高中数学人教B版必修四2.1.5《向量共线的条件与轴上向量坐标运算》word课后作业题

例2. 已知a=3e，b=－2e，
试问向量a，b是否平行？
C
并求|a|:|b|.
规定了方向和长度单位的直线叫 做轴. 2. 轴上向量的坐标及其运算
已知轴l，取单位向量e, 使e的方向与l同方向, 根据向量平行的条件,对 轴上任意向量a,一定存在唯一实数x,使a=xe.
这里的单位向量e叫做轴l的基向量, x叫做a在l上的坐 标(或数量). x的绝对值等于a的长, 当a与e同方向时, x 是正数, 当a与e反向时, x是负数.
反过来, 任意给定一个实数x, 我们总能作一个向量 a=xe, 使它的长度等于这个实数的绝对值, 方向与实 数的符号一致.
小结: 实数x与轴上的向量a建立起一一对
应关系.于是可用数值表示向量.
轴上两个向量相等的条件 ： 轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等;
轴上两个向量和的坐标等于两个向量坐标的和.
如a=2b，则a//b；c=－2b，则c//b.
(2). 单位向 量:
a0
a
|a
|
如果a的单位向量记 作a0, 由数乘向量 的定义可知: a=|a|·a0或
给定一个非零向量a,与a同方向且长度等于1的向量, 叫做向量a的单位向量.
M B
A N
例1. 如图MN是△ABC的 中位线，求证：
MN= BC，且 MN//BC.
求证:A,B,D三点共线;
02 练习.已知e1,e2是两不 共线的非零向量,且 AB=2e1+ke2, CB=e1+3e2,CD=2e 1-e2,若A,B,D三点共 线,求k的值;
一．判断四边形形状
在四边形ABCD中,AB=a+2b,BC=－4a－b,CD=－5a－3b

2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算明目标、知重点 1.理解平行向量定理，能熟练运用该定理处理向量共线和三点共线问题.2.理解轴上向量坐标的含义及运算.3.能运用轴上向量的坐标及长度公式进行相关的计算.1.平行向量基本定理(1)平行向量基本定理：如果a ＝λb ，则a ∥b ；反之，如果a ∥b ，且b ≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a ＝λb .(2)a 的单位向量：给定一个非零向量a ，与a 同方向且长度等于1的向量，叫做向量a 的单位向量.记作a 0，由数乘向量的定义可知a ＝|a|a 0或a 0＝a |a |.2.轴上向量的坐标(1)规定了方向和长度单位的直线叫做轴.当在轴上选一定点O 作为原点时，轴就成了数轴. (2)轴上向量的坐标：已知轴l ，取单位向量e ，使e 的方向与轴l 的方向相同，对轴上任意向量a ，一定存在唯一实数x ，使a ＝x e ，单位向量e 叫做轴l 的基向量，x 叫做a 在l 上的坐标(或数量).①给定单位向量e ，能生成与它平行的所有向量的集合{x e |x ∈R }；②x 的绝对值等于a 的长；当a 与e 同方向时，x 是正数，当a 与e 反方向时，x 是负数. 于是在一条轴上，实数与这条轴上的向量建立起一一对应关系，我们就可用数值来表示向量. 3.轴上向量的坐标运算(1)轴上两个向量相等的法则：轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等，即设a ＝x 1e ，b ＝x 2e ，则a ＝b ⇔x 1＝x 2.(2)轴上求两个向量和的法则：轴上两个向量的和的坐标等于两个向量的坐标的和，即设a ＝x 1e ，b ＝x 2e ，则a ＋b ＝(x 1＋x 2)e .(3)轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标，即在数轴x 上，OA →＝x 1e ，OB →＝x 2e ，则AB ＝x 2－x 1.(4)数轴上两点的距离公式：|AB |＝|x 2－x 1|.探究点一 平行向量基本定理思考1 请观察a ＝m －n ，b ＝－2m ＋2n ，回答a 、b 有何关系？答 因为b ＝－2a ，所以a 、b 是平行向量.思考2 若a 、b 是平行向量，能否得出b ＝λa ？为什么？ 答 可以.因为a 、b 平行，它们的方向相同或相反.小结 (1)由向量数乘的含义，我们容易得到向量共线的等价条件：如果a (a ≠0)与b 共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .(2)平行向量基本定理：如果a ＝λb ，则a ∥b ；反之，如果a ∥b ，且b ≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a ＝λb .例1 已知e 1，e 2是不共线的向量，a ＝3e 1＋4e 2，b ＝6e 1－8e 2，则a 与b 是否共线？ 解 若a 与b 共线，则存在λ∈R ，使a ＝λb ， 即3e 1＋4e 2＝λ(6e 1－8e 2)， 所以(3－6λ)e 1＋(4＋8λ)e 2＝0，因为e 1与e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－6λ＝0，4＋8λ＝0，所以λ不存在，所以a 与b 不共线.