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5、方差分析一

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统计学：5方差分析

统计学：5方差分析


统计学
ST管AT理IST者ICS层次水平的不同是否会导致评分的显著差异？ (第三版)
一家管理咨询公司为 高、中、初级管 理者提供人力资 源讲座。听完讲 座后随机抽取不 同层次管理者大 满意度评分，取 0.05 的 显 著 性 水 平，检验管理者 层次水平的不同 是否会导致评分 的显著差异？
高级 7 7 8 7 9
统计学
STATISTICS (第三版)
第 5 章 方差分析
5.1 方差分析的基本原理 5.2 单因素方差分析 5.3 双因素方差分析
7-1
2008年8月
统计学
STATISTICS (第三版)
学习目标
方差分析的基本思想和原理 单因素方差分析 多重比较 双因素方差分析的方法
7-2
2008年8月
STATISTICS (第三版)
方差分析的基本假定
1. 正态性(normality)。每个总体都应服从正态分布， 即对于因子的每一个水平，其观测值是来自正态 分布总体的简单随机样本
2. 方差齐性(homogeneity variance)。各个总体的方 差必须相同，对于分类变量的k个水平，有 12=22=…=k2
3. 独立性(independence)。每个样本数据是来自因 子各水平的独立样本(该假定不满足对结果影响较 大)
7-5
2008年8月
统5.1计学方差分析的基本原理
STATISTICS (第三版)
方差分析的基本假定
如果原假设成立，即H0 ：m1=m2=……=mk
自变量对因变量没有显著影响
每个样本都来自均值为m、方差为 2的同一正态总体
中级 8 9 8 10 9 10 8
初级 5 6 5 7 4 8
5第三章 方差分析1

5第三章 方差分析1

i 1
0
平方和与自由度的分解
∴ ( xi j x..)2
i 1 j 1
k
k
n
n ( xi. x..) ( xij xi. )
2 i 1 i 1 j 1
k
n
2
其中
n ( xi. x..)2
i 1
k
称为处理间平方和，记为SSt，即
而
( x
假设某单因素试验有k个处理， 每个处理有 n 个观察值，共有 nk 个观测值。这类试验资料的数据 模式如表3-2所示。
表3-2 每处理具n个观测值的k组数据的符号表
处理
1 x11
2 x21 x22 … x2j
… … … … …
i xi1 xi2 …
… … … … …
k
xk1
xk2 … xkj
观 察 值
B C D
E
21 22 19
15
19 23 20
16
18 22 19
16
18 20 18
17
76 87 76
64
19.00 21.75 19.00
16.00
T=392 x..=19.6
解：
①建立假设 H0：各组平均数相等 HA：各组平均数不全相等 ②计算统计量 “F＝组间均方／组内均方” 在计算组间均方时，使用自由度为（k-1）， 计算组内均方时，使用自由度为 k(n-1)。
p25作业
4.从胡萝卜中提取β-胡萝卜素的传统 工艺提取率为91%。现有一新的提取 工艺，用新工艺重复8次提取试验，得 平均提取率=95%，标准差S=7%。试 检验新工艺与传统工艺在提取率上有 无显著性差异？
解： （1）提出假设 H0:μ=μ0=91%；即认为新工艺与传统工艺在提取率上无显著差异。 HA:μ≠μ0 （2）选取显著水平α＝0.05
第5章方差分析

第5章方差分析


5.1.3 方差分析的基本假设
(1) 各样本的独立性。 即各组观察数据，是从相互独立的总体中抽取的。 (2) 要求所有观察值都是从正态总体中抽取且方差相等。 在实际应用中能够严格满足这些假定条件的客观现象是很少的，在社会 经济现象中更是如此。但一般应近似地符合上述要求。水平之间的方差 （也称为组间方差）与水平内部的方差（也称组内方差）之间的比值是 一个服从F分布的统计量：
SPSS将自动计算检验统计量和相伴概率P值，若P值小于 等于显著性水平α，则拒绝原假设，认为因素的不同水平对 观测变量产生显著影响；反之，接受零假设，认为因素的不 同水平没有对观测变量产生原理
3. 多重比较检验问题 多重比较是通过对总体均值之间的配对比较来进一步检验 到底哪些均值之间存在差异。 4. 各组均值的精细比较 多重比较检验只能分析两两均值之间的差异性，但是有些 时候需要比较多个均值之间的差异性。具体操作是将其转 化为研究这两组总的均值是否存在显著差异，即与是否有 显著差异。这种比较是对各均值的某一线性组合结构进行 判断，即上述检验可以等价改写为对进行统计推断。这种 事先指定均值的线性组合，再对该线性组合进行检验的分 析方法就是各组均值的精细比较。显然，可以根据实际问 题，提出若干种检验问题。
F = 水平间方差 / 水平内方差 = 组间方差 / 组内方差
5.2 单因素方差分析
单因素方差分析也叫一维方差分析，它用来研究一个因素的不同水平是 否对观测变量产生了显著影响，即检验由单一因素影响的一个(或几个相 互独立的)因变量，由因素各水平分组的平均值之间的差异是否具有统计 意义。
5.2.1 单因素方差分析的基本原理 5.2.2 单因素方差分析的SPSS操作详解 5.2.3 课堂练习：化肥种类对粮食产量的影响
第五章方差分析

