中考数学选择题、填空题压轴题总结

中考数学压轴题60例〔选择题〕一、选择题〔共60小题〕1．〔2021•遵义〕将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB=，那么四边形AB1ED的内切圆半径为〔〕A．B．C．D．2．〔2021•遵义〕如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、DC 上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为〔〕A．50°B．60°C．70°D．80°3．〔2021•自贡〕如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC 上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，那么B′D的最小值是〔〕A．2﹣2 B．6C．2﹣2 D．44．〔2021•株洲〕有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a•c≠0，a≠c．以下四个结论中，错误的选项是〔〕A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=15．〔2021•镇江〕如图，坐标原点O为矩形ABCD的对称中心，顶点A的坐标为〔1，t〕，AB∥x轴，矩形A′B′C′D′与矩形ABCD是位似图形，点O为位似中心，点A′，B′分别是点A，B的对应点，=k．关于x，y的二元一次方程〔m，n是实数〕无解，在以m，n为坐标〔记为〔m，n〕的所有的点中，假设有且只有一个点落在矩形A′B′C′D′的边上，那么k•t的值等于〔〕A．B．1C．D．6．〔2021•枣庄〕如图是二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕图象的一局部，对称轴为x=，且经过点〔2，0〕，有以下说法：①abc＜0；②a+b=0；③4a+2b+c＜0；④假设〔0，y1〕，〔1，y2〕是抛物线上的两点，那么y1=y2．上述说法正确的选项是〔〕A．①②④B．③④C．①③④D．①②7．〔2021•岳阳〕如图，在△ABC中，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D．过点C 作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE=CD，连接AE．对于以下结论：①AD=DC；②△CBA∽△CDE；③=；④AE为⊙O的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是〔〕A．①②B．①②③C．①④D．①②④8．〔2021•营口〕如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA 和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，那么∠AOB的度数是〔〕A．25°B．30°C．35°D．40°9．〔2021•盐城〕如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止〔不含点A和点B〕，那么△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是〔〕A．B．C．D．10．〔2021•烟台〕如图，Rt△ABC中∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8，以2为边长的正方形DEFG的一边CD在直线AB上，且点D与点A重合，现将正方形DEFG沿A﹣B的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点D与点B重合时停止，那么在这个运动过程中，正方形DEFG与△ABC的重合局部的面积S与运动时间t之间的函数关系图象大致是〔〕A．B．C．D．11．〔2021•雅安〕如下图，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C 为上一点，且=，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论：①AD=BD；②∠MAN=90°；③=；④∠ACM+∠ANM=∠MOB；⑤AE=MF．其中正确结论的个数是〔〕A．2B．3C．4D．5 12．〔2021•宿迁〕在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为〔﹣3，0〕，〔3，0〕，点P 在反比例函数y=的图象上，假设△PAB为直角三角形，那么满足条件的点P的个数为〔〕A．2个B．4个C．5个D．6个13．〔2021•孝感〕如图，二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象与x轴交于A，B两点，与y 轴交于点C，且OA=OC．那么以下结论：①abc＜0；②＞0；③ac﹣b+1=0；④OA•OB=﹣．其中正确结论的个数是〔〕A．4B．3C．2D．114．〔2021•西宁〕如图，在矩形中截取两个相同的正方形作为立方体的上下底面，剩余的矩形作为立方体的侧面，刚好能组成立方体．设矩形的长和宽分别为y和x，那么y与x的函数图象大致是〔〕A．B．C．D．15．〔2021•武汉〕如图，△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF 的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是〔〕A．2﹣B．+1 C．D．﹣116．〔2021•无锡〕如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，那么线段B′F的长为〔〕A．B．C．D．17．〔2021•潍坊〕二次函数y=ax2+bx+c+2的图象如下图，顶点为〔﹣1，0〕，以下结论：①abc＜0；②b2﹣4ac=0；③a＞2；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是〔〕A．1B．2C．3D．418．〔2021•天水〕如图，AB为半圆所在⊙O的直径，弦CD为定长且小于⊙O的半径〔C 点与A点不重合〕，CF⊥CD交AB于点F，DE⊥CD交AB于点E，G为半圆弧上的中点．当点C 在上运动时，设的长为x，CF+DE=y．那么以下图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是〔〕A．B．C．D．19．〔2021•泰州〕如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，那么图中全等三角形的对数是〔〕A．1对B．2对C．3对D．4对20．〔2021•遂宁〕二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象如下图，以下结论：①2a+b＞0；②abc ＜0；③b2﹣4ac＞0；④a+b+c＜0；⑤4a﹣2b+c＜0，其中正确的个数是〔〕A．2B．3C．4D．521．〔2021•绥化〕如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=BC，连接OE．以下结论：①∠CAD=30°；②S▱ABCD=AB•AC；③OB=AB；④OE=BC，成立的个数有〔〕A．1个B．2个C．3个D．4个22．〔2021•十堰〕如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，假设CE=3，且∠ECF=45°，那么CF的长为〔〕A．2B．3C．D．23．〔2021•日照〕如图是抛物线y1=ax2+bx+c〔a≠0〕图象的一局部，抛物线的顶点坐标A 〔1，3〕，与x轴的一个交点B〔4，0〕，直线y2=mx+n〔m≠0〕与抛物线交于A，B两点，以下结论：①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是〔﹣1，0〕；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，其中正确的选项是〔〕A．①②③B．①③④C．①③⑤D．②④⑤24．〔2021•泉州〕在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是〔〕A．B．C．D．25．〔2021•庆阳〕在如下图的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，那么△B2n A2n+1B2n+1〔n是正整数〕的顶点A2n+1的坐标是〔〕A．〔4n﹣1，〕B．〔2n﹣1，〕C．〔4n+1，〕D．〔2n+1，〕26．〔2021•钦州〕如图，AD是△ABC的角平分线，那么AB：AC等于〔〕A．B D：CD B．A D：CD C．B C：AD D．B C：AC27．〔2021•齐齐哈尔〕如图，在钝角△ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分∠AEB交AB于点M，取BC中点D，AC中点N，连接DN、DE、DF．以下结论：①EM=DN；②S△CDN =S四边形ABDN；③DE=DF；④DE⊥DF．其中正确的结论的个数是〔〕A．1个B．2个C．3个D．4个28．〔2021•盘锦〕如图，边长为1的正方形ABCD，点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点N从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿A→D→C→B的路径向点B运动，当一个点到达点B时，另一个点也随之停止运动，设△AMN的面积为s，运动时间为t秒，那么能大致反映s与t的函数关系的图象是〔〕A．B．C．D．29．〔2021•宁德〕如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3…都在x轴上，点B1，B2，B3…都在直线y=x上，△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…都是等腰直角三角形，且OA1=1，那么点B2021的坐标是〔〕A．〔22021，22021〕B．〔22021，22021〕C．〔22021，22021〕D．〔22021，22021〕30．〔2021•内江〕如图，正方形ABCD位于第一象限，边长为3，点A在直线y=x上，点A的横坐标为1，正方形ABCD的边分别平行于x轴、y轴．假设双曲线y=与正方形ABCD 有公共点，那么k的取值范围为〔〕A．1＜k＜9 B．2≤k≤34 C．1≤k≤16 D．4≤k＜1631．〔2021•南通〕如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC 于点E，AB=6，AD=5，那么AE的长为〔〕A．2.5 B．2.8 C．3D．3.232．〔2021•南宁〕如图，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，∠MAB=20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点．假设MN=1，那么△PMN周长的最小值为〔〕A．4B．5C．6D．733．〔2021•南充〕关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②〔m﹣1〕2+〔n﹣1〕2≥2；③﹣1≤2m﹣2n≤1，其中正确结论的个数是〔〕A．0个B．1个C．2个D．3个34．〔2021•南昌〕抛物线y=ax2+bx+c〔a＞0〕过〔﹣2，0〕，〔2，3〕两点，那么抛物线的对称轴〔〕A．只能是x=﹣1B．可能是y轴C．可能在y轴右侧且在直线x=2的左侧D．可能在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧35．〔2021•牡丹江〕如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BM是AC边中线，点D，E分别在边AC和BC上，DB=DE，EF⊥AC于点F，以下结论：〔1〕∠DBM=∠CDE；〔2〕S△BDE＜S四边形BMFE；〔3〕CD•EN=BN•BD；〔4〕AC=2DF．其中正确结论的个数是〔〕A．1B．2C．3D．436．〔2021•梅州〕对于二次函数y=﹣x2+2x．有以下四个结论：①它的对称轴是直线x=1；②设y1=﹣x12+2x1，y2=﹣x22+2x2，那么当x2＞x1时，有y2＞y1；③它的图象与x轴的两个交点是〔0，0〕和〔2，0〕；④当0＜x＜2时，y＞0．其中正确的结论的个数为〔〕A．1B．2C．3D．437．〔2021•辽阳〕如图，点A是双曲线y=﹣在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB=120°，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=上运动，那么k的值为〔〕38．〔2021•凉山州〕二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象如下图，以下说法：①2a+b=0②当﹣1≤x≤3时，y＜0③假设〔x1，y1〕、〔x2，y2〕在函数图象上，当x1＜x2时，y1＜y2④9a+3b+c=0其中正确的选项是〔〕A．①②④B．①④C．①②③D．③④39．〔2021•连云港〕如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y〔单位：件〕与时间t〔单位；天〕的函数关系，图②是一件产品的销售利润z〔单位：元〕与时间t〔单位：天〕的函数关系，日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润，以下结论错误的选项是〔〕A．第24天的销售量为200件B．第10天销售一件产品的利润是15元C．第12天与第30天这两天的日销售利润相等D．第30天的日销售利润是750元40．〔2021•莱芜〕如图，在矩形ABCD中，AB=2a，AD=a，矩形边上一动点P沿A→B→C→D 的路径移动．设点P经过的路径长为x，PD2=y，那么以下能大致反映y与x的函数关系的图象是〔〕41．〔2021•酒泉〕如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点〔点P 与点B、C都不重合〕，现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF 的角平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，那么以下图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是〔〕A．B．C．D．42．〔2021•荆州〕如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s 的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x〔s〕，△BPQ的面积为y〔cm2〕，那么y关于x的函数图象是〔〕A．B．C．D．43．〔2021•荆门〕如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC，其中结论正确的有〔〕A．1个B．2个C．3个D．4个44．〔2021•济南〕如图，抛物线y=﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的局部记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．假设直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，那么m的取值范围是〔〕A．﹣2＜m ＜B．﹣3＜m ＜﹣C．﹣3＜m＜﹣2 D．﹣3＜m ＜﹣45．〔2021•黄石〕如图是自行车骑行训练场地的一局部，半圆O的直径AB=100，在半圆弧上有一运发动C从B点沿半圆周匀速运动到M〔最高点〕，此时由于自行车故障原地停留了一段时间，修理好继续以相同的速度运动到A点停止．设运动时间为t，点B到直线OC的距离为d，那么以下图象能大致刻画d与t之间的关系是〔〕A．B．C．D．46．〔2021•黑龙江〕如图，正方形ABCD中，点E是AD边中点，BD、CE交于点H，BE、AH交于点G，那么以下结论：①AG⊥BE；②BG=4GE；③S△BHE=S△CHD；④∠AHB=∠EHD．其中正确的个数是〔〕A．1B．2C．3D．447．〔2021•菏泽〕如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD．假设点B的坐标为〔2，0〕，那么点C的坐标为〔〕A．〔﹣1，〕B．〔﹣2，〕C．〔﹣，1〕D．〔﹣，2〕48．〔2021•河南〕如下图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1、O2、O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，那么第2021秒时，点P的坐标是〔〕A．〔2021，0〕B．〔2021，﹣1〕C．〔2021，1〕D．〔2021，0〕49．〔2021•河池〕我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆〞．如图，直线l：y=kx+4与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是〔〕A．6B．8C．10 D．1250．〔2021•河北〕如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对以下各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB的大小．其中会随点P的移动而变化的是〔〕A．②③B．②⑤C．①③④D．④⑤51．〔2021•河北〕如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，那么〔〕A．甲、乙都可以B．甲、乙都不可以C．甲不可以、乙可以D．甲可以、乙不可以52．〔2021•桂林〕如图，在等边△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，点P从点E出发沿EA 方向运动，连接PD，以PD为边，在PD右侧按如图方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是〔〕A．8B．10 C．3πD．5π53．〔2021•广元〕如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动．记PA=x，点D到直线PA的距离为y，那么y关于x的函数大致图象是〔〕A．B．C．D．54．〔2021•抚顺〕如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E．假设AB=3，那么△AEC的面积为〔〕A．3B．1.5 C．2D．55．〔2021•鄂州〕在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如下图的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…那么正方形A2021B2021C2021D2021的边长是〔〕A．〔〕2021B．〔〕2021C．〔〕2021D．〔〕202156．〔2021•滨州〕如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转，假设∠BOA 的两边分别与函数y=﹣、y=的图象交于B、A两点，那么∠OAB的大小的变化趋势为〔〕A．逐渐变小B．逐渐变大C．时大时小D．保持不变57．〔2021•本溪〕如图，在△ABC中，∠C=90°，点P是斜边AB的中点，点M从点C向点A匀速运动，点N从点B向点C匀速运动，两点同时出发，同时到达终点，连接PM、PN、MN，在整个运动过程中，△PMN的面积S与运动时间t的函数关系图象大致是〔〕A．B．C．D．58．〔2021•巴彦淖尔〕如图1，E为矩形ABCD边AD上的一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是2cm/s．假设P、Q同时开始运动，设运动时间为t〔s〕，△BPQ的面积为y〔cm2〕，y与t的函数关系图象如图2，那么以下结论错误的选项是〔〕A．A E=12cmB．sin∠EBC=C．当0＜t≤8时，y=t2D．当t=9s时，△PBQ是等腰三角形59．〔2021•眉山〕如图，A、B是双曲线y=上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D 点，垂足为C．假设△ADO的面积为1，D为OB的中点，那么k的值为〔〕A．B．C．3D．460．〔2021•徐州〕假设函数y=kx﹣b的图象如下图，那么关于x的不等式k〔x﹣3〕﹣b＞0的解集为〔〕A．x＜2 B．x＞2 C．x＜5 D．x＞52021年全国中考数学压轴题60例〔选择题卷〕参考答案与试题解析一、选择题〔共60小题〕1．〔2021•遵义〕将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB=，那么四边形AB1ED的内切圆半径为〔〕A．B．C．D．考点：三角形的内切圆与内心；正方形的性质；旋转的性质．专题：压轴题．分析：作∠DAF与∠AB1G的角平分线交于点O，那么O即为该圆的圆心，过O作OF⊥AB1，AB=，再根据直角三角形的性质便可求出OF的长，即该四边形内切圆的圆心．解答：解：作∠DAF与∠AB1G的角平分线交于点O，过O作OF⊥AB1，】那么∠OAF=30°，∠AB1O=45°，故B1F=OF=OA，设B1F=x，那么AF=﹣x，故〔﹣x〕2+x2=〔2x〕2，解得x=或x=〔舍去〕，∴四边形AB1ED的内切圆半径为：．应选：B．点评：此题考查了旋转的性质三角形的内切圆，正方形的性质，要熟练掌握正方形的性质及直角三角形的性质，是解答此题的关键．2．〔2021•遵义〕如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为〔〕A．50°B．60°C．70°D．80°考点：轴对称-最短路线问题．专题：压轴题．分析：据要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A 关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°，进而得出∠AEF+∠AFE=2〔∠AA′E+∠A″〕，即可得出答案．解答：解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，那么A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，∵∠C=50°，∴∠DAB=130°，∴∠HAA′=50°，∴∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°，∵∠EA′A=∠EAA′，∠FAD=∠A″，∴∠EAA′+∠A″AF=50°，∴∠EAF=130°﹣50°=80°，应选：D．点评：此题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据得出E，F的位置是解题关键．3．〔2021•自贡〕如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，那么B′D的最小值是〔〕A．2﹣2 B．6C．2﹣2 D．4考点：翻折变换〔折叠问题〕．专题：压轴题．分析：当∠BFE=∠DEF，点B′在DE上时，此时B′D的值最小，根据勾股定理求出DE，根据折叠的性质可知B′E=BE=2，DE﹣B′E即为所求．解答：解：如图，当∠BFE=∠DEF，点B′在DE上时，此时B′D的值最小，根据折叠的性质，△EBF≌△EB′F，∴EB′⊥FD，∴EB′=EB，∵E是AB边的中点，AB=4，∴AE=EB′=2，∵AB=6，∴DE==2，∴DB′=2﹣2．应选：A．点评：此题主要考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用，确定点B′在何位置时，B′D的值最小，是解决问题的关键．4．〔2021•株洲〕有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a•c≠0，a≠c．以下四个结论中，错误的选项是〔〕A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1考点：根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系．专题：压轴题．分析：利用根的判别式判断A；利用根与系数的关系判断B；利用一元二次方程的解的定义判断C与D．解答：解：A、如果方程M有两个相等的实数根，那么△=b2﹣4ac=0，所以方程N也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；B、如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，那么△=b2﹣4ac≥0，＞0，所以a与c符号相同，＞0，所以方程N的两根符号也相同，结论正确，不符合题意；C、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，两边同时除以25，得c+b+a=0，所以是方程N的一个根，结论正确，不符合题意；D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，〔a﹣c〕x2=a﹣c，由a≠c，得x2=1，x=±1，结论错误，符合题意；应选：D．点评：此题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根．也考查了根与系数的关系，一元二次方程的解的定义．5．〔2021•镇江〕如图，坐标原点O为矩形ABCD的对称中心，顶点A的坐标为〔1，t〕，AB∥x轴，矩形A′B′C′D′与矩形ABCD是位似图形，点O为位似中心，点A′，B′分别是点A，B的对应点，=k．关于x，y的二元一次方程〔m，n是实数〕无解，在以m，n为坐标〔记为〔m，n〕的所有的点中，假设有且只有一个点落在矩形A′B′C′D′的边上，那么k•t的值等于〔〕A．B．1C．D．考点：位似变换；二元一次方程组的解；坐标与图形性质．专题：压轴题．分析：首先求出点A′的坐标为〔k，kt〕，再根据关于x，y的二元一次方程〔m，n是实数〕无解，可得mn=3，且n≠1；然后根据以m，n为坐标〔记为〔m，n〕的所有的点中，有且只有一个点落在矩形A′B′C′D′的边上，可得反比例函数n=的图象只经过点A′或C′；最后分两种情况讨论：〔1〕假设反比例函数n=的图象经过点A′时；〔2〕假设反比例函数n=的图象经过点C′时；求出k•t的值等于多少即可．解答：解：∵矩形A′B′C′D′与矩形ABCD是位似图形，=k，顶点A的坐标为〔1，t〕，∴点A′的坐标为〔k，kt〕，∵关于x，y的二元一次方程〔m，n是实数〕无解，∴mn=3，且n≠1，即n=〔m≠3〕，∵以m，n为坐标〔记为〔m，n〕的所有的点中，有且只有一个点落在矩形A′B′C′D′的边上，∴反比例函数n=的图象只经过点A′或C′，由，可得mnx﹣3x+4=3n+1，〔1〕假设反比例函数n=的图象经过点A′，∵mn=3，3x﹣3x+4=3kt+1，解得kt=1．〔2〕假设反比例函数n=的图象经过点C′，∵mn=3，3x﹣3x+4=﹣3kt+1，解得kt=﹣1，∵k＞0，t＞0，∴kt=﹣1不符合题意，∴kt=1．应选：B．点评：〔1〕此题主要考查了位似变换问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．〔2〕此题还考查了二元一次方程组的求解方法，以及坐标与图形的性质，要熟练掌握．6．〔2021•枣庄〕如图是二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕图象的一局部，对称轴为x=，且经过点〔2，0〕，有以下说法：①abc＜0；②a+b=0；③4a+2b+c＜0；④假设〔0，y1〕，〔1，y2〕是抛物线上的两点，那么y1=y2．上述说法正确的选项是〔〕A．①②④B．③④C．①③④D．①②考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题．分析：①根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置求得a、b、c的符号；②根据对称轴求出b=﹣a；③把x=2代入函数关系式，结合图象判断函数值与0的大小关系；④求出点〔0，y1〕关于直线x=的对称点的坐标，根据对称轴即可判断y1和y2的大小．解答：解：①∵二次函数的图象开口向下，∴a＜0，∵二次函数的图象交y轴的正半轴于一点，∴c＞0，∵对称轴是直线x=，∴﹣，∴b=﹣a＞0，∴abc＜0．故①正确；②∵由①中知b=﹣a，∴a+b=0，故②正确；③把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c，∵抛物线经过点〔2，0〕，∴当x=2时，y=0，即4a+2b+c=0．故③错误；④∵〔0，y1〕关于直线x=的对称点的坐标是〔1，y1〕，∴y1=y2．故④正确；综上所述，正确的结论是①②④．应选：A点评：此题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用，注意：当a＞0时，二次函数的图象开口向上，当a＜0时，二次函数的图象开口向下．7．〔2021•岳阳〕如图，在△ABC中，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D．过点C 作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE=CD，连接AE．对于以下结论：①AD=DC；②△CBA∽△CDE；③=；④AE为⊙O的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是〔〕A．①②B．①②③C．①④D．①②④考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：根据圆周角定理得∠ADB=90°，那么BD⊥AC，于是根据等腰三角形的性质可判断AD=DC，那么可对①进行判断；利用等腰三角形的性质和平行线的性质可证明∠1=∠2=∠3=∠4，那么根据相似三角形的判定方法得到△CBA∽△CDE，于是可对②进行判断；由于不能确定∠1等于45°，那么不能确定与相等，那么可对③进行判断；利用DA=DC=DE可判断∠AEC=90°，即CE⊥AE，根据平行线的性质得到AB⊥AE，然后根据切线的判定定理得AE为⊙O的切线，于是可对④进行判断．解答：解：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴BD⊥AC，而AB=CB，∴AD=DC，所以①正确；∵AB=CB，∴∠1=∠2，而CD=ED，∴∠3=∠4，∵CF∥AB，∴∠1=∠3，∴∠1=∠2=∠3=∠4，∴△CBA∽△CDE，所以②正确；∵△ABC不能确定为直角三角形，∴∠1不能确定等于45°，∴与不能确定相等，所以③错误；∵DA=DC=DE，∴点E在以AC为直径的圆上，∴∠AEC=90°，∴CE⊥AE，而CF∥AB，∴AB⊥AE，∴AE为⊙O的切线，所以④正确．应选：D．点评：此题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了等腰三角形的性质、平行线的性质和相似三角形的判定．8．〔2021•营口〕如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA 和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，那么∠AOB的度数是〔〕A．25°B．30°C．35°D．40°考点：轴对称-最短路线问题．专题：压轴题．分析：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．解答：解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如下图：∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，∵△PMN周长的最小值是5cm，∴PM+PN+MN=5，∴DM+CN+MN=5，即CD=5=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°；应选：B．点评：此题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．9．〔2021•盐城〕如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止〔不含点A和点B〕，那么△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是〔〕A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．专题：压轴题．分析：根据点P在AD、DE、EF、FG、GB上时，△ABP的面积S与时间t的关系确定函数图象．解答：解：当点P在AD上时，△ABP的底AB不变，高增大，所以△ABP的面积S随着时间t的增大而增大；当点P在DE上时，△ABP的底AB不变，高不变，所以△ABP的面积S不变；当点P在EF上时，△ABP的底AB不变，高减小，所以△ABP的面积S随着时间t 的减小；当点P在FG上时，△ABP的底AB不变，高不变，所以△ABP的面积S不变；当点P在GB上时，△ABP的底AB不变，高减小，所以△ABP的面积S随着时间t 的减小；应选：B．点评：此题考查的是动点问题的函数图象，正确分析点P在不同的线段上△ABP的面积S 与时间t的关系是解题的关键．10．〔2021•烟台〕如图，Rt△ABC中∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8，以2为边长的正方形DEFG的一边CD在直线AB上，且点D与点A重合，现将正方形DEFG沿A﹣B的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点D与点B重合时停止，那么在这个运动过程中，正方形DEFG与△ABC的重合局部的面积S与运动时间t之间的函数关系图象大致是〔〕A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．专题：压轴题．分析：首先根据Rt△ABC中∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8，分别求出AC、BC，以及AB 边上的高各是多少；然后根据图示，分三种情况：〔1〕当0≤t≤2时；〔2〕当2时；〔3〕当6＜t≤8时；分别求出正方形DEFG与△ABC的重合局部的面积S的表达式，进而判断出正方形DEFG与△ABC的重合局部的面积S与运动时间t之间的函数关系图象大致是哪个即可．解答：解：如图1，CH是AB边上的高，与AB相交于点H，∵∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8，∴AC=AB×cos30°=8×=4，BC=AB×sin30°=8×=4，∴CH=AC ×，AH=，〔1〕当0≤t≤2时，S==t2；〔2〕当2时，S=﹣=t 2[t2﹣4t+12]=2t﹣2〔3〕当6＜t≤8时，S=[〔t﹣2〕•tan30°]×[6﹣〔t﹣2〕]×[〔8﹣t〕•tan60°]×〔t﹣6〕=[]×[﹣t+2+6]×[﹣t]×〔t﹣6〕=﹣t2+2t+4﹣t2﹣30=﹣t2﹣26综上，可得S=∴正方形DEFG与△ABC的重合局部的面积S与运动时间t之间的函数关系图象大致是A图象．应选：A．点评：〔1〕此题主要考查了动点问题的函数图象，解答此类问题的关键是通过看图获取信息，并能解决生活中的实际问题，用图象解决问题时，要理清图象的含义即学会识图．〔2〕此题还考查了直角三角形的性质和应用，以及三角形、梯形的面积的求法，要熟练掌握．11．〔2021•雅安〕如下图，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为上一点，且=，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论：①AD=BD；②∠MAN=90°；③=；④∠ACM+∠ANM=∠MOB；⑤AE=MF．其中正确结论的个数是〔〕A．2B．3C．4D．5考点：圆周角定理；垂径定理．专题：压轴题．分析：根据AB⊥MN，垂径定理得出①③正确，利用MN是直径得出②正确，==，得出④正确，结合②④得出⑤正确即可．解答：解：∵MN是⊙O的直径，AB⊥MN，∴AD=BD，=，∠MAN=90°〔①②③正确〕∵=，∴==，∴∠ACM+∠ANM=∠MOB〔④正确〕∵∠MAE=∠AME，∴AE=ME，∠EAF=∠AFM，∴AE=EF，∴AE=MF〔⑤正确〕．正确的结论共5个．应选：D．点评：此题考查圆周角定理，垂径定理，以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识．12．〔2021•宿迁〕在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为〔﹣3，0〕，〔3，0〕，点P 在反比例函数y=的图象上，假设△PAB为直角三角形，那么满足条件的点P的个数为〔〕A．2个B．4个C．5个D．6个考点：反比例函数图象上点的坐标特征；圆周角定理．专题：压轴题．分析：分类讨论：①当∠PAB=90°时，那么P点的横坐标为﹣3，根据反比例函数图象上点的坐标特征易得P点有1个；②当∠APB=90°，设P〔x，〕，根据两点间的距离公式和勾股定理可得〔x+3〕2+〔〕2+〔x﹣3〕2+〔〕2=36，此时P点有4个，③当∠PBA=90°时，P点的横坐标为3，此时P点有1个．解答：解：①当∠PAB=90°时，P点的横坐标为﹣3，把x=﹣3代入y=得y=﹣，所以此时P点有1个；②当∠APB=90°，设P〔x，〕，PA2=〔x+3〕2+〔〕2，PB2=〔x﹣3〕2+〔〕2，AB2=〔3+3〕2=36，因为PA2+PB2=AB2，所以〔x+3〕2+〔〕2+〔x﹣3〕2+〔〕2=36，整理得x4﹣9x2+4=0，所以x2=，或x2=，所以此时P点有4个，。

