(最新整理)高三数学解答题限时训练及答案 (9)

高三数学限时训练（解三角形、数列）考试时间：60分钟 1-10每题6分 11-12每题20分1．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°2．在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30o和60o，则塔高为A ．3m B ．3m C ．4003m D ．2003m 3．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c .若a ＝5，b ＝3，sin B ＝22，则符合条件的三角形有A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个4．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c .若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A 等于A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°5．在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边)，则△ABC 的形状为A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形6. 已知c b a ,,为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量(),1,3-=m(),sin ,cos A A n=若,n m⊥且,sin cos cos C c A b B a =+则角A ，B 的大小分别是 A ．3,6ππ B ．6,32ππ C ．6,3ππ D ． 3,3ππ7.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ， b ， c , 且b =3，c =1，A=2B ，则a= .8．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积等于 . 9. 如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A ，B ，灯塔B 位于灯塔A 的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A 的北偏西75°，与A 相距32海里的D 处；乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向，与B 相距5海里的C 处．则两艘轮船之间的距离为 海里．10. 已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，a =2，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 .班级:_______________________ 姓名：________________11. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是c b a ,,，已知3,2==C c ．（1）若△ABC的面积等于3，求a ，b ；（2）若A A B C 2sin 2)sin(sin =-+，求△ABC 的面积.12.已知数列{a n }满足a 1=a , a n+1=1+na 1我们知道当a 取不同的值时，得到不同的数列，如当a =1时，得到无穷数列：.0,1,21:,21;,35,23,2,1---=得到有穷数列时当a （1）求当a 为何值时a 4=0；（2）设数列{b n }满足b 1=－1, b n+1=)(11*N n b n ∈-，若a 取数列{b n }中的任一个数，都得到一个有穷数列{a n }吗？请说明理由（3）若)4(23≥<<n a n ，求a 的取值范围.高三数学限时训练（解三角形、数列）参考答案1-6 BCB ABC 7.32 8. 32；349. 1310.11．解：（1）由余弦定理及已知条件，得422=-+ab b a ． 又因为△ABC 的面积等于3，所以3sin 21=C ab ，得4=ab ． 联立方程组⎩⎨⎧==-+,4,422ab ab b a 解得⎩⎨⎧==.2,2b a故2a ==b（2）由题意，得A A A B A B cos sin 4)sin()sin(=-++，得A A A B cos sin 2cos sin =．因为),0π（，∈B A ①当0cos =A ，即2π=A 时，6π=B ，334=a ，332=b ， 此时△ABC的面积12S bc ==． ②当0cos ≠A 时，得A B sin 2sin =，由正弦定理，得a b 2=．联系方程组⎩⎨⎧==-+,2,422a b ab b a 解得342=a此时△ABC 的面积33223221sin 212=⋅⋅==a C ab S ． 综上，△ABC 的面积332sin 21==C ab S ． 