反思与感悟 判断两个向量是否共线可转化为存在性问题.解决存在性问题通常是假设存在，再根据已知条件找等量关系列方程(组)求解.若有解且与题目条件无矛盾则存在，反之不存在.跟踪训练1 已知e 1，e 2是共线向量，a ＝3e 1＋4e 2，b ＝6e 1－8e 2，则a 与b 是否共线？ 解 因为e 1，e 2共线，所以存在λ∈R ，使e 1＝λe 2， 所以a ＝3e 1＋4e 2＝(3λ＋4)e 2， b ＝6e 1－8e 2＝(6λ－8)e 2， 所以a ＝3λ＋46λ－8b ⎝⎛⎭⎫λ≠43， 所以a ，b 共线，当λ＝43时，b ＝0，a ，b 也共线.综上，a 与b 共线. 探究点二 三点共线的判定思考1 若存在实数λ，使AB →＝λBC →，则A 、B 、C 三点的位置关系如何？答 由共线向量定理可得，A ，B ，C 三点共线⇔存在λ∈R ，使AB →＝λBC →.思考2 已知O 为平面ABC 内任一点，若A 、B 、C 三点共线，是否存在α、β∈R ，使OC →＝αOA →＋βOB →，其中α＋β＝1?答 存在，因A 、B 、C 三点共线，则存在λ∈R ，使AC →＝λAB →. ∴OC →－OA →＝λ(OB →－OA →)， ∴OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →.令1－λ＝α，λ＝β，则OC →＝αOA →＋βOB →，且α＋β＝1.思考3 已知O 为平面ABC 内任一点，若存在α，β∈R ，使OC →＝αOA →＋βOB →，α＋β＝1，那么A 、B 、C 三点是否共线？答 共线，因为存在α、β∈R ，使OC →＝αOA →＋βOB →，且α＋β＝1. ∴β＝1－α，∴OC →＝αOA →＋(1－α)OB →， ∴OC →＝αOA →＋OB →－αOB → ∴OC →－OB →＝α(OA →－OB →)∴BC →＝αBA →，∴A 、B 、C 三点共线.例2 已知两个非零向量e 1和e 2不共线，如果AB →＝2e 1＋3e 2，BC →＝6e 1＋23e 2，CD →＝4e 1－8e 2，求证：A 、B 、D 三点共线.证明 ∵BC →＝6e 1＋23e 2，CD →＝4e 1－8e 2， ∴BD →＝BC →＋CD →＝(6e 1＋23e 2)＋(4e 1－8e 2) ＝10e 1＋15e 2.又∵AB →＝2e 1＋3e 2，∴BD →＝5AB →， ∴AB →、BD →共线，且有公共点B . ∴A 、B 、D 三点共线.反思与感悟 本题给出了证明三点共线的方法，利用向量共线定理，关键是找到唯一实数λ，使a ＝λb ，先证向量共线，再证三点共线.跟踪训练2 已知任意两个非零向量a ，b ，作OA →＝a ＋b ，OB →＝a ＋2b ，OC →＝a ＋3b .试判断A 、B 、C 三点之间的位置关系，并说明理由.解 因为AB →＝OB →－OA →＝(a ＋2b )－(a ＋b )＝b ， AC →＝OC →－OA →＝(a ＋3b )－(a ＋b )＝2b ， 故有AC →＝2AB →.因为AC →∥AB →，且有公共点A ，所以A 、B 、C 三点共线. 探究点三 数轴上的分点坐标公式思考1 已知A ，B 为数轴上的两点，A 、B 的坐标依次为x 1，x 2，若AP →＝λPB →(λ≠－1)，则P 点的坐标是什么？ 答 设P 点坐标为x ，则∵AP ＝x －x 1，PB ＝x 2－x ，∴x －x 1＝λ(x 2－x ) ∴(1＋λ)x ＝x 1＋λx 2，∵λ≠－1，∴x ＝x 1＋λx 21＋λ.思考2 已知A ，B 为数轴上的两点，若AP →＝λPB →(λ≠－1)，则有：①若P 位于线段AB 内部，则λ的取值范围是________，特别地，若P 为线段AB 的中点，则λ＝________；②若P 位于线段AB 的延长线上，则λ的取值范围是______； ③若P 位于线段AB 的反向延长线上，则λ的取值范围是________. 答案 ①λ>0 12；②λ<－1；③－1<λ<0例3 已知A 、B 、C 为数轴上三点，且x A ＝－2，x B ＝6，试求符合下列条件的点C 的坐标. (1)AC ＝10；(2)|AC →|＝10；(3)|AC →|＝3|BC →|.解 (1)∵AC ＝10，∴x C －x A ＝10，∴x C ＝x A ＋10＝8. (2)∵|AC →|＝10，∴AC ＝10或AC ＝－10， 当AC ＝10时，x C －x A ＝10，x C ＝x A ＋10＝8； 当AC ＝－10时，x C －x A ＝－10，x C ＝x A －10＝－12. (3)∵|AC →|＝3|BC →|，∴AC →＝3BC →或AC →＝－3BC →. 当AC →＝3BC →时，x C －x A ＝3(x C －x B )， ∴x C ＝12(3x B －x A )＝10.当AC →＝－3BC →时，x C －x A ＝－3(x C －x B )，∴x C ＝14(3x B ＋x A )＝4.反思与感悟 注意题目中AC ＝10与|AC →|＝10，|AC →|＝3|BC →|与AC →＝3BC →，它们的含义不一样，解题时要注意区分，避免出错.跟踪训练3 已知数轴上A 、B 两点的坐标x 1、x 2，根据下列各题中的已知条件，求点A 的坐标x 1：①x 2＝3，AB ＝5；②x 2＝－5，|AB |＝2. 