． ． ． ．中考数学选择题压轴题一、选择题1．将正方形 ABCD 绕点 A 按逆时针方向旋转 30°，得正方形 AB 1C 1D 1，B 1C 1 交 CD 于点 E ，AB= ，则四边形 AB 1ED 的内切圆半径为( )A B C D考点：三角形的内切圆与内心；正方形的性质；旋转的性 质．专题： 压轴题．分析：作∠DAF 与∠AB 1G 的角平分线交于点 O ，则 O 即为该圆的圆心，过 O 作 OF ⊥AB 1，AB= ，再根据直角三角形的性质便可求出 OF 的长，即该四边形内切圆的圆心．解答：解：作∠DAF 与∠AB 1G 的角平分线交于点 O ，过 O 作 OF ⊥AB 1，】则∠OAF=30°，∠AB 1O=45°，故 OA ，设 B 1F=x ，则 AF= ﹣x ，故( ﹣x)2+x 2=(2x)2，解得 或 (舍去)，∴四边形AB1ED 的内切圆半径为．故选：B．2．如图，四边形ABCD 中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F 分别是BC、DC 上的点，当△AEF 的周长最小时，∠EAF 的度数为( )A 50°B 60°C 70°D 80°解答：解：作A 关于BC 和CD 的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC 于E，交CD 于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA 延长线AH，∵∠C=50°，∴∠DAB=130°，∴∠HAA′=50°，∴∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°，∵∠EA′A=∠EAA′，∠FAD=∠A″，∴∠EAA′+∠A″AF=50°，∴∠EAF=130°﹣50°=80°，故选：D．本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到平面3．如图，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=6，E 是AB 边的中点，F 是线段BC 上的动点，将△EBF 沿EF 所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D 的最小值是( )A 2 ﹣2B 6C 2 ﹣2D 4考点：翻折变换(折叠问题)．专题：压轴题．分析：当∠BFE=∠DEF，点B′在DE 上时，此时B′D的值最小，根据勾股定理求出DE，根据折叠的性质可知B′E=BE=2，DE﹣B′E 即为所求．解答：解：如图，当∠BFE=∠DEF，点B′在DE 上时，此时B′D的值最小，根据折叠的性质，△EBF≌△EB′F，∴EB′⊥FD，∴EB′=EB，∵E 是AB 边的中点，AB=4，∴AE=EB′=2，∵AB=6，∴DE= =2 ，∴DB′=2﹣2．故选：A．点评：本题主要考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用，确定点B′在何位置时，B′D 的值最小，是解决问题的关键．4．有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a•c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是( )相同．如果5 是方程M 的一个根，那是方程N 的一个根，，B ；利用一元二次方程的解的定义判断C 与D ． 解答： 解：A 、如果方程 M 有两个相等的实数根，那么△=b 2 ﹣4ac=0，所以方程 N 也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意； B 、如果方程 M 的两根符号相同，那么方程 N 的两 根符号也相同，那么 ＞0，所以 a 与c 符号相同， ＞0，所以方程 N 的两根符号也相同结论正确，不符合题意；C 、如果 5 是方程 M 的一个根，那么 25a+5b+c=0， 两边同时除以 25，c+b+a=0，所 是方程 N 的一个根，结论正确，不符合题意；D 、如果方程 M 和方程 N 有一个相同的根，那么 ax 2+bx+c=cx 2+bx+a ，(a ﹣c)x 2=a ﹣c ，由 a ≠c ，得 x 2=1 x=±1 ，结论错误，符合题意； 故选：D ．本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关5．如图，坐标原点O 为矩形ABCD 的对称中心，顶点A 的坐标为(1，t)，AB∥x 轴，矩形A′B′C′D′与矩形ABCD 是位似图形，点O 为位似中心，点A′，B′分别是点A，B 的对应点，=k．已知关于x，y 的二元一次方(m，n 是实数)无解，在以m，n 为坐标(记为(m，n)的所有的点中，若有且只有一个点落在矩形A′B′C′D′的边上，则k•t的值等于( )A B 1 C ．．．D ．， ，： 压轴题． ： 首先求出点 A′的坐标为(k ，kt)，再根据关于 x ，y 的二 元一次方 (m ，n 是实数)无解，可得 mn=3，且 n≠1；然后根据以 m ，n 为坐标(记为(m ，n)的所有的点中，有且只有一个点落在矩形 A′B′C′D′的边上，可得反比例函数 的图象只经过点 A′或 C′；最后分两种情况 讨论：(1)若反比例函数 的图象经过点 A′时；(2)若反 比例函数 的图象经过点 C′时；求出 k•t 的值等于多少即可． ： 解：∵矩形 A′B′C′D′与矩形 ABCD 是位似图形=k 顶点 A 的坐标为(1，t)，∴点 A′的坐标为(k ，kt)，∵关于 x ，y 的二元一次方(m ，n 是实数)无解∴mn=3，且 n≠1，即 (m≠3)， ∵以 m ，n 为坐标(记为(m ，n)的所有的点中，有且只有一个点落在矩形 A′B′C′D′的边上，∴反比例函数 的图象只经过点 A′或 C′，由，可得mnx ﹣3x+4=3n+1，(1)若反比例函数的图象经过点A′，得kt=1．(2)若反比例函数的图象经过点C′，6．如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴为x=，且经过点(2，0)，有下列说法：①abc＜0；②a+b=0；③4a+2b+c＜0；④若(0，y1)，(1，y2)是抛物线上的两点，则y1=y2．上述说法正确的是( )A ①②④B ③④C ①③④D ①②．．．．：压轴题．：①根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y 轴交点位置求得a、b、c 的符号；②根据对称轴求出b=﹣a；③把x=2 代入函数关系式，结合图象判断函数值与0 的大小关系；④求出点(0，y1)关于直线的对称点的坐标，根据对称轴即可判断y1和y2的大小．：解：①∵二次函数的图象开口向下，∴a＜0，∵二次函数的图象交y 轴的正半轴于一点，∴c＞0，∵对称轴是直线，∴﹣，∴b=﹣a＞0，∴abc＜0．故①正确；，7．如图，在△ABC 中，AB=CB ，以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于点 D ．过点 C 作 CF ∥AB ，在 CF 上取一点 E ，使 DE=CD ，连接 AE ．对于下列结论：①AD=DC ；②△CBA ∽△CDE ；③ = ；④AE 为⊙O 的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是( )∴a+b=0， 故②正确；③把 x=2 代入 y=ax 2+bx+c 得：y=4a+2b+c ， ∵抛物线经过点(2，0)， ∴当 x=2 时，y=0，即 4a+2b+c=0． 故③错误；④∵(0，y 1)关于直线 的对称点的坐标是(1，y 1)，∴y 1=y 2． 故④正确；综上所述，正确的结论是①②④． 故选：A 点评：本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用，注意：当 a ＞0 时，二次函数的图象开口向上，当 a ＜0 时 二次函数的图象开口向下．A ①②B ①②③C ①④D ①②④．．．．∴∠1=∠2=∠3=∠4，∴△CBA∽△CDE，所以②正确；∵△ABC 不能确定为直角三角形，∴∠1 不能确定等于45°，∴与不能确定相等，所以③错误；∵DA=DC=DE，∴点E 在以AC 为直径的圆上，∴∠AEC=90°，∴CE⊥AE，而CF∥AB，∴AB⊥AE，∴AE 为⊙O 的切线，所以④正确．故选：D．8．如图，点P 是∠AOB 内任意一点，OP=5cm，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，△PMN 周长的最小值是5cm，则∠AOB 的度数是( )A 25°B 30° ．．， 、、C 35° ．D 40° ．考点： 轴对称-最短路线问题． 专题： 压轴题．分析：分别作点 P 关于 OA 、OB 的对称点 C 、D ，连接 CD 分别交 OA 、OB 于点 M 、N ，连接 OC 、OD 、PM 、PN MN ，由对称的性质得出 PM=CM ，OP=OC ，∠COA=∠POA ；PN=DN ，OP=OD ，∠DOB=∠POB ，得出∠ AOB=∠COD ，证出△OCD 是等边三角形，得出∠ COD=60°，即可得出结果．解答：解：分别作点 P 关于 OA 、OB 的对称点 C 、D ，连接CD ，分别交 OA 、OB 于点 M 、N ，连接 OC 、OD 、PM 、PN MN ，如图所示：∵点 P 关于 OA 的对称点为 D ，关于 OB 的对称点为 C ∴PM=DM ，OP=OD ，∠DOA=∠POA ； ∵点 P 关于 OB 的对称点为 C ，∴PN=CN ，OP=OC ，∠COB=∠POB ，∴OC=OP=OD ，∠AOB=∠COD ， ∵△PMN 周长的最小值是 5cm ， ∴PM+PN+MN=5， ∴DM+CN+MN=5，即CD=5=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD 是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°；故选：B．点评：本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．9．如图，在边长为2 的正方形ABCD 中剪去一个边长为1 的小正方形CEFG，动点P 从点A 出发，沿A→D→E→F→G→B 的路线绕多边形的边匀速运动到点B 时停止(不含点A 和点B)，则△ABP 的面积S 随着时间t 变化的函数图象大致是( )A B C D．．．．动时间t 之间的函数关系图象大致是( )．． ． ．C D；，A B考点： 动点问题的函数图象． 专题： 压轴题． 分析： 首先根据 Rt △ABC 中∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8， 分别求出 AC 、BC ，以及 AB 边上的高各是多少；然后根据图示，分三种情况：(1)当 0≤t ≤2 时；(2)当 2 时 (3)当 6＜t≤8 时；分别求出正方形 DEFG 与△ABC 的重合部分的面积 S 的表达式，进而判断出正方形 DEFG 与 △ABC 的重合部分的面积 S 与运动时间 t 之间的函数关 系图象大致是哪个即可． 解答： 解：如图 1，CH 是 AB 边上的高，与 AB 相交于点 H∵∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8，∴AC=AB×cos30°=8× =4 ，BC=AB×sin30°=8× =4， ∴CH=AC×，AH= ，(1)当 0≤t≤2 时， S= =t 2；(2)当 2 时，S=﹣=t2[t2﹣4 t+12]=2t﹣2(3)当6＜t≤8 时，S=[(t﹣2 )•tan30°]×[6 ﹣(t﹣2 ×[ (8﹣t)•tan60°]×(t﹣6)=[]×[ ﹣t+2 ×[ ﹣t ]×(t﹣6)=﹣t2+2t+4 t2 ﹣30=﹣t2 ﹣26综上，可得S=∴正方形DEFG 与△ABC 的重合部分的面积S 与运动时间t 之间的函数关系图象大致是A 图象．故选：A．， 11．如图所示，MN 是⊙O 的直径，作 AB ⊥MN ，垂足为点 D ，连接 AM ，AN ，点 C 为 上一点，且 = ，连接 CM ，交 AB 于点 E ，交 AN 于点 F ，现给出以下结论：①AD=BD ；②∠MAN=90°；③ = ；④∠ACM+∠ANM=∠ MOB ；⑤AE=MF ． 其中正确结论的个数是()C 4D 5 ． ．考点： 圆周角定理；垂径定理． 专题： 压轴题． 分析： 根据 AB ⊥MN ，垂径定理得出①③正确，利用 MN 是直径得出②正确 = = ，得出④正确，结合②④得出 ⑤正确即可． 解答： 解：∵MN 是⊙O 的直径，AB ⊥MN ，∴AD=BD ， = ，∠MAN=90°(①②③正确) ∵ = ， ∴ = = ，∴∠ACM+∠ANM=∠MOB(④正确) ∵∠MAE=∠AME ，∴AE=ME ，∠EAF=∠AFM ， ∴AE=EF ，A 2 ．B 3 ．，∴AE=MF(⑤正确)． 正确的结论共 5 个． 故选：D ．12．在平面直角坐标系中，点 A ，B 的坐标分别为(﹣3，0)， (3，0)，点 P 在反比例函数 的图象上，若△PAB 为直角三角形，则满足条件的点 P 的个数为( ) A 2 个 B 4 个 C 5 个 D 6 个 ． ． ．．， ；：压轴题． ： 分类讨论：①当∠PAB=90°时，则 P 点的横坐标为﹣3 根据反比例函数图象上点的坐标特征易得P 点有1 个 ②当∠APB=90°，设 )，根据两点间的距离公式和勾股定理可得(x+3)2+()2+(x ﹣3)2+()2=36，此时 P 点 有 4 个，③当∠PBA=90°时，P 点的横坐标为 3，此时 P 点有 1 个．： 解：①当∠PAB=90°时，P 点的横坐标为﹣3，把 x=﹣3 代入 得 ，所以此时 P 点有 1 个；②当∠APB=90°，设 P(x )，PA 2=(x+3)2+()2，PB 2=(x﹣3)2+()2，AB2=(3+3)2=36，因为PA2+PB2=AB2，所以)2+(x﹣3)2+()2=36，整理得x4﹣9x2+4=0，所以，或，所以此时P 点有4 个，③当∠PBA=90°时，P 点的横坐标为3，把x=3 代入y=得，所以此时P 点有1 个；综上所述，满足条件的P 点有6个．故选：D．点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数(k 为常数，k≠0)的图象是双曲线，图象上的点(x，y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．13．如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C，且OA=OC．则下列结论：①abc＜0；②＞0；③ac﹣b+1=0；④OA•OB=﹣．其中正确结论的个数是( )A 4B 3C 2D 1．．．．：压轴题；数形结合．：由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y 轴的交点位置可得c＞0，则可对①进行判断；根据抛物线与x 轴的交点个数得到b2﹣4ac ＞0，加上a＜0，则可对②进行判断；利用OA=OC 可得到A(﹣c，0)，再把A(﹣c，0)代入y=ax2+bx+c 得ac2﹣bc+c=0，两边除以c 则可对③进行判断；设A(x1，0) B(x2，0)，则OA=﹣x1，OB=x2，根据抛物线与x 轴的交点问题得到x1和x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，利用根与系数的关系得到，于是，则可对④进行判断．：解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y 轴的右侧，∴b＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确；∵抛物线与x 轴有2 个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，而a＜0，∴＜0，所以②错误；∵C(0，c)，OA=OC，∴A(﹣c，0)，把A(﹣c，0)代入y=ax2+bx+c 得ac2﹣bc+c=0，∴ac﹣b+1=0，所以③正确；设A(x1，0)，B(x2，0)，∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x 轴交于A，B 两点，∴x1和x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，∴x1•x2=，∴OA•OB=﹣，所以④正确．故选：B．14．如图，在矩形中截取两个相同的正方形作为立方体的上下底面，剩余的矩形作为立方体的侧面，刚好能组成立方体．设矩形的长和宽分别为y 和x，则y 与x 的函数图象大致是( )A BC D．．．．考点：函数的图象．专题：压轴题．分析：立方体的上下底面为正方形，立方体的高为x，则得出y﹣x=4x，再得出图象即可．解答：解：正方形的边长x，y﹣x=2x，∴y 与x 的函数关系式为x，故选：B．点评：本题考查了一次函数的图象和综合运用，解题的关键是从x 等于该立方体的上底面周长，从而得到关系式．15．如图，△ABC，△EFG 均是边长为2 的等边三角形，点D 是边BC、EF 的中点，直线AG、FC 相交于点M．当△EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是( )A 2﹣B +1CD ﹣1． ． ． ．．， 考点：旋转的性质；四点共圆；线段的性质：两点之间线段最短；等边三角形的性质；勾股定理；相似三角形的 判定与性质． 专题： 压轴题． 分析： 取 AC 的中点 O ，连接 AD 、DG 、BO 、OM ，如图，易证△DAG ∽△DCF ，则有∠DAG=∠DCF ，从而可得 A 、D 、C 、M 四点共圆，根据两点之间线段最短可得BO≤BM+OM ，即 BM≥BO ﹣OM ，当 M 在线段 BO 与该圆的交点处时，线段 BM 最小，只需求出 BO 、OM 的值，就可解决问题．解答：解：AC 的中点 O ，连接 AD 、DG 、BO 、OM ，如图 ∵△ABC ，△EFG 均是边长为 2 的等边三角形，点 D 是边 BC 、EF 的中点， ∴AD ⊥BC ，GD ⊥EF ，DA=DG ，DC=DF ， ∴∠ADG=90°﹣∠CDG=∠FDC ，=， ∴△DAG ∽△DCF ，∴∠DAG=∠DCF ．∴A 、D 、C 、M 四点共圆．根据两点之间线段最短可得：BO≤BM+OM ，即BM≥BO ﹣OM ，当 M 在线段 BO 与该圆的交点处时，线段 BM 最小 此时，BO= = = AC=1，则 BM=BO ﹣OM= ﹣1． 故选：D ．点评：本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、四点共圆的判定、勾股定理、两点之间线段最短等知识，求出动点 M 的运动轨迹是解决本题的关键．16．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边 AC 沿 CE 翻折，使点 A 落在 AB 上的点 D 处；再将边 BC 沿 CF 翻折，使点 B 落在 CD 的延长线上的点 B′处，两条折痕与斜边 AB 分别交于点 E 、F ，则线段 B′F 的长为( )C D ． ．， A ．B ．考点： 翻折变换(折叠问题)． 专题： 压轴题．分析：首先根据折叠可得 CD=AC=3，B′C=BC=4，∠ACE=∠DCE ，∠BCF=∠B′CF ，CE ⊥AB然后求得△ECF 是等腰直角三角形，进而求得，ED=AE，从而求得，在Rt△B′DF 中，由勾股定理即可求得B′F的长．解：根据折叠的性质可知CD=AC=3，B′C=BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF CE⊥AB，∴B′D=4﹣3=1，∠DCE+∠B′CF=∠ACE+∠BCF，∵∠ACB=90°，∴∠ECF=45°，∴△ECF 是等腰直角三角形，∴EF=CE，∠EFC=45°，∴∠BFC=∠B′FC=135°，∴∠B′FD=90°，∵S△ABC=AC•BC=AB•CE，∴AC•BC=AB•CE，∵根据勾股定理求得AB=5，∴CE=，∴EF=，ED=AE= ，∴DF=EF﹣ED=，∴B′F=．故选：B．定和性质，勾股定理的应用等，根据折叠的性质求得相等的相等相等的角是本题的关 键．17．已知二次函数 y=ax 2+bx+c+2 的图象如图所示，顶点为(﹣ 1，0)，下列结论：①abc ＜0；②b 2﹣4ac=0；③a ＞2；④4a ﹣ 2b+c ＞0．其中正确结论的个数是( )A 1B 2C 3D 4 ．． ． ．，考点： 二次函数图象与系数的关系． 专题： 压轴题． 分析： ①首先根据抛物线开口向上，可得 a ＞0；然后根据对称轴在 y 轴左边，可得 b ＞0；最后根据抛物线与 y 轴的交点在 x 轴的上方，可得 c ＞0，据此判断出 abc ＞0 即可．②根据二次函数y=ax 2+bx+c+2 的图象与x 轴只有一个交点，可得△=0，即 b 2﹣4a(c+2)=0，b 2﹣4ac=8a ＞0据此解答即可．③首先根据对称轴 =﹣1，可得 b=2a ，然后根据 b 2﹣4ac=8a ，确定出 a 的取值范围即可．④根据对称轴是 x=﹣1，而且 x=0 时，y ＞2，可得 x= ﹣2 时，y ＞2，据此判断即可．：解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y 轴左边，∴b＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方，∴c+2＞2，∴c＞0，∴abc＞0，∴结论①不正确；∵二次函数y=ax2+bx+c+2 的图象与x 轴只有一个交点，∴△=0，即b2﹣4a(c+2)=0，∴b2﹣4ac=8a＞0，∴结论②不正确；∵对称轴=﹣1，∴b=2a，∵b2﹣4ac=8a，∴4a2﹣4ac=8a，∴a=c+2，∵c＞0，∴a＞2，∴结论③正确；18．如图，AB 为半圆所在⊙O 的直径，弦CD 为定长且小于⊙O 的半径(C 点与A 点不重合)，CF⊥CD 交AB 于点F，DE ⊥CD 交AB 于点E，G 为半圆弧上的中点．当点C 在上运动时，设的长为x，CF+DE=y．则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是( )A B C D．．．．考点：动点问题的函数图象．专题：压轴题．分析：根据弦CD 为定长可以知道无论点C 怎么运动弦CD 的弦心距为定值，据此可以得到函数的图象．解答：解：作OH⊥CD 于点H，∴H 为CD 的中点，∵CF⊥CD 交AB 于F，DE⊥CD 交AB 于E，∴OH 为直角梯形的中位线，∵弦CD 为定长，∴CF+DE=y 为定值，故选：B．点评：本题考查了动点问题的函数图象，解题的关键是化动为静．19．如图，△ABC 中，AB=AC，D 是BC 的中点，AC 的垂直平分线分别交AC、AD、AB 于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是( )A 1 对B 2 对C 3 对D 4 对在△ABD 和△ACD 中，，在△AOE 和△COE 中，，在△BOD 和△COD 中，，在△AOC 和△AOB 中，，∴△AOC ≌△AOB ；故选：D ．点评：本题考查的是全等三角形的判定方法；这是一道考试常 见题，易错点是漏掉△ABO ≌△ACO ，此类题可以先根据直观判断得出可能全等的所有三角形，然后从已知条件入手，分析推理，对结论一个个进行论证．20．二次函数 y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论： ①2a+b ＞0；②abc ＜0；③b 2﹣4ac ＞0；④a+b+c ＜0；⑤4a ﹣ 2b+c ＜0，其中正确的个数是( )B 3C 4D 5 ． ． ．考点： 二次函数图象与系数的关系．专题： 压轴题．分析： 由抛物线开口向下得到 a ＜0，由对称轴在 x=1 的右侧得到 ＞1，于是利用不等式的性质得到 2a+b ＞0； 由 a ＜0，对称轴在 y 轴的右侧，a 与 b 异号，得到 b ＞0，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴的下方得到 c ＜0，于 是 abc ＞0；抛物线与 x 轴有两个交点，所以△=b 2﹣4ac ＞0；由 x=1 时，y ＞0，可得 a+b+c ＞0；由 x=﹣2 时 y ＜0，可得 4a ﹣2b+c ＜0．解答： 解：①∵抛物线开口向下，A 2．∴a＜0，∵对称轴＞1，∴2a+b＞0，故①正确；②∵a＜0，﹣＞0，∴b＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴的下方，∴c＜0，∴abc＞0，故②错误；③∵抛物线与x 轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，故③正确；④∵x=1 时，y＞0，∴a+b+c＞0，故④错误；⑤∵x=﹣2 时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，故⑤正确．故选：B．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，当a＞0，开口向上，a＜0开口向下；对称轴为直线，a 与b 同号，对称轴在y 轴的左侧，a 与b 异号，对称轴在y 轴的右侧；当c＜0，抛物线与y 轴的交点在x 轴的下方；当△=b2﹣4ac＞0，抛物线与x 轴有两个交点．21．如图，▱ABCD 的对角线AC、BD 交于点O，AE 平分∠BAD 交BC 于点E，且∠ADC=60°，AB= BC，连接OE．下列结论：①∠CAD=30°；②S ▱ABCD =AB•AC ；③OB=AB ；④ OE=BC ，成立的个数有( )A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个． ． ． ．，考点： 平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三 角形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形． 专题：压轴题． 分析： 由四边形 ABCD 是平行四边形，得到∠ABC=∠ ADC=60°，∠BAD=120°，根据 AE 平分∠BAD ，得到 ∠BAE=∠EAD=60°推出△ABE 是等边三角形，由于 AB=BC ，得到 BC ，得到△ABC 是直角三角形， 于是得到∠CAD=30°，故①正确；由于 AC ⊥AB ，得到S ▱ABCD =AB•AC ，故②正确，根据 BC ，OB=BD且 BD ＞BC ，得到 AB≠OB ，故③错误；根据三角形的中位线定理得到 AB ，于是得到 BC ，故④正确．解答： 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE=∠EAD=60°∴△ABE 是等边三角形，∴AE=AB=BE，∵AB=BC，∴AE=BC，∴∠BAC=90°，∴∠CAD=30°，故①正确；∵AC⊥AB，∴S▱ABCD=AB•AC，故②正确，∵AB=BC，OB=BD，∵BD＞BC，∴AB≠OB，故③错误；∵CE=BE，CO=OA，∴OE=AB，∴OE=BC，故④正确．故选：C．点评：本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．22．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E、F 分别在AB，AD 上，若CE=3 ，且∠ECF=45°，则CF 的长为( )A 2B 3C D解：如图，延长FD 到G，使DG=BE；连接CG、EF；∵四边形ABCD 为正方形，在△BCE 与△DCG 中，，∴△BCE≌△DCG(SAS)，∴CG=CE，∠DCG=∠BCE，∴∠GCF=45°，在△GCF 与△ECF 中，，∴△GCF≌△ECF(SAS)，∴GF=EF，∵CE=3 ，CB=6，∴BE= =3，∴AE=3，设AF=x，则DF=6﹣x，GF=3+(6﹣x)=9﹣x，∴EF= = ，∴(9﹣x)2=9+x2，∴x=4，即AF=4，∴GF=5，∴DF=2，∴CF= = =2 ，故选：A．点评本题主要考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理等，构建全等三角形，利用方程思想是解答此题的关键．23．如图是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标A(1，3)，与x 轴的一个交点B(4，0)，直线y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A，B 两点，下列结论：①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3 有两个相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点是(﹣1，0)；⑤当1＜x＜4 时，有y2＜y1，其中正确的是( )A ①②③B ①③④C ①③⑤D ②④⑤．．．．：解：∵抛物线的顶点坐标A(1，3)，∴抛物线的对称轴为直线=1，∴2a+b=0，所以①正确；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴b=﹣2a＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标A(1，3)，∴x=1 时，二次函数有最大值，∴方程ax2+bx+c=3 有两个相等的实数根，所以③正确；∵抛物线与x 轴的一个交点为(4，0)而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点为(﹣2，0)，所以④错． ． ． ． 误；∵抛物线 y 1=ax 2+bx+c 与直线 y 2=mx+n(m≠0)交于A(1，3)，B 点(4，0)∴当 1＜x ＜4 时，y 2＜y 1，所以⑤正确．故选：C ．点评： 本题考查了二次项系数与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)，二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小：当 a ＞0 时，抛物线向上开口；当 a ＜0 时抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置：当 a 与 b 同号时(即 ab ＞0)，对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时(即 ab ＜0)，对称轴在 y 轴右．(简称：左同右异)；常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点：抛物线与 y 轴交于(0，c)；抛物线与 x 轴交点个数由△决定：△=b 2﹣4ac ＞0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；△=b 2﹣4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；△=b 2﹣4ac ＜0 时，抛物线与 x 轴没有交点．24．在同一平面直角坐标系中，函数 y=ax 2+bx 与 y=bx+a 的图象可能是( )A B C D，考点： 二次函数的图象；一次函数的图象． 专题： 压轴题．分析： 首先根据图形中给出的一次函数图象确定 a 、b 的符号，221111： 解：A 、对于直线 y=bx+a 来说，由图象可以判断，a ＞0，b ＞0；而对于抛物线 y=ax 2+bx 来说，对称轴 x= ﹣＜0，应在 y 轴的左侧，故不合题意，图形错误．B 、对于直线 y=bx+a 来说，由图象可以判断，a ＜0，b ＜0；而对于抛物线 y=ax 2+bx 来说，图象应开口向下故不合题意，图形错误．C 、对于直线 y=bx+a 来说，由图象可以判断，a ＜0，b ＞0；而对于抛物线 y=ax 2+bx 来说，图象开口向下，对 称轴 位于 y 轴的右侧，故符合题意，D 、对于直线 y=bx+a 来说，由图象可以判断，a ＞0，b ＞0；而对于抛物线 y=ax 2+bx 来说，图象开口向下，a ＜0，故不合题意，图形错误． 故选：C ． 