2020-2021学年数学初一培优和竞赛讲练-14-乘法公式

七年级下培优竞赛（二）乘法公式乘法公式是在多项式乘法的基础上，将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘，得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用，在学习乘法公式时，应该做到以下几点：1．熟悉每个公式的结构特征，理解掌握公式；2．根据待求式的特点，模仿套用公式；3．对公式中字母的全面理解，灵活运用公式；4．既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合，综合运用公式．例题【例1】 (1)已知两个连续奇数的平方差为2000，则这两个连续奇数可以是 ．(江苏省竞赛题)(2)已知(2000一a)(1998一a)=1999，那么(2000一a)2+(1998一a)2= ．(重庆市竞赛题)注：公式是怎样得出来的?一种是由已知的公式，通过推导，得到一些新的公式；另一种是从大量的特殊的数量关系入手，并用字母表示数来揭示一类数量关系的一般规律—一公式．从特殊到一般的过程是人类认识事物的一般规律，而观察、发现、归纳是发现数学规律最常用的方法．乘法公式常用的变形有：(1)ab b a b a 2)(222 ±=+，2)()(2)()(222222b a b a b a b a ab --+=+-+=． (2)222222)()(b a b a b a +=-++；(3) ab b a b a 4)()(22=--+； （4）4)()(22b a b a ab --+=，)(2)(2222ac bc ab c b a c b a ++-++=++【例2】 若x 是不为0的有理数，已知)12)(12(22+-++=x x x x M ，)1)(1(22+-++=x x x x N ，则M 与N 的大小是（ ）A ．M>NB ． M<NC ． M=ND ．无法确定【例3】 计算：(1)6(7十1)(72十1)(74十1)(78十1)+1；(天津市竞赛题)(2)1.345×0.345×2.69—1.3452一1.345×0.3452．(江苏省赛试题)【例4】 (1)已知x 、y 满足x 2十y 2十45＝2x 十y ，求代数式y x xy +的值． (2)整数x ，y 满足不等式y x y x 22122+≤++，求x+y 的值．(第14届“希望杯”邀请赛试题)(3)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率为a ，第二次提价的百分率为b ，乙商场：两次提价的百分率都是2b a +(a>0，b>o)，丙商场：第一次提价的百分率为b ，第二次提价的百分率为a ，则哪个商场提价最多?说明理由注： 有些问题常常不能直接使用公式，而需要创造条件，使之符合乘法公式的特点，才能使用公式．常见的方法是：分组、结合，拆添项、字母化等．完全平方公式逆用可得到两个应用广泛的结论：(1)0)(2222≥±=+±b a b ab a ；揭示式子的非负性，利用非负数及其性质解题．(2)ab b a 222≥+应用于代数式的最值问题．代数等式的证明有以下两种基本方法：(1) 由繁到简，从一边推向另一边； (2)相向而行，寻找代换的等量．【例5】 已知a 、b 、c 均为正整数，且满足222c b a =+，又a 为质数．证明：(1)b 与c 两数必为一奇一偶；(2)2(a+b+1)是完全平方数．学力训练1．观察下列各式：(x 一1)(x+1)＝x 2一l ；(x 一1)(x 2+x+1)=x 3一1；(x 一1)(x 3十x 2+x+1)=x 4一1．根据前面的规律可得(x 一1)(x n +x n-1+…+x+1)= ．(武汉市中考题)2．已知052422=+-++b a b a ，则ba b a -+= ． (杭州市中考题)3．计算：(1)1.23452+0.76552+2.469×0.7655： ；(2)19492一19502+19512一19522+…+19972一19982+19992 = ；(3)2199919991999199719991998222-+ ．4．如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a 、b 的恒等式 ． (大原市中考题)5．已知51=+a a ，则2241aa a ++= ．6．已知5,3-=+=-c b b a ，则代数式ab a bc ac -+-2的值为( )．A ．一15B ．一2C ．一6D ．6 7．乘积)200011)(199911()311)(211(2222----等于( )． A ．20001999 B ．20002001 C ．40001999 D ．40002001 (重庆市竞赛题)8．若4,222=+=-y x y x ，则20022002y x +的值是( )．A ．4B ．20022C ． 22002D ．420029．若01132=+-x x ，则441xx +的个位数字是( )． A ．1 B ．3 C ． 5 D ．710．如图①，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形(a>b)，把余下的部分剪拼成一个矩形(如图②)，通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，则这个等式是( )．A ．))((22b a b a b a -+=-B ．2222)(b ab a b a ++=+C ．2222)(b ab a b a +-=-D ．222))(2(b ab a b a b a -+=-+11．(1)设x+2z ＝3z ，试判断x 2一9y 2+4z 2+4xz 的值是不是定值?如果是定值，求出它的值；否则请说明理由．(2)已知x 2一2x=2，将下式先化简，再求值：(x —1)2+(x+3)(x 一3)+(x 一3)(x 一1)．12．一个自然数减去45后是一个完全平方数，这个自然数加上44后仍是一个完全平方数，试求这个自然数．13．观察：2514321=+⋅⋅⋅21115432=+⋅⋅⋅21916543=+⋅⋅⋅……(1)请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；(2)根据(1)，计算2000×2001×2002×2003+1的结果(用一个最简式子表示)． (黄冈市竞赛题)14．你能很快算出19952吗?为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成l0n+5(n 为自然数)，即求(10n+5)2的值，试分析 n=1，n=2，n ＝3……这些简单情形，从中探索其规律，并归纳猜想出结论．(1)通过计算，探索规律．152225可写成100×1×(1+1)+25；252=625可写成100×2×(2+1)+25；352=1225可写成100× 3×(3+1)+25；452＝2025可写成100×4×(4+1)+25；……752＝5625可写成 ；852＝7225可写成 ．(2)从第(1)题的结果，归纳、猜想得(10n+5)2= ．(3)根据上面的归纳猜想，请算出19952＝ ．(福建省三明市中者题)15．已知014642222=+-+-++z y x z y x ，则z y x ++= ．(天津市选拔赛试题)16．(1)若x+y ＝10，x 3+y 3=100，则x 2+y 2＝ ．(2)若a-b=3，则a 3-b 3-9ab ＝ ．17．1，2，3，……，98共98个自然数中，能够表示成两整数的平方差的个数是 ． (全国初中数学联赛试题)18．已知a-b=4，ab+c 2+4=0，则a+b=( )．A ．4B ．0C ．2D ． 一219．方程x 2-y 2=1991，共有( )组整数解．A ．6B ．7C ．8D ．920．已知a 、b 满足等式)2(4,2022a b y b a x -=++=，则x 、y 的大小关系是( )．A ．x ≤yB ．x ≥yC ．x<yD ．x>y(大原市竞赛题)21．已知a=1999x+2000，b ＝1999x+2001，c ＝1999x+2002，则多项式a 2+b 2+c 2一ab —bc-ac 的值为( )．A ．0B ．1C ．2D ．3(全国初中数学竞赛题)22．设a+b=1，a 2+b 2=2，求a 7+b 7的值．(西安市竞赛题)23．已知a 满足等式a 2-a-1=0，求代数式487-+a a 的值．(河北省竞赛题)24．若b a y x +=+，且2222b a y x +=+，求证：1997199719971997b a y x +=+． (北京市竞赛题)25．有l0位乒乓球选手进行单循环赛(每两人间均赛一场)，用xl ，y 1顺次表示第一号选手胜与负的场数；用x 2，y 2顺次表示第二号选手胜与负的场数；……；用x 10、y 10顺次表示十号选手胜与负的场数．求证：21022212102221y y y x x x +++=+++ ．26．（1）请观察： 222233*********,335112225,351225,525==== 写出表示一般规律的等式，并加以证明．(2)26＝52+12，53=72+22，26×53=1378，1378=372+32．任意挑选另外两个类似26、53的数，使它们能表示成两个平方数的和，把这两个数相乘，乘积仍然是两个平方数的和吗?你能说出其中的道理吗?注：有人称这样的数“不变心的数”．数学中有许多美妙的数，通过分析，可发现其中的奥秘．瑞士数学家欧拉曾对26(2)的性质作了更进一步的推广．他指出：可以表示为四个平方数之和的甲、乙两数相乘，其乘积仍然可以表示为四个平方数之和．即(a 2+b 2+c 2十d 2)(e 2+f 2+g 2+h 2)=A 2+B 2+C 2+D 2．这就是著名的欧拉恒等式．参考答案。