12. （1）解法1：14321111121,,0,1,,;123n n n n a a a a a a a a a ++=+∴==∴=-=-==-- 解法2：1123441121322,1,.,,0,113n n a a a a a a a a a a a a a a a ++++==+∴====∴=-++（2）都是得到一个有穷数列{a n }，理由如下：1111,1,{},1n n n n n n n b b a b b a b b b ++=∴=+=- 若取数列的一个数即, 132121111111,11,,n n n n b a b a b a b ---=+=+==+=+= 2则a 0111,111=-+=-==+n n a b a 所以数列{}n a 只能是有穷数列． （3）因为)4(223≥<<n a n ，所以)5(2a 11231≥<+<-n n ， 解得2a 11<<-n ，又()2,1()2,23(⊆， 故必需只须2234<<a 时，都有)4(223≥<<n a n a a a a +=+=1112，aa a a a a ++=++=+=121111143 aaa a a a 213221111134++=+++=+= 由2122323<++<a a ，得0>a 所以a 的取值范围0>a ．。

同角三角函数基本关系式及诱导公式一、单项选择题1．(★)(2023·扬州模拟)sin 1 050°等于( ) A.12 B. －12 C. 32 D. －322．(★)(2023·昆明模拟)已知sin(3π＋α)＝35，且α在第三象限，则cos α等于( )A ．－45B ．－35 C.35 D.453．(★)(2024·徐州模拟)若θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，tan θ＝12，则sin θ－cos θ等于( )A ．－255 B.255 C ．－55 D.554．(★)(2024·泸州模拟)直线2x ＋y －3＝0的倾斜角是θ，则sin π－θ＋cos 2π－θsin π＋θ－cos π＋θ的值是( ) A ．－3 B ．－1 C ．－13D ．15．(★★)(2024·上海模拟)若实数α满足cos α＝tan α，则1sin α＋cos 4α的值为( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．16．(★★)如图所示，在半径为1的扇形AOB 中(O 为原点)，A (1,0)，∠AOB ＝2π3，点P (x ，y )是AB ︵上任意一点(含端点)，则xy ＋x ＋y 的最大值为( )A.34－12 B ．1 C.334＋12 D.2＋12二、多项选择题7．(★)2sin x 1－cos 2x ＋cos x 1－sin 2x 的值可能为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．38．(★)(2023·金华一中模拟)已知 sin θ＋cos θ＝15，θ∈(0，π)，则( ) A. sin θcos θ＝－1225 B. sin θ－cos θ＝1225 C. sin θ－cos θ＝75D ．tan θ＝－43三、填空题9．(★)(2023·衡阳模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－α＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6的值为________．10．(★)(2024·合肥模拟)已知sin α＝2m －3m ＋2，cos α＝－m ＋1m ＋2，且α为第二象限角，则sin()α＋2 024π＋cos()α＋2 023πcos⎝⎛⎭⎪⎫α＋2 021π2＝________.四、解答题11．(★)已知3sin2α－4sin αcos α＋1＝0.(1)求tan α的值；(2)求sin αcos α1＋cos2α的值．12．(★★)已知－π<x<0，sin(π＋x)－cos x＝－15，求sin 2x＋2sin2x1－tan x的值．。

【10天刷完高考真题】冲刺2023年高考数学考前必刷题限时集训练（新高考通用）新高考真题限时训练打卡第三天一、单选题（本题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（2020·海南·高考真题）设集合A ={2，3，5，7}，B ={1，2，3，5，8}，则A B ⋂=（）A ．{1，3，5，7}B ．{2，3}C ．{2，3，5}D ．{1，2，3，5，7，8}【答案】C【分析】根据集合交集的运算可直接得到结果.【详解】因为A{2，3，5，7}，B ={1，2，3，5，8}，所以{}2,3,5A B = 故选：C【点睛】本题考查的是集合交集的运算，较简单.2．（2020·海南·高考真题）()()12i 2i ++=（）A ．45i +B ．5iC ．5i-D ．23i+【答案】B【分析】直接计算出答案即可.【详解】()()212i 2i 2i 4i 2i 5i ++=+++=故选：B【点睛】本题考查的是复数的计算，较简单.3．（2020·海南·高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）A ．2种B ．3种C ．6种D ．8种【答案】C【分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有12323C C =种分法第二步，将2组学生安排到2个村，有222A =种安排方法所以，不同的安排方法共有326⨯=种故选：C 【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.4．