陕西省渭南市尚德中学高三上学期第一次教学质量检测数学(文)--- 精校Word版含答案

渭南市尚德中学高三〔2022届〕第一次教学质量检测数 学 试 题〔文〕第一卷〔选择题 共60分〕一、选择题〔此题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1. 假设集合A={x ∈R|x +1＞0 }，集合B=={x ∈R|()()120x x -+<}，那么A ∩B= 〔 〕A ．〔-1,1〕B ．〔-2，-1〕C ．〔-∞，-2〕D ．〔1，+∞〕2. 复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( )A (2,)+∞B ．(,2)-∞C ．(,0)-∞D ．(0,2) 4. 角α的终边经过点(－4，3)，那么cos α＝( )A.45B.35C ．－35D ．－455.阅读图1-3所示的框图，运行相应的程序，输出S 的值为________．A.2B.4 C6. 以下函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A.y=lnxB.21y x =+ C.y=sinx D.y=cosx(1,),(,2)a m b m ==, 假设a //b , 那么实数m 等于〔 〕A．C．．08. 在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .假设点D 满足BD →＝2DC →，那么AD →＝( )A. 23b －13cB.53c －23bC.23b ＋13cD.13b ＋23c 9. 假设变量,x y 满足约束条件211y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,2x y +则的最大值是〔 〕A ．5-2B ．0C ．53D ．5210. 函数f (x )＝3sin ωx (ω＞0)的周期是π，将函数f (x )的图象沿x 轴向右平移π8个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，那么函数g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π8B ．g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 C ．g (x )＝－3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π8D ．g (x )＝－3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 ()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是( 〕12. 函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,那么实数a 的取值范围是 〔 〕A ．(,0)-∞B ．1(0,)2C ．(0,1)D ．(0,)+∞第二卷〔选择题 共90分〕二、填空题 (此题共4小题，每题5分，共20分)13.在等差数列{}n a 中，假设2576543=++++a a a a a ，那么82a a += 14.函数2cos 2y x x =+ 最小正周期为______________.15.函数()f x =2ln x +2x 在x =1处的切线方程是16.在ABC ∆中，60,B AC ==2AB BC +的最大值为________三、解答题 〔本大题共六小题，17-21每题12分，选做题22,23每题10分, 共70分〕 17. (12分)2a =，3b =，a 与b 的夹角为120°，求：〔1〕a b ⋅ 〔2〕()()23a b a b -+ 〔3〕a b +18.(12分)公差不为零的等差数列{}n a ，等比数列{}n b ，满足2111=+=a b ，122+=a b ，143+=a b ．〔Ⅰ〕求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；〔Ⅱ〕假设n n n b a c ⋅=，求数列{n c }的前n 项和．19.(12分)在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，ABC △的面积为S ，sin cos a B A =.〔1〕求角A 的大小；〔2〕假设a =2S =，求b c +的值. 20.〔12分〕20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图1-3所示．图1-3〔1〕求频率分布直方图中a 的值；〔2〕分别求出成绩落在[50，60)与[60，70)中的学生人数；(3)从成绩在[50，70)的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[60，70)中的概率．21. (12分) 函数2()()4x f x e ax b x x =+--,曲线()y f x =在点(0,(0))f 处切线方程为44y x =+.(Ⅰ)求,a b 的值;(Ⅱ)讨论()f x 的单调性,并求()f x 的极大值.选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答。

2024—2025学年度上学期普通高中高三第一次联合教学质量检测高三数学试卷解析版满分150分，考试用时120分钟注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合{}260M xx x =+−=∣，{}20,N x ax a =+=∈R ∣，且N M ⊆，则a 的取值不可以是（ ）．A ．2B ．23C ．0D ．1−【答案】A【详解】依题意，{3,2}M −，由N M ⊆，得N =∅或{3}N −或{2}N =， 当N =∅时，0a =；当{3}N −时，23a =；当{2}N =时，1a =−， 因此a 的取值不可以是2. 故选：A.2．已知向量()cos ,sin a θθ= ，()2,1b =−，若a b ⊥，则sin cos sin 3cos θθθθ++的值为（ ）A ．13B ．35C ．45D ．23【答案】B【详解】由题设2cos sin 0tan 2θθθ−=⇒=， 而sin cos tan 1213sin 3cos tan 3235θθθθθθ+++===+++.故选：B3．已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，若342n n S n T n +=+，则62102a b b +（ ） A ．11113B ．3713C ．11126D ．3726【答案】B【详解】因为等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T，满足342n n S n T n +=+， 所以111131143711213S T ×+==+，又11161116111111()211()2a a a Sb b T b +==+，故666210662322371a a a b b b b ===+， 故选：B4．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行数学建模比赛，决出了第1名到第5名的名次(无并列情况).甲、乙、丙去询问成绩.老师对甲说：“你不是最差的.”对乙说：“很遗憾，你和甲都没有得到冠军.”对丙说：“你不是第2名.”从这三个回答分析，5名同学可能的名次排列情况种数为（ ） A ．44 B ．46 C ．48 D ．