第五章方差分析


5.1.3方差分析的原理
方差分析认为，如果控制变量的不同水平对观测变量产生了显著影 响，那么它和随机变量共同作用必然使得观测变量值显著变动；反之， 如果控制变量的不同水平没有对观测变量产生显著影响，那么观测变量 值的变动就不明显，其变动可以归结为随机变量影响造成的。 建立在观测变量各总体服从正态分布和同方差的假设之上，方差 分析的问题就转化为在控制变量不同水平上的观测变量均值是否存在显 著差异的推断问题了。 综上所述，方差分析从对观测变量的方差分解入手，通过推断控 制变量各水平下各观测变量的均值是否存在显著差异，分析控制变量是 否给观测变量带来了显著影响，进而再对控制变量各个水平对观测变量 影响的程度进行剖析。 根据控制变量的个数可将方差分析分为单因素方差分析、多因素 方差分析；根据观测变量的个数可将方差分析分为一元方差分析（单因 变量方差分析）和多元方差分析（多因变量方差分析）。
从左侧的变量列表中选择观测变量“胰岛质量”到 Dependent List框中，选择控制变量“药物组”到 Factor框中。
10
选择各组间两两比较的方法，单击“One-Way ANOVA”对 话框下方的“Post Hoc…”按钮，出现上图对话框，在Equal Variances Assumed复选框中选择“LSD”。
协变量“原工资”的相伴概率Sig为0.000，即 协变量对青年教师现工资的影响显著；“教师 级别”的相伴概率为0.997，大于0.05，即对青 年教师的工资影响不显著；“政策实施”的相 伴概率0.029，小于0.05，对青年教师工资影响 显著；两因素的交互作用的相伴概率为0.551， 大于0.05，即交互作用没有对结果造成显著影 响。
5.4.2 协方差分析的基本步骤 • 提出原假设：协变量对观测变量的线性影响是不显著的 ；在扣除协变量的影响条件下，控制变量各水平下观测 变量的各总体均值无显著差异。 • 计算检验统计量和概率P值 给定显著性水平与p值做比较：如果p值小于显著性水平 ，则应该拒绝原假设，反之就不能拒绝原假设。
第六章方差分析一

第六章方差分析一

因此 当样本平均数的个数k≥3时，采用以往的方 法进行差异显著性测验，工作量是相当大的。
2. 推断的可靠性降低，犯错误的概率增大
两个样本平均数比较采用 t 或 u 检验，α=0.05时犯第 一类错误的概率为0.05, 推断的可靠性为1-α =0.95。
若对5个处理采用t 或 u 检验进行比较，α=0.05, 需进 行10次两两比较，每次比较的可靠性为1-α=0.95 , 要求 10次都正确的概率为(1-α)10=0.9510=0.5987, 因此推断 的可靠性由0.95降到0.5987, 犯第一类错误的概率则由 0.05上升到(1-0.5987)=0.4013。
由英国著名统计学家 R. A. FISHER在1923年提 出来的，也叫F检验。
一、方差分析的概念：
对两个或多个样本平均数差异显著性检验的方 法。
对观测值变异原因的数量分析
将试验数据的总变异分解为不同来源的变 异，从而评定不同变异来源的相对重要性的一 种统计方法。
二、方差分析的基本原理
方差分析是将k个处理的观测值作为一个整体 看待，把观测值总变异的平方和及自由度分解为相 应于不同变异来源的平方和及自由度，进而获得不 同变异来源总体方差估计值；通过计算这些总体方 差的估计值的适当比值，就能检验各样本所属总体 平均数是否相等。
我们的目的不在于研究供试处理本身的效应， 而在于研究处理效应的变异度，所以我们的推断也 不是关于某些供试处理，而是关于抽出这些处理的 整个总体。
特点：
a. 抽样方式是随机的，没有固定的标准 b. 试验的目的是估计样本所在总体的变异 c. 推断关于样本所在总体的变异 d. 检验后，不进行均数的多重比较，而
方差分析法是一种在若干能相互比较的资料组中， 把产生变异的原因加以区分开来的方法与技术。
第五章 方差分析(第一节)