此主要考查了一次函数、二次函数图象的性质及其应用． ． ． ． ， 再作△B 2A 3B 3 与△B 2A 2B 1 关于点 B 2 成中心对称，如此作下去， 则△B 2n A 2n+1B 2n+1(n 是正整数)的顶点 A 2n+1 的坐标是( )A (4n ﹣1，B (2n ﹣1，C (4n+1，D (2n+1，) ) ) )考点： 坐标与图形变化-旋转．专题： 压轴题；规律型．分析： 首先根据△OA 1B 1 是边长为 2 的等边三角形，可得 A 1 的坐标为(1 )，B 1 的坐标为(2，0)；然后根据中心对称的性质，分别求出点 A 2、A 3、A 4 的坐标各是多少；最后总结出 A n 的坐标的规律，求出 A 2n+1 的坐标是多少 即可．解答： 解：∵△OA 1B 1 是边长为 2 的等边三角形，∴A 1 的坐标为(1， )，B 1 的坐标为(2，0)，∵△B 2A 2B 1 与△OA 1B 1 关于点 B 1 成中心对称，∴点 A 2 与点 A 1 关于点 B 1 成中心对称，∵2×2 ﹣1=3，2×0 ﹣ =﹣ ，∴点 A 2 的坐标是(3，﹣ )，∵△B 2A 3B 3 与△B 2A 2B 1 关于点 B 2 成中心对称，∴点 A 3 与点 A 2 关于点 B 2 成中心对称，∵2×4 ﹣3=5，2×0 ﹣(﹣ )= ，∴点 A 3 的坐标是(5， )，∵△B 3A 4B 4 与△B 3A 3B 2 关于点 B 3 成中心对称，∴点 A 4 与点 A 3 关于点 B 3 成中心对称，∵2×6 ﹣5=7，2×0 ﹣=﹣，∴点A4的坐标是(7，﹣)，…，∵1=2×1 ﹣1，3=2×2 ﹣1，5=2×3 ﹣1，7=2×3 ﹣1，…，∴A n的横坐标是2n﹣1，A2n+1的横坐标是2(2n+1)﹣1=4n+1，∵当n 为奇数时，A n的纵坐标是，当n 为偶数时，A n的纵坐标是﹣，∴顶点A2n+1的纵坐标是，∴△B2n A2n+1B2n+1(n 是正整数)的顶点A2n+1的坐标是(4n+1，)．故选：C．点评：此题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转问题，要熟练掌握，解答此题的关键是分别判断出A n的横坐标、纵坐标各是多少．26．如图，AD 是△ABC 的角平分线，则AB：AC 等于( )A BD：CDB AD：CDC BC：AD D BC：AC．．．．考点：角平分线的性质．专题：压轴题．分析：先过点B 作BE∥AC 交AD 延长线于点E，由于BE∥AC，利用平行线分线段成比例定理的推论、平行线的性质，可得∴△BDE∽△CDA，∠E=∠DAC，再利用相似三角形的性质可=，而利用AD 时角平分线又知∠E=∠DAC=∠BAD，于是BE=AB，等量代换即可证．：解：如图过点B 作BE∥AC 交AD 延长线于点E，∵BE∥AC，∴∠DBE=∠C，∠E=∠CAD，∴△BDE∽△CDA，∴=，又∵AD 是角平分线，∴∠E=∠DAC=∠BAD，∴BE=AB，∴=，∴AB：AC=BD：CD．故选：A．此题考查了角平分线的定义、相似三角形的判定和性27．如图，在钝角△ABC 中，分别以 AB 和 AC 为斜边向△ABC 的外侧作等腰直角三角形 ABE 和等腰直角三角形 ACF ，EM 平分∠AEB 交 AB 于点 M ，取 BC 中点 D ，AC 中点 N ，连接 DN 、DE 、DF ．下列结论 S 四边形 ABDN ；③DE=DF ；④DE ⊥DF ．其中正确的结论的个数是( )C 3 个D 4 个 ． ．，， A 1 个．B 2 个 ． 考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形 中位线定理． 专题： 压轴题． 分析： ①首先根据 D 是 BC 中点，N 是 AC 中点 N ，可得 DN 是△ABC 的中位线，判断出 ；然后判断出 EM=，即可判断出 EM=DN ； ②首先根据 DN ∥AB ，可得△CDN ∽ABC ；然后根据DN=， 可 得 S △ABC ， 所 以 S 四 边 形 ABDN 据此判断即可．③首先连接MD 、FN ，判断出DM=FN ，∠EMD=∠DNF 然后根据全等三角形判定的方法，判断出△EMD ≌△ DNF ，即可判断出 DE=DF ．， ． ④首先判断 ，DM=FA ，∠EMD=∠EAF 根据相似计三角形判定的方法，判断出△EMD ∽△∠ EAF ，即可判断出∠MED=∠AEF ，然后根据∠MED+ ∠AED=45°，判断出∠DEF=45°，再根据 DE=DF ，判 断出∠DFE=45°，∠EDF=90°，即可判断出 DE ⊥DF：解：∵D 是 BC 中点，N 是 AC 中点， ∴DN 是△ABC 的中位线，∴DN ∥AB ，且 ；∵三角形 ABE 是等腰直角三角形，EM 平分∠AEB 交 AB 于点 M ，∴M 是 AB 的中点，∴EM=，又 ，∴EM=DN ，∴结论①正确；∵DN ∥AB ，∴△CDN ∽ABC ，∵DN=，∴S △CDN =S △ABC ，∴S △CDN =S 四边形 ABDN ，∴结论②正确；如图1，连接MD、FN，，∵D 是BC 中点，M 是AB 中点，∴DM 是△ABC 的中位线，∴DM∥AC，且；∵三角形ACF 是等腰直角三角形，N 是AC 的中点，∴FN=，又，∴DM=FN，∵DM∥AC，DN∥AB，∴四边形AMDN 是平行四边形，∴∠AMD=∠AND，又∵∠EMA=∠FNA=90°，∴∠EMD=∠DNF，在△EMD 和△DNF 中，，∴△EMD≌△DNF，∴DE=DF，∴结论③正确；如图2，连接MD，EF，NF，，∵三角形ABE 是等腰直角三角形，EM 平分∠AEB，∴M 是AB 的中点，EM⊥AB，∴EM=MA，∠EMA=90°，∠AEM=∠EAM=45°，∴，∵D 是BC 中点，M 是AB 中点，∴DM 是△ABC 的中位线，∴DM∥AC，且；∵三角形ACF 是等腰直角三角形，N 是AC 的中点，∴FN=，∠FNA=90°，∠FAN=∠AFN=45°，又，∴DM=FN=FA，∵∠EMD=∠EMA+∠AMD=90°+ ∠AMD，∠EAF=360°﹣∠EAM﹣∠FAN﹣∠BAC=360°﹣45°﹣45°﹣(180°﹣∠AMD)=90°+ ∠AMD∴∠EMD=∠EAF，在△EMD 和△∠EAF 中，∴△EMD∽△∠EAF，∴∠MED=∠AEF，。

平移旋转对称三大变换1.（2020•安徽）在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处．折痕为AP；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．请完成下列探究：（1）∠PAQ的大小为30 °；（2）当四边形APCD是平行四边形时，的值为．【解答】解：（1）由折叠的性质可得：∠B＝∠AQP，∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB，∠DQA＝∠AQR，∠CQP＝∠PQR，∠D＝∠ARQ，∠C＝∠QRP，∵∠QRA+∠QRP＝180°，∴∠D+∠C＝180°，∴AD∥BC，∴∠B+∠DAB＝180°，∵∠DQR+∠CQR＝180°，∴∠DQA+∠CQP＝90°，∴∠AQP＝90°，∴∠B＝∠AQP＝90°，∴∠DAB＝90°，∴∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB＝30°，故答案为：30；（2）由折叠的性质可得：AD＝AR，CP＝PR，∵四边形APCD是平行四边形，∴AD＝PC，∴AR＝PR，又∵∠AQP＝90°，∴QR AP，∵∠PAB＝30°，∠B＝90°，∴AP＝2PB，AB PB，∴PB＝QR，∴，故答案为：．2.（2020•天水）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．若DF＝3，则BE的长为 2 ．【解答】解：法一：由题意可得，△ADF≌△ABG，∴DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠EAB＝45°，∴∠BAG+∠EAB＝45°，∴∠EAF＝∠EAG，在△EAG和△EAF中，，∴△EAG≌△EAF（SAS），∴GE＝FE，设BE＝x，则GE＝BG+BE＝3+x，CE＝6﹣x，∴EF＝3+x，∵CD＝6，DF＝3，∴CF＝3，∵∠C＝90°，∴（6﹣x）2+32＝（3+x）2，解得，x＝2，即BE＝2，法二：设BE＝x，连接GF，如下图所示，∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABE＝∠GCF＝90°，∵△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，∴∠CAF＝90°，GA＝FA，∴△GAF为等腰直角三角形，∵∠EAF＝45°，∴AE垂直平分GF，∴∠AEB+∠CGF＝90°，∵在Rt△AEB中，∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠CGF，∴△BAE～△CGF，∴，∵CF＝CD﹣DF＝6﹣3＝3，GC＝BC+BG＝BC+DF＝6+3＝9，∴，∴x＝2，即BE＝2，故答案为：2．3.（2020•深圳）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝12．将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，折痕为EF，点E、F分别在边AD和边BC上．连接BG，交CD于点K，FG交CD于点H．给出以下结论：①EF⊥BG；②GE＝GF；③△GDK和△GKH的面积相等；④当点F与点C重合时，∠DEF＝75°，其中正确的结论共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：如图，连接BE，设EF与BG交于点O，∵将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，∴EF垂直平分BG，∴EF⊥BG，BO＝GO，BE＝EG，BF＝FG，故①正确，∵AD∥BC，∴∠EGO＝∠FBO，又∵∠EOG＝∠BOF，∴△BOF≌△GOE（ASA），∴BF＝EG，∴BF＝EG＝GF，故②正确，∵BE＝EG＝BF＝FG，∴四边形BEGF是菱形，∴∠BEF＝∠GEF，当点F与点C重合时，则BF＝BC＝BE＝12，∵sin∠AEB，∴∠AEB＝30°，∴∠DEF＝75°，故④正确，由题意无法证明△GDK和△GKH的面积相等，故③错误；故选：C．4.（2020•随州）如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M，N分别在边AD，BC上，沿着MN折叠矩形ABCD，使点A，B分别落在E，F处，且点F在线段CD上（不与两端点重合），过点M作MH⊥BC于点H，连接BF，给出下列判断：①△MHN∽△BCF；②折痕MN的长度的取值范围为3＜MN；③当四边形CDMH为正方形时，N为HC的中点；④若DF DC，则折叠后重叠部分的面积为．其中正确的是①②③④．（写出所有正确判断的序号）【解答】解：①如图1，由折叠可知BF⊥MN，∴∠BOM＝90°，∵MH⊥BC，∴∠BHP＝90°＝∠BOM，∵∠BPH＝∠OPM，∴∠CBF＝∠NMH，∵∠MHN＝∠C＝90°，∴△MHN∽△BCF，故①正确；②当F与C重合时，MN＝3，此时MN最小，当F与D重合时，如图2，此时MN最大，由勾股定理得：BD＝5，∵OB＝OD，∵tan∠DBC，即，∴ON，∵AD∥BC，∴∠MDO＝∠OBN，在△MOD和△NOB中，∵，∴△DOM≌△BON（ASA），∴OM＝ON，∴MN＝2ON，∵点F在线段CD上（不与两端点重合），∴折痕MN的长度的取值范围为3＜MN；故②正确；③如图3，连接BM，FM，当四边形CDMH为正方形时，MH＝CH＝CD＝DM＝3，∵AD＝BC＝4，∴AM＝BH＝1，由勾股定理得：BM，∴FM，∴DF1，∴CF＝3﹣1＝2，设HN＝x，则BN＝FN＝x+1，在Rt△CNF中，CN2+CF2＝FN2，∴（3﹣x）2+22＝（x+1）2，解得：x，∴HN，∵CH＝3，∴CN＝HN，∴N为HC的中点；故③正确；④如图4，连接FM，∵DF DC，CD＝3，∴DF＝1，CF＝2，∴BF2，∴OF，设FN＝a，则BN＝a，CN＝4﹣a，由勾股定理得：FN2＝CN2+CF2，∴a2＝（4﹣a）2+22，∴a，∴BN＝FN，CN，∵∠NFE＝∠CFN+∠DFQ＝90°，∠CFN+∠CNF＝90°，∴∠DFQ＝∠CNF，∵∠D＝∠C＝90°，∴△QDF∽△FCN，∴，即，∴QD，∴FQ，∵tan∠HMN＝tan∠CBF，∴，∴HN，∴MN，∵CH＝MD＝HN+CN3，∴MQ＝3，∴折叠后重叠部分的面积为：S△MNF+S△MQF；故④正确；所以本题正确的结论有：①②③④；故答案为：①②③④．5.（2020•武汉）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，EF为折痕，AB＝1，AD＝2．设AM的长为t，用含有t的式子表示四边形CDEF的面积是．【解答】解：连接DM，过点E作EG⊥BC于点G，设DE＝x＝EM，则EA＝2﹣x，∵AE2+AM2＝EM2，∴（2﹣x）2+t2＝x2，解得x1，∴DE1，∵折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，∴EF⊥DM，∠ADM+∠DEF＝90°，∵EG⊥AD，∴∠DEF+∠FEG＝90°，∴∠ADM＝∠FEG，∴tan∠ADM，∴FG，∵CG＝DE1，∴CF1，∴S四边形CDEF（CF+DE）×1t+1．故答案为：t+1．6.（2020•咸宁）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E是BC的中点，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点F处，连结CF，则cos∠ECF的值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∵E是BC的中点，BC＝2，∴BE＝CE BC，∴AE3，由翻折变换的性质得：△AFE≌△ABE，∴∠AEF＝∠AEB，EF＝BE，∴EF＝CE，∴∠EFC＝∠ECF，∵∠BEF＝∠EFC+∠ECF，∴∠AEB＝∠ECF，∴cos∠ECF＝cos∠AEB．故选：C．7.（2020•襄阳）如图，矩形ABCD中，E为边AB上一点，将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，连接AF交DE于点N，连接BN．若BF•AD＝15，tan∠BNF，则矩形ABCD的面积为15．【解答】解：∵将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，∴AF⊥DE，AE＝EF，∵矩形ABCD中，∠ABF＝90°，∴B，E，N，F四点共圆，∴∠BNF＝∠BEF，∴tan∠BEF，设BF x，BE＝2x，∴EF3x，∴AE＝3x，∴AB＝5x，∴AB BF．∴S矩形ABCD＝AB•AD BF•AD15＝15．故答案为：15．8.（2020•孝感）如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝3，CG＝2，则CE的长为（）A．B．C．4 D．【解答】解：如图所示，连接EG，由旋转可得，△ADE≌△ABF，∴AE＝AF，DE＝BF，又∵AG⊥EF，∴H为EF的中点，∴AG垂直平分EF，∴EG＝FG，设CE＝x，则DE＝5﹣x＝BF，FG＝8﹣x，∴EG＝8﹣x，∵∠C＝90°，∴Rt△CEG中，CE2+CG2＝EG2，即x2+22＝（8﹣x）2，解得x，∴CE的长为，故选：B．9.（2020•衡阳）如图1，在平面直角坐标系中，▱ABCD在第一象限，且BC∥x轴．直线y＝x从原点O出发沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被▱ABCD截得的线段长度n与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示．那么▱ABCD的面积为（）A．3 B．3C．6 D．6【解答】解：过B作BM⊥AD于点M，分别过B，D作直线y＝x的平行线，交AD于E，如图1所示，由图象和题意可得，AE＝6﹣4＝2，DE＝7﹣6＝1，BE＝2，∴AB＝2+1＝3，∵直线BE平行直线y＝x，∴BM＝EM，∴平行四边形ABCD的面积是：AD•BM＝33．故选：B．10.（2020•江西）矩形纸片ABCD，长AD＝8cm，宽AB＝4cm，折叠纸片，使折痕经过点B，交AD边于点E，点A落在点A'处，展平后得到折痕BE，同时得到线段BA'，EA'，不再添加其它线段．当图中存在30°角时，AE的长为厘米或4厘米或厘米．【解答】解：①当∠ABE＝30°时，AE＝AB×tan30°；②当∠AEB＝30°时，AE4；③∠ABE＝15°时，∠ABA′＝30°，延长BA′交AD于F，如下图所示，设AE＝x，则EA′＝x，EF，∵AF＝AE+EF＝AB tan30°，∴x，∴x＝8﹣4，∴AE＝8﹣4．故答案为：厘米或4厘米或8﹣4厘米．11.（2020•滨州）如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A′处，得到折痕BM，BM与EF相交于点N．若直线BA′交直线CD于点O，BC＝5，EN＝1，则OD的长为（）A．B．C．D．【解答】解：∵EN＝1，∴由中位线定理得AM＝2，由折叠的性质可得A′M＝2，∵AD∥EF，∴∠AMB＝∠A′NM，∵∠AMB＝∠A′MB，∴∠A′NM＝∠A′MB，∴A′N＝2，∴A′E＝3，A′F＝2过M点作MG⊥EF于G，∴NG＝EN＝1，∴A′G＝1，由勾股定理得MG，∴BE＝OF＝MG，∴OF：BE＝2：3，解得OF，∴OD．故选：B．12.（2020•德州）如图，在矩形ABCD中，AB2，AD．把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的D′处，再将△AED′绕点E顺时针旋转α，得到△A'ED″，使得EA′恰好经过BD′的中点F．A′D″交AB于点G，连接AA′．有如下结论：①A′F的长度是2；②弧D'D″的长度是π；③△A′AF ≌△A′EG；④△AA′F∽△EGF．上述结论中，所有正确的序号是①②④．【解答】解：∵把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的D′处，∴∠D＝∠AD'E＝90°＝∠DAD'，AD＝AD'，∴四边形ADED'是矩形，又∵AD＝AD'，∴四边形ADED'是正方形，∴AD＝AD'＝D'E＝DE，AE AD，∠EAD'＝∠AED'＝45°，∴D'B＝AB﹣AD'＝2，∵点F是BD'中点，∴D'F＝1，∴EF2，∵将△AED′绕点E顺时针旋转α，∴AE＝A'E，∠D'ED''＝α，∠EA'D''＝∠EAD'＝45°，∴A'F2，故①正确；∵tan∠FED'，∴∠FED'＝30°∴α＝30°+45°＝75°，∴弧D'D″的长度π，故②正确；∵AE＝A'E，∠AEA'＝75°，∴∠EAA'＝∠EA'A＝52.5°，∴∠A'AF＝7.5°，∵∠AA'F≠∠EA'G，∠AA'E≠∠EA'G，∠AFA'＝120°≠∠EA'G，∴△AA'F与△A'GE不全等，故③错误；∵D'E＝D''E，EG＝EG，∴Rt△ED'G≌Rt△ED''G（HL），∴∠D'GE＝∠D''GE，∵∠AGD''＝∠A'AG+∠AA'G＝105°，∴∠D'GE＝52.5°＝∠AA'F，又∵∠AFA'＝∠EFG，∴△AFA'∽△EFG，故④正确，故答案为：①②④．13.（2020•聊城）如图，在Rt△ABC中，AB＝2，∠C＝30°，将Rt△ABC绕点A旋转得到Rt△AB′C′，使点B的对应点B′落在AC上，在B′C′上取点D，使B′D＝2，那么点D到BC的距离等于（）A．2（1）B． 1 C． 1 D． 1【解答】解：∵在Rt△ABC中，AB＝2，∠C＝30°，∴BC＝2，AC＝4，∵将Rt△ABC绕点A旋转得到Rt△AB′C′，使点B的对应点B′落在AC上，∴AB′＝AB＝2，B′C′＝BC＝2，∴B′C＝2，延长C′B′交BC于F，∴∠CB′F＝∠AB′C′＝90°，∵∠C＝30°，∴∠CFB′＝60°，B′F B′C，∵B′D＝2，∴DF＝2，过D作DE⊥BC于E，∴DE DF（2）1，故选：D．14.（2020•杭州）如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF．若点E，F，D在同一条直线上，AE＝2，则DF＝ 2 ，BE＝ 1 ．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠ADC＝∠B＝∠DAE＝90°，∵把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，∴CF＝BC，∠CFE＝∠B＝90°，EF＝BE，∴CF＝AD，∠CFD＝90°，∴∠ADE+∠CDF＝∠CDF+∠DCF＝90°，∴∠ADF＝∠DCF，∴△ADE≌△FCD（ASA），∴DF＝AE＝2；∵∠AFE＝∠CFD＝90°，∴∠AFE＝∠DAE＝90°，∵∠AEF＝∠DEA，∴△AEF∽△DEA，∴，∴，∴EF1（负值舍去），∴BE＝EF1，故答案为：2，1．15.（2020•嘉兴）如图，有一张矩形纸条ABCD，AB＝5cm，BC＝2cm，点M，N分别在边AB，CD上，CN＝1cm．现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点B'，C'上．当点B'恰好落在边CD上时，线段BM的长为cm；在点M从点A运动到点B的过程中，若边MB'与边CD交于点E，则点E相应运动的路径长为（）cm．【解答】解：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠1＝∠3，由翻折的性质可知：∠1＝∠2，BM＝MB′，∴∠2＝∠3，∴MB′＝NB′，∵NB′（cm），∴BM＝NB′（cm）．如图2中，当点M与A重合时，AE＝EN，设AE＝EN＝xcm，在Rt△ADE中，则有x2＝22+（4﹣x）2，解得x，∴DE＝4（cm），如图3中，当点M运动到MB′⊥AB时，DE′的值最大，DE′＝5﹣1﹣2＝2（cm），如图4中，当点M运动到点B′落在CD时，DB′（即DE″）＝5﹣1（4）（cm），∴点E的运动轨迹E→E′→E″，运动路径＝EE′+E′B′＝22﹣（4）＝（）（cm）．故答案为，（）．16.（2020•衢州）如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF，若BC＝1，则AB的长度为（）A．B．C．D．【解答】解：由折叠补全图形如图所示，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADA'＝∠B＝∠C＝∠A＝90°，AD＝BC＝1，CD＝AB，由第一次折叠得：∠DAE＝∠A＝90°，∠ADE∠ADC＝45°，∴∠AED＝∠ADE＝45°，∴AE＝AD＝1，在Rt△ADE中，根据勾股定理得，DE AD，故选：A．。

专题17 四川中考填空题压轴专题【典例1】（2019•眉山）如图，反比例函数y =kx （x ＞0）的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别交AB ，BC 于点D 、E ．若四边形ODBE 的面积为12，则k 的值为 4 ．【点拨】本题可从反比例函数图象上的点E 、M 、D 入手，分别找出△OCE 、△OAD 、▱OABC 的面积与|k |的关系，列出等式求出k 值．【解答】解：由题意得：E 、M 、D 位于反比例函数图象上，则S △OCE =12|k |，S △OAD =12|k |， 过点M 作MG ⊥y 轴于点G ，作MN ⊥x 轴于点N ，则S ▱ONMG ＝|k |， 又∵M 为矩形ABCO 对角线的交点，则S 矩形ABCO ＝4S ▱ONMG ＝4|k |， 由于函数图象在第一象限， ∴k ＞0，则k2+k 2+12＝4k ，∴k ＝4．【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k |．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．【典例2】（2019•凉山州）如图，正方形ABCD 中，AB ＝12，AE =14AB ，点P 在BC 上运动（不与B 、C 重合），过点P 作PQ ⊥EP ，交CD 于点Q ，则CQ 的最大值为 4 ．【点拨】先证明△BPE ∽△CQP ，得到与CQ 有关的比例式，设CQ ＝y ，BP ＝x ，则CP ＝12﹣x ，代入解析式，得到y 与x 的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值． 【解答】解：∵∠BEP +∠BPE ＝90°，∠QPC +∠BPE ＝90°， ∴∠BEP ＝∠CPQ ． 又∠B ＝∠C ＝90°， ∴△BPE ∽△CQP ． ∴BE PC=BP CQ．设CQ ＝y ，BP ＝x ，则CP ＝12﹣x ． ∴912−x=xy ，化简得y =−19（x 2﹣12x ），整理得y =−19（x ﹣6）2+4， 所以当x ＝6时，y 有最大值为4． 故答案为4．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，以及二次函数最值问题，几何最值用二次函数最值求解考查了树形结合思想．【典例3】（2019•自贡）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则cos （α+β）＝√217．【点拨】给图中相关点标上字母，连接DE ，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠α＝30°，同理，可得出：∠CDE ＝∠CED ＝30°＝∠α，由∠AEC ＝60°结合∠AED ＝∠AEC +∠CED 可得出∠AED ＝90°，设等边三角形的边长为a ，则AE ＝2a ，DE =√3a ，利用勾股定理可得出AD 的长，再结合余弦的定义即可求出cos （α+β）的值．【解答】解：给图中相关点标上字母，连接DE ，如图所示． 在△ABC 中，∠ABC ＝120°，BA ＝BC ， ∴∠α＝30°．同理，可得出：∠CDE ＝∠CED ＝30°＝∠α． 又∵∠AEC ＝60°，∴∠AED ＝∠AEC +∠CED ＝90°．设等边三角形的边长为a ，则AE ＝2a ，DE ＝2×sin60°•a =√3a ， ∴AD =√AE 2+DE 2=√7a ， ∴cos （α+β）=DE AD =√217． 故答案为：√217．【点睛】本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质以及规律型：图形的变化类，构造出含一个锐角等于∠α+∠β的直角三角形是解题的关键．【典例4】（2019•雅安）已知函数y ={−x 2+2x(x ＞0)−x(x ≤0)的图象如图所示，若直线y ＝x +m 与该图象恰有三个不同的交点，则m 的取值范围为 0＜m ＜14 ．【点拨】直线与y ＝﹣x 有一个交点，与y ＝﹣x 2+2x 有两个交点，则有m ＞0，x +m ＝﹣x 2+2x 时，△＝1﹣4m ＞0，即可求解．【解答】解：直线y ＝x +m 与该图象恰有三个不同的交点， 则直线与y ＝﹣x 有一个交点， ∴m ＞0，∵与y＝﹣x2+2x有两个交点，∴x+m＝﹣x2+2x，△＝1﹣4m＞0，∴m＜1 4，∴0＜m＜1 4；故答案为0＜m＜1 4．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的图象及性质；能够根据条件，数形结合的进行分析，可以确定m的范围．【典例5】（2019•广元）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣1，0），（0，2），且顶点在第一象限，设M＝4a+2b+c，则M的取值范围是﹣6＜M＜6．【点拨】将（﹣1，0）与（0，2）代入y＝ax2+bx+c，可知b＝a+2，利用对称轴可知：a＞﹣2，从而可知M的取值范围．【解答】解：将（﹣1，0）与（0，2）代入y＝ax2+bx+c，∴0＝a﹣b+c，2＝c，∴b＝a+2，∵−b2a＞0，a＜0，∴b＞0，∴a＞﹣2，∴﹣2＜a＜0，∴M＝4a+2（a+2）+2 ＝6a+6＝6（a+1）∴﹣6＜M＜6，故答案为：﹣6＜M＜6；【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．【典例6】（2019•巴中）如图，等边三角形ABC内有一点P，分別连结AP、BP、CP，若AP＝6，BP＝8，CP＝10．则S△ABP+S△BPC＝24+16√3．【点拨】将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△AP'B，根据旋转的性质可得∠PBP′＝∠CAB＝60°，BP＝BP′，可得△BPP′为等边三角形，可得BP′＝BP＝8＝PP'，由勾股定理的逆定理可得，△APP′是直角三角形，由三角形的面积公式可求解．【解答】解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△AP'B，连接PP′，根据旋转的性质可知，旋转角∠PBP′＝∠CAB＝60°，BP＝BP′，∴△BPP′为等边三角形，∴BP′＝BP＝8＝PP'；由旋转的性质可知，AP′＝PC＝10，在△BPP′中，PP′＝8，AP＝6，由勾股定理的逆定理得，△APP′是直角三角形，∴S△ABP+S△BPC＝S四边形AP'BP＝S△BP'B+S△AP'P=√34BP2+12×PP'×AP＝24+16√3故答案为：24+16√3【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，作辅助线构造出等边三角形和直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．【典例7】（2019•内江）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠A＝150°，CD＝4，以CD为直径的⊙O交AD于点E，则图中阴影部分的面积为2π3+√3．【点拨】连接OE ，作OF ⊥DE ，先求出∠COE ＝2∠D ＝60°、OF =12OD ＝1，DF ＝OD cos ∠ODF =√3，DE ＝2DF ＝2√3，再根据阴影部分面积是扇形与三角形的面积和求解可得． 【解答】解：如图，连接OE ，作OF ⊥DE 于点F ，∵四边形ABCD 是平行四边形，且∠A ＝150°， ∴∠D ＝30°，则∠COE ＝2∠D ＝60°， ∵CD ＝4， ∴CO ＝DO ＝2，∴OF =12OD ＝1，DF ＝OD cos ∠ODF ＝2×√32=√3， ∴DE ＝2DF ＝2√3， ∴图中阴影部分的面积为60⋅π⋅22360+12×2√3×1=2π3+√3， 故答案为：2π3+√3．【点睛】本题考查的是扇形面积计算、平行四边形的性质，掌握扇形面积公式：S =nπr 2360是解题的关键．【典例8】（2019•泸州）如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝15，点E 在边CB 上，CE ＝2EB ，点D 在边AB 上，CD ⊥AE ，垂足为F ，则AD 的长为 9√2 ．【点拨】过D 作DH ⊥AC 于H ，根据等腰三角形的性质得到AC ＝BC ＝15，∠CAD ＝45°，求得AH ＝DH ，得到CH ＝15﹣DH ，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：过D 作DH ⊥AC 于H ， ∵在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝15， ∴AC ＝BC ＝15， ∴∠CAD ＝45°， ∴AH ＝DH ， ∴CH ＝15﹣DH ， ∵CF ⊥AE ，∴∠DHA ＝∠DF A ＝90°， ∴∠HAF ＝∠HDF ， ∴△ACE ∽△DHC ， ∴DH AC=CH CE，∵CE ＝2EB ， ∴CE ＝10， ∴DH 15=15−DH 10，∴DH ＝9， ∴AD ＝9√2， 故答案为：9√2．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．【典例9】（2019•乐山）如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝30°，直线l ⊥AB ．当直线l 沿射线BC 方向，从点B 开始向右平移时，直线l 与四边形ABCD 的边分别相交于点E 、F ．设直线l 向右平移的距离为x ，线段EF 的长为y ，且y 与x 的函数关系如图2所示，则四边形ABCD 的周长是 ．【点拨】根据题意和函数图象中的数据，可以得到AB、BC、AD的长，再根据平行线的性质和图形中的数据可以得到CD的长，从而可以求得四边形ABCD的周长．【解答】解：∵∠B＝30°，直线l⊥AB，∴BE＝2EF，由图可得，AB＝4cos30°＝4×√32=2√3，BC＝5，AD＝7﹣4＝3，由图象可得，AN＝5﹣4＝1，ND＝CM＝7﹣5＝2，DM＝2，∵∠B＝30°，EF⊥AB，∴∠M＝60°，又∵DM＝MC＝2，∴△DMC是等边三角形，∴DC＝DM＝2，∴四边形ABCD的周长是：AB+BC+AD+CD＝2√3+5+3+2＝10+2√3，故答案为：10+2√3．【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【典例10】（2019•攀枝花）正方形A1B1C1A2，A2B2C2A3，A3B3C3A4，…按如图所示的方式放置，点A1，A2，A3，…和点B1，B2，B3，…分别在直线y＝kx+b（k＞0）和x轴上．已知点A1（0，1），点B1（1，0），则C5的坐标是（47，16），．【点拨】由题意可知A1纵坐标为1，A2的纵坐标为2，A3的纵坐标为4，A4的纵坐标为8，…，即可得到C1，C2，C3，C4，C5的纵坐标，根据图象得出C1（2，1），C2（5，2），C3（11，4），即可得到C1，C2，C3，C4，C5…在一条直线上，直线的解析式为y=13x+13，把C5的纵坐标代入即可求得横坐标．【解答】解：由题意可知A1纵坐标为1，A2的纵坐标为2，A3的纵坐标为4，A4的纵坐标为8，…，∵A1和C1，A2和C2，A3和C3，A4和C4的纵坐标相同，∴C1，C2，C3，C4，C5的纵坐标分别为1，2，4，8，16，…∴根据图象得出C1（2，1），C2（5，2），C3（11，4），∴直线C1C2的解析式为y=13x+13，∵A5的纵坐标为16，∴C5的纵坐标为16，把y＝16代入y=13x+13，解得x＝47，∴C5的坐标是（47，16），故答案为（47，16）．【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式、等腰直角三角形和正方形的性质．此题难度适中，属于规律型题目，注意掌握数形结合思想的应用．【典例11】（2019•广安）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0），以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3＝60°，再以OA3为直角边作Rt △OA3A4，并使∠A3OA4＝60°…按此规律进行下去，则点A2019的坐标为（﹣22017，22017√3）．【点拨】通过解直角三角形，依次求A1，A2，A3，A4，…各点的坐标，再从其中找出规律，便可得结论．