初一下数学辅导资料2（乘法公式）常用的乘法公式：(1)()()22a b a b a b +-=- (2)()2222a b a ab b ±=±+常用的公式变形：（1）()()222222a b a b ab a bab +=+-=-+（2）()()()()22224;4a b a b ab a b a b ab +=-+-=+-（3）22222211112;2a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+=++-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）()()()()22222222a b a b a b a b ab +-++--==（5）()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++例1、计算（1）99×101×10001 （2）()()a b c a b c -+--（3）221.2340.7662.4680.766++⨯例2、（1）已知4,2x y xy +==，试求：①22x y +②44x y +（2）已知2310x x -+=，试求：①221x x +②441x x +例3、已知222a b c ab bc ca ++=++，且2a =，求()2005a b c +-例4、一个自然数减去45后是一个完全平方数，这个自然数加上44后仍是一个完全平方数，试求这个自然数一、基础练习 1、计算（1）（2x+5y ）2（2）（31m-21n ）2 (3)(x-3)2(4)(-2t-1)2(5)(51x+101y)2 (6)(-cd+21)22、利用完全平方公式计算。

（1）962 （2）9982 （3）1012+9923、计算（1）（a-2b ）2（a+2b ）2 （2）（3xa+1）2-（ab-1）2（3）（a-2b+c ）（a+2b+c ） （4）（2x -y ）2-41(x 2-y 2)4、已知a+b=7，ab=12，求a 2+ab+b 2的值是多少？a 2+3ab+b 2的值是多少？5、计算：1022×9826、计算 ()()28x x ++ ()()()2212141x x x -++()()22x y z x y z -+-+- 31011313⨯()223m n -- 2210199+ 21692⎛⎫⎪⎝⎭()()1442a b a b +- 2221000252248-()22a b -+ 2200420032005-⨯7、（1）()()()()246421212121+++⋅⋅⋅+（2）2222111111112342006⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⋅⋅⋅- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）2222222100999897969521-+-+-+⋅⋅⋅-二、巩固练习1．()()___________1x =-+1x ()()__________1=--+-x 1x2．()______________12=-x ()()____________11=++x x3. ()()2949_________73x x -=-- ()22_________144=++x x4．__________999910199=⨯⨯ ________2003200120022=⨯- 5．()()_________22=--+b a b a ()__________222-+=+b a b a6．已知________,60,172=+==+y x xy y x 2则7．已知________________1,01232=++++=+++x x x x x x x 43则 8．多项式156422++-+y x y x 的最小值是 9．比较下面算式结果的大小（在横线上选填“<”、“>”、“=”）()()332_________33762_________76122_______12342________3422222222⨯⨯+⨯⨯+⨯-⨯+-⨯⨯+通过观察、归纳，用字母写出能反映这种规律的一般结论是 10. 已知正方形的边长为a ，如果它的边长增加4，那么它的面积增加二、选择题1．下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）()()x y y x A ++. ()()y x y x B 2332.+-()()y x y x C +--. ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-b x b x D 2121.2．下列各式的计算结果，正确的是（ ）()()84.2-=-+x x 2x A ()()131313.22-=+-y x xy xy B ()()22933.y x y x y x C -=++- ()()2.x 164x 4x D -=+--3．下列两个多项式相乘，哪些不可以用平方差公式（ ）A ．2m)3n)(3n (2m --； B.)5xz 4y 4z)(5xy (--+-； C ．c)b a)(a c (b --++； D.)38x y x 31)(xy 31(8x 223+-． 4. 如果多项式92+-mx x 是一个完全平方式，则m 的值是（ ）A 、±3B 、3C 、±6D 、65.如果多项式k x x ++82是一个完全平方式，则k 的值是（ ）A 、－4B 、4C 、－16D 、166. 如图，长方形的长为a ，宽为b ，横向阴影部分为长方形， 另一阴影部分为平行四边形，它们的宽都为c,则空白部分的面积是…. ( ) A 、ab －bc ＋ac －c 2 B 、ab －bc －ac ＋c 2 C 、ab － ac －bc D 、ab － ac －bc －c 2 三、解答题：（1）3y)3y)(2x (2x -+ （2）)x )(y y x (2332--- （3）2b)a (--（4）)5z 4y 5z)(3x 3x (4y +--+ （5）25c)4b (3a -+（6） 9(x ＋2)(x －2)－(3x －2)2 （7）()()()1122+--+x x x（8）()()()212113+---+-a a a （9）()()2222b a b a ---+（10） ))()(()()(2222y x y x y x y x y x ++---+四、解方程：()()()152x 2x 1x 2=-+-+五、已知12,3-==+ab b a ，求下列各式的值．（1）22b ab a +- （2） 2)(b a -．提高练习： 1、 计算乘积⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋯⋯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-2222200011411311211219991-1等于（ ）A ．20001999 B.20002001 40001999.C 40002001.D 2、已知20021999,20011999,20001999+=+=+=x c x b x a ，则多项式bc ac ab c b a ---++222的值（ ）A ．0 B.1 C.2 D.33、1234567901234567881234567892⨯-4、计算）12()12)(12)(12(242++++n5、22222212979899100-+⋯⋯+-+- 6、2481611111111122222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭7、2342007122222+++++⋅⋅⋅8、确定()()()()()243231313131312-+++⋅⋅⋅++的末尾数10、已知()()227,4a b a b +=-=，求22,a b ab +11、若3,1x y xy +==-，求3223242x y x y xy -+的值。

17 乘法公式只有通过数学,我们才能彻底了解科学的精髓.至有在数学中，我们才能发现科学规律的高度简洁性、严格性和抽象性.任何科学教育如果不以数学为出发点，则其基础势必有缺陷。

-------科姆特知识纵横乘法公式是在多项式乘法的基础上，将多项式乘法的一半法则应用一一些特殊形式的多项式相乘,出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用。

在学习乘法公式时，应该做到以下几点：1.熟悉每个公式的结构特征,理解掌握公式;2.根据待求式的特点,模仿套用公式;3.对公式中字母的全面理解,灵活运用公式;4.既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合,综合运用公式.例题求解例1 (1) 在2004、2005、2006、2007这四个数中，不能表示为两个整数平方差是______.（第10届江苏竞赛题）(2) 已知(2000-a)(1998-a)=1999，那么， = _________.(重庆竞赛题) 思路点拨:（1）,m+n，m-n的奇偶性相同，这是解本例题的基础。

（2）视(2000-a)•(1998-a)为整体,•由平方和想到完全平方公式及其变形例2 (1) 已知a、b、c满足，，，则a+b+c 的值等于( ).A. 2B. 3C. 4D.5(2) a、b、b不全为0, 满足a+b+c=0，，称使得恒成立的正整数n为”好数”，则不超过2007的正整数中”好数”的个数为( )A. 2B. 1004C. 20006D. 2007思路点拨:对于(1) ,由条件等式联想到完全平方式，解题的关键是整体考虑；对于(2) , 由条件出发，探求a,b,c之间的关系。

