数学建模综合评价方法(定)

综合评价决策模型方法_数学建模决策模型方法是一个重要的工具，用于解决复杂的决策问题。

综合评价决策模型方法是一个基于多个指标或因素对决策方案进行评价的方法。

该方法在数学建模中常用于分析多个决策方案的优劣，帮助决策者做出最优决策。

首先，层次分析法是一种定性与定量相结合的分析方法，用来解决多个指标之间的相对重要性问题。

它通过建立层次结构，将问题分解为若干个层次，并对各层次进行权值的确定，从而得到最终的评价结果。

层次分析法主要包括建立层次结构模型、构造判断矩阵、计算权重和一致性检验等步骤。

其优点是结构明确、能够定量地评价各指标之间的重要性，但也存在权重确定的主观性较强的问题。

其次，灰色关联度法是一种基于灰色理论的模型，用于评价多个指标之间的关联程度。

它通过建立灰色关联度模型，将多个指标的值转化为灰色数列，进行关联度计算，从而得到各指标的权重。

灰色关联度法主要包括灰色关联度计算和权重确定两个步骤。

其优点是能够考虑指标之间的关联关系，但也存在对指标值的灵敏度较高的问题。

再次，熵权法是一种基于信息熵的权重确定方法，用于评价多个指标的重要性。

它通过计算各指标的熵值和权重，得到最终的评价结果。

熵权法主要包括计算指标熵值、计算指标熵权和综合计算这三个步骤。

其优点是能够客观地确定指标的权重，但也存在对指标值范围要求较高的问题。

最后，矩阵法是一种定量化的综合评价方法，用于评价多个决策方案的优劣。

它通过构造评价指标矩阵，对各决策方案的各指标进行评分，并计算出加权总分，从而对决策方案进行排序。

矩阵法主要包括构造评价指标矩阵、对矩阵进行归一化和计算加权总分这三个步骤。

其优点是方法简单、易于理解和使用，但也存在在权重确定上存在一定主观性的问题。

总的来说，综合评价决策模型方法在数学建模中起着重要的作用。

不同的方法有不同的优缺点，适用于不同的决策问题。

决策者在选择合适的方法时，需要根据实际情况和需求综合考虑。

数学建模中的模型评价数学建模是一种以数学方法和技巧解决实际问题的过程。

在实际应用中，我们往往需要选取和评价不同的模型，以确定最适合解决问题的模型。

本文将介绍数学建模中常用的模型评价方法，并分析其优缺点。

一、模型评价方法在数学建模中，常用的模型评价方法有以下几种：1. 残差分析法残差分析法是通过对模型的预测值与实际观测值之间的偏差进行统计分析，以评估模型的拟合程度。

残差是指模型的预测值与实际观测值之间的差值，利用残差可以判断模型是否存在系统误差或者随机误差。

2. 相对误差法相对误差法是通过计算模型预测值与实际观测值之间的相对误差，来评估模型的准确性。

相对误差是指模型预测值与实际观测值之间的差值与实际观测值的比值。

相对误差越小，说明模型的预测能力越强。

3. 决定系数法决定系数是通过计算模型预测值和实际观测值之间的相关性来评估模型的拟合优度。

决定系数的取值范围在0到1之间，越接近1表示模型的拟合效果越好。

4. 参数估计法参数估计法是利用统计学方法对模型中的参数进行估计，以评估模型的可靠性。

参数估计法主要通过最小二乘法来求解最佳参数值，使得模型的拟合误差最小化。

二、模型评价的优缺点每种模型评价方法都有其独特的优缺点，我们需要根据具体问题和模型的特点来选择合适的方法。

残差分析法的优点是可以直观地观察模型预测值和实际观测值之间的差异，可以发现模型中存在的问题，便于模型的改进。

然而，残差分析法也存在一些局限性，比如无法判断模型中存在的误差类型以及无法量化模型的拟合程度。

相对误差法的优点是可以量化模型的准确性，通过计算相对误差可以对比不同模型的预测能力。

然而，相对误差法没有考虑到误差的方向，只是简单地计算模型预测值与实际观测值之间的比值，可能忽略了误差值的正负。

决定系数法是一种常用的模型评价方法，可以直接判断模型的拟合优度，其计算简单直观。

然而，决定系数只考虑了模型预测值与实际观测值之间的相关性，没有考虑到其他可能的误差来源。

数模国赛，即全国大学生数学建模竞赛，是中国工业与应用数学学会主办的面向全国大学生的群众性科技活动。

该竞赛旨在激励学生学习数学的积极性，提高学生建立数学模型和运用计算机技术解决实际问题的综合能力，鼓励广大学生踊跃参加课外科技活动，开拓知识面，培养创造精神及合作意识，推动大学数学教学体系、教学内容和方法的改革。

评判标准方面，数模国赛主要围绕以下几个方面进行评判：1假设的合理性：假设是模型的基础，没有好的假设，就不可能建立好的模型。

在论文中的假设必须是必要假设，不能罗列大量无关紧要的假设。

假设的合理性是评判论文质量的重要标准之一。

评判者会检查参赛者是否根据实际情况和题目要求，提出了合理且必要的假设，以及这些假设是否能够有效地支持模型的建立和求解。

2模型的创造性：模型的创造性指的是独树一帜、标新立异，但模型的建立必须合理。

创新的模型一旦失去合理性，就失去了建立的必要性。

此外，参赛者也可以基于现有的模型加以改进或结合其它模型，从而达到解决问题的目的。

模型的创造性是评判论文质量的核心标准之一。

评判者会关注参赛者是否能够运用创新思维，提出具有独特性和创新性的模型，以及这些模型是否能够有效地解决实际问题。

3结果的正确性：一旦建立模型得到的结果与真实结果相差很大，那么建立的模型就失去了意义，因此结果一定要正确。

结果的正确性是评判论文质量的关键标准之一。

评判者会检查参赛者是否使用了正确的求解方法，并得到了与实际情况相符的结果。

此外，参赛者还需要对结果进行必要的检验和分析，以确保其正确性和可靠性。

4表述的清晰性：表述的清晰性也是评判论文质量的重要标准之一。

评判者会关注参赛者是否使用了恰当的语言和术语，以及论文结构是否清晰、逻辑是否严密。

此外，参赛者还需要注意避免使用过于复杂的数学公式和符号，以免让读者难以理解。

除了以上四个方面的评判标准外，数模国赛还会关注参赛者的综合素质和团队合作能力。

例如，评判者会考察参赛者是否具备扎实的数学基础、较强的计算能力和创新能力；同时还会关注参赛者在团队中是否能够发挥各自的优势，协同合作完成任务。

数学建模综合评价与决策方法讲义一、综合评价方法1. 层次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP）-建立层次结构模型，将问题分解为若干层次的子目标。