第五章 方差分析(第一节)

Copyright © 2008 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved
田间试验与统计分析
Field Experiment and Statistical Analysis
方差分析的线性数学模型
• 方差分析的数学模型就是指试验资料的数
田间试验与统计分析
Field Experiment and Statistical Analysis
总变异：dfT nk 1
nk 1 (k 1) (nk k ) (k 1) k (n 1)
dfT df t df e
df t k 1, df e k (n 1)
因为 MSe 是σ2 的无偏估计量， MSt
是
n
2
2 的无偏估计量，所以
为2
MSe的数学期望（mathematical
2 expectation）， n 2 为MSt的数学
期望。又因为它们是均方的期望值
（expected value），故又称期望均方，
简记为EMS（expected mean squares）。
田间试验与统计分析
Field Experiment and Statistical Analysis
第一节
方差分析的基本原理与步骤
一、线性模型与基本假定 二、自由度与平方和的分解 三、F检验 四、多重比较 五、单一自由度的正交比较*
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Copyright © 2008
Sichuan Agricultural University
试验五用dps进行方差分析一

试验五用dps进行方差分析一


A2
342 367
390 377
353 374
A3
330 352
388 380
378 359
练习：课本1２２页 例6.1４。 １２７－１２９页所有的习题 实验报告：Ｐ１２８习题６．9
地块A A1
A2
A3
A4
A5
品种B
B1

32.3 34.0 34.7 36.0 35.5
B2
33.2 33.6 36.8 34.3 36.1
B3
30.8 34.4 32.3 35.8 32.8
B4
29.5 26.2 28.1 28.5 29.4
按双因素无重复进行分析
按单因素随机区组进行分析
（一）单向分组资料的方差分析
此类资料由完全随机试验获得
步骤：
输入数据(以行为样本或处理，一行一 个处理)-------定义数据块-------从菜单中找到 “试验统计”------- 选择“完全随机设计” ------“单因素试验统计分析”-------点击确定， 得到结果。
例：某公司对新销售人员进行不同的销售培训。 为了比较培训课程的有效性，随机选择了三组销 售人员，每组五人，一组接受A课程训练，一组接 受B课程训练，另一组C不接受任何训练。当前两 组的训练课程结束时，收集训练后两个星期内各 组销售人员的销售记录，进行方差分析。
A课程
2058 2176 3449 2517 944
B课程
3339 2777 3020 2437 3067
C组
2228 2578 1227 2044 1681
练习： 课本111页，例6.10；
课本113页，例6.11
双因素方差分析
1 无重复双因素方差分析
5第六章方差分析

5第六章方差分析


练习
• 以小鼠研究正常肝核糖核酸（RNA）对癌细 胞的生物学作用，试验分为对照组（生理 盐水）、水层 RNA组和酚层RNA组，分别用 此三种不同处理诱导肝细胞的FDP酶活力， 得数据如下。该三组资料均服从正态分布， 试比较三组均数有无差别?
ex_36.sas
表 6.1 对照组
2.79 2.69 3.11 3.47 1.77 2.44 2.83 2.52
复相关系数（确定系数），变异系数，均方根，总均数
对自变量的检验
R-Square:等于模型的平方和除以总 平方和，用于度量在因变量的变差 里能够由模型决定的比例有多少， 越接近1，效果越好。
检验的显著水平、自由度、 误差均方
具有相同字母的组间 均值差异没有统计学意义。
第2组具有A和B两个字母，所以 第二组和第三组，第一组均没有差异。
单因素方差分析
假设某单因素试验有k个处理，每个处理有n次重 复，共有nk个观测值。这类试验资料的数据模式
如下表所示。
（一）总平方和的分解 在上表中，反映全部观测值总变异的总平方和
是各观测值xij与总平均数的离均差平方和，记 为SST。即
kn
SST
( xij x.. ) 2
i1 j 1
nj 组内样本容量j 1,2,,n ki 组数，即水平数i 1,2,,k x.. 总平均数 xij i水平下第 j个样样本
变 差
组间 变差
总 变 差 组内 变差
组数（水平数）
（二）总自由度的剖分
在计算总平方和时，资料中的各个观测值要
kn
受 (xij x这..) 一0 条件的约束，故总自由度等于 i1 j1
资料中观测值的总个数减1，即kn-1。
dfT kn 1 df t k 1 df e dfT df t
统计学第5章 方差分析

