零点个数问题

考点 1零点的求法及零点的个数题型 1：求函数的零点。

[例1]求函数 y x32x2x 2的零点.[ 解题思路 ] 求函数yx 32x 2x 2的零点就是求方程 x 32x 2x 2 0的根[解析]令 x32x2x 2 0，∴ x2 ( x 2) ( x 2) 0∴ (x 2)( x 1)( x 1) 0 ，∴x1或x 1或 x 2即函数yx32x 2x2的零点为 -1 ，1，2。

[ 反思归纳 ]函数的零点不是点，而是函数函数y f ( x) 的图像与x轴交点的横坐标，即零点是一个实数。

题型 2：确定函数零点的个数。

[例2]求函数 f(x)=lnx＋2x － 6 的零点个数 .[ 解题思路 ] 求函数 f(x)=lnx＋ 2x －6 的零点个数就是求方程 lnx ＋ 2x －6=0 的解的个数[ 解析 ] 方法一：易证 f(x)= lnx＋ 2x －6 在定义域(0,)上连续单调递增，又有 f (1) f (4)0，所以函数 f(x)= lnx ＋ 2x－6 只有一个零点。

方法二：求函数 f(x)=lnx ＋2x－ 6 的零点个数即是求方程lnx ＋2x－ 6=0 的解的个数y ln x即求y62x 的交点的个数。

画图可知只有一个。

[ 反思归纳 ]求函数y f ( x)的零点是高考的热点，有两种常用方法：①（代数法）求方程f ( x)0的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y f ( x)的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。

题型 3：由函数的零点特征确定参数的取值范围[ 例3] (2007 ·广东 ) 已知 a 是实数 , 函数f x2ax22x 3a, 如果函数y f x在区间1,1上有零点，求 a 的取值范围。

[ 解题思路 ] 要求参数 a 的取值范围，就要从函数y f x 在区间1,1 上有零点寻找关于参数 a 的不等式（组），但由于涉及到 a 作为x2的系数，故要对 a 进行讨论[ 解析]若a 0, f ( x)2x 3 ,显然在1,1上没有零点 ,所以a 0.48a 3a8a 224a4, 解得a37令2 a37y f x1,12时,上;①当恰有一个零点在②当f1 f 1a1a50 ，即1 a 5 时，yf x在1,1 上也恰有一个零点。

因为ａ－１＝（ １），丢＞１，由问题归纳知，
在 １＜ ＜ 号时 图像 有 三 个 交 点 ，此 时 ，ｇ彳 ＜ “＜ １；
在 一 詈时 图像有二个交点 ，此时 ， 一ｅ ２；
在 ＞ ｅ詈时 图像 有 一 个 交 点 ，此 时 ，０＜ ａ＜ ｅ彳 ．
故 函 数 ｌ厂（ｚ）一 一 ａ （Ｏ＜ ａ＜ １）的 图像 ． （１）在 ８彳 ＜ ｎ＜ １时 有 三 个 零 点 ；（２）在 “一Ｐ彳 时 有 二 个 零 点 ；（３）在 Ｏ＜ 口＜Ｐ彳 时有 一 个 零 点 ． 合 在 一 起 ：函数 ，（ｚ）＝ｚ 一ａ 图 像 ． （１）在 Ｏ＜ａ＜ ｅ－￣时 有 一 个 零 点 ；（２）在 口＝ｅ彳 时 有 二 个 零 点 ；（３）在 ｅ彳 ＜ 口＜ １时 有 三 个 零 点 ；（４）在 １＜ 。＜ ｅ７ 时 有 三 个 零 点 ；（５）在 ｎ＝ｅ７ 时有 二 个 零 点 ；（６）在 口＞ ｅ７ 时 有 一 个 零 点 ． 类 比 １： ：ａ 与有 ＝ ｌｏｇａ 图像 有 交 点 吗 ？
即 ｘ＞Ｏ时 ，无 交 点 ．
故 有 一 个 零 点 ．
问题 的提 出 ：
函数 厂（ ）一 。一ａ （ｎ＞ １）在 什 么 时 候 有 一 个 零 点 、二 个
零 点 、三个 零 点 ？ 研 究 ：作 出 ：３７ 与 ＝ａ （Ⅱ＞ １）的 图像 ．
当 ｘ＜Ｏ时 ，有 一个 交 点 ．
当 ｘ＜ Ｏ，由 图像 知 有 １个 交 点 ．
当 ＞ ０，厂（１）一 １— ２一 一 １＜ ０， 厂（２）一 ０，厂（３）： ９— ２。＝ １＞ ０，
图 １
ｆ（４）一０，，（５）一 ２５— ３２一 一 ７＜０，－厂（６）一３６ ６４一 一 ２８＜ ０

