﹣b=5,∴原式=(a+b)(a﹣b)=15,故答案为:15点评:此题考查了平方差公式,熟练掌握平方差公式是解本题的关键.20.(2015•莱芜)已知m+n=3,m﹣n=2,则m2﹣n2= 6 .考点:平方差公式.分析:根据平方差公式,即可解答.解答:解:m2﹣n2=(m+n)(m﹣n)=3×2=6.故答案为:6.点评:本题考查了平方差公式,解决本题的关键是熟记平方差公式.21.(2014•孝感)若a﹣b=1,则代数式a2﹣b2﹣2b的值为 1 .考点:完全平方公式.专题:计算题.分析:运用平方差公式,化简代入求值,解答:解:因为a﹣b=1,a2﹣b2﹣2b=(a+b)(a﹣b)﹣2b=a+b﹣2b=a﹣b=1,故答案为:1.点评:本题主要考查了平方差公式,关键要注意运用公式来求值.22.(2014•达州)己知实数a、b满足a+b=5,ab=3,则a﹣b= ±.考点:完全平方公式.专题:计算题.分析:将a+b=5两边平方,利用完全平方公式展开,把ab的值代入求出a2+b2的值,再利用完全平方公式即可求出a﹣b的值.解答:解:将a+b=5两边平方得:(a+b)2=a2+b2+2ab=25,将ab=3代入得:a2+b2=19,∴(a﹣b)2=a2+b2﹣2ab=19﹣6=13,则a﹣b=±.故答案为:±点评:此题考查了完全平方公式,熟练掌握公式是解本题的关键.23.(2014•包头)计算:(x+1)2﹣(x+2)(x﹣2)= 2x+5 .考点:完全平方公式;平方差公式.专题:计算题.分析:原式第一项利用完全平方公式展开,第二项利用平方差公式化简,去括号合并即可得到结果.解答:解:原式=x2+2x+1﹣x2+4=2x+5.故答案为:2x+5.点评:此题考查了完全平方公式,以及平方差公式,熟练掌握公式是解本题的关键.24.(2014•葫芦岛)若m+n=2,mn=1,则m2+n2= 2 .考点:完全平方公式.专题:计算题.分析:原式配方变形后,把已知等式代入计算即可求出值.解答:解:∵m+n=2,mn=1,∴原式=(m+n)2﹣2mn=4﹣2=2,故答案为:2点评:此题考查了完全平方公式,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.25.(2014•日照)已知a>b,如果+=,ab=2,那么a﹣b的值为 1 .考点:完全平方公式;分式的加减法.专题:计算题.分析:已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算,将ab的值代入求出a+b的值,再利用完全平方公式即可求出a﹣b的值.解答:解:+==,将ab=2代入得:a+b=3,∴(a﹣b)2=(a+b)2﹣4ab=9﹣8=1,∵a>b,∴a﹣b>0,则a﹣b=1.故答案为:1点评:此题考查了完全平方公式,以及分式的加减法,熟练掌握公式及法则是解本题的关键.26.(2014•梅州)已知a+b=4,a﹣b=3,则a2﹣b2= 12 .考点:平方差公式.专题:计算题.分析:根据a2﹣b2=(a+b)(a﹣b),然后代入求解.解答:解:a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)=4×3=12.故答案是:12.点评:本题重点考查了用平方差公式.平方差公式为(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2.本题是一道较简单的题目.27.(2014•镇江)化简:(x+1)(x﹣1)+1= x2.考点:平方差公式.分析:运用平方差公式求解即可.解答:解:(x+1)(x﹣1)+1=x2﹣1+1=x2.故答案为:x2.点评:本题主要考查了平方差公式,熟记公式是解题的关键.28.(2014•宁波)一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放,则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是ab (用a、b的代数式表示).考点:平方差公式的几何背景.专题:操作型.分析:利用大正方形的面积减去4个小正方形的面积即可求解.解答:解:设大正方形的边长为x1,小正方形的边长为x2,由图①和②列出方程组得,解得,②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积=()2﹣4×()2=ab.故答案为:ab.点评:本题考查了平方差公式的几何背景,正确求出大小正方形的边长列代数式,以及整式的化简,正确对整式进行化简是关键.三.解答题(共2小题)29.