解 ①AB ＝x 2－x 1＝5，∴x 1＝x 2－5＝－2. ②|AB |＝|x 2－x 1|＝2，∴x 2－x 1＝－2或2. ∴x 1＝x 2－(－2)＝－3或x 1＝x 2－2＝－7.1.点C 在线段AB 上，且AC CB ＝32，设BC →＝λAB →，则λ的值为( )A.25B.－25C.52D.－52 答案 B2.已知M 、P 、N 三点在数轴上，且点P 的坐标是5，MP ＝2，MN ＝8，则点N 的坐标为________. 答案 113.若非零向量a 与b 不共线，k a ＋b 与a ＋k b 共线，则实数k ＝________. 答案 ±1解析 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线， ∴存在实数λ使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，∴(k －λ)a ＋(1－λk )b ＝0，∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0λk －1＝0，∴k ＝±1.4.如图，ABCD 为一个四边形，E 、F 、G 、H 分别为BD 、AB 、AC 和CD 的中点，求证：四边形EFGH 为平行四边形. 证明 ∵F 、G 分别是AB 、AC 的中点. ∴FG →＝12BC →.同理，EH →＝12BC →.∴FG →＝EH →.同理EF →＝HG →. ∴四边形EFGH 为平行四边形. [呈重点、现规律]1.共线向量定理是证明三点共线的重要工具.即三点共线问题通常转化为向量共线问题.2.轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标.一、基础过关1.设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2 (k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则( ) A.k ＝0 B.k ＝1 C.k ＝2 D.k ＝12答案 D解析 当k ＝12时，m ＝－e 1＋12e 2，n ＝－2e 1＋e 2.∴n ＝2m ，此时，m ，n 共线.2.已知点B 的坐标为(m ，n )，AB →的坐标为(x ，y )，则点A 的坐标为( ) A.(m －x ，n －y ) B.(x －m ，y －n ) C.(m ＋x ，n ＋y ) D.(m ＋n ，x ＋y ) 答案 A解析 AB →＝OB →－OA →，∴OA →＝OB →＋BA →＝(m ，n )＋(－x ，－y )＝(m －x ，n －y ).3.已知O 是四边形ABCD 所在平面内的一点，且OA →、OB →、OC →、OD →满足等式OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 是( ) A.平行四边形 B.菱形 C.梯形 D.等腰梯形 答案 A解析 ∵OA →－OB →＝BA →，OD →－OC →＝CD →， 而OA →＋OC →＝OB →＋OD →，∴OA →－OB →＝OD →－OC →，∴BA →＝CD →.又∵BA →与CD →不重合，∴AB ∥CD 且AB ＝CD . ∴四边形ABCD 为平行四边形.4.已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A.B 、C 、D B.A 、B 、C C.A 、B 、D D.A 、C 、D答案 C解析 ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ＝2AB →， ∴A 、B 、D 三点共线.5.在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________. 答案 2解析 由于四边形ABCD 为平行四边形，对角线AC 与BD 交于点O ，∴AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，∴λ＝2.6.设e 1，e 2是两个不共线的向量，关于向量a ，b 有 ①a ＝2e 1，b ＝－2e 1；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2； ③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2.其中a ，b 共线的有________.(填序号) 答案 ①②③7.两个非零向量a 、b 不共线.(1)若A B →＝a ＋b ，B C →＝2a ＋8b ，C D →＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)求实数k 使k a ＋b 与2a ＋k b 共线.(1)证明 ∵A D →＝A B →＋B C →＋C D →＝a ＋b ＋2a ＋8b ＋3a －3b ＝6a ＋6b ＝6A B →，∴A 、B 、D 三点共线.(2)解 ∵k a ＋b 与2a ＋k b 共线，∴k a ＋b ＝λ(2a ＋k b ). ∴(k －2λ)a ＋(1－λk )b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －2λ＝0，1－λk ＝0⇒k ＝±2.