专题一 “四招”判断函数零点个数函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数 的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕函数零点个数的判断问题，例题说法，高效训练.【典型例题】第一招 应用函数性质，判定函数零点个数例 1.已知偶函数 f (x ) = {log 4 x , 0 <x≤ 4f(8 - x ), 4 < x < 8 ，且 f (x - 8) = f (x )，则函数 F (x ) = f (x )- 1 2 x在区间 [-2018, 2018]的零点个数为（）A. 2020B. 2016C. 1010D. 1008第二招 数形结合，判定函数零点个数例 2.【2018 届福建省永春一中、培元、季延、石光中学四校高三上第二次联考】定义在 R 上的函数 f (x )满足 f (x + 2) = f (x )+1，且 x ∈[0,1]时， f (x )= 4x； x ∈(1, 2]时， f (x ) = f (1) . 令xg (x ) = 2 f (x )- x - 4, x ∈[-6, 2]，则函数 g (x )的零点个数为（）A. 7B. 8C. 9D. 10第三招 应用零点存在性定理，判定函数零点个数例 3.【广西桂林市、贺州市、崇左市 2019 届高三下学期 3 月联合调研】已知函数.（1）讨 的单调性； （2）讨在上的零点个数.第四招 构造函数，判定函数零点个数例 4．【山东省菏泽市 2019 届高三上学期期末】已知函数 f （x ）＝l n x +﹣1，a ∈R. （1）当 a ＞0 时，若函数 f （x ）在区间[1，3]上的最小值，求 a 的值；（2）讨论函数g（x）＝f′（x）﹣零点的个数.【规律与方法】函数零点个数的求解与判断：(1)直接求零点：令f (x)= 0 ，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线，且f (a)⋅f (b)< 0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．(4)构造函数模型，判断零点个数.构造函数可根据题目不同，直接做差构造函数、分离参数后构造函数、先求导数再构造函数、先换元再构造函数等.【提升训练】1．【浙江省杭州地区(含周边)重点中学2019届高三上期中】已知定义在R上的奇函数，满足当时，则关于x的方满A．对任意，恰有一解B．对任意，恰有两个不同解C．存在，有三个不同解D．存在，无解2．【吉林省延边州2019届高三2月复检测】已知函数在上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论错误的是( )A．函在上为单调递增函数B．是函的极小值点C．函至多有两个零点D．时，不等恒成立3.已知函数y = f (x )的图像为R 上的一条连续不断的曲线，当x ≠ 0 时，f ' (x )+1f (x )> 0 ，则关于x 的x函数g (x )= f (x )+的零点的个数为（）xA．0 B．1 C．2 D．0 或2 4．【新疆乌鲁木齐市2019届高三一模】已知函数.（Ⅰ）的图像在点处的切线与直平行，求的值；（Ⅱ），讨的零点个数.5．【辽宁省大连市2019届高三下学期第一次（3月)双基测试】已知函数f（x）=lnx+ax2-x（x＞0，a∈R）．（Ⅰ）讨论函数 f（x）的单调性；（Ⅱ）求证：当a≤0 时，曲线 y=f（x）上任意一点处的切线与该曲线只有一个公共点．6．【四川省成都石室中学2019届高三第二次模拟】已知函数，.（Ⅰ）当，函图象上是否存在3 条互相平行的切线，并说明理由？（Ⅱ）讨论函的零点个数.7．【浙江省金华十校2019届高三上学期期末】已知，，其中，为自然对数的底数．若函的切线l经点，求l的方程；Ⅱ若函数为递减函数，试判断函数零点的个数，并证明你的结论．8.【辽宁省丹东市2019 届高三总复习质量测试（一)】已知函.（1）当时，讨的单调性；（2）证明：当时只有一个零点 . 9．【云南师范大学附属中学2019届高三上学期第一次月考】已知函数．求的单调区间和极值；当时，证明：对任意的，函有且只有一个零点．10．【2019届高三第一次全国大联考】已知函数（其中）．（1）时，求函的单调区间；（2）当时，求函的极值点；（3）讨论函零点的个数．11．【2019年四川省达州市高考一诊】已知，函数，．求证；讨论函零点的个数．12．【北京延庆区2019届高三一模】已知函数．（1）当时，求曲在处的切线方程；（2）求函的单调区间；（3）时，求函在上区零点的个数.13．【广东省江门市2019届高考模拟（第一次模拟)】设函数，是自然对数的底数，是常数．（1）若，的单调递增区间；（2）讨论曲与公共点的个数．14．【安徽省六安市毛坦厂中学2019届高三3月联考】设函数.（1）试讨论函的单调性；：，，（2）若，证明：方程有且仅有3个不同的实数根.（附）。