54【答案】B【详解】解法一：多重限制的排列问题：甲、乙都不是第一名且甲不是最后一名，且丙不是第二名，即甲的限制最多，故以甲为优先元素分类计数，甲的排位有可能是第二、三、四3种情况：①甲排第二位，乙排第三、四、五位，包含丙的余下3人有33A 种排法，则有3313A 18××=； ②甲排第三、四位，乙排第二位，包含丙的余下3人有33A 种排法，则有3321A 12××=； ③甲排第三、四位，乙不排第一、二位，即有2种排法，丙不排第二位，有2种排法，余下2人有22A 种排法，则有22222A 16×××=； 综上，该5名同学可能的名次排情况种数为18121646++=种. 解法二：间接法：甲不排首尾，有三种情况，再排乙，也有3种情况，包含丙的余下3人有33A 种排法，共有3333A 3332154××=××××=种不同的情况；但如果丙是第二名，则甲有可能是第三、四名2种情况；再排乙，也有2种情况；余下2人有22A 种排法，故共有2222A 22218××=×××=种不同的情况；从而该5名同学可能的名次排情况种数为54846−=种. 故选：B.5．已知直线1:0l x y C ++=与直线2:0l Ax By C ++=均过点()1,1，则原点到直线2l 距离的最大值为（ ） AB ．1 CD ．12【答案】A【详解】因为两直线交于()1,1，则110C ++=，即2C =−， 且0A B C ++=，则2A B +=；由原点到直线2l的距离d=，易知2222(1)11A A A −+=−+≥，则d ≤ 当且仅当1A =时，d 1B =. 即两直线重合时，原点到直线2l 的距离最大. 故选：A.6．已知双曲线22:13x C y −=的右焦点为F ，过点F 的直线交C 于,A B 两点，若3FA FB ⋅= ，则直线AB 的斜率为（ ）ABC ．D ．【答案】D【详解】易知()2,0F ，当直线AB的斜率为零时，得((221FA FB ⋅=×= ，不合题意；当直线AB 的斜率不为零时，设直线AB 的方程为2x my =+， 联立222,1,3x my x y =+ −=得()223410m y my −++=， 设()()1122,,,A x y B x y ，由3FA FB ⋅=得()()()21212122213x x y y m y y −−+=+=， 而12213y y m =−，即22133m m +=−，解得m=k = 故选：D7．已知函数()331f x x x =++，若关于x 的方程()()sin cos 2f x f m x ++=有实数解，则m 的取值范围为（ ）A ． −B ．[]1,1−C ．[]0,1D ．【答案】D【详解】令()()313g x f x x x −+，则()2330g x x ′=+>恒成立，则()g x 在R 上单调递增，且()g x 是奇函数.由()()sin cos 2f x f m x ++=，得()()sin 1cos 1f x f m x −=−+− ，即()()sin cos g x g m x =−−，从而sin cos x m x =−−，即πsin cos 4m x x x=−−+∈ 故选：D【点睛】方法点睛：设()()313g x f x x x −+，可得函数()g x 为奇函数，利用导函数分析函数()g x 的单调性，把()()sin cos 2f x f m x ++=转化成sin cos m x x =−−，再求m 的取值范围. 8．如图，在三棱锥A BCD −中，45ABC ∠=°，点P 在平面BCD 内，过P 作PQ AB ⊥于Q ，当PQ 与面BCD PQ 与平面ABC 所成角的余弦值是（ ）A B C D 【答案】A【详解】过点Q 作AB 的垂面QEF ，交平面ABC 于直线EF ，即,,AB QE AB QF AB EF ⊥⊥⊥， 再过AB 作平面BCD 的垂面ABM ，即平面ABM ⊥平面BCD ， 过O 作QG BM ⊥，垂足为G ，如图所示，设BM EF P = ，则此点即为PQ 与平面BCD 所成角最大时，对应的P 点， 理由如下：因为PQ AB ⊥恒成立，所以P ∈平面QEF ，又因为P ∈平面BCD ，平面QEF 平面BCD EF =，所以P EF ∈，过点Q 作QG BM ⊥，因为平面ABM ⊥平面BCD ，平面ABM ∩平面BCD BM =， 且QG ⊂平面ABM ，所以QG ⊥平面BCD ，所以PQ 与平面BCD 所成角即为QPB ∠，所以sin QGQPB PQ ∠=，因为QG 为定值，所以当PQ 最小时，sin QPB ∠最大，即QPB ∠最大， 又因为EF ⊂平面BCD ，所以QG EF ⊥，因为,AB EF AB QG Q ⊥=，,AB QG ⊂平面ABM ，所以⊥EF 平面ABM ， 则当P 为BM 与EF 交点时，EF PQ ⊥，此时PQ 取得最小值， 所以，当BM EF P = 时，PQ 与平面BCD 所成角最大，即为QPB ∠，所以sin QPB ∠P 作PH QE ⊥，垂足为H ，连接BH ，因为AB ⊥平面QEF ，AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面QEF ， 又因为QEF 平面ABC QE =，PH ⊂平面QEF ，所以PH ⊥平面ABC ， 所以EQP ∠即为PQ 与平面ABC 所成角，在直角QPE △中，cos PQEQP QE∠=，因为45ABC ∠= ，且AB QE ⊥，所以BQE △为等腰直角三角形，所以QB QE =， 又因为tan PQQBP OB∠=，所以tan cos QBP EQP ∠=∠，因为sin QPB ∠tan QPB ∠因为π2QBP QPB ∠+∠=，所以1tan tan QBP QPB ∠==∠. 故选：A.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．设1z ，2z 为复数，且120z z ≠，则下列结论正确的是（ ）A ．1212z z z z =B ．1212z z z z +=+C ．若12=z z ，则2212z z = D ．1212z z z z ⋅=⋅【答案】ABD【详解】设1i z a b =+，2i z c d =+(,,,)a b c d ∈R ，对于选项A ，因为12(i)(i)()()i z z a b c d ac bd ad bc =++=−++，所以12z z，所以1212z z z z =，故A 正确；对于选项B ，因为12()()i z z a c b d +=+++，1i z a b =−，2i z c d =−， 则12()()z z a c b d i +=+−+，12()()i z z a c b d +=+−+， 所以1212z z z z +=+，故B 正确；对于选项C ，若12=z z ，例如11i z =+，21i z =−但221(1i)2i z =+=，222(1i)2i z =−=−，即2212z z ≠，故C 错误；对于选项D ，因为21(i)(i)()()i z a b c d ac bd c z ad b ⋅=++=−++，所以21()()i z ac bd a b z d c ⋅−−+2(i)(i)()()i z a b c d ac bd ad bc =−−=−−+， 所以1212z z z z ⋅=⋅，故D 正确. 故选：ABD.10．已知2n >，且*n ∈N ，下列关于二项分布与超几何分布的说法中，错误的有（ ）A ．若1(,)3X B n ，则()22113E X n ++ B ．若1(,)3X B n ，则()4219D X n +=C ．若1(,)3X B n ，则()()11P X P X n ===−D ．当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布 【答案】BC【详解】对于A ，由1(,)3X B n ，得()13E X n =，则()22113E X n ++，A 正确； 对于B ，由1(,)3X B n ，得()122339D X n n =×=，则()()82149D X D X n +==，B 错误；对于C ，由1(,)3X B n ，得11111221(1)C (),(1)C ()3333n n n n n P X P X n −−−==××=−=××，故(1)(1)P X P X n =≠=−，C 错误； 对于D ，当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布，D 正确. 