湖南师大附中第五次月考(文)

湖南师大附中高三年级第五次月考数学试卷（文科）考试时量：120分钟 试卷满分：150分说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的. 1．给出两个命题：p ：|x|=x 的充要条件是x 为正实数；q ：存在反函数的函数一定是单调函 数，则下列哪个复合命题是真命题（ ）A ．p 且qB ．p 或qC ．┐p 且qD ．┐p 或q2．在钝角△ABC 中，已知AB=3， AC=1，∠B=30°，则△ABC 的面积是（ ）A ．23 B ．43 C ．23 D ．43 3．已知两直线l 1：y=kx －3，和l 2：x+3y －6=0，设l 1与x 轴相交于A 点，l 2与y 轴相交于C 点，l 1与相l 2交于B 点，O 为坐标原点，若O 、A 、B 、C 四点共圆，则k 的值为（ ）A ．3B ．－3C ．31D ．－31 4．在等比数列{a n }中a 5－a 1=15,a 4－a 2=6,且a 1>0，则a 3= （ ）A ．2B ．21 C ．4 D ．41 5．已知αα2cos ,2cot 则=的值为（ ）A ．53 B ．－53 C ．54 D ．－546．已知对称轴为坐标轴的双曲线的两渐近线方程为y=±abx,(a , b>0), 若双曲线上有一点M(x 0, y 0), 使b|x 0|<a|y 0|,则双曲线的焦点 （ ）A ．在x 轴上B ．在y 轴上C ．当a>b 时在x 轴上D ．当a>b 时在y 轴上7．已知f(x)是定义在在R 上的奇函数，且当x<0时，f(x)=2x ,则f －1(－41)的值为 （ ）A ．－21 B ．21 C ．－2 D ．28．已知直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面积为3，体积为12，则异面直线A 1B 1和BD 的距 离是 （ ）A ．3B ．4C ．6D ．89．设抛物线y 2=px(p>0)的准线为l ,将圆x 2+y 2=9按向量a =(2,0)平移后恰与l 相切，则p 的值 为（ ）A ．21 B ．41 C ．2D ．410．设a>0为常数，若函数f(x)=x 3－ax 在区间[1，+∞)上是单调函数，则a 的取值范围是（ ）A ．（0，1]B ．[1，+∞)C ．（0，3]D ．[3，+∞)11．某企业要从其下属6个工厂中抽调8名工程技术人员组成课题攻关小组，每厂至少调1人，则这8个名额的分配方案共有 （ ）A ．15种B ．21种C ．30种D ．36种12．球面上有三点，其中任意两点的球面距离都等于球的大圆周长的61，经过这三点的小圆的周长为4π，则这个球的表面积为 （ ）A ．12πB ．24πC ．48πD ．64π第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，共16分，请把各题的正确答案填写在题中的横线上. 13．设a ≠0为常数，已知(x+a)9和(ax+1)8这两个展开式中x 4的系数相等，则a 的值为 . 14．设e e n N n n n ()11(lim *,=+∈∞→已知为自然对数的底数），则=+-∞→nn n )111(lim . 15．某射手每次射击中靶概率为0.9，则射击5次仅中靶2次的概率是 . 16．在正三棱锥P —ABC 中，D 为PA 的中点，O 为△ABC 的中心，给出下列四个结论：①OD ∥平面PBC ； ②OD ⊥PA ；③OD ⊥BC ； ④PA=2OD.其中正确结论的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本题满分12分）已知函数,cos cos sin 3)(2m x x x x f ++=其中m 为实常数（1）求)(x f 的最小正周期；（2）设集合},36|{ππ≤≤-=x x A 已知当A x ∈时，)(x f 的最小值为2，当A x ∈时，求)(x f 的最大值.18．（本题满分12分）在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，M、N分别是PB、PC的中点.（2）若直线PB与底面ABC成60°角，求二面角P—MN—A的大小.19．（本题满分12分）设函数,241)(+=x x f （1）求证：对一切)1()(,x f x f R x -+∈为定值；（2）记*),()1()1()2()1()0(N n f nn f n f n f f a n ∈+-++++= 求数列}{n a 的通项公式及前n 项和.20．（本题满分12分）如图，设△OFP 的面积为S ，已知.1=⋅FP OF （1）若FP OF S 与求向量,2321<<的夹角θ的取值范围； （2）若||,2|||,|43OP OF OF S当且≥=取最小值时，建立适当的直角坐标系，求以O 为中心，F 为一个焦点且经过点P 的椭圆方程.21．（本题满分12分）在东西方向直线延伸的湖岸上有一港口O，一艘机艇以40km/h的速度从O港出发，先沿东偏北某个方向直线前进到达A处，然后改向正北方向航行，总共航行30分钟因机器出现故障而停在湖里的P处.