二、能力提升8.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案 B解析 ∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴点M 是△ABC 的重心. ∴AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3.9.如图所示，平行四边形ABCD ，E 在边AB 上，且BE ＝14BA ，F 为对角线BD 上的点，且BF ＝15BD ，则( )A.E 、F 、C 三点共线，且EF →＝13FC →B.E 、F 、C 三点共线，且EF →＝14FC →C.E 、F 、C 三点共线，且EF →＝15FC →D.E 、F 、C 三点不共线 答案 B解析 不妨设BA →＝a ，BC →＝b ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴BD →＝a ＋b . ∵BE ＝14BA ，BF ＝15BD ，∴BE →＝14a ，BF →＝15(a ＋b )，∴EF →＝BF →－BE →＝15(a ＋b )－14a ＝－120a ＋15b ，EC →＝BC →－BE →＝b －14a ＝5⎝⎛⎭⎫－120a ＋15b ， 即EC →＝5EF →，∴EC →与EF →共线，∴E 、F 、C 三点共线，且EF →＝14FC →.10.如图所示，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝____________.(用a ，b 表示) 答案 14(b －a )解析 MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝－12b －a ＋34AC →＝－12b －a ＋34(a ＋b )＝14(b －a ).11.如图所示，已知D 、E 为△ABC 的边AB 、AC 的中点，延长CD 至M 使DM ＝CD ，延长BE 至N 使BE ＝EN . 求证：M 、A 、N 三点共线.证明 在△AMC 中，D 为MC 的中点， 易得2A D →＝AM →＋A C →.又∵D 为AB 中点，∴A B →＝2A D →，∴AB →＝AM →＋AC →，∴AM →＝AB →－AC →＝CB →.同理得AN →＝BC →. ∴AM →＝－AN →.∴A 、M 、N 三点共线.12.如图，已知▱ABCD 中，M 为AB 的中点，N 在BD 上，3BN ＝BD . 求证：M 、N 、C 三点共线. 证明 设AB →＝a ，AD →＝b ， 则BD →＝BA →＋AD →＝－a ＋b ，BN →＝13BD →＝－13a ＋13b ，MB →＝12a ，BC →＝AD →＝b ，∴MC →＝MB →＋BC →＝12a ＋b ，MN →＝MB →＋BN →＝12a －13a ＋13b ＝13⎝⎛⎭⎫12a ＋b ， ∴MN →＝13MC →，∴MN →∥MC →，又M 为公共点.∴M 、N 、C 三点共线.三、探究与拓展13.如图，设G 为△ABC 的重心，过G 的直线l 分别交AB ，AC 于P ，Q ，若AP →＝mAB →，AQ →＝nAC →，求证： 1m ＋1n＝3. 证明 设AB →＝a ，AC →＝b ， ∵AP →＝mAB →，AQ →＝nAC →， ∴AP →＝m a ，AQ →＝n b .∵G 为△ABC 的重心，连接AG 并延长交BC 于D ， 则AD 为△ABC 一边BC 边上的中线， ∴AD →＝12(a ＋b )，∴AG →＝23AD →＝13(a ＋b )，∴PG →＝AG →－AP →＝13(a ＋b )－m a ＝⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ， GQ →＝AQ →－AG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋⎝⎛⎭⎫n －13b . 又PG →与GQ →共线，∴PG →＝λGQ →， ∴⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ＝－13λa ＋λ⎝⎛⎭⎫n －13b ， ∴⎩⎨⎧13－m ＝－13λ13＝λ⎝⎛⎭⎫n －13，消去λ得：m ＋n ＝3mn ，即1m ＋1n ＝3.。