故选：BC11．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯省所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点()()1122,,,A x y B x y 的曼哈顿距离()1212,d A B x x y y =−+−，则下列结论正确的是（ ）A ．若点()()1,3,2,4P Q ，则(),2d P Q =B ．若对于三点,,A BC ，则“()()(),,,d A B d A C d B C +=”当且仅当“点A 在线段BC 上” C ．若点M 在圆224x y +=上，点P 在直线280x y −+=上，则(),d P M 的最小值是8−D ．若点M 在圆224x y +=上，点P 在直线280x y −+=上，则(),d P M 的最小值是4 【答案】AD【详解】对于A 选项：由定义可知(),21432d P Q =−+−=，故A 选项正确； 对于B 选项：设点AA (xx 1,yy 1)，BB (xx 2()33,C x y则()()121313,,d A B d A C x x y x y y +=−+−+−，()2323,d B C x x y y =−+−显然，当点A 在线段BC 上时，121323x x x x x x −+−=−，121323y y y y y y −+−=−，∴()()(),,,d A B d A C d B C +=成立，如图：过点B 作BE y ⊥轴，过点C 作EE x ⊥轴，且相交于点E ，过点A 作AD BE ⊥与D ，过点A 作AF CE ⊥与F ，由图可知121213132323x x y y x x y y BD AD AF CF BE CE x x y y −+−+−+−=+++=+=−+−显然此时点A不在线段BC 上，故B 选项不正确； 对于CD 选项：∵当0,0a b >>a b ≥+≥ ∴想要(),d P M 最小，点M 到直线距离最小时取得，∴过原点O 作OM ⊥直线280x y −+=交圆于M ， 如图：设(),M a b ，则2OM bk a==−∴M设点PP (xx 0,yy 0)，则(0,d P M x =又∵当0ab =，a b +≥①当00x +=时，由00442x y =+=()0,4d P M x =+①当00y =时，由00288x y =−=()0,8d P M x =+−又∵48<−∴(),d P M的最小值为：4.故C 选项错误，D 选项正确. 故选：AD三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知12,34a b a b ≤−≤≤+≤则93a b +的取值范围为 ．【答案】[]21,30【详解】假设()()93a b a b a b λµ+=−++，则93λµλµ+=−+=，解得36λµ= = ， 因为12a b ≤−≤，所以()336a b ≤−≤； 又因为34a b ≤+≤，所以()18624a b ≤+≤；由上两同向不等式相加得：()()213630a b a b ≤−++≤， 整理得：219330a b ≤+≤ 故答案为：[]21,3013．已知函数()cos 2sin 2sin f x x x x ωωω=−（0ω>）在()0,2π上有最小值没有最大值，则ω的取值范围是 .【答案】11,63【详解】()()()cos 22sin 2sin cos 2cos3f x x x x x x x x ωωωωωωω=−−=+=， 当()0,2πx ∈时，()30,6πx ωω∈，若()f x 在()0,2π上有最小值没有最大值， 则π6π2πω<≤，所以1163ω<≤. 故答案为：11,6314．函数2e 12()e 21x x xh x −=++，不等式()22(2)2h ax h ax −+≤对R x ∀∈恒成立，则实数a 的取值范围是 【答案】[]2,0−【详解】因为2e 122()e ee 2121x x xx x x h x −−=+=−+++， 所以22222()()e e e e 221212121x x x x xxx x x h x h x −−−⋅+−=+−++−=+=++++， 令()()1f x h x =−，则()()0f x f x +−=，可得()f x 为奇函数， 又因为()()222ln 41ln 4()e e e e e 121e 21222x x x x xx x x x x xf x −−′ ′′=+−=+−=+− + +++， 1e 2e x x +≥，当且仅当1e ex x =，即0x =时等号成立；ln 4ln 4ln 2142222x x ≤=++，当且仅当122xx=，即0x =时等号成立；所以()0f x ′>，可得()f x 在R 上为增函数，因为()2222(2)2(2)(2)0(2)(2)h ax h ax f ax f ax f ax f ax −+≤⇔−+≤⇔−≤−，所以2220ax ax +−≤在R 上恒成立， 当0a =时，显然成立；当0a ≠，需满足2Δ480a a a < +≤，解得20a −≤<， 综上，[]2,0a ∈−， 故答案为：[]2,0−．四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题13分）在锐角ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A 、B ，C 的对边，且()2sin 2sin a A b c B =−+()2sin c b C −. (1)求A 的大小；(2)求cos 2cos B C +的取值范围. 【答案】(1)π3A =(2) 【详解】（1）由题及正弦定理得：22(2)(2)a b c b c b c =−+−，即222bc b c a =+−，则2221cos 22b c a Abc +−==，∵π0,2A ∈，∴π3A =； （2）由ABC 为锐角三角形知，π022ππ032C C<<<−<，故ππ62C <<，则π3πcos 2cos cos 2cos cos 323B C C C C C C+=−++=+， 有ππ5π236C <+<π3C<+<故cos cos B C +的取值范围为. 16.（本小题15分）已知数列{}n a ，{}n b ，(1)2n n n a =−+，1(0)n n n b a a λλ+=−>，且{}n b 为等比数列. (1)求λ的值； (2)记数列{}2n b n ⋅的前n 项和为nT .若()*2115N i i i T T T i ++⋅=∈，求i 的值.【答案】(1)2 (2)2【详解】（1）因为(1)2n n n a =−+，则11a =，25a =，37a =，417a =. 又1n n n b a a λ+=−，则1215b a a λλ=−=−，23275b a a λλ=−=−，343177b a a λλ=−=−. 因为{bb nn }为等比数列，则2213b b b =⋅，所以2(75)(5)(177)λλλ−=−−， 整理得220λλ−−=，解得1λ=−或2.因为0λ>，故2λ=.当2λ=时，1112(1)22(1)2n n n nn n n b a a +++ =−=−+−−+11(1)(1)22(1)23(1)n n n n n ++=−×−+−×−−=−×−.