（2019·全国·高考真题）设α，β为两个平面，则//αβ的充要条件是A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面【答案】B【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．【详解】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是//αβ的充分条件，由面面平行性质定理知，若//αβ，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是//αβ的必要条件，故选B ．【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ”此类的错误．5．（2020·山东·统考高考真题）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范围是（）A ．()2,6-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)-【答案】A【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-，利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】AB的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB方向上的投影的取值范围是(1,3)-，结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅ 等于AB 的模与AP 在AB方向上的投影的乘积，所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，故选：A.【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.6．（2019·全国·高考真题）关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π,π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③【答案】C【分析】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案．【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴ 为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N 时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x \的最大值为2，故④正确．综上所述，①④正确，故选C ．【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．二、多选题（本题共2小题，每小题5分，共10分。

绝密★启用前高考模拟试题（九）数学时间：120 分钟 分值：150 分注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数i R a ai z ，∈-=(23为虚数单位)，若i z 23212-=，则=a ()A.1B.2C.21D.232.若61)4tan(=-πθ，则=θtan ()A.1B.75-C.65-D.573.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 做直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数)(x f ，则)(x f y =在],0[π的图象大致为()BA CD4.已知平面向量a )1,2(=，b ),2(x =，且(a +2b )⊥(a —b )，则=x ()A.21-B.21 C.—1 D.15.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为()A.18B.21C.318+ D.321+6.设集合}1)2()(|),{(}1)4(|),{(2222=+-+-==+-=at y t x y x B y x y x A ，，如果命题“ØB A R t ≠∈∃ ，”是真命题，则实数a 的取值范围为()A.34,(-∞ B.]34,0[ C.)2,34[ D.),2(+∞7.两所学校分别有2名，3名学生获奖，这5名学生要排成一排合影，则同校学生排在一起的概率为()A.51 B.41 C.32D.528.“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”，斐波那契数列}{n a 满足：11=a ，12=a ，21--+=n n n a a a (3≥n ，*N n ∈)，记其前n 项和为n S ，设t a =2018(t 为常数)，则=-+2015201720182S S S ()A.2tB.tC.t2 D.t39.作出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+341043y x y x ，，表示的平面区域，过该区域上任意一点P 作圆122=+y x 的两条切线，切点分别为B A ，，则PAB ∠cos 的最大值为()A.23 B.32 C.31 D.2110.已知函数)(x f '是函数)(x f 的导函数，ef 1)1(=（e 是自然对数的底数），对任意实数x ，都有0)()(>'-x f x f ，则不等式2)(-<x e x f 的解集为()A.),(e -∞ B.),1(+∞ C.),1(e D.),(+∞e 11.抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，准线为l ，B A 、是抛物线上的两个动点，且满足32π=∠AFB ，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则ABMN 的最大值是()A.3B.23 C.33 D.4312.体积为3的三棱锥ABC P -的顶点都在球的球O 面上，⊥PA 平面ABC ，。