向量的线性运算2．1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算预习课本P90～93，思考并完成以下问题(1)平行向量基本定理是怎样表述的？(2)轴上向量的坐标是怎样表示的？(3)轴上向量的坐标运算法则是什么？[新知初探]1．平行向量基本定理(1)平行向量基本定理如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使得a ＝λb.(2)单位向量．给定一个非零向量a，与a同方向且长度等于1的向量，叫做向量a的单位向量，如果a的单位向量记作a0，则a＝|a|a0或a0＝a |a|.[点睛]对定理两个方面的说明(1)第一个方面“若a＝λb，则a∥b”中没有b≠0的要求，当b＝0时a＝0对任意的实数λ都能使a∥b.(2)第二方面“若a∥b且b≠0，则存在唯一一个实数λ使a＝λb”中必须有b≠0，否则a ＝0时λ不唯一，a≠0时，λ不存在．2．轴上向量的坐标及其运算(1)轴上向量的坐标(2)轴上向量的坐标运算|AB [点睛]AB是一个向量，既有大小，也有方向．而AB表示AB的坐标，它是一个实数．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平行向量基本定理，条件b≠0可以去掉．()(2)若|a|－|b|＝|a－b|，则a与b是共线向量．()(3)若a与b共线，则存在唯一实数λ，使b＝λa成立．答案：(1)×(2)√(3)×2．数轴上三点A，B，C的坐标分别为－1,2,5，则()A．AB＝－3B．BC＝3C．AC＝6 D．AB＝3 答案：B3．在四边形ABCD中，若AB＝－12CD，则此四边形是()A．平行四边形B．菱形C．梯形D．矩形答案：C4．已知A，B，C三点在数轴上，且点B的坐标x B＝3，AB＝5，AC＝2，则点C的坐标为________．答案：0轴上向量的坐标运算[典例]已知数轴上A，B两点的坐标为x1，x2，根据下列题中的已知条件，求点A的坐标x1.(1)x2＝－5，BA＝－3；(2)x2＝－1，|AB|＝2.[解](1)因为BA＝x1－(－5)＝－3，所以x1＝－8.(2)因为|AB|＝|－1－x1|＝2，所以x1＝1或x1＝－3.轴上向量的坐标及长度计算的方法(1)轴上向量的坐标的求法：先求出(或寻找已知)相应点的坐标，再计算向量的坐标．(2)轴上向量的长度的求法：先求出向量的坐标，再计算该向量的长度．[活学活用]已知数轴上三点A，B，C的坐标分别是－8，－3,7，求AB，BC，CA的坐标和长度．解：AB＝(－3)－(－8)＝5，|AB|＝|5|＝5；BC＝7－(－3)＝10，|BC|＝|10|＝10；CA＝(－8)－7＝－15，|CA|＝|－15|＝15.共线向量定理的应用题点一：判断或证明点共线1．已知两个非零向量a 与b 不共线，AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线．证明：∵AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，∴BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB . ∴AB ，BD 共线，又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． 题点二：利用向量共线确定参数2．设两个不共线的向量e 1，e 2，若a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，c ＝2e 1－9e 2，问是否存在实数λ，μ，使d ＝λa ＋μb 与c 共线？解：d ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2)＝(2λ＋2μ)e 1＋(3μ－3λ)e 2， 要使d 与c 共线，则存在实数k ，使得d ＝kc ， 即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2ke 1－9ke 2.由⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，得λ＝－2μ. 故存在实数λ和μ，使得d 与c 共线，此时λ＝－2μ. 题点三：几何图形形状的判定3．如图所示，正三角形ABC 的边长为15，AP ＝13AB ＋25AC ，BQ ＝15AB ＋25AC . 求证：四边形APQB 为梯形．证明：因为PQ ＝PA ＋AB ＋BQ ＝－13AB －25AC ＋AB ＋15AB ＋25AC ＝1315AB ，所以PQ ∥AB .又|AB |＝15，所以|PQ |＝13，故|PQ |≠|AB |，于是四边形APQB 为梯形．用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路(1)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线无公共点，则这两条直线平行；(2)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若向量AB＝λAC ，则AB ，AC 共线，又AB 与AC 有公共点A ，从而A ，B ，C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法．层级一 学业水平达标1．已知数轴上两点M ，N ，且|MN |＝4.若x M ＝－3，则x N 等于( ) A ．1 B ．2 C ．－7D ．1或－7解析：选D |MN |＝|x N －(－3)|＝4， ∴x N －(－3)＝±4，即x N ＝1或－7.2．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为边BC 的中点，且2OA ＋OB ＋OC ＝0，则( )A ．AO ＝ODB ．AO ＝2ODC ．AO ＝3ODD ．