由于营救人员不知该机艇的最初航向及何时改变的航向，故无法确定机艇停泊的准确位置，试划定一个最佳的弓形营救区域（用图形表示），并说明你的理由.22．（本题满分14分）设二次函数f(x)=ax2+2bx+c(a≠0),已知f(1)=b.（1）求证：存在x1,x2∈R，且x1≠x2,使f(x1)=f(x2)=0;（2）对(1)中的x1, x2 ,若(a－b)(a－c)>0，求|x1－x2|的取值范围.湖南师大附中高三年级第五次月考 数学试卷（文科）参考答案一、选择题：DBACAB DBDCBC 二、填空题：13．95 14．e115．0.0081； 16．③，④ 三、解答题： 17．（1）.21)62sin(22cos 12sin 23)(m x m x x x f +++=+++=π （4′） π=∴T （6′）)21.(27)(,6,262,25)62sin()()01(.2.)6()(,36)2(max min '===+∴++=∴'==-=≤≤-x f x x x x f m m f x f x 时即当由已知时当πππππππ18．（1）∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BC ，又AB ⊥BC ，∴BC ⊥平面PAB.∵MN//BC ，∴MN ⊥平面PAB ， ∴平面AMN ⊥平面PAB. （6′） （2）∵MN ⊥平面PAB ，∴MN ⊥MA ，MN ⊥MP ，∴∠PMA 为所求二面角的平面角. （9′）由已知∠PBA=60°，∴∠APB=30°，又AM 是Rt △PAB 的斜边PB 上的中线， ∴MA=MP ，从而△PMA 为等腰三角形，∴∠PMA=120°. （12′）19．（1）)6(.214244241241241)1()(1'=⋅+++=+++=-+-x xx x x x f x f)21(.8)3(2341)]1(432[41)01(.41,2121.21)0()1(,21)2()2(,21)1()1(,21)1()0()1()2('+=⋅+⋅=+++++='+=∴+=+=+=-+=-+=+n n n n n S n a n a n f f n n f n f n n f n f f f n n n 个式子相加得将上述知由 20．（1）由题设及已知.2tan 1cos ||||sin ||||21s s FP OF =⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅θθθ).3,4(,3tan 1,2321ππθθ∈∴<<∴<<s （4′） （2）以O 为原点OF 所在直线为x 轴建立直角坐标系.设|OF |=c ，P(x 0 , y 0).)01().23,25(.||,)(,2.),2[)(.011)(,2,1)()8(.49)1(||.1,1)(,1),,(),0,()6(.23|||,|43||||21|,|43222020000000'±=∴+∞∴>-='≥+='++=+=∴+=⇒=-∴=⋅-='=∴=⋅⋅∴=P OP c f c c f cc f c c c c f c c y x OP c c x c x c FP OF y c x FP c OF y OF y OF OF S 此时为最小从而为最小时当上是增函数在时则当设设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，则.6,101494254222222==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=-b a b a b a 故椭圆方程为)21.(161022'=+y x 21．以O 为原点.湖岸线为x 轴建立直角坐标系.设OA 的倾斜角为θ，P(x , y).⎪⎩⎪⎨⎧'=+⋅>++=++=+'=+=++<++=+'<<⎪⎩⎪⎨⎧=++====)01(20222)4sin(2)cos (sin )8(400)(2sin 2)6()20(20sin cos ,||,||2222222n m n m n m y x n m mn n m mn n m y x n m m n y m x n AP m OA πθθθθπθθθ由此可得则故营救区域为直线x+y=20与圆x 2+y 2=400围成的弓形区域（图略）（12′） 22．（1）.0).(,)1(≠+-=∴=a c a b b f.0])[(2)(44)(4442222222>+++=++=-+=-=∆∴c a c a ac c a ac c a ac b∴方程f (x )=0有二不等实根，即结论成立. （4′）)41().32,3[||),49,0[)21()21(.120)1)(2(.0))(2().(,0))(()01(.3)21(4||,,2)2(21222212121'∈-∴∈+∴'<<-⇒>-+⇒>-+∴+-=>--'++==-∴=-=+x x a c aca c a c c a c a c abc a b a a c x x a c x x a b x x。