例3 观察下列算式(1) 1x3-;(2)2x4-(3)3x5-(4)__________________________;……..(1) 请你按照以上规律写出第四个算式.(2) 把这个规律用含字母的式子表示出来.(3) 你认为(2)中所写出的式子一定成立吗？并说明理由(2011年湖南省益阳市考题) 思路点拨: 从特殊情形归纳一般结论，并证明这个结论例4 已知a+b=1, 求。

数的整除（一）【知识精读】如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除.一些数的整除特征能被7整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。

如 1001 100－2＝98（能被7整除）又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100－1＝99（能11整除）又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除）【分类解析】例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。

求x,y解：x,y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y=6. ∵328＋92x ＝567，∴x=31234能被12整除，求X。

例2己知五位数x解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除，当1＋2＋3＋4＋X能被3整除时，x=2，5，84能被4整除时，X＝0，4，8当末两位X∴X＝8例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数。

解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行调整末两位数为30，41，52，63，均可，∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。

【实战模拟】1分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积）①593②1859③1287④3276⑤10101⑥10296987能被3整除，那么a=_______________2若四位数a12X能被11整除，那么X＝__________-3若五位数3435m能被25整除4当m=_________时，59610能被7整除5当n=__________时，n6能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________7能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最小四位数是_________ 88个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6________,8__________,9_________,11__________9从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，能被3整除但不是5的倍数的共______个。

七年级乘法公式七年级的同学们，咱们今天来好好聊聊乘法公式！乘法公式可是咱们数学学习中的重要“武器”，掌握好了，那做题就像开了“外挂”一样顺溜。

先来说说完全平方公式，（a+b）² = a² + 2ab + b²，（a - b）² = a² - 2ab + b²。

这两个公式看起来有点复杂，但其实就像是搭积木一样，只要把各项按照规则拼凑起来，就能得到正确的结果。

给大家举个例子啊，咱们班小明同学的妈妈开了一家水果店。

有一天，妈妈进了一批苹果，准备做一个促销活动。

假设每个苹果的进价是 a 元，小明妈妈打算每个苹果在进价的基础上增加 b 元出售。

如果卖出的苹果数量为（a + b）个，那么总销售额是多少呢？咱们就可以用完全平方公式来计算啦！总销售额 = （a + b）²元。

展开这个式子，就是 a² + 2ab + b²元。

这就意味着总销售额由进价的平方 a²元，加上两倍进价和增加价格的乘积 2ab 元，再加上增加价格的平方 b²元组成。

通过这个例子，是不是觉得完全平方公式一下子就生动起来啦？再说说平方差公式，（a + b）（a - b） = a² - b²。

这个公式就像是一个神奇的“魔法咒语”，能让一些复杂的计算变得简单。

比如说，学校组织大家去农场劳动，农场有一块长方形的土地，长为（a + b）米，宽为（a - b）米，那这块土地的面积是多少呢？这时候就可以用平方差公式来计算啦，面积 = （a + b）（a - b） = a² - b²平方米。

在实际运用中，乘法公式能帮咱们快速解决很多问题。

比如说化简式子、计算数值等等。

但要注意哦，使用乘法公式的时候可别马虎大意，要认真看清各项的符号和系数。

同学们，乘法公式虽然重要，但也别被它们吓到。

只要咱们多做练习，多思考，多联系实际生活中的例子，就一定能把它们掌握得牢牢的！相信大家在今后的学习中，都能熟练运用乘法公式，让数学学习变得更加轻松有趣！。

专题08 整式乘法运算及其拓展专题解读】整式的乘法运算是初中代数的一块重要而基础的知识，是初中代数中“式”的重要内容之一.整式的乘法运算与有理数运算的联系紧密，是对该内容学习的拓展和延续，也是今后学习分式和根式的运算、函数及其图像等知识的基础.所以说，“整式的乘法运算”在整个初中代数学习中具有非常重要的意义. 思维索引例1.计算：（1）（1－212）（1－213）（1－214）…（1－2110）；（2）3（22＋1）（24＋1）（28＋1）…（264＋1）＋1.例2.（1）已知4x ＝3y ，求代数式（x －2y ）2－（x －y ）（x ＋y ）－2y 2的值；（2）若x 满足（80－x ）（x －60）＝30，求（80－x ）2＋（x －60）2的值.素养提升1.（x 2－mx ＋1）（x －2）的积中x 的二次项系数为零，则m 的值是（ ） A .1 B .－1 C .－2 D .22.若(x ＋m )（x ＋n ）＝x 2＋ax ＋12，则a 的取值有（ ）A .4个B .5个C .6个D .7个 3.已知（x －2017）2＋（x －2019）2＝34，则（x －2018）2的值是（ ） A .4 B .8C .12D .16 4.若x －y ＝2，x 2＋y 2＝4，则x 2018＋y 2018的值为（ ）A .4B .20182C .22018D .420185.如图，用四个完全一样的长、宽分别为x 、y 的长方形纸片围成一个大正方形ABCD ，中间是空的小正方形EFGH .若AB ＝a ，EF ＝b ，判断以下关系式：①x ＋y ＝a ；②x －y ＝b ；③a 2－b 2＝2xy ；④x 2－y 2＝ab ；⑤x 2＋y 2＝222a b ，其中正确的个数有（ ） A .2个B .3个C .4个D .5个（第5题）GFE H DCBA6.若要使x （x 2＋a ＋3）＝x （x 2＋5）＋2（b ＋2）成立，则a 、b 的值分别为 .7.已知a －b ＝4，ab ＋c 2－6c ＋13＝0，则a ＋b ＋c ＝ .8.若多项式（x －1）（x ＋3）（x －4）（x －8）＋a 为一个完全平方式，则a 的值是 . 9.若m 1，m 2，…，m 2019是从0，1，2这三个数中取值的一列数，若m 1＋m 2＋…＋m 2019＝1529，(m 1－1)2＋（m 2－1）2＋…＋（m 2019－1）2＝1510，则在m 1，m 2，…m 2019中取值为0的个数为 . 10.有A 、B 、C 三种不同型号的卡片，其中A 型卡片是边长为a 的正方形，B 型卡片是长为b 的长方形，C 型卡片是边长为b 的正方形，其中a ＞b .现有A 型卡片3张，B 型卡片4张，C 型卡片5张，从其中取出若干张，每种卡片至少取一张，把取出的这些卡片拼成一个正方形（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分），所拼成的正方形的边长为 . 11.求下列代数式的值： （1）已知a （a －1）－（a 2－b ）＝2，求222a b －ab 的值；（2）已知x －1x ＝3，求x 4＋41x的值； （3）若a ＋b ＋2c ＝1，a 2＋b 2－8c 2＋6c ＝5，求ab －bc －ac 的值.12.观察下列各式：（x－1）（x＋1）＝x2－1，（x－1）（x2＋x＋1）＝x3－1，（x－1）（x3＋x2＋x＋1）＝x4－1，…………由此我们可以得到：（x－1）（x n＋x1n＋…＋x2＋x＋1）＝；请你利用上面的结论，完成下面的计算：（1）当x＝3时，（3－1）（3018＋32017＋32016＋…＋33＋32＋3＋1）＝；（2）299＋298＋297＋……＋2＋1；（3）（－2）50＋（－2）49＋（－2）48＋…＋（－2）＋1.13.拓展创新：（1）试说明：代数式（2x＋3）（6x＋2）－6x（2x＋13）＋8（7x＋2）的值与x的取值无关；（2）若x＝123456789×123456786，y＝123456788×123456787，试比较x，y的大小；（3）已知ax＋by＝8，ax2＋by2＝22，ax3＋by3＝62，ax4＋by4＝178，试求1995（x＋y）＋6xy的值.14.将一长2m 、宽2n 的长方形，如图（1）沿虚线均分成四个小长方形，然后图拼成如图（2）一个正方形.(图2)(图1)nn nnnn nn mmm m mm m m（1）用两种不同的方法求图（2）中阴影部分面积.方法一： ；方法2： ；（2）观察图（2），写出下列三个代数式：（m ＋n ）2，（m －n ）2，4mn 之间的等量关系： .（3）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题；若a ＋b ＝7，ab ＝10，求（a －b ）2的值. （4）试画一个几何图形，使它的面积能表示（m ＋n ）（m ＋3n ）＝m 2＋4mn ＋3n 2.15.先阅读再解题.题目：如果（x －1）5＝a 1x 5＋a 2x 4＋a 3x 3＋a 4x 2＋a 5x ＋a 6，求a 6的值.解这类题目时，可根据等式的性质，取x 的特殊值，如x ＝0，1，－1…代入等式两边即可求得有关代数式的值.如：当x ＝0，（0－1）5＝a 6，即a 6＝－1. 请你求出下列代数式的值. （1）a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5； （2）a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5.专题08整式乘法运算及其拓展思维索引】例1．(1)1120； (2)2128；例2．(1)0； (2)340； 素养提升】1．C ； 2．C ； 3．D ； 4．C ； 5．C ； 6．2，－2； 7．3； 8．196；9．1000；10．a ＋b 或a ＋2b ； 11．(1)2； (2)119； (3)一2； 12．11n x+-； (1)32019－1； (2)2100－1；(3) 51213+；13．(1)略； (2)x ＜y ； (3)10011；14．(1)(m －n )2；(m ＋n )2－4mn ； (2)(m －n )2＝(m ＋n )2－4mn ； (3)9； (4)略； 15．(1)1； (2)31；。