(2015•内江)(1)填空:(a﹣b)(a+b)= a2﹣b2;(a﹣b)(a2+ab+b2)= a3﹣b3;(a﹣b)(a3+a2b+ab2+b3)= a4﹣b4.(2)猜想:(a﹣b)(a n﹣1+a n﹣2b+…+ab n﹣2+b n﹣1)= a n﹣b n(其中n为正整数,且n≥2).(3)利用(2)猜想的结论计算:29﹣28+27﹣…+23﹣22+2.考点:平方差公式.专题:规律型.分析:(1)根据平方差公式与多项式乘以多项式的运算法则运算即可;(2)根据(1)的规律可得结果;(3)原式变形后,利用(2)得出的规律计算即可得到结果.解答:解:(1)(a﹣b)(a+b)=a2﹣b2;(a﹣b)(a2+ab+b2)=a3+a2b+ab2﹣a2b﹣ab2﹣b3=a3﹣b3;(a﹣b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4+a3b+a2b2+ab3﹣a3b﹣a2b2﹣ab3﹣b4=a4﹣b4;故答案为:a2﹣b2,a3﹣b3,a4﹣b4;(2)由(1)的规律可得:原式=a n﹣b n,故答案为:a n﹣b n;(3)29﹣28+27﹣…+23﹣22+2=(2﹣1)(28+26+24+22+2)=342.点评:此题考查了多项式乘以多项式,弄清题中的规律是解本题的关键.30.(2014•宜昌)化简:(a+b)(a﹣b)+2b2.考点:平方差公式;合并同类项.专题:计算题.分析:先根据平方差公式算乘法,再合并同类项即可.解答:解:原式=a2﹣b2+2b2=a2+b2.点评:本题考查了平方差公式和整式的混合运算的应用,主要考查学生的化简能力.。
14.3因式分解专题一因式分解1.下列分解因式正确的是()A.3x2-6x =x(x-6) B.-a2+b2=(b+a)(b-a) C.4x2-y2=(4x-y)(4x+y) D.4x2-2xy+y2=(2x-y)2 2.分解因式:3m3-18m2n+27mn2=____________.3.分解因式:(2a+b)2-8ab=____________.专题二在实数范围内分解因式4.在实数范围内因式分解x4-4=____________.5.把下列各式因式分解(在实数范围内)(1)3x2-16;(2)x4-10x2+25.6.在实数范围内分解因式:(1)x3-2x;(2)x4-6x2+9.专题三因式分解的应用7.如果m-n=-5,mn=6,则m2n-mn2的值是()A.30 B.-30 C.11 D.-118.利用因式分解计算32×20.13+5.4×201.3+0.14×2013=___________.9.在下列三个不为零的式子:x2-4x,x2+2x,x2-4x+4中,(1)请你选择其中两个进行加法运算,并把结果因式分解;(2)请你选择其中两个并用不等号连接成不等式,并求其解集.状元笔记【知识要点】1.因式分解我们把一个多项式化成几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.2.因式分解的方法(1)提公因式法:如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提取出来,将多项式写出公因式与另一个因式的乘积的形式,这样分解因式的方法叫做提公因式法.(2)将乘法公式的等号两边互换位置,得到用于分解因式的公式,用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做公式法.(3)平方差公式:a 2-b 2=(a+b)(a -b),两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积. (4)完全平方公式:a 2±2ab+b 2=(a ±b)2,两个数的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方.【温馨提示】1.分解因式的对象必须是多项式,如把25a bc 分解成abc a ⋅5就不是分解因式,因为25a bc 不是多项式.2.分解因式的结果必须是积的形式,如21(1)1x x x x +-=+-就不是分解因式,因为结果(1)1x x +-不是积的形式.【方法技巧】1.若首项系数为负时,一般要提出“—”号,使括号内首项系数为正,但要注意,此时括号内的各项都应变号,如)2(22--=+-x x x x .2.有些多项式的特点与公式相比,只是某些项的符号不符,这时就需要先对符号进行变化,使之符合公式的特点.参考答案:1.B 解析:A 中,3x 2 - 6x=3x(x -2),故A 错误;B 中,-a 2+b 2=-(a -b)(a+b)=(b+a)(b -a),故B 正确;C 中,4x 2 - y 2=(2x)2-(2y)2=(2x -y)(2x+y),故C 错误;D 中,4x 2-2xy+y 2的中间项不是2×2x×y ,故不能因式分解,故D 错误.