高三数学参考答案1.ʌ答案ɔ㊀Cʌ解析ɔ㊀由图可知,阴影部分表示的集合的元素为集合A 中的元素扣掉集合A ɘB 的元素构成;而A =x -5ɤx ɤ1{},B =x x >-2{},故所求集合为x -5ɤx ɤ-2{},故选C .2.ʌ答案ɔ㊀D ʌ解析ɔ㊀依题意,P 163<X <175()=1-0.2ˑ2=0.6,故选D .3.ʌ答案ɔ㊀D ʌ解析ɔ㊀依题意,a =log 37=log 949,故a >b ;而a <2<c ,故b <a <c ,故选D .4.ʌ答案ɔ㊀C ʌ解析ɔ㊀直线l 过定点(0,2),而(0,2)又在圆C 上,而直线l 的斜率显然存在,故公共点的个数为2,故选C .5.ʌ答案ɔ㊀B ʌ解析ɔ㊀设数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,则a 1q ㊃a 1q 2=2a 1,a 1q 3=2,又a 4+2a 7=52,所以a 1q 3+2a 1q 6=52,a 1q 3+2a 1q 6a 1q 3=54,q 3=18,q =12,a 1=16,S 5=16(1-125)1-12=31,故选B .6.ʌ答案ɔ㊀Bʌ解析ɔ㊀依题意,13㊃2π+18π+2π㊃18π()㊃h =104π3,解得h =4;四面体ABCD 的外接球即为圆台O 1O 2的外接球,设其半径为R ,OO 1=d ,则OO 2=4-d ,故R 2=2+d 2=18+4-d ()2,解得d =4,故R 2=18,故四面体ABCD 的外接球表面积为72π,故选B .7.ʌ答案ɔ㊀Aʌ解析ɔ㊀由图可知,AB =3π8,设A ,B 两点在曲线y =2sin x 中对应的点为Aᶄ,Bᶄ,易知AᶄBᶄ=3π4,故ω=2;而x 1-x 2的值不受φ的影响,故f x 1()=-f x 2()=-12,可简单化为2sin2x 1=-12,则sin2x 1=-14,cos2x 1=154,同理sin2x 2=14,cos2x 2=154,则cos(2x 1-2x 2)=cos2x 1cos2x 2+sin2x 1sin2x 2=154ˑ154-14ˑ14=78,故选A .8.ʌ答案ɔ㊀Aʌ解析ɔ㊀已知直线l :y =kx +43,设直线OM ,ON 的方程分别为y =k 1x ,y =k 2x ;记点1,1()到直线OM 的距离为r ,则k 1-11+k 21=r ,整理得1-r 2()k 21-2k 1+1-r 2=0,同理可得,1-r 2()k 22-2k 2+1-r 2=0,故k 1,k 2是方程1-r 2()x 2-2x +1-r 2=0的两根,故k 1k 2=1,设M x 1,y 1(),N x 2,y 2(),则y 1y 2x 1x 2=1,故y 1y 2=x 1x 2;联立y =kx +43,y 2=4x ,ìîíïïïï故3ky 2-12y +16=0,故y 1y 2=163k ,则x 1x 2=y 21y 2216=169k 2,故169k 2=163k,解得k =13,故选A .9.ʌ答案ɔ㊀BCʌ解析ɔ㊀依题意,x -3()2=-3,故x =3ʃ3i,则z 1,z 2是共轭复数,实部相同,虚部互为相反数,故A 错误,B 正确;而z 1=3ʃ3i =23,故C 正确;z 1+z 22-i=62-i =125+65i,故z 1+z 22-i 在复平面内所对应的点125,65()位于第一象限,故D 错误;故选BC .10.ʌ答案ɔ㊀BCDʌ解析ɔ㊀依题意,m ㊃n =b c tan A +b c tan B =13cos A ,则sin A cos A +sin B cos B =sin C3sin B cos A,由正弦定理,sin A +B ()cos A cos B =sin C3sin B cos A;因为sin A +B ()=sin π-C ()=sin C ,且sin C ʂ0,故3sin B =cos B ,故tan B =33,因为B ɪ0,π(),故B =π6,故A 错误;则R =b2sin B=4,故其外接圆面积为16π,故B 正确;而AM =3MC =3,记øBAC =øABM =θ,所以øBMC =2θ,AM =BM =3,MC =1,AC =4,在әABC 中,由正弦定理,BC sin θ=ACsinøABC,即BC =8sin θ,在әBMC 中,由余弦定理,BC 2=BM 2+CM 2-2BM ㊃CM ㊃cos2θ=10-6cos2θ,故64sin 2θ=10-6cos2θ,解得sin 2θ=113,因为θɪ0,π2(),则sin θ=1313,BC =8sin θ=81313,故C㊁D 正确;故选BCD .11.