人教版初一数学培优和竞赛二合一讲炼教程（14）乘法公式【知识精读】1．乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。

公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。

公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。

2．基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。

完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2,平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2立方和（差）公式：(a±b)(a2 ab+b2)=a3±b33.公式的推广：①多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。

②二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）（a±b）5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5）…………注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律③由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4(a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6…………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数(a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2－…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n(a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2－…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：（a－b）(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…＋ab n－2+b n－1)=a n－b n　4.公式的变形及其逆运算由（a+b）2=a2+2ab+b2得 a2+b2=(a+b)2－2ab由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得 a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)由公式的推广③可知：当n为正整数时a n－b n能被a－b整除,a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2n－b2n能被a+b及a－b整除。

七年级数学-乘法公式(总6页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--七年级《数学》乘法公式【知识要点】2()a b += 2()a b -=22a b += ab =2()a b +=2()a b -+ 221x x+= 1、计算。

2(27)x y + 2(31)x -+ 2(23)x y -- 2()a b c ++2、用简便方法计算。

2202 21998 21(49)23、26x xy ++ ＝2( )，222( )8( )xy y -+=222)(23)(=++y xy 。

4、已知2216x mx -+是完全平方式，则m 的值是 。

5、已知3)(,7)(22=-=+b a b a ，则22b a += ，ab = 。

6、若m y x =+，n xy = ，则=+22y x ，=-2)(y x ，=+-22y xy x 7、如果2a 1a =+，那么221aa += 。

8、已知41=+x x ，求（1）221x x +； （2）2)1(xx -。

9、试说明不论y x ,取什么有理数，多项式32222++-+y x y x 的值总是正数。

10、已知2310a a -+=，求1a a +、221a a +和21⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 的值。

【巩固练习】1、已知2249x mxy y -+是关于,x y 的完全平方式，则m = ；2、若3,822=-=+b a b a ，则ab 的值为 。

3、若a ＋351=a ，则221a a +＝______若,41=+x x 求 441xx + = 4、已知054222=+-++b a b a ，则3422-+b a 的值为 。

5、若m 2+n 2－6n ＋4m ＋13＝0，则m 2－n 2 =_________；6、试说明对任意实数x 、y ，多项式5496222+-+-x y xy x 的值总是正数。