-设定评价指标，确定各级指标的权重。

-进行判断矩阵的构建和归一化处理，计算各指标的相对重要性。

-计算得到各评价对象的综合得分。

2.评价函数法-建立指标体系，确定评价指标及其权重。

-设定评价函数，将指标的具体取值代入评价函数中计算得分。

-对各个评价对象进行综合评价，得到最终得分。

3.灰色关联分析法-将评价对象的指标数据进行标准化处理。

-计算各指标与评价对象的关联度，并对其进行等级排序。

-综合各指标的关联度得到评价对象的综合得分。

4.主成分分析法-将指标变量进行标准化处理。

-计算相关系数矩阵，并求取其特征值和特征向量。

-选择主成分，计算得到各指标的主成分系数。

-根据主成分系数计算各评价对象的得分。

二、决策方法1.线性规划-建立数学模型，确定决策变量和目标函数。

-设定约束条件，包括线性约束和非负约束等。

-进行优化求解，得到最优解。

2.整数规划-在线性规划的基础上，限制决策变量为整数。

-利用启发式算法（如分支定界法、遗传算法等）求解整数规划问题。

3.动态规划-将问题划分为若干个阶段，设计状态变量和状态转移方程。

-确定决策变量和目标函数。

-利用递归的方式，从最后一个阶段开始向前推导，得到最优解。

4.决策树-建立决策树模型，将问题划分为若干个决策节点和叶节点。

-根据数据集的属性值进行分割，选择最优的分割属性。

-递归地构建决策子树，对新样本进行分类。

5.模拟退火算法-建立数学模型，确定决策变量和目标函数。

-设定初始解和目标函数的初始值。

-迭代过程中，通过接受非优解的概率来避免陷入局部最优解，以找到全局最优解。

以上是数学建模中常用的综合评价和决策方法，在实际问题中可以根据具体情况选择合适的方法进行分析和求解。

数学建模的综合评价和决策方法能够帮助我们在不确定和复杂的问题中做出合理的决策，并找到最优解。

数学建模评价方法依据评价目的，确定诸评价指标在对某事物评价中的相对重要性，或各指标的权重; 合理确定各单个指标的评价等级及其界限;依据评价目的，数据特征，选择适当的综合评价方法，并依据已掌握的历史资料，建立综合评价模型;2建模评价方法一现有的统计方法：主要为多元统计方法，如多元回归、逐步回归分析、判别分析、因子分析、时间序列分析。

模糊多元分析方法：由模糊数学发展而来，包括模糊聚类、模糊判别、模糊综合评价等方法。

简易方法：主要包括综合评分法、综合指数法、层次分析法、Topsis法、秩和比法等。

特点：①简单有用;②适用于各种资料;③存在一定的局限性。

确定多指标综合评价的等级数量界限，在对同类事物综合评价的应用施行中，对选用的评价模型进行视察，并不断修改补充，使之具有一定的科学性、有用性与先进性，然后推广应用。

3建模评价方法二建模方法"初等数学法。

主要用于一些静态、线性、确定性的模型。

例如，席位分配问题，同学成绩的比较，一些简单的传染病静态模型。

数据分析法。

从大量的观测数据中，利用统计方法建立数学模型，常见的有：回归分析法，时序分析法。

仿真和其他方法。

主要有计算机模拟(是一种统计估计方法，等效于抽样试验，可以离散系统模拟和连续系统模拟)，因子试验法(主要是在系统上做局部试验，依据试验结果进行不断分析修改，求得所必须模型结构)，人工现实法(基于对系统的了解和所要达到的目标，人为地组成一个系统)。

层次分析法。

主要用于有关经济计划和〔管理〕、能源决策和分配、行为科学、军事科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗、环境等领域，以便进行决策、评价、分析、猜测等。

该方法关键的一步是建立层次结构模型。

4建模评价方法三基本方法为：在建模的假设的基础上，进一步分析建模假设的条款，首先区分那些是常量，哪些是变量，哪些已知、未知，然后查出各种量所处的位置、作用和它们之间的关系 ,选择恰当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征，构造出刻划实际问题的数学模型。

数学建模评价类问题如何确定评价系统的指标权重？之前小编发过一篇系统介绍综合评价类问题的文章【数学建模之综合评价问题】，文中总结了综合评价模型一般步骤：1. 明确评价目的；2. 确定被评价对象；3. 建立评价指标体系（包括评价指标的原始值、评价指标的若干预处理等）；4. 确定与各项评价指标相对应的权重系数；5. 选择或构造综合评价模型；6. 计算各系统的综合评价值,并给出综合评价结果。

今天，小编继续和大家聊聊——如何确定评价系统的指标权重？0、前言对于多指标的评价系统，各指标之间的相对重要性是互不相同的，单纯将所有指标的重要性假设为无差别并不是一种可取的方法。

指标间相对重要性的量化过程也就是不同指标的权重确定过程，不同的权重确定方法必然导致不同的评价结果。

而指标权重的确定不仅在综合评价系统中应用广泛，同时在多目标决策中也有很多应用（当然，综合评价问题也可视为多目标决策问题），在进行数学规划时，实际问题中往往存在多个目标，而且很难证，可行域内存在某一个解使得所有目标函数都取得最优值。

在这种情况下，就需要对多个目标进行综合加权，将多目标问题转化为单目标问题再进行求解。

1、权重确定方法分类现有的指标权重方法主要可以分为两类，一类是相对主观的方法，专家通过经验确定不同指标之间的相对重要程度，通过多个专家的打分，取其平均值作为权重。