统计学第5章 方差分析

(I) 采伐类型 (J) 采伐类型 均值差 (I-J) 标准 误 p-值 95% 置信区间 下限 上限
变差源 组间 组内 总计

4、结论。 F值=11.43>3.32，p-值=0.0002<0.05，因此检 验的结论是采伐对林木数量有显著影响。
中央财经大学统计学院 31
5.2.4 方差分析中的多重比较

在方差分析中，当零假设被拒绝时我们可以确定 至少有两个总体的均值有显著差异。但要进一步 检验哪些均值之间有显著差异还需要采用多重比 较的方法进行分析。这在方差分析中称为事后检 验(Post Hoc test)。 多重比较是对各个总体均值进行的两两比较。方 法很多，如Fisher最小显著差异（Least Significant Difference，LSD）方法、Tukey的诚 实显著差异（HSD）方法或Bonferroni的方法等。 这里我们只介绍最小显著差异方法。
中央财经大学统计学院
12
（1）正态性的检验



各组数据的直方图 峰度系数、偏度系数 Q-Q图， K-S检验*
中央财经大学统计学院
13
（2）等方差性的检验


经验方法：计算各组数据的标准差，如果最大值 与最小值的比例小于2:1，则可认为是同方差的。 最大值和最小值的比例等于1.83<2 Levene检验 *
第5章 方差分析
Analysis of Variance (ANOVA)
5.1 方差分析简介 5.2 单因素方差分析 5.3 双因素方差分析
中央财经大学统计学院
学习目标

掌握方差分析中的基本概念； 掌握方差分析的基本思想和原理； 掌握单因素方差分析的方法及应用； 初步了解多重比较方法的应用； 了解双因素方差分析的方法及应用。
第五章 方差分析

第五章 方差分析

2 2 i 1 j 1 i 1 j 1 i 1
k
n
k
n
k
• 总平方和 SS T • =组内(误差)平方和 SS e • +处理平方和 SS t • 组间变异由k个 y i 的变异引起，故其自由度 • k 1 ,组间平方和为 SS ： t • k k 2 2 SSt n ( y i y ) Ti n C
1 1
• 组内变异为各组内观察值与组平均数的变 异，故每组具有自由度 n 1 n • 和平方和 ( y y ) 2 ；
1 ij i
• 资料共有 k 组，故组内自由度 k (n 1) • 组内平方和 SSe 为： •
SSe [ ( y ij y i ) ] SST SSt
• 总变异是nk个观察值的变异，故其自由 度 nk 1 ，而其平方和 SST 则为：
SST ( yij y ) y C
2 1 1 2 ij nk nk
( y ) T C nk nk
2 2
•SST ( yij y) ( yij yi ) n ( yi y) 2
• [例5.10] 作一水稻施肥的盆栽试验，设5个 处理，A和B系分别施用两种不同工艺流程 的氨水，C施碳酸氢铵，D施尿素，E不施 氮肥。每处理4盆(施肥处理的施肥量每盆皆 为折合纯氮1.2克)，共5×4=20盆，随机放 置于同一网室中，其稻谷产量(克/盆)列于 表6.11，试测验各处理平均数的差异显著性。
=0.01水平上否定H0，接受HA；若所得F
F分布曲线（随 1 和 2 的不同而不同）
f(F)
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
第五章方差分析[统计学经典理论]

第五章方差分析[统计学经典理论]

第五章方差分析•如果要检验两个总体的均值是否相等，我们可以用t检验。

当要检验多个总体的均值是否相等，则需要采用方差分析。

•方差分析是R.A.Fister发明的，它是通过对误差的分析研究来检验两个或多个正态总体均值间差异是否具有统计意义的一种方法。

•由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动，造成波动的原因可分成两类，一是不可控的随机因素，另一是研究中施加的对结果造成影响的可控因素，方差分析认为不同处理组的均值间的差异基本来源有两个：•组内差异：由随机误差造成的差异，用变量在各组的均值与该组内变量值之差平方和的总和表示，记作SSE。

•组间差异：由因素中的不同水平造成的差异，用变量在各组的均值与总均值之差平方和的总和表示，记作SSA。

•方差分析的基本思想是：通过分析研究中不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。

•方差分析的三个条件：•被检验的各总体均服从正态分布；•各总体的方差皆相等；•从每一个总体中所抽出的样本是随机且独立的；方差分析的基本步骤：建立原假设H0：两个或多个总体均值相等。