ʌ答案ɔ㊀ACDʌ解析ɔ㊀f f -2()[]=f 8()=-32,故A 正确;作出函数f x ()的图象如右图所示,观察可知,0<λ<4,而f λ()ɪ0,4(),故y =f x (),y =f λ()有3个交点,即函数g x ()有3个零点,故B 错误;由对称性,b +c =4,而a ɪlog 315,0(),故a +b +c ɪ4+log 315,4(),故C 正确;b ,c 是方程x 2-4x +λ=0的根,故bc =λ,令3-a -1=λ,则a =-log 31+λ(),故abc =-λlog 31+λ(),而y =λ,y =log 31+λ()均为正数且在0,4()上单调递增,故abc ɪ-4log 35,0(),故D 正确;故选ACD .12.ʌ答案ɔ㊀-30ʌ解析ɔ㊀要想产生y 2x ,则-x 2出1个,1㊀x3出2个,y 出2个,故所求系数为C 15㊃-1()㊃C 24=-30.13.ʌ答案ɔ㊀23ʌ解析ɔ㊀在AD 上取点G ,使得NG ʊAS ,由AM AB =DN DS,设AM =xAB ,DN =xSD ,其中0<x <1,由AB =AS =2,BC =4,SA ʅ平面ABCD ,可得SD =AS 2+AD 2=25,AM =2x ,DN =25x ,BM =2-2x ,因为NG ʊAS ,故NG ʅ平面ABCD ,在әASD 中,GN AS =DNSD,则GN =2x ,则әBCM 的面积为12BM ㊃BC =4-4x ,故V C -BMN =V N -BCM =831-x ()x ɤ23,当且仅当x =12时等号成立.14.ʌ答案ɔ㊀3ʌ解析ɔ㊀设椭圆的长半轴长为a 1,椭圆的离心率为e 1,则e 1=c a 1,a 1=ce 1,双曲线的实半轴长为a ,双曲线的离心率为e ,则e =c a ,a =ce,设MF 1=x ,MF 2=y (x >y >0),则4c 2=x 2+y 2-2xy cos60ʎ=x 2+y 2-xy ,当点M 被看作是椭圆上的点时,有4c 2=(x +y )2-3xy =4a 21-3xy ,当点M 被看作是双曲线上的点时,有4c 2=(x -y )2+xy =4a 2+xy ,两式联立消去xy 得4c 2=a 21+3a 2,即4c 2=c e 1()2+3c e()2,所以1e 1()2+31e()2=4,又1e 1=e ,所以e 2+3e2=4,整理得e 4-4e 2+3=0,解得e 2=3或e 2=1(舍去),所以e =3,即双曲线的离心率为3.15.(13分)ʌ解析ɔ㊀(1)依题意,f ᶄx ()=2x e x -2ax =2x e x -a (),故f ᶄ0()=0,(2分) 而f 0()=-2,故切点为0,-2(),(3分) 则所求切线方程为y =-2;(5分) (2)由(1)可知,f ᶄx ()=2x e x -e 2(),(6分) 当x ɪ1,2[)时,f ᶄx ()<0,函数f x ()在1,2[)上单调递减,(8分) 当x ɪ2,3(]时,f ᶄx ()>0,函数f x ()在2,3(]上单调递增,(10分) 而f 1()=-e 2,f 2()=-2e 2,f 3()=4e 3-9e 2,(12分) 故所求最大值为4e 3-9e 2,最小值为-2e 2.(13分) 16.(15分)ʌ解析ɔ㊀(1)法一:零假设H 0:不能认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联; (1分)则χα=400ˑ160ˑ60-140ˑ40()2200ˑ200ˑ300ˑ100(3分)=163ʈ5.333<6.635,(5分) 故依据α=0.01的独立性检验,没有充足证据推断H 0不成立,因此可以认为H 0成立,即不能认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联;(7分)法二:由题知,K 2=400ˑ160ˑ60-140ˑ40()2200ˑ200ˑ300ˑ100=163ʈ5.333<6.635,故没有99%的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联;(2)依题意,X ~B 4,34(),P X =0()=14()4=1256,(8分) P X =1()=C 1414()3ˑ34()=12256,(9分)P X =2()=C 2414()2ˑ34()2=54256,(10分)P X =3()=C 3414()ˑ34()3=108256,(11分) P X =4()=34()4=81256;(12分) 故X 的分布列为:X 01234P1256122565425610825681256(13分)则E X ()=4ˑ34=3.(15分)17.(15分)ʌ解析ɔ㊀(1)设BC 中点为E ,连接AE ;因为øCDA =øDCB =2øDCA =90ʎ,且AD =CE ,故四边形ADCE 为正方形;(1分) 而AC =22,AE =2,AB =22,所以BC 2=AB 2+AC 2,所以AB ʅAC ;(3分) 因为SA ʅ平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ,所以SA ʅAC ;(4分) 又SA ,AB ⊂平面SAB ,SA ɘAB =A ,所以AC ʅ平面SAB ;(5分) 因为AC ⊂平面SAC ,故平面SAC ʅ平面SAB ;(6分) (2)以A 为坐标原点,AE ㊁AD ㊁AS 所在直线分别为x ㊁y ㊁z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ;设SA =a (a >0),则C (2,2,0),D (0,2,0),B (2,-2,0),S (0,0,a ),所以SD ң=(0,2,-a ),DC ң=(2,0,0),(8分) 设平面SCD 的法向量为n =(x ,y ,z ),则n ㊃SD ң=0,n ㊃DC ң=0.