非线性方程的简单迭代法和Steffensen迭代法
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《数值计算方法》实验报告
实验名称:实验1 非线性方程的简单迭代法和Steffensen 迭代法
实验题目:分别用简单迭代法和Steffensen 迭代法求方程
010423=-+x x
在 [1, 2] 内的一个实根.
实验目的:理解并掌握简单迭代法和Steffensen 迭代法
基础理论:简单迭代法和Steffensen 迭代法
1).简单迭代法的原理:将一元非线性方程:0)(=x f 改写成等价方程:)(x x ρ= ,对此,从某个初始值x0开始,对应式)(x x ρ= 构成迭代公式 ,...1,0),(1==+k x x k k ρ ,这样就可以确定序列 {}k x (k=0,1,2…)。如果 {}k x 有极限
*lim x x k k =∞→ ,由式 ,...1,0),(1==+k x x k k ρ 两边取极限可得 )(**x x ρ= ,可知 *
x 为方程0)(=x f 的近似解。
2)Steffensen 迭代法的原理:
通过把改进的Aitken 方法应用于根据不动点迭代所得到的线性收敛序列,将收敛速度加速到二阶。
()⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧+---===+k k k k k k k k k k k x y z x y x x y z x y 2)
()(21ρρ
[]x x x x x x x +---=)(2)(()()(2ρρρρψ
实验环境:操作系统:Windows 7;
实验平台:Turbo C++
实验过程:写出算法→编写程序→调试运行程序→计算结果
1)简单迭代法的算法:
Input:初始近似值x0,精度要求del,最大迭代次数N
Output:近似解x 或失败信息
1. n ←1
2. While n ≤N do;
3. x ←f(x0);
4. if | x-x0| 5. | return x; 6. end 7. n ←n+1; 8. X0←x; 9. End 10. return False; ≤()0202 x y z x y +--Steffensen 迭代法计 算的结果: 近似解为: 给出程序: 1,简单迭代法的程序(C++) #include "" #include "" #define phi(x) *sqrt(10-x*x*x) void main() {int n=1,N; float x,x0,del; printf("x0="); scanf("%f",&x0); printf("\ndel=:"); scanf("%f",&del); printf("\nN="); scanf("%d",&N); printf("\nk x(k)"); printf("\n %2d %f ",0,x0); while (n { x=phi(x0); if(fabs(x-x0) { printf("\n \n=近似解 = %f \n",x); return; } printf("\n %2d %f ",n,x0); n=n+1; x0=x; } printf("\n \n%d次迭代后未达到精度要求.\n",N); } 2,Steffensen迭代法的程序(C++) #include "" #include "" #define phi(x) *sqrt(10-x*x*x); void main() {int n=1,N; float x,x0,del,y,z,a,b; printf("x0="); scanf("%f",&x0); printf("\ndel=:"); scanf("%f",&del); printf("\na="); scanf("%f",&a); printf("\nb="); scanf("%f",&b); printf("\nN="); scanf("%d",&N); printf("\nk x(k)"); printf("\n %2d %f ",0,x0); while (n { y=phi(x0); z=phi(y); x=x0-(y-x0)*(y-x0)/(z-2*y+x0); if(fabs(x-x0) { printf("\n \n=近似解 = %f \n",x); return; } printf("\n %2d %f ",n,x0); n=n+1; x0=x; } printf("\n \n%d次迭代后未达到精度要求.\n",N); } 结果分析: 1.用简单迭代法和Steffensen迭代法都能求出非线性方程的近似解,且用简单迭代法和Steffensen迭代法求出的近似解基本一样。 2.用Steffensen迭代法来求解时迭代的次数少很多,可见Steffensen迭代法加速了收敛速度。