将各不同水平间的总离差分成两个部分：组间差异SSA组内差异SSE构造检验统计量： F= MSA / MSE判断：在零假设为真时，F～F[(k-l),(n-k)]的F分布。

若各样本平均数的差异很大，则分子组间差异会随之变大，而F值也随之变大，故F检验是右尾检验。

当检验统计量F大于临界值时则拒绝原假设；或者根据 p值来判断，若p<α，则拒绝原假设§5.1 单因素方差分析（One-Way ANOVA过程）One-Way ANOVA过程用于进行两组及多组样本均数的比较，即成组设计的方差分析，如果做了相应选择，还可进行随后的两两比较，甚至于在各组间精确设定哪几组和哪几组进行比较。

5.1.1 界面说明【Dependent List框】选入需要分析的变量，可选入多个结果变量（应变量）。

方差分析的概念与应用

方差分析的概念与应用方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种统计分析方法，用于比较两个或两个以上样本均值是否存在显著差异。

通过对不同组之间的方差进行比较，判断样本均值之间是否存在显著性差异。

方差分析广泛应用于实验设计和数据分析中，是一种重要的统计工具。

一、方差分析的基本概念方差分析是一种用于比较多个总体均值是否相等的统计方法。

在进行方差分析时，我们通常将数据分为不同的组别，然后比较这些组别之间的均值差异是否显著。

方差分析的基本思想是通过比较组间变异与组内变异的大小，来判断总体均值是否存在显著差异。

在方差分析中，有三种不同的方差：1. 总体方差（Total Variance）：所有数据点与总体均值之间的离差平方和。

2. 组间方差（Between-group Variance）：各组均值与总体均值之间的离差平方和，反映了不同组别之间的差异。

3. 组内方差（Within-group Variance）：各组内部数据点与各自组均值之间的离差平方和，反映了组内数据的离散程度。

二、方差分析的应用领域1. 实验设计：方差分析广泛应用于实验设计中，用于比较不同处理组之间的均值差异，判断实验处理是否显著。

2. 医学研究：在医学研究中，方差分析常用于比较不同药物治疗组的疗效差异，评估治疗效果的显著性。

3. 市场调研：在市场调研中，方差分析可用于比较不同产品或广告策略对消费者行为的影响，帮助企业制定营销策略。

4. 教育评估：在教育领域，方差分析可用于比较不同教学方法或教育政策对学生成绩的影响，评估教育改革效果。

三、方差分析的步骤进行方差分析时，通常需要按照以下步骤进行：1. 提出假设：明确研究问题，提出原假设（各组均值相等）和备择假设（至少有一组均值不相等）。

2. 收集数据：根据研究设计，收集各组数据。

3. 方差分析：计算总体方差、组间方差和组内方差，进行方差分析。

4. 判断显著性：通过计算F值，比较P值与显著性水平，判断各组均值是否存在显著差异。

方差分析的基本原理

方差分析的基本原理.
方差分析是一种统计方法，用于比较两个或多个样本平均值之间的差异是否显著。

其基本原理是将总体方差分解为组内变异和组间变异，然后进行统计检验判断变异的差异是否由于随机误差。

方差分析的基本原理可以通过以下步骤来理解：
1. 假设：首先需要建立一个空假设，即组间的平均值相等。

而备择假设则是组间的平均值不相等。

2. 方差分解：将总体方差分解为组内的平均方差和组间的平均方差。

组内方差衡量了组内个体与各自组的平均值之间的差异，而组间方差衡量了各组平均值之间的差异。

3. 计算统计量：通过计算组间和组内的方差比（F值）来评估
组间和组内的变异程度。

这个比值越大，说明组间的差异相对较大。

4. 显著性检验：利用统计表进行显著性检验，比较计算得到的F值与理论F分布的临界值。

如果计算得到的F值大于临界值，则拒绝空假设，认为组间的差异显著，即各组的平均值不相等。

5. 结果解释：如果显著性检验表明组间差异显著，接下来可以进行多重比较分析，进一步确定哪些组之间存在显著差异。

总之，方差分析通过将总体方差分解为组内和组间的方差，然
后进行显著性检验，以判断样本之间的平均值差异是否显著。

这种分析方法广泛应用于实验设计和统计推断中，帮助我们理解和解释数据之间的差异。

5 方差分析


Step03：选择均值多重比较方法 单击【选项】按钮， 勾选【方差同质性检验】， 表示输出方差齐性检验表。 单击【继续 】按钮返回主对话框， 单击【确定】按钮，操作完成。
实例结果及分析
1）方差齐性检验
概率P值0.9 46明显大于显著性水平， 故认为这三组数据的方差是 相同的，满足方差分析的前 提条件。
Step04：方差分析的精细比较设置
• 在“单 因素方差分析”对话 框，单 击【对比】按钮，勾选【多项式】， 激活【度】下拉菜 单 ，默 认选择 【线性】选项，表示要进行均值的 精细比较。 • 接着在【系数 】文本框中依次输 入 线 性多 项 式的系 数 “ 1” 、“ 1” 、 “－ 3” 和“ 1” ， 并单击 【添加】 按钮确认设置。 •再单击【继续】按钮，返回“单检验 由于概率P值0.856明显大于显著性水平，故认为样本数据 的方差是相同的，满足方差分析的前提条件。
3）双因素方差分析检验表
3）双因素方差分析检验表分析
第一行的校正模型是对所用方差分析模型的检验，其原假设为模型中所 有的影响因素均无作用，即职业、性别及两者的交互作用等对每周薪金都 无显著影响。该检验的P值远小于0.05，因此所用模型有统计学意义， 以上所提到的因素中至少有一个是有显著差异的，但具体是哪些则需要阅 读后面的分析结果。 第二行是对模型中常数项是否等于0进行的检验，虽然根据概率P值判 断它显著不等于零，但它在分析中没有实际意义，忽略即可。 第三、四行分别是对职业、性别的影响效应进行的检验，其零假设分别 是：职业或性别对薪金没有显著性差异。但这两行对应的相伴概率P都接 近0，显然小于显著性水平0.05。可见，两者分别对薪金有显著性影 响。 第五行是对职业和性别的交叉作用进行检验，可见P为0.011， 小于显著性水平，表示交互作用对观测变量每周薪金有显著性影响作用。 从上面方差分析结果看到，职业、性别及其两者的交互项都直接 影响了每周薪金的高低，存在统计学意义下的显著差异。