则113(1)13(1)n n nn b b ++−×−==−−×−，故{bb nn }为等比数列，所以2λ=符合题意. （2）223(1)nn b n n ⋅=−×−⋅，当n 为偶数时，222222223123456(1)n T n n =−×−+−+−+−−−+33(12)(1)2n n n =−×+++=−+ ；当n 为奇数时，221133(1)(1)(2)3(1)(1)22n n n T T b n n n n n n ++=−+=−++++=+. 综上，3(1),21,N 23(1),2,N 2n n n n k k T n n n k k ∗∗ +=−∈ =−+=∈ ， 因为20i i T T +⋅>，又2115i i i T T T ++⋅=， 故10i T +>，所以i 为偶数.所以333(1)(2)(3)15(1)(2)222i i i i i i−+⋅−++=×++ ， 整理得23100i i +−=，解得2i =或5i =−（舍），所以2i =. 17.（本小题15分）如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，E F ､分别是棱,AB AD 的中点，G 为棱1DD 上的动点.(1)是否存在一点G ，使得1BC ∥面EFG ？若存在，指出点G 位置，并证明你的结论，若不存在，说明理由；(2)若直线EF 与平面CFG ，求三棱锥1G EBC −的体积； (3)求三棱锥1B ACG −的外接球半径的最小值. 【答案】(1)存在点G 为1DD 的中点，证明见解析 (2)13； (3)4−【详解】（1）存在一点G ，当点G 为1DD 的中点，使得1BC ∥面EFG ， 连接1AD ，如图所示：点,F G 分别是1,AD DD 的中点，FG ∴∥1AD ，又AB ∥11D C ，且11AB D C =，∴四边形11ABC D 是平行四边形，1∴AD ∥1,BC FG ∴∥1BC ，又1BC ⊄ 平面EFG ，且FG ⊂平面1,EFG BC ∴∥平面EFG .（2）以D 点为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，连接11,,AC AB B C ，则()()()()()112,0,0,2,2,2,0,2,0,2,2,0,0,0,2,(2,1,0),(1,0,0)A B C B D E F ， 设()0,0,G t (02)t ≤≤，(0,2,),(1,2,0)CG t CF =−=− ，(1,1,0)EF =−−，设平面CFG 的一个法向量是(,,)n x y z =，则2020n CG y tz n CF x y ⋅=−+=⋅=−= ，取1y =得2(2,1,)n t = ，因为直线EF 与平面CFG，所以cos ,n EF n EFn EF⋅==1t =（负值舍去）， G 为1DD 中点，取1CC 中点H ，则////GH CD AB ，因此GH 在平面GEB 内，且GEB HEB S S = ，所以1111111112113323G EBC C GEB C HEB E BHC BHC V V V V S EB −−−−====⋅=××××= ； （3）11(0,2,2),(2,2,0),(2,2,2),AB AC BD ==−=−−因为111440,440,AB BD AC BD ⋅=−+=⋅=−=所以111,AB BD AC BD ⊥⊥即111,AB BD AC BD ⊥⊥因为1AB ⊂平面1,AB C AC ⊂平面1AB C ，1AB AC A = ，所以1BD ⊥平面1AB C ，又因为1ABCB B B ==，所以1BD 与平面1ACB 的交点是1ACB 的外心，所以三棱锥1B ACG −的外接球的球心在1BD 上， 设外接球球心为1O ，设()[]112,2,2,0,1BO BD λλλλλ==−−∈，则1O 的坐标为()22,22,2λλλ−−，设()[]()0,0,0,2G m m ∈， 则11O G O A =所以2484m mλ+=+，设[]848,16m t +=∈，则84t m −=， 则22841664648411616t t t t t t tλ−+ −++ +−，而811116t t +−≥=，当且仅当816t t =，即t =[]8,16t ∈，所以11,2λ ∈ ，三棱锥1B ACG −的外接球的半径1r O A ====，因为11,2λ ∈−，所以218124833λ −+∈−，所以r ∈− ， 三棱锥1B ACG −的外接球半径的最小值为4. 18.（本小题17分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>经过点(M −，其右焦点为FF (cc ,0)，下顶点为B ，直线BF 与椭圆C交于另一点D ，且3BF FD =．(1)求椭圆C 的方程；(2)O 为坐标原点，过点M 作x 轴的垂线1l ，垂足为A ，过点A 的直线与C 交于P ，Q 两点，直线OP 与1l 交于点H ．直线OQ 与1l 交于点G ，设APH 的面积为1S ，AQG 的面积为2S ，试探究1212S S S S +是否存在最小值．若存在，求出此时直线PQ 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】(1)22184x y +=(2))2y x + 【详解】（1）设()00,D x y ，由(),0F c ，()0,B b −，得(),BF c b = ，()00,FDx c y =−，由3BF FD = ，得()()00,3,c b x c y =−，043x c =，013y b =， 所以2222161991c b a b +=，得2212c a =，所以222212b ac a =−=，将(M −代入椭圆C 的方程得22421a b+=，即22441a a +=，则28a =，所以22142b a ==，故椭圆的方程为22184x y +=.（2）由题意可知()2,0A −，直线PQ 的斜率存在且不为0，设直线PQ 的方程为()2y k x =+，()11,P x y ，()22,Q x y ， 则()221842x y y k x += =+，得()2222128880k x k x k +++−=， 因为点A 在椭圆内，则直线PQ 与椭圆必有两交点，则2122812k x x k +=−+，21228812k x x k −+=+， ()121224412k y y k x x k +=++=+，()()()2221212121224222412k y y k x x k x x x x k =++=+++=− +， 又OP 的方程为11y y x x =，与直线2x =−联立可得1122,y H x−−， 又OQ OP 的方程为22y y x x =，与直线2x =−联立可得2222,y G x−−， 所以111111121222y y S x x x x =×−×+=×+，22222222122y y S x x x x =×−×+=×则()()121212221212112212221122y k y k S S x x S S S S y x y x y y −−+=+=+=+++， 当21k ≥时，()()21212220y k y k k x x −−=≥， 所以()222121212121212122222222212121212121212122222222y y y k y k S S y k y k y y y y y y k k S S y y y y y y y y y y y y y y +−− +−−+++=+=−=−=−−， 又12121y y y y k +=−，22121124k y y k +=−， 所以()222212122221212122111242222y y y y k k k k y y y y y y k k k k ++++ −−=−−−+=−， 所以121222S S k S S k+=+≥22k =时取等号，当201k <<时，()()21212220y k y k k x x −−=<， 所以221212121212222222121212121222222y k y k S S y k y k y y y y k S S y y y y y y y y −− +−−−−=+=−=−， 又知()1212k y y y y −+=， 则1212121236S S y yS S y y +−====>， 综上可知，当22k =时，1212SS S S +存在最小值此时直线PQ 的方程为)2y x +.19.