【解答】解：由题意得，A1的坐标为（1，0），A2的坐标为（1，√3），A3的坐标为（﹣2，2√3），A4的坐标为（﹣8，0），A5的坐标为（﹣8，﹣8√3），A6的坐标为（16，﹣16√3），A7的坐标为（64，0），…由上可知，A点的方位是每6个循环，与第一点方位相同的点在x正半轴上，其横坐标为2n﹣1，其纵坐标为0，与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为2n﹣2√3，与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为2n﹣2√3，与第四点方位相同的点在x负半轴上，其横坐标为﹣2n﹣1，纵坐标为0，与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2√3，与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2√3，∵2019÷6＝336…3，∴点A2019的方位与点A3的方位相同，在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2＝﹣22017，纵坐标为22017√3，故答案为：（﹣22017，22017√3）．【点睛】本题主点的坐标的规律题，主要考查了解直角三角形的知识，关键是求出前面7个点的坐标，找出其存在的规律．【典例12】（2019•南充）如图，矩形硬纸片ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴及原点上滑动，顶点B 在x 轴的正半轴及原点上滑动，点E 为AB 的中点，AB ＝24，BC ＝5．给出下列结论：①点A 从点O 出发，到点B 运动至点O 为止，点E 经过的路径长为12π；②△OAB 的面积最大值为144；③当OD 最大时，点D 的坐标为（25√2626，125√2626）．其中正确的结论是 ②③ ．（填写序号）【点拨】①由条件可知AB ＝24，则AB 的中点E 的运动轨迹是圆弧，最后根据弧长公式即可计算出点E 所经过的路径长；②当△OAB 的面积最大时，因为AB ＝24，所以△OAB 为等腰直角三角形，即OA ＝OB ，可求出最大面积为144；③当O 、E 、D 三点共线时，OD 最大，过点D 作DF ⊥y 轴于点F ，可求出OD ＝25，证明△DF A ∽△AOB 和△DFO ∽△BOA ，可求出DF 长，则D 点坐标可求出． 【解答】解：∵点E 为AB 的中点，AB ＝24， ∴OE =12AB =12，∴AB 的中点E 的运动轨迹是以点O 为圆心，12为半径的一段圆弧， ∵∠AOB ＝90°， ∴点E 经过的路径长为90×12×π180=6π，故①错误；当△OAB 的面积最大时，因为AB ＝24，所以△OAB 为等腰直角三角形，即OA ＝OB ， ∵E 为AB 的中点，∴OE ⊥AB ，OE =12AB =12，∴S △AOB =12×24×12=144，故②正确；如图，当O 、E 、D 三点共线时，OD 最大，过点D 作DF ⊥y 轴于点F ，∵AD ＝BC ＝5，AE =12AB =12， ∴DE =√AD 2+AE 2=√52+122=13， ∴OD ＝DE +OE ＝13+12＝25， 设DF ＝x ，∴OF =√OD 2−DF 2=√252−x 2， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠DAB ＝90°， ∴∠DF A ＝∠AOB ， ∴∠DAF ＝∠ABO ， ∴△DF A ∽△AOB ∴DF OA =DA AB ，∴x OA=524，∴OA =24x5， ∵E 为AB 的中点，∠AOB ＝90°， ∴AE ＝OE ， ∴∠AOE ＝∠OAE ， ∴△DFO ∽△BOA ， ∴OD AB =OF OA，∴2524=√252−x 224x 5，解得x =25√2626，x =−25√2626舍去，∴OF=125√26 26，∴D(25√2626，125√2626)．故③正确．故答案为：②③．【点睛】本题考查四边形综合题、直角形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．【典例13】（2019•绵阳）如图，△ABC、△BDE都是等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，AC＝4，DE＝2√2．将△BDE绕点B逆时针方向旋转后得△BD′E′，当点E′恰好落在线段AD′上时，则CE′＝√2+√6．【点拨】如图，连接CE′，根据等腰三角形的性质得到AB＝BC＝2√2，BD＝BE＝2，根据性质的性质得到D′B＝BE′＝BD＝2，∠D′BE′＝90′，∠D′BD＝∠ABE′，由全等三角形的性质得到∠D′＝∠CE′B＝45°，过B作BH⊥CE′于H，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：如图，连接CE′，∵△ABC、△BDE都是等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，AC＝4，DE＝2√2，∴AB＝BC＝2√2，BD＝BE＝2，∵将△BDE绕点B逆时针方向旋转后得△BD′E′，∴D′B＝BE′＝BD＝2，∠D′BE′＝90°，∠D′BD＝∠ABE′，∴∠ABD′＝∠CBE′，∴△ABD′≌△CBE′（SAS），∴∠D′＝∠CE′B＝45°，过B作BH⊥CE′于H，在Rt△BHE′中，BH＝E′H=√22BE′=√2，在Rt△BCH中，CH=√BC2−BH2=√6，∴CE′=√2+√6，故答案为：√2+√6．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．【典例14】（2019•宜宾）如图，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，且点A 、C 、E 在同一直线上，AD 与BE 、BC 分别交于点F 、M ，BE 与CD 交于点N ．下列结论正确的是 ①③④ （写出所有正确结论的序号）．①AM ＝BN ；②△ABF ≌△DNF ；③∠FMC +∠FNC ＝180°；④1MN=1AC+1CE【点拨】①根据等边三角形性质得出AC ＝BC ，CE ＝CD ，∠ACB ＝∠ECD ＝60°，求出∠BCE ＝∠ACD ，根据SAS 推出两三角形全等即可；②根据∠ABC ＝60°＝∠BCD ，求出AB ∥CD ，可推出△ABF ∽△DNF ，找不出全等的条件； ③根据角的关系可以求得∠AFB ＝60°，可求得MFN ＝120°，根据∠BCD ＝60°可解题； ④根据CM ＝CN ，∠MCN ＝60°，可求得∠CNM ＝60°，可判定MN ∥AE ，可求得MN AC=DN CD=CD−CN CD，可解题．【解答】证明：①∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形， ∴AC ＝BC ，CE ＝CD ，∠ACB ＝∠ECD ＝60°， ∴∠ACB +∠ACE ＝∠ECD +∠ACE ， 即∠BCE ＝∠ACD ， 在△BCE 和△ACD 中， {BC =AC∠BCE =∠ACD CE =CD，∴△BCE ≌△ACD （SAS ），∴AD ＝BE ，∠ADC ＝∠BEC ，∠CAD ＝∠CBE ， 在△DMC 和△ENC 中， {∠MDC =∠NEC DC =BC ∠MCD =∠NCE =60°， ∴△DMC ≌△ENC （ASA ）， ∴DM ＝EN ，CM ＝CN ，∴AD ﹣DM ＝BE ﹣EN ，即AM ＝BN ； ②∵∠ABC ＝60°＝∠BCD ， ∴AB ∥CD ， ∴∠BAF ＝∠CDF ， ∵∠AFB ＝∠DFN ，∴△ABF ∽△DNF ，找不出全等的条件；③∵∠AFB +∠ABF +∠BAF ＝180°，∠FBC ＝∠CAF ， ∴∠AFB +∠ABC +∠BAC ＝180°， ∴∠AFB ＝60°， ∴∠MFN ＝120°， ∵∠MCN ＝60°， ∴∠FMC +∠FNC ＝180°； ④∵CM ＝CN ，∠MCN ＝60°， ∴△MCN 是等边三角形， ∴∠MNC ＝60°， ∵∠DCE ＝60°， ∴MN ∥AE ， ∴MN AC=DN CD=CD−CN CD，∵CD ＝CE ，MN ＝CN ， ∴MN AC =CE−MN CE ，∴MNAC=1−MNCE ，两边同时除MN 得1AC=1MN−1CE，∴1MN=1AC+1CE．故答案为①③④【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质，考查了平行线的运用，考查了正三角形的判定，本题属于中档题．【典例15】（2019•资阳）如图，在△ABC 中，已知AC ＝3，BC ＝4，点D 为边AB 的中点，连结CD ，过点A 作AE ⊥CD 于点E ，将△ACE 沿直线AC 翻折到△ACE ′的位置．若CE ′∥AB ，则CE ′＝95．【点拨】如图，作CH ⊥AB 于H ．首先证明∠ACB ＝90°，解直角三角形求出AH ，再证明CE ′＝AH 即可．【解答】解：如图，作CH ⊥AB 于H ．由翻折可知：∠AE ′C ＝∠AEC ＝90°，∠ACE ＝∠ACE ′， ∵CE ′∥AB ， ∴∠ACE ′＝∠CAD ， ∴∠ACD ＝∠CAD ， ∴DC ＝DA ， ∵AD ＝DB ， ∴DC ＝DA ＝DB ， ∴∠ACB ＝90°， ∴AB =√AC 2+BC 2=5， ∵12•AB •CH =12•AC •BC ，∴CH =125，∴AH =√AC 2−CH 2=95， ∵CE ′∥AB ，∴∠E ′CH +∠AHC ＝180°， ∵∠AHC ＝90°， ∴∠E ′CH ＝90°， ∴四边形AHCE ′是矩形， ∴CE ′＝AH =95， 故答案为95．【点睛】本题考查翻折变换，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．【典例16】（2019•达州）如图，抛物线y ＝﹣x 2+2x +m +1（m 为常数）交y 轴于点A ，与x 轴的一个交点在2和3之间，顶点为B ．①抛物线y ＝﹣x 2+2x +m +1与直线y ＝m +2有且只有一个交点；②若点M （﹣2，y 1）、点N （12，y 2）、点P （2，y 3）在该函数图象上，则y 1＜y 2＜y 3；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y ＝﹣（x +1）2+m ； ④点A 关于直线x ＝1的对称点为C ，点D 、E 分别在x 轴和y 轴上，当m ＝1时，四边形BCDE 周长的最小值为√34+√2．其中正确判断的序号是 ①③④ ．【点拨】①把y ＝m +2代入y ＝﹣x 2+2x +m +1中，判断所得一元二次方程的根的情况便可得判断正确； ②根据二次函数的性质进行判断；③根据平移的公式求出平移后的解析式便可；④因BC 边一定，只要其他三边和最小便可，作点B 关于y 轴的对称点B ′，作C 点关于x 轴的对称点C′，连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E点，求出B′C′便是其他三边和的最小值．【解答】解：①把y＝m+2代入y＝﹣x2+2x+m+1中，得x2﹣2x+1＝0，∵△＝4﹣4＝0，∴此方程两个相等的实数根，则抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点，故此小题结论正确；②∵抛物线的对称轴为x＝1，∴点P（2，y3）关于x＝1的对称点为P′（0，y3），∵a＝﹣1＜0，∴当x＜1时，y随x增大而增大，又∵﹣2＜0＜12，点M（﹣2，y1）、点N（12，y2）、点P′（0，y3）在该函数图象上，∴y2＞y3＞y1，故此小题结论错误；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+2（x+2）x+m+1﹣2，即y＝﹣（x+1）2+m，故此小题结论正确；④当m＝1时，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+2，∴A（0，2），C（2，2），B（1，3），作点B关于y轴的对称点B′（﹣1，3），作C点关于x轴的对称点C′（2，﹣2），连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E点，如图，则BE+ED+CD+BC＝B′E+ED+C′D+BC＝B′C′+BC，根据两点之间线段最短，知B′C′最短，而BC的长度一定，∴此时，四边形BCDE周长＝B′C′+BC最小，为：√B′M2+C′M2+√BM2+CM2=√32+52+√12+12=√34+√2，故此小题结论正确；故答案为：①③④．【点睛】本题考查二次函数的应用、二次函数的图象与性质、二次函数与坐标轴的交点、求线段和的最小值等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．【典例17】（2019•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O落在坐标原点，点A、点C分别位于x轴，y轴的正半轴，G为线段OA上一点，将△OCG沿CG翻折，O点恰好落在对角线AC上的点P处，反比例函数y=12x经过点B．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过C（0，3）、G、A三点，则该二次函数的解析式为y=12x2−114x+3．（填一般式）【点拨】点C （0，3），反比例函数y =12x 经过点B ，则点B （4，3），由勾股定理得：（4﹣x ）2＝4+x 2，故点G （32，0），将点C 、G 、A 坐标代入二次函数表达式，即可求解．【解答】解：点C （0，3），反比例函数y =12x经过点B ，则点B （4，3）， 则OC ＝3，OA ＝4， ∴AC ＝5，设OG ＝PG ＝x ，则GA ＝4﹣x ，P A ＝AC ﹣CP ＝AC ﹣OC ＝5﹣3＝2， 由勾股定理得：（4﹣x ）2＝4+x 2， 解得：x =32，故点G （32，0），将点C 、G 、A 坐标代入二次函数表达式得：{c =394a +32b +c =014a +4b +c =0，解得：{ a =12b =−114c =3，故答案为：y =12x 2−114x +3．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到矩形基本性质、反比例函数基本性质与应用，其中用勾股定理求OG 的长度，是本题解题的关键．【典例18】（2018•凉山州）△AOC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，OA ＝4，将△AOC 绕O 点，逆时针旋转90°得到△A 1OC 1，A 1C 1，交y 轴于B （0，2），若△C 1OB ∽△C 1A 1O ，则点C 1的坐标 （43，83） ．【点拨】如图作C 1H ⊥x 轴于H ．由△C 1OB ∽△C 1A 1O ，推出OC 1A 1C 1=OB OA 1=12，由tan ∠C 1A 1H =OBOA 1=C 1K A 1H =12，设C 1H ＝m ，则A 1H ＝2m ，OH ＝2m ﹣4，构建方程即可解决问题； 【解答】解：如图作C 1H ⊥x 轴于H ．∵△C 1OB ∽△C 1A 1O ， ∴OC 1A 1C 1=OB OA 1=12，∵tan ∠C 1A 1H =OBOA 1=C 1HA 1H =12，设C 1H ＝m ，则A 1H ＝2m ，OH ＝2m ﹣4，∴A 1C 1=√5m ，OC 1=√m 2+(2m −4)2， ∴√5m ＝2√m 2+(2m −4)2， 解得m =83或85（舍弃），∴C 1（43，83）．（本题也可以证明tan ∠OC 1H =OH HC 1=12，S 设C 1（m ，2m ），根据A 1H ＝4m ，构建方程）【点睛】本题考查相似三角形的性质、坐标与图形的旋转等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．【精练1】（2019秋•河东区期末）如图，在反比例函数y =−6x (x ＜0)的图象上任取一点P ，过P 点分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，那么四边形PMON 的面积为 ．【点拨】设出点P 的坐标，四边形PMON 的面积等于点P 的横纵坐标的积的绝对值，把相关数值代入即可．【解答】解：设点P 的坐标为（x ，y ），∵点P 的反比例函数解析式上， ∴xy ＝﹣6，易得四边形PMON 为矩形， ∴四边形PMON 的面积为|xy |＝6， 故答案为6．【点睛】考查反比例函数的比例系数的意义；用到的知识点为：在反比例函数图象上的点的横纵坐标的积等于反比例函数的比例系数．注意面积应为正值．【精练2】（2016秋•江阴市校级月考）如图，正方形ABCD 的边长为1cm ，M 、N 分别是BC 、CD 上两个动点，且始终保持AM ⊥MN ，则△ADN 的最小面积为 ．【点拨】设BM ＝xcm ，则MC ＝（1﹣x ）cm ，当AM ⊥MN 时，利用互余关系可证△ABM ∽△MCN ，利用相似比求CN ，根据三角形的面积公式表示出△ADN 的面积，用二次函数的性质求面积的最小值． 【解答】解：设BM ＝xcm ，则MC ＝（1﹣x ）cm ， ∵∠AMN ＝90°，∴∠AMB +∠NMC ＝90°，∠NMC +∠MNC ＝90°， ∴∠AMB ＝∠MNC ， 又∵∠B ＝∠C ， ∴△ABM ∽△MCN ，则AB MC=BM CN，即11−x=x CN，解得：CN =x(1−x)1=x （1﹣x ）， ∴S △ADN ＝S 正方形ABCD =12×1×[1﹣x （1﹣x ）]=12x 2−12x +12， ∵12＜0，∴当x =12cm 时，S △ADN 最小，最小值是4×12×12−(−12)24×12=38（cm 2）．故答案是：38cm 2．【点睛】本题考查了二次函数的性质的运用．关键是根据已知条件判断相似三角形，利用相似比求函数关系式．【精练3】（2019秋•香坊区期末）等边△ABC 中，点P 是BC 所在直线上一点，且PC ：BC ＝1：4，则tan ∠APB 的值是 ．【点拨】过A 作AD ⊥BC 于D ，设等边△ABC 的边长为4a ，则DC ＝2a ，AD ＝2√3a ，PC ＝a ，分类讨论：当P 在BC 的延长线上时，DP ＝DC +CP ＝2a +a ＝3a ；当P 点在线段BC 上，即在P ′的位置，则DP ′＝DC ﹣CP ′＝a ，然后分别利用正切的定义求解即可． 【解答】解：如图，过A 作AD ⊥BC 于D ，设等边△ABC 的边长为4a ，则DC ＝2a ，AD ＝2√3a ，PC ＝a ， 当P 在BC 的延长线上时，DP ＝DC +CP ＝2a +a ＝3a ， 在Rt △ADP 中，tan ∠APD =AD DP =2√3a 3a =2√33； 当P 点在线段BC 上，即在P ′的位置，则DP ′＝DC ﹣CP ′＝a ， 在Rt △ADP ′中，tan ∠AP ′D =AD DP′=2√3aa =2√3．故答案为2√3或2√33．【点睛】本题考查了解直角三角形：利用三角函数和勾股定理求三角形中未知的边或角的过程叫解直角三角形．也考查了分类讨论思想的运用．【精练4】（2019秋•长清区期中）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC =√2，点D 、E 分别在BC 、AC 上（点D 不与点B 、C 重合），且∠ADE ＝45°，若△ADE 是等腰三角形，则CE ＝ ．【点拨】可得∠B ＝∠C ＝45°，可证得△DCE ∽△ABD ，由于D 与B 、C 不重合，显然∠ADE ＝∠AED＝45°不符合题意，即AD≠AE，所以此题分两种情况讨论：①AD＝DE，此时（2）的相似三角形全等，由此可求得CD、BD的长，进而可得CE、AE的值．【解答】解：∵点D不能与B点重合，∴AD＝AE不能成立，（或：∵∠ADE＝45°，若AD＝AE，则∠AED＝ADE＝45°，从而∠DAE＝90°，即B与D重合，这与已知条件矛盾）．①当AE、DE为腰，即AE＝DE时（如图1），∠EAD＝∠EDA＝45°，此时，AD平分∠BAC，∴D为BC边的中点（“三线合一”性质），且E也为AC边的中点，∴CE＝AE=√2 2；②当AD、DE为腰，即AD＝DE时（如图2），∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，∴∠B＝∠C＝45°．∵∠ADE＝45°，∴∠B＝∠C＝∠ADE．∵∠ADB＝∠C+∠DAC，∠DEC＝∠ADE+∠DAC，∴∠ADB＝∠DEC．∵∠ADC +∠B +∠BAD ＝180，∠DEC +∠C +∠CDE ＝180°， ∴∠ADC +∠B +∠BAD ＝∠DEC +∠C +∠CDE ， ∴∠EDC ＝∠BAD ， ∴△ABD ∽△DCE 此时AD 与DE 为对应边，∴△ABD ≌△DCE ，DC ＝AB =√2， CE ＝BD ＝BC ﹣CD ＝2−√2． 因此CE 的长为2−√2或√22． 故答案为：2−√2或√22． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，解答时证明三角形相似是关键． 【精练5】（2019秋•江岸区校级月考）我们把函数y ={x 2−2x −3(x ≥0)x 2+2x −3(x ≤0)的图象记为C ，若直线y ＝x +b与图象C 有且只有三个公共点，则b 的取值是 ．【点拨】画出分段函数的图象，结合图象找到直线与该图象有三个交点的两端情况：直线经过点（0，﹣3）时；直线y ＝x +b 与y ＝x 2+2x ﹣3（x ≤0）部分只有一个交点时． 【解答】解：根据函数解析式分别画出函数图象，如图所示： 当直线经过点（0，﹣3）时，此时函数与直线y ＝x +b 恰有三个交点， ∴b ＝﹣3，当直线y ＝x +b 与y ＝x 2+2x ﹣3（x ≤0）部分只有一个交点时， ∴x 2+2x ﹣3＝x +b ， ∴b =−134； ∴b ＝﹣3或b =−134时两图象有三个交点； 故答案为−134或﹣3．【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．【精练6】（2018秋•越秀区期末）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＝0；④6a﹣2b+c＜0；⑤若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2，其中正确的判断是（填写所有正确判断的序号）【点拨】根据抛物线的开口方向，对称轴，抛物线与x轴的交点情况，二次函数图象上点的坐标特征判断即可．【解答】解：∵抛物线对称轴x＝﹣1，经过（1，0），∴−b2a=−1，a+b+c＝0，∴b＝2a，c＝﹣3a，∵抛物线开口向上，∴a＞0，∴b＞0，c＜0，∴abc＜0，故①错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故②正确；∵抛物线与x轴交于（﹣3，0），∴9a﹣3b+c＝0，故③正确；∵9a﹣3b+c＝0，b＝2a，c＝﹣3a，∴6a﹣2b+c＝6a﹣4a﹣3a＝﹣a＜0，故④正确；∵抛物线对称轴x＝﹣1，∴x＝﹣0.5与x＝﹣1.5的函数值相等，∵﹣1.5＞﹣2，∴则y1＜y2；故⑤错误；故答案为：②③④．【点睛】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，灵活运用数形结合思想．【精练7】（2019春•东海县期中）如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°，得到线段AQ，连接BQ，若P A＝3，PB＝4，PC＝5，则四边形APBQ的面积为【点拨】连结PQ，如图，根据等边三角形的性质得∠BAC＝60°，AB＝AC，再根据旋转的性质得AP＝AQ＝3，∠P AQ＝60°，则可判断△APQ为等边三角形，所以PQ＝AP＝3，接着证明△APC≌△ABQ得到PC＝QB＝5，然后利用勾股定理的逆定理证明△PBQ为直角三角形，再根据三角形面积公式，利用S＝S△BPQ+S△APQ进行计算．四边形APBQ【解答】解：连结PQ，如图，∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∵线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，∴AP＝AQ＝3，∠P AQ＝60°，∴△APQ为等边三角形，∴PQ＝AP＝3，∵∠CAP+∠BAP＝60°，∠BAP+∠BAQ＝60°，∴∠CAP＝∠BAQ，且AC＝AB，AP＝AQ∴△APC≌△ABQ（SAS），∴PC＝QB＝5，在△BPQ中，∵PB2＝42＝16，PQ2＝32＝9，BQ2＝52＝25，∴PB2+PQ2＝BQ2，∴△PBQ为直角三角形，∠BPQ＝90°，∴S四边形APBQ＝S△BPQ+S△APQ=12BP×PQ+√34×PQ2＝6+9√34故答案为：6+9√3 4【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，勾股定理以及逆定理，证明△APQ为等边三角形是本题的关键．【精练8】（2019•吉林）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°．D，E分别是半径OA，OB上的点，以OD，OE为邻边的▱ODCE的顶点C在AB̂上．若OD＝8，OE＝6，则阴影部分图形的面积是（结果保留π）．【点拨】连接OC，根据同样只统计得到▱ODCE是矩形，由矩形的性质得到∠ODC＝90°．根据勾股定理得到OC＝10，根据扇形的面积公式和矩形的面积公式即可得到结论．【解答】解：连接OC，∵∠AOB＝90°，四边形ODCE是平行四边形，∴▱ODCE是矩形，∴∠ODC＝90°．∵OD＝8，OE＝6，∴OC＝10，∴阴影部分图形的面积=90⋅π×102360−8×6＝25π﹣48．故答案为：25π﹣48．【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，矩形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．【精练9】（2019•虞城县一模）如图1，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s．设P、Q出发ts时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系如图2所示（其中曲线OM为抛物线的一部分，其余各部分均为线段）当点P在ED上运动时，连接QD，若QD平分∠PQC，则t的值为．【点拨】根据题意和函数图象可以得到BE和BC的长，然后根据当t＝5时，y＝10可以得到AB的长，然后根据QD平分∠PQC，可得DG＝DC，进而可以求得相应的t的值．【解答】解：由题意可得，BE ＝5，BC ＝12， ∵当t ＝5时，S ＝10， ∴10=5×AB2，得AB ＝4， 作EH ⊥BC 于点H ，作EF ∥PQ ，P 1Q 2∥EF ，作DG ⊥P 1Q 2于点G ， 则EH ＝AB ＝4，BE ＝BF ＝5， ∵∠EHB ＝90°， ∴BH =√52−42=3， ∴HF ＝2，∴EF =√42+22=2√5， ∴P 1Q 2＝2√5，设当点P 运动到P 1时，Q 2D 平分∠P 1Q 2C ，则DG ＝DC ＝4，P 1D ＝17﹣AE ﹣EP 1＝12﹣3﹣（t ﹣5）＝14﹣t ， ∴(14−t)×42=2√5×42，解得，t ＝14﹣2√5， 故答案为：14﹣2√5．【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．【精练10】（2018秋•市中区期末）将正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2按如图所示方式放置，点A 1，A 2，A 3，…和点C 1，C 2，C 3，…分别在直线y ＝x +1和x 轴上，则点B 2019的横坐标是 ．【点拨】根据直线y＝x+1可求与x轴、y轴的交点坐标，得出第一个正方形的边长，得出点B1的横坐标，根据第二个正方形与第一个正方形的关系，可求出第二个正方形的边长，进而确定B2的横坐标，依此类推，可得出B2019的横坐标．【解答】解：当x＝0时，y＝x+1＝1，∴A（0，1），当y＝0时，x＝﹣1，∴直线与x轴的交点（﹣1，0）∴B1（1，1），易得△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、△A4B4A5……均是等腰直角三角形，可得：每一个正方形的边长都是它前一个正方形边长的2倍，因此：B2的横坐标为1+1×2＝1+2＝20+21＝3＝22﹣1，B3的横坐标为1+1×2+2×2＝1+2+4＝20+21+22＝7＝23﹣1，B4的横坐标为24﹣1，B5的横坐标为25﹣1，……B2019的横坐标为22019﹣1，故答案为：22019﹣1．【点睛】此题主要考查了一次函数图形上的点与坐标特征，规律型问题常用的方法是，分别求出前几个数据，然后依据变化规律，得出一般的结论．本题就是先求出B1的横坐标为21﹣1，B2的横坐标为22﹣1，B3的横坐标为23﹣1，B4的横坐标为24﹣1，……进而得到B n的横坐标为2n﹣1．【精练11】（2019•鄂尔多斯模拟）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），根据这个规律探索可得，第56个点的坐标为．【点拨】根据题意和图象中的点的坐标，可以发现这些点的变化规律，从而可以求得第56个点的坐标．【解答】解：由题意可得，横坐标是1的点有1个，横坐标是2的点有2个，横坐标是3的点有3个，…，∵56＝（1+2+3+…+10）+1，∴第56个点的坐标为（11，10），故答案为：（11，10）【点睛】本题考查规律性：点的坐标，解答本题的关键是明确题意，发现题目中点的变化规律，求出相应的点的坐标．【精练12】（2019春•徐州期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝2cm，BC＝3cm，现有一根长为2cm的棒EF紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒EF的中点P 在运动过程中所经过的路径长度为cm．【点拨】根据题意可以判断出点P的运动轨迹是4段弧长和2段线段的长度．【解答】解：连接BP，如图所示：∵P是EF的中点，∴BP=12EF=12×2＝1，如图所示，点P的运动轨迹是4段弧长+2段线段的长度，即4×90π×1180+2×1＝2π+2．故答案为：2π+2．【点睛】本题考查了轨迹、矩形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质以及弧长的计算．判断出点的P运动的轨迹是解题的关键．【精练13】（2018秋•雨花区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D是AC的中点，直角∠EDF的两边分别交AB、BC于点E、F，给出以下结论：①AE＝BF；②S四边形BEDF=12S△ABC；③EF＝BD；④∠BFE＝∠CDF；⑤△DEF是等腰直角三角形，当∠EDF在△ABC内绕顶点D旋转时（点E不与点A、B重合），上述结论始终成立的有个．。

函数选填压轴题（含一次函数、二次函数、反比例函数等综合问题）目录【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略 【误区点拨】点拨常见的易错点【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）一次函数、二次函数、反比例函数在中考选择题、填空题考场中是热点内容，更是全国中考的必考内容。

