2013届高三数学考点大扫描限时训练003
1. 设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，上顶点为A ，直线AF 的倾斜角为 45， （1）求椭圆的离心率；
（2）设过点A 且与AF 垂直的直线与椭圆右准线的交点为B ，过A 、B 、F 三点的圆M 恰好与直线033=+-y x 相切，求椭圆的方程及圆M 的方程
2. 如图，某小区准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，ABC ∆外的地方种草，ABC ∆的内接正方形PQRS 为一水池,其余地方种花.若BC=20,米 ABC=θ∠,设ABC ∆的面积为
1S ，正方形PQRS 的面积为2S ，将比值2
1S S 称为“规划合理度”.
（1）试用θ表示1S 和2S .
（2）当θ变化时,求“规划合理度”取得最小值时的角θ的
大小.
3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n S n n =+．数列{}n b 中，11b =，1n n b b a -= (2)n ≥．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若存在常数t 使数列{}n b t +是等比数列，求数列{}n b 的通项公式；
（3）求证：①12n n b b +>；②123111112n n
b b b b b ++++<- ．
A B C
P Q R S
参考答案：
1.⑴因为直线AF 的倾斜角为 45，所以b c =，
．………………4分
⑵由⑴知,==b c a ，直线AB 的方程为c x y +-=，右准线方程为c x 2=…………7分
可得()2,B c c -，又AF AB ⊥，所以过,,A B F 三点的圆的圆心坐标为,22c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，…9分
半径12r FB ==，因为过,,A B F 三点的圆恰好与直线330x y -+=相切，所以圆心到直线330x y -+=的距离等于半径r
=，……………………12分 得1c =
，所以1,b a =2
212
x y +=． ………………14分 圆M 的方程为 2
5)21()21(22=
++-y x ……15分 2.解：（1）、 如图，在Rt ∆ＡＢＣ中，AC=20sin ,AB=20cos θθ，……………2分
22011S sin cos 2
θθ=⨯⨯＝1002sin θ ……………………………3分 设正方形的边长为x 则 x BQ= ,RC=xtan tan θθ，x +x+xtan =20tan θθ∴………6分 1120 x=+tan +tan θθ∴ ＝20222sin sin θθ+ ，2
2202222sin S x sin θθ⎛⎫== ⎪+⎝⎭ ……………………8分 （2）、2t s i n θ= 而2S ＝222024422sin sin sin θθθ++1412S 1t S 4t ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭
……11分 ∵0 < θ < 2π,又0 <２θ <π,∴０为减函数 当1t =时 12
S S 取得最小值为23此时21sin =4πθθ=∴ . ………15分 3．解：（1）1n =时，113a S ==，2n ≥时，
221(2)(1)2(1)21n n n a S S n n n n n -=-=+----=+，
且1n =时也适合此式，故数列{}n a 的通项公式是21n a n =+； ------3分
（2）依题意，2n ≥时，1121n n b n b a b --==+，
∴112(1)n n b b -+=+，又112b +=， - ---------6分
∴{1}n b +是以2为首项，2为公比的等比数列，即存在常数t =2使数列{}n b t +是等比数列
11222n n n b -+=⋅=，即21n n b =-. - -----------8分
（3） ①112(21)2(21)10n n n n b b ++-=---=>所以12n n b b +>对一切自然数n 都成立． --------10分
②由12n n b b +>得1112n n b b +<，设1231111n S b b b b =++++ ，则S 1121
1111222n b b b b -<
++++ 1111()2
2n S b b =+-，所以12112n n S b b b <-=-． -------------16分
