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第七章目标规划§1 目标规划的提出线性规划问题是讨论一个给定的线性目标函数在一组线性约束条件下的最大值或最小值问题。
对于一个实际问题,管理科学者根据管理层决策目标的要求，首先确定一个目标函数以衡量不同决策的优劣，且根据实际问题中的资源、资金和环境等因素对决策的限制提出相应的约束条件以建立线性规划模型；然后用计算机软件求出最优方案并作灵敏度分析以供管理层决策之用。
而在一些问题中,决策目标往往不只一个，且模型中有可能存在一些互相矛盾的约束条件的情况，用已有的线性规划的理论和方法无法解决这些问题。
因此，1961年美国学者查恩斯（A。
Charnes）和库柏(W。
W。
Coopor）提出了目标规划的概念与数学模型，以解决经济管理中的多目标决策问题。
我们将通过几个例子来说明在实际应用中线性规划存在一系列的局限性.例1某厂生产A、B两种产品每件所需的劳动力分别为4个人工和6个人工，所需设备的单位台时均为1。
已知该厂有10个单位机器台时提供制造这两种产品，并且至少能提供70个人工。
又，A、B产品的利润，每件分别为300元和500元。
试问：该厂各应生产多少件A、B产品，才能使其利润值最大?解设该厂能生产A、B产品的数量分别为,x x件，则有12121212max 30050010..46700, 1,2.jz x x x x s t x x x j =+⎧+≤⎪+≥⎨⎪≥=⎩ 图解法求解如下：由上图可得，满足约束条件的可行解集为∅,即机时约束和人工约束之间产生矛盾，因而该问题无解.但在实际中,该厂要增加利润，不可能不生产A 、B 两种产品,而由线性规划模型无法为其找到一个合适的方案。
例2 某厂为进行生产需采购A 、B 两种原材料，单价分别为70元/公斤和50元/公斤。
现要求购买资金不超过5000元，总购买量不少于80公斤,而A 原材料不少于20公斤。
问如何确定最好的采购方案（即花掉的资金最少，购买的总量最大）?解 这是一个含有两个目标的数学规划问题。
运筹学教程（第⼆版）（胡运权）课后答案（清华⼤学出版社）运筹学教程（第⼆版）习题解答第⼀章习题解答运筹学教程1.1 ⽤图解法求解下列线性规划问题。
并指出问题具有惟⼀最优解、⽆穷多最优解、⽆界解还是⽆可⾏解。
1 2x , x ≥ 0 ? ≤ 2 2 1 ? .? 2 x 1 - x 2 ≥ 2st- 2 x + 3x (4) max Z = 5 x 1 + 6 x 2≤ 82 5 ≤ x ? 1 ? 5 ≤ x ≤ 10 .?max Z = x 1 + x 26 x 1 + 10 x 2 ≤ 120st ?(3) 1 2 x , x ≥ 0 ? 2 1 ? ? ? 4 x 1 + 6 x 2 ≥ 6st .?2 x + 2 x ≥ 4 (1) min Z = 2 x 1 +3 x 21 2 ? ≥ 12 2 1 ? x , x ≥ 0 .? ?2 x 1 + x 2 ≤ 2st ?3x + 4 x (2) max Z = 3x 1 + 2 x 2x , x ≥ 0 1 2该问题⽆解≥ 12 2 1 ? ? 2 x 1 + x 2 ≤ 2st .?3 x +4 x ( 2 ) max Z = 3 x 1 + 2 x 2第⼀章习题解答3 2 1x = 1, x = 1, Z = 3是⼀个最优解⽆穷多最优解，1 2x , x ≥ 0 ? 2 1 ? ? ? 4 x 1 + 6 x 2 ≥ 6st .?2 x + 2 x ≥ 4 (1) min Z = 2 x 1 +3 x 2该问题有⽆界解1 2x , x ≥ 0 ? ≤ 2 2 1 ? .? 2 x 1 - x 2 ≥ 2st- 2 x + 3x (4) max Z = 5x 1 + 6 x 2第⼀章习题解答唯⼀最优解， x 1 = 10, x 2 = 6, Z = 16 ≤ 82 5 ≤ x ?1 ? 5 ≤ x ≤ 10 .?max Z = x 1 + x 26 x 1 + 10 x 2 ≤ 120st ?(3)第⼀章习题解答运筹学教程1.2 将下述线性规划问题化成标准形式。
第一章P43-1.1（1）当取A （6/5,1/5）或B （3/2,0）时，z 取最小值3。
所以该问题有无穷多最优解，所有线段AB 上的点都是最优解。