每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分.1．从考点频率看，一次函数、二次函数、反比例函数图象和性质是高频考点、必考点，所以必须提高对函数图象和性质理解和掌握的能力.2．从题型角度看，以选择题、填空题最后一题为主，分值3分左右，着实不少！易错点一 反比例函数求K 值未考虑图象所在的象限【例1】（2024·湖南长沙·三模）如图，点M 是反比例函数(0)ky x x=<图像上的一点，过点M 作MN x ⊥轴于点N ，点P 在y 轴上．若MNP △的面积是3，则k = ．【答案】6−【分析】本题考查反比例函数k 值的几何意义，连接OM ，根据平行线间的距离处处相等，得到2MONMPNkSS==，结合双曲线过第二象限，求出k 值即可．【详解】解：连接OM ，∵MN x ⊥， ∴MN OP ∥， ∴3MONMPNSS==，∵点M 是反比例函数(0)ky x x =<图像上的一点，∴32k =， ∴6k =，∵双曲线过第二象限， ∴6k =−； 故答案为：6−．【例2】 （2024·安徽合肥·一模）如图，已知反比例函数ky x=（0k ＜）的图象经过Rt OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若AOC 的面积为9，则k 的值为 ．【答案】6−【分析】本题考查的是反比例函数图象与性质，设2,2AB a OB b ==，则()2,2A b a −，()2,C b m −，结合图象经过Rt OAB 斜边OA 的中点D ，得到(),D b a −，根据点D ，点C 都在ky x =图象上，得到2k bm ba =−=−，得到2a m =，继而得到13222AC AB CB a a a =−=−=，结合AOC 的面积为9，得到132922a b ⨯⨯=，计算得6ab =，解答即可．【详解】设2,2AB a OB b ==，则()2,2A b a −，()2,C b m −，∵图象经过Rt OAB 斜边OA 的中点D ， ∴(),D b a −，∵点D ，点C 都在ky x =图象上，∴2k bm ba =−=−， ∴2a m =，∴13222AC AB CB a a a=−=−=， ∵AOC 的面积为9， ∴132922a b ⨯⨯=，∴6ab =， ∴6k ba =−=−． 故答案为：6−．【例3】 （2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，Rt ABC △的边AC x ∥轴，90,BAC BC ∠=︒的延长线过原点O ，且2BC OC =，反比例函数()0ky x x=>的图象经过点A ，若Rt ABC △的面积是2，则k 的值为 ．【答案】3【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合．延长BA 交x 轴于点D ，证明BAC BDO ∽△△，求得相似比为23，利用相似比求得Rt DBO △的面积，利用等高的两个三角形求得Rt DAO △的面积，再利用比例系数k 的几何意义求解即可．【详解】解：延长BA 交x 轴于点D ，连接OA ，∵AC 平行于x 轴，90BAC ∠=︒， ∴BD x ⊥轴，∴BAC BDO ∽△△， ∵2BC OC =， ∴23BC BA BO BD ==， ∵Rt ABC △的面积是2，∴Rt DBO △的面积是229232⎛⎫÷= ⎪⎝⎭，Rt DAO △的面积是193322⨯=， ∴3232k =⨯=，故答案为：3．易错点二 一次函数、反比例函数、二次函数图象共存问题【例1】 （2024·安徽合肥·一模）已知反比例函数ky x=的图象与一次函数y x b =−+的图象如图所示，则函数2y x bx k =++的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，先根据一次函数、反比例函数的图象得到k b 、的符号，进而由k b 、判断出抛物线与y 轴的交点位置、对称轴位置，又结合10a =>可知抛物线开口向上，据此即可求解，掌握一次函数、反比例函数、二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：由反比例函数的图象可得，0k >，由一次函数图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上可得，0b >， ∵0k >，∴二次函数与y 轴的交点在y 轴的正半轴上， ∵抛物线的对称轴b x 02=−<，∴抛物线的对称轴位于y 轴的左侧， 又∵10a =>， ∴抛物线开口向上， 故选：A ．【例2】 （2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，经过(0,6)A 的一次函数1y 的图象与经过(0,2)B 的一次函数2y 的图象相交于点C ．若点C 的纵坐标为3，则函数12y y y =⋅的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】本题主要考查了函数图象判别，求一次函数解析式，解题的关键是设点()(),30C c c <，一次函数1y 的解析式为116y k x =+，一次函数2y 的解析式为222y k x =+，求出136y x c =−+，212y x c =+，然后再求出2122312y y x c =−+，最后进行判断即可．【详解】解：设点()(),30C c c <，一次函数1y 的解析式为116y k x =+，一次函数2y 的解析式为222y k x =+，把(),3C c 分别代入两个函数解析式得： 136ck =+，232ck =+，解得：13k c =−，21k c =，∴136y x c =−+，212y x c =+，∴21223136212y y x x x c c c ⎛⎫⎛⎫=−++=−+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∵230c −<， ∴2122312y y x c =−+的图象为开口向下，顶点为()0,12的抛物线， 所以C 选项符合题意． 故选：C ．【例3】 （2024·安徽芜湖·一模）已知反比例函数()0ky k x=≠在第二象限内的图像与一次函数y ax b =+的图像如图所示，则函数21y ax bx k =−−+的图像可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】本题考查的是一次函数、反比例函数和二次函数的图象，依据题意，由一次函数y ax b =+的图象经过第一、二、三象限，且与y 轴交于正半轴，则00a b ，，反比例函数()0ky k x =≠的图象经过第二、四象限，则0k <，从而函数21y ax bx k =−−+的图象开口向下，对称轴为直线0102bx k a −=−−+，，从而排除A 、D ，C ，故可得解．【详解】解：∵一次函数y ax b =+的图象经过第一、二、三象限，且与y 轴交于正半轴，则00a b ，，反比例函数()0ky k x =≠的图象经过第二、四象限，则0k <，∴函数21y ax bx k =−−+的图象开口向下，对称轴为直线01022b b x k a a −=−=−+，．∴综上，可得B 正确． 故选：B ．易错点三 根据二次函数的图象讨论各系数a ,b ,c 有关式子正误【例1】 （2024·四川达州·模拟预测）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，其对称轴为直线12x =−，且经过点(2,0)−，下列结论：①0abc <； ②0a b −=； ③点11(,)x y 和22(,)x y 在抛物线上，当1212x x >≥−时，12y y >；④不等式20ax bx c ++≥的解集是2x ≤−或32x ≥；⑤一元二次方程20cx bx a ++=的两根分别为112x =−，21x =．其中错误的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．由抛物线对称轴为直线2bx a =−可判断①，由抛物线与x 轴的交点个数可判断②，由抛物线开口方向，对称轴及抛物线与y 轴交点位置可判断③，由抛物线经过(2,0)及抛物线的对称性可判断④，由根与系数关系可判断⑤．【详解】解：由图可知，抛物线开口向上，0a ∴>，抛物线对称轴为直线122b x a =-=-，0a b ∴=>，0a b ∴−=，故②正确；抛物线和y 轴交点在负半轴，0c ∴<， <0abc ∴，∴①正确；当1212x x >≥−时，两点都在对称石侧．图象部分．y 随x 增大而增大，12y y ∴>，∴③正确；不等式20ax bx c ++≥，抛物线在x 轴上方时，x 取值范围，而抛物线和x 轴交点为(2,0)−和(1,0)，∴解集是2x ≤−或1x ≥； ∴④错误．20ax bx c ++=的两个根11x =，22x =−，∴121ba −=−=−，()122ac =⨯−=−，0a b c ++= 12b c ∴−=，2ac =−，20cx bx a ∴++=的两个根1x =，2x =，∴⑤错误．故选：B ．【例2】 （2024·湖南永州·一模）如图，抛物线2y ax bx c =++的图像与x 轴相交于()2,0A −、()6,0B 两点，与y 轴相交于点C ，以下结论：①240b ac −>；②0abc >；③当0y >时，26x −<<；④0a b c ++<．正确的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【分析】本题考查二次函数的开口，对称轴，与x 轴交点个数，自变量取值范围等知识．可借用数形结合的方法．【详解】①：图象与x 轴有两个交点∴240b ac −>∴①正确；②：图象开口向上0a ∴>对称轴b x 02a =−>0b ∴<图象与y 轴的交点在y 轴负半轴0c ∴< 0abc ∴>∴②正确；③：由图象可知，当0y <时，26x −<< ∴③不正确；④：由图象知，当1x =时，0y a b c =++< ∴④正确．故选：B ．【例3】 （2024·陕西榆林·一模）在平面直角坐标系中，二次函数2(y ax bx c a b c =++、、为常数，且0)a ≠的图象如图所示，其对称轴为直线2x =，有以下结论：①0,0a b >>；②16430a b c ++>；③240ac b −<；④a 2b c 0−+> ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】本题考查二次函数的图象和性质，解答关键是根据抛物线的位置确定待定字母的取值范围．根据二次函数的图象的位置，确定a 、b 、c 的符号，通过对称轴，与x 轴交点的位置确定各个选项的正确与错误即可．【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴0a >，∵对称轴在y 轴的右侧， ∴a 、b 异号，∴0b <，故①错误， ∵对称轴为对称轴为直线22b x a ==−，，∴4b a =−，∵抛物线与y 轴交于正半轴， ∴0c >，∴16431616330a b c a a c c ++=−+=>， 故②正确；∵抛物线与x 轴交于两点，∴20ax bx c ++=有两个不相等的实数根， ∴240b ac −>， ∴240ac b −<，故③正确； ∵4b a =−，∴289a b c a a c a c −+=++=+ ∵0a >，0c >， ∴90a c +>， ∴a 2b c 0−+>， 故④正确；所以正确的个数有3个， 故答案为：C【例4】 （2024·四川成都·模拟预测）已知抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为直线=1x −，部分图象如图所示，给出下面4个结论：①24b ac >；②1230a b c −>；③82a c b +>；④若点()10.5,y −，()22,y −在抛物线()20y ax bx c a =++≠上，则12y y <．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据二次函数与一元二次方程的关系，即可判断①结论；根据二次函数系数与图象的关系，即可判断②结论；由抛物线图象可知，当1x =时，0y =，即可判断③结论；根据二次函数的增减性，即可判断④结论． 【详解】解：由图象可知，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴有两个交点，240b ac ∴−>，24b ac ∴>，①结论正确；抛物线开口向上，对称轴为直线=1x −，且与y 轴交点在负半轴， 0a ∴>，12ba −=−，0c <，20b a ∴=>，110a a −∴=>，20b >，30<c ，1230a b c −∴<，②结论错误；由函数图象可知，当1x =时，0y a b c =++=，3c a b a ∴=−−=−，828340a c b a a a a ∴+−=−−=>，82a c b ∴+>，③结论正确；∴抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为直线=1x −，∴点()10.5,y −离对称轴近，点()22,y −离对称轴远，12y y ∴<，④结论正确，∴正确的结论有3个，故选：C ．题型一 反比例函数与特殊四边形【例1】（2024·山西大同·一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的两边OA OC 、分别在x 轴、y 轴的正半轴上，反比例函数k y x=的图象与AB 相交于点M ，与BC 相交于点N ，若点B 的坐标为()4,2,MON 的面积是154，则k 的值为 ．【答案】2【分析】本题主要考查了反比例函数的k 的值，求出点M 的坐标为44k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，点N 的坐标为,22k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据154MONOCNOAMBMNOABC SS SSS=−−−=矩形进行计算即可．【详解】解：四边形OABC 是矩形，AB OC ∴=，OA BC =，∵B 点的坐标为()4,2,∴2,4AB OC BC AO ====，则点M 的坐标为44k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，点N 的坐标为,22k ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴MON OCN OAM BMNOABC SS SSS=−−−矩形11115842222244k k k k ⎛⎫⎛⎫=−−−−⨯−=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得，2k = 故答案为：2．1．（2024·安徽合肥·一模）如图，菱形ABCD 的顶点B 在y 轴的正半轴上，C 在x 轴的正半轴上，A ，D 在第一象限，BD x ∥轴，反比例函数()0ky k x=≠的图象经过面积为2的菱形ABCD 的中心E ，交AB 于点F ．（1）k 的值为 ． （2）BFAB的值为 ．【答案】 1【分析】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质． （1）由菱形的性质，得到BEC 的面积是12，而矩形BOCE 的面积是1，即可得到k 的值；（2）设点E 的坐标为1a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，分别求得点A ，B 的坐标，再利用待定系数法求得直线AB 的解析式，联立求得点F 【详解】解：（1）四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，BE DE =，AE CE =，BEC ∴的面积14=⨯菱形ABCD 的面积11242=⨯=，∵BE OC ∥，BO OC ⊥， ∴四边形BOCE 是矩形， ∴矩形BOCE 的面积12212BEC =⨯=⨯=的面积，k ∴的值是1．故答案为：1；（2）由（1）得反比例函数的解析式为1y x =，设点E 的坐标为1a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，直线AB 的解析式为y mx n =+，则设点B 的坐标为10a ⎛⎫⎪⎝⎭，，设点A 的坐标为2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴21am n a n a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得211m a n a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线AB 的解析式为211y x a a=+， 联立2111y x a a y x⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得x =（负值已舍），∴2B ABFa ==，2．（2024·安徽阜阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数44y x =−+的图像分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点．正方形ABCD 的顶点C ，D 在第一象限，且顶点D 在反比例函数()0ky k x=≠的图像上．（1）AOB 的面积为 ；（2）若正方形ABCD 向左平移n 个单位长度后，顶点C 恰好落在反比例函数的图像上，则k n += ． 【答案】 2 8【分析】（1）首先求得点AB 、的坐标，可得1OA =，4OB =，然后根据三角形面积公式求解即可； （2）过点C 作CE y ⊥轴于点E ，交反比例函数图像于点F ，过点D 作DG x ⊥轴于点G ，证明OAB EBC △≌△，≌OAB GDA △△，进而确定点C D F 、、的坐标，然后求得k n 、的值，即可获得答案．【详解】解：（1）对于一次函数44y x =−+， 令0y =，则有440x −+=，解得1x =，即(1,0)A ， 令0x =，则4y =，即(0,4)B ， ∴1OA =，4OB =， ∴1211422AOBSOA OB ⋅=⨯⨯==；（2）如图，过点C 作CE y ⊥轴于点E ，交反比例函数图像于点F ，过点D 作DG x ⊥轴于点G ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB BC CD DA ===，90ABC DAB ∠=∠=︒， ∴90CBE ABO ∠+∠=︒， ∵CE y ⊥轴，OA OB ⊥， ∴90ABO BAO ∠+∠=︒， ∴CBE BAO ∠=∠，在OAB 和EBC 中，90CEB BOA CBE BAO BC AB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(AAS)OAB EBC ≌， ∴1BE OA ==，4CE OB ==， ∴415OE OB BE =+=+=，即(4,5)C ， 同理可得(AAS)OAB GDA ≌， ∴4AG OB ==，1DG OA ==， ∴5OG OA AG =+=，即(5,1)D ， 将点(5,1)D 代入反比例函数()0ky k x =≠，可得15k=，解得5k =，即该反比例函数解析式为5y x =，∵CE y ⊥轴， ∴点F 的纵坐标为5，∴点F 的横坐标为1，即(1,5)F ，∵将正方形ABCD 向左平移n 个单位长度后，顶点C 恰好落在反比例函数的图像上，即此时点C F 、重合，∴点C 移动了413−=个单位长度，即3n =， ∴538k n +=+=． 故答案为：（1）2；（2）8．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用、反比例函数的应用、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识并正确作出辅助线是解题关键．题型二 一次函数与反比例函数【例1】（2024·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线22y x =+与双曲线4y x=交于点A 、点B ，将直线AB 向下平移b 个单位后双曲线交于点C 、点D ，M 是第二象限内一点，连接MA 、MB ，若以M 为位似中心的MCD △与MAB △位似，位似比为32，则b 的值为 ．【答案】9【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数的性质，勾股定理．由题意可得AB =，设直线DE 的解析式为2y x m =+，点()11,2C x x m +，()22,2D x x m +，根据两点间距离公式求得=92，进而得到()212128144x x x x +−=，由点C D ，恰好都落在反比例函数图象上得到42x m x +=，即2240x mx +−=，由根和系数的关系得()2814224b ⎛⎫−−⨯−= ⎪⎝⎭，求出m 的值，据此即可求解．【详解】解：联立224y x y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得22x y =−⎧⎨=−⎩或14x y =⎧⎨=⎩， ∴点()2,2B−−，()1,4A ，∴AB ==∵MCD △与MAB △位似，相似比为32， ∴32CD AB =，∴CD =，∵将直线AB 向下平移b 个单位， ∴设直线CD 的解析式为2y x m =+，点()11,2C x x m +，()22,2D x x m +，=92=，∴()212128144x x x x +−=，∵点C D ，恰好都落在反比例函数图象上， ∴CD 与反比例函数的交点方程为42x m x +=，即2240x mx +−=，由根与系数的关系得，()2814224b ⎛⎫−−⨯−=⎪⎝⎭， 解得7m =−或7(不合，舍去)， 令0x =，则2022y =⨯+=，∴直线22y x =+和2y x m =+与y 的交点分别为()02，和()07−，，∴()279b =−−=，故答案为：9．【例2】（2024·安徽池州·一模）如图，已知直线3:34l y x =−+与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ．请解决下列问题：（1）线段AB 的长为 ；（2）若菱形BCDE 的边BC x ∥轴，另一边BE 在直线l 上，且点B 是AE 的中点，点D 在反比例函数()00ky k x x=≠<，的图象上，则k = ．【答案】 5 54−【分析】本题考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理，菱形的性质，三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）分别求出直线3:34l y x =−+y 轴交于点()0,3B ，与x 轴交于点()4,0A ，从而得出4OA =，3OB =，再由勾股定理计算即可得出答案；（2）延长DE 交y 轴于点F ，由菱形的性质得出5BC CD DE EB ====，证明()AAS BEF BAO ≌，即可得出点D 的坐标，代入反比例函数解析式即可得出答案． 【详解】解：（1）由题意，得当0x =时，3y =， ∴直线3:34l y x =−+与y 轴交于点()0,3B ．当0y =时，4x =，∴直线3:34l y x =−+与x 轴交于点()4,0A ，4∴=OA ，3OB =．在Rt AOB △中，5AB ==， 故答案为：5；（2）如图，延长DE 交y 轴于点F ．，点B 是AE 的中点，5AB BE ∴==．四边形BCDE 是菱形，5BC CD DE EB ∴====．DE x ∥轴，90EFB AOB ∴∠=∠=︒，EBF ABO ∠=∠，()AAS BEF BAO ∴≌，4EF OA ∴==，3BF OB ==，9DF DE EF ∴=+=，336OF =+=，()9,6D ∴−．点()9,6D −在反比例函数()0ky k x =≠的图象上，9654k ∴=−⨯=−，故答案为：54−．1．（2024·新疆·一模）已知在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，直线y kx b =+与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与双曲线my x=相交于点C ，D ，且点D 的坐标为()1,6．如图，当点A 落在x 轴负半轴时，过点C 作x 轴的垂线垂足为E ，过点D 作y 轴的垂线，垂足为F ，连接EF ．当2CDAB=时，则点C 的坐标为 ．【答案】()3,2−−【分析】先证明EFC 的面积和EFD △的面积相等； 证明四边形DFEA 与四边形FBCE 都是平行四边形，故可得出CE BF =，FDB EAC ∠=∠，再由全等三角形的判定定理得出DFB AEC ≌，故AC BD =，设2CD k =，AB k =，12DB AC k ==， 可得12DB AB =，再证明DFB AOB ∽△△，可算出2OA =，4OB =，进一步可得答案．【详解】解：如图，连接CF ，ED ，CO ，∵y kx b =+于my x =相交于点C ，D ，且点D 的坐标为()1,6．∴6m =，即反比例为6y x =，设(),C a b ，则6ab =，∵1632EFCEOCS S ==⨯=，而11632EFDS=⨯⨯=，∴EFCEFDSS=；∵两三角形同底， ∴两三角形的高相同， ∴EF CD ∥，∵DF AE ∥，BF CE ∥，∴四边形DFEA 与四边形FBCE 都是平行四边形， FDB BAO ∠=∠， ∴CE BF =， ∵BAO EAC ∠=∠， ∴FDB EAC ∠=∠， ∵90BFD CEA ∠=∠=︒，∴DFB AEC ≌， ∴AC BD =， ∵2CDAB =，设2CD k =，AB k =，12DB AC k ==，∴12DB AB =， ∵DF AO ∥， ∴DFB AOB ∽△△， ∴12DF DB BF AO AB BO ===， ∵1DF =， ∴2OA =， ∵6OF =， ∴4OB =， ∴()2,0A −，()0,4B ，∴直线AB 的解析式为24y x =+，联立反比例函数解析式和一次函数解析式可得246y x y x ⎧⎪⎨⎪=+⎩= ，解得：32x y =−⎧⎨=−⎩， 16x y ⎧⎨⎩== ， ∴()3,2C −−．故答案为：()3,2−−【点睛】本题考查了反比例函数的综合运用，涉及待定系数法求函数解析式，同底等高的三角形的面积、相似三角形的性质，题目综合性较强．题型三 几何图形中动点之函数问题【例1】（2024·河南信阳·一模）如图1，已知ABCD Y 的边长AB为30B ∠=︒，AE BC ⊥于点E ．现将ABE 沿BC 方向以每秒1个单位的速度匀速运动，运动的ABE 与ABCD Y 重叠部分的面积S与运动时间t 的函数图象如图2，则当t 为9时，S 的值是（ ）A B ．C D ．【答案】C【分析】本题考查的是动点函数图象问题、平行四边形的性质、勾股定理及含30度角的性质，熟练掌握以上知识点，弄清楚不同时段，图象和图形的对应关系，是解题的关键．根据题意得出AE =6BE =，结合函数图象确定12BC =，当运动时间6t >时，为二次函数，且在6t =时达到最大值，对称轴为6t =，二次函数与坐标轴的另一个交点为()0,0，然后确定二次函数解析式，代入求解即可．【详解】解：∵AB 为30B ∠=︒，AE BC ⊥于点E ．∴AE =∴6BE ==，由运动的ABE 与ABCD Y 重叠部分的面积S 与运动时间t 的函数图象得： 当运动到6时，重叠部分的面积一直不变， ∴6CE =， ∴12BC =，由函数图象得：当运动时间6t >时，为二次函数，且在6t =时达到最大值，对称轴为直线6t =， ∴二次函数与坐标轴的另一个交点为()0,0，设二次函数的解析式为()12(6)S at t t =−>，将点(代入得：a =，∴()12(6)S t t =−>，当t 为9时，S =．故选：C ．【例2】（2024·河南濮阳·一模）如图1，在矩形ABCD 中，2,BC AB M =为AD 的中点，N 是线段BD 上的一动点．设,DN x MN AN y =+=，图2是y 关于x 的函数图象，其中Q 是图象上的最低点，则a 的值为（ ）A ．7B ．8CD 【答案】D【分析】由图象右端点的横坐标为BD =5AB =，10AD =，5AM MD ==，作点M 关于BD 的对称点E ，连接AE 交BD 于N ，连接ME 交BD 于O ，连接DE ，得y AN MN AE =+=，根据两点之间，线段最短，得到此时y 最小，最小值为AE 的长度，通过证明MOD BAD ∽，求出OM =2ME OM ==E 作EF AD ⊥于F ，利用勾股定理求出2MF =，4EF =，7AF AM MF =+=，从而求得AE 的长度，即可求解．【详解】解：∵图象右端点的横坐标为 ∴BD =∵矩形ABCD 中， ∴90BAD ∠=︒，AD BC =∴222AB AD BD +=∵2BC AB = ∴()(2222AB AB +=∴5AB = ∴10AD =∵M 为AD 的中点， ∴5AM MD ==作点M 关于BD 的对称点E ，连接AE 交BD 于N ，连接ME 交BD 于O ，连接DE ，如图，∴MN NE =，5DE DM ==， ∴y AN MN AE =+=，根据两点之间，线段最短，得此时y 最小， ∵点M 关于BD 的对称点E ， ∴BD 垂直平分ME ，∵MDO ADB ∠=∠，90BAD MOD ∠=∠=︒， ∴MOD BAD ∽，∴OM MD AB BD =，即5OM =∴OM∴2ME OM == 过点E 作EF AD ⊥于F ，由勾股定理，得22222ME MF EF DE DF −==−，∵DF DM MF =−，∴(()222255MF MF −=−−，解得：2MF =，∴4EF =，527AF AM MF =+=+=，∴AE∵Q 是图象上的最低点， ∴a 是y 的最小值，∴a 故选：D ．【点睛】本题考查几何动点函数图象问题，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握利用轴对称求最短距离问题是解题的关键．1．（2024·河南周口·一模）如图1，矩形ABCD 中，点E 为AB 的中点，动点P 从点A 出发，沿折线AD DC −匀速运动，到达点C 时停止运动，连接AP 、PE ，设AP 为x ，PE 为y ，且y 关于x 的函数图象如图2所示，则AP 的最大值为（ ）AB ．5C D ．【答案】B【分析】本题考查动点问题与函数图象，矩形的性质，勾股定理，利用数形结合的思想是解题关键．在函数图象中找到当0x =时，2y =，得出2y PE AE ===，进而得到4AB =，再利用图象的拐点得出3AD =，由图象知P 到达C 时得最长，由勾股定理即可求出其值．【详解】解：由图知，当0x =时，2y =，即当P 在A 点时2y PE AE ===， 点E 为AB 的中点，， ∴24AB AE ==，当P 在AD 上运动时，PE 慢慢增大，P 到D 点时，从图中的拐点可知，此时y PE DE ===∴3AD =，当P 在DC 上运动时，PE 先减小再增大，直到P 到达C 点时，此时AP AC =4DC AB ==，∴5AP =，故选：B ．2．（2024·安徽合肥·一模）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AC BC =．AB 与矩形DEFG 的一边EF 都在直线l 上，其中4AB =、1DE =、3EF =，且点B 位于点E 处．将ABC 沿直线，向右平移，直到点A 与点E 重合为止．记点B 平移的距离为x ，ABC 与矩形DEFG 重叠区域面积为y ，则y 关于x 的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】先根据CB 经过点D 和CA 经过点D 时计算出1x =和3x =，再分01x ≤≤，13x <≤和34x <≤三种情况讨论，画出图形，利用面积公式解答即可． 【详解】解：当BC 经过点D 时，如图所示：ABC 为等腰直角三角形， 45DBE ∴∠=︒，1DE =，90DEB ∠=︒，11tan 451DE EB ∴===︒；当AC 经过点D 时，如图所示：45A ∠=︒，1DE =，1AE ∴=，413EB AB AE ∴=−=−=；①当01x ≤≤时，如图所示：此时EB x =，45HBE ∠=︒，tan 45HE EB x ∴=︒⋅=，2111222y EB HE x x x ∴=⋅=⋅=；②当13x <≤时，如图所示：过M 作MN AB ⊥于N ， 此时，1MN =，45MBN ∠=︒，1BN ∴=，EB x =，1EN EB NB x ∴=−=−，四边形DENM 是矩形，1DM EN x ∴==−，111()(1)1222y DM EB DE x x x ∴=+⋅=−+⨯=−；③当34x <≤时，如图所示：此时1IR =，45IBR ∠=︒ 1BR ∴=，EB x =，1ER DI x ∴==−，4AE AB EB x =−=−，45B ∠=︒，tan454TE AE x ∴=⋅︒=−，1DE =，1(4)3DT DE TE x x ∴=−=−−=−， DG AB ∥，45DKT ∴∠=︒，33tan 451DT x DK x −∴===−︒，()22ΔΔ1111111(3)45222IRB DTK DERI y S S S x x x x ∴=+−=⨯−+⨯⨯−⨯−=−+−四边形．故选：D ． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，解三角形等知识，关键是画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行运算．3．（2024·河南平顶山·一模）如图1，在ABC 中，60ABC ∠=︒．动点P 从点A 出发沿折线A →B →C 匀速运动至点C 后停止．设点P 的运动路程为x ，线段AP 的长度为y ，图2是y 随x 变化的关系图像，其中M 为曲线DE 的最低点，则ABC 的面积为（ ）A ．BC ．D 【答案】C【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短．作AD BC ⊥，当动点P 运动到点D 时，线段AP 的长度最短，此时AB BD +P 运动到点C 时，运动结束，此时3AC =，根据直角三角形的性质结合勾股定理求解即可． 【详解】解：作AD BC ⊥，垂足为D ，当动点P 运动到点D 时，线段AP 的长度最短，此时点P 运动的路程为AB BD +=当动点P 运动到点C 时，运动结束，线段AP 的长度就是AC 的长度，此时AC =，∵60ABC ∠=︒， ∴30BAD ∠=︒，∴2AB BD =，∴3AB BD BD +==∴BD =，AB =，∴2AD ==，在Rt △ABD 中，AC =，∴CD =，∴BC BD CD =+=∴ABC 的面积为11222BC AD ⨯=⨯=故选：C ．题型四 二次函数与其他函数综合问题【例1】（2024·安徽宿州·一模）如图，已知抛物线242y ax ax =−+−（a 是常数且0a >）和线段MN ，点M 和点N 的坐标分别为()()0,4,5,4．（1）抛物线的对称轴为直线x = ；（2）当1a =时，将抛物线向上平移()0k k >个单位长度后与线段MN 仅有一个交点，则k 的取值范围是 ． 【答案】 2 2k =或611k <≤【分析】本题考查二次函数的性质及图象的平移，利用数形结合的数学思想作出图形，根据图形进行求解是解决问题的关键．（1）由题意可知抛物线的对称轴为直线()422ax a =−=⨯−，即可求解；（2）由题意可知，当1a =时，将抛物线向上平移()0k k >个单位长度后抛物线为()224222y x x x k=−+−=−−++，结合图形，找到临界点：当抛物线顶点恰好平移到线段MN 上，当抛物线经过点()5,4N 时，求出对应k 的值，结合图形即可求解．【详解】解：（1）∵242y ax ax =−+−，∴抛物线的对称轴为直线()422ax a =−=⨯−，故答案为：2； （2）当1a =时，()224222y x x x =−+−=−−+，将抛物线向上平移()0k k >个单位长度后抛物线为()222y x k=−−++，当抛物线顶点恰好平移到线段MN 上，此时，24k +=，可得2k =； 当抛物线经过点()0,4M 时，此时()20224k −−++=，可得6k =，此时()0,4M 关于对称轴2x =对称的点()4,4M '，在线段MN 上，不符合题意；当抛物线经过点()5,4N 时，此时()25224k −−++=，可得11k =，此时()5,4N 关于对称轴2x =对称的点()1,4N '−，不在线段MN 上，符合题意；结合图形可知，平移后的抛物线与线段MN 仅有一个交点时，2k =或611k <≤； 故答案为：2k =或611k <≤．1．（2024·安徽合肥·一模）我们定义：如果一个函数图象上存在纵坐标是横坐标6倍的点，则把该函数称为“行知函数”，该点称为“行知点”，例如：“行知函数”20y x =+，其“行知点”为()424，． （1）直接写出函数24y x=图象上的“行知点”是 ； （2）若二次函数()()21332y a x a x a =−+++的图象上只有一个“行知点”，则a 的值为 ． 【答案】 ()212，或()212−−， 3−【分析】本题考查二次函数的综合应用，理解新定义，将新定义与所学二次函数，一元二次方程的知识相结合，熟练掌握跟与系数关系是解题关键．（1）根据题目所给“行知点”的定义，列出方程求解即可；（2）根据题目所给“行知点”的定义，列出方程，根据只有一个“行知点”得出该方程只有一个实数根，再根据一元二次方程根的判别式，即可解答．【详解】解：（1）根据题意可得：246x x =，整理得：24x =， 解得：122,2x x ==−，经检验，122,2x x ==−是原分式方程的解；∴函数24y x =图象上的“行知点”是)212，或()212−−，； 故答案为：()212，或()212−−，．（2）∵二次函数()()21332y a x a x a =−+++的图象上只有一个“行知点”， ∴方程()()216332x a x a x a =−+++有两个相等的实数根，且30a −≠，整理得：()()213302a x a x a −+−+=，∴()()2134302a a a −−⨯⨯−=，解得：123,3x x ==−， 综上：a 的值为3−．故答案为：3−．2．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线234y x x =−−与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点D 在抛物线上，且与点C 关于抛物线对称轴对称，则点D 坐标为 ，连接OD ，DB ，点P 在抛物线第四象限内不与B ，C 两点重合．过点P 作y 轴的垂线与线段BC 交于点E ，以PE 为边作Rt PEF △，使90PEF ∠=︒，点F 在点E 的下方，且274EF =，点F 恰好落在射线BD 上，再将PEF !绕点E 旋转得到P EF ''△ （点P 的对应点为点P '，点F 的对应点为点F '），当P E '与OD 垂直时，点P '的横坐标为 ．【答案】()3,4− 6320或720 【分析】（1）由234y x x =−−得(0,4)C −，对称轴为直线32x =，由D 与C 关于对称轴对称，得(3,4)D −．（2）延长EP '交x 轴于R ，延长FE 交x 轴于N ，过D 作DM x ⊥轴，过P '作P K x '⊥轴．先求直线BC 解析式为4y x =−，再求直线BD 解析式为416y x =−．设(,4)E t t −，(,416)F t t −，由274EF =计算得7(4E ，9)4−，7(4F ，9)．证明OMD ENR △∽△，得3RN =，154ER =．由平行相似得EP NK ER NR '=，75NK =，再计算即可．【详解】解：（1）由234y x x =−−得(0,4)C −，(4,0)B ，∴对称轴为直线32x =， D 与C 关于对称轴对称，(3,4)D ∴−，故答案为：()3,4−．（2）延长EP '交x 轴于R ，延长FE 交x 轴于N ，过D 作DM x ⊥轴，过P '作P K x '⊥轴．如图：设直线BC 解析式为y mx n =+，∴404m n n +=⎧⎨=−⎩，1m ∴=，n =−4，4y x ∴=−，设直线BD 解析式为y ax b =+，∴4034a b a b +=⎧⎨+=−⎩，4a ∴=，16b =−，416y x ∴=−． E 在直线BC 上，∴设(,4)E t t −，(,416)F t t ∴−，27(4)(416)1234EF t t t ∴=−−−=−=， 74t ∴=． 7(4E ∴，9)4−，7(4F ，9)−．29344x x −−=−， 71(22x x ∴==−不在第四象限，舍去）．7(2P ∴，4)−．设直线OD 解析式为y hx =，(3,4)D −，43h ∴−=，43h ∴=−，43y x ∴=−． 94EN ∴=，4DM =，3OM =，EP OD '⊥，90MOD NRE ∴∠+∠=︒，90MOD MDO ∠+∠=︒，NRE MDO ∴∠=∠，90ENR DMO ∠=∠=︒，OMD ENR ∴△∽△， ∴EN RN ER OM DM OD ==， ∴94345RN ER==， 3RN ∴=，154ER =．P K EN '∥， ∴EP NK ER NR '=，75NK ∴=， 7(4N ，0)，77(45K ∴−，0)或77(45+，0)，7(20K ∴，0)或63(20，0)， P '∴的横坐标为：720或6320．故答案为：(3,4)−，720或6320．【点睛】本题考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合等等，掌握抛物线解析式的求法，以及相似的运用，是解题关键．。