方差分析课件-PPT

、 、 、 增重表就是选用S-N-K法作均数多重两两比较得结果
增重表就是选用S-N-K法作均数多重两两比较得结果:
本例按a=0、05水准,将无显著性差异得数归为一类 (Subset for alpha=0、05)。可见
品种5、2、3得样本均数位于同一个子集( Subset )内,说 明品种5、品种2、品种3得样本均数两两之间无显著差异; 品种3、4、1位于同一个Subset内,她们之间无显著差异;而 品种5、2与品种4、1得样本均数有显著差异。
即三组均数间差异极显著,即不同时期切痂对大鼠肝脏 ATP含量有影响。
LSD法多重比较:
“*”显著性标注 两组均数得差
•S-N-K法:本例按0、5水平,将无显著差异得均数归为一类。
•第一组与第三组为一类,无显著差异,它们与第二组之间均数差 异显著。
•LSD与S-N-K法,不同得两两比较法会有不同。
如欲了解就是否达到极显著差异,需要将显著水平框中得 值输入0、01。
例、 为了研究烫伤后不同时间切痂对大鼠肝脏 ATP得影响,现将30只雄性大鼠随机分成3组,每组 10只:A组为烫伤对照组,B组为烫伤后24小时切痂 组,C组为烫伤后96小时切痂组。全部大鼠在烫伤 168小时候处死并测量器肝脏ATP含量,结果如下。 问试验3组大鼠肝脏ATP总数均数就是否相同。
该12个观察值得总得均值为91、5,标准差为34、 48。
上图为品系、剂量间均值得方差分析(F检验)结果
由表中可知,品系得F=23、771,P=0、001<0、01,差异极显著;
剂量得F=33、537,P=0、001<0、01,差异极显著。说明不同品系与 不同雌激素剂量对大鼠子宫得发育均有极显著影响,故有必要进一步对 品系、雌激素剂量两因素不同水平得均值进行多重比较。
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Σ(Y－Ӯ )2=Σ(Y － Ӯt) 2 + n ( Ӯt － Ӯ ) 2
A3 22.1 ……… 25.8 123.7 24.74 15.97
A4 27.0 ……… 28.5 139.8 27.96 22.33
再把全部处理观察值的……累加，得：
ΣΣ(Y－Ӯ )2=ΣΣ(Y－Ӯt) 2 + nΣ ( Ӯt－Ӯ ) 2 即： SST = (组内) SSe + (组间) SSt 其中 SSt = nΣ ( Ӯt－Ӯ ) 2 = Σ Tt 2 /n －C
dft = k － 1= 3 dfe= dfT － dft =19－3 = df1 + df2 + df3 +df4= 4 +4 +4+4 = 16
第一节 方差分析原理
三、列ANOVA表，进行F-test
变异来源 DF SS
MS F
F 0.01
处理 3 114.27 38.09 7.13 ** 5.29
Fisher’s protected multipe comparisons. 此前产生的复极差测验 (简称q-test、又 称SNK测验) 却可以不经过F-test, 原因 是q-test算LSRα时要改查q 值表(附表7), 所依据的q分布是按极差抽样分布原理 要保证各比较都是同一显著水平α, 因 而对 t 分布修正幅度随秩次距k的递增 而加大的速度要比SSR分布快, 所以秩 次距k≥3 时q0.05和q0.01 比相应的SSR0.05 和SSR0.01大。
A3 24.74
Ӯt－26.28 Ӯt－27.96
4.9 ** 3.22 * 1.68 ns
SE = 1.033
综合包括多重比较在内的方差分析 全过程，其原理可归纳为：