这类方法中，非常具有代表性的就是层次分析法。

另一类相对客观的权重确定方法是根据不同评价对象在该指标上得分的离散程度来确定权重。

评价系统的最终目的是将所有的评价对象区分开，如果某一个指标的数据离散程度越大，其对评价对象的区分度也就越好，所以其权重也应该较大一些。

在这类方法中，应用比较广泛的有变异系数法和熵值法。

2、主观赋权法——层次分析法本文中，我们以层次分析法为例来看一看主观赋权法。

在确定指标之间的权重时，如果指标数量较多，我们很难直接凭经验给出一组权重。

比如通过语文、数学和英语3门功课来评价一个学生的文化课水平，我们无法给出一个3维向量，可以同时衡量不同功课间的相对重要程度。

所谓指标就是用来评价系统的参量．例如，在校学生规模、教学质量、师资结构、科研水平等，就可以作为评价高等院校综合水平的主要指标．一般说来，任何—个指标都反映和刻画事物的—个侧面．从指标值的特征看，指标可以分为定性指标和定量指标．定性指标是用定性的语言作为指标描述值，定量指标是用具体数据作为指标值．例如，旅游景区质量等级有5A 、4A 、3A 、2A 和1A 之分，则旅游景区质量等级是定性指标；而景区年旅客接待量、门票收入等就是定量指标．从指标值的变化对评价目的的影响来看，可以将指标分为以下四类： (1)极大型指标(又称为效益型指标)是指标值越大越好的指标； (2)极小型指标(又称为成本型指标)是指标值越小越好的指标；(3)居中型指标是指标值既不是越大越好，也不是越小越好，而是适中为最好的指标； (4) 区间型指标是指标值取在某个区间内为最好的指标．例如，在评价企业的经济效益时，利润作为指标，其值越大，经济效益就越好，这就是效益型指标；而管理费用作为指标，其值越小，经济效益就越好，所以管理费用是成本型指标．再如建筑工程招标中，投标报价既不能太高又不能太低，其值的变化范围一般是(10%,5%)-+×标的价，超过此范围的都将被淘汰，因此投标报价为区间型指标．投标工期既不能太长又不能太短，就是居中型指标．在实际中，不论按什么方式对指标进行分类，不同类型的指标可以通过相应的数学方法进行相互转换8.2.4 评价指标的预处理方法一般情况下，在综合评价指标中，各指标值可能属于不同类型、不同单位或不同数量级，从而使得各指标之间存在着不可公度性，给综合评价带来了诸多不便．为了尽可能地反映实际情况，消除由于各项指标间的这些差别带来的影响，避免出现不合理的评价结果，就需要对评价指标进行一定的预处理，包括对指标的一致化处理和无量纲化处理．1．指标的一致化处理所谓一致化处理就是将评价指标的类型进行统一．一般来说，在评价指标体系中，可能会同时存在极大型指标、极小型指标、居中型指标和区间型指标，它们都具有不同的特点．如产量、利润、成绩等极大型指标是希望取值越大越好；而成本、费用、缺陷等极小型指标则是希望取值越小越好；对于室内温度、空气湿度等居中型指标是既不期望取值太大，也不期望取值太小，而是居中为好．若指标体系中存在不同类型的指标，必须在综合评价之前将评价指标的类型做一致化处理．例如，将各类指标都转化为极大型指标，或极小型指标．一般的做法是将非极大型指标转化为极大型指标．但是，在不同的指标权重确定方法和评价模型中，指标一致化处理也有差异．(1) 极小型指标化为极大型指标对极小型指标j x ，将其转化为极大型指标时，只需对指标j x 取倒数：1j jx x '=， 或做平移变换：j j j x M x '=-，其中1 max{}j ij i nM x ≤≤=，即n 个评价对象第j 项指标值ij x 最大者．(2) 居中型指标化为极大型指标对居中型指标j x ，令1 max{}j ij i nM x ≤≤=，1 min{}j ij i nm x ≤≤=，取2(),;2 2(),.2j j j j j j j j j j j j j j j j j x m M m m x M m x M x M m x M M m -+⎧≤≤⎪-⎪'=⎨-+⎪≤≤⎪-⎩就可以将j x 转化为极大型指标．(3) 区间型指标化为极大型指标对区间型指标j x ，j x 是取值介于区间[,]j j a b 内时为最好，指标值离该区间越远就越差．令1 max{}j ij i nM x ≤≤=，1 min{}j ij i nm x ≤≤=， max{,},j j j j j c a m M b =--取1,;1, ; 1,.j jj j j j j j j j jj j j a x x a c x a x b x bx b c -⎧-<⎪⎪⎪'=≤≤⎨⎪-⎪->⎪⎩就可以将区间型指标j x 转化为极大型指标．类似地，通过适当的数学变换，也可以将极大型指标、居中型指标转化为极小型指标．2．指标的无量纲化处理所谓无量纲化，也称为指标的规范化，是通过数学变换来消除原始指标的单位及其数值数量级影响的过程．因此，就有指标的实际值和评价值之分．—般地，将指标无量纲化处理以后的值称为指标评价值．无量纲化过程就是将指标实际值转化为指标评价值的过程．对于n 个评价对象12,,,n S S S ，每个评价对象有m 个指标，其观测值分别为 (1,2,,;1,2,,)ij x i n j m ==．(1) 标准样本变换法 令* (1,1).ij jij jx x x i n j m s -=≤≤≤≤其中样本均值11n j ij i x x n ==∑，样本均方差j s =*ij x 称为标准观测值．特点：样本均值为0，方差为1；区间不确定，处理后各指标的最大值、最小值不相同；对于指标值恒定(0j s =)的情况不适用；对于要求指标评价值*0ij x >的评价方法(如熵值法、几何加权平均法等)不适用．(2) 线性比例变换法 对于极大型指标，令*11 (max 0, 1, 1).max ij ij ij i niji n x x x i n j m x ≤≤≤≤=≠≤≤≤≤对极小型指标，令*1min (1,1).iji nijijx x i n j m x ≤≤=≤≤≤≤或*111 (max 0, 1, 1).max ij ij ij i niji nx x x i n j m x ≤≤≤≤=-≠≤≤≤≤该方法的优点是这些变换方式是线性的，且变化前后的属性值成比例．但对任一指标来说，变换后的*1ij x =和*0ij x =不一定同时出现．特点：当0ij x ≥时，*[0,1]ij x ∈；计算简便，并保留了相对排序关系．(3) 向量归一化法 对于极大型指标，令*,1).ij x x i n j m =≤≤≤≤对于极小型指标，令*1 (1,1).ij x x i n j m =≤≤≤≤优点：当0ij x ≥时，*[0,1]ijx ∈，即*21()1nij i x ==∑．该方法使*01ij x ≤≤，且变换前后正逆方向不变；缺点是它是非线性变换，变换后各指标的最大值和最小值不相同．(4) 极差变换法对于极大型指标，令*111min (1, 1).max min ij iji nijij iji ni nx x x i n j m x x ≤≤≤≤≤≤-=≤≤≤≤-对于极小型指标，令*111max (1, 1).max min ij iji nijij iji ni nx x x i m j n x x ≤≤≤≤≤≤-=≤≤≤≤-其优点为经过极差变换后，均有*01ij x ≤≤，且最优指标值*1ij x =，最劣指标值*0ij x =．该方法的缺点是变换前后的各指标值不成比例，对于指标值恒定(0j s =)的情况不适用．(5) 功效系数法 令*111min (1,1).max min ij iji nijij iji ni nx x x c d i n j m x x ≤≤≤≤≤≤-=+⨯≤≤≤≤-其中,c d 均为确定的常数．c 表示“平移量”，表示指标实际基础值，d 表示“旋转量”，即表示“放大”或“缩小”倍数，则*[,]ij x c c d ∈+．