（本小题17分）设()h x ′为()h x 的导函数，若()h x ′在区间D 上单调递减，则称()h x 为D 上的“凸函数”．已知函数()2sin f x x ax ax =−++．(1)若()f x 为π0,2上的“凸函数”，求a 的取值范围；(2)证明：当1a =−时，()()()213ln 22g x f x x x x =++++++有且仅有两个零点． 【答案】(1)1,2−∞−(2)证明见解析【详解】（1）由()2sin f x x ax ax =−++，则()cos 2f x x ax a ′=−++. 由题意可知，()f x 为π0,2上的“凸函数”，则ff ′(xx )在区间π0,2上单调递减，设()()x f x ϕ′=，则()sin 2x x a ϕ′=+，所以sin 20x a +≤在π0,2恒成立， 则2sin a x ≤−在π0,2恒成立，又当π2x =时，函数sin y x =−取最小值，且最小值为1−， 所以有21a ≤−，解得12a ≤−，即a 的取值范围为1,2−∞−.（2）当1a =−时，由2(1)sin(1)(1)(1)f x x x x +=−+−+−+得 22()sin(1)(21)(1)3ln(2)2g x x x x x x x x =−+−++−++++++sin(1)ln(2)x x =−+++. 令()(1)sin ln(1),1H x g x x x x =−=−++>−，其中(0)0H =， 则1()cos 1H x x x ′=−++，其中(0)0H ′=. ①当10x −<<时，则011x <+<，11cos 1x x >≥+， 所以1()cos 01H x x x ′=−+>+，则()H x 在(1,0)−单调递增， 则()(0)0H x H <=恒成立，即()H x 在(1,0)−无零点； ②当π02x <<时，令1()()cos 1G x H x x x ′==−++，其中(0)0G =， 由21()sin (1)G x x x ′=−+在π0,2单调递增， 又ππ(0)10,sin 22G G=−=′′，故存在0π0,2x∈，使得0()0G x ′=，故当00x x <<时，()0G x ′<，()G x 在()00,x 单调递减； 当0π2x x <<时，()0G x ′>，()G x 在0π,2x单调递增； 由ππ11(0)0,cos 0ππ221122G G==−+=>++， 故存在1π0,2x∈ ，使1()0G x =，即1()0H x ′=，故当10x x <<时，()0H x ′<，()H x 在()10,x 单调递减； 当1π2x x <<时，()0H x ′>，()H x 在1π,2x单调递增； 又πππ(0)0,sin ln 11ln e 0222H H==−++<−+=，故当π0,2x ∈ 时，()0H x <，即()H x 在π0,2无零点；③当π22x ≤<时，由1cos 0,01x x −≥>+，则()0H x ′>， 故故()H x 在π,22单调递增，πππsin ln 10222H=−++<，且(2)sin 2ln 3110H =−+>−+=，故由零点存在性定理可知()H x 在π,22有且仅有一个零点；④当2x ≥时，()sin ln(1)1ln 30H x x x =−++≥−+>， 故()H x 在[)2,+∞无零点；综上所述，()H x 有且仅有两个零点，其中(0)0H =，而另一个零点在π,22内.由()(1)H x g x =−，即将()H x 图象向左移1个单位可得()g x 的图象. 故()g x 也有两个零点，一个零点为1−，另一个零点在π1,12 −内.故()()()213ln 22g x f x x x x =++++++有且仅有两个零点，命题得证.。

数学（文）试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 设全集U =R ，{}220M x x x =-<，{}1N x x =≥，则()UM N =（ ）A. {}1x x <B. {}01x x <<C. {}2x x <D.{}12x x ≤<【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式可得{}02M x x =<<，再由补集、并集的概念即可得解. 【详解】由题意，{}{}22002M x x x x x =-<=<<，{}1N x x =≥， 所以{}1UN x x =<，(){}2U M N x x ⋃=<.故选：C.【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解及集合的运算，考查了运算求解能力，属于基础题.2. 若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是（ ） A.()2,4 B. ()2,4- C. ()4,2-D. 4,2【答案】C 【解析】试题分析：由24iz i =+，可得()2242442i i i z i i i++===-，∴z 对应的点的坐标为（4，－2），故选C ．考点：考查了复数的运算和复数与复平面内点的对应关系．点评：解本题的关键是根据复数的除法运算求出复数z ，然后利用复数z 所对应的点的横坐标和纵坐标分别为为复数的实部和虚部，得出对应点的坐标．3. 已知函数22,0()lg(),0x x f x x x -≥⎧=⎨-<⎩，则[(10)]f f -=（ ） A.12B.14C. 1D. 0【答案】D 【解析】 【分析】分段函数求值，由内到外，对号入座得解. 【详解】(10)lg101f -==，[(10)](1)220f f f ∴-==-=故选：D【点睛】本题考查分段函数求函数值，属于基础题. 4. 命题“如果22x a b ≥+，那么2x ab ≥”的逆否命题是A. 如果22x a b <+，那么2x ab <B. 如果22x a b ≥+，那么2x ab <C. 如果2x ab <，那么22x a b <+D. 如果2x ab ≥，那么22x a b ≥+ 【答案】C 【解析】 【分析】根据命题的逆否命题的概念，即是逆命题的否命题，也是原命题的逆否命题；写出逆命题，再求其否命题即可． 【详解】因为原命题的逆命题是：如果2x ab ≥，那么22x a b ≥+，其否命题：如果2x ab <，那么22x a b <+，所以原命题的逆否命题是：如果2x ab <，那么22x a b <+，故选C ．【点睛】本题主要考查四种命题间的关系．解答与四个命题有关的问题时，要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地确定了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”，注意利用“原命题”与“逆否命题”同真假.5. 下列函数()f x 中，满足“对任意的()1212,0,,x x x x ∈+∞≠时，均有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦”的是（ ）A. ()12f x =B. ()244f x x x =-+C. ()2xf x = D. ()12log f x x =【答案】C 【解析】 【分析】由函数单调性的定义可得函数()f x 在()0,∞+上单调递增，逐项判断即可得解.