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第八章．多元函数微分法及其应用 第一节 多元函数的基本概念教学目标：掌握多元函数的概念，掌握二元函数的几何表示、极限、连续的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质. 课时安排：2课时重点：多元函数的极限、多元函数的连续性 难点：多元函数的连续性 教学法：讲授法一． 平面点集 n 维空间⒈ 平面点集 (){}2R R R=x,y x R,y R =∈∈，坐标系平面； ① Def ：坐标平面上具有某种性质的点的集合。
记为()(){}E x,y x,y p =是具有某种性质如 ：圆内：(){}222x,y x +y r<② 邻域：设()000p x ,y 为xoy 平面上一点，0δ>。
与0p 的距离小于的点()p x,y 的全体称为点0p 的邻域，记为：(){}({}00U p ,p pp x,y δδδ=<=<注：⑴几何上：圆内部的点全体； ⑵()()o00U p ,U p 。
③ 内点，外点，边界点ⅰ内点：若∃点P 的某个邻域()()U p s.t.U p E ⊂，则称P 为E 的内点； ⅱ外点：若点P 的某个邻域()()U p s.t.U p E=⋂∅，则称P 为E 的外点； ⅲ边界点：若点P 的任一邻域内既含有属于E 的点，又含有不属于E 的点，则称P 为E 的边界点注：⑴E 的边界点的全体，称为E 的边界，记作E ∂； ⑵内点E ∈，外点E ∉，不边界点不一定； ⑶22p R E R ∀∈⊂和，三种关系必具之一。
④ 聚点：如果()o0,U p,δδ∀>内总有E 中的点，称P 为E 的聚点； 注：⑴聚点可以E ∈，也可以E ∉，如E=(){}22x,y /x y 2+≤； ⑵例中边界点都是聚点，但边界点不总是聚点；⑶聚点P 的()oU p,δ中有无穷多个E 中的点。
⑤ 开集 闭集 连通集ⅰ开集：E 的点全是的内点，称E 为开集； ⅱ闭集：E 的余集C E 为开集，E 为闭集； 开集：(){}22x,y 1<x y <2+；闭集 ：(){}22x,y 1x y 2≤+≤； 非开非闭集：(){}22x,y 1<x y 2+≤。
第八章 多元函数微分法及其应用大纲要求1．理解多元函数的概念2．了解二元函数的极限和连续的概念3．理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件，以及全微分在近似计算中的应用4．理解方向导数和梯度的概念并掌握其计算方法5．掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法；会求隐函数的偏导数6．了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程7．理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值的必要条件，了解二元函数极值的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值、最小值并会解决一些简单的应用问题第一节 多元函数的基本概念㈠本课的基本要求理解多元函数的概念，了解二元函数的极限和连续的概念㈡本课的重点、难点多元函数的有关概念为重点、难点是二元函数的极限和连续性的概念㈢教学内容前面我们研究了一元函数（一个自变量的函数）及其微积分。
但在自然科学与工程技术的实际问题中，往往涉及到多个因素之间的关系，这在数学上就表示为一个变量依赖于多个变量的情形，这种关系就相应地导出多元函数的概念。
本章的目的是在一元函数微分学的基础上，讨论多元函数的微分法及其应用。
我们以二元函数为主，但所得到的概念、性质与结论都可以很自然地推广到二元以上的多元函数。
同时，我们还须注意与一元函数微分学中有区别的地方，不要把概念、方法与记号弄混淆。
一．平面点集、n 维空间在讨论一元函数时，一些概念、理论和方法，都是基于1R 中的点集、两点间的距离、区间和邻域等概念。
为了将一元函数微积分推广到多元的情形，首先需要将上述一些概念加以推广，同时还需涉及一些其他概念。
为此我们先引入n 维空间，以便推广到一般的n R 中。
1．平面点集我们知道二元有序实数组),(y x 的全体，即},|),{(2R y x y x R R R ∈=⨯=就表示坐标平面。
（请思考：n 维空间？）坐标平面上具有某种性质P 的点的集合，称为平面点集，记作),(|),{(y x y x E =具有性质P}。
.
去心邻域的概念也可搬过来。
中去心邻域的定义空间n
R
0 ) ,3 ,2 ( 0为实数，则称集合，设>=∈δ⋯n R X n
}
),d(0 | {),U(00δδ<<=X X X X
),(U ˆ 00。
去心邻域，记为的中点为δδX X R n
2. 开集、闭集、有界集、无界集
聚点
O
E
E 中的有界集
2
R
) U(O,E r ⊂
无界集
},|),{(E +∞<<∞−≤≤=y b x a y x
单连通集
分为
连通集
复连通集
单连通 复连通
不连通
区域是连通开集. 区域是连通开集.
区域 Ω 的内点及边界点都是它的聚点. 区域 Ω 的内点及边界点都是它的聚点.
, 则称为一连通开集若非空集n
R ⊂Ω
. 中的区域为n
R Ω注意：集合的聚点
不一定属于集合.
二元函数 的图形
),(y x f z = 设函数
的定义域为，对于任意取定的
y x P ∈),(，对应的函数值为
,(y
x f z =，这样，以为横坐标、为纵坐
标、为竖坐标在空间就确定一点，
当取遍上一切点时，得一个空间点集，这个点集称
为二元函数的图形.
（如下页图）
二元函数的图形通常是一张曲面.
x
y
z
o
xy
z sin =例如,图形如右图.
2
222a
z y x =++例如,如右图，为球面.
}.
),{(2
2
2
a y x y x D ≤+=2
2
2
y
x a z −−=.
2
2
2
y x a z −−−=单值分支:
三. 多元函数的极限及极限的运算
x
x
y
a
y =ε
+=a y ε
−=a y ()
..
()
a
)
(x f .
x O
)
(x f y =P
),(U ˆ0
δx )
,U(εa 0
x x →.
x
x
y
a
y =ε
+=a y ε
−=a y ()
..
()
a
)
(x f .
x O
)
(x f y =P
),(U ˆ0
δx )
,U(εa 0
x x →.
),(U ˆ0δx x ∈
x
x
y
a
y =ε
+=a y ε
−=a y ()
..
(
)
a )
(x f .
x O
)
(x f y =P
),(U ˆ0
δx ),U(εa 0
x x →.
),(U ˆ0δx x ∈),U(
)(εa x f ∈
二元函数极限的定义
该例还说明一个问题
对此你有什么想法 ?
对此你有什么想法 ?,
2
x k y =虽然沿无穷多个方向：,
, )0,0(),( 函数均有极限时当→y x . ),( lim 00不存在但函数的极限y x f y x →→
“无穷多个方向”不等于“任意方向”.
可利用方向性来判别
多元函数的极限不存在.。