通常取60,40c d ==，即*111min 6040 (1,1).max min ij iji nijij iji ni nx x x i n j m x x ≤≤≤≤≤≤-=+⨯≤≤≤≤-则*ij x 实际基础值为60，最大值为100，即*[60,100]ij x ∈．特点：该方法可以看成更普遍意义下的一种极值处理法，取值范围确定，最小值为c ，最大值为c d +．3．定性指标的定量化在综合评价工作中，有些评价指标是定性指标，即只给出定性地描述，例如：质量很好、性能一般、可靠性高、态度恶劣等．对于这些指标，在进行综合评价时，必须先通过适当的方式进行赋值，使其量化．一般来说，对于指标最优值可赋值10.0，对于指标最劣值可赋值为0.0．对极大型和极小型定性指标常按以下方式赋值．(1) 极大型定性指标量化方法对于极大型定性指标而言，如果指标能够分为很低、低、一般、高和很高等五个等级，则可以分别取量化值为1.0,3.0,5.0,7.0和9.0，对应关系如图8-2所示．介于两个等级之间的可以取两个分值之间的适当数值作为量化值．图８-2 极大型定性指标量化方法(2) 极小型定性指标量化方法对于极小型定性指标而言，如果指标能够分为很高、高、一般、低和很低等五个等级，则可以分别取量化值为1.0,3.0,5.0,7.0和9.0，对应关系如图8-3所示．介于两个等级之间的可以取两个分值之间的适当数值作为量化值．模糊综合评价方法在客观世界中，存在着许多不确定性现象，这种不确定性有两大类：一类是随机性现象，即事物对象是明确的，由于人们对事物的因果律掌握不够，使得相应结果具有不可预知性，例如晴天、下雨、下雪，这是明确的，但出现规律不确定；另一类是模糊性现象，即某些事物或概念的边界不清楚，使得事物的差异之间存在着中间过渡过程或过渡结果，例如年轻与年老、高与矮、美与丑等，这种不确定性现象不是人们的认识达不到客观实际所造成的，而是事物的一种内在结构的不确定属性，称为模糊性现象．模糊数学就是用数学方法研究和处理具有“模糊性”现象的一个数学分支．而模糊综合评价就是以模糊数学为基础，应用模糊关系合成的原理，将一些边界不清、不易定量的因素定量化，进行综合评价的一种方法． ．隶属度函数的确定方法隶属度的思想是模糊数学的基本思想，确定符合实际的隶属函数是应用模糊数学方法建立数学模型的关键，然而这是至今尚未完全解决的问题．下面介绍几种常用的确定隶属函数的方法．⑴ 模糊统计法模糊统计法是利用概率统计思想确定隶属度函数的一种客观方法，是在模糊统计的基础上根据隶属度的客观存在性来确定的．下面以确定青年人的隶属函数为例来介绍其主要过程． ① 以年龄为论域X ，在论域X 中取一固定样本点027x =．② 设*A 为论域X 上随机变动的普通集合，A 是青年人在X 上以*A 为弹性边界的模糊集，对*A 的变动具有制约作用．其中0x A ∈，或0x A ∉，使得0x 对A 的隶属关系具有不确定性．然后进行模糊统计试验，若n 次试验中覆盖0x 的次数为n m ，则称nm n为0x 对于A 的隶属频率．由于当试验次数n 不断增大时，隶属频率趋于某一确定的常数，该常数就是0x 属于A 的隶属度，即0()lim.n A n m x nμ→∞= 比如在论域X 中取027x =，选择若干合适人选，请他们写出各自认为青年人最适宜最恰当的年龄区间(从多少岁到多少岁)，即将模糊概念明确化．若n 次试验中覆盖27岁的年龄区间的次数为m ，则称mn为27岁对于青年人的隶属频率，表8-4是抽样调查统计的结果．由于27岁对于青年人的隶属频率稳定在0．78附近，因此可得到027x =属于模糊集A 的隶属度(27)0.78A μ=．③ 在论域X 中适当的取若干个样本点12,,,n x x x ，分别确定出其隶属度()(1,2,,)i A x i n μ=，建立适当坐标系，描点连线即可得到模糊集A 的隶属函数曲线．将论域X 分组，每组以中值为代表分别计算各组隶属频率，连续地描出图形使得到青年人的隶属函数曲线，见表8-5与图8-5所示．确定模糊集合隶属函数的模糊统计方法，重视实际资料中包含的信息，采用了统计分析手段，是一种应用确定性分析揭示不确定性规律的有效方法．特别是对一些隶属规律不清楚的模糊集合，也能较好地确定其隶属函数．⑵ 三分法三分法也是利用概率统计中思想以随机区间为工具来处理模糊性的的一种客观方法．例如建立矮个子1A ，中等个子2A ，高个子3A 三个模糊概念的隶属函数．设3{}P =矮个子,中等个子,高个子， 论域X 为身高的集合，取(0,3)X =(单位：m)．每次模糊试验确定X 的一次划分，每次划分确定一对数(,)ξη，其中ξ为矮个子与中等个子的分界点，η为中等个子与高个子的分界点，从而将模糊试验转化为如下随机试验：即将(,)ξη看作二维随机变量，进行抽样调查，求得ξ、η的概率分布()P x ξ、()P x η后，再分别导出1A 、2A 和3A 的隶属函数1()A x μ、2()A x μ和3()A x μ，相应的示意图如图8-6所示．1()(),A xx P t dt ξμ+∞=⎰ 3()(),A x x P t dt ημ+∞=⎰213()1()().A A A x x x μμμ=--图8-5 年轻人的隶属函数曲线图8-6 由概率分布确定模糊集隶属函数通常ξ和η分别服从正态分布211(,)N a σ和222(,)N a σ，则1A 、2A 和3A 的隶属函数分别为111()1,A x a x μσ⎛⎫-=-Φ⎪⎝⎭322()1,A x a x μσ⎛⎫-=-Φ ⎪⎝⎭22121().A x a x a x μσσ⎛⎫⎛⎫--=Φ-Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中22().t xx dt -Φ=⎰⑶ 模糊分布法根据实际情况，首先选定某些带参数的函数，来表示某种类型模糊概念的隶属函数（论域为实数域），然后再通过实验确定参数．在客观事物中，最常见的是以实数集作论域的情形．若模糊集定义在实数域R 上，则模糊集的隶属函数便称为模糊分布．下面给出几种常用的模糊分布，在以后确定隶属函数时，就可以根据问题的性质，选择适当(即符合实际情况)模糊分布，根据测量数据求出分布中所含的参数，从而就可以确定出隶属函数了．为了选择适当的模糊分布，首先应根据实际描述的对象给出选择的大致方向． 偏小型模糊分布适合描述像“小”、“冷”、“青年”以及颜色的“淡”等偏向小的一方的模糊现象，其隶属函数的一般形式为1, ;()(),.A x a x f x x a μ≤⎧=⎨>⎩偏大型模糊分布适合描述像“大”、“热”、“老年”以及颜色的“浓”等偏向大的一方的模糊现象，其隶属函数的一般形式为0, ;()(),.A x a x f x x a μ<⎧=⎨≥⎩ 中间型模糊分布适合描述像“中”、“暖和“、“中年”等处于中间状态的模糊现象，其隶属面数可以通过中间型模糊分布表示．① 矩形(或半矩形)分布此类分布是用于确切概念．矩形(或半矩形)分布相应的示意图如图8-7所示．图8-7矩形(或半矩形)分布示意图② 梯形(或半梯形)分布梯形(或半梯形)分布的示意图如图8-8所示．③ 抛物形分布抛物形分布的示意图如图8-9所示．(a)偏小型 (b)偏大型 (c)中间型(a)偏小型 (b)偏大型 (c)中间型图8-8梯形(或半梯形)分布示意图(a)偏小型 (b)偏大型 (c)中间型图8-9 抛物形分布示意图④ 正态分布正态分布的示意图如图8-10所示．柯西形分布的示意图如图8-11所示．其中0k >．Γ型分布的示意图如图8-12所示．(a)偏小型 (b)偏大型 (c)中间型 图8-10 正态分布示意图 (a) 偏小型 (b)偏大型 (c)中间型 图8-11 柯西分布示意图(a) 偏小型 (b)偏大型 (c)中间型图8-12 Γ型分布示意图。