2020-2021年度湘教版七年级数学下册2.2乘法公式培优提升训练（附答案）1．若a+b＝10，ab＝11，则代数式a2﹣ab+b2的值是（）A．89B．﹣89C．67D．﹣672．下列各式中，能用完全平方公式计算的是（）A．（a﹣b）（﹣b﹣a）B．（﹣n2﹣m2）（m2+n2）C．D．（2x﹣3y）（2x+3y）3．如图是用4个相同的小长方形与1个小正方形密铺而成的大正方形图案，已知其中大正方形的面积为64，小正方形的面积为9．若用x，y分别表示小长方形的长与宽（其中x ＞y），则下列关系式中错误的是（）A．4xy+9＝64B．x+y＝8C．x﹣y＝3D．x2﹣y2＝94．若x2+2（m﹣1）x+16是完全平方式，则m的值为（）A．±8B．﹣3或5C．﹣3D．55．若一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，则称这个正整数为“好数”．下列正整数中能称为“好数”的是（）A．205B．250C．502D．5206．计算（1﹣a）（1+a）（1+a2）的结果是（）A．1﹣a4B．1+a4C．1﹣2a2+a4D．1+2a2+a47．已知a﹣b＝1，ab＝12，则a+b等于（）A．7B．5C．±7D．±58．已知x+y＝3，xy＝2，则|x﹣y|的值为（）A．±1B．1C．﹣1D．09．若（2x﹣y）2+M＝4x2+y2，则整式M为（）A．﹣4xy B．2xy C．﹣2xy D．4xy10．已知a+3b＝2，则a2﹣9b2+12b的值是（）A．2B．3C．4D．611．如图，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和15，则正方形A，B的面积之和为．12．如图，两个正方形的边长分别为a，b，若a+b＝10，ab＝20，则四边形ABCD的面积为．13．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，分别计算这两个图形的阴影部分的面积，验证了公式．14．已知（a+b）2＝1，（a﹣b）2＝49，则ab＝．15．一个长方形的长减少3cm，同时宽增加2cm，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等，则原长方形的长是，宽是．16．如图，点M是AB的中点，点P在MB上．分别以AP，PB为边，作正方形APCD和正方形PBEF，连接MD和ME．设AP＝a，BP＝b，且a+b＝10，ab＝20．则图中阴影部分的面积为．17．若4y2﹣my+25是一个完全平方式，则m＝．18．计算：（a+b﹣c）2＝．19．若n是正整数，且x2n＝5，则（2x3n）2÷（4x2n）＝．20．已知4x＝10，25y＝10，则（x﹣2）（y﹣2）+3（xy﹣3）的值为．21．利用乘法公式计算：（1）198×202；（2）（2y+1）（﹣2y﹣1）．22．计算：（x﹣y﹣3）（x+y﹣3）．23．已知（x+y）2＝9，（x﹣y）2＝25，分别求x2+y2和xy的值．24．若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．请仿照上面的方法求解下面问题：（1）若x满足（x﹣2004）2+（x﹣2007）2＝31，求（x﹣2004）（x﹣2007）的值；（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF作正方形MFRN和正方形GFDH，求阴影部分的面积．25．【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：（用字母表示）【应用】请应用这个公式完成下列各题①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，则2m﹣n的值为②计算：（2a+b﹣c）（2a﹣b+c）【拓展】①（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1结果的个位数字为②计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣1226．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：（1）图2所表示的数学等式为；（2）利用（1）得到的结论，解决问题：若a+b+c＝12，a2+b2+c2＝60，求ab+ac+bc的值；（3）如图3，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，D三点在同一直线上，连接AE，EG，若两正方形的边长满足a+b＝15，ab＝35，求阴影部分面积．27．乘法公式的探究及应用：（1）如图，可以求出阴影部分的面积是（写成两数平方差的形式）；（2）如图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是，长是，面积是（写成多项式乘法的形式）；（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：（用式子表达）；（4）运用你所得到的公式，计算下列式子：（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）参考答案1．解：把a+b＝10两边平方得：（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100，把ab＝11代入得：a2+b2＝78，∴原式＝78﹣11＝67，故选：C．2．解：A、原式＝b2﹣a2，本选项不合题意；B、原式＝﹣（m2+n2）2，本选项符合题意；C、原式＝q2﹣p2，本选项不合题意；D、原式＝4x2﹣9y2，本选项不合题意，故选：B．3．解：A、因为正方形图案面积从整体看是64，从组合来看，可以是（x+y）2，还可以是（4xy+4），即4xy+4＝64，故此选项正确；B、因为正方形图案的边长8，同时还可用（x+y）来表示，故此选项正确；C、中间小正方形的边长为3，同时根据长方形长宽也可表示为x﹣y，故此选项正确；D、根据A、B可知x+y＝8，x﹣y＝3，则x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝24，故此选项错误；故选：D．4．解：∵x2+2（m﹣1）x+16是完全平方式，而16＝42，∴m﹣1＝4或m﹣1＝﹣4，∴m＝5或﹣3．故选：B．5．解：根据平方差公式得：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n×2＝8n．所以两个连续奇数构造的“好数”是8的倍数205，250，502都不能被8整除，只有520能够被8整除．故选：D．6．解：（1﹣a）（1+a）（1+a2）＝（1﹣a2）（1+a2）＝1﹣a4．故选：A．7．解：∵a﹣b＝1，ab＝12，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝（a﹣b）2+4ab＝1+48＝49，∴a+b＝±7，故选：C．8．解：∵x+y＝3，xy＝2，∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝32﹣4×2＝1．∴x﹣y＝±1，∴|x﹣y|＝1．故选：B．9．解：因为（2x﹣y）2+M＝4x2+y2，（2x﹣y）2+4xy＝4x2+y2，所以M＝4xy，故选：D．10．解：因为a+3b＝2，所以a2﹣9b2+12b＝（a+3b）（a﹣3b）+12b＝2（a﹣3b）+12b ＝2a﹣6b+12b＝2a+6b＝2（a+3b）＝2×2＝4，故选：C．11．解：如图所示：设正方形A、B的边长分别为x，y，依题意得：，化简得：由①+②得：x2+y2＝18，∴，故答案为18．12．解：根据题意可得，四边形ABCD的面积＝（a2+b2）﹣﹣b（a+b）＝（a2+b2﹣ab）＝（a2+b2+2ab﹣3ab）＝[（a+b）2﹣3ab]；代入a+b＝10，ab＝20，可得：四边形ABCD的面积＝（10×10﹣20×3）÷2＝20．故答案为：20．13．解：第一个图形阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b）．则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．14．解：∵（a+b）2＝1，（a﹣b）2＝49，∴a2+2ab+b2＝1，a2﹣2ab+b2＝49，两式相减，可得4ab＝﹣48，∴ab＝﹣12．故答案为：﹣12．15．解：设这个长方形的长为xcm，宽为ycm，由题意得，，解得：．故答案为：9cm，4cm．16．解：∵AP＝a，BP＝b，点M是AB的中点，∴AM＝BM＝，∴S阴影＝S正方形APCD+S正方形BEFP﹣S△ADM﹣S△BEM＝a2+b2﹣a×﹣b×＝a2+b2﹣（a+b）2＝（a+b）2﹣2ab﹣（a+b）2＝100﹣40﹣25＝35，故答案为：35．17．解：∵4y2﹣my+25是一个完全平方式，∴（2y）2±2•2y•5+52，即﹣my＝±2•2y•5，∴m＝±20，故答案为：±20．18．解：原式＝[（a+b）﹣c]2＝（a+b）2﹣2（a+b）c+c2＝a2+2ab+b2﹣2ac﹣2bc+c2，故答案为：a2+2ab+b2﹣2ac﹣2bc+c2．19．解：∵n是正整数，且x2n＝5，∴（2x3n）2÷（4x2n）＝4x6n÷（4x2n）＝（4÷4）x6n﹣2n＝x4n＝（x2n）2＝52＝25．故答案为：25．20．解：∵∴由①得4xy＝10y，③由②得25xy＝10x，④∴③×④得4xy•25xy＝10y•10x，即（4×25）xy＝10x+y，∴（102）xy＝10x+y，∴102xy＝10x+y，∴2xy＝x+y（x﹣2）（y﹣2）+3（xy﹣3）＝xy﹣2x﹣2y+4+3xy﹣9＝4xy﹣2（x+y）﹣5＝4xy﹣2×2xy﹣5＝﹣5故答案为：﹣5．21．解：（1）原式＝（200﹣2）（200+2）＝2002﹣22＝40000﹣4＝39996；（2）原式＝﹣（2y+1）2＝﹣（4y2+2×2y×1+12）＝﹣（4y2+4y+1）＝﹣4y2﹣4y﹣1．22．解：（x﹣y﹣3）（x+y﹣3）＝（x﹣3）2﹣y2＝x2﹣6x+9﹣y2．23．解：∵（x+y）2＝9，（x﹣y）2＝25，∴两式相加，得（x+y）2+（x﹣y）2＝2x2+2y2＝34，则x2+y2＝17；两式相减，得（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy＝﹣16，则xy＝﹣4．24．解：（1）设x﹣2004＝a，x﹣2007＝b，∴a2+b2＝31，a﹣b＝3，∴﹣2（x﹣2004）（x﹣2007）＝﹣2ab＝（a﹣b）2﹣（a2+b2）＝9﹣31＝﹣22，∴（x﹣2004）（x﹣2007）＝11；（2）∵正方形ABCD的边长为x，AE＝1，CF＝3，∴FM＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3，∴（x﹣1）•（x﹣3）＝48，∴（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，∴阴影部分的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2．设（x﹣1）＝a，（x﹣3）＝b，则（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝48，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝4+192＝196，∵a＞0，b＞0，∴a+b＞0，∴a+b＝14，∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28．即阴影部分的面积是28．25．解：（1）图①按照正方形面积公式可得：a2﹣b2；图②按照长方形面积公式可得：（a+b）（a﹣b）．故答案为：a2﹣b2；（a+b）（a﹣b）．（2）令（1）中两式相等可得：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．【应用】①∵4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，4m2﹣n2＝（2m+n）（2m﹣n）∴（2m﹣n）＝12÷4＝3故答案为：3．②（2a+b﹣c）（2a﹣b+c）＝[2a+（b﹣c）][2a﹣（b﹣c）]＝4a2﹣（b﹣c）2＝4a2﹣b2+2bc﹣c2【拓展】①原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1＝（28﹣1）（28+1）…（232+1）+1＝（216﹣1）…（232+1）+1＝264﹣1+1＝264∵2的正整数次方的尾数为2，4，8，6循环，64÷4＝16故答案为：6．②原式＝（100+99）（100﹣99）+（98+97）（98﹣97）+…+（4+3）（4﹣3）+（2+1）（2﹣1）＝100+99+98+97+…+4+3+2+1＝505026．解：（1）由图可得，（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）由（1）可得：＝＝42；（3）＝＝＝＝＝95．27．解：（1）由图可得，阴影部分的面积＝a2﹣b2；故答案为：a2﹣b2；（2）由图可得，矩形的宽是a﹣b，长是a+b，面积是（a+b）（a﹣b）；故答案为：a﹣b，a+b，（a+b）（a﹣b）；（3）依据两图的阴影部分面积相等，可以得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（4）（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）＝（2m）2﹣（n﹣p）2＝4m2﹣（n2﹣2np+p2）＝4m2﹣n2+2np﹣p2．。