2AO ＝OD解析：选A ∵在△ABC 中，D 为边BC 的中点，∴OB ＋OC ＝2OD ，∴2(OA ＋OD )＝0，即OA ＋OD ＝0，从而AO ＝OD .3．点P 满足向量OP ＝2OA －OB ，则点P 与AB 的位置关系是( ) A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段AB 的延长线上 C ．点P 在线段AB 的反向延长线上 D ．点P 在直线AB 外解析：选C ∵OP ＝2OA －OB ，∴OP －OA ＝OA －OB ， ∴AP ＝BA ，∴点P 在线段AB 的反向延长线上，故选C.4．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP ＝23CA ＋13CB ，又AP ＝t AB ，则t 的值为( )A.13 B.23 C.12D.53解析：选A 由题意可得AP ＝CP －CA ＝23CA ＋13CB －CA ＝13(CB －CA )＝13AB ，又AP ＝t AB ，∴t ＝13.5．设e 1，e 2不共线，b ＝e 1＋λe 2与a ＝2e 1－e 2共线，则实数λ的值为( ) A.12 B ．－12C ．1D ．－1解析：选B 设a ＝kb (k ∈R)， 则2e 1－e 2＝ke 1＋kλe 2.∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，kλ＝－1，∴λ＝－12.6．在数轴x 上，已知OA ＝－3e (e 为x 轴上的单位向量)，且点B 的坐标为3，则向量AB ―→的坐标为________．解析：由OA ＝－3e ，得点A 的坐标为－3， 则AB ＝3－(－3)＝6，即AB 的坐标为6. 答案：67．下列向量中a ，b 共线的有________(填序号)． ①a ＝2e ，b ＝－2e ；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2； ③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2.解析：①中，a ＝－b ；②中，b ＝－2e 1＋2e 2＝－2(e 1－e 2)＝－2a ；③中，a ＝4e 1－25e 2＝4⎝⎛⎭⎫e 1－110e 2＝4b ；④中，当e 1，e 2不共线时，a ≠λb .故填①②③. 答案：①②③8．已知M ，P ，N 三点在数轴上，且点P 的坐标是5，MP ＝2，MN ＝8，则点N 的坐标为________．解析：设点M ，N 的坐标分别为x 1，x 2，∵点P 的坐标是5，MP ＝2，MN ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5－x 1＝2，x 2－x 1＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，x 2＝11.故点N 的坐标为11. 答案：119．已知数轴上A ，B ，C 三点．(1)若AB ＝2，BC ＝3，求向量AC ―→的坐标； (2)若AB ＝BC ，求证：B 是AC 的中点．解：(1)AC ＝AB ＋BC ＝5，即向量AC ―→的坐标为5. (2)∵AB ＝BC ，∴b －a ＝c －b ， ∴b ＝a ＋c 2，故B 是AC 的中点．10．已知：在四边形ABCD 中，AB ＝a ＋2b ，BC ＝－4a －b ，CD ＝－5a －3b ，求证：四边形ABCD 为梯形．证明：如图所示．∵AD ＝AB ＋BC ＋CD ＝(a ＋2b )＋(－4a －b )＋(－5a －3b ) ＝－8a －2b ＝2(－4a －b )， ∴AD ＝2BC .∴AD 与BC 共线，且|AD |＝2|BC |. 又∵这两个向量所在的直线不重合， ∴AD ∥BC ，且AD ＝2BC .∴四边形ABCD 是以AD ，BC 为两条底边的梯形．层级二 应试能力达标1．已知向量AB ＝a ＋3b ，BC ＝5a ＋3b ，CD ＝－3a ＋3b ，则( ) A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线解析：选B BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB ，由于BD 与AB 有公共点B ，因此A ，B ，D 三点共线．2．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线交DC 于点F ，若AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝( )A.13a ＋b B.12a ＋bC ．a ＋13bD ．a ＋12b解析：选A 由已知条件可知BE ＝3DE ，∴DF ＝13AB ，∴AF ＝AD ＋DF ＝AD ＋13AB ＝13a ＋b .3．已知向量a ，b 不共线，若AB ＝λ1a ＋b ，AC ＝a ＋λ2b ，且A ，B ，C 三点共线，则关于实数λ1，λ2一定成立的关系式为( )A ．λ1＝λ2＝1B ．λ1＝λ2＝－1C ．λ1λ2＝1D ．