判断零点个数的常用方法一、引言在数学领域中，求解函数的零点是一项重要的任务。

零点是指函数取值为0的点，也就是函数图像与x轴相交的点。

判断一个函数有几个零点是一个基本问题，这个问题在高中数学中就有所涉及。

本文将介绍几种常用的方法来判断一个函数的零点个数。

二、图像法1.绘制函数图像首先，我们需要将给定的函数绘制出来。

通过观察函数图像与x轴相交的位置来判断零点个数。

2.观察图像与x轴相交的位置如果函数图像与x轴相交一次，则说明该函数有一个零点；如果相交两次，则说明该函数有两个零点；以此类推。

3.注意事项需要注意的是，在使用这种方法时，需要对给定区间内所有可能存在零点的位置进行考虑，因为在其他区间内可能会存在其他的零点。

三、牛顿迭代法1.原理牛顿迭代法是一种求解方程近似解的方法，它通过不断逼近方程根来得到方程根附近的近似值。

具体实现过程如下：2.具体步骤（1）选择一个初始值x0，并计算出f(x0)和f'(x0)。

（2）计算出x1=x0-f(x0)/f'(x0)。

（3）如果|x1-x0|<ε，则停止迭代，输出x1作为方程的近似解；否则，将x1作为新的初始值，返回第（1）步。

3.注意事项需要注意的是，在使用牛顿迭代法时，需要选择一个合适的初始值，并且需要保证函数在该点处可导。

四、二分法1.原理二分法是一种求解方程近似解的方法，它通过不断将区间缩小来得到方程根附近的近似值。

具体实现过程如下：2.具体步骤（1）选择一个初始区间[a,b]，并计算出f(a)和f(b)。

（2）计算出中点c=(a+b)/2，并计算出f(c)。

（3）如果|f(c)|<ε，则停止迭代，输出c作为方程的近似解；否则，根据f(c)与0的符号确定新的区间[a,c]或[c,b]，返回第（1）步。

3.注意事项需要注意的是，在使用二分法时，需要保证函数在给定区间内连续，并且在两个端点处取值异号。

五、拉格朗日中值定理1.原理拉格朗日中值定理是微积分中的一个重要定理，它可以用来证明函数在某一区间内存在零点。