【详解】因为对任意的()1212,0,,x x x x ∈+∞≠时，均有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦， 所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增； 对于A ，()12f x =，为常函数，故A 错误； 对于B ，函数()244f x x x =-+的对称轴为2x =， 所以该函数在()0,∞+上不单调，故B 错误；对于C ，函数()2xf x =在()0,∞+上单调递增，故C 正确；对于D ，函数()12log f x x =在()0,∞+上单调递减，故D 错误.故选：C.【点睛】本题考查了函数单调性的应用及常见函数单调性的判断，属于基础题. 6. 设3log 2a =，5log 3b =，23c =，则（ ） A. a c b << B. a b c <<C. b c a <<D. c a b <<【答案】A 【解析】 【分析】将,,a b c 分别化为：331log 23a =，351log 33b =，31log 93c =，先比较,a c 的大小，再比较,b c 的大小.【详解】因为333112log 2log 9333a c =<==，355112log 3log 25333b c =>==， 所以a c b <<. 故选：A.【点睛】本题考查比较对数式的大小问题，难度一般.解答时注意将所给数据合理转化，然后结合对数函数的单调性比较大小. 7. 函数()lg sin f x x =是（ ） A. 最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为2π的奇函数 C. 最小正周期为π的偶函数 D. 最小正周期为2π的偶函数 【答案】C 【解析】【详解】试题分析：根据题意，由于函数()lg sin f x x =是()lg sin ()f x x f x -==，因此排除线线A,B ，然后对于选项C ，D ，由于正弦函数周期为2π，那么利用图象的对称性可知，函数的周期性为π，故选C.考点：函数的奇偶性和周期性点评：解决的关键是根据已知函数解析式俩分析确定奇偶性，那么同时结合图像的变换来得到周期，属于基础题． 8. 函数241xy x =+的图象大致为（ ） A B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误； 当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误. 故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．9. 若函数f(x)＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于( ) A. －1B. 1C. 2D. －2【答案】B 【解析】∵函数f(x)＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线，∴函数的最大值在区间的端点处取得，∵f(0)＝－a ，f(2)＝4－3a ，∴43{1a a a ->--=或43{431a aa -≤--=，解得a ＝1，∴选B.10. 基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ） A. 1.2天 B. 1.8天 C. 2.5天 D. 3.5天【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得()0.38rttI t e e==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天，根据10.38()0.382t t t e e +=，解得1t 即可得结果. 【详解】因为0 3.28R =，6T =，01R rT =+，所以 3.2810.386r -==，所以()0.38rt t I t e e ==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天， 则10.38()0.382t t t e e +=，所以10.382t e =，所以10.38ln 2t =， 所以1ln 20.691.80.380.38t =≈≈天. 故选：B.【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题. 11. 已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（ ）． A. (1,1)-B. (,1)(1,)-∞-+∞C. (0,1)D. (,0)(1,)-∞⋃+∞【答案】D 【解析】 【分析】作出函数2xy =和1y x =+的图象，观察图象可得结果.【详解】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2xy =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)， 不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞. 故选：D.【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.12. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f a f +≤, 则a 的取值范围是（ ）A. [1,2]B. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. (0,2]【答案】C 【解析】试题分析：函数是定义在上的偶函数，∴，等价为），即．∵函数是定义在上的偶函数，且在区间单调递增，∴）等价为．即，∴，解得,故选项为C ．考点：（1）函数的奇偶性与单调性；（2）对数不等式.【思路点晴】本题主要考查对数的基本运算以及函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用根据函数的奇偶数和单调性之间的关系，综合性较强.由偶函数结合对数的运算法则得：，即，结合单调性得：将不等式进行等价转化即可得到结论.二、填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题4小题，每小题5分，共20分）13. 命题：“对任意a ∈R ，方程2320ax x -+=有正实根”的否定是__________. 【答案】存在a R ∈，方程2320ax x -+=没有正实根 【解析】 【分析】由全称命题的否定规则即可得解.【详解】命题“对任意a R ∈，方程2320ax x -+=有正实根”为全称命题， 所以该命题的否定为：“存在a R ∈，方程2320ax x -+=没有正实根”. 故答案为：存在a R ∈，方程2320ax x -+=没有正实根.【点睛】本题考查了全称命题的否定，牢记知识点是解题关键，属于基础题. 14. 34331654log log 8145-⎛⎫++= ⎪⎝⎭__________. 【答案】278【解析】 【分析】由指数、对数的运算法则运算即可得解.【详解】原式343433254227log log 134538--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯=+=⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 故答案为：278. 【点睛】本题考查了指数、对数式的运算，考查了运算求解能力，属于基础题.15. 若不等式1x a -<成立的充分条件是04x <<，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】[3,)+∞ 【解析】试题分析：111x a a x a -<∴-+<<+，由题意可知10{314a a a -+≤∴≥+≥，实数a 的取值范围是[3,)+∞考点：充分条件与必要条件16. 