综上所述,选B .2.3m(m -3n)2 解析:3m 3-18m 2n+27mn 2=3m(m 2-6mn+9n 2)=3m(m -3n)2.3.(2a -b)2 解析:(2a+b)2-8ab=4a 2+4ab+b 2-8ab=4a 2-4ab+b 2=(2a -b)2.4.(x 2 解析:x 4-4=(x 2+2)(x 2-2)=(x 2.5.解:-4);(2)x 4-10x 2+25=(x 2-5)22(x )2.6.解:2-;(2)x 4-6x 2+9=(x 2-3)22(x )2.7.B 解析:∵m -n=-5,mn=6,∴m 2n -mn 2=mn (m -n )=6×(-5)=-30,故选B .8.2013 解析:32×20.13+5.4×201.3+0.14×2013=0.32×2013+0.54×2013+0.14×2013=2013×(0.32+0.54+0.14)=2013×1=2013.9.解:(1)答案不唯一,如:(x2-4x)+(x2+2x)=2x2-2x=2x(x-1).(2) 答案不唯一,如:x2-4x>x2+2x,合并同类项,得-6x>0,解得x<0.。
课后训练基础巩固1.下列添括号错误的是().A.-x+5=-(x+5) B.-7m-2n=-(7m+2n) C.a2-3=+(a2-3) D.2x-y=-(y-2x) 2.下列各式,计算正确的是().A.(a-b)2=a2-b2B.(x+y)(x-y)=x2+y2 C.(a+b)2=a2+b2D.(a-b)2=a2-2ab+b2 3.下列各式中,与(a-1)2相等的是().A.a2-1 B.a2-2a+1C.a2-2a-1 D.a2+14.下列等式能够成立的是().A.(x-y)2=x2-xy+y2B.(x+3y)2=x2+9y2C.(x-12y)2=x2-xy+214yD.(m-9)(m+9)=m2-95.应用乘法公式计算:1.234 52+2.469×0.765 5+0.765 52的值为__________.6.正方形的边长增大5 cm,面积增大75 cm2.那么原正方形的边长为__________,面积为__________.7.(-a-b)(a-b)=-[()(a-b)]=-[()2-()2]=__________.8.计算:(1)(x-3)(x2+9)(x+3);(2)(x+y-1)(x-y+1);9.(1)先化简,再求值:2(3x+1)(1-3x)+(x-2)(2+x),其中x=2.(2)化简求值:(1-4y)(1+4y)+(1+4y)2,其中y=2 5 .能力提升10.若x2-y2=20,且x+y=-5,则x-y的值是().A.5 B.4C.-4 D.以上都不对11.等式(-a-b)()(a2+b2)=a4-b4中,括号内应填().A.-a+b B.a-bC.-a-b D.a+b12.若a2+2ab+b2=(a-b)2+A,则A的值为().A.2ab B.-abC.4ab D.-4ab13.若x-1x=1,则x2+21x的值为().A.3 B.-1 C.1 D.-314.(湖南益阳)观察下列算式:①1×3-22=3-4=-1②2×4-32=8-9=-1③3×5-42=15-16=-1④________________________________________________________________________ ……(1)请你按以上规律写出第④个算式;(2)把这个规律用含字母的式子表示出来;(3)你认为(2)中所写出的式子一定成立吗?并说明理由.15.已知x=12,求代数式(2x-y)(2x+y)+(2x-y)(y-4x)+2y(y-3x)的值,在解这道题时,小茹说:“只给出了x的值,没给出y的值,求不出答案.”小毅说:“这道题与y的值无关,不给出y的值,也能求出答案.”你认为谁的说法正确?请说明理由.参考答案1.A点拨:括号前是“-”号,括到括号里的各项都变号.2.D 3.B 4.C5.4点拨:原式可化为:1.234 52+2×1.234 5×0.765 5+0.765 52=(1.234 5+0.765 5)2,逆用完全平方公式.6.5 cm25 cm27.a+b a b b2-a28.解:(1)原式=[(x-3)(x+3)](x2+9)=(x2-9)(x2+9)=x4-81;(2)原式=[x+(y-1)][x-(y-1)]=x2-(y-1)2=x2-y2+2y-1.9.