【三维设计】(新课标)2016届高考数学5年真题备考题库-第五章-第2节-等差数列及其前n项和-理(含解析)

第8章 平面解析几何第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系1．（2014江西，5分）在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )A. 45π B. 34πC ．(6－25)πD. 54π解析：选A 法一：设A (a,0)，B (0，b )，圆C 的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b2，2r ＝a 2＋b 2，由题知圆心到直线2x ＋y －4＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 2－45＝r ，即|2a ＋b －8|＝25r ，2a ＋b ＝8±25r ，由(2a ＋b )2≤5(a 2＋b 2)，得8±25r ≤25r ⇒r ≥25，即圆C 的面积S ＝π r 2≥45π.法二：由题意可知以线段AB 为直径的圆C 过原点O ，要使圆C 的面积最小，只需圆C 的半径或直径最小．又圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点O 到直线2x ＋y －4＝0的距离，此时2r ＝45，得r ＝25，圆C 的面积的最小值为S＝πr 2＝45π.答案：A2．（2014新课标全国卷Ⅱ，5分）设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________．解析：由题意可知M 在直线y ＝1上运动，设直线y ＝1与圆x 2＋y2＝1相切于点P (0,1)．当x 0＝0即点M 与点P 重合时，显然圆上存在点N (±1，0)符合要求；当x 0≠0时，过M 作圆的切线，切点之一为点P ，此时对于圆上任意一点N ，都有∠OMN ≤∠OMP ，故要存在∠OMN ＝45°，只需∠OMP ≥45°.特别地，当∠OMP ＝45°时，有x 0＝±1.结合图形可知，符合条件的x 0的取值范围为[－1,1]．答案：[－1,1]3．（2014江苏，5分）在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．解析：因为圆心(2，－1)到直线x ＋2y －3＝0的距离d ＝|2－2－3|5＝35，所以直线x＋2y －3＝0被圆截得的弦长为24－95＝2555. 答案：25553．（2014重庆，5分）已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.解析：依题意，圆C 的半径是2，圆心C (1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离等于32×2＝3，于是有|1·a ＋a －2|a 2＋1＝3，即a 2－8a ＋1＝0，解得a ＝4±15. 答案：4±154．（2014湖北，5分）直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________.解析：由题意得，直线l 1截圆所得的劣弧长为π2，则圆心到直线l 1的距离为22，即|a |2＝22⇒a 2＝1，同理可得b 2＝1，则a 2＋b 2＝2. 答案：25．（2014江苏，16分）如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆．且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60 m 处，点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸)，tan ∠BCO ＝43.(1)求新桥BC 的长；(2)当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？解：法一：(1)如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy . 由条件知A (0,60)，C (170,0)，直线BC 的斜率k BC ＝ －tan ∠BCO ＝－43.又因为AB ⊥BC ，所以直线AB 的斜率k AB ＝34.设点B 的坐标为(a ，b )，则k BC ＝b －0a －170＝－43，k AB ＝b －60a －0＝34. 解得a ＝80，b ＝120. 所以BC ＝－2＋－2＝150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m ，OM ＝d m(0≤d ≤60)． 由条件知，直线BC 的方程为y ＝－43(x －170)，即4x ＋3y －680＝0.由于圆M 与直线BC 相切，故点M (0，d )到直线BC 的距离是r ， 即r ＝|3d －680|42＋32＝680－3d 5. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，r －－d ，即⎩⎪⎨⎪⎧680－3d5－d ≥80，680－3d 5－－d解得10≤d ≤35.故当d ＝10时，r ＝680－3d5最大，即圆面积最大．所以当OM ＝10 m 时，圆形保护区的面积最大． 法二：(1)如图，延长OA ，CB 交于点F .因为tan ∠FCO ＝43，所以sin ∠FCO ＝45，cos ∠FCO ＝35.因为OA ＝60，OC ＝170， 所以OF ＝OC tan ∠FCO ＝6803，CF ＝OCcos ∠FCO ＝8503.从而AF ＝OF －OA ＝5003.因为OA ⊥OC ，所以cos ∠AFB ＝sin ∠FCO ＝45.又因为AB ⊥BC ，所以BF ＝AF cos ∠AFB ＝4003，从而BC ＝CF －BF ＝150. 因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 与BC 的切点为D ，连接MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半径，并设MD ＝r m ，OM ＝d m(0≤d ≤60)．因为OA ⊥OC ，所以sin ∠CFO ＝cos ∠FCO . 故由(1)知sin ∠CFO ＝MD MF ＝MD OF －OM ＝r6803－d＝35，所以r ＝680－3d 5. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，r －－d ，即⎩⎪⎨⎪⎧680－3d5－d ≥80，680－3d 5－－d解得10≤d ≤35.故当d ＝10时，r ＝680－3d5最大，即圆面积最大．所以当OM ＝10 m 时，圆形保护区的面积最大．6．（2013江西，5分）过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( )A.33 B ．－33C ．±33D ．－ 3解析：本题考查圆的标准方程、直线与圆的位置关系，意在考查考生的数形结合的数学思想及运算能力．由y ＝ 1－x2得x 2＋y 2＝1(y ≥0)，即该曲线表示圆心在原点，半径为1的半圆，如图所示．故S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB .所以当sin ∠AOB ＝1，即OA ⊥OB 时，S △AOB 取得最大值，此时点O 到直线l 的距离d ＝|OA |·sin 45°＝22.设此时直线l 的斜率为k ，则方程为y ＝k (x －2)，即kx －y －2k ＝0，则有22＝|0－0－2k | k 2＋1，解得k ＝±33，由图可知直线l 的倾斜角为钝角，故取k ＝－33. 答案：B7．（2013山东，4分）过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．解析：本题主要考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想和运算能力．最短弦为过点(3,1)，且垂直于点(3,1)与圆心的连线的弦，易知弦心矩d ＝－2＋－2＝2，所以最短弦长为2r 2－d 2＝222－22＝2 2.答案：2 28．（2013重庆，5分）已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2D.17解析：本题考查与圆有关的最值问题，意在考查考生数形结合的能力．两圆的圆心均在第一象限，先求|PC 1|＋|PC 2|的最小值，作点C 1关于x 轴的对称点C ′1(2，－3)，则(|PC 1|＋|PC 2|)min ＝|C ′1C 2|＝52，所以(|PM |＋|PN |)min ＝52－(1＋3)＝52－4.答案：A9．（2013江苏，14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解：本题考查直线与圆的方程，两直线交点和直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系，意在考查学生用待定系数法处理问题的能力和用代数法处理几何性质的能力．(1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，由题意，|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ， 所以x 2＋y －2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋a －2≤3.由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ；由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值范围为0，125.10．（2012天津，5分）设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[1－3，1＋ 3 ]B ．(－∞，1－ 3 ]∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋2 2 ]D ．(－∞，2－2 2 ]∪[2＋22，＋∞) 解析：由题意可得|m ＋n |m ＋2＋n ＋2＝1，化简得mn ＝m ＋n ＋1≤m ＋n24，解得m ＋n ≤2－22或m ＋n ≥2＋2 2.答案：D11．（2012陕西，5分）已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( ) A ．l 与C 相交 B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能解析：把点(3,0)代入圆的方程的左侧得32＋0－4×3＝－3<0，故点(3,0)在圆的内部，所以过点(3,0)的直线l 与圆C 相交．答案：A12．（2011江西，5分）若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )A ．(－33，33) B ．(－33，0)∪(0，33) C ．[－33，33] D ．(－∞，－33)∪(33，＋∞) 解析：整理曲线C 1方程得，(x －1)2＋y 2＝1，知曲线C 1为以点C 1(1,0)为圆心，以1为半径的圆；曲线C 2则表示两条直线，即x 轴与直线l ：y ＝m (x ＋1)，显然x 轴与圆C 1有两个交点，知直线l 与x 轴相交，故有圆心C 1到直线l 的距离d ＝|m＋－0|m 2＋1<r ＝1，解得m ∈(－33，33)，又当m ＝0时，直线l 与x 轴重合，此时只有两个交点，应舍去． 答案：B13．（2012江苏，5分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k的最大值是________．解析：设圆心C (4,0)到直线y ＝kx －2的距离为d ，则d ＝|4k －2|k 2＋1，由题意知问题转化为d ≤2，即d ＝|4k －2|k 2＋1≤2，得0≤k ≤43，所以k max＝43. 答案：43。