定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=，且(]1,1x ∈-时，()2f x x =.若函数()y f x =的图象与函数y kx =的图象恰有3个交点，则实数k 的取值范围是__________.【答案】11(1,)(,1)33-- 【解析】 【分析】利用函数周期性作出函数()f x 的图象及y kx =的图象，根据图象交点个数得解. 【详解】()()2,2f x f x T +=∴=,(]1,1x ∈-时，()2f x x =作出函数图象，当0x ≥时，函数()y f x =的图象与函数y kx =的图象恰有3个交点,则OH OG k k k <<113k ∴<<, 当0x <时，由偶函数性质得113k -<<- 综上得11(1,)(,1)33-- 故答案为：11(1,)(,1)33--【点睛】本题考查利用函数周期性、奇偶性及函数交点个数求参数范围，属于基础题三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共70分）17. 已知命题11:[1,3],()102x p x m -∀∈+-<，命题2:,40q x R mx x ∃∈+-=.若“p 且q ”为真命题，求实数m 的取值范围. 【答案】1[,0)16- 【解析】 【分析】分别求出,p q 均为真命题时参数m 的范围，再求交集得解 【详解】若“p 且q ”为真命题,则,p q 均为真命题.11:[1,3],()102x p x m -∀∈+-<,111()2x m -∴<-在[1,3]x ∈恒成立，111()2x y -=-是增函数，所以min 0y =，0m ∴<2:,40q x R mx x ∃∈+-=，240mx x ∴+-=有解，即0m =或01160m m ≠⎧⎨∆=+≥⎩ 116m ∴≥-,p q 均为真命题，1016m ∴-≤<故答案为：1[,0)16-【点睛】本题考查利用不等式恒成立、方程有解及复合命题真假求参数，属于基础题. 18. 已知函数1()lg(0)1ax f x a x +=>-为奇函数，函数()()11bg x x b R x=++∈-. （1）求函数()f x 的定义域；（2）当11,32[]x ∈时，关于x 的不等式()()lg f x g x ≤有解，求b 的取值范围. 【答案】（1）(1,1)-；（2）4[,)9+∞【解析】 【分析】(1) 先由奇函数定义求出1a =，再求函数定义域得解.（2）不等式()()lg f x g x ≤有解等价于2211()24b x x x ≥+=+-在11,32[]x ∈时有解即2min 11[()]24b x ≥+-，求出函数211()24y x =+-的最小值得解. 【详解】因函数1()lg(0)1axf x a x+=>-为奇函数，由()()0f x f x +-=得11lg lg 011ax ax x x +-+=-+，2221lg 01a x x-=-1a 或1a =-（舍去）1()lg1x f x x+∴=-，101xx +∴>- ，解得11x -<<，函数的定义域(1,1)-； （2）不等式()()lg f x g x ≤有解等价于1lglg(1)11x bx x x+≤++--， 等价于1111x b x x x +≤++--等价于2211()24b x x x ≥+=+-在11,32[]x ∈时有解即2min 11[()]24b x ≥+-，又211()24y x =+-在11,32[]x ∈单调递增，min 49y =4[,)9b ∴∈+∞【点睛】本题考查奇函数性质及不等式有解问题, 不等式有解问题通常转化为函数最值问题解决.属于基础题.19. 已知42()f x ax bx c =++的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =-. （1）求()y f x =的解析式； （2）求()y f x =的单调递增区间.【答案】（1）4259()122f x x x =-+（2）()1010-+∞ 【解析】 【分析】（1）由()f x 的图象经过点(0,1)⇒1c =，又3'()42f x ax bx =+⇒'(1)421k f a b ==+=，再由()f x 的图象经过点⇒1a b c ++=-⇒52a =，92b⇒4259()122f x x x =-+；（2）令'()f x =31090x x ->⇒010x -<<，或10x >⇒单调递增区间为(，()10+∞. 【详解】（1）42()f x ax bx c =++的图象经过点(0,1)，则1c =，3'()42f x ax bx =+，'(1)421k f a b ==+=，切点为(1,1)-，则42()f x ax bx c =++的图象经过点(1,1)-， 得1a b c ++=-，得52a =，92b ， 4259()122f x x x =-+.（2）3'()1090f x x x =->，010x -<<，或10x >，单调递增区间为(，)+∞.【点晴】本题考查函数的解析式，函数的单调性，涉及函数与方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、运算求解能力，属于较中档型.20. 某电视生产厂家今年推出A 、B 、C 、D 四种款式电视机，每种款式电视机的外观均有黑色、银白色两种.四月份的电视机产量如下表（单位：台）若按电视机的款式采取分层抽样的方法在这个月生产的电视机中抽取70台，其中有C 种款式的电视机20台. （1）求x 的值；（2）若在C 款式电视机中按颜色进行分层抽样抽取一个容量为6的样本，然后将该样本看成一个总体，从中任取2台，求恰有1台黑色、1台银白色电视的概率；（3）用简单随机抽样的方法从A 种款式电视机中抽取10台，对其进行检测，它们的得分如下：94，92，92，96，97，95，98，90，94，97.如果把这10台电视机的得分看作一个样本，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过2的概率. 【答案】(1)160；(2)35；(3)25. 【解析】 【分析】(1)由题意首先求得该厂本月生产电视机共台数，然后求解x 的值即可； (2)由题意利用古典概型计算公式和排列组合公式可得满足题意的概率值；(3)首先求得平均值，然后确定与样本平均数之差的绝对值不超过2的个数，最后利用古典概型计算公式求解概率值即可.【详解】（1）设该厂本月生产电视机共n 台，由题意得7020400n = 所以1400,14001240160n x ==-= 所以x 的值为160.（2）在C 款式电视机中按颜色进行分层抽样抽取一个容量为6的样本，所以抽取了3台黑色电视机、3台银白色电视机，从中任取两台，取法总数为2615n C ==种取一黑一白的取法为11339n C C =⋅=种，93155m p n ∴=== 所以恰有1台黑色、一台银白色电视机的概率为35.（3）样本平均数为1(94929296979598909497)94.510x =+++++++++=， 那么与样本平均数之差的绝对值不超过2的数为94,96,95,94， 所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过2的概率为42105p ==. 【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，分层抽样的应用，平均值的求解，排列组合知识的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21. 