解:(1)2(3x+1)(1-3x)+(x-2)(2+x)=2(1+3x)(1-3x)+(x-2)(x+2)=2(1-9x2)+(x2-4)=2-18x2+x2-4=-17x2-2.当x=2时,原式=-17×22-2=-17×4-2=-70.(2)原式=1-16y2+(1+8y+16y2)=1-16y2+1+8y+16y2=2+8y,当y=25时,原式=2+8×25=2+135=155.10.C点拨:逆用平方差公式,由x2-y2=20得,(x+y)(x-y)=20,因为x+y=-5,所以x-y=-4.11.A12.C13.A点拨:把x-1x=1两边平方得x2-2+21x=1,移项得x2+21x=3.14.解:(1)4×6-52=24-25=-1;(2)答案不唯一.如n(n+2)-(n+1)2=-1;(3)一定成立,理由如下:n(n+2)-(n+1)2=n2+2n-(n2+2n+1)=n2+2n-n2-2n-1=-1,所以n(n+2)-(n+1)2=-1.15.解:小毅的说法正确,理由如下:原式=4x2-y2-(8x2-6xy+y2)+2y2-6xy=4x2-y2-8x2+6xy-y2+2y2-6xy=-4x2.化简后y消掉了,所以代数式的值与y无关.所以小毅的说法正确.。
2019-2020平方差与完全平方公式培优专题(含答案)一、单选题1.()()()()248323212121211+++⋯++的个位数是 ( ) A.4B.5C.6D.82.若229x kxy y -+是一个完全平方式,则常数k 的值为 ( ) A.6B.6-C.6±D.无法确定3.()()()()242212121 (2)1n++++=( )A.421n -B.421n +C.441n -D.441n +4.已知n 16221++是一个有理数的平方,则n 不能取以下各数中的哪一个 ( ) A.30B.32C.18-D.95.已知实数a 、b 满足a+b=2,ab=34,则a ﹣b=( ) A .1 B .﹣52C .±1D .±526.如图是用4个相同的小矩形与1个小正方形密铺而成的正方形图案,已知该图案的面积为,小正方形的面积为4,若用表示小矩形的两边长,请观察图案,指出以下关系式中不正确的是( )A .B .C .D .二、填空题7.若22(3)16x m x +-+是关于x 的完全平方式,则m =__________.8.若m+1m =3,则m 2+21m=_____. 9.若x ﹣1x=2,则x 2+21x 的值是______.10.已知3a b +=,2ab =-, (1)则22a b +=____;(2)则a b -=___.11.已知1<x <2,,则的值是_____.12.先阅读后计算:为了计算4×(5+1)×(52+1)的值,小黄把4改写成5﹣1后,连续运用平方差公式得:4×(5+1)×(52+1)=(5﹣1)×(5+1)×(52+1)=(52﹣1)×(52+1)=252﹣1=624.请借鉴小黄的方法计算:(1+12)×(1+212)×(1+412)×(1+812)×(1+1612)×(1+3212)×(1+6412),结果是_____. 13.如果实数a ,b 满足a+b =6,ab =8,那么a 2+b 2=_____.14.在边长为a 的正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形()a b >,再沿虚线剪开,如图①,然后拼成一个梯形,如图②.根据这两个图形的面积关系,用等式表示是____________.15.若214x x x++=,则2211x x ++= ________________.16.已知(a ﹣2016)2+(2018﹣a )2=20,则(a ﹣2017)2的值是 .17.计算:(a+1)2﹣a 2=_____.三、解答题18.阅读材料:若2222440m mn n n -+-+=,求m ,n 的值.解:∵2222440m mn n n -+-+=,∴()()2222440m mn nnn -++-+=,∴()()2220m n n -+-=,∴()20m n -=,()220n -=,∴2n =,2m =. 根据你的观察,探究下面的问题:(1)2262100a b a b ++-+=,则a =__________,b =__________. (2)已知22228160x y xy y +-++=,求xy 的值.(3)已知ABC △的三边长a 、b 、c 都是正整数,且满足22248180a b a b +--+=,求ABC △的周长. 19.如图,将边长为m 的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形,拿掉边长为n 的小正方形纸板后,将剩下的三块拼成新的矩形.