{即2y -az =0,2x =0,{(9分)令z =2,所以n =(0,a ,2);(10分)由(1)知,平面SAB 的法向量为AC ң=(2,2,0);(12分) 则1-306()2=66=|cos<AC ң,n >|=AC ң㊃n AC ңn=(2,2,0)㊃(0,a ,2)22㊃02+22+a 2,解得a =2=SA.(15分)18.(17分)ʌ解析ɔ㊀(1)依题意,2a =4,b -00-(-c )=b c=33,a 2=b 2+c 2,ìîíïïïïï(3分)联立三式,解得a 2=4,b 2=1,故椭圆C 的方程为x 24+y 2=1;(5分)(2)设M x 1,y 1(),N x 2,y 2(),则MF 2=x 1-3()2+y 1-0()2=x 1-3()2+1-x 214=2-32x 1,同理可得,NF 2=2-32x 2,(7分) 易知直线l 与单位圆相切,设切点为B ,MB =x 21+y 21-1=32x 1,同理可得,NB =32x 2,(8分) 故әF 2MN 的周长为2-32x 1+2-32x 2+32x 1+32x 2=4+32x 1+x 2-x 1-x 2();(9分) 当直线l 的斜率不存在时,l 的方程为x =1或x =-1,此时әF 2MN 的周长为4或4+23;(10分) 当直线l 的斜率存在时,设l 的方程为y =kx +m ,则原点到直线l 的距离d =m 1+k 2=1,故1+k 2=m 2,联立y =kx +m ,x 24+y 2=1,ìîíïïïï化简可得1+4k 2()x 2+8kmx +4m 2-4=0,故x 1+x 2=-8km 1+4k 2,x 1x 2=4m 2-41+4k 2,ìîíïïïïï易知x 1x 2=4m 2-41+4k 2=4k 21+4k 2>0,故x 1,x 2同号;(12分) 当x 1+x 2=-8km1+4k 2>0时,即km <0,此时点M 在y 轴右侧,所以x 1>0,x 2>0,此时әF 2MN 的周长为4+32x 1+x 2-x 1-x 2()=4为定值;(13分) 当x 1+x 2=-8km1+4k 2<0时,即km >0,此时点M 在y 轴左侧,所以x 1<0,x 2<0,此时әF 2MN 的周长为4+32x 1+x 2-x 1-x 2()=4-3x 1+x 2()=4+83km 1+4k 2=4+83km m 2+3k 2=4+83m k +3k m;因为km >0,故m k +3k m ȡ23,当且仅当m =62,k =22,ìîíïïïïïï或m =-62,k =-22,ìîíïïïïïï时取等号,从而4<4+83m k +3k mɤ8,故әF 2MN 的周长的取值范围为4,8(];(16分) 综上所述,әF 2MN 的周长的取值范围为4,8[].(17分)19.(17分)ʌ解析ɔ㊀(1)当n =1时,a 1=S 1=2;(1分) 当2ɤn ɤ100时,a n =S n -S n -1=n 2+n -n -1()2-n -1()=2n ;综上所述,数列a n {}的通项公式为a n =2n 1ɤn ɤ100();(3分) 该数列具有 和性质 ;(4分) (2)(ⅰ)依题意,∀k ȡ2,k ɪN ∗,∃p ,q ɪN ∗,使得a k =a p +a q ;因为1=a 1<a 2< <a n ,n ȡ2,所以a p ɤa k -1,a q ɤa k -1,所以a k =a p +a q ɤ2a k -1;(6分) 即a n ɤ2a n -1,a n -1ɤ2a n -2,a n -2ɤ2a n -3, ,a 3ɤ2a 2,a 2ɤ2a 1;(7分) 将上述不等式相加得a 2+ +a n -1+a n ɤ2(a 1+a 2+ +a n -1),则a n ɤ2a 1+a 2+ +a n -1;(8分)由于a 1=1,故2a n ɤ1+a 1+a 2+ +a n -1+a n =S n +1,即a n ɤS n +12;(10分)(ⅱ)因为数列a n {}具有 和性质 ,故a 2=2a 1=2,所以a n {}中的项均为整数;构造a n :1,2,3,6,9,18,36或者a n :1,2,4,5,9,18,36,这两个数列具有 和性质 ,此时S n =75;(11分) 下面证明S n 的最小值为75,即证不可能存在比75更小的S n ;假设S n ɤ75(存在性显然,因为满足S n ɤ75的数列a n {}只有有限个);第一步:首先说明有穷数列a n {}中至少有7个元素,设有穷数列a n {}中元素组合的集合为A ,由(2)可知a 2ɤ2a 1,a 3ɤ2a 2, ,又a 1=1,所以a 2ɤ2,a 3ɤ4,a 4ɤ8,a 5ɤ16,a 6ɤ32<36,所以n ȡ7;(13分) 第二步:证明a n -1=18,a n -2=9;若18ɪA ,设a t =18,因为a n =36=18+18,为了使得S n 最小,在数列a n {}中一定不含有a k ,使得18<a k <36,从而a n -1=18;假设18∉A ,根据 和性质 ,对a n =36,有a p ,a q ,使得a n =36=a p +a q ;显然a p ʂa q ,所以a n +a p +a q =36+36=72;而此时集合A 中至少还有4个不同于a n ,a p ,a q 的元素,从而S n >(a n +a p +a q )+4a 1=76,矛盾,所以18ɪA 且a n -1=18;同理可证:a n -2=9;(15分)根据 和性质 ,存在a p ㊁a q ,使得9=a p +a q ;我们需要考虑如下几种情形:①a p =8,a q =1,此时至少还需要一个大于等于4的a k ,才能得到8,则S >76;②a p =7,a q =2,此时至少还需要一个大于4的a k ,才能得到7,则S >76;③a p =6,a q =3,此时a n :1,2,3,6,9,18,36,S n =75;④a p =5,a q =4,此时a n :1,2,4,5,9,18,36,S n =75;综上所述,S n 的最小值为75.(17分)。