所谓指标就是用来评价系统的参量．例如，在校学生规模、教学质量、师资结构、科研水平等，就可以作为评价高等院校综合水平的主要指标．一般说来，任何—个指标都反映和刻画事物的—个侧面．从指标值的特征看，指标可以分为定性指标和定量指标．定性指标是用定性的语言作为指标描述值，定量指标是用具体数据作为指标值．例如，旅游景区质量等级有5A 、4A 、3A 、2A 和1A 之分，则旅游景区质量等级是定性指标；而景区年旅客接待量、门票收入等就是定量指标．从指标值的变化对评价目的的影响来看，可以将指标分为以下四类： (1)极大型指标(又称为效益型指标)是指标值越大越好的指标； (2)极小型指标(又称为成本型指标)是指标值越小越好的指标； (3)居中型指标是指标值既不是越大越好，也不是越小越好，而是适中为最好的指标； (4) 区间型指标是指标值取在某个区间内为最好的指标．例如，在评价企业的经济效益时，利润作为指标，其值越大，经济效益就越好，这就是效益型指标；而管理费用作为指标，其值越小，经济效益就越好，所以管理费用是成本型指标．再如建筑工程招标中，投标报价既不能太高又不能太低，其值的变化范围一般是(10%,5%)-+×标的价，超过此范围的都将被淘汰，因此投标报价为区间型指标．投标工期既不能太长又不能太短，就是居中型指标．在实际中，不论按什么方式对指标进行分类，不同类型的指标可以通过相应的数学方法进行相互转换8.2.4 评价指标的预处理方法一般情况下，在综合评价指标中，各指标值可能属于不同类型、不同单位或不同数量级，从而使得各指标之间存在着不可公度性，给综合评价带来了诸多不便．为了尽可能地反映实际情况，消除由于各项指标间的这些差别带来的影响，避免出现不合理的评价结果，就需要对评价指标进行一定的预处理，包括对指标的一致化处理和无量纲化处理．1．指标的一致化处理所谓一致化处理就是将评价指标的类型进行统一．一般来说，在评价指标体系中，可能会同时存在极大型指标、极小型指标、居中型指标和区间型指标，它们都具有不同的特点．如产量、利润、成绩等极大型指标是希望取值越大越好；而成本、费用、缺陷等极小型指标则是希望取值越小越好；对于室内温度、空气湿度等居中型指标是既不期望取值太大，也不期望取值太小，而是居中为好．若指标体系中存在不同类型的指标，必须在综合评价之前将评价指标的类型做一致化处理．例如，将各类指标都转化为极大型指标，或极小型指标．一般的做法是将非极大型指标转化为极大型指标．但是，在不同的指标权重确定方法和评价模型中，指标一致化处理也有差异．(1) 极小型指标化为极大型指标对极小型指标j x ，将其转化为极大型指标时，只需对指标j x 取倒数：1j jx x '=，或做平移变换：j j j x M x '=-，其中1 max{}j ij i nM x ≤≤=，即n 个评价对象第j 项指标值ij x 最大者．(2) 居中型指标化为极大型指标对居中型指标j x ，令1 max{}j ij i nM x ≤≤=，1 min{}j ij i nm x ≤≤=，取2(),;2 2(),.2j j j j j j j j j j j j j j jj j x m M m m x M m x M x M m x M M m -+⎧≤≤⎪-⎪'=⎨-+⎪≤≤⎪-⎩就可以将j x 转化为极大型指标．(3) 区间型指标化为极大型指标对区间型指标j x ，j x 是取值介于区间[,]j j a b 内时为最好，指标值离该区间越远就越差．令1 max{}j ij i nM x ≤≤=，1 min{}j ij i nm x ≤≤=， max{,},j j j j j c a m M b =--取1,;1, ; 1,.j jj j j j j j j j jj j j a x x a c x a x b x bx b c -⎧-<⎪⎪⎪'=≤≤⎨⎪-⎪->⎪⎩就可以将区间型指标j x 转化为极大型指标．类似地，通过适当的数学变换，也可以将极大型指标、居中型指标转化为极小型指标．2．指标的无量纲化处理所谓无量纲化，也称为指标的规范化，是通过数学变换来消除原始指标的单位及其数值数量级影响的过程．因此，就有指标的实际值和评价值之分．—般地，将指标无量纲化处理以后的值称为指标评价值．无量纲化过程就是将指标实际值转化为指标评价值的过程．对于n 个评价对象12,,,n S S S L ，每个评价对象有m 个指标，其观测值分别为(1,2,,;1,2,,)ij x i n j m ==L L ．(1) 标准样本变换法 令* (1,1).ij jij jx x x i n j m s -=≤≤≤≤其中样本均值11n j ij i x x n ==∑，样本均方差j s =*ij x 称为标准观测值． 特点：样本均值为0，方差为1；区间不确定，处理后各指标的最大值、最小值不相同；对于指标值恒定(0j s =)的情况不适用；对于要求指标评价值*0ij x >的评价方法(如熵值法、几何加权平均法等)不适用．(2) 线性比例变换法 对于极大型指标，令*11 (max 0, 1, 1).max ij ij ij i niji nx x x i n j m x ≤≤≤≤=≠≤≤≤≤对极小型指标，令*1min (1,1).iji nijijx x i n j m x ≤≤=≤≤≤≤或*111 (max 0, 1, 1).max ij ijij i niji nx x x i n j m x ≤≤≤≤=-≠≤≤≤≤该方法的优点是这些变换方式是线性的，且变化前后的属性值成比例．但对任一指标来说，变换后的*1ij x =和*0ij x =不一定同时出现．特点：当0ij x ≥时，*[0,1]ij x ∈；计算简便，并保留了相对排序关系．(3) 向量归一化法 对于极大型指标，令* (1,1).ij x x i n j m =≤≤≤≤对于极小型指标，令*1,1).ij x x i n j m =≤≤≤≤优点：当0ij x ≥时，*[0,1]ijx ∈，即*21()1nij i x ==∑．该方法使*01ij x ≤≤，且变换前后正逆方向不变；缺点是它是非线性变换，变换后各指标的最大值和最小值不相同．