(1)用含m 或n 的代数式表示拼成矩形的周长;(2)m=7,n=4,求拼成矩形的面积.20.已知7a b -=,12ab =-. (1)求22a b ab -的值;(2)求22a b +的值; (3)求+a b 的值; 21.已知120153a m =+,120163b m =+,120173c m =+,求222a b c ab bc ac ++---的值. 22.先化简,再求值:(a ﹣2b )(a+2b )﹣(a ﹣2b )2+8b 2,其中a=﹣2,b=12. 23.先化简,再求值:已知代数式 化简后,不含有x 2项和常数项. (1)求a 、b 的值;(2)求 的值.24.先化简,再求值:(a+b )2+b (a ﹣b )﹣4ab ,其中a=2,b=﹣12. 25.先化简,再求值:(x+y )(x ﹣y )+y (x+2y )﹣(x ﹣y )2,其中x=2+3,y=2﹣3.26.计算:211-2⎛⎫ ⎪⎝⎭×211-3⎛⎫ ⎪⎝⎭×211-4⎛⎫ ⎪⎝⎭×…×211-9⎛⎫ ⎪⎝⎭×211-10⎛⎫⎪⎝⎭. 27.阅读题.材料一:若一个整数m 能表示成a 2-b 2(a,b 为整数)的形式,则称这个数为“完美数”.例如,3=22-12,9=32-02,12=42-22,则3,9,12都是“完美数”;再如,M=x2+2xy=(x+y)2-y2,(x,y是整数),所以M也是”完美数”.材料二:任何一个正整数n都可以进行这样的分解:n=p×q(p、q是正整数,且p≤q).如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小,我们就称p×q是n的最佳分解,并且规定F(n)=pq.例如18=1×18=2×9=3×6,这三种分解中3和6的差的绝对值最小,所以就有F(18)=3162.请解答下列问题:(1)8______(填写“是”或“不是”)一个完美数,F(8)= ______.(2)如果m和n都是”完美数”,试说明mn也是完美数”.(3)若一个两位数n的十位数和个位数分别为x,y(1≤x≤9),n为“完美数”且x+y能够被8整除,求F(n)的最大值. 28.如图,某市有一块长为(3a+b)米,宽为(2a+b)米的长方形地块,规划部门计划将阴影部分进行绿化,中间将修建一座雕像,则绿化的面积是多少平方米?并求出当a=3,b=2时的绿化面积.29.已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足a2+b2﹣4a﹣8b+20=0,c=3cm,求△ABC的周长.30.有一张边长为a厘米的正方形桌面,因为实际需要,需将正方形边长增加b厘米,木工师傅设计了如图所示的三种方案:小明发现这三种方案都能验证公式:a2+2ab+b2=(a+b)2,对于方案一,小明是这样验证的:a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2请你根据方案二、方案三,写出公式的验证过程. 方案二: 方案三:31.请认真观察图形,解答下列问题:如图①,1号卡片是边长为a 的正方形,2号卡片是边长为b 的正方形,3号卡片是一个长和宽分别为a ,b 的长方形.(1)若选取1号、2号、3号卡片分别为1张、1张、2张,可拼成一个正方形,如图②,能用此图解释的乘法公式是______________;(请用字母a ,b 表示)(2)若选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张,可拼成一个长方形(不重叠无缝隙),则能用此图解释的整式乘法运算是____________________;(请画出图形,并用字母a ,b 表示)(3)如果图中的a ,b (a >b )满足a 2+b 2=57,ab=12,求a+b 的值;(4)已知(5+2x )2+(3+2x )2=60,求(5+2x )(2x+3)的值.32.已知:x 2+xy +y =14,y 2+xy +x =28,求x +y 的值.33.已知a b 、是等腰△ABC 的边且满足2284200a b a b +--+=,求等腰△ABC 的周长。
1
14.2乘法公式
专题一 乘法公式
1.下列各式中运算错误的是( )
A.a2+b2=(a+b)2-2ab B.(a-b)2=(a+b)2-4ab
C.(a+b)(-a+b)=-a2+b2 D.(a+b)(-a-b)=-a2-b2
2.代数式(x+1)(x-1)(x2+1)的计算结果正确的是( )
A.x4-1 B.x4+1 C.(x-1)4 D.(x+1)4
3.计算:(2x+y)(2x-y)+(x+y)2-2(2x2-xy)(其中x=2,y=3).