一个性质(SS、DF的可加性) 两个分布(F分布和SSR分布) 本例根据SSR分布进行的多重比较 叫新复极差测验, 简称SSR-test 。因为 不能缺少 F-test 显著的前提，属于
上升到26.5%( 即 “t0.05 ”= t0.265 )……以
此
类推……5个样本……40%以上。
第一节 方差分析原理
一、数据整理
饲料 鱼 的 增 重 （10g）
根据方差分析的先决条件，在“三个
Tt
Ӯt
SS
假定”成立的前提下，对右表继续整理： A1 31.9 ……… 35.9 155.9 31.18 41.67
S Ӯ1-Ӯ2 =√Se2 ( 1/n1 + 1/n2 ) = 1.70
t0.143)…
t =〔( Ӯ1- Ӯ2 ) －(μ1-μ2)〕÷ SӮ1- Ӯ2
继续以相同的容量每次抽四个样本，
= 6.44 ÷ 1.70 = 3.8 ＞ “t0.05”=2.306
仍以Ӯ最大的和Ӯ最小的求算t 值, 则…… 的把由握于不撇到开8A0%、。B孤立地进行，否定HO
重要程度是否达到显著水平。
第一节 方差分析原理
四、多重比较 R.A.Fisher 创建的方差分析法并没有明确
(极)显著差异究竟存在于哪些 “组平均数” 之间, F值(极)显著所包含的信息只有通过 对C2n= k(k-1)/2个两两差数进行多次连续性
顺序 Ӯt Ӯt－24.74 27.96
A1 31.18 6.44 A4 27.96 3.22 A2 26.28 1.54 A3 24.74
dft = k － 1= 4 dfe= dfT － dft =24－4= 20
3、列ANOVA表，进行F-test
假设是Ho:σt2 ≤σe2 而不是Ho:σt2 =σe2
（和 Ho:μ1= μ2= μ3= μ4= μ5效果一样）
SOV DF SS MS F F 0.01 品种 4 73.2 18.3 5.83** 4.43
试验设计有几个可控因素, 数据就会有几种 可能的分组方式, 也就可以算出几个组间SS, 而 本属于组内SS的误差分量在平方和分解时总是 由SST 减去所有可控因素SS得到, 因此它又被称 为“剩余平方和”。
自由度的剖分与平方和的剖分一一对应。
㈡依据F分布进行整体测验； 只确定可控因素分量和误差分量的相对
第二节 单向分组数据
单向分组数据指观察值仅按一个方 向分组的数据。如例5.1中将全部供试单 品种 产仔数观察值（头） Tt Ӯt
位(试验材料)随机地分成若干组，然后
1 8 13 12 9 9 51 10.2
各组给以不同处理，即同组供试单位受 2 7 8 10 9 7 41 8.2
相同处理，不同组受不同处理，这样所 得的全部观察值在设计上称为完全随机 试验数据，而实际研究中下例5.2那样的 调查结果也属此类。
㈠平方和与自由度的可加性； SST 综合了全部观察值的变异量, 它汇总了
各变异来源 (SOV) 导致原始数据和全试验平均 数 ( Ӯ ) 出现差异的分量, 包括可控因素分量和 误差分量两类; “可加性” 证实前者就是观察 值按可控因素分组后算得的组间平方和 ( 可控 因素可以是试验因素, 也可以是象单位组那样 的其它系统因素 ) 。
测验才能完全揭露出来，这就是多重比较。
ν=16，k =2→
多重比较不论用哪一种方法, 区别于多 次孤立的 t-test 或者说体现其“连续性” 特征
ν=16，k =3→
Ӯt－26.28 Ӯt－
4.9
3.22
1.68
←SSR= t√2
之处有两个, 一是必须使用同一个共用的标 准误, 记为“SE”), 本例SE＝√MSe / n ＝ √5.34÷5 =1.033 （10g）; 二是所依据的抽样分
A1 31.9 ……… 35.9 A2 24.8 ……… 26.2 A3 22.1 ……… 25.8