几何综合-填空选择压轴题51、以正方形ABCD勺边AD作等边△ ADE则/ BEC勺度数是 __________2、如图.在厶ABC中, / ACB=60 , AC=1, D是边AB的中点，E是边BC上一点.若DE平分△ ABC的周长，则DE的长是 ____ .3、已知CD是△ ABC的边AB上的高，若CD・3,AD=1AB=2AC则BC的长为__4、如图，将面积为32V2的矩形ABCC沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P,连接AP交BC于点E.若BE=J，贝U AP的长为____ .p5、如图，△ ABC是等边三角形，△ ABD是等腰直角三角形，/ BAD=90 , AE L BD 于点E,连CD分别交AE AB于点F, G过点A作AH L CD交BD于点H.则下列结论：①/ ADC=15 :② AF=AG ③ AH=DF ④厶AF3A CBQ ⑤AF= (V3 - 1)EF.其中正确结论的个数为（）A. 5 B . 4 C . 3 D . 26 已知O 0的半径为10cm AB CD是O O的两条弦，AB// CD AB=16cm CD=12cm则弦AB和CD之间的距离是cm513 13 13 7 77、如图，将矩形ABCD 沿 EF 折叠，使点B 落在AD 边上的点G 处，点C 落在点H 处，已知/ DGH=30，连接BG 则/ AGB ________ .8、如图，？ABCD 勺对角线相交于点 0,且A 》CD 过点0作OM L AC,交AD 于点 M.如果△ CDM 勺周长为8,那么？ABCD 勺周长是 _____ .9、如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为 49，则 sin a - COS a =( ) A 13 B10、如图，P是厶ABC的内心，连接PA PB PC, △ PAB △ PBG △ PAC的面积分别为S、S、S.则Si ____ S2+S3.（填“v” 或“二”或“〉”）11、如图，△ ABC中, AB=AC AD L BC 于D点，DEL AB 于点E, BF 丄AC 于点F,DE=3cryi 则BF= ______ cm12、如图，已知半圆O与四边形ABCD勺边AD AB BC都相切，切点分别为DE、C,半径OC=1 则AE?BE=_.13、《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，冋该直角二角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是____________ 步.14、如图，以AB为直径的。

填空压轴题(函数篇)1.压轴题速练1一．填空题(共40小题)1(2023•上虞区模拟)已知点A 在反比例函数y =12x(x >0)的图象上，点B 在x 轴正半轴上，若△OAB 为等腰直角三角形，则AB 的长为23或26　．【答案】23或26．【分析】因为等腰三角形的腰不确定，所以分三种情况分别计算即可．【详解】解：当AO =AB 时，此时∠OAB =90°；∵A 在函数y =12x(x >0)上，∴S △OAB =12，∴12×OA ×AB =12，即12AB 2=12，∴AB =24=26；当AB =BO 时，此时∠ABO =90°；∵A 在函数y =12x (x >0)上，∴S △AOB =122=6，∴12×OB ×AB =6，即12AB 2=6，∴AB =23，当OA =OB 时，A 点落在y 轴上，故不合题意，综上所述，AB 的长为23或26．故答案为：23或26．2(2023•姑苏区校级一模)在平面直角坐标系xOy 中，对于点P (a ，b )，若点P '的坐标为ka +b ，a +b k(其中k 为常数且k ≠0)，则称点P '为点P 的“k -关联点”．已知点A 在函数y =3x (x >0)的图象上运动，且A 是点B 的“3-关联点”，若C (-1，0)，则BC 的最小值为　3105　．【答案】3105．【分析】由A 是点B 的“3-关联点”，可设点B 坐标，表示出点A 坐标，由点A 在函数y =3x(x >0)的图象上，就得到点B 在一个一次函数的图象上，可求出这条直线与坐标轴的交点M 、N ，过C 作这条直线的垂线，这点到垂足之间的线段CB ，此时CB 最小，由题中的数据，可以证明出△MON ∽△MBC ，进而得出MNMC =ONBC，进而求出BC ．【详解】解：过点B 作QB ⊥MN ，垂足为B ，设B (x ，y )，∵A 是点B 的“3-关联点”，∴A 3x +y ，x +y3 ，∵点A 在函数y =3x (x >0)的图象上，∴(3x +y )x +y3=3，即：3x +y =3或2x +y =-3(舍去x <0，y <0)，∴y =-3x +3，∴点B 在直线y =-3x +3上，直线y =-3x +3与x 轴、y 轴相交于点M 、N ，则M (1，0)、N (0，3)，∴MN =12+32=10，MC =MO +OC =1+1=2，当CB ⊥MN 时，线段BC 最短，∵∠CBM =∠NOM =90°，∠CMB =∠NMO ，∴△MON ∽△MBC ，∴MN MC =ON BC ，即102=3BC，解得：BC =3105，故答案为：3105．3(2023•海门市一模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (m ，n )，B (m +4，n -2)是函数y =kx(k >0，x >0)图象上的两点，过点B 作x 轴的垂线与射线OA 交于点C ．若BC =8，则k 的值为6．​【答案】6．【分析】作AD ⊥x 轴于点D ，设直线CB 与x 轴交于点E ，根据AD ∥CE ，得AD CE =ODOE，所以n =32m ，即可得到点A m ，32m ，B m +4，32m -2 ，代入y =kx (k >0，x >0)即可求出答案．【详解】解：如图，作AD ⊥x 轴于点D ，设直线CB 与x 轴交于点E ，∵点A (m ，n )，B (m +4，n -2)，BC =8，∴点D (m ，0)，E (m +4，0)，CE =n +6，∵AD ∥CE ，∴AD CE =ODOE ，∴n n +6=m m +4，∴n =32m ，∴点A m ，32m ，B m +4，32m -2 ，∵点A ，B 是函数y =kx(k >0，x >0)图象上的两点，∴k =m ⋅32m =(m +4)•32m -2 ，解得m =2，∴k =m ⋅32m =6，故答案为：6．【点睛】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行线分线段成比例定理，关键是根据AD ∥CE ，得AD CE =OD OE，求出n =32m ．4(2023•建昌县一模)如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 在反比例函数y =kx(k ≠0，x >0)的图象上，点C 在y 轴上，AB =AC ，AC ∥x 轴，BD ⊥AC 于点D ，若点A 的横坐标为5，BD =3CD ，则k 值为　154　．【答案】154．【分析】延长BD 交x 轴于点E ，过点B 作BG ⊥y 轴于点G ，过点A 作AF ⊥x 轴于点F ，设B (m ，n )，可得BD =3m ，AD =5-m ，根据勾股定理求出m =1，进一步得出AF =n -3，再根据n =5(n -3)求出n =154即可得出结论．【详解】解：延长BD 交x 轴于点E ，过点B 作BG ⊥y 轴于点G ，过点A 作AF ⊥x 轴于点F ，则四边形BGCD ，COED ，ADEF 均为矩形，∴BG =CD ，AF =DE ，CD =OE ，设B (m ，n )，则有BG =CD =OE =m ，BE =n ，∵AC =AB =5，∴AD =AC -CD =5-m ，∵BD =3CD =3m ，∴AF =DE =n -3m ，在Rt △ABD 中，BD 2+AD 2=AB 2，∴(3m )2+(5-m )2=52，解得m 1=1，m 2=0(不符合题意，舍去)，∴DE =n -3，AF =n -3，∴B (1，n )，A (5，n -3)，∵点A ，B 在反比例函数y =kx(k ≠0，k >0)的图象上，∴n =5(n -3)，解得n =154，∴k =1×154=154．故答案为：154．【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标一定满足该函数解析式是解答本题的关键．5(2023•碑林区校级模拟)如图，等腰直角△ABC的顶点A 坐标为(-3，0)，直角顶点B 坐标为(0，1)，反比例函数y =kx(x <0)的图象经过点C ，则k =-4．【答案】-4．【分析】先利用等角的余角相等证明∠CBD =∠BAO ，则可根据“AAS ”判断△AOB ≌△BDA ，所以OB =CD =1，OA =BD =3，则OD =OC +CD =4，从而得到点C 的坐标，代入y =kx(x <0)即可求得k 的值．【详解】解：作CD ⊥y 轴于D ，∵A (3，0)，B (0，1)，∴OA =3，OB =1，∵∠ABC =90°，∴∠ABO +∠CBD =90°，∵∠ABO +∠BAO =90°，∴∠CBD =∠BAO ，在△AOB 和△BDC 中，∠CBD =∠BAO ∠AOB =∠BDC =90°AB =BC ，∴△AOB ≌△BDA (AAS )，∴OB =CD =1，OA =BD =3，∴点C 的坐标(-1，4)，∵反比例函数y =kx(x <0)的图象经过点C ，∴k =-1×4=-4．故答案为：-4．6(2023•宁波模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，△OAB 为等腰直角三角形，且∠A =90°，点B 的坐标为(4，0)．反比例函数y =kx(k ≠0)的图象交AB 于点C ，交OA 于点D ．若C 为AB 的中点，则OD OA=32　．【答案】32．【分析】由等腰直角三角形的性质得到A (2，2)，直线OA 为y =x ，进一步求得点C (3，1)，利用待定系数法求得反比例函数的解析式，与直线OA 的解析式联立，解方程组求得点D 的坐标，从而求得ODOA=32．【详解】解：∵点B 的坐标为(4，0)，∴OB =4，∵△OAB 为等腰直角三角形，且∠A =90°，∴A (2，2)，∴直线OA 为y =x ，∵C 为AB 的中点，∴C (3，1)，∵反比例函数y =kx(k ≠0)的图象交AB 于点C ，交OA 于点D ，∴k =3×1=3，∴反比例函数为y =3x，由y =3x y =x，解得x =3y =3 或x =-3y =-3 ，∴D (3，3)，∴OD OA=32．故答案为：32．7(2023•龙港市二模)如图，Rt △ABO 放置在平面直角坐标系中，∠ABO =Rt ∠，A 的坐标为(-4，0)．将△ABO 绕点O 顺时针旋转得到△A ′B ′O ，使点B 落在边A ′O 的中点．若反比例函数y =kx(x >0)的图象经过点B '，则k 的值为　3　．【答案】3．【分析】连接BB′，交y轴于D，由题意可知OB=12OA，得出∠A′OB′=∠AOB=60°，证得△BOB′是等边三角形，然后证得BB′垂直于y轴，BD=B′D，从而求得BD=B′D=1，OD=3，得到B′(1，3)，代入y=k x(x>0)即可求得k的值．【详解】解：连接BB′，交y轴于D，由题意可知OB=12OA，∴∠OAB=30°，∴∠A′OB′=∠AOB=60°，∵BO=B′O，∴△BOB′是等边三角形，∵∠BOD=90°-60°=30°，∴OD平分∠BOB′，∴BB′垂直于y轴，BD=B′D，∴BB′∥x轴，∵A的坐标为(-4，0)，∴OA=4，∴OB=2，∴等边△BOB′的边长为2，∴BD=B′D=1，OD=3，∴B′(1，3)，∵反比例函数y=k x(x>0)的图象经过点B'，∴k=1×3=3，故答案为：3．8(2023•温州二模)如图，点A在x轴上，以OA为边作矩形OABC，反比例函数y=kx(k>0，x>0)的图象经过AB的中点E，交边BC于点D，连结OE．若OE=OC，CD=2，则k的值为　1633　．​【答案】1633．【分析】设OC =AB =m ，则AE =12OE =12m ，利用勾股定理求得OA =32m ，即可得到D (2，m )，E 32m ，12m，由k =xy 得到k =2m =32m •12m ，解得m =833，即可求得k =2m =1633．【详解】解：设OC =AB =m ，∵点E 是AB 的中点，∴AE =12AB∵OE =OC ，CD =2，∴AE =12OE =12m ，∴OA =OE 2-12OE 2=32OE =32m ，∴D (2，m )，E 32m ，12m ，∵反比例函数y =kx (k >0，x >0)的图象经过点D 、E ，∴k =2m =32m •12m ，解得m 1=833，m 2=0(舍去)，∴k =2m =1633，故答案为：1633．9(2023•石家庄二模)已知A ，B ，C 三点的坐标如图所示．​(1)若反比例函数y =kx的图象过点A ，B ，C 中的两点，则不在反比例函数图象上的是点C ；(2)当反比例函数的图象与线段AC (含端点)有且只有一个y =kx公共点时，k 的取值范围是3≤k <4或k =12424　．【答案】(1)C ；(2)3≤k <4或k =12124．【分析】(1)根据反比例函数系数k =xy 判断即可；(2)求得直线AC 的解析式，与反比例函数解析式联立，整理得3x 2-11x +2k =0，当Δ=0时，反比例函数的图象与直线AC 有且只有一个公共点，求得此时k 的值，根据k =4时，反比例函数经过A 、B 两点，k =3时，反比例函数经过C 点，根据图象即可得出3≤k <4时，反比例函数y =kx的图象与线段AC (含端点)有且只有一个公共点，从而得出3≤k <4或k =12124．【详解】解：(1)由坐标系可知，A (1，4)，B (2，2)，C (3，1)，∵1×4=2×2≠3×1，∴反比例函数y =kx的图象过点A 、B ，点C 不在反比例函数图象上，故答案为：C ；(2)设直线AC 为y =kx +b ，代入A 、C 的坐标得k +b =43k +b =1 ，解得k =-32b =112，∴直线AC 为y =-32x +112，令k x =-32x +112，整理得3x 2-11x +2k =0，当反比例函数的图象与直线AC 有且只有一个公共点时，Δ=0，∴(-11)2-4×3×2k =0，解得k =12124，由(1)可知k =4时，反比例函数图象过A (1，4)，B (2，2)两点，k =3时，反比例函数图象过C 点，∴3≤k <4时，反比例函数y =kx 的图象与线段AC (含端点)有且只有一个公共点，综上，当反比例函数y =kx的图象与线段AC (含端点)有且只有一个公共点时，k 的取值范围是3≤k<4或k =12124．故答案为：3≤k <4或k =12124．10(2023•郫都区二模)定义：若一个函数图象上存在横纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点(-1，-1)是函数y =2x +1的图象的“等值点”．若函数y =x 2-2(x ≥m )的图象记为W 1，将其沿直线x =m 翻折后的图象记为W 2．当W 1、W 2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，m 的取值范围为m <-98或-1<m <2．【答案】m <-98或-1<m <2．【分析】先求出函数y =x 2-2的图象上有两个“等值点”(-1，-1)或(2，2)，再利用翻折的性质分类讨论即可．【详解】解：令x =x 2-2，解得：x 1=-1，x2=2，∴函数y =x 2-2的图象上有两个“等值点”(-1，-1)或(2，2)，①当m <-1时，W 1，W 2两部分组成的图象上必有2个“等值点”(-1，-1)或(2，2)，W 1：y =x 2-2(x ≥m )，W 2：y =(x -2m )2-2(x <m )，令x =(x -2m )2-2，整理得：x2-(4m+1)x+4m2-2=0，∵W2的图象上不存在“等值点”，∴Δ<0，∴(4m+1)2-4(4m2-2)<0，∴m<-98，②当m=-1时，有3个“等值点”(-2，-2)、(-1，-1)、(2，2)，③当-1<m<2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”，④当m=2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有1个“等值点”(2，2)，⑤当m>2时，W1，W2两部分组成的图象上没有“等值点”，综上所述，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，m<-98或-1<m<2．故答案为：m<-98或-1<m<2．11(2023•双阳区一模)如图，抛物线y=-0.25x2+4与y轴交于点A，过AO的中点作BC∥x轴，交抛物线y=x2于B、C两点(点B在C的左边)，连接BO、CO，若将△BOC向上平移使得B、C两点恰好落在抛物线y=-0.25x2+4上，则点O平移后的坐标为(0，1.5)．【答案】(0，1.5)．【分析】先求得A的坐标，进而根据题意得到B、C两点的纵坐标为2，把y=2代入y=x2得x=±2，即可求得B(-2，2)，进一步求得x=-2时，函数y=-0.25x2+4的值，即可求得平移的距离，得到点O平移后的坐标．【详解】解：∵抛物线y=-0.25x2+4与y轴交于点A，∴A(0，4)，∴OA=4，∵过AO的中点作BC∥x轴，交抛物线y=x2于B、C两点(点B在C的左边)，∴B、C两点的纵坐标为2，把y=2代入y=x2得x=±2，∴B(-2，2)，把x=-2代入y=-0.25x2+4得y=-0.5+4=3.5，∴此时点B的坐标为(-2，3.5)，∴平移的距离为3.5-2=1.5，∴点O平移后的坐标为(0，1.5)，故答案为：(0，1.5)．12(2023•衡水二模)如图，点A a，-3 a(a<0)是反比例函数y=k x图象上的一点，点M(m，0)，将点A绕点M顺时针旋转90°得到点B，连接AM，BM．(1)k的值为-3；(2)当a=-3，m=0时，点B的坐标为(1，3)；(3)若a=-1，无论m取何值时，点B始终在某个函数图象上，这个函数图象所对应的表达式．​【答案】(1)-3；(2)(1，3)；(3)点B始终在函数y=x-2的图象上．【分析】(1)把A的坐标代入反比例函数反比例函数y=kx即可求得；(2)作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，根据旋转的性质得出△BDM≌△MCA，从而得出AC=MD，CM=BD，即可得出点B的坐标；(3)由(2)可知AC=MD，CM=BD，根据题意得出B(3+m，m+1)，从而得出点B始终在函数y= x-2的图象上．【详解】解：(1)∵点A a，-3 a(a<0)是反比例函数y=k x图象上的一点，∴k=a•-3a=-3．故答案为：-3；(2)作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，∵∠AMB=90°，∴∠AMC+∠BMD=90°，∵∠AMC+∠MAC=90°，∴∠BMD=∠MAC，∵∠BDM=∠MCA=90°，BM=AM，∴△BDM≌△MCA(AAS)，∴AC=MD，CM=BD，∵a=-3，m=0，∴A(-3，1)，M(0，0)，∴AC=1，MC=3，∴MD=1，BD=3，∴B(1，3)；故答案为：(1，3)；(3)若a=-1，则A(-1，3)，由(2)可知AC=MD，CM=BD，∵M(m，0)，∴B(3+m，m+1)，∴点B始终在函数y=x-2的图象上．13(2023•市中区二模)如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为(1，0)、(2，0)、(2，1)、(1，1)、(1，2)、(2，2)⋯根据这个规律，第2023个点的坐标(45，2)．【答案】(45，2)．【分析】观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，横坐标是奇数时，最后以横坐标为该数，纵坐标以0结束；据此求解即可．【详解】解：观察图形可知，到每一个横坐标结束，经过整数点的个数等于最后横坐标的平方，∴横坐标以n结束的有n2个点，∵452=2025，∴第2025个点的坐标是(45，0)，∴2023个点的纵坐标往上数2个单位为2，∴2023个点的坐标是(45，2)；故答案为：(45，2)．【点睛】本题考查了点坐标规律探究，观察出点的个数与横坐标存在平方关系是解题的关键．14(2023•沈阳二模)某商厦将进货单价为70元的某种商品，按销售单价100元出售时，每天能卖出20个，通过市场调查发现，这种商品的销售单价每降价1元，日销量就增加1个，为了获取最大利润，该种商品的销售单价应降5元．【答案】5．【分析】设降价x元时，则日销售可以获得利润为W，由销售问题的数量关系表示出W与x之间的关系，根据关系式的性质就可以求出结论．【详解】解：设该种商品的销售单价应降价x元时，日销售可以获得利润为W元，由题意，得W=(100-70-x)(20+x)=-x2+10x+600=-(x-5)2+625，∵a=-1<0，∴当x=5时，W=625．最大故答案为：5．【点睛】本题考查了销售问题的数量关系的运用，利润=(售价-进价)×销量的运用，二次函数的顶点式的运用，解答时求出二次函数的解析式是解题的关键15(2023•贵港二模)如图，抛物线y1截得坐标轴上的线段长AB=OD=6，D为y1的顶点，抛物线y2由y 1平移得到，y2截得x轴上的线段长BC=9．若过原点的直线被抛物线y1，y2所截得的线段长相等，则这条直线的解析式为y =x ．【答案】y =x ．【分析】根据已知条件，待定系数求得抛物线y 1，y 2的解析式，设过原点的直线解析式为y =kx ，过原点的直线被抛物线y 1，y 2所截得的线段长相等，即可求解．【详解】解：∵抛物线y 1截得坐标轴上的线段长AB =OD =6，D 为y 1的顶点，∴A (-3，0)，B (3，0)，D (0，6)，设y 1的解析式为y =ax 2+6，代入(3，0)，得9a +6=0，解得：a =-23，∴y 1的解析式为y 1=-23x 2+6，∵抛物线y 2由y 1平移得到，y 2截得x 轴上的线段长BC =9，∴C (12，0)，则y 2的解析式为y =-23(x -3)(x -12)，即y 2=-23x 2+10x -24，设过原点的直线解析式为y =kx ，与y 1，y 2分别交于点F ，G ，H ，K ，如图所示，联立y =kx y 1=-23x 2+6，即-23x 2-kx +6=0，∴x 1+x 2=-3k2，x 1•x 2=-9，∴F 、G 两点横坐标之差为|x 1-x 2|=(x 1+x 2)2-4x 1⋅x 2=94k 2+36，联立y =kx y 2=-23x 2+10x -24，即-23x 2+(10-k )x -24=0，∴x 1+x 2=-3k -302，x 1⋅x 2=36，∴H 、K 两点横坐标之差为|x 1-x 2|=(x 1+x 2)2-4x 1⋅x 2=-3k -302 2-144，∵FG =HK ，∴94k 2+36=-3k -3022-144，解得k =1，故直线解析式为y =x ．故答案为：y =x ．16(2023•江都区一模)如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 坐标分别为(3，4)，(-1，1)，点C 在线段AB 上，且AC BC=13，则点C 的坐标为　2，134 ．【答案】2，134．【分析】分别过点A ，B ，C 作x 轴的垂线垂足分别为E ，D ，F ，过点B 作BG ⊥AE 于点G ，交CF 于点H ，则CF ∥AE ，BH ⊥CF ，BD =HF =EG ，设点C 的坐标为(m ，n )，则CF =n ，OF =m ，可得CH=n -1，BH =m +1，根据△BHC ∽△BGA ，可得m +14=n -13=34，即可求解．【详解】解：如图，分别过点A ，B ，C 作x 轴的垂线垂足分别为E ，D ，F ，过点B 作BG ⊥AE 于点G ，交CF 于点H ，则CF ∥AE ，BH ⊥CF ，BD =HF =EG ，∵点A ，B 坐标分别为(3，4)，(-1，1)，∴BD =HF =EG =1，AE =4，BG =4，∴AG =3，设点C 的坐标为(m ，n )，则CF =n ，OF =m ，∴CH =n -1，BH =m +1，∵AC BC=13，∴BC AB=34，∵CF ∥AE ，∴△BHC ∽△BGA ，∴BH BG =CH AG =BC AB ，∴m +14=n -13=34，解得：m =2，n =134，∴点C 的坐标为2，134 ．故答案为：2，134 ．17(2023•龙华区二模)如图，在平面直角坐标系中，OA =3，将OA 沿y 轴向上平移3个单位至CB ，连接AB ，若反比例函数y =kx(x >0)的图象恰好过点A 与BC 的中点D ，则k =25　．【答案】25．【分析】设A (m ，n )，则由题意B (m ，n +3)，进而求得D m 2，n +62，根据反比例函数系数k =xy ，得到k =mn =m 2•n +62，解得n =2，利用勾股定理求得m 的值，得到A (5，2)，代入解析式即可求得k 的值．【详解】解：设A (m ，n )，则B (m ，n +3)，∵点D 是BC 的中点，C (0，3)，∴D m 2，n +62，∵反比例函数y =kx (x >0)的图象恰好过点A 与BC 的中点D ，∴k =mn =m 2•n +62，解得n =2，∴A (m ，2)，∵OA =3，∴m 2+22=32，∴m =5(负数舍去)，∴A (5，2)，∴k =5×2=25，故答案为：25．18(2023•乐至县模拟)如图，在平面直角坐标系中，点A 、A 1、A 2、A 3⋯A n 在x 轴上，B 1、B 2、B 3⋯B n 在直线y =-33x +33上，若A (1，0)，且△A 1B 1O 、△A 2B 2A 1⋯△A n B n A n -1都是等边三角形，则点B n 的横坐标为1-3×2n -2(n 为正整数)．【答案】1-3×2n -2(n 为正整数)．【分析】过点B n 作B n ∁n ⊥x 轴于点∁n ，利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出该直线与y 轴的交点，解直角三角形，可得出∠OAB 1=30°，利用等边三角形的性质及三角形的外角性质，可得出OA 1的长度，结合B 1C 1=32OA 1可得出B 1C 1的长，同理，可求出B n ∁n =3•2n -2(n ≥2，且n 为整数)，再结合一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点B n 的横坐标．【详解】解：过点B n 作B n ∁n ⊥x 轴于点∁n ，如图所示．∵直线的解析式为y =-33x +33，∴该直线与y 轴交于点0，33，∴tan ∠OAB 1=331=33，∴∠OAB 1=30°．∵△A 1B 1O 是等边三角形，∴∠A 1OB 1=60°，∴∠AB 1O =30°=∠OAB 1，∴OA 1=OB 1=OA =1，∴B 1C 1=32OA 1=32；同理：A 1A 2=AA 1=2，A 2A 3=AA 2=4，A 3A 4=AA 3=8，⋯，∴A n -1A n =AA n -1=2n -1(n ≥2，且n 为整数)，∴B n ∁n =32A n -1A n =3•2n -2(n ≥2，且n 为整数)，∴点B n 的纵坐标为3•2n -2(n 为正整数)．当y =3•2n -2时，3•2n -2=-33x +33，解得：x =1-3×2n -2，∴点B n 的横坐标为1-3×2n -2(n 为正整数)．故答案为：1-3×2n -2(n 为正整数)．19(2023•玄武区一模)已知函数y =2x 2-(m +2)x +m (m 为常数)，当-2≤x ≤2时，y 的最小值记为a ．a 的值随m 的值变化而变化，当m =2时，a 取得最大值．【答案】2．【分析】分类讨论抛物线对称轴的位置确定出m 的范围即可．【详解】解：由二次函数y =2x 2-(m +2)x +m (m 为常数)，得到对称轴为直线x =m +24，抛物线开口向上，当m +24≥2，即m ≥6时，由题意得：当x =2时，a =8-2m -4+m =4-m ，a 随m 增大而减小，a 的最大值为-2；当-2<m +24<2，-10<m <6时，由题意得：当x =m +24时，a =2×m +24 2-(m +2)•m +24 +m =-18(m -2)2+32，则m =2时，a 取得最大值32；当m +24≤-2，即m ≤-10时，由题意得：当x =-2时，a =8+2m +4+m =3m +12，a 随m 增大而增大，a 的最大值为-18；综上，当m =2时，a 取得最大值．故答案为：2．20(2023•萧山区一模)已知点P (x 1，y 1)Q (x 2，y 2)在反比例函数y =6x图象上．(1)若x 1x 2=2，则y 1y 2=　12　．(2)若x 1=x 2+2，y 1=3y 2，则当自变量x >x 1+x 2时，函数y 的取值范围是y <-32　．【答案】(1)12；(2)y <-32．【分析】(1)把P 、Q 代入解析式得到y 1=6x 1，y 2=6x 2，进一步得到y 1y 2=6x 16x 2=x 2x 1=12；(2)由x 1=x 2+2，y 1=3y 2得到x 1=-1，x 2=-3，即可得到x 1+x 2=-4，求得x =-4时的函数值，然后根据反比例函数的性质即可得到函数y 的取值范围．【详解】解：(1)∵点P (x 1，y 1)Q (x 2，y 2)在反比例函数y =6x图象上，∴y 1=6x 1，y 2=6x 2，∵x 1x 2=2，∴y 1y 2=6x 16x 2=x 2x 1=12，故答案为：12；(2)∵点P (x 1，y 1)Q (x 2，y 2)在反比例函数y =6x图象上，∴y 1=6x 1，y 2=6x 2，∵y 1=3y 2，∴6x 1=3×6x 2，∴x 2=3x 1，∵x 1=x 2+2，∴x 1=3x 1+2，∴x 1=-1，x 2=-3，∴x 1+x 2=-4，当x =-4时，y =6-4=-32，∵反比例函数y =6x中k >0，∴x <0时，y 随x 的增大而减小，∴当自变量x >x 1+x 2时，函数y 的取值范围是y <-32，故答案为：y <-32．21(2023•灞桥区校级模拟)如图，点A ，B 分别在y 轴正半轴、x 轴正半轴上，以AB 为边构造正方形ABCD，点C，D恰好都落在反比例函数y=k x(k≠0)的图象上，点E在BC延长线上，CE=BC，EF⊥BE，交x轴于点F，边EF交反比例函数y=k x(k≠0)的图象于点P，记△BEF的面积为S，若S=k2+12，则k的值为8．【答案】8．【分析】作DM⊥y轴于M，CN⊥x轴于N．设OA=b，OB=a．首先利用全等三角形的性质求出D、C两点坐标，再证明a=b，再构建方程求出k的值．【详解】解：如图作DM⊥y轴于M，CN⊥x轴于N．设OA=b，OB=a．∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB=90°，AD=AB，∴∠DAM+∠BAO=90°，∵∠BAO+∠ABO=90°，∴∠DAM=∠ABO，∵∠AOB=∠DAM=90°，∴△AOB≌△BNC(AAS)，同理△BNC≌△DMA，∴DM=OA=BN=b，AM=OB=CN=a，∴D(b，a+b)，C(a+b，a)，∵点C，D恰好都落在反比例函数y=k x(k≠0)的图象上，∴b(a+b)=a(a+b)，∵a+b≠0，∴a=b，∴OA=OB，∴∠ABO=45°，∠EBF=45°，∵BE⊥EF，∴△BEF是等腰直角三角形，∵BC=EC，∴可得E(3a，2a)，F(5a，0)，∴12×4a×2a=k2+12，∴4a2=k2+12，∵D(a，2a)，∴2a2=k，∴2k=k2+12，∴k =8．故答案为：8．【点睛】本题考查反比例函数图象的点的特征，正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．22(2023•东莞市校级一模)如图，在平面直角坐标系中，点A 在y 轴上，点B 在x 轴上．以AB 为边长作正方形ABCD ，S 正方形ABCD =50，点C 在反比例函数y =k /x (k ≠0，x >0)的图象上，将正方形沿x 轴的负半轴方向平移6个单位长度后，点D 刚好落在该函数图象上，则k 的值是8．【答案】8．【分析】作DF ⊥y 轴于点F ，CE ⊥x 轴于点E ，通过证得△OAB ≌△EBC ≌△FDA 可得出BE =OA =DF ，CE =OB =AF ，设OA =a ，OB =b ，即可得出C (a +b ，b )，D (a ，a +b )，进而把点C 和平移后的D 点坐标代入反比例函数的解析式求出k 的值即可．【详解】解：作DF ⊥y 轴于点F ，CE ⊥x 轴于点E ，正方形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC =90°，∴∠ABO +∠CBE =90°，Rt △ABO 中，∠BAO +∠ABO =90°，∴∠CBE =∠BAO ，在△OAB 与△EBC 中，∠CBE =∠BAO ∠BEC =∠AOB =90°BC =AB ，∴△OAB ≌△EBC (AAS )，∴BE =OA ，CE =OB ，同理△OAB ≌△FDA ，∴DF =OA ，AF =OB ，设OA =a ，OB =b ，则C (a +b ，b )，D (a ，a +b )，∵点C 在反比例函数y =k /x (k ≠0，x >0)的图象上，将正方形沿x 轴的负半轴方向平移6个单位长度后，点D 刚好落在该函数图象上，∴k =b (a +b )=(a -6)•(a +b )，∴a -6=b ，∵S 正方形ABCD =50，∴AB 2=50，∵OA 2+OB 2=AB 2，∴a 2+b 2=50，即a 2+(a -6)2=50，解得a =7(负数舍去)，∴b =a -6=1，∴k =b (a +b )=8．