(4) 极差变换法对于极大型指标，令*111min (1, 1).max min ij iji nijij iji ni nx x x i n j m x x ≤≤≤≤≤≤-=≤≤≤≤-对于极小型指标，令*111max (1, 1).max min ij iji nijij iji ni nx x x i m j n x x ≤≤≤≤≤≤-=≤≤≤≤-其优点为经过极差变换后，均有*01ij x ≤≤，且最优指标值*1ij x =，最劣指标值*0ij x =．该方法的缺点是变换前后的各指标值不成比例，对于指标值恒定(0j s =)的情况不适用．(5) 功效系数法 令*111min (1,1).max min ij iji nijij iji ni nx x x c d i n j m x x ≤≤≤≤≤≤-=+⨯≤≤≤≤-其中,c d 均为确定的常数．c 表示“平移量”，表示指标实际基础值，d 表示“旋转量”，即表示“放大”或“缩小”倍数，则*[,]ij x c c d ∈+．通常取60,40c d ==，即*111min 6040 (1,1).max min ij iji nijij iji ni nx x x i n j m x x ≤≤≤≤≤≤-=+⨯≤≤≤≤-则*ij x 实际基础值为60，最大值为100，即*[60,100]ij x ∈．特点：该方法可以看成更普遍意义下的一种极值处理法，取值范围确定，最小值为c ，最大值为c d +．3．定性指标的定量化在综合评价工作中，有些评价指标是定性指标，即只给出定性地描述，例如：质量很好、性能一般、可靠性高、态度恶劣等．对于这些指标，在进行综合评价时，必须先通过适当的方式进行赋值，使其量化．一般来说，对于指标最优值可赋值10.0，对于指标最劣值可赋值为0.0．对极大型和极小型定性指标常按以下方式赋值．(1) 极大型定性指标量化方法对于极大型定性指标而言，如果指标能够分为很低、低、一般、高和很高等五个等级，则可以分别取量化值为1.0,3.0,5.0,7.0和9.0，对应关系如图8-2所示．介于两个等级之间的可以取两个分值之间的适当数值作为量化值．图８-2 极大型定性指标量化方法(2) 极小型定性指标量化方法对于极小型定性指标而言，如果指标能够分为很高、高、一般、低和很低等五个等级，化值为1.0,3.0,5.0,7.0和9.0，对应关系如图8-3所示．介于两个等级之间的可以取两个分值之间的适当数值作为量化值．模糊综合评价方法在客观世界中，存在着许多不确定性现象，这种不确定性有两大类：一类是随机性现象，即事物对象是明确的，由于人们对事物的因果律掌握不够，使得相应结果具有不可预知性，例如晴天、下雨、下雪，这是明确的，但出现规律不确定；另一类是模糊性现象，即某些事物或概念的边界不清楚，使得事物的差异之间存在着中间过渡过程或过渡结果，例如年轻与年老、高与矮、美与丑等，这种不确定性现象不是人们的认识达不到客观实际所造成的，而是事物的一种内在结构的不确定属性，称为模糊性现象．模糊数学就是用数学方法研究和处理具有“模糊性”现象的一个数学分支．而模糊综合评价就是以模糊数学为基础，应用模糊关系合成的原理，将一些边界不清、不易定量的因素定量化，进行综合评价的一种方法． ．隶属度函数的确定方法隶属度的思想是模糊数学的基本思想，确定符合实际的隶属函数是应用模糊数学方法建立数学模型的关键，然而这是至今尚未完全解决的问题．下面介绍几种常用的确定隶属函数的方法．⑴ 模糊统计法模糊统计法是利用概率统计思想确定隶属度函数的一种客观方法，是在模糊统计的基础上根据隶属度的客观存在性来确定的．下面以确定青年人的隶属函数为例来介绍其主要过程．① 以年龄为论域X ，在论域X 中取一固定样本点027x =．② 设*A 为论域X 上随机变动的普通集合，°A 是青年人在X 上以*A 为弹性边界的模糊集，对*A 的变动具有制约作用．其中°0x A ∈，或°0x A ∉，使得0x 对°A 的隶属关系具有不确定性．然后进行模糊统计试验，若n 次试验中覆盖0x 的次数为n m ，则称nm n为0x 对于°A 的隶属频率．由于当试验次数n 不断增大时，隶属频率趋于某一确定的常数，该常数就是0x 属于°A 的隶属度，即 °0()lim .n An m x nμ→∞=比如在论域X 中取027x =，选择若干合适人选，请他们写出各自认为青年人最适宜最恰当的年龄区间(从多少岁到多少岁)，即将模糊概念明确化．若n 次试验中覆盖27岁的年龄区间的次数为m ，则称mn为27岁对于青年人的隶属频率，表8-4是抽样调查统计的结果．由于27岁对于青年人的隶属频率稳定在0．78附近，因此可得到027x =属于模糊集°A 的隶属度°(27)0.78Aμ=．试验次数n 1020 30 40 50 60 70 80 90 100110 120 129 隶属次数m6 1423 31 39 47 53 62 6876 85 95 101隶属频率m n0.60 0.70 0.77 0.78 0.78 0.76 0.76 0.78 0.76 0.76 0.75 0.79 0.78③ 在论域X 中适当的取若干个样本点12,,,n x x x L ，分别确定出其隶属度°()(1,2,,)i Ax i n μ=L ，建立适当坐标系，描点连线即可得到模糊集°A 的隶属函数曲线． 将论域X 分组，每组以中值为代表分别计算各组隶属频率，连续地描出图形使得到青年人的隶属函数曲线，见表8-5与图8-5所示．确定模糊集合隶属函数的模糊统计方法，重视实际资料中包含的信息，采用了统计分析手段，是一种应用确定性分析揭示不确定性规律的有效方法．特别是对一些隶属规律不清楚的模糊集合，也能较好地确定其隶属函数．分组频数 隶属频率 分组 频数 隶属频率13.5~14.5 2 0.016 25.5~26.5 103 0.798 14.5~15.5 27 0.210 26.5~27.5 101 0.783 15.5~16.5 51 0.395 27.5~28.5 99 0.767 16.5~17.5 67 0.519 28.5~29.5 80 0.620 17.5~18.5 124 0.961 29.5~30.5 77 0.597 18.5~19.5 125 1.00 30.5~31.5 27 0.209 19.5~20.5 129 1.00 31.5~32.5 27 0.209 20.5~21.5 129 1.00 32.5~33.5 26 0.202 21.5~22.5 129 1.00 33.5~34.5 26 0.202 22.5~23.5 129 1.00 34.5~35.5 26 0.202 23.5~24.5 129 1.00 35.5~36.5 10.008 24.5~25.5128 0.992⑵ 三分法三分法也是利用概率统计中思想以随机区间为工具来处理模糊性的的一种客观方法．