解三角形中的最值与范围问题一、单项选择题1．(★)(2024·湖北联考)已知△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＋b ＝2c cos B ，则b a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b 2的最小值为( ) A ．2 2 B ．3 C ．2 3 D ．42．(★★)(2024·黄山模拟)已知△ABC 为锐角三角形，其外接圆半径为2，C ＝π3，则AB 边上的高的取值范围为( )A ．(0,3]B ．(0,3)C ．(2,3]D ．(2,3)3．(★★)(2023·马鞍山模拟)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2＝a (a ＋b )，则sin 2A sin C －A 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，324．(★★★)(2023·河南省实验中学模拟)已知△ABC 中，BC ＝3，角A 的平分线交BC 于点D ，若BD DC ＝12，则△ABC 面积的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、多项选择题5．(★)(2023·江西师大附中模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且B＝π3，b＝4，则下列判断中正确的是( )A．若A＝π4，则a＝463B．若a＝92，则该三角形只有一解C．△ABC周长的最小值为12D．△ABC面积的最大值4 36．(2023·深圳中学模拟)已知△ABC的三个内角A，B，C满足sin B＋2sin A cos C＝0，则下列结论正确的是( )A．△ABC是钝角三角形B．sin2 023A＋sin2 023B>sin2 023CC．角B的最大值为π6D．角C的最大值为2π3三、填空题7．(★★)(2023·普宁二中模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________．8．(★★★)(2024·德州模拟)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，若2S＝a2－(b－c)2，则b2＋c2bc的取值范围为____________．四、解答题9．(★★)(2024·苏州模拟)记△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝3，3c＝3cos B＋b sin A.(1)求A；(2)若点A，D位于直线BC异侧，BD⊥BC，BD＝1，求AD的最大值．10．(★★)(2023·华南师大附中模拟)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(b＋c)(sin B＋sin C)＝a sin A＋3b sin C.(1)求角A；(2)求1tan B＋1tan C的最小值．。

限时训练（九）一、滚动练习1、已知函数f（x）=xsinx+cosx+x2，则不等式的解集为（）A．（e，+∞）B．（0，e）C ．D ．2、数列{a n}是正项等比数列，{b n}是等差数列，且a6=b7，则有（）A．a3+a9≤b4+b10B．a3+a9≥b4+b10C．a3+a9≠b4+b10D．a3+a9与b4+b10大小不确定3、设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z4、设a，b是关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m+6=0的两个实根，则（a﹣1）2+（b﹣1）2的最小值是（）A ．B．18 C．8 D．﹣6二、空间几何体的结构特征、表面积与体积1、如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45 ，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是则θ的值可以是（）A ．B ．C ．D ．3、点O为正方体ABCD-A′B′C′D′的中心，点E为棱B′B的中点，若AB=1，则下面说法正确的是A．直线AC与直线EC′所成角为45°B．点E到平面OCD′的距离为C．四面体O-EA′B′在平面ABCD 上的射影是面积为的三角形D．过点O，E，C 的平面截正方体所得截面的面积为高三数学（理科）1 / 5高三数学（理科）2 /54、正六棱锥P ABCDEF -中，G 为PB 中点，则三棱锥D GAC -与三棱锥P GAC -体积之比为.5、设甲、乙为两个同底面的圆锥，侧面积分别为1S 、2S ，体积分别为1V 、2V ，若1213S S =，1233V V =，则二者表面积之比为 .6、将一圆形纸片沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为1∶2，再将它们卷成两个圆锥侧面，则两圆锥体积之比为 ．