故答案为：8．23(2023•长春一模)如图，正方形ABCD 、CEFG 的顶点D 、F 都在抛物线y =-12x 2上，点B 、C 、E 均在y 轴上．若点O 是BC 边的中点，则正方形CEFG 的边长为1+2　．【答案】1+2．【分析】设OB =OC =12BC =a ，且a >0，即可得D (-2a ，-a )，根据D (-2a ，-a )在抛物线y =-12x 2上，可得a =12，设正方形CEFG 的边长为b ，且b >0，同理可得F b ，-12-b ，代入y =-12x 2中，问题得解．【详解】解：∵点O 是BC 边的中点，∴设OB =OC =12BC =a ，且a >0，在正方形ABCD 中，DC =BC =2a ，DC ⊥BC ，∴D (-2a ，-a )，∵D (-2a ，-a )在抛物线y =-12x 2上，∴-a =-12(-2a )2，解得：a =12，设正方形CEFG 的边长为b ，且b >0，∴CE =EF =b ，∴OE =OC +CE =12+b ，∴结合正方形的性质，可知F b ，-12-b ，∵F b ，-12-b 在抛物线y =-12x 2上，∴-12-b =-12b 2，解得：b =1+2(负值舍去)，故答案为：1+2．24(2023•成都模拟)如图，在△AOB 中，AO =AB ，射线AB 分别交y 轴于点D ，交双曲线y =kx(k >0，x >0)于点B ，C ，连接OB ，OC ，当OB 平分∠DOC 时，AO 与AC 满足AO AC=23，若△OBD 的面积为4，则k =　407　．【答案】407．【分析】通过证得△AOD ∽△ACO ，得到AD AB=23，即可求得△AOB 的面积为12，进一步求得△BOC 的面积为6，根据S △BOC =S 梯形BMNC 得出k 的值即可．【详解】解：作BM ⊥x 轴于M ，CN ⊥x 轴于N ，∵AO =AB ，∴∠AOB =∠ABO ，∴∠AOD +∠BOD =∠OCB +∠BOC ，∵∠BOD =∠BOC ，∴∠AOD =∠ACO ，∵∠OAD =∠CAO ，∴△AOD ∽△ACO ，∴AD OA =AO AC=23，∴AD AB=23，∵△OBD 的面积为4，∴△AOB 的面积为12，∵AO AC=23，∴AB AC=23，∴△BOC 的面积为6，∴COD 的面积为10，∴x B x C =410=25，∴设B 2x ，k 2x ，则C 5x ，k5x，∵S △BOC =S △BOM +S 梯形BMNC -S △CON ，S △BOM =S △CON =12|k |，∴S △BOC =S 梯形BMNC =12k 2x +k5x⋅(5x -2x )=6，解得k =407，故答案为：407．25(2023•北仑区二模)如图，将矩形OABC 的顶点O 与原点重合，边AO 、CO 分别与x 、y 轴重合．将矩形沿DE 折叠，使得点O 落在边AB 上的点F 处，反比例函数y =kx(k >0)上恰好经过E 、F 两点，若B 点的坐标为(2，1)，则k 的值为10-221　．【答案】10-221．【分析】连结OF ，过E 作EH ⊥OA 于H ，由B 点坐标为(2，1)，即可得出E 点的坐标为(k ，1)，F 点的坐标为2，k 2 ，证得△EHD ∽△OAF ，得到EH OA =HD AF，求得HD =k4，进而求得OD =HD +OH =k 4+k =5k 4，AD =2-5k 4，由折叠可得DF =OD =5k 4，利用勾股定理得到关于k 的方程，解方程即可求得k 的值．【详解】解：连结OF ，过E 作EH ⊥OA 于H ．∵B 点坐标为(2，1)，∴E 点的纵坐标为1，F 点的横坐标为2，∵反比例函数y =kx(k >0)上恰好经过E 、F 两点，∴E 点的坐标为(k ，1)，F 点的坐标为2，k2，∵∠EDH +∠AOF =∠EDH +∠HED =90°，∴∠AOF =∠HED ，又∠EHD =∠OAF =90°，∴△EHD ∽△OAF ，∴EH OA =HD AF，即12=HD k 2，∴HD =k4，∴OD =HD +OH =k 4+k =5k 4，AD =2-5k4，由折叠可得DF =OD =5k4，在Rt △DAF 中，由勾股定理可得2-5k 4 2+k 2 2=5k 44，解得k 1=10-221，k 2=10+221(舍)．∴k 的值为10-221．故答案为：10-221．26(2023•合肥二模)已知函数y =x 2+mx (m 为常数)的图形经过点(-5，5)．(1)m =4．(2)当-5≤x ≤n 时，y 的最大值与最小值之和为2，则n 的值n =-3或n =10-2　．【答案】(1)4；(2)n =-3或n =10-2．【分析】(1)把已知坐标代入解析式计算即可．(2)根据抛物线额性质，分类计算．【详解】解：(1)∵函数y=x2+mx(m为常数)的图形经过点(-5，5)，∴5=(-5)2-5m，解得m=4，故答案为：4；(2)由(1)得m=4，∴函数的解析式为y=x2+4x，∴y=x2+4x=(x+2)2-4，故抛物线的对称轴为直线x=-2，二次函数的最小值为-4，∵(-5，5)的对称点为(1，5)，当-5≤x≤n时，y的最大值与最小值之和为2，当-5≤n<-2时，最大值为5，x=n时，取得最小值，且为y=n2+4n，根据题意，得n2+4n+5=2，解得n=-3，n=-1(舍去)，故n=-3；当-2≤n≤1时，最大值为5，x=-2时，取得最小值，且为-4，根据题意，得5-4=1，不符合题意；当n>1时，x=-2时，取得最小值，且为-4，x=n时，取得最大值，且为y=n2+4n，根据题意，得n2+4n-4=2，解得n=10-2，n=-10-2(舍去)，故n=10-2；故答案为n=-3或n=10-2．27(2023•仓山区校级模拟)下表记录了二次函数y=ax2+bx+2(a≠0)中两个变量x与y的6组对应值，x⋯-5x1x21x33⋯y⋯m020n m⋯其中-5<x1<x2<1<x3<3．根据表中信息，当-52<x<0时，直线y=k与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围为2<k<83　．【答案】2<k<8 3．【分析】由抛物线经过(-5，m)，(3，m)可得抛物线对称轴，从而可得a与b的关系，再将(1，0)代入解析式可得二次函数解析式，将二次函数解析式化为顶点式求解．【详解】解：∵抛物线经过(-5，m)，(3，m)，∴抛物线对称轴为直线x=-b2a=-1，∴b=2a，y=ax2+2ax+2，将(1，0)代入y=ax2+2ax+2得0=a+2a+2，解得a=-2 3，∴y =-23x 2-43x +2=-23(x +1)2+83，∴x =-1时，y =83为函数最大值，将x =-52代入y =-23x 2-43x +2得y =76，将x =0代入代入y =-23x 2-43x +2得y =2，∴2<k <83满足题意．故答案为：2<k <83．28(2023•西安二模)如图，在平面直角坐标系中，直线y =-x +1与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数y =kx(k <0)的图象在第二象限交于点C ，若AB =BC ，则k 的值为-2．【答案】-2．【分析】过点C 作CH ⊥x 轴于点H ．求出点C 的坐标，可得结论．【详解】解：过点C 作CH ⊥x 轴于点H ．∵直线y =-x +1与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，∴A (1，0)，B (0，1)，∴OA =OB =1，∵OB ∥CH ，∴△AOB ∽△AHC ，∴OA AH =AB AC ，∴AO OH =AB CB=1，∴OA =OH =1，∴CH =2OB =2，∴C (-1，2)，∵点C 在y =kx的图象上，∴k =-2，故答案为：-2．29(2023•龙泉驿区模拟)在某函数的给定自变量取值范围内，该函数的最大值与最小值的差叫做该函数在此范围内的界值．当t ≤x ≤t +1时，一次函数y =kx +1(k >0)的界值大于3，则k 的取值范围是k >3；当t ≤x ≤t +2时，二次函数y =x 2+2tx -3的界值为2，则t =-1+22或-22　．【答案】k >3；-1+22或-22．【分析】y =kx +1：根据k >0时，y 随x 的增大而增大，根据最大值-最小值>3列不等式可解答；y=x2+2tx-3：先求得二次函数的对称轴，得到函数的增减性，分情况讨论，根据二次函数y=x2 +2tx-3的界值为2列方程可解答．【详解】解：当t≤x≤t+1时，一次函数y=kx+1(k>0)的界值大于3，∴y最大值-y最小值>3，∵k>0，y随x的增大而增大，∴x=t时，y最小值=tk+1，x=t+1时，y最大值=k(t+1)+1，∴k(t+1)+1-(tk+1)>3，∴k>3；y=x2+2tx-3=(x+t)2-3-t2，当x=-t时，y最小值=-3-t2，当x=t时，y=3t2-3，当x=t+2时，y=3t2+8t+1，①当-t≤t≤t+2时，t≥0，此时，当x=t时，y取最小值，当x=a+2时，y取最大值，∴y最大值=3t2+8t+1，y最小值=3t2-3，∴3t2+8t+1-(3t2-3)=2，解得t=-14(舍去)；②当t≤-t≤t+2时，-1≤t≤0，当-12≤t≤0时，y最大值=3t2+8t+1，y最小值=-3-t2，∴3t2+8t+1-(-t2-3)=2，解得t=-1+22或t=-1-22(舍)；当-1≤t≤-12时，y最大值=3t2-3，y最小值=-3-t2，3t2-3-(-t2-3)=2，解得t=-22或t=22(舍)；③当t≤t+2≤-t时，t≤-1，y最小值=3t2+8t+1，y最大值=3t2-3，∴3t2-3-(3t2+8t+1)=2，解得t=-34(舍去)；综上所述，t的值为-1+22或-22．故答案为：k>3；-1+22或-22．30(2023•姑苏区一模)如图①，四边形ABCD中，AB∥DC，AB>AD．动点P，Q均以1cm/s的速度同时从点A出发，其中点P沿折线AD-DC-CB运动到点B停止，点Q沿AB运动到点B停止，设运动时间为t(s)，△APQ的面积为y(cm2)，则y与t的函数图象如图②所示，则AB=15cm．【答案】15．【分析】结合图象可知当t =13时，点P 到达点D ，此时y =90，AQ =13cm ，从而可求出此时△APQ 的高DE =12cm ，当t =18时，点P 到达点C ，点Q 已经停止，此时y =90，AQ =AB ．由AB ∥DC ，可知此时△APQ 的高也为12cm ，再根据三角形的面积公式即可求出AB 的长．【详解】解：过点D 作DE ⊥AB 于E ，如图所示：当t =13时，P 到达D 点，即AD =AQ =13cm ，此时y =78，∴12AQ •DE =12×13•DE =78，∴DE =12，当t =18时，点P 到达点C ，此时点Q 已停止运动，此时y =90cm 2，AQ =AB ，∵AB ∥DC ，∴此时△APQ 的高也为12cm ，∴S △APQ =12AB •DE =12AB ×12=90，∴AB =15(cm )，故答案为：15．【点睛】本题考查动点问题的函数图象，平行线间的距离，三角形的面积公式等知识．利用数形结合的思想是解题关键．31(2023•宁波模拟)如图，点B 是反比例函数y =8x(x >0)图象上一点，过点B 分别向坐标轴作垂线，垂足为A ，C ．反比例函数y =kx(x >0)的图象经过OB 的中点M ，与AB ，BC 分别相交于点D ，E ．连接DE 并延长交x 轴于点F ，点G 与点O 关于点C 对称，连接BF ，BG ．则k =2；△BDF 的面积=3．【答案】2，3．【分析】连接OD ，表示出点M 的坐标，即可求得k 的值，根据△BDF 的面积=△OBD 的面积=S △BOA -S △OAD ，即可求得．【详解】解：连接OD ，设点B (m ，n )，则点M 12m ，12n，∵点B 是反比例函数y =8x(x >0)图象上一点，∴mn =8，∵反比例函数y =kx(x >0)的图象经过OB 的中点M ，∴k =12m ⋅12n =14mn =14×8=2，∴△BDF 的面积=△OBD 的面积=S △BOA -S △OAD =12×8-12×2=3．故答案为：2，3．32(2023•青羊区模拟)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y =3x 与反比例函数y =kx(k ≠0)的图象交于A ，B 两点，C 是反比例函数位于第一象限内的图象上的一点，作射线CA 交y 轴于点D ，连接BC ，BD ，若CD BC=45，△BCD 的面积为30，则k =6．【答案】6．【分析】作CF ⊥y 于点I ，BF ⊥x ，交CI 的延长线于点F ，作AE ⊥CF 于点E ，设BC 交y 轴于点M ，设A (m ，3m )，则B (-m ，-3m )，k =3m 2，设点C 的横坐标为a ，则C a ，3m 2a，可证明tan ∠CAE =tan ∠CBF =a 3m ，则∠CAE =∠CBF ，即可推导出∠CDM =∠CMD ，则CD =CM ，所以CI CF =CMBC=CD BC=45，则CI =4FI ，所以a =4m ，C 4m ，3m 4 ，由CI MI =tan ∠CMD =tan ∠CBF =43，得DI=MI =3m ，则DM =6m ，于是得12×6m ×m +12×6m ×4m =30，则m 2=2，所以k =3m 2=6．【详解】解：作CF ⊥y 于点I ，BF ⊥x ，交CI 的延长线于点F ，作AE ⊥CF 于点E ，设BC 交y 轴于点M ，∵直线y =3x 经过原点，且与双曲线y =kx交于A ，B 两点，∴点A 与点B 关于原点对称，设A (m ，3m )，则B (-m ，-3m )，k =3m 2，设点C 的横坐标为a ，则C a ，3m 2a ，F -m ，3m 2a，∵tan ∠CAE =CE AE =a -m 3m -3m 2a =a 3m ，tan ∠CBF =CF BF =a +m 3m 2a+3m=a3m ，∴tan ∠CAE =tan ∠CBF ，∴∠CAE =∠CBF ，∵AE ∥BF ∥DM ，∠CAE =∠CDM ，∠CBF =∠CMD ，∴∠CDM =∠CMD ，∴CD =CM ，∵CI CF =CM BC =CD BC=45，∴CI =4FI ，∴a =4m ，∴C 4m ，3m4 ，∵CI MI=tan ∠CMD =tan ∠CBF =a 3m =4m 3m =43，∴DI =MI =34CI =34×4m =3m ，∴DM =DI +MI =6m ，∵12DM •FI +12DM •CI =S △BCD =30，∴12×6m ×m +12×6m ×4m =30，∴m 2=2，∴k =3m 2=3×2=6，故答案为：6．33(2023•锦江区模拟)已知关于x 的多项式ax 2+bx +c (a ≠0)，二次项系数、一次项系数和常数项分别a ，b ，c ，且满足a 2+2ac +c 2<b 2.若当x =t +2和x =-t +2(t 为任意实数)时ax 2+bx +c 的值相同；当x =-2时，ax 2+bx +c 的值为2，则二次项系数a 的取值范围是　215<x <27　．【答案】215<a <27．【分析】先根据二次函数的对称性可得其对称轴是：-b 2a =t +2-t +22=2，得b 与a 的关系：b =-4a ，将(-2，2)代入y =ax 2+bx +c 中可得：c =2-12a ，代入a 2+2ac +c 2<b 2中可解答．【详解】解：∵当x =t +2和x =-t +2(t 为任意实数)时ax 2+bx +c 的值相同，∴-b 2a =t +2-t +22=2，∴b =-4a ，∵当x =-2时，ax 2+bx +c 的值为2，∴函数y =ax 2+bx +c 经过点(-2，2)，∴4a -2b +c =2，∴4a +8a +c =2，∴c =2-12a ，∵a 2+2ac +c 2<b 2，∴(a +c )2<b 2，∴(a +c )2-b 2<0，∴(a +c +b )(a +c -b )<0，∵b =-4a ，c =2-12a ，∴(a +2-12a -4a )(a +2-12a +4a )<0，∴(2-15a )(2-7a )<0，∴215<a <27．故答案为：215<a <27．34(2023•江北区一模)如图，菱形ABCO 的顶点A 与对角线交点D 都在反比例函数y =kx(k >0)的图象上，对角线AC 交y 轴于点E ，CE =2DE ，且△ADB 的面积为15，则k =8；延长BA 交x 轴于点F ，则点F 的坐标为　607，0 ．【答案】8，607，0．【分析】通过构造延长线得到直角三角形EOM ，再用射影定理求出ED 、DA 、DO 之间的数量关系，在通过△ODA 面积为15求出ED 、DA 、DO 实际长度，再通过求D 点到y 轴的距离求出D 点坐标，也解出k ，进而得出B 点坐标．再过点A 作AH ⊥ND 于H ，然后通过相似求出A 点坐标，进而得出AB 直线解析式，最后得出F 点坐标．【详解】解：延长DA 交x 轴于点M ，设DE =a ，则CE =2a ，CD =AD =3a ，∵ED =a ，∴AM =a ，∴Rt △MOE 中，OD ⊥EM ，OD 2=ED ⋅DM ，∴OD =2a ，∵S △AOD =12OD ⋅DA =15，∴2a ⋅3a 2=15，∴a =5过D 作DN ⊥y 轴，则tan ∠DOE =12，即ON =2DN ，∵OD =25，∴D (2，4)，即k =8．∵D (2，4)，∴B (4，8)，过点A 作AH ⊥ND 于H ，∵∠OND =∠H =90°，∠EDN +∠NDO =90°，∠NDO +∠HDA =90°，∴∠NDO =∠HDA ，∴△DHA ∽△OND ，∵DA =35，∴DH =6，AH =3，。

根据考试大纲，填空压轴题仍将以探究规律类型题为主要考察方向。

题型一：数字规律【例1】一组按一定规律排列的式子：－，，－，，…，（0a ≠）,则第n 个式子是 （n为正整数）．【答案】【例2】按一定规律排列的一列数依次为：,916,79,54,31 ……，按此规律排列下去，这列数中的第5个数是 ，第n 个数是 ．【答案】1125,122+n n【例3】一组按规律排列的整数5，7，11，19，…，第6个整数为____ _，根据上述规律，第n 个整数为____ （n 为正整数）.【答案】67；32+n （n 为正整数）【例4】将除去零以外的自然数按以下规律排列，根据第一列的奇数行的数的规律，写出第一列第9行的数为 ，再结合第一行的偶数列的数的规律，判断2011所在的位置是第 行第 列.【答案】81;第45行第15列2a 52a 83a 114a 31(1)n na n --例题精讲填空题压轴题【例5】某些植物发芽有这样一种规律：当年所发新芽第二年不发芽，老芽在以后每年都发芽.发芽规律见下表（设第一年前的新芽数为a ）第n 年 1 2 3 4 5 … 老芽率 a a 2a 3a 5a … 新芽率 0 a a 2a 3a … 总芽率a2 a3a5a8a…照这样下去，第8年老芽数与总芽数的比值为 .【解析】由规律可以看出，从第3年开始，老芽率、新芽率，总芽率都分别是前两年之和，因此，第8年的老芽为21，总芽为34，因此答案为2134． 【解析】2134题型二：多边形上存在的点数【例6】如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需要黑色棋子的个数是 ．【解析】此类型题首先要找到边数的特点，然后找每条边上点的数目，第n 个图形是2n +边形，而且每个边上有n 个点。

【答案】(2)n n +或22n n +或2(1)1n +-【例7】用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则摆第n 个“口”字需用棋子___________【答案】4n【例8】用“O”摆出如图所示的图案，若按照同样的方式构造图案，则第10个图案需要 个“O”．① ② ③ ④ 【答案】181第2个“口”第1个“口” 第3个“口”第n 个“口”………………第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形题型三：藏头露尾型【例9】如下图是一组有规律的图案，第1个 图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第n (n 是正整数)个图案中由 个基础图形组成．【解析】此类问题重点要找到“头是谁”“尾是谁”，①13+；②132+⨯；③133+⨯，……第n 个31n + 【答案】31n +【例10】搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②，图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要 根钢管．图1 图2 图3【答案】83．题型四：成倍数变化型【例11】如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，1AC BC ==，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与ABC ∆的BC 边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为_____．【解析】注意每一次变化所变化的倍数 【答案】81；11(2)2n n - 【例12】如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形，再以所得四边形四边中点为顶点作四边形，．．．．．．依次作下去，图中所作的第三个四边形的周长为________； 所作的第n 个四边形的周长为_________________．【答案】2,24()2n【例13】如图，在ABC ∆中，A α∠=，ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠，则1______A ∠=．1A BC ∠的平分线与1ACD ∠的平分线交于点2A ，得2A ∠，……，2009A BC ∠的平分线与2009A CD ∠的平分线交于点2010A ，得2010A ∠，则2010A ∠= ．【答案】2α,20102α(1)(2)(3)……A 2A 1DC A【例14】如图，小正方形ABCD 的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形1111A B C D ，正方形1111A B C D 的面积为 ； 再把正方形1111A B C D 的各边延长一倍得到正方形2222A B C D ， 如此进行下去，正方形n n n n D C B A 的面积为 ． （用含有n 的式子表示，n 为正整数）【答案】5，n5【例15】把一个正三角形分成四个全等的三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，对剩下的三个小正三角形再重复以上做法……一直到第n 次挖去后剩下的三角形有 个．第一次 第二次 第三次 第四次【答案】3n题型五：相似与探究规律【例16】已知ABC AB AC m ∆==中，，72ABC ∠=︒，1BB 平分ABC ∠交AC 于1B ，过1B 作12B B //BC交AB 于2B ，作23B B 平分21AB B ∠，交AC 于3B ，过3B 作34//B B BC ，交AB 于4B ……依次进行下去，则910B B 线段的长度用含有m 的代数式可以表示为 .【答案】m 6215⎪⎪⎭⎫⎝⎛-【例17】如图，矩形纸片ABCD 中，6,10AB BC ==.第一次将纸片折叠，使点B 与点D 重合，折痕与BD交于点1O ；设1O D 的中点为1D ，第二次将纸片折叠使 点B 与点1D 重合，折痕与BD 交于点2O ；设21O D 的中点 为2D ，第三次将纸片折叠使点B 与点2D 重合，折痕与BD 交于点3O ，… .按上述方法折叠，第n 次折叠后的折痕与BD 交于点n O ，则1BO = ，n BO = ．第一次折叠 第二次折叠 第三次折叠【答案】2；12332n n -- B AD C 1O 1O 2O 1D 1D 2D 1O 2O 3O B AD C B ADCBA DC【例18】如图，直线x y 33=，点1A 坐标为（1，0），过点1A 作x 轴的垂线交直线于点1B ，以原点O 为圆心，1OB 长为半径画弧交x 轴于点2A ；再过点2A 作x 轴的垂线 交直线于点2B ，以原点O 为圆心，2OB 长为半径画弧交x 轴于 点3A ，…，按此做法进行下去，点4A 的坐标为（ ， ）； 点n A （ ， ）．【答案】（938，0）（1)332(-n ，0） 【例19】如图，以等腰三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形1ABA ，再以等腰直角三角形1ABA 的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形11A BB ，……，如此作下去，若1OA OB ==，则第n 个等腰直角三角形的面积n S = ________（n 为正整数）.【解析】由题干可知：123124 (222)S S S ===，，可知22n n S -=【答案】22n -【例20】如图，n +1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设211B D C ∆的面积为1S ，322B D C ∆的面积为2S ，…，1n n n B D C +∆的面积为n S ，则2S = ；n S =____ （用含n 的式子表示）．【答案】233,31nn + 【例21】如图，P 为ABC ∆的边BC 上的任意一点，设BC a =，当1B 、1C 分别为AB 、AC 的中点时，1112B C a =，当2B 、2C 分别为1BB 、1CC 的中点时，2234B C a =，当3B 、3C 分别为2BB 、2CC 的中点时，3378B C a =，当4B 、4C 分别为3BB 、3CC 的中点时，441516B C a =当5B 、5C 分别为4BB 、4CC 的中点时，55_____B C =当n B 、n C 分别为1n BB -、1n CC -的中点时，则n n B C = ；设ABC ∆中BC 边上的高为h ，则n n PB C ∆的面积为______(用含a 、h 的式子表示)．【答案】a 3231,a n n 212-, ah n n 12212+-D 4D 3D 2D 1C 5C 4C 3C 2C 1B 5B 4B 3B 2B 1A……B 2B 1A 1BOAC 3B 3B 2C 2C 1B 1CBA【例22】如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，AB a =，CD b =，E 为边AD 上的任意一点，EF AB ∥，且EF 交BC 于点F ．若E 为边AD 上的中点，则______EF =（用含有a ，b 的式子表示）；若E 为边AD 上距点A 最近的n 等分点（2n ≥，且n 为整数），则______EF =（用含有n ，a ，b 的式子表示）．【答案】2a b +；(1)b n an+-【例23】已知在ABC ∆中，BC a =.如图1，点1B 、1C 分别是AB 、AC 的中点，则线段11B C 的长是_______； 如图2，点1B 、2B ,1C 、2C 分别是AB 、AC 的三等分点，则线段1122B C B C +的值是__________；如图3, 点12......、、、n B B B ，12......、、、n C C C 分别是AB 、AC 的(1)n +等分点，则线段1122n n B C B C B C ++⋅⋅⋅+的值是 ______.【答案】1,2a a ,12na 【例24】已知：如图，在Rt ABC ∆中，点1D 是斜边AB 的中点，过点1D 作11D E AC ⊥于点1E ，连接1BE 交1CD 于点2D ；过点2D 作22D E AC ⊥于点2E ，连接2BE ，交1CD 于点3D ；过点3D 作33D E AC ⊥于点3E ，如此继续，可以依次得到点4D 、5D 、…n D ， 分别记11BD E ∆、22BD E ∆、33BD E ∆、…n n BD E ∆的面积 为1S 、2S 、3S …n S ．设ABC ∆的面积是1,则1______S =， ______n S =（用含n 的代数式表示）.【答案】14，21(1)n +题型六：折叠与探究规律【例25】如图，将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．设2AB =，当12CE CD =时，则________AMBN=． 若1CE CD n =（n 为整数），则_______AM BN=．（用含n 的式子表示） 【答案】15；1)1(22+-n n【例26】如图，正方形ABCD ，E 为AB 上的动点，（E 不与A 、B 重合）连接DE ，作DE 的中垂线，交图3图2图12n-1B 2C 2A BCB 1C 1C 1B 1CBA FE D CBANMFEDCBAB321AD 于点F ．⑴若E 为AB 中点，则______DFAE= ⑵若E 为AB 的n 等分点(靠近点A )，则________DFAE= 【答案】251,42n n+题型七：其他类型【例27】图1是一个八角星形纸板，图中有八个直角，八个相等的钝角,每条边都相等.如图2将纸板沿虚线进行切割，无缝隙无重叠的拼成图3所示的大正方形,其面积为8+3中线段AB 的长为 .图1 图2 图31+【例28】如图，1P 是一块半径为1的半圆形纸板，在1P 的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形2P ，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形34,,,,n P P P ，记纸板n P 的面积为n S ，试计算求出=-23S S ；并猜想得到1n n S S --=()2n ≥【答案】1)41(2,32---n ππ【例29】如图，图①是一块边长为1，周长记为1P 的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为12的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的21）后，得图③，④，…，记第)3(≥n n 块纸板的周长为n P ，则=-34P P ；1--n n P P = ．P 3P 2P 1【答案】81,121-⎪⎭⎫⎝⎛n【例30】已知一个面积为S 的等边三角形，现将其各边n （n 为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形（如图所示）．当8n =时，共向外作出了 个小等边三角形；当n k =时，共向外作出了 个小等边三角形，这些小等边三角形的面积和是 （用含k 的式子表示）．【答案】18； 【例31】在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为(10)，，点D 的坐标为(02)，．延长CB 交x 轴于点1A ，作正方形111A B C C ；延长11C B 交x 轴于点2A ，作正方形2221A B C C …按这样 的规律进行下去，第3个正方形的面积为________；第n 个正方形的面积为___________（用含n 的代数式表示）．【答案】4235）（,22235-⎪⎭⎫ ⎝⎛n【例32】如图所示，111()P x y ，、222()P x y ，，……()n n n P x y ，在函数4y x=(0x >)的图象上，11OP A ∆，212P A A ∆，323P A A ∆…1n n n P A A -∆都是等腰三角形，斜边1OA 、12A A …1n n A A -，都在x 轴上， 则1_____y =，12______n y y y ++⋅⋅⋅+=【答案】2 , 2n【例33】如图所示，直线1+=x y 与y 轴交于点1A ，以1OA 为边作正方形111OA B C ，然后延长11C B 与直线1+=x y 交于点2A ，得到第一个梯形112AOC A ；再以12C A 为边作正方形1222C A B C ，同样延长22C B 与直线1+=x y 交于点3A 得到第二个梯形2123A C C A ；，再以23C A 为边作正方形2333C A B C ，延长33C B ，得到第三个梯形；……则第2个梯形2123A C C A 的面积是 ；第n （n 是正整数）个梯形的面积是 （用含n 的式子表示）．3(-2)k 23(2)k s k-n =3n =5……n =4① ② ③ ④C 2B 2A 2C 1B 1A 1DC B AO yx【答案】6；2n 2223-⨯或1n 423-⨯【例34】在平面直角坐标系中，我们称边长为1且顶点的横纵坐标均为整数的正方形为单位格点 正方形，如图，菱形ABCD 的四个顶点坐标分别是(80)-，，(04)，，(80)，，(04)-，，则菱形ABCD 能覆盖的单位格点正方形的个数是_______个；若菱形n n n n A B C D 的四个顶点坐标分别为(20)-，n ， (0)，n ，(20)，n ，(0)-，n （n 为正整数）， 则菱形n n n n A B C D 能覆盖的单位格点正方形的 个数为_________（用含有n 的式子表示）．【答案】单位格点个数为48，单位格点个数为n n 442-【例35】在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形1111A B C D 、2222A B C D 、3333A B C D 每个正方形四条边上的整点的个数．按此规律推算出正方形10101010A B C D 四条边上的整点共有 个．【答案】80【例36】对于每个正整数n ，抛物线2211(1)(1)n n n n n y x x +++=-+与x 轴交于n A ，n B 两点，若n n A B 表示这两点间的距离，则n n A B = （用含n 的代数式表示）；112220112011A B A B A B +++的值为 ．【答案】()20122011,11+n nyxOD 1D 2D 3C 1C 2C 3B 1B 2B 3A 3A 2A 1123-1-2-3-3-2-1321-8-448ODC BAyx。