初中数学竞赛精品标准教程及练习15乘法公式乘法公式是初中数学中非常重要且常用的内容之一、它们能够帮助我们快速计算数值并解决问题，同时也能够提升我们的计算能力和思维能力。

在此，我将为大家介绍几个常用的乘法公式，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这些概念。

1.分配律：对于任意三个数a、b和c，我们有：a×(b+c)=a×b+a×c这个公式告诉我们，在乘法运算中，可以先将两个数相加，再将结果与第三个数相乘，得到的结果与先将第一个数与第三个数相乘，再将第二个数与第三个数相乘，最后将两个结果相加是相等的。

例如，计算2×(3+4)的结果就可以利用分配律：2×(3+4)=2×3+2×4=6+8=142.结合律：对于任意三个数a、b和c，我们有：(a×b)×c=a×(b×c)这个公式告诉我们，在乘法运算中，无论是先将前两个数相乘或是先将后两个数相乘，最后再将结果与第三个数相乘，得到的结果是相等的。

例如，计算(2×3)×4的结果就可以利用结合律：(2×3)×4=2×(3×4)=6×4=243.加法逆元：对于任意一个数a，我们有：a×(-1)=-a这个公式告诉我们，任意一个数与-1相乘，等于将该数变成其相反数。

例如，计算5×(-1)的结果就可以利用加法逆元：5×(-1)=-5这些乘法公式在解决实际问题中常常会被使用到。

例如，如果我们需要计算7×13，我们可以利用分配律将这个乘法拆分成两个更简单的乘法：7×13=7×(10+3)=7×10+7×3=70+21=91这样，我们就可以通过拆分成两个乘法，分别计算得到结果，再将结果相加得到最终答案。

练习题：1.计算：4×(7+8)÷22.计算：(6×9)÷3+(12×4)3.计算：(-3)×(-4)+(-2)×(-5)解答：1.首先计算括号内的加法：4×(7+8)÷2=4×15÷2接着计算乘法：4×15÷2=60÷2最后计算除法：60÷2=302.首先计算括号内的乘法：(6×9)÷3=54÷3接着计算除法：54÷3=18然后计算括号外的乘法：(6×9)÷3+(12×4)=18+(12×4)最后计算乘法：18+(12×4)=18+48=663.根据加法逆元的定义，可以得到：(-3)×(-4)+(-2)×(-5)=12+10然后计算加法：12+10=22通过以上的习题练习，我们可以更好地理解和掌握乘法公式的运用。

乘法公式知识点睛模块一平方差公式22a b a b a b()()平方差公式的特点：即两数和与它们差的积等于这两数的平方差。

①左边是一个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数。

②右边是乘方中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）。

注意：①公式中的a和b可以是具体的数也可以是单项式或多项式。

如：2x y x y x y(3)(3=9）；(2)(2)4a a a；2222a b a b a b。

()()()()()a b c a b c a b c；3535610②不能直接运用平方差公式的，要善于转化变形，也可能运用公式。

如：97103(1003)(1003)9991；22()()()()a b b a a b a b a b。

模块二完全平方公式222a b a ab b，()2a b a ab b；222()2即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍。

完全平方公式的特点：左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中的每一项的平方，另一项是左边二项式中二项乘积的2倍，可简单概括为口诀：“首平方，尾平方，首尾之积2倍加减在中央”。