λ1＋λ2＝1解析：选C ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ＝k AC (k ≠0)． ∴λ1a ＋b ＝k (a ＋λ2b )＝ka ＋kλ2b . 又∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝k ，1＝kλ2，∴λ1λ2＝1. 4．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P 满足PA ＋PB ＋PC ＝0，若实数λ满足AB ＋AC ＝λAP ，则λ的值为( )A ．2 B.32C ．3D ．6解析：选C 如图，取BC 的中点为D ，则PB ＋PC ＝2PD . 又PA ＋PB ＋PC ＝0，∴2PD ＝－PA ，∴A 、P 、D 三点共线且|PA |＝2|PD |， ∴AP ＝23AD .又∵AB ＋AP ＝2AD ，∴AB ＋AP ＝3AP ，即λ＝3.5．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量ma －3b 与a ＋(2－m )b 共线，则实数m 的值为________．解析：因为向量ma －3b 与a ＋(2－m )b 共线且向量a ，b 是两个不共线的向量，所以存在实数λ，使得ma －3b ＝λ[a ＋(2－m )b ]，即(m －λ)a ＋(mλ－2λ－3)b ＝0，因为a 与b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝λ，mλ－2λ－3＝0，解得m ＝－1或m ＝3. 答案：－1或36．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量ke 1＋2e 2与8e 1＋ke 2方向相反，则k ＝______. 解析：∵ke 1＋2e 2与8e 1＋ke 2共线， ∴ke 1＋2e 2＝λ(8e 1＋ke 2)＝8λe 1＋λke 2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝8λ，2＝λk ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝12，k ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，k ＝－4.∵ke 1＋2e 2与8e 1＋ke 2反向， ∴λ＝－12，k ＝－4.答案：－47．已知数轴上四点A ，B ，C ，D 的坐标分别是－4，－2，c ，d . (1)若AC ＝5，求c 的值； (2)若|BD |＝6，求d 的值；(3)若AC ＝－3AD ，求证：3CD ＝－4AC . 解：(1)∵AC ＝5，∴c －(－4)＝5，∴c ＝1. (2)∵|BD |＝6，∴|d －(－2)|＝6， 即d ＋2＝6或d ＋2＝－6， ∴d ＝4或d ＝－8.(3)证明：∵AC ＝c ＋4，AD ＝d ＋4，又AC ＝－3AD ，∴c ＋4＝－3(d ＋4)，即c ＝－3d －16. 3CD ＝3(d －c )＝3d －3c ＝3d －3(－3d －16)＝12d ＋48， －4AC ＝－4c －16＝－4(－3d －16)－16＝12d ＋48， ∴3CD ＝－4AC .8.如图，已知△OCB 中，点A 是BC 的中点，D 是将OB 分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA ＝a ，OB ＝b .(1)用a ，b 表示向量 OC ，DC ； (2)若OE ＝λOA ，求λ的值．解：(1)由A 是BC 的中点，则有OA ＝12(OB ＋OC )，从而OC ＝2OA －OB ＝2a －b .由D 是将OB 分成2∶1的一个内分点，得OD ＝23OB ，从而DC ＝OC －OD ＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)由于C ，E ，D 三点共线，则EC ＝μDC ， 又EC ＝OC －OE ＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC ＝2a －53b ，从而(2－λ)a －b ＝μ⎝⎛⎭⎫2a －53b ， 又a ，b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧2－λ＝2μ，1＝53μ，解得λ＝45.。

A B
O
uuur r OA = a uuur r OB = b uuur r OC = c
C
说明： （1）平行向量可以在同一直线上，要区别于 两平行线的位置关系； （2）共线向量可以相互平行，要区别于在同 一直线上的线段的位置关系.
（3）两平行的非零向量在其方向与模两个要素上可
能出现哪几种情况？
⑴两个向量，当且仅当它们的起点相同，终点相同时才相等；
⑵顶若点；uAuuBr
=
uuur DC
，则A、B、C、D四点是平行四边形的四各
⑶若 r r r r ，则 r r ；
⑷若
a r
=
b r
,b r
=c r
，则
a=c rr
其中所a有// b正,b确// c命题的序a号/ 为/ c_.____⑶________.
（
2
）
若
︱
→ AB
︱
=3
，
则
向
量
︱
→ EC
︱
的
模
等
于
6.