155.9 31.18 41.67 131.4 26.28 5.43 123.7 24.74 15.97
A4 27.0 ……… 28.5 139.8 27.96 22.33
比如本例针对药剂A1与药剂A3的两两差 数6.44 (最大Ӯ －最小Ӯ) 进行的t-test:
误差 20 62.8 3.14
总 24 136 4、多重比较
SE=√MSe / n =√3.14÷5 = 0.793
品种 产仔数观察值（头） Tt Ӯt
Y－Ӯ = (Y－Ӯt) + ( Ӯt －Ӯ ) 两边同时平方，得:
(Y－Ӯ )2 = (Y － Ӯt) 2 + ( Ӯt － Ӯ ) 2 +2 (Y － Ӯt) ( Ӯt － Ӯ )
由同一处理重复观察值的……累加：
Σ(Y－Ӯ)2=Σ(Y－Ӯt) 2 + Σ(Ӯt －Ӯ ) 2 +2 ( Ӯt － Ӯ ) Σ (Y － Ӯt) 〔= 0〕
第一节 方差分析原理
附表6 列出了各自由度对应的t 分布曲线 再按9 种秩次距修正出来的SSR分布当两尾 概率取0.05和0.01时临界值，记为SSR0.05和 SSR0.01，其中k =2的那一条因为实际就是 t 分布曲线压缩横坐标刻度所得, 所以表中列
顺序 Ӯt 27.96
A1 31.18 A4 27.96 A2 26.28 A3 24.74
= (155.9 2 +131.4 2 +123.7 2 +139.8 2 )/ 5 － 15169.03 = 114.27
于是SSe = SST－ SSt = 199.67 －114.27 = 85.4 = SS1 + SS2 + SS3 +SS4 = 41.67 +5.43 +15.97+22.33
1、数据整理
C = T 2/nk = 265 2/25 = 2809 SST =ΣΣ(Y－Ӯ ) 2 = ΣΣY 2 －C
=82 +132 +……+132 －2809 = 136 dfT = nk － 1= 5 ×5 － 1 = 24
第二节 单向分组数据
2、平方和、自由度的分解
SSt = nΣ ( Ӯt－Ӯ ) 2 = Σ Tt 2 /n －C = 73.2 = (51 2 +41 2 +60 2 +48 2 +65 2 )/ 5 －2809 于是 SSe = SST－ SSt = 136－73.2 =62.8
Ӯt－24.74 Ӯt－26.28 Ӯt－
6.44 ** 3.22 ns 1.54 ns
4.9 ** 1.68 ns
3.22 *
出的SSR0.05和SSR0.01就分别等于附表3所列 t0.05 和t0.01的√2 倍; 其它k≥3的SSR分布随 着P的递增, 对 t 分布的修正幅度加大, 因此
ν=16，k =2→ ν=16，k =3→
3 13 14 10 11 12 60 12 4 13 9 8 8 10 48 9.6 5 12 11 15 14 13 65 13
一、各组观察值个数相等
例5.2 抽测 5个不同品种(k = 5)各5 头母猪(n = 5)的窝产仔数，结果如右表 所示，T = 265，试检验不同品种的母猪 平均窝产仔数差异是否显著。
5
2 3.00 4.13 3.099 4.266
3 3.15 4.34 3.254 4.483
4 3.23 4.45
LSR0.05= SE ·SSR0.05
3.337 4.597
LSR0.01= SE ·SSR0.01
顺序 Ӯt Ӯt－24.74
A1 31.18 6.44 ** A4 27.96 3.22 ns A2 26.28 1.54 ns
ν=16，k =4→
3.自由度dfe决定, 并根据 两两差数秩次距“k”的不同而有所修正。如
↓ 3.00
↓
本例k = 2、3、4，测验时依据dfe=16的 t 分