7、棱台上下底面积分别为16和81，有一平行于底面的截面面积为36，则截面戴的两棱台高的比为8、如图，将边长为a 的正方形剪去阴影部分后，围成一个正三棱锥，则正三棱锥的体积是．9、某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为．10、圆柱被一平面截去一部分后与长方体组成一个几何体，该几何体正视图和 俯视图如图所示，已知该几何体表面积为58+12π，则圆柱的半径r=．11、某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为3，则x 的值为．12、某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为.13、一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为.14、已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，求该圆柱的体积.15、体积为43的球与正三棱柱的所有面均相切，求该棱柱的体积.16、三棱锥P—ABC的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB＝6，则该球的体积为.17、在三棱锥S-ABC中，AB⊥BC, AB=BC=, SA=SC=2，二面角S-AC-B, 若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是18、点,，，在同一个球的球面上，，,若四面体高三数学（理科）3 / 5体积的最大值为, 则该球的表面积为.19、正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为.所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是.21、已知三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两互相垂直，且AB=，BC=，AC=2，则此三棱锥的外接球的体积为22、四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2，AD=BC=2，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为.23、高为5，底面边长为4的正三棱柱形容器（下有底）内，可放置最大球的半径是24、半径为2的球O中有一内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直底面），当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是参考答案高三数学（理科）4 / 5高三数学（理科）5 / 51.1(11)222S =+⨯= 2.C3. D4.2:17.2∶38.31(2129.10.211.12.20 13.21+14.34π15.16.17.18.19.20.21.π 22.200π 23.224.16（）。

2023~2024学年度第二学期开学检测高三数学（答案在最后）一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}2340,{ln(1)}M xx x N x y x =--<==-∣∣，则M N = （）A ．(1,4)B ．[1,4)C ．(1,4)-D ．[1,4)-2．已知等差数列{}n a ，则2k =是11110k a a a a +=+成立的（）条件A ．充要B ．充分不必要C ．必要不充分D ．既不充分也不必要3．已知向量(3,5)a = ，(1,21)b m m =-+ ，若a b，则m =（）A ．8B ．8-C ．213-D ．87-4．星等是衡量天体光度的量．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕佮斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如：2等星的星等值为2．已知两个天体的星等值12,m m 和它们对应的亮度12,E E 满足关系式22112.5lg E m m E -=-，则（）A ．3等星是0.5等星亮度的10倍B ．0.5等星是3等星亮度的10倍C ．3等星是0.5等星亮度的10倍D ．0.5等星是3等星亮度的10倍5．已知(0,π)α∈，若π3sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．13-B ．23C ．13D ．13±6．已知某圆台的体积为21π，其上、下底面圆的面积之比为1:4且周长之和为6π，则该圆台的高为（）A ．6B ．7C ．8D ．97．已知一次函数()y f x =在坐标轴上的截距相等且不为零，其图象经过点(1,2)P -，令()1)(n a f n f n =+,*n ∈N ，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，当511n S =时，n 的值为（）A ．19B ．20C ．21D ．22题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。