注意：①公式中的a和b可以是单项式，也可以是多项式。

②一些本来不是二项式的式子的平方也可以利用完全平方公式来计算，22a b a b c c()2()()[()]a b c a b c22222a b c ab ac bc222a ab b ac bc c222222例题精讲【例1】计算：⑴2x x x；⑵(23)(45)(23)(54)a b a b a b b a；(3)(3)(9)【答案】⑴2224x x x x x x；(3)(3)(9)(9)(9)81⑵原式2222(49)(2516)1006422514464244225a b a b a b a a b b；a b b a2244224224【例2】计算：2432212121211【答案】原式243264212121212112【例3】2111111111124162562n【答案】原式211111211111224162n4411121222nn ．【例4】计算：2481632(31)(31)(31)(31)(31)(31)【答案】设2481632(31)(31)(31)(31)(31)(31)S，两边乘以(31)，得2481632(31)(31)(31)(31)(31)(31)(31)(31)S 22481632(31)(31)(31)(31)(31)(31)6431∴641(31)2S，即6423231(31)(31)(31)2．【例5】求123517.....(21)n 的值.【答案】观察原式的每一项，均可写成121(1,2,...2)nn n 的形式，而121，故原式1122223517.....(21)(21)(21)(21)....(21)21n n n.【例6】⑴求24816326421212121212121A的个位数字：⑵2222222212345699100的值是( )A.5050.B.5050.C.10100.D.10100.【答案】⑴26421212121A64641282121212n 各位数字的循环4个一周期，周期为：2、4、8、6，128432，所以1282个位为6，故12821个位为5．(另解：5的奇数倍个位一定是5)⑵原式(12)(12)(34)(34)(56)(56)(99100)(99100)1(3711199)319915025050，故选 B.【例7】已知200520072006a ，200620082007b，200720092008c，比较三者大小．【答案】20052007(20061)(20061)12006200620062006a，200620081200720072007b，200720091200820082008c，易得abc ．【例8】若243(2)25x a x 是完全平方式，求a 的值．【答案】222243(2)25(2)3(2)5(25)xax x a x x即2243(2)2542025xa xxx或2243(2)2542025x a x xx 故3(2)20a或3(2)20a ，解得：143a或263a【例9】已知2216mkm 是完全平方式，则______k【答案】∵2216mkm 是完全平方式，∴28kmm ，解得4k 【例10】已知正方形的面积是222520xxyny (0x，0y)，则正方形的边长是_________（用含x 、y的代数式表示）【答案】设正方形的边长为a ．则2222520axxy ny∴222520xxyny 是a 的完全平方形式，∴22222520(5)25()xxy nyx x ny ny ∴1020n ，即4n∴正方形的面积是：222225204(52)ax xy yxy ，∴52ax y故正方形边长为：52xy【例11】推导2()abc 、2()a b c d 的公式，比较2()a b 、2()ab c 、2()ab c d 的公式，并探索规律.【答案】222()2ab a b ab 2222()222a b c ab c ab bc ca 222()()2()()()a bcd ab a bcd cd 2222222222abcdab acadbcbd cd观察上述三个公式，可发现如下规律：一、项数：设字母（或者说元）的个数为n ，则公式的展开式的项数为(1)12..2n n n；二、次数：每个公式的展开式中的每一项的次数均为2；三、系数：每个公式中每个字母的二次项的系数为1，其余均为 2. 根据上述规律，可写出任意个字母的完全平方公式.【例12】利用例题得出的规律推导2()a b c d 、2()a b c d 、2()a b c d e 的展开式.【答案】令22222()222222abcd abcdab ac adbc bdcd 中d d ，也就是以d 替换d 可得，22222()222222a b c d a b c d ab ac ad bc bd cd 同理可知，22222()222222abcd ab c d abacadbcbdcd根据例题中归纳出来的规律，2()abc de 的展开式共有15项，所有字母的二次项的系数均为1，其他项的系数均为2，每一项的次数均为2，由上述特点可知222222()2222222222ab c d e ab cdeabacadaebcbdbecdcede【例13】2()________________________________________a b c d e .【答案】222222222222222abcdeab ac ad ae bc bd be cd ce de .【例14】已知三个数a b c ，，满足方程222214229221bac c ab abc，求abc .【答案】三式相加，得22222264abcab bc ca ，所以264a b c，8ab c .【例15】计算：⑴222()()()________________________________________a b b c a c ⑵222()()()________________________________________a b b c a c ⑶222()()()________________________________________ab bc a c 【答案】⑴222222222ab c ab bc ac ；⑵222222222a bcab bc ac ；⑶222222222ab c abbc ac ；【例16】已知12020ax，11920bx ，12120c x ，求代数式222abcab bc ca 的值.【答案】由12020ax，11920bx ，12120cx，可知，1ab，2b c，1ca 故22222211()()()6322a bc ab bccaab bc c a 【例17】已知35ab b c，2221abc，求abbcca 的值.【答案】由35ab b c可知，65ac ，故2222221()()()()2abbc ca ab c a b bc c a 1993621()225252525.【例18】如果a ，b ，c 是ABC △三边的长，且22()ab abc ab c ，那么ABC △是( )A.等边三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.形状不确定【答案】已知关系式可化为2220abcabbcac，即2221(222222)02abcab bc ac ，所以2221[()()()]02a b b c a c ，故a b ，b c ，c a .即a b c ．选A ．【例19】x ，y ，z 为有理数且2222()()()(2)yz zx x y y z x 22(2)(2)x z y x y z ，求222(1)(1)(1)(1)(1)(1)yz zx xy xyz 的值．【答案】先将已知等式222()()()yz xy z x 222(2)(2)(2)y z x x z y x y z 的等号两边分别展开，得：左边222222222x y z xy yz xz ；右边222666666xyzxyyz xz 对等号两边合并同类项，得2222222220xyzxy yz xz 即222()()()0.x y x z y z 因为x ，y ，z 均为实数所以xy z ，故222(1)(1)(1)(1)(1)(1)yz zx xy xyz222222(1)(1)(1)1(1)(1)(1)x y z xyz.【例20】如果自然数a 是一个完全平方数，那么与a 之差最小且比a 大的一个完全平方数是（）A.1a B.21aC.221aa D.21aa 【答案】∵自然数a 是一个完全平方数，∴a 的算术平方根是a ，∴比a 的算术平方根大1的数是1a ，∴这个平方数为：2(1)21a a a．故选D ．【例21】设x 为正整数，若1x 是完全平方数，则它前面的一个完全平方数是（）A.xB.21xxC.211xx D.212xx 【答案】设21yx ，则1yx ，那么它前面的一个完全平方数是：22(1)211211212y yy x x xx ，故选D ．【例22】⑴先化简后求值：2()()()2xy xy x y x ，其中3x， 1.5y.⑵计算：(22)(22)xyyx.【答案】⑴222222()()()2(2)2(22)2xy x y x y xxxy yxy x xxy x x y又3x， 1.5y ，故原式3 1.5 1.5xy.法2：2()()()2()22 1.5x y x y x y xx y xxxy ⑵原式222[2(2)][2(2)]4(2)444x y x y x y xxyy【例23】已知2()2210xy xy ，则999()x y ___________.【答案】解法一：由已知条件可知，2221222(1)0xyxyy x xy ，故1xy ，999()1x y .解法二：由已知条件可知，22()2()1(1)0x y x y xy ，故1x y，999()1xy .课后作业【习题1】记248(12)(12)(12)(12)(12)nx ，且12812x ，则______n 【答案】248(12)(12)(12)(12)(12)nx248(21)(12)(12)(12)(12)(12)n2(21)(21)21nnn∴2212112nnx ∴2128n ，∴64n【习题2】224488()()()()()________x y x y xy xy xy 【答案】1616xy【习题3】计算：23221111(1)(1)(1)(1)23410【答案】原式11111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)223344101013243491111111223345101021020【习题4】若式子294x M是完全平方式，请你写出所有满足条件的单项式M．【答案】若把M 视为2ab 这一项，22294(3)2xMx M ，此时M 可以为12x ；若把29x 视为2ab 这一项，2229942224xM Mx ，此时M 可以为48116x ；若把4视为2ab 这一项，22294(3)233xM x M xx，此时M 可以为249x，M 还可以是29x 、4．【习题5】计算：⑴2222111111(__________________)9164643abcabbcca ；⑵22224164816(____________4)mn p mn np pm p ；【答案】⑴13a ，14b ，12c ；⑵2m ，n .【习题6】计算：⑴22111111()()()()333939aa aaaa⑵22(3)(93)b a a abb ⑶222(2)4(2)a b a ab b ⑷4224(2)(2)(816)ab a b a a b b 【答案】⑴22336111111111()()()()()()3339392727729aaaaaaaa a；⑵22223333(3)(93)(3)(39)(3)27b a a abb ba b aba ba ba ；⑶2222222(2)4(2)(2)(42)a b a ab b a b a abb 3326336(8)6416ab aa bb ；⑷4224223642246(2)(2)(816)(4)124864ab a b aa b b ab aa b a bb .【习题7】已知10x y，33100x y，求22x y 的值．【答案】由333()3()xyxy xy x y ，得1000310100xy ，即30xy．所以222()240xyxy xy．。

初中数学培优竞赛讲座第18讲__乘法公式乘法公式是初中数学中非常重要的一个概念，它在解决很多数学问题中起着关键的作用。

本次讲座将详细介绍乘法公式的概念、应用以及相关的解题技巧。

一、乘法公式的概念在初中数学中，我们通常将两个数的乘积称为乘法。

而乘法公式则是指对特定形式的乘法运算提出的一种常用的计算方法。

常见的乘法公式有两个，即分配率和乘方公式。

1.1分配率分配率是指对于两个数a、b和一个数c来说，a与(b+c)的乘积等于a与b的乘积加上a与c的乘积。

数学表达式为：a×(b+c)=a×b+a×c。

分配率的应用非常广泛，常见的运用场景有列式展开、计算面积和周长等。

在列式展开中，我们可以根据分配率将一个较为复杂的数学表达式，通过拆分成多个简单的乘法运算来计算。

例如，(2x+3)×4x=2x×4x+3×4x=8x²+12x。

1.2乘方公式乘方公式也是乘法公式的一种，它是指一个数a的n次方等于a连乘n次的乘积。

数学表达式为：a^n=a×a×…×a(共n个a)。

乘方公式的应用也非常广泛，尤其在解决求幂问题时经常使用。

通过运用乘方公式，我们可以将复杂的指数运算转化成简单的乘法运算。

例如，2的3次方等于2×2×2=8二、乘法公式的应用乘法公式在实际应用中有着广泛的应用。

下面我们将介绍一些常见的乘法公式应用场景。

2.1代数式展开在代数式展开中，我们经常需要将一个括号内含有多个项的式子，根据分配率拆分成多个简单的乘法运算。

通过这种方式，我们可以更方便地计算其值。

例如，(2x+3)×(4x+5)=2x×4x+2x×5+3×4x+3×5=8x²+10x+12x+15=8x²+22x+152.2计算面积和周长在计算面积和周长时，我们通常需要根据给定的条件，运用分配率进行计算。

第七讲乘法公式一、知识要点1、乘法公式平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2立方和公式：(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3立方差公式：(a-b)( a2+ab+b2)=a3-b32、乘法公式的推广（1）(a+b)(a-b)=a2-b2的推广由(a+b)(a-b)=a2-b2, (a-b)( a2+ab+b2)=a3-b3，猜想：(a-b)( )=a4-b4(a-b)( )=a5-b5(a-b)( a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n)=a n-b n特别地，当a=1,b=q时，(1-q)( )=1-q n从而导出等比数列的求和公式。

（2）多项式的平方由(a±b)2=a2±2ab+b2，推出(a+b+c)2=(a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca) , (a+b+c+d)2=( ) 猜想：(a1+a2+…+a n)=( )。

当其中出现负号时如何处理？（3）二项式(a+b)n的展开式①一个二项式的n次方展开有n+1项；②字母a按降幂排列，字母b按升幂排列，每项的次数都是n；③各项系数的变化规律由杨辉三角形给出。