专题二 乘法公式的几何背景
4.请你观察图形,依据图形面积之间的关系,不需要连其他的线,便可得到一个你非常熟悉的公式,
这个公式是( )
A.(a+b)(a-b)=a2-b2 B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.(a-b)2=a2-2ab+b2 D.(a+b)2=a2+ab+b2
5.如图,你能根据面积关系得到的数学公式是( )
A.a2-b2=(a+b)(a-b) B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.(a-b)2=a2-2ab+b2 D.a(a+b)=a2+ab
6.我们在学习完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2时,了解了一下它的几何背景,即通过图来说明上式
成立.在习题中我们又遇到了题目“计算:(a+b+c)
2
”,你能将知识进行迁移,从几何背景说明(大
致画出图形即可)并计算(a+b+c)2吗?
状元笔记
【知识要点】
1.平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-b2,两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.
2
2.完全平方公式
(a±b)2=a2±2ab+b2,两个数的和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍.
【温馨提示】
1.不要将平方差公式和完全平方公式相混淆,注意它们项数和符号的不同.
2.完全平方公式中,中间项是左边两个数的和的2倍,注意系数的特点.
【方法技巧】
1.公式中的字母a、b可以是具体的数,也可以是单项式、多项式.只要符合公式的结构特征,就可
以利用公式.
2.有些题目往往不能直接应用公式求解,但稍做适当的变形后就可以用乘法公式求解.如:位置变
化,符号变化,数字变化,系数变化,项数变化等.
参考答案:
1.D 解析:A中,由完全平方公式可得(a+b)2-2ab=a2+2ab+b2-2ab=a2+b2,故A正确;B中,由
完全平方公式可得(a-b)2=a2-2ab+b2,(a+b)2-4ab=a2+2ab+b2-4ab=a2-2ab+b2,故B正确;C中,
由平方差公式可得(a+b)(-a+b)=(a+b)(b-a)=b2-a2=-a2+b2,故C正确;D中,(a+b)(-a-b)=-(a+b)2=
-a2-2ab-b2,故D错误.
2.A 解析:原式=(x2-1)(x2+1)=(x2)2-1=x4-1.
3.解:原式=4x2-y2+x2+2xy+y2-4x2+2xy=x2+4xy,
当x=2,y=3时,原式=22+4×2×3=4+24=28.
4.B 解析:这个图形的整体面积为(a+b)2;各部分的面积的和为a2+2ab+b2;所以得到公式(a+b)
2=a2+2ab+b2
.故选B.
5.C 解析:从图中可知:阴影部分的面积是(a-b)2和b2,剩余的矩形面积是(a-b)b和(a-
b)b,即大阴影部分的面积是(a-b)2,∴(a-b)2=a2-2ab+b2,故选C.
6.解:(a+b+c)2的几何背景如图,整体的面积为:(a+b+c)2,用各部分的面积之和表示为:(a+b+c)
2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc,所以(a+b+c)2=a2+b2+c2
+2ab+2ac+2bc.
3