已知函数()2()xf x ax x e =+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R . （1）当0a <时，求不等式()0f x >的解集；（2）当0a =时，求使方程()2f x x =+在[],1k k +上有解的整数k 的所有取值； 【答案】（1）10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）1k =或3k =-. 【解析】 【分析】（1）转化不等式为20ax x +>，解一元二次不等式即可得解； （2）转化条件为210xe x --=，令()21,0x x xh x e --=≠，求导可得()h x 的单调性，结合零点存在性定理即可得解.【详解】（1）因为0x e >，所以()0f x >等价于20ax x +>， 又0a <，20ax x +=的两个根为10x =，21x a=-，12x x <， 所以不等式20ax x +>的解集为10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭， 即不等式()0f x >的解集为10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）当0a =时，方程()2f x x =+即2x xe x =+， 易得0x =不是方程的解， 所以原方程等价于210xe x--=， 令()21,0xx x h x e --=≠，则()220x h x e x'=+>， 所以函数()h x 在(),0-∞和()0,∞+上均单调递增，又()2110h e --<=，()21210h e -->=，()303213h e -+-=<-，()21210h e -+-->=，所以函数()h x 在[]1,2和[]3,2--上各有一个零点，所以()2f x x =+有且仅有两个实数根，且分别在[]1,2和[]3,2--上， 所以1k =或3k =-.【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解，考查了利用导数研究函数的单调性及解决方程的根的问题，属于中档题.22. 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ+=. （1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值以及此时P 的直角坐标.【答案】（1）1C ：2213x y +=，2C ：40x y +-=；（2）min PQ =31(,)22P . 【解析】试题分析：（1）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=；（2）由题意，可设点P 的直角坐标为,sin )αα⇒P 到2C 的距离π()sin()2|3d αα==+-⇒当且仅当π2π()6k k α=+∈Z 时，()d α，此时P 的直角坐标为31(,)22.试题解析： （1）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=.（2）由题意，可设点P 的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C 的距离()d α的最小值，π()sin()2|3d αα==+-.当且仅当π2π()6k k α=+∈Z 时，()d α，此时P 的直角坐标为31(,)22. 考点：坐标系与参数方程.【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线C 的普通方程0(),F x y =化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．23. 已知函数()223f x x a x =-++，()12g x x =-+． （1）解不等式()5g x <．（2）若对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）()2,4-（2）1a ≥-或5a ≤-． 【解析】 【分析】（1）利用||x ﹣1|+2|＜5，转化为﹣7＜|x ﹣1|＜3，然后求解不等式即可．（2）利用条件说明{y |y ＝f （x ）}⊆{y |y ＝g （x ）}，通过函数的最值，列出不等式求解即可． 【详解】（1）由125x -+<，得5125x -<-+<， ∴713x -<-<，得不等式的解为24x -<<．故解集为：()2,4-（2）因为任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得()()12f x g x =成立， 所以()(){|}{|}y y f x y y g x =⊆=，又()()()2232233f x x a x x a x a =-++≥--+=+，()122g x x =-+≥，所以32a +≥，解得1a ≥-或5a ≤-，所以实数a 的取值范围为1a ≥-或5a ≤-．【点睛】本题考查函数的恒成立，绝对值不等式的解法，考查分析问题解决问题的能力以及转化思想的应用．。

渭南市尚德中学2019-2020学年度上学期高三年级第一次质量检测数学试题（文科）命题人：姚琳 审核：高三数学组本试卷满分150分 考试时间 120分钟一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}400)1)(3(<<=≤+-=x x B x x x A 则=B A （ ） A.)4,1[- B.]3,0(C.),0(]1,(+∞--∞D.)4,3[ 2.若,1log 32<a 则a 的取值范围是 （ ） A. 320<<a B. 32>a C. 132<<a D.320<<a 或1>a 3.下列函数f (x )中，满足“任意x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( )A.f (x )＝2xB.f (x )＝|x －1|C.f (x )＝1x －xD.f (x )＝ln(x ＋1) 4．下列选项中，说法正确的是（）A ．命题“2,0x R x x ∃∈-≤”的否定是“2,0x R x x ∃∈->”B ．命题“p q ∨为真”是命题“p q ∧为真”的充分不必要条件C.命题“若am 2<bm 2则a<b ”是真命题 D 命题“在ABC ∆中，若1sin 2A <,则6A π<”的逆否命题为真命题 5. 设214-=a ，31log 21=b ，2log 3=c ，则a,b,c 的大小关系是（ ） A ． c b a << B ．b c a << C ．b a c << D ．a b c <<6. 函数()ln x f x x=在区间（0，3）上的最大值为（ ）A.e 1B.1C. 2D. e7. 已知定义在R 上的函数()f x 满足),()(x f x f -=-)1()1(x f x f -=+,且当[]1,0∈x 时,)1(log )(2+=x x f ，则=)31(f （ ）A. 0B. 1C.-1D.38.{{}||,2,0x A x y B y y x ====>则A ∪B( )[]()∞+⋃，21,0 A. B[0,+∞) []1,0 . C []2,1 D.9. 已知命题“存在x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，则实数a 的取值范围为( )A.(－∞，0)B.[0，4]C.[4，＋∞)D.(0，4)10． 函数()sin()2f x x x π=+的导函数在[,]ππ-上的图象大致是A . B. C. D.11. 函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A.(－∞，－2)B.(－∞，1)C.(1，＋∞)D.(4，＋∞)12. 已知函数f(x)的定义域为]5,1[-，部分对应值如下表。