P43-1.2(1)令''4'44x x x -=，z z -='''4'4321'55243max x x x x x z +-+-=,,,,,,232142222465''4'43216''4'43215''4'4321''4'4321≥=-+-++-=+-+-+=-+-+-x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xP43-1.4(1) 图解法：A(0,9/4)，Z 1=45/4；B(1,3/2)，Z 2=35/2；C(8/5,0)，Z 3=16。
单纯形法：10 5 0 0C b X b b x1x2x3x4θ0 x39 3 4 1 0 30 x48 5 2 0 1 8/5δ10 5 0 00 x321/5 0 14/5 1 -3/5 3/210 x18/5 1 2/5 0 1/5 4δ0 1 0 -25 x23/2 0 1 5/14 -3/1410 x1 1 1 0 -1/7 2/7δ0 0 -5/14 -25/14依次相当于：原点；C；B。
P44-1.7(1)2 -1 2 0 0 0 -M -M -MC b X b b x1x2x3x4x5x6x7x8x9θ无界解。
两阶段法：阶段二：P45-1.10证明：CX (0)>=CX*，C*X*>=C*X (0) CX (0)-CX*+C*X*-C*X (0)>=0，即(C*-C)(X*-X (0))>=0。
P45-1.13设饲料i 使用x i （kg ），则543218.03.04.07.02.0m in x x x x x z ++++=s.t. 7001862354321≥++++x x x x x 305.022.05.054321≥++++x x x x x1008.022.05.054321≥++++x x x x x0,,,,54321≥x x x x x第二章P74-2.1(1)321532m ax y y y w ++=22321≤++y y y 243321≤++y y y 4334321=++y y y 无约束321,0,0y y y ≤≥P75-2.4(1),06353322232max 212121212121≥≥≤-≤+≤-≤++=y y y y y y y y y y y y w(2) (8/5,1/5)(3) 无穷多最优解。
解：设阶段变量: k=1,2,3状态变量: 第k 个月初的库存量 决策变量: 第k 个月的生产量 状态转移方程: 阶段指标:由于在4月末, 仓库存量为0, 所以对于k=4阶段来说有两种决策：5+4=9 40x4()f x =1 41x对K=3 334()54()f x x f xK=2解得: 第一个月生产500份, 第二个月生产600份, 第三个月生产0份, 第四个月生产0份。
7.4某公司有资金4万元, 可向A, B, C三个项目投资, 已知各项目不同投资额的相应效益值如表7-20所示, 问如何分配资金可使总效益最大。
表7-20解：设阶段变量k, , 每一个项目表示一个阶段;状态变量Sk, 表示可用于第k阶段及其以后阶段的投资金额；决策变量Ｕk, 表示在第k阶段状态为Sk下决定投资的投资额；决策允许集合: 0≤Ｕk≤Sk状态转移方程: Sk+1=Sk-Ｕk;阶段指标函数: V k(SkＵk)；最优指标函数: fk(Sk)=max{ V k(SkＵk)+ fk+1(Sk+1)}终端条件: f4(x4)=0；K=4, f4(x4)=0k=3, 0≤Ｕ3≤S3k=2, 0≤Ｕ2≤S2k=1, 0≤Ｕ1≤S1所以根据以上计算, 可以得到获得总效益最大的资金分配方案为（1, 2, 1）.解: 设第k阶段的状态为Sk；第k阶段决定投入的备件为Xk;Ck(Xk)为第k阶段选择k个零件的费用；Rk(Xk)为第k个阶段选择k个零件的可靠性。
状态转移方程为: Sk+1=Sk- Ck(Xk)递退方程:114431()max{()()}()1()(1)k k K k k k K k K i i k f s R x f s f s C x S C =+=+⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪≤-⎪⎩∑所以有上可知当A 1；A 2；A 3；分别为k=1;k=2;k=3时S 1=8; S 2=5,6,7; S 3=1,2,3,4;由上表可知, 最优解的可靠性为0.042；此时X1=1；X2=1；X3=3。