例如建立矮个子°1A ，中等个子°2A ，高个子°3A 三个模糊概念的隶属函数．设3{}P =矮个子,中等个子,高个子，论域X 为身高的集合，取(0,3)X =(单位：m)．每次模糊试验确定X 的一次划分，每次划分确定一对数(,)ξη，其中ξ为矮个子与中等个子的分界点，η为中等个子与高个子的分界点，从而将模糊试验转化为如下随机试验：即将(,)ξη看作二图8-5 年轻人的隶属函数曲线维随机变量，进行抽样调查，求得ξ、η的概率分布()P x ξ、()P x η后，再分别导出°1A 、°2A 和°3A 的隶属函数±1()A x μ、±2()A x μ和±3()Ax μ，相应的示意图如图8-6所示． ±1()(),A x x P t dt ξμ+∞=⎰ ±3()(),A xx P t dt ημ+∞=⎰±±±213()1()().A A A x x x μμμ=--通常ξ和η分别服从正态分布211(,)N a σ和222(,)N a σ，则°1A 、°2A 和°3A 的隶属函数分别为±111()1,Ax a x μσ⎛⎫-=-Φ ⎪⎝⎭±322()1,A x a x μσ⎛⎫-=-Φ ⎪⎝⎭ ±22121().Ax a x a x μσσ⎛⎫⎛⎫--=Φ-Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中22().t xx dt -Φ=⎰⑶ 模糊分布法根据实际情况，首先选定某些带参数的函数，来表示某种类型模糊概念的隶属函数（论域为实数域），然后再通过实验确定参数．在客观事物中，最常见的是以实数集作论域的情形．若模糊集定义在实数域R 上，则模糊集的隶属函数便称为模糊分布．下面给出几种常用的模糊分布，在以后确定隶属函数时，就可以根据问题的性质，选择适当(即符合实际情况)模糊分布，根据测量数据求出分布中所含的参数，从而就可以确定出隶属函数了．为了选择适当的模糊分布，首先应根据实际描述的对象给出选择的大致方向． 偏小型模糊分布适合描述像“小”、“冷”、“青年”以及颜色的“淡”等偏向小的一方的模糊现象，其隶属函数的一般形式为°1, ;()(),.Ax a x f x x a μ≤⎧=⎨>⎩偏大型模糊分布适合描述像“大”、“热”、“老年”以及颜色的“浓”等偏向大的一方的模糊现象，其隶属函数的一般形式为°0, ;()(),.Ax a x f x x a μ<⎧=⎨≥⎩中间型模糊分布适合描述像“中”、“暖和“、“中年”等处于中间状态的模糊现象，其隶属面数可以通过中间型模糊分布表示．图8-6 由概率分布确定模糊集隶属函数①矩形(或半矩形)分布(a)偏小型(b)偏大型(c)中间型°1,; ()0,.Ax a xx aμ≤⎧=⎨>⎩°0,;()1,.Ax axx aμ<⎧=⎨≥⎩°0,;()1,;0,.Ax ax a x bx bμ<⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩此类分布是用于确切概念．矩形(或半矩形)分布相应的示意图如图8-7所示．图8-7矩形(或半矩形)分布示意图②梯形(或半梯形)分布(a)偏小型(b)偏大型(c)中间型°1,;(),;0,.Ax ab xx a x bb ax bμ<⎧⎪-⎪=≤≤⎨-⎪⎪>⎩°0,;(),;1,.Ax ax ax a x bb ax bμ<⎧⎪-⎪=≤≤⎨-⎪⎪>⎩°0,,;,;()1,;,;Ax a x dx aa x bb axb x cd xc x dd cμ<≥⎧⎪-⎪≤<⎪-=⎨≤<⎪⎪-≤<⎪-⎩梯形(或半梯形)分布的示意图如图8-8所示．③抛物形分布(a)偏小型(b)偏大型(c)中间型°1,;(),;0,.kAx ab xx a x bb ax bμ<⎧⎪⎪-⎛⎫=≤≤⎨ ⎪-⎝⎭⎪⎪>⎩°0,;(),;1,.kAx ax ax a x bb ax bμ<⎧⎪⎪-⎛⎫=≤≤⎨ ⎪-⎝⎭⎪⎪>⎩°0,,;,;()1,;,;kAkx a x dx aa x bb axb x cd xc x dd cμ<≥⎧⎪-⎛⎫⎪≤<⎪⎪-⎪⎝⎭=⎨≤<⎪⎪-⎛⎫⎪≤<⎪-⎪⎝⎭⎩抛物形分布的示意图如图8-9所示．(a)偏小型(b)偏大型(c)中间型(a)偏小型(b)偏大型(c)中间型图8-8梯形(或半梯形)分布示意图④ 正态分布(a)偏小型(b)偏大型(c)中间型°21, ;(),.x a A x a x e x a σμ-⎛⎫- ⎪⎝⎭≤⎧⎪=⎨⎪>⎩°20, ;()1,.x a A x a x e x a σμ-⎛⎫- ⎪⎝⎭<⎧⎪=⎨⎪-≥⎩ °2().x a Ax e σμ-⎛⎫- ⎪⎝⎭=正态分布的示意图如图8-10所示．(a)偏小型(b)偏大型(c)中间型°1, ;()1,.1() (0,0)Ax a x x a x a βμααβ≤⎧⎪=⎨>⎪+-⎩>> °0, ;()1,.1() (0,0)Ax a x x a x a βμααβ-≤⎧⎪=⎨>⎪+-⎩>> °1(),1()(0,).Ax x a βμααβ=+->为正偶数柯西形分布的示意图如图8-11所示．(a)偏小型(b)偏大型(c)中间型°()1, ;(),.k x a Ax a x e x a μ--≤⎧=⎨>⎩°()0, ;()1,.k x a Ax a x ex a μ--≤⎧=⎨->⎩°()(),;()1, ;,.k x a Ak b x e x a x a x b ex b μ----⎧<⎪=≤<⎨⎪≥⎩ (a)偏小型 (b)偏大型 (c)中间型图8-9 抛物形分布示意图(a)偏小型 (b)偏大型 (c)中间型 图8-10 正态分布示意图 (a) 偏小型 (b)偏大型 (c)中间型 图8-11 柯西分布示意图k>．Γ型分布的示意图如图8-12所示．其中0(a) 偏小型(b)偏大型(c)中间型图8-12 Γ型分布示意图。