A
B
E
D
C
人生从来没有真正的绝境。无论遭受多少艰辛，无论经历多少苦难，心中都要怀着一粒信念的种子，有什么样的眼界和胸襟，就看到什么样的风景。你的心有多宽，你 局有多大，你的心就能有多宽。我很平凡，却不简单，只要我想要，就会通过自己的努力去得到。羡慕别人不如自己拥有，现在的努力奋斗成就未来的自己。人生要学 存了一次丰收；你若努力，就储存了一个希望；你若微笑，就储存了一份快乐。你能支取什么，取决于你储蓄了什么。没有储存友谊，就无法支取帮助；没有储存学识 储存汗水，就无法支取成长。想要取之不尽的幸福，要储蓄感恩和付出。人生之路并非只有坦途，也有不少崎岖与坎坷，甚至会有一时难以跨越的沟坎儿。在这样的紧要 再向前跨出一步!尽管可能非常艰难，但请相信：只要坚持下去，你的人生会无比绚丽！弯得下腰，才抬得起头。在人生路上，不是所有的门都很宽阔，有的门需要你弯 必要时要能够弯得下自己的腰，才可能在人生路上畅通无阻。跟着理智走，要有勇气;跟着感觉走，就要有倾其所有的决心。从不曾放弃追求，从不愿放弃自己的所有， 风景，领略太多的是是非非，才渐渐明白，人活着不只为了自己，而活着，却要活出自己你不会的东西，觉得难的东西，一定不要躲。先搞明白，后精湛，你就比别人 不舍得花力气去钻研，自动淘汰，所以你执着的努力，就占了大便宜。女生年轻时的奋斗不是为了嫁个好人，而是为了让自己找一份好工作，有一个在哪里都饿不死的 收入。因为：只有当你经济独立了，才能做到说走就走，才能灵魂独立，才能有资本选择自己想要伴侣和生活。成功没有快车道，幸福没有高速路，一份耕耘一份收获 的努力和奔跑，所有幸福都来自平凡的奋斗和坚持。也许你要早上七点起床，晚上十二点睡觉，日复一日，踽踽独行。但只要笃定而动情地活着，即使生不逢时，你人 器晚成。无论遇到什么困难，受到什么伤害，都不要放弃和抱怨。放弃，再也没有机会；抱怨，会让家人伤心；只要不放弃，扛下去，生活一定会给你想要的惊喜！无 么伤害，都不要放弃和抱怨。放弃，再也没有机会；抱怨，会让家人伤心；只要不放弃，扛下去，生活一定会给你想要的惊喜！行动力，是我们对平庸生活最好的回击。 就在于行动力。不行动，梦想就只是好高骛远；不执行，目标就只是海市蜃楼。想做一件事，最好的开始就是现在。每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你 悄酝酿着乐观，培养着豁达，坚持着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你不颓废，不消极，一直悄悄酝酿着 着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！自己丰富才能感知世界丰富，自己善良才能感知社会美好，自己坦荡才能感受生活喜悦，自己成功才能感悟生命壮观！ 退的理由却有一百个。每条路都是孤独的，慢慢的你会相信没有什么事不可原谅，没有什么人会永驻身旁，也许现在的你很累，未来的路还很长，不要忘了当初为何而 现在，勿忘初心。每条路都是孤独的，慢慢的你会相信没有什么事不可原谅，没有什么人会永驻身旁，也许现在的你很累，未来的路还很长，不要忘了当初为何而出发， 勿忘初心。人活一世，实属不易，做个善良的人，踏实，做个简单的人，轻松。不管以前受过什么伤害，遇到什么挫折，做人贵在善良，做事重在坚持！别人欠你的， 好报；坚持，必有收获！人活一世，实属不易，做个善良的人，踏实，做个简单的人，轻松。不管以前受过什么伤害，遇到什么挫折，做人贵在善良，做事重在坚持！别 善良，终有好报；坚持，必有收获！不要凡事都依靠别人。在这个世界上，最能让你依靠的人是自己，最能拯救你的人也只能是自己。要想事情改变，首先要改变自己 终改变别人。有位哲人说得好：如果你不能成为大道，那就当一条小路；如果你不能成为太阳，那就当一颗星星。生活有一百种过法，别人的故事再好，始终容不下你 定。不要羡慕别人，你有更好的，只是你还不知道。水再浑浊，只要长久沉淀，依然会分外清澄；人再愚钝，只要足够努力，一样能改写命运。更何况比我差的人还没 力，我就更没资格说，我无能为力。水再浑浊，只要长久沉淀，依然会分外清澄；人再愚钝，只要足够努力，一样能改写命运。更何况比我差的人还没放弃，比我好的 格说，我无能为力。朝着一个目标不停的向前，不断努力的付出，哪怕你现在的人生是从零开始，你都可以做得到。早安！让梦想照进现实，才是当下最应该做的事情 钱的时候不磨叽， 生活不会因为你哭泣而对你温柔， 连孩子都知道，想要的东西，要踮起脚尖，自己伸手去拿，所以不要什么都不做，还什么都想要。但你可以通过努