二、乘法公式的应用例1、运用公式计算(1) (3a+4b)(3a-4b) (2) (3a+4b)2例2、运用公式，将下列各式写成因式的积的形式。

（1）(2x-y)2-(2x+y)2(2)0.01a2-49b2(3)25(a-2b) -64(b+2a)例3、填空(1) x2+y2-2xy=( )2(2) x4-2x2y2+y4=( )2(3) 49m2+14m+1=( )2(4) 64a2-16a(x+y)+(x+y)2(5) 若m2n2+A+4=(mn+2)2,则A= ;(6) 已知ax2-6x+1=(ax+b)2，则a= ,b= ;(7) 已知x2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m= .例4、计算(1) 200002-19999⨯20001 (2) 372+26⨯37+132(3) 31.52-3⨯31.5+1.52-100。

（14）乘法公式【知识精读】1．乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。

公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。

公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。

2．基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。

完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2,平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2立方和（差）公式：(a±b)(a2 ab+b2)=a3±b33.公式的推广：①多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。

②二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）（a±b）5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5）…………注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律③由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4(a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6…………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数(a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2－…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n(a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2－…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：（a－b）(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…＋ab n－2+b n－1)=a n－b n4.公式的变形及其逆运算由（a+b）2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2－2ab由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)由公式的推广③可知：当n为正整数时a n－b n能被a－b整除,a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2n－b2n能被a+b及a－b整除。

1专题1.7 乘法公式（知识讲解）【学习目标】1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.【要点梳理】要点一、平方差公式平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如（3）指数变化：如（4）符号变化：如（5）增项变化：如（6）增因式变化：如要点二、完全平方公式完全平方公式：两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.22()()a b a b a b +-=-b a ,()()a b b a +-+(35)(35)x y x y +-3232()()m n m n +-()()a b a b ---()()m n p m n p ++-+2244()()()()a b a b a b a b -+++()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=-2要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：要点三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.要点四、补充公式；； ；.【典型例题】类型一、平方差公式的应用1、下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能?能用平方差公式计算的，写出计算结果．(1)； (2) ；(3) ； (4) ；(5) ； (6) ．【思路点拨】两个多项式因式中，如果一项相同，另一项互为相反数就可以用平方差公式.【答案与解析】解：(2)、(3)、(4)、(5)可以用平方差公式计算，(1)、(6)不能用平方差公式计算．(2) ＝－＝． (3) ＝ － ＝． (4) ＝－ ＝． ()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+()()224a b a b ab +=-+2()()()x p x q x p q x pq ++=+++2233()()a b a ab b a b ±+=±33223()33a b a a b ab b ±=±+±2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++()()2332a b b a --()()2323a b a b -++()()2323a b a b ---+()()2323a b a b +-()()2323a b a b ---()()2323a b a b +--()()2323a b a b -++()23b ()22a 2294b a -()()2323a b a b ---+()22a -()23b 2249a b -()()2323a b a b +-()22a ()23b 2249a b -3(5) ＝－＝． 【总结升华】利用平方差公式进行乘法运算，一定要注意找准相同项和相反项（系数为相反数的同类项）．举一反三：【变式】计算：（1）； （2）； （3）．【答案】解：（1）原式． （2）原式．（3）原式． 2、计算：(1)59.9×60.1； (2)102×98．【答案与解析】解：(1)59.9×60.1＝(60－0.1)×(60＋0.1)＝＝3600－0.01＝3599.99(2)102×98＝(100＋2)(100－2)＝＝10000－4＝9996．【总结升华】用构造平方差公式计算的方法是快速计算有些有理数乘法的好方法，构造时可利用两数的平均数，通过两式(两数)的平均值，可以把原式写成两数和差之积的形式．这样可顺利地利用平方差公式来计算．举一反三：【变式】 怎样简便就怎样计算：（1）1232﹣124×122 （2）（2a+b ）（4a 2+b 2）（2a ﹣b ）【答案】解：（1）1232﹣124×122()()2323a b a b ---()23b -()22a 2294b a -332222x x y y ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭(2)(2)x x -+--(32)(23)x y y x ---2222392244x x y y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222(2)4x x =--=-22(32)(23)(32)(32)94x y y x x y x y x y =-+-=+-=-22600.1-221002-4=1232﹣（123+1）（123﹣1）=1232﹣（1232﹣1）=1232﹣1232+1=1；（2）（2a+b ）（4a 2+b 2）（2a ﹣b ）=（2a+b ）（2a ﹣b ）（4a 2+b 2）=（4a 2﹣b 2）（4a 2+b 2）=（4a 2）2﹣（b 2）2=16a 4﹣b 4．类型二、完全平方公式的应用3、计算：(1)； (2)； (3)； (4)．【思路点拨】此题都可以用完全平方公式计算，区别在于是选“和”还是“差”的完全平方公式.【答案与解析】解：(1) ． (2) ． (3) ． (4) ． 【总结升华】(1)在运用完全平方公式时要注意运用以下规律：当所给的二项式符号相同时，结果中三项的符号都为正，当所给的二项式符号相反时，结果中两平方项为正，乘积项的符号为负．(2)注意之间的转化．4、 图a 是由4个长为m ，宽为n 的长方形拼成的，图b 是由这四个长方形拼成的正方形，中间的空隙，恰好是一个小正方形．（1）用m 、n 表示图b 中小正方形的边长为 ．（2）用两种不同方法表示出图b 中阴影部分的面积； ()23a b +()232a -+()22x y -()223x y --()()22222332396a b a a b b a ab b +=+⨯⋅+=++()()()222223223222334129a a a a a a -+=-=-⨯⨯+=-+()()22222222244x y x x y y x xy y -=-⋅⋅+=-+()()()()2222222323222334129x y x y x x y y x xy y --=+=+⨯⨯+=++()()22a b a b --=+5（3）观察图b ，利用（2）中的结论，写出下列三个代数式之间的等量关系，代数式（m+n ）2，（m ﹣n ）2，mn ；（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知a+b=7，ab=5，求（a ﹣b ）2的值．【答案与解析】解：（1）图b 中小正方形的边长为m ﹣n ．故答案为m ﹣n ；（2）方法①：（m ﹣n ）（m ﹣n ）=（m ﹣n ）2；方法②：（m+n ）2﹣4mn ；（3）因为图中阴影部分的面积不变，所以（m ﹣n ）2=（m+n ）2﹣4mn ；（4）由（3）得：（a ﹣b ）2=（a+b ）2﹣4ab ，∵a+b=7，ab=5，∵（a ﹣b ）2=72﹣4×5=49﹣20=29．【总结升华】本题考查了完全平方公式的应用，列代数式，可以根据题中的已知数量利用代数式表示其他相关的量．5、 已知x+y=3，（x+3）（y+3）=20．（1）求xy 的值；（2）求x 2+y 2+4xy 的值．【思路点拨】（1）先根据多项式乘以多项式法则展开，再把x +y=3代入，即可求出答案；（2）先根据完全平方公式变形，再代入求出即可．【答案与解析】解：（1）∵x +y=3，（x +3）（y +3）=xy +3（x +y）+9=20，6 ∴xy +3×3+9=20，∴xy=2；（2）∵x +y=3，xy=2，∴x 2+y 2+4xy=（x +y ）2+2xy=32+2×2=13．【总结升华】本题考查了多项式乘以多项式的应用，能熟记多项式乘以多项式法则和乘法公式是解此题的关键．举一反三：【变式】已知，，求和的值．【答案】解：由，得； ①由，得． ②①＋②得，∴ ．①－②得，∴ ．2()7a b +=2()4a b -=22a b +ab 2()7a b +=2227a ab b ++=2()4a b -=2224a ab b -+=222()11a b +=22112a b +=43ab =34ab =。