数学建模评价模型方法目标评价方法是通过对建模目标进行分析和评价，从而确定模型的合理性和准确性。

常用的目标评价方法有以下几种：1.目标一致性评价：通过比较建模目标与实际需求的一致性，评估模型是否能够准确反映实际问题的特征。

可以通过专家访谈、问卷调查等方式，收集相关数据，然后通过定量或定性分析的方法来评价目标一致性。

2.目标完备性评价：评估模型是否能够完整地描述问题的各个方面。

可以通过检查模型的输入、输出和求解方法，判断是否包括了问题的所有关键要素，从而评价模型的完备性。

3.目标可行性评价：评估模型是否能够在给定的条件下实现。

通过对模型中所涉及的参数、约束条件和假设进行分析，判断模型是否符合实际操作的限制和要求。

效果评价方法是通过对模型的输出结果进行分析和评价，从而判断模型的有效性和可靠性。

常用的效果评价方法有以下几种：1.精度评价：评估模型的输出结果与实际观测值或已知数据之间的偏差程度。

可以采用各种统计指标，如均方根误差、平均绝对百分比误差等，来度量模型的精度。

2.稳定性评价：评估模型在不同条件下的输出结果是否稳定。

可以通过对输入条件的变化、参数的敏感性分析等方法，来评估模型的稳定性。

3.可行性评价：评估模型的输出结果是否满足实际的约束条件和要求。

可以通过比较模型的输出结果与给定的约束条件来判断模型的可行性。

在实际应用中，常常需要综合考虑目标评价和效果评价方法来对建模进行综合评价。

可以根据实际情况，确定评价指标的权重，并运用多指标综合评价方法来评价模型的综合效果。

总之，数学建模评价模型方法是评估模型合理性、准确性和可行性的重要手段。

通过目标评价和效果评价方法的综合应用，可以对建模过程和建模结果进行全面评估，为实际问题的求解提供科学的依据和方法。

数学建模中的评价方法综合评价有许多不同的方法，如综合指数法、TOPSIS法、层次分析法、RSR法、模糊综合评价法、灰色系统法等，这些方法各具特色，各有利弊。

依据评价目的选择恰当的评价指标，这些指标具有很好的代表性、区别性强，而且往往可以测量，筛选评价指标主要依据专业知识，即依据有关的专业理论和施行，来分析各评价指标对结果的影响，挑选那些代表性、确定性好，有一定区别能力又互相独立的指标组成评价指标体系。

2方法一：提升分析、理解、阅读能力阅读理解能力是数学建模的前提，数学应用题一般都创设一个新的背景，也针对问题本身使用一些专门术语，并给出即时定义。

如1999年高考题第22题给出冷轧钢带的过程表达，给出了"减薄率'这一专门术语，并给出了即时定义，能否深入理解，反映了自身综合素养，这种理解能力直接影响数学建模质量。

3方法二：层次分析法在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性自上而下分解假设干层次。

同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或收到下层因素的作用，而同一层的各因素之间尽量互相独立。

最上层为目标层，通常只有1个因素，最下层通常为方案或对象层，中间可以有1个或几个层次，通常为准则或标准层。

当准则过多时(比如多于9个)应进一步分解出自准则层。

4方法三：综合评价法FCE借助于模糊数学，运用模糊关系合成原理将模糊概念定量化，以此对评判对象的优劣等级进行综合评价。

基本思想是：把模糊因素集U对应的模糊权向量集W，依据单因素评判矩阵R采用合适的合成算子o进行模糊变幻，得到一个模糊综合评判结果B，并对结果进行比较分析来评价事物的优劣。

简化图形为：输入 W模糊变幻器 R输出 B=WоR。

模糊评价法常用于不能准确度量的事物的评价，如质量评估、风险决策等。

在对结果向量进行比较分析时可采纳两种方法，即最大隶属度法和加权平均法。

以上就是一些数学建模中的评价方法的相关建议了，希望对大家有所帮助!。

综合评价方法数学建模综合评价方法在数学建模中被广泛应用，用于对模型的准确度和可靠性进行评估。

综合评价方法是通过分析模型的输入、输出和处理过程，结合实际情况来评价模型优劣的一种方法。

本文将介绍几种常见的综合评价方法，并分析它们的优点和不足。

一、误差分析法误差分析法是基于模型输出与实际数据之间的误差来评估模型准确度和可靠性的方法。

该方法通过计算模型的预测值与实际观测值之间的差异，来评估模型的拟合程度。

常用的误差指标包括残差平方和、均方根误差等。

优点是计算简单，直观易懂；缺点是只能评估模型的输出，在一些情况下无法全面评估模型的有效性。

二、参数敏感度分析法参数敏感度分析法是通过改变模型的输入参数，观察模型输出的变化情况，来评估模型的稳定性和可靠性的方法。

该方法通过计算参数的敏感度指标，来评估每个参数对模型输出的影响程度。

常用的敏感度指标包括偏导数、敏感度系数等。

优点是能够全面评估模型的输入对输出的影响；缺点是对于复杂的模型，计算量较大。

三、模型效果评估法模型效果评估法是通过对模型的输出进行评估来评价模型的准确度和可靠性的方法。

该方法通过建立与模型输出相对应的评价指标，来评估模型的效果。

常用的评价指标包括相关系数、拟合好坏指标等。

优点是对模型的整体效果进行综合评估；缺点是评价指标的选择和建立需要考虑实际问题的特点。

四、灵敏度分析法灵敏度分析法是通过改变模型的输入条件，观察模型输出的变化情况，来评估模型的可靠性和鲁棒性的方法。

该方法通过计算输入条件的灵敏度指标，来评估输入条件对模型输出的影响程度。

常用的灵敏度指标包括变动范围、影响程度等。

优点是能够评估模型对输入条件的容忍程度；缺点是对于复杂的模型，计算量较大。

五、假设验证法假设验证法是通过比较模型预测结果与实际观测结果，来评估模型的可靠性和适用性的方法。

该方法通过对模型的假设条件进行验证，来检验模型的合理性和适用性。

常用的方法包括残差分析、拟合优度检验等。