中考初三数学整合压轴题100题附答案一、中考压轴题1．用两种方法解答：已知m、n是关于x的方程x2+（p﹣2）x+1＝0两个实数根，求代数式（m2+mp+1）（n2+np+1）的值．【分析】本题主要是利用韦达定理来计算．已知m、n是关于x的方程x2+（p﹣2）x+1＝0两个实数根，有四个等式可供使用：m+n＝2﹣p①，mn＝1②，m2+（p﹣2）m+1＝0③，n2+（p﹣2）n+1＝0④．通过变形方法，合理地选择解题方法．【解答】解：∵m、n是x2+（p﹣2）x+1＝0的根，∴m+n＝2﹣p，mn＝1．方法一：m2+（p﹣2）m+1＝0，n2+（p﹣2）n+1＝0．即m2+pm+1＝2m，n2+pn+1＝2n．原式＝2m×2n＝4mn＝4．方法二：（m2+mp+1）（n2+np+1）＝（m2+mp）（n2+np）+m2+mp+n2+np+1＝m2n2+m2np+mpn2+mnp2+m2+mp+n2+np+1＝1+mp+np+p2+m2+n2+mp+np+1＝2+p2+m2+n2+2（m+n）p＝2+p2+m2+n2+2（2﹣p）p＝2+p2+m2+n2+4p﹣2p2＝2+（m+n）2﹣2mn+4p﹣2p2+p2＝2+（2﹣p）2﹣2+4p﹣2p2+p2＝4﹣4p+p2+4p﹣p2＝4．【点评】本题主要是通过根与系数的关系来求值．注意把所求的代数式转化成m+n＝2﹣p，mn＝1的形式，正确对所求式子进行变形是解题的关键．2．已知：y关于x的函数y＝（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点．（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2．①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值．【分析】（1）分两种情况讨论，当k＝1时，可求出函数为一次函数，必与x轴有一交点；当k≠1时，函数为二次函数，若与x轴有交点，则△≥0．（2）①根据（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2及根与系数的关系，建立关于k的方程，求出k 的值；②充分利用图象，直接得出y的最大值和最小值．【解答】解：（1）当k＝1时，函数为一次函数y＝﹣2x+3，其图象与x轴有一个交点．当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，令y＝0得（k﹣1）x2﹣2kx+k+2＝0．△＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k+2）≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1．综上所述，k的取值范围是k≤2．（2）①∵x1≠x2，由（1）知k＜2且k≠1，函数图象与x轴两个交点，∴k＜2，且k≠1．由题意得（k﹣1）x12+（k+2）＝2kx1①，将①代入（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2中得：2k（x1+x2）＝4x1x2．又∵x1+x2＝，x1x2＝，∴2k•＝4•．解得：k1＝﹣1，k2＝2（不合题意，舍去）．∴所求k值为﹣1．②如图，∵k1＝﹣1，y＝﹣2x2+2x+1＝﹣2（x﹣）2+．且﹣1≤x≤1．由图象知：当x＝﹣1时，y最小＝﹣3；当x＝时，y最大＝．∴y的最大值为，最小值为﹣3．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、一次函数的定义、二次函数的最值，充分利用图象是解题的关键．3．如图①，有四张编号为1、2、3、4的卡片，卡片的背面完全相同．现将它们搅匀并正面朝下放置在桌面上．（1）从中随机抽取一张，抽到的卡片是眼睛的概率是多少？（2）从四张卡片中随机抽取一张贴在如图②所示的大头娃娃的左眼处，然后再随机抽取一张贴在大头娃娃的右眼处，用树状图或列表法求贴法正确的概率．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：（1）所求概率为；（2）方法①（树状图法）共有12种可能的结果：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）∵其中有两种结果（1，2），（2，1）是符合条件的，∴贴法正确的概率为，方法②（列表法）1 2 3 4第一次抽取第二次抽取1（2，1）（3，1）（4，1）2（1，2）（3，2）（4，2）3（1，3）（2，3）（4，3）4（1，4）（2，4）（3，4）共有12种可能的结果：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），∵其中有两种结果（1，2），（2，1）是符合条件的，∴贴法正确的概率为．【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．4．如图，反比例函数的图象经过点A（4，b），过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB 的面积为2．（1）求k和b的值；（2）若一次函数y＝ax﹣3的图象经过点A，求这个一次函数的解析式．【分析】（1）由△AOB的面积为2，根据反比例函数的比例系数k的几何意义，可知k的值，得出反比例函数的解析式，然后把x＝4代入，即可求出b的值；（2）把点A的坐标代入y＝ax﹣3，即可求出这个一次函数的解析式．【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过点A，AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2，A（4，b），∴OB×AB＝2，×4×b＝2，∴AB＝b＝1，∴A（4，1），∴k＝xy＝4，∴反比例函数的解析式为y＝，即k＝4，b＝1．（2）∵A（4，1）在一次函数y＝ax﹣3的图象上，∴1＝4a﹣3，∴a＝1．∴这个一次函数的解析式为y＝x﹣3．【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式和反比例函数中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．5．我国年人均用纸量约为28公斤，每个初中毕业生离校时大约有10公斤废纸；用1吨废纸造出的再生好纸，所能节约的造纸木材相当于18棵大树，而平均每亩森林只有50至80棵这样的大树．（1）若我市2005年4万名初中毕业生能把自己离校时的全部废纸送到回收站使之制造为再生好纸，那么最少可使多少亩森林免遭砍伐？（2）我市从2000年初开始实施天然林保护工程，大力倡导废纸回收再生，如今成效显著，森林面积大约由2003年初的50万亩增加到2005年初的60.5万亩．假设我市年用纸量的20%可以作为废纸回收、森林面积年均增长率保持不变，请你按全市总人口约为1000万计算：在从2005年初到2006年初这一年度内，我市因回收废纸所能保护的最大森林面积相当于新增加的森林面积的百分之几？（精确到1%）【分析】（1）因为每个初中毕业生离校时大约有10公斤废纸，用1吨废纸造出的再生好纸，所能节约的造纸木材相当于18棵大树，而平均每亩森林只有50至80棵这样的大树，所以有40000×10÷1000×18÷80，计算出即可求出答案；（2）森林面积大约由2003年初的50万亩增加到2005年初的60.5万亩，可先求出森林面积年均增长率，进而求出2005到2006年新增加的森林面积，而因回收废纸所能保护的最大森林面积＝1000×10000×28×20%÷1000×18÷50，然后进行简单的计算即可求出答案．【解答】解：（1）4×104×10÷1000×18÷80＝90（亩）．答：若我市2005年4万名初中毕业生能把自己离校时的全部废纸送到回收站使之制造为再生好纸，那么最少可使90亩森林免遭砍伐．（2）设我市森林面积年平均增长率为x，依题意列方程得50（1+x）2＝60.5，解得x1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去），1000×104×28×20%÷1000×18÷50＝20160，20160÷（605000×10%）≈33%．答：在从2005年初到2006年初这一年度内，我市因回收废纸所能保护的最大森林面积相当于新增加的森林面积的33%．【点评】本题以保护环境为主题，考查了增长率问题，阅读理解题意，并从题目中提炼出平均增长率的数学模型并解答的能力；解答时需仔细分析题意，利用方程即可解决问题．6．广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率．（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？【分析】（1）根据题意设平均每次下调的百分率为x，列出一元二次方程，解方程即可得出答案；（2）分别计算两种方案的优惠价格，比较后发现方案①更优惠．【解答】解：（1）设平均每次下调的百分率为x，则6000（1﹣x）2＝4860，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去），故平均每次下调的百分率为10%；（2）方案①购房优惠：4860×100×（1﹣0.98）＝9720（元）；方案②可优惠：80×100＝8000（元）．故选择方案①更优惠．【点评】本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，属于中档题．7．如图，一次函数y＝﹣x﹣2的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，P为AB的中点，PC⊥x轴于点C，延长PC交反比例函数y＝（x＜0）的图象于点Q，且tan∠AOQ＝．（1）求k的值；（2）连接OP、AQ，求证：四边形APOQ是菱形．【分析】（1）由一次函数解析式确定A点坐标，进而确定C，Q的坐标，将Q的坐标代入反比例函数关系式可求出k的值．（2）由（1）可分别确定QC＝CP，AC＝OC，且QP垂直平分AO，故可证明四边形APOQ是菱形．【解答】（1）解：∵y＝﹣x﹣2令y＝0，得x＝﹣4，即A（﹣4，0）由P为AB的中点，PC⊥x轴可知C点坐标为（﹣2，0）又∵tan∠AOQ＝可知QC＝1∴Q点坐标为（﹣2，1）将Q点坐标代入反比例函数得：1＝，∴可得k＝﹣2；（2）证明：由（1）可知QC＝PC＝1，AC＝CO＝2，且A0⊥PQ∴四边形APOQ是菱形．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，又结合了几何图形进行考查，属于综合性比较强的题目，有一定难度．8．某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A、B两类，A类杨梅包装后直接销售；B类杨梅深加工后再销售．A类杨梅的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（x≥2）之间的函数关系如图；B类杨梅深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系是s＝12+3t，平均销售价格为9万元/吨．（1）直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式；（2）第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元（毛利润＝销售总收入﹣经营总成本）．①求w关于x的函数关系式；②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？（3）第二次，该公司准备投入132万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．【分析】（1）这是一个分段函数，分别求出其函数关系式；（2）①当2≤x＜8时及当x≥8时，分别求出w关于x的表达式．注意w＝销售总收入﹣经营总成本＝w A+w B﹣3×20；②若该公司获得了30万元毛利润，将30万元代入①中求得的表达式，求出A类杨梅的数量；（3）本问是方案设计问题，总投入为132万元，这笔132万元包括购买杨梅的费用+A类杨梅加工成本+B类杨梅加工成本．共购买了m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为（m﹣x）吨，分别求出当2≤x＜8时及当x≥8时w关于x的表达式，并分别求出其最大值．【解答】解：（1）①当2≤x＜8时，如图，设直线AB解析式为：y＝kx+b，将A（2，12）、B（8，6）代入得：，解得，∴y＝﹣x+14；②当x≥8时，y＝6．所以A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式为：y＝；（2）设销售A类杨梅x吨，则销售B类杨梅（20﹣x）吨．①当2≤x＜8时，w A＝x（﹣x+14）﹣x＝﹣x2+13x；w B＝9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]＝108﹣6x∴w＝w A+w B﹣3×20＝（﹣x2+13x）+（108﹣6x）﹣60＝﹣x2+7x+48；当x≥8时，w A＝6x﹣x＝5x；w B＝9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]＝108﹣6x∴w＝w A+w B﹣3×20＝（5x）+（108﹣6x）﹣60＝﹣x+48．∴w关于x的函数关系式为：w＝．②当2≤x＜8时，﹣x2+7x+48＝30，解得x1＝9，x2＝﹣2，均不合题意；当x≥8时，﹣x+48＝30，解得x＝18．∴当毛利润达到30万元时，直接销售的A类杨梅有18吨．（3）设该公司用132万元共购买了m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为（m﹣x）吨，则购买费用为3m万元，A类杨梅加工成本为x万元，B类杨梅加工成本为[12+3（m﹣x）]万元，∴3m+x+[12+3（m﹣x）]＝132，化简得：x＝3m﹣60．①当2≤x＜8时，w A＝x（﹣x+14）﹣x＝﹣x2+13x；w B＝9（m﹣x）﹣[12+3（m﹣x）]＝6m﹣6x﹣12∴w＝w A+w B﹣3×m＝（﹣x2+13x）+（6m﹣6x﹣12）﹣3m＝﹣x2+7x+3m﹣12．将3m＝x+60代入得：w＝﹣x2+8x+48＝﹣（x﹣4）2+64∴当x＝4时，有最大毛利润64万元，此时m＝，m﹣x＝；②当x≥8时，w A＝6x﹣x＝5x；w B＝9（m﹣x）﹣[12+3（m﹣x）]＝6m﹣6x﹣12∴w＝w A+w B﹣3×m＝（5x）+（6m﹣6x﹣12）﹣3m＝﹣x+3m﹣12．将3m＝x+60代入得：w＝48∴当x＞8时，有最大毛利润48万元．综上所述，购买杨梅共吨，其中A类杨梅4吨，B类吨，公司能够获得最大毛利润，最大毛利润为64万元．【点评】本题是二次函数、一次函数的综合应用题，难度较大．解题关键是理清售价、成本、利润三者之间的关系．涉及到分段函数时，注意要分类讨论．9．经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为80千米/小时，研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（1）求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；（2）在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，应控制大桥上的车流密度在什么范围内？（3）车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量＝车流速度×车流密度．求大桥上车流量y的最大值．【分析】（1）当20≤x≤220时，设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v＝kx+b，根据题意的数量关系建立方程组求出其解即可；（2）由（1）的解析式建立不等式组求出其解即可；（3）设车流量y与x之间的关系式为y＝vx，当x＜20和20≤x≤220时分别表示出函数关系由函数的性质就可以求出结论．【解答】解：（1）设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v＝kx+b，由题意，得，解得：，∴当20≤x≤220时，v＝﹣x+88，当x＝100时，v＝﹣×100+88＝48（千米/小时）；（2）由题意，得，解得：70＜x＜120．∴应控制大桥上的车流密度在70＜x＜120范围内；（3）设车流量y与x之间的关系式为y＝vx，当0≤x≤20时y＝80x，∴k＝80＞0，∴y随x的增大而增大，∴x＝20时，y最大＝1600；当20≤x≤220时y＝（﹣x+88）x＝﹣（x﹣110）2+4840，∴当x＝110时，y最大＝4840．∵4840＞1600，∴当车流密度是110辆/千米，车流量y取得最大值是每小时4840辆．【点评】本题考查了车流量＝车流速度×车流密度的运用，一次函数的解析式的运用，一元一次不等式组的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．10．⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，如图（1），连接O2O1并延长交⊙O1于P点，连接P A、PB并分别延长交⊙O2于C、D两点，连接CO2并延长交⊙O2于E点．已知⊙O2的半径为R，设∠CAD＝α．（1）求CD的长（用含R、α的式子表示）；（2）试判断CD与PO1的位置关系，并说明理由；（3）设点P’为⊙O1上（⊙O2外）的动点，连接P’A、P’B并分别延长交⊙O2于C’、D’，请你探究∠C’AD’是否等于α？C’D’与P’O1的位置关系如何？并说明理由．（注：图（2）与图（3）中⊙O1和⊙O2的大小及位置关系与图（1）完全相同，若你感到继续在图（1）中探究问题（3），图形太复杂，不便于观察，可以选择图（2）或图（3）中的一图说明理由）．【分析】（1）作⊙O2的直径CE，连接DE．根据圆周角定理的推论，得∠E＝∠CAD＝α，再利用解直角三角形的知识求解；（2）连接AB，延长PO1与⊙O1相交于点E，连接AE．根据圆内接四边形的性质，得∠ABP′＝∠C′，根据圆周角定理的推论，得∠ABP′＝∠E，∠EAP′＝90°，从而证明∠AP′E+∠C′＝90°，则CD与PO1的位置关系是互相垂直；（3）根据同弧所对的圆周角相等，则说明∠C’AD’等于α；根据（2）中的证明过程，则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直．【解答】解：（1）连接DE．根据圆周角定理的推论，得∠E＝∠CAD＝α．∵CE是直径，∴∠CDE＝90°．∴CD＝CE•sin E＝2R sinα；（2）CD与PO1的位置关系是互相垂直．理由如下：连接AB，延长PO1与⊙O1相交于点E，连接AE．∵四边形BAC′D′是圆内接四边形，∴∠ABP′＝∠C′．∵P′E是直径，∴∠EAP′＝90°，∴∠AP′E+∠E＝90°．又∠ABP′＝∠E，∴∠AP′E+∠C′＝90°，即CD与PO1的位置关系是互相垂直；（3）根据同弧所对的圆周角相等，则说明∠C’AD’等于α；根据（2）中的证明过程，则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直．【点评】此题综合运用了圆周角定理及其推论、直角三角形的性质、圆内接四边形的性质．注意：连接两圆的公共弦、构造直径所对的圆周角都是圆中常见的辅助线．11．如图，已知直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，连接PC 并延长PC交y轴于点D（0，3）．（1）求证：△POD≌△ABO；（2）若直线l：y＝kx+b经过圆心P和D，求直线l的解析式．【分析】（1）首先连接PB，由直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，可求得∠APB＝∠DPO＝60°，∠ABO＝∠POD＝90°，即可得△P AB是等边三角形，可得AB＝OP，然后由ASA，即可判定：△POD≌△ABO；（2）易求得∠PDO＝30°，由OP＝OD•tan30°，即可求得点P的坐标，然后利用待定系数法，即可求得直线l的解析式．【解答】（1）证明：连接PB，∵直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，∴∠APB＝∠DPO＝×180°＝60°，∠ABO＝∠POD＝90°，∵P A＝PB，∴△P AB是等边三角形，∴AB＝P A，∠BAO＝60°，∴AB＝OP，∠BAO＝∠OPD，在△POD和△ABO中，∴△POD≌△ABO（ASA）；（2）解：由（1）得△POD≌△ABO，∴∠PDO＝∠AOB，∵∠AOB＝∠APB＝×60°＝30°，∴∠PDO＝30°，∴OP＝OD•tan30°＝3×＝，∴点P的坐标为：（﹣，0）∴，解得：，∴直线l的解析式为：y＝x+3．【点评】此题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数的解析式．此题综合性较强，难度适中，注意准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．12．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝6，AC＝4，D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连接P A、PB、PC、PD．（1）当BD的长度为多少时，△P AD是以AD为底边的等腰三角形？并证明；（2）在（1）的条件下，若cos∠PCB＝，求P A的长．【分析】（1）根据等弧对等弦以及全等三角形的判定和性质进行求解；（2）过点P作PE⊥AD于E．根据锐角三角函数的知识和垂径定理进行求解．【解答】解：（1）当BD＝AC＝4时，△P AD是以AD为底边的等腰三角形．∵P是优弧BAC的中点，∴＝．∴PB＝PC．又∵∠PBD＝∠PCA（圆周角定理），∴当BD＝AC＝4，△PBD≌△PCA．∴P A＝PD，即△P AD是以AD为底边的等腰三角形．（2）过点P作PE⊥AD于E，由（1）可知，当BD＝4时，PD＝P A，AD＝AB﹣BD＝6﹣4＝2，则AE＝AD＝1．∵∠PCB＝∠P AD（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），∴cos∠P AD＝cos∠PCB＝，∴P A＝．【点评】综合运用了等弧对等弦的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数的知识以及垂径定理．13．已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，点O1在⊙O2上，C为⊙O2上一点（不与A，B，O1重合），直线CB与⊙O1交于另一点D．（1）如图（1），若AD是⊙O1的直径，AC是⊙O2的直径，求证：AC＝CD；（2）如图（2），若C是⊙O1外一点，求证：O1C丄AD；（3）如图（3），若C是⊙O1内的一点，判断（2）中的结论是否成立？【分析】（1）连接C01，利用直径所对圆周角等于90度，以及垂直平分线的性质得出即可；（2）根据已知得出四边形AEDB内接于⊙O1，得出∠ABC＝∠E，再利用＝，得出∠E＝∠AO1C，进而得出CO1∥ED即可求出；（3）根据已知得出∠B＝∠EO1C，又∠E＝∠B，即可得出∠EO1C＝∠E，得出CO1∥ED，即可求出．【解答】（1）证明：连接C01∵AC为⊙O2直径∴∠AO1C＝90°即CO1⊥AD，∵AO1＝DO1∴DC＝AC（垂直平分线的性质）；（2）证明：连接AO1，连接AB，延长AO1交⊙O1于点E，连接ED，∵四边形AEDB内接于⊙O1，∴∠E+∠ABD＝180°，∵∠ABC+∠ABD＝180°，∴∠ABC＝∠E，又∵＝，∴∠ABC＝∠AO1C，∴∠E＝∠AO1C，∴CO1∥ED，又AE为⊙O1的直径，∴ED⊥AD，∴O1C⊥AD，（3）（2）中的结论仍然成立．证明：连接AO1，连接AB，延长AO1交⊙O1于点E，连接ED，∵∠B+∠AO1C＝180°，∠EO1C+∠AO1C═180°，∴∠B＝∠EO1C，又∵∠E＝∠B，∴∠EO1C＝∠E，∴CO1∥ED，又ED⊥AD，∴CO1⊥AD．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及相交两圆的性质和圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的性质得出对应角之间的关系是解决问题的关键．14．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，以AB为直径的⊙O经过点C．过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P．点D为圆上一点，且＝，弦AD的延长线交切线PC于点E，连接BC．（1）判断OB和BP的数量关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为2，求AE的长．【分析】（1）首先连接OC，由PC切⊙O于点C，可得∠OCP＝90°，又由∠BAC＝30°，即可求得∠COP＝60°，∠P＝30°，然后根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，证得OB＝BP；（2）由（1）可得OB＝OP，即可求得AP的长，又由＝，即可得∠CAD＝∠BAC＝30°，继而求得∠E＝90°，继而在Rt△AEP中求得答案．【解答】解：（1）OB＝BP．理由：连接OC，∵PC切⊙O于点C，∴∠OCP＝90°，∵OA＝OC，∠OAC＝30°，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，∴∠COP＝60°，∴∠P＝30°，在Rt△OCP中，OC＝OP＝OB＝BP；（2）由（1）得OB＝OP，∵⊙O的半径是2，∴AP＝3OB＝3×2＝6，∵＝，∴∠CAD＝∠BAC＝30°，∴∠BAD＝60°，∵∠P＝30°，∴∠E＝90°，在Rt△AEP中，AE＝AP＝×6＝3．【点评】此题考查了切线的性质、直角三角形的性质以及圆周角定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．15．如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°，将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形越接近于正方形．①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于40；②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．（2）设矩形相邻两条边长分别是a和b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|，于是|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义．【分析】（1）根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，相似图形的“接近度”相等．所以若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于|m﹣n|；当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形；（2）不合理，举例进行说明．【解答】解：（1）①∵内角为70°，∴与它相邻内角的度数为110°．∴菱形的“接近度”＝|m﹣n|＝|110﹣70|＝40．②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．（2）不合理．例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但|a﹣b|却不相等．合理定义方法不唯一．如定义为，越接近1，矩形越接近于正方形；越大，矩形与正方形的形状差异越大；当时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形．【点评】正确理解“接近度”的意思，矩形的“接近度”|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．这是解决问题的关键．16．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）①画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；②画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2；③△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴；④△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出所有的对称中心的坐标．【分析】（1）将三角形的各顶点，向x轴作垂线并延长相同长度得到三点的对应点，顺次连接；（2）将三角形的各顶点，绕原点O按逆时针旋转90°得到三点的对应点．顺次连接各对应点得△A2B2C2；（3）从图中可发现成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段，做它的垂直平分线；（4）成中心对称图形，画出两条对应点的连线，交点就是对称中心．【解答】解：如下图所示：（3）成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段，作它的垂直平分线，或连接A1C1，A2C2的中点的连线为对称轴．（4）成中心对称，对称中心为线段BB2的中点P，坐标是（，）．【点评】本题综合考查了图形的变换，在图形的变换中，关键是找到图形的对应点．17．图（1）是一个10×10格点正方形组成的网格．△ABC是格点三角形（顶点在网格交点处），请你完成下面的两个问题：（1）在图（1）中画出与△ABC相似的格点△A1B1C1和△A2B2C2，且△A1B1C1与△ABC的相似比是2，△A2B2C2与△ABC的相似比是；（2）在图（2）中用与△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2全等的格点三角形（每个三角形至少使用一次），拼出一个你熟悉的图案，并为你设计的图案配一句贴切的解说词．【分析】（1）△A1B1C1与△ABC的相似比是2，则让△ABC的各边都扩大2倍就可．△A2B2C2与△ABC的相似比是；△ABC的直角边是2，所以△A2B2C2与的直角边是即一个对角线的长度．斜边为2．依此画图即可；（2）拼图有审美意义即可，答案不唯一．【解答】解：【点评】本题主要考查了相似图形的画法，做这类题时根据的是相似图形的性质，即相似比相等．对应角相等．18．如图，矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F，（1）求的长；（2）若，直线MN分别交射线DA、DC于点M、N，∠DMN＝60°，将直线MN沿射线DA方向平移，设点D到直线的距离为d，当时1≤d≤4，请判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由．【分析】（1）连接OE、OF，利用相切证明四边形AFOE是正方形，再根据弧长公式求弧长；（2）先求出直线M1N1与圆相切时d的值，结合1≤d≤4，划分d的范围，分类讨论．【解答】解：（1）连接OE、OF，∵矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F，∴∠A＝90°，∠OEA＝∠OF A＝90°∴四边形AFOE是正方形∴∠EOF＝90°，OE＝AE＝∴的长＝＝π．（2）如图，将直线MN沿射线DA方向平移，当其与⊙O相切时，记为M1N1，切点为R，交AD于M1，交BC于N1，连接OM1、OR，∵M1N1∥MN∴∠DM1N1＝∠DMN＝60°∴∠EM1N1＝120°∵MA、M1N1切⊙O于点E、R∴∠EM1O＝∠EM1N1＝60°在Rt△EM1O中，EM1＝＝＝1∴DM1＝AD﹣AE﹣EM1＝+5﹣﹣1＝4．过点D作DK⊥M1N1于K在Rt△DM1K中DK＝DM1×sin∠DM1K＝4×sin∠60°＝2即d＝2，∴当d＝2时，直线MN与⊙O相切，当1≤d＜2时，直线MN与⊙O相离，当直线MN平移到过圆心O时，记为M2N2，点D到M2N2的距离d＝DK+OR＝2+＝3＞4，∴当2＜d≤4时，MN直线与⊙O相交．【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d 与圆半径大小关系完成判定．19．如图所示，AB＝AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于E、D，连接ED、BE．（1）试判断DE与BD是否相等，并说明理由；（2）如果BC＝6，AB＝5，求BE的长．【分析】（1）可通过连接AD，AD就是等腰三角形ABC底边上的高，根据等腰三角形三线合一的特点，可得出∠CAD＝∠BAD，根据圆周角定理即可得出∠DEB＝∠DBE，便可证得DE＝DB．（2）本题中由于BE⊥AC，那么BE就是三角形ABC中AC边上的高，可用面积的不同表示方法得出AC•BE＝CB•AD．进而求出BE的长．【解答】解：（1）DE＝BD证明：连接AD，则AD⊥BC，在等腰三角形ABC中，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD（等腰三角形三线合一），∴＝，∴DE＝BD；（2）∵AB＝5，BD＝BC＝3，∴AD＝4，∵AB＝AC＝5，∴S△ABC＝•AC•BE＝•CB•AD，∴BE＝4.8．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理等知识点的运用，用等腰三角形三线合一的特点得出圆周角相等是解题的关键．20．下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改．题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前侧内墙保留3m的空地，其他三侧内墙各保留1m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2？解：设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm，根据题意，得x•2x＝288．解这个方程，得x1＝﹣12（不合题意，舍去），x2＝12所以温室的长为2×12+3+1＝28（m），宽为12+1+1＝14（m）答：当温室的长为28m，宽为14m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2．我的结果也正确！小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？．结果为何正确呢？（1）请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：变化一下会怎样…（2）如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD：AB＝2：1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由．【分析】（1）根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由，所以应设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm，然后由题意得，矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1，再利用小明的解法求解即可；（2）由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，利用相似多边形的性质，可得，即，然后利用比例的性质，即可求得答案．【解答】解：（1）小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由．在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm．”前补充以下过程：设温室的宽为xm，则长为2xm．则矩形蔬菜种植区域的宽为（x﹣1﹣1）m，长为（2x﹣3﹣1）m．∵，∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1；（2）要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，就要，即，即，即2AB﹣2（b+d）＝2AB﹣（a+c），∴a+c＝2（b+d），即．【点评】此题考查了相似多边形的性质．此题属于阅读性题目，注意理解题意，读懂题目是解此题的关键．21．二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分如图所示，则a的取值范围是﹣1＜a＜0．。