从分数到分式
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15.1 分式 15.1.1 从分数到分式
教学目标
1.使学生了解分式的概念,明确分母不得为零是分式概念的组成部分. 2.使学生能够求出分式有意义的条件.
3.准确理解分式的意义,明确分母不得为零既是本节的重点,又是本节的难点. 教学过程
1、 情境引入:面对日益严重的土地沙化问题,某县决定分期分批固沙造林,一期工程计
划在一定期限内固沙造林2400公顷,实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷,结果提前4个月完成原计划任务,原计划每月固沙造林多少公顷? (1)这一问题中有哪些等量关系?
(2)如果设原计划每月固沙造林x 公顷,那么原计划完成一期工程需要____________
个月,实际完成一期工程用了____________个月;根据题意,可得方程 ;
2、解读探究:
x 2400,302400+x ,
430
2400
2400=+-x x 认真观察上面的式子,方程有什么特点? 做一做1.正n 边形的每个内角为 度
2一箱苹果售价a 元,箱子与苹果的总质量为mkg ,箱子的质量为nkg ,则每千克苹果售价是多少元?
上面问题中出现的代数式
x 2400,302400+x ,n
n 180
)2(⨯-;它们有什么共同特征? (1)由学生分组讨论分式的定义,对于“两个整式相除叫做分式”等错误,由学生举
反例一一加以纠正,得到结论:
的分母.
(2)由学生举几个分式的例子.
(3)学生小结分式的概念中应注意的问题. ①分母中含有字母.
②如同分数一样,分式的分母不能为零.
(4)问:何时分式的值为零?(以(2)中学生举出的分式为例进行讨论)
例1(1)当a=1,2时,求分式
a a 21
+的值; (1) 当a 取何值时,分式a
a 21
+有意义?
解:(1)当a=1时,;1121121=⨯+=+a a 当a=2时4
3
221221=⨯+=+a a (2)当分母的值等于零时,分式没有意义,除此以外,分式都有意义。
由分母2a=0,得a=0,所以,当a 取零以外的任何实数时,分式a
a 21
有意义。 例2当x 取何值时,下列分式有意义?
思考:若把题目要求改为:“当x 取何值时下列分式无意义?”该怎样做? 例3 当x 取何值时,下列分式的值为零?
解:由分子x+3=0得x =-3.
而当x =-3时,分母2x-7=-6-7≠0. ∴当x =-3时,原分式值为零.
小结:若使分式的值为零,需满足两个条件:①分子值等于零;②分母值不等于零. 课堂小结
本节课你学到了哪些知识和方法? 1.分式与分数的区别. 2.分式何时有意义? 3.分式何时值为零?
第2课时 含30°角的直角三角形的性质
1.理解并掌握含30°角的直角三角形的性质定理.(重点)
2.能灵活运用含30°角的直角三角形的性质定理解决有关问题.(难点)
一、情境导入 问题:
1.我们学习过直角三角形,直角三角形的角之间都有什么数量关系? 2.用你的30°角的直角三角尺,把斜边和30°角所对的直角边量一量,你有什么发现? 今天,我们先来看一个特殊的直角三角形,看它的边角具有什么性质.
二、合作探究
探究点:含30°角的直角三角形的性质
【类型一】 利用含30°角的直角三角形的性质求线段长
如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,∠B =30°,CD 是斜边AB 上的高,AD =3cm ,
则AB 的长度是( )
A .3cm
B .6cm
C .9cm
D .12cm
解析:在Rt △ABC 中,∵CD 是斜边AB 上的高,∴∠ADC =90°,∴∠ACD =∠B =30°.在Rt △ACD 中,AC =2AD =6cm ,在Rt △ABC 中,AB =2AC =12cm.∴AB 的长度是12cm.故选D.
方法总结:运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时,要分清线段所在的直角三角形.
【类型二】 与角平分线或垂直平分线性质的综合运用
如图,∠AOP =∠BOP =15°,PC ∥OA 交OB 于C ,PD ⊥OA 于D ,若PC =3,则PD
等于( )
A .3
B .2
C .1.5
D .1
解析:如图,过点P 作PE ⊥OB 于E ,∵PC ∥OA ,∴∠AOP =∠CPO ,∴∠PCE =∠BOP +∠CPO =∠BOP +∠AOP =∠AOB =30°.又∵PC =3,∴PE =12PC =1
2
×3=1.5.∵∠AOP =∠BOP ,
PD ⊥OA ,∴PD =PE =1.5.故选C.
方法总结:含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时,关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形.
【类型三】 利用含30°角的直角三角形的性质探究线段之间的倍、分关系
如图,在△ABC 中,∠C =90°,AD 是∠BAC 的平分线,过点D 作DE ⊥AB .DE 恰好
是∠ADB 的平分线.CD 与DB 有怎样的数量关系?请说明理由.
解析:由条件先证△AED ≌△BED ,得出∠BAD =∠CAD =∠B ,求得∠B =30°,即可得到
CD =12
DB .
解:CD =1
2DB .理由如下:∵DE ⊥AB ,∴∠AED =∠BED =90°.∵DE 是∠ADB 的平分线,
∴∠ADE =∠BDE .又∵DE =DE ,∴△AED ≌△BED (ASA),∴AD =BD ,∠DAE =∠B .∵∠BAD =∠CAD =1
2∠BAC ,∴∠BAD =∠CAD =∠B .∵∠BAD +∠CAD +∠B =90°,∴∠B =∠BAD =∠CAD
=30°.在Rt △ACD 中,∵∠CAD =30°,∴CD =12AD =12BD ,即CD =1
2
DB .
方法总结:含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据,如
果问题中出现探究线段倍分关系的结论时,要联想此性质.
【类型四】 利用含30°角的直角三角形解决实际问题
某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以
美化环境,已知AC =50m ,AB =40m ,∠BAC =150°,这种草皮每平方米的售价是a 元,求购买这种草皮至少需要多少元?
解析:作BD ⊥CA 交CA 的延长线于点D .在Rt △ABD 中,利用30°角所对的直角边是斜边的一半求BD ,即△ABC 的高.运用三角形面积公式计算面积求解.
解:如图所示,作BD ⊥CA 于D 点.∵∠BAC =150°,∴∠DAB =30°.∵AB =40m ,∴BD =12AB =20m ,∴S △ABC =12×50×20=500(m 2).已知这种草皮每平方米a 元,所以一共需要500a 元.
方法总结:解此题的关键在于作出CA 边上的高,根据相关的性质推出高BD 的长度,正确的计算出△ABC 的面积.
三、板书设计
含30°角的直角三角形的性质
性质:在直角三角形中,如果一个锐角是30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.