第2章 函数、导数及其应用第6节 指数与指数函数1. (2014陕西，5分)下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是( )A．f(x)＝B．f(x)＝x3C．f(x)＝x D．f(x)＝3x解析：　根据各选项知，选项C、D中的指数函数满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)．又f(x)＝3x是增函数，所以D正确．答案：D　2．(2013天津，5分)设函数f(x)＝e x＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－3.若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则( )A．g(a)<0<f(b) B．f(b)<0<g(a)C．0<g(a)<f(b) D．f(b)<g(a)<0解析：本题主要考查函数的性质，意在考查考生的数形结合能力．因为函数f(x)＝e x＋x－2在R上单调递增，且f(0)＝1－2<0，f(1)＝e－1>0，所以f(a)＝0时a∈(0,1)．又g(x)＝ln x＋x2－3在(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝－2<0，所以g(a)<0.由g(2)＝ln 2＋1>0，g(b)＝0得b∈(1,2)，又f(1)＝e－1>0，且f(x)＝e x＋x－2在R上单调递增，所以f(b)>0.综上可知，g(a)<0<f(b)．答案：A　3．(2013安徽，5分)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为，则f(10x)>0的解集为( )A．{x|x<－1或x>lg 2}B．{x|－1<x<lg 2}C．{x|x>－lg 2}D．{x|x<－lg 2}解析：本题考查一元二次不等式的求解、指对数运算．考查转化化归思想及考生的合情推理能力．因为一元二次不等式f(x)<0的解集为，所以可设f(x)＝a(x＋1)·(a<0)，由f(10x)>0可得(10x＋1)·<0，即10x<，x<－lg 2，故选D.答案：D4．（2010山东，5分）函数y＝2x－x2的图象大致是( )解析：由函数解析式知2、4是函数的零点，所以排除B、C；当x→－∞时，根据指数函数与幂函数图象的变换趋势知y＜0，故选A.答案：A5．（2010安徽，5分）设a＝()，b＝()，c＝()，则a，b，c的大小关系是( )A．a＞c＞bB．a＞b＞cC．c＞a＞bD．b＞c＞a解析：构造指数函数y＝()x(x∈R)，由该函数在定义域内单调递减可得b＜c；又y＝()x(x∈R)与y＝()x(x∈R)之间有如下结论：当x＞0时，有()x＞()x，故()＞()，∴a＞c，故a＞c＞b.答案：A。

第2章 函数、导数及其应用 第9节 函数模型及其应用1.（2014湖南，5分）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q2 B. p ＋1 q ＋1 －12C.pqD. p ＋1 q ＋1 －1解析：设年平均增长率为x ，原生产总值为a ，则(1＋p )(1＋q )a ＝a (1＋x )2，解得x ＝ 1＋p 1＋q －1，故选D.答案：D2.（2014山东，5分）已知函数y ＝f(x)(x ∈R )．对函数y ＝g (x )(x ∈I )，定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I )，y ＝h (x )满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x ))，(x ，g (x ))关于点(x ，f (x ))对称．若h (x )是g (x )＝4－x 2关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x )>g (x )恒成立，则实数b 的取值范围是________．解析：函数g (x )的定义域是[－2,2]， 根据已知得h x ＋g x2＝f (x )，所以h (x )＝2f (x )－g (x )＝6x ＋2b －4－x 2. 又h (x )>g (x )恒成立，即6x ＋2b －4－x 2> 4－x 2恒成立， 即3x ＋b >4－x 2恒成立． 令y ＝3x ＋b ，y ＝4－x 2，则只要直线y ＝3x ＋b 在半圆x 2＋y 2＝4(y ≥0)上方即可，由|b |10>2，解得b >210(舍去负值)，故实数b 的取值范围是(210，＋∞)．答案：(210，＋∞)3．（2013陕西，5分）在如图所示的锐角三角形空地中， 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x 为________(m)．解析：本题主要考查构建函数模型，利用基本不等式求解应用问题的能力．如图，过A 作AH ⊥BC 于H ，交DE 于F ，易知DE BC ＝x 40＝AD AB ＝AFAH⇒AF ＝x ⇒FH ＝40－x .则S ＝x (40－x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫4022，当且仅当40－x ＝x ，即x ＝20时取等号．所以满足题意的边长x 为20(m)．答案：204．（2013重庆，12分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．解：本题主要考查导数在实际生活中的应用、导数与函数单调性的关系等基础知识，考查转化思想及分类讨论思想．(1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh ＝200πrh 元，底面的总成本为160πr 2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元．根据题意得200πrh ＋160πr 2＝12 000π， 所以h ＝15r(300－4r 2)，从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．由h >0，且r >0可得0<r <53，故函数V (r )的定义域为(0,53)．(2)由(1)知V (r )＝π5(300r －4r 3)，故V ′(r )＝π5(300－12r 2)．令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(因为r 2＝－5不在定义域内，舍去)．当r ∈(0,5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0,5)上为增函数； 当r ∈(5,53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5,53)上为减函数．由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8，即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．5．（2012江西，5分）某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表( )植面积(单位：亩)分别为( )A ．50,0B ．30,20C ．20,30D ．0,50解析：设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x 亩，y 亩，总利润为z 万元，则目标函数为z ＝(0.55×4x －1.2x )＋(0.3×6y －0.9y )＝x ＋0.9y .线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，4x ＋3y ≤180，x ≥0，y ≥0.画出可行域，如图所示．作出直线l 0：x ＋0.9y ＝0，向上平移至过点B 时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝50，4x ＋3y ＝180，求得B (30,20)，故选B.答案：B6．（2013湖南，5分）设函数f (x )＝a x＋b x－c x，其中c >a >0，c >b >0.(1)记集合M ＝{(a ，b ，c )|a ，b ，c 不能构成一个三角形的三条边长，且a ＝b }，则(a ，b ，c )∈M 所对应的f (x )的零点的取值集合为________；(2)若a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①∀x ∈(－∞，1)，f (x )>0；②∃x ∈R ，使a x，b x，c x不能构成一个三角形的三条边长； ③若△ABC 为钝角三角形，则∃x ∈(1,2)，使f (x )＝0.解析：本小题主要考查指数函数的性质、全称量词和存在量词的含义、零点存在性定理及推理论证能力．(1)由题设f (x )＝0，a ＝b ⇒2a x ＝c x⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x ＝12，又a ＋b ≤c ，a ＝b ⇒a c ≤12⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x >0，所以12≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x⇒0<x ≤1.(2)由题设a ＋b >c ⇒a c ＋b c >1，又0<a c <1,0<b c<1，∀x ∈(－∞，1)⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x >a c ，⎝ ⎛⎭⎪⎫b c x >b c ⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b cx >1，即f (x )>0，所以①正确；由(1)可知②正确；由△ABC 为钝角三角形，所以a 2＋b 2<c 2，所以f (2)<0.又a ＋b >c ，所以a c ＋b c>1，所以f (1)>0，由零点存在性定理可知③正确．答案：{x |0<x ≤1} ①②③7．（2013安徽，12分）设函数f (x )＝ax －(1＋a 2)x 2，其中a >0，区间I ＝{x |f (x )>0}． (1)求I 的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)； (2)给定常数k ∈(0,1)，当1－k ≤a ≤1＋k 时，求I 长度的最小值．解：本题考查含参数的一元二次不等式的解法、导数的应用等，意在考查考生恒等变形能力和综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力．(1)因为方程ax －(1＋a 2)x 2＝0(a >0)有两个实根x 1＝0，x 2＝a1＋a 2，故f (x )>0的解集为{x |x 1<x <x 2}．因此区间I ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 1＋a 2，I 的长度为a1＋a 2.(2)设d (a )＝a1＋a 2，则d ′(a )＝1－a21＋a 2 2.令d ′(a )＝0，得a ＝1.由于0<k <1，故当1－k ≤a <1时，d ′(a )>0，d (a )单调递增； 当1<a ≤1＋k 时，d ′(a )<0，d (a )单调递减．所以当1－k ≤a ≤1＋k 时，d (a )的最小值必定在a ＝1－k 或 a ＝1＋k 处取得． 而d 1－k d 1＋k ＝1－k1＋ 1－k 21＋k 1＋ 1＋k 2＝2－k 2－k 32－k 2＋k3<1， 故d (1－k )<d (1＋k )．因此当a ＝1－k 时，d (a )在区间[1－k,1＋k ]上取得最小值1－k2－2k ＋k 2.8．（2011陕西，5分）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边．使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为________(米)．解析：当放在最左侧坑时，路程和为2×(0＋10＋20＋…＋190)；当放在左侧第2个坑时，路程和为2×(10＋0＋10＋20＋…＋180)(减少了360米)；当放在左侧第3个坑时，路程和为2×(20＋10＋0＋10＋20＋…＋170)(减少了680米)；依次进行，显然当放在中间的第10、11个坑时，路程和最小，为2×(90＋80＋…＋0＋10＋20＋…＋100)＝2000米．答案：20009．（2012湖南，13分）某企业接到生产3 000台某产品的A ，B ，C 三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位：件)．已知每个工人每天可生产A 部件6件，或B 部件3件，或C 部件2件．该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B 部件的人数与生产A 部件的人数成正比，比例系数为k (k 为正整数)．(1)设生产A 部件的人数为x ，分别写出完成A ，B ，C 三种部件生产需要的时间； (2)假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．解：(1)设完成A ，B ，C 三种部件的生产任务需要的时间(单位：天)分别为T 1(x )，T 2(x )，T 3(x )，由题设有T 1(x )＝2×3 0006x ＝1 000x ，T 2(x )＝2 000kx ，T 3(x )＝ 1 500200－ 1＋k x， 其中x ，kx,200－(1＋k )x 均为1到200之间的正整数．(2)完成订单任务的时间为f (x )＝max{T 1(x )，T 2(x )，T 3(x )}，其定义域为{x |0＜x ＜2001＋k，x ∈N *}，易知，T 1(x )，T 2(x )为减函数，T 3(x )为增函数．注意到T 2(x )＝2kT 1(x )，于是①当k ＝2时，T 1(x )＝T 2(x )，此时f (x )＝max{T 1(x )，T 3(x )}＝max{1 000x ，1 500200－3x}． 由函数T 1(x )，T 3(x )的单调性知，当1 000x ＝ 1 500200－3x 时f (x )取得最小值，解得x ＝4009.由于44＜4009＜45，而f (44)＝T 1(44)＝25011，f (45)＝T 3(45)＝30013，f (44)＜f (45)． 故当x ＝44时完成订单任务的时间最短，且最短时间为f (44)＝25011.②当k ＞2时，T 1(x )＞T 2(x )，由于k 为正整数，故k ≥3，此时 1 500200－ 1＋k x≥1 500200－ 1＋3 x ＝37550－x.记T (x )＝37550－x，φ(x )＝max{T 1(x )，T (x )}，易知T (x )是增函数，则f (x )＝max{T 1(x )，T 3(x )}≥max{T 1(x )， T (x )}＝φ(x )＝max{1 000x ，37550－x}． 由函数T 1(x )，T (x )的单调性知，当1 000x ＝37550－x 时φ(x )取最小值，解得x ＝40011.由于36＜40011＜37，而φ(36)＝T 1(36)＝2509＞25011，φ(37)＝T (37)＝37513＞25011.此时完成订单任务的最短时间大于25011.(3)当k ＜2时，T 1(x )＜T 2(x )，由于k 为正整数，故k ＝1，此时f (x )＝max{T 2(x )，T 3(x )}＝max{2 000x ，750100－x}．由函数T 2(x )，T 3(x )的单调性知，当2 000x ＝750100－x 时f (x )取最小值，解得x ＝80011，类似(1)的讨论，此时完成订单任务的最短时间为2509，大于25011.综上所述，当k ＝2时，完成订单任务的时间最短，此时，生产A ，B ，C 三种部件的人数分别为44,88,68.。

第五章 数 列第一节数列的概念与简单表示法对应学生用书P71基础盘查一 数列的有关概念 (一)循纲忆知了解数列的概念(定义、数列的项、通项公式、前n 项和) (二)小题查验 1．判断正误(1)1,2,3,4和1,2,4,3是相同的数列( ) (2)同一个数在数列中可以重复出现( ) (3)a n 与{a n }是不同的概念( )(4)所有的数列都有通项公式，且通项公式在形式上一定是唯一的( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×2．(人教A 版教材例题改编)写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)1，－12，13，－14；(2)2,0,2,0.答案：(1)a n ＝(－1)n ＋1n(2)a n ＝(－1)n ＋1＋1基础盘查二 数列的表示方法 (一)循纲忆知1．了解数列三种简单的表示方法(列表法、图象法、通项公式法)； 2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数． (二)小题查验 1．判断正误(1)数列是一种特殊的函数( )(2)毎一个数列都可用三种表示法表示( )(3)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n ( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√2．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n2a n ＋3，则a 5等于________．答案：1161基础盘查三 数列的分类 (一)循纲忆知了解数列的分类(按项数分、按项间的大小等)． (二)小题查验1．(人教B 版教材例题改编)已知函数f (x )＝x －1x ，设a n ＝f (n )(n ∈N *)，则{a n }是________数列(填“递增”或“递减”)答案：递增2．对于数列{a n }，“a n ＋1＞|a n |(n ＝1,2…)”是“{a n }为递增数列”的________条件． 答案：充分不必要对应学生用书P71考点一 由数列的前几项求数列的通项公式(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．[提醒] 不是所有的数列都有通项公式，若有，也不一定唯一．[题组练透]1．已知n ∈N *，给出4个表达式：①a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n 为奇数，1，n 为偶数，②a n ＝1＋(－1)n 2，③a n ＝1＋cos n π2，④a n ＝⎪⎪⎪⎪sin n π2.其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通项公式的是( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．②③④D ．①③④解析：选A 检验知①②③都是所给数列的通项公式． 2．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式： (1)4,6,8,10，…； (2)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…；(3)a ，b ，a ，b ，a ，b ，…(其中a ，b 为实数)； (4)9,99,999,9 999，….解：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以通项公式a n ＝2(n ＋1)，n ∈N *.(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式a n ＝(－1)n ×1n (n ＋1)，n ∈N *.(3)这是一个摆动数列，奇数项是a ，偶数项是b ，所以此数列的一个通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，b ，n 为偶数. (4)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1 000－1，10 000－1，所以它的一个通项公式a n ＝10n －1，n ∈N *.[类题通法]用观察法求数列的通项公式的技巧(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n＋1来调整．(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．考点二 由a n 与S n 的关系求通项a n (重点保分型考点——师生共研)[必备知识]数列的前n 项和通常用S n 表示，记作S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则通项a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.[提醒] 若当n ≥2时求出的a n 也适合n ＝1时的情形，则用一个式子表示a n ，否则分段表示．[典题例析]已知下面数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式： (1)S n ＝2n 2－3n ；(2)S n ＝3n ＋b . 解：(1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5， 由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. (2)a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1.当b ＝－1时，a 1适合此等式． 当b ≠－1时，a 1不适合此等式．∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.[类题通法]已知S n 求a n 的三个步骤 (1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．[演练冲关]已知数列{a n }的前n 项和为S n . (1)若S n ＝(－1)n ＋1·n ，求a 5＋a 6及a n ；(2)若S n ＝3n ＋2n ＋1，求a n .解：(1)a 5＋a 6＝S 6－S 4＝(－6)－(－4)＝－2， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－1)n ＋1·n －(－1)n ·(n －1)＝(－1)n ＋1·[n ＋(n －1)]＝(－1)n ＋1·(2n －1)，又a 1也适合于此式， 所以a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)．(2)因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝6； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1]＝2·3n －1＋2，由于a 1不适合此式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2·3n －1＋2，n ≥2.考点三 由递推关系式求数列的通项公式(常考常新型考点——多角探明)[必备知识]递推公式：如果已知数列{a n }的第一项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．[多角探明]递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接.n ＋1n n 1．在数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .求数列{a n }的通项公式．解：由题设知，a 1＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1. ∴a n a n －1＝n ＋1n －1. ∴a n a n －1＝n ＋1n －1，…，a 4a 3＝53，a 3a 2＝42，a 2a 1＝3.以上n －1个式子的等号两端分别相乘，得到a n a 1＝n (n ＋1)2.又∵a 1＝1，∴a n ＝n (n ＋1)2.角度二：形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n2．(1)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，求数列{a n }的通项公式．(2)若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n ，求数列{a n }的通项公式． 解：(1)由题意，得a n ＋1－a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋⎝⎛⎭⎫1n －2－1n －1＋…＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫1－12＋2＝3－1n . (2)由题意知a n ＋1－a n ＝2n ，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝1－2n 1－2＝2n－1.角度三：形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)，求a n3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，求数列{a n }的通项公式． 解：∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3，∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3， 又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2·3n －1， ∴a n ＝2·3n －1－1.角度四：形如a n ＋1＝Aa n Ba n ＋C(A ，B ，C 为常数)，求a n4．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，求数列{a n }的通项公式．解：∵a n ＋1＝2a na n ＋2，a 1＝1，∴a n ≠0，∴1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，又a 1＝1，则1a 1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差数列．∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋12， ∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)．[类题通法]由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为a n ＋1＝a n ＋f (n )或a n ＋1＝f (n )·a n ，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，(如角度二)，注意：有的问题也可利用构造法，即通过对递推式的等价变形，(如角度三、四)转化为特殊数列求通项．对应A 本课时跟踪检测(二十九)一、选择题1．数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式a n ＝( )A.n 2n ＋1B.n 2n －1C.n 2n －3D.n 2n ＋3解析：选B 由已知得，数列可写成11，23，35，…，故通项为n2n －1.2．数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n ＝( ) A ．2n －1 B ．n 2 C.(n ＋1)2n 2D.n 2(n －1)2解析：选D 设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T n ＝n 2， 当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝n 2(n －1)2.3．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为( )A ．5 B.72 C.92D.132解析：选B ∵a n ＋a n ＋1＝12，a 2＝2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32，n 为奇数，2， n 为偶数.∴S 21＝11×⎝⎛⎭⎫－32＋10×2＝72.故选B. 4．在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .若a 6＝64，则a 9等于( )A ．256B ．510C ．512D ．1 024 解析：选C 在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .∴a 6＝a 3·a 3＝64，a 3＝8.∴a 9＝a 6·a 3＝64×8，a 9＝512.故选C.5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝kn 2，若对所有的n ∈N *，都有a n ＋1＞a n ，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，0)解析：选A 由S n ＝kn 2得a n ＝k (2n －1)．因为a n ＋1＞a n ，所以数列{a n }是递增的，因此k ＞0，故选A.6．(2015·北京海淀区期末)若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B ∵a 1＝19，a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n . 设{a n }的前k 项和数值最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a k ≥0，a k ＋1≤0，k ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧22－3k ≥0，22－3(k ＋1)≤0， ∴193≤k ≤223， ∵k ∈N *，∴k ＝7.∴满足条件的n 的值为7. 二、填空题7．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的第____________项．解析：令n －2n 2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0，即(2n －5)(n －10)＝0. 解得n ＝10或n ＝52(舍去)．答案：108．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3－3×2n ，n ∈N *，则a n ＝________. 解析：分情况讨论：①当n ＝1时，a 1＝S 1＝3－3×21＝－3；②当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3－3×2n )－(3－3×2n －1)＝－3×2n －1.综合①②，得a n ＝－3×2n －1.答案：－3×2n －19．(2015·大连双基测试)数列{a n }满足：a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋1＋3(n∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋1＋3，把n 换成n －1得，a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＝(n －2)·3n ＋3，两式相减得a n ＝3n .答案：3n10．在一个数列中，如果∀n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________.解析：依题意得数列{a n }是周期为3的数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28.答案：28 三、解答题11．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)，可得 a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1； S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2； 同理，a 3＝3，a 4＝4. (2)S n ＝12a 2n ＋12a n ，① 当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋12a n －1，② ①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 由于a n ＋a n －1≠0， 所以a n －a n －1＝1， 又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n . 12．已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围． 解：(1)∵a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，又∵a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9.结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1>a 1>a 2>a 3>a 4， a 5>a 6>a 7>…>a n >1(n ∈N *)．∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0. (2)a n ＝1＋1a ＋2(n －1)＝1＋12n －2－a2.∵对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立， 结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，知5<2－a 2<6，∴－10<a <－8.故a的取值范围为(－10，－8)．第二节等差数列及其前n项和对应学生用书P73基础盘查一等差数列的有关概念(一)循纲忆知理解等差数列的概念(定义、公差、等差中项)．(二)小题查验1．判断正误(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)等差数列的公差是相邻两项的差()(3)数列{a n}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2a n＋1＝a n＋a n＋2()答案：(1)×(2)×(3)√2．(人教A版教材例题改编)判断下面数列是否为等差数列．(只写结果)(1)a n＝2n－1；(2)a n＝pn＋q(p、q为常数)．答案：(1)是(2)是基础盘查二等差数列的有关公式(一)循纲忆知1．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；2．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；3．了解等差数列与一次函数的关系．(二)小题查验1．判断正误(1)等差数列{a n}的单调性是由公差d决定的()(2)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数()(3)已知数列{a n}的通项公式是a n＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{a n}一定是等差数列()答案：(1)√(2)√(3)√2．(人教A 版教材例题改编)已知等差数列5,427，347，…，则前n 项和S n ＝________.答案：114(75n －5n 2)基础盘查三 等差数列的性质 (一)循纲忆知掌握等差数列的性质及其应用． (二)小题查验 1．判断正误(1)在等差数列{a n }中，若a m ＋a n ＝a p ＋a q ，则一定有m ＋n ＝p ＋q ( ) (2)数列{a n }，{b n }都是等差数列，则数列{a n ＋b n }也一定是等差数列( )(3)等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，一定还是等差数列( )(4)数列{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋5，则数列{a n }的公差与函数y ＝3x ＋5的图象的斜率相等( )答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√2．(北师大版教材例题改编)已知等差数列{a n }，a 5＝－20，a 20＝－35，则a n ＝________ 答案：－15－n3．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11等于________． 答案：88对应学生用书P74考点一 等差数列的基本运算(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝(a 1＋a n )n2. [题组练透]1．(2014·福建高考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12D ．14解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3d ，所以12＝3×2＋3d ，解得d＝2，所以a 6＝a 1＋5d ＝2＋5×2＝12，故选C.2．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________. 解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 12＝a 1＋11d ＝－8，S 9＝9a 1＋9d ×82＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－1. ∴S 16＝16×3＋16×152×(－1)＝－72.答案：－723.在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值． 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d . 由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n ， 所以S n ＝n [1＋(3－2n )]2＝2n －n 2.由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35，即k 2－2k －35＝0， 解得k ＝7或k ＝－5.又k ∈N *，故k ＝7.[类题通法]等差数列的基本运算的解题策略(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．考点二 等差数列的判断与证明(题点多变型考点——全面发掘)[必备知识](1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．[提醒] 要注意定义中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．[一题多变][典型母题][题点发散1] 试说明本例中数列{a n }是不是等差数列． 解：当n ≥2时，a n ＋1＝－12n (n ＋1)，而a n ＋1－a n ＝－12n (n ＋1)－－12n (n －1)＝－12n ⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n －1＝1n (n －1)(n ＋1).∴当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是等差数列． [题点发散2] 若将本例条件改为“a 1＝2，S n ＝S n －12S n －1＋1(n ≥2)”，问题不变，试求解．解：(1)∵S n ＝S n －12S n －1＋1，∴1S n ＝2S n －1＋1S n －1＝1S n －1＋2. ∴1S n －1S n －1＝2. ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以12为首项，以2为公差的等差数列．(2)由(1)知1S n ＝12＋(n －1)×2＝2n －32，即S n ＝12n －32.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －32－12n －72 ＝－2⎝⎛⎭⎫2n －32⎝⎛⎭⎫2n －72；当n ＝1时，a 1＝2不适合上式，故a n＝⎩⎨⎧2(n ＝1)，－2⎝⎛⎭⎫2n －32⎝⎛⎭⎫2n －72(n ≥2).[题点发散3] 若本例变为：已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，设b n＝1a n －1(n ∈N *)．求证：数列{b n }是等差数列． 证明：∵a n ＝2－1a n －1， ∴a n ＋1＝2－1a n.∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝12－1a n－1－1a n －1＝a n －1a n －1＝1， ∴{b n }是首项为b 1＝12－1＝1，公差为1的等差数列． [类题通法]等差数列的判定方法(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数； (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)成立； (3)通项公式法：验证a n ＝pn ＋q ； (4)前n 项和公式法：验证S n ＝An 2＋Bn .[提醒] 在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断．考点三 等差数列的性质及最值(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d ，(n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列.[典题例析]1．等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10的值是( ) A ．20 B ．22 C ．24D ．－8解析：选C ∵a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120，∴a 8＝24， ∴2a 9－a 10＝a 10＋a 8－a 10＝a 8＝24.2．(2014·北京高考)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．解析：∵数列{a n }是等差数列，且a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＞0，∴a 8＞0.又a 7＋a 10＝a 8＋a 9＜0，∴a 9＜0.∴当n ＝8时，其前n 项和最大．答案：83．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________. 解析：∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，且S 10＝10，S 20＝30，S 20－S 10＝20，∴S 30－30＝10＋2×10＝30，∴S 30＝60. 答案：604．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n ＞6)，求数列{a n }的项数及a 9＋a 10.解：由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，① a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216，∴a 1＋a n ＝36， 又S n ＝n (a 1＋a n )2＝324，∴18n ＝324，∴n ＝18.∵a 1＋a n ＝36，n ＝18，∴a 1＋a 18＝36， 从而a 9＋a 10＝a 1＋a 18＝36.[类题通法]1．等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n .2．求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .[演练冲关]1．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于( ) A ．0 B ．37 C ．100D ．－37解析：选C 设{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，则(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n＋1－b n )＝d 1＋d 2，∴{a n ＋b n }为等差数列，又a 1＋b 1＝a 2＋b 2＝100，∴{a n ＋b n }为常数列，∴a 37＋b 37＝100.2．已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( )A ．10B ．20C ．30D ．40解析：选A 设这个数列有2n 项，则由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于nd ，即25－15＝2n ，故2n ＝10，即数列的项数为10.3．在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n取得最大值，并求出它的最大值．解：∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－53.法一：由a n ＝20＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫－53＝－53n ＋653. 得a 13＝0.即当n ≤12时，a n ＞0，n ≥14时，a n ＜0. ∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝⎛⎭⎫－53＝130.法二：∴S n ＝20n ＋n (n －1)2·⎝⎛⎭⎫－53＝－56n 2＋1256n ＝－56⎝⎛⎭⎫n －2522＋3 12524. ∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. 法三： 由S 10＝S 15得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. ∴5a 13＝0，即a 13＝0.∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.对应B 本课时跟踪检测(三十)[A 卷——夯基保分]一、选择题1．设S n 为等差数列的前n 项和，公差d ＝－2，若S 10＝S 11，则a 1＝( ) A ．18 B ．20 C ．22D ．24解析：选B 由S 10＝S 11，得a 11＝0.又已知d ＝－2，则a 11＝a 1＋10d ＝a 1＋10×(－2)＝0，解得a 1＝20.2．(2015·兰州、张掖联考)等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则该数列前13项的和是( )A ．13B ．26C ．52D ．156解析：选B ∵3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24， ∴6a 4＋6a 10＝24，∴a 4＋a 10＝4，∴S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13(a 4＋a 10)2＝13×42＝26，故选B.3．已知等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n ＞3)，S n ＝100，则n 的值为( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析：选C 由S n －S n －3＝51得， a n －2＋a n －1＋a n ＝51，所以a n －1＝17， 又a 2＝3，S n ＝n (a 2＋a n －1)2＝100，解得n ＝10.4．(2015·辽宁鞍山检测)已知S n 表示数列{a n }的前n 项和，若对任意的n ∈N *满足a n ＋1＝a n ＋a 2，且a 3＝2，则S 2 014＝( )A ．1 006×2 013B ．1 006×2 014C ．1 007×2 013D ．1 007×2 014解析：选C 在a n ＋1＝a n ＋a 2中，令n ＝1，则a 2＝a 1＋a 2，a 1＝0，令n ＝2，则a 3＝2＝2a 2，a 2＝1，于是a n ＋1－a n ＝1，故数列{a n }是首项为0，公差为1的等差数列，S 2 014＝2 014×2 0132＝1 007×2 013. 5．(2015·洛阳统考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＞0，a 3＋a 10＞0，a 6a 7＜0，则满足S n ＞0的最大自然数n 的值为( )A ．6B ．7C ．12D ．13解析：选C ∵a 1＞0，a 6a 7＜0，∴a 6＞0，a 7＜0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12＞0，a 1＋a 13＝2a 7＜0，∴S 12＞0，S 13＜0，∴满足S n ＞0的最大自然数n 的值为12.6．(2015·河北唐山一模)各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且3S n ＝a n a n ＋1，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝( )A.n (n ＋5)2B.n (5n ＋1)2C.3n (n ＋1)2D.(n ＋3)(n ＋5)2解析：选C 当n ＝1时，3S 1＝a 1a 2,3a 1＝a 1a 2，∴a 2＝3.当n ≥2时，由3S n ＝a n a n ＋1，可得3S n －1＝a n －1a n ，两式相减得3a n ＝a n (a n ＋1－a n －1)，又∵a n ≠0，∴a n ＋1－a n －1＝3，∴{a 2n }为一个以3为首项，3为公差的等差数列，∴a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝3n ＋n (n －1)2×3＝3n (n ＋1)2，选C.二、填空题7．(2014·江西高考)在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前 n 项和为S n ，当且仅当n ＝8 时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．解析：由题意，当且仅当n ＝8时S n 有最大值，可得⎩⎪⎨⎪⎧d <0，a 8>0，a 9<0，即⎩⎪⎨⎪⎧d <0，7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78.答案：⎝⎛⎭⎫－1，－78 8．已知等差数列{a n }中，a n ≠0，若n ≥2且a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，S 2n －1＝38，则n 等于________． 解析：∵2a n ＝a n －1＋a n ＋1， 又a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，∴2a n －a 2n ＝0，即a n (2－a n )＝0.∵a n ≠0，∴a n ＝2.∴S 2n －1＝2(2n －1)＝38，解得n ＝10. 答案：109．(2015·无锡一模)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，当整数n ≥2时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)都成立，则S 15＝________.解析：由S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)得(S n ＋1－S n )－(S n －S n －1)＝2S 1＝2，即a n ＋1－a n ＝2(n ≥2)，所以数列{a n }从第二项起构成等差数列，则S 15＝1＋2＋4＋6＋8＋…＋28＝211.答案：21110．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a n b n为整数的正整数n 的个数是________．解析：由等差数列前n 项和的性质知，a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1，故当n ＝1,2,3,5,11时，a n b n 为整数，故使得a nb n为整数的正整数n 的个数是5.答案：5 三、解答题11．(2015·长春调研)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a 1＝3，S 5－S 2＝27. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若S n,22(a n ＋1＋1)，S n ＋2成等比数列，求正整数n 的值． 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ， 则S 5－S 2＝3a 1＋9d ＝27， 又a 1＝3，则d ＝2，故a n ＝2n ＋1.(2)由(1)可得S n ＝n 2＋2n ，又S n ·S n ＋2＝8(a n ＋1＋1)2， 即n (n ＋2)2(n ＋4)＝8(2n ＋4)2，化简得n 2＋4n －32＝0， 解得n ＝4或n ＝－8(舍)，所以n 的值为4.12．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22. (1)求a n 和S n ；(2)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S n n ＋c ，求非零常数c .解：(1)∵数列{a n }为等差数列，∴a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22. 又a 3·a 4＝117，∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两实根， 又公差d ＞0，∴a 3＜a 4，∴a 3＝9，a 4＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4.∴通项公式a n ＝4n －3.∴S n ＝na 1＋n (n －1)2×d ＝2n 2－n .(2)由(1)知S n ＝2n 2－n ，∴b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－n n ＋c ，∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c .∵数列{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3， 即62＋c ×2＝11＋c ＋153＋c，∴2c 2＋c ＝0， ∴c ＝－12或c ＝0(舍去)，故c ＝－12.[B 卷——增分提能]1．已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72，若b n ＝12a n －30，设数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的最小值．解：∵2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1， 故数列{a n }为等差数列．设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 3＝10，S 6＝72得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝10，6a 1＋15d ＝72，解得a 1＝2，d ＝4. ∴a n ＝4n －2，则b n ＝12a n －30＝2n －31，令⎩⎪⎨⎪⎧ b n ≤0，b n ＋1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2n －31≤0，2(n ＋1)－31≥0，解得292≤n ≤312，∵n ∈N *，∴n ＝15，即数列{b n }的前15项均为负值，∴T 15最小．∵数列{b n }的首项是－29，公差为2， ∴T 15＝15(－29＋2×15－31)2＝－225，∴数列{b n }的前n 项和T n 的最小值为－225.2．(2015·安徽宿州调研)已知函数f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7.(1)设函数y ＝f (x )的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n }，求证：{a n }为等差数列； (2)设函数y ＝f (x )的图象的顶点到x 轴的距离构成数列{b n }，求{b n }的前n 项和S n . 解：(1)证明：∵f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7 ＝[x －(n ＋1)]2＋3n －8， ∴a n ＝3n －8，∵a n ＋1－a n ＝3(n ＋1)－8－(3n －8)＝3， ∴数列{a n }为等差数列． (2)由题意知，b n ＝|a n |＝|3n －8|， ∴当1≤n ≤2时，b n ＝8－3n ，S n ＝b 1＋…＋b n ＝n (b 1＋b n )2＝n [5＋(8－3n )]2＝13n －3n 22；当n ≥3时，b n ＝3n －8，S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝5＋2＋1＋…＋(3n －8) ＝7＋(n －2)[1＋(3n －8)]2＝3n 2－13n ＋282.∴S n＝⎩⎨⎧13n －3n 22，1≤n ≤2，3n 2－13n ＋282，n ≥3.3．设同时满足条件：①b n ＋b n ＋22≤b n ＋1(n ∈N *)；②b n ≤M (n ∈N *，M 是与n 无关的常数)的无穷数列{b n }叫“特界”数列．(1)若数列{a n }为等差数列，S n 是其前n 项和，a 3＝4，S 3＝18，求S n ； (2)判断(1)中的数列{S n }是否为“特界”数列，并说明理由． 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋2d ＝4，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 1＋3d ＝18， 解得a 1＝8，d ＝－2，∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－n 2＋9n .(2){S n }是“特界”数列，理由如下：由S n ＋S n ＋22－S n ＋1＝(S n ＋2－S n ＋1)－(S n ＋1－S n )2 ＝a n ＋2－a n ＋12＝d2＝－1<0， 得S n ＋S n ＋22<S n ＋1，故数列{S n }适合条件①. 而S n ＝－n 2＋9n ＝－⎝⎛⎭⎫n －922＋814(n ∈N *)， 则当n ＝4或5时，S n 有最大值20， 即S n ≤20，故数列{S n }适合条件②. 综上，数列{S n }是“特界”数列．第三节等比数列及其前n 项和对应学生用书P76基础盘查一 等比数列的有关概念 (一)循纲忆知理解等比数列的概念(定义、公比、等比中项)． (二)小题查验 1．判断正误(1)常数列一定是等比数列( ) (2)等比数列中不存在数值为0的项( )(3)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列( ) (4)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab ( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×2．已知数列a ，a (1－a )，a (1－a )2，…是等比数列，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≠1 B ．a ≠0或a ≠1 C ．a ≠0 D ．a ≠0且a ≠1答案：D基础盘查二 等比数列的有关公式 (一)循纲忆知1．掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式；2．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3．了解等比数列与指数函数的关系． (二)小题查验 1．判断正误(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n ( ) (2)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a( )答案：(1)× (2)×2．(人教A 版教材习题改编)在等比数列{a n }中，已知a 1＝－1，a 4＝64，则q ＝________，S 4＝________.答案：－4 51基础盘查三 等比数列的性质 (一)循纲忆知掌握等比数列的性质及应用． (二)小题查验 1．判断正误(1)q ＞1时，等比数列{a n }是递增数列( )(2)在等比数列{a n }中，若a m ·a n ＝a p ·a q ，则m ＋n ＝p ＋q ( )(3)在等比数列{a n }中，如果m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N *)，那么a m ·a n ＝a 2k ( )(4)若数列{a n }是等比数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列( )(5)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×2．(北师大版教材习题改编)将公比为q 的等比数列a 1，a 2，a 3，a 4…依次取相邻两项的乘积组成新的数列a 1a 2，a 2a 3，a 3a 4，….此数列是( )A ．公比为q 的等比数列B ．公比为q 2的等比数列C ．公比为q 3的等比数列D ．不一定是等比数列答案：B对应学生用书P76考点一 等比数列的基本运算(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]等比数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.[提醒] 运用等比数列的前n 项和公式时，必须对q ＝1与q ≠1分类讨论．[题组练透]1．(2015·东北三校联考)已知数列{a n }满足2a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝1，则数列{a n }的前10项和S 10为( )A.43(210－1) B.43(210＋1) C.43(2－10－1) D.43(2－10＋1) 解析：选C ∵2a n ＋1＋a n ＝0，∴a n ＋1a n ＝－12.又a 2＝1，∴a 1＝－2，∴数列{a n }是首项为－2，公比为q ＝－12的等比数列，∴S 10＝a 1(1－q 10)1－q＝－2(1－2－10)1＋12＝43(2－10－1)，故选C. 2．在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值为( ) A ．1 B ．－12C ．1或－12D ．－1或12解析：选C 根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝7，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝21， ∴1＋q ＋q 2q 2＝3.整理得2q 2－q －1＝0， 解得q ＝1或q ＝－12.3．(2015·唐山一模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n＝( )A ．4n －1B ．4n －1C ．2n －1D ．2n －1 解析：选D 设{a n}的公比为q ，∵⎩⎨⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎨⎧a 1＋a 1q 2＝52①，a 1q ＋a 1q 3＝54②，由①②可得1＋q 2q ＋q3＝2，∴q ＝12，代入①得a 1＝2，∴a n ＝2×⎝⎛⎭⎫12n －1＝42n ， ∴S n ＝2×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝4⎝⎛⎭⎫1－12n ，∴S na n ＝4⎝⎛⎭⎫1－12n 42n＝2n －1，选D.4．设数列{a n }的前n 项和S n 满足6S n ＋1＝9a n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝1a n ，求数列{b n }前n 项和T n .解：(1)当n ＝1时，由6a 1＋1＝9a 1，得a 1＝13.当n ≥2时，由6S n ＋1＝9a n ，得6S n －1＋1＝9a n －1， 两式相减得6(S n －S n －1)＝9(a n －a n －1)， 即6a n ＝9(a n －a n －1)，∴a n ＝3a n －1.∴数列{a n }是首项为13，公比为3的等比数列，其通项公式为a n ＝13×3n －1＝3n －2.(2)∵b n ＝1a n ＝⎝⎛⎭⎫13n －2，∴{b n }是首项为3，公比为13的等比数列，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝3⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13＝92⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n .[类题通法]解决等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想：等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a 1和q ，问题可迎刃而解．(2)分类讨论的思想：等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q.考点二 等比数列的判定与证明(题点多变型考点——全面发掘)[必备知识]1．定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．定义的表达式为a n ＋1a n＝q .2．等比中项G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab . [提醒] 在等比数列中每项与公比都不为0.[一题多变][典型母题][题点发散1] 在本例条件下，若数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2), 证明：{b n }是等比数列．证明：∵由(2)知a n ＝1－⎝⎛⎭⎫12n ， ∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1 ＝1－⎝⎛⎭⎫12n －⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －1 ＝⎝⎛⎭⎫12n －1－⎝⎛⎭⎫12n ＝⎝⎛⎭⎫12n .又b 1＝a 1＝12也符合上式，∴b n ＝⎝⎛⎭⎫12n . ∴b n ＋1b n ＝12，数列{b n }是等比数列． [题点发散2] 本例条件变为：已知数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝a (a ≠0)，a n ＋2＝p ·a 2n ＋1a n(其中p 为非零常数，n ∈N *)．试判断数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是不是等比数列． 解：由a n ＋2＝p ·a 2n ＋1a n ，得a n ＋2a n ＋1＝p ·a n ＋1a n .令c n ＝a n ＋1a n，则c 1＝a ，c n ＋1＝pc n .∵a ≠0，∴c 1≠0，c n ＋1c n＝p (非零常数)，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是等比数列． [类题通法]等比数列的判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)中项公式法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n －1(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．[提醒] (1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明，而后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．考点三 等比数列的性质(重点保分型考点——师生共研)[必备知识](1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k ；(2)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n bn (λ≠0)仍然是等比数列；(3)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k ；(4)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n ，当公比为－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 4n 不一定构成等比数列．[典题例析]1．(2015·长春调研)在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝________.解析：设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12， 可得q 9＝3，a n －1a n a n ＋1＝a 31q3n －3＝324， 因此q 3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14， 答案：142．(2014·广东高考)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.解析：因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5， 所以a 10a 11＝e 5.所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20) ＝ln [(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11)＝10ln e 5＝50. 答案：50[类题通法]等比数列常见性质的应用等比数列的性质可以分为三类：①通项公式的变形，②等比中项的变形，③前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．[演练冲关]1．(2014·江苏高考)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．解析：设等比数列{a n }的公比为q ，q >0，则a 8＝a 6＋2a 4即为a 4q 4＝a 4q 2＋2a 4，解得q 2＝2(负值舍去)，又a 2＝1，所以a 6＝a 2q 4＝4.答案：42．等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________.解析：由S 10S 5＝3132，a 1＝－1知公比q ≠1，S 10－S 5S 5＝－132.由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，故q 5＝－132，q ＝－12.答案：－12对应A 本课时跟踪检测(三十一)[A 卷——夯基保分]一、选择题1．(2014·重庆高考)对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9成等比数列解析：选D 由等比数列的性质得，a 3·a 9＝a 26≠0，因此a 3，a 6，a 9一定成等比数列，选D.2．(2015·昆明、玉溪统考)等比数列{a n }中，a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1的结果可化为( )A ．1－14nB ．1－12nC.23⎝⎛⎭⎫1－14n D.23⎝⎛⎭⎫1－12n 解析：选C 依题意，a n ＝2n －1，1a n a n ＋1＝12n －1·2n ＝122n －1＝12×14n －1，所以T n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n 1－14＝23⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n . 3．若正项数列{a n }满足lg a n ＋1＝1＋lg a n ，且a 2 001＋a 2 002＋a 2 003＋…＋a 2 010＝2 014，则a 2 011＋a 2 012＋a 2 013＋…＋a 2 020的值为( )A ．2 014×1010B ．2 014×1011C ．2 015×1010D ．2 015×1011解析：选A 由条件知lg a n ＋1－lg a n ＝lga n ＋1a n ＝1，即a n ＋1a n＝10，所以{a n }是公比为10的等比数列．因为(a 2 001＋…＋a 2 010)·q 10＝a 2 011＋…＋a 2 020，所以a 2 011＋…＋a 2 020＝2 014×1010，选A.4．(2015·山西四校联考)等比数列{a n }满足a n ＞0，n ∈N *，且a 3·a 2n －3＝22n (n ≥2)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1＝( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2解析：选A 由等比数列的性质，得a 3·a 2n －3＝a 2n ＝22n ，从而得a n ＝2n.法一：log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1＝log 2[(a 1a 2n －1)·(a 2a 2n －2)·…·(a n －1a n ＋1)a n ]＝log 22n (2n－1)＝n (2n －1)．法二：取n ＝1，log 2a 1＝log 22＝1，而(1＋1)2＝4，(1－1)2＝0，排除B ，D ；取n ＝2，log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＝log 22＋log 24＋log 28＝6，而22＝4，排除C ，选A.5．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为( )A ．－2B ．2C ．－3D ．3解析：选B 设公比为q ，若q ＝1，则S 2m S m ＝2，与题中条件矛盾，故q ≠1.∵S 2mS m ＝a 1(1－q 2m )1－q a 1(1－q m )1－q ＝q m ＋1＝9，∴q m ＝8.∴a 2m a m ＝a 1q2m －1a 1q m 1＝q m ＝8＝5m ＋1m －1，∴m ＝3，∴q 3＝8， ∴q ＝2.6．设{a n }是各项为正数的无穷数列，A i 是边长为a i ，a i ＋1的矩形的面积(i ＝1,2，…)，则{A n }为等比数列的充要条件是( )A ．{a n }是等比数列B ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…或a 2，a 4，…，a 2n ，…是等比数列C ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列D ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同解析：选D ∵A i ＝a i a i ＋1，若{A n }为等比数列，则A n ＋1A n ＝a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n 为常数，即A 2A 1＝a 3a 1，A 3A 2＝a 4a 2，….∴a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…成等比数列，且公比相等．反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q ，则A n ＋1A n ＝a n ＋2a n ＝q ，从而{A n }为等比数列．二、填空题7．(2014·安徽高考)数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.解析：法一：因为数列{a n }是等差数列，所以a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5也成等差数列，又a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，所以a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5是常数列，故q ＝1.法二：因为数列{a n }是等差数列，所以可设a 1＝t －d ，a 3＝t ，a 5＝t ＋d ，故由已知得(t ＋3)2＝(t －d ＋1)(t ＋d ＋5)，得d 2＋4d ＋4＝0，即d ＝－2，所以a 3＋3＝a 1＋1，即q ＝1.答案：18．(2015·兰州模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝m ·2n －1－3，则m